重庆市巴蜀中学2015-2016学年高二(上)期末数学试卷(理科)(解析版)

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2015-2016学年重庆市巴蜀中学高二（上）期末

数 学 试 卷（理科）

一、选择题

1．从集合A={2，3，﹣4}中随机选取一个数记为k，则函数y=kx为单调递增的概率为（ ）

A． B． C． D．

2．设双曲线的渐近线方程为3x±2y=0，则a的值为（ ）

A．4 B．3 C．2 D．1

3．如图，设圆弧x2+y2=1（x≥0，y≥0）与两坐标轴正半轴围成的扇形区域为M，过圆弧上中点A做该圆的切线与两坐标轴正半轴围成的三角形区域为N．现随机在区域N内投一点B，若设点B落在区域M内的概率为P，则P的值为（ ）

A． B． C． D．

4．如图，点P、Q、R、S分别在正方体的四条棱上，并且是所在棱的中点，则直线PQ与RS是异面直线的一个图是（ ）

A． B． C． D．

5．设M，N是球心O的半径OP上的两点，且NP=MN=OM，分别过N，M，O作垂线于OP的面截球得三个圆，则这三个圆的面积之比为：（ ）

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A．3，5，6 B．3，6，8 C．5，7，9 D．5，8，9

6．已知α、β是两个不同的平面，m、n是两条不重合的直线，则下列命题中正确的是（ ）

A．若m∥α，α∩β=n，则m∥n B．若m⊥α，n⊥β，α⊥β，则m⊥n

C．若α⊥β，α∩β=n，m⊥n，则m⊥β D．若m⊥α，m⊥n，则n∥α

7．已知A，B两点均在焦点为F的抛物线y2=2px（p＞0）上，若，线段AB的中点到直线的距离为1，则p的值为（ ）

A．1 B．1或3 C．2 D．2或6

8．设双曲线=1（0＜a＜b）的半焦距为c，直线l过（a，0）（0，b）两点，已知原点到直线l的距离为，则双曲线的离心率为（ ）

A．2 B． C． D．

9．在正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，动点P在底面ABCD内，且P到棱AD的距离与到面对角线BC1的距离相等，则点P的轨迹是（ ）

A．线段 B．椭圆的一部分

C．双曲线的一部分 D．抛物线的一部分

10．若直线mx+ny﹣5=0与圆x2+y2=5没有公共点，则过点P（m，n）的一条直线与椭圆的公共点的个数是（ ）

A．0 B．1 C．2 D．1或2

11．已知矩形ABCD，AB=1，BC=．将△ABD沿矩形的对角线BD所在的直线进行翻折，在翻折过程中（ ）

A．存在某个位置，使得直线AC与直线BD垂直

B．存在某个位置，使得直线AB与直线CD垂直

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C．存在某个位置，使得直线AD与直线BC垂直

D．对任意位置，三对直线“AC与BD”，“AB与CD”，“AD与BC”均不垂直

12．设（x﹣1）﹣ax+2a恰有小于1两个零点，则a的取值范围是（ ）

A． B． C． D．

二、填空题

13．一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积为

．

14．2012年1月1日，某地物价部门对该地的5家商场的某商品一天的销售量及其价格进行调查，5家商场该商品的售价x元和销售量y件之间的一组数据如表所示，由散点图可知，销售量y与价格x之间有较好的线性相关关系，其线性回归直线方程是=﹣3.2x+，则a= ．

价格x（元） 9 9.5 10 10.5 11

销售量y（件） 11 10 8 6 5

15．已知直线l1：4x﹣3y+6=0和直线l2：x=﹣1，抛物线y2=4x上一动点P到直线l1和直线l2的距离之和的最小值是 ．

16．双曲线关于两坐标对称，且与圆x2+y2=10相交于点P（3，﹣1），若此圆过点P的切线与双曲线的一条渐近线平行，此双曲线的方程为 ．

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三、解答题

17． 2012年“双节”期间，高速公路车辆较多．某调查公司在一服务区从七座以下小型汽车中按进服务区的先后每间隔50辆就抽取一辆的抽样方法抽取40名驾驶员进行询问调查，将他们在某段高速公路的车速（km/t）分成六段：（60，65），[65，70），[70，75），[80，85），[85，90）后得到如图的频率分布直方图．

（1）某调查公司在采样中，用到的是什么抽样方法？

（2）求这40辆小型车辆车速的众数和中位数的估计值．

（3）若从车速在[60，70）的车辆中任抽取2辆，求车速在[65，70）的车辆至少有一辆的概率．

18．如图，在棱长为1的正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，点E是棱AB上的动点．

（1）求证：DA1⊥ED1；

（2）若直线DA1与平面CED1成角为45°，求的值．

19．已知动圆C过点（1，0），且于直线x=﹣1相切．

（1）求圆心C的轨迹M的方程；

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（2）A，B是M上的动点，O是坐标原点，且，求证：直线AB过定点，并求出该点坐标．

20．四棱锥P﹣ABCD中，PA⊥底面ABCD，且PA=AB=AD=，AB∥CD，∠ADC=90°．

（1）在侧棱PC上是否存在一点Q，使BQ∥平面PAD？证明你的结论；

（2）求证：平面PBC⊥平面PCD；

（3）求平面PAD与平面PBC所成锐二面角的余弦值．

21．已知平面上的动点P（x，y）及两个定点A（﹣2，0），B（2，0），直线PA，PB的斜率分别为K1，K2且K1K2=﹣

（1）求动点P的轨迹C方程；

（2）设直线L：y=kx+m与曲线 C交于不同两点，M，N，当OM⊥ON时，求O点到直线L的距离（O为坐标原点）．

22．已知函数f（x）=x2+2x+a•lnx．

（1）若函数f（x）在区间（0，1]上恒为单调函数，求实数a的取值范围；

（2）当t≥1时，不等式f（2t﹣1）≥2f（t）﹣3恒成立，求实数a的取值范围．

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2015-2016学年重庆市巴蜀中学高二（上）期末数学试卷（理科）

参考答案与试题解析

一、选择题

1．从集合A={2，3，﹣4}中随机选取一个数记为k，则函数y=kx为单调递增的概率为（ ）

A． B． C． D．

【考点】几何概型．

【专题】集合思想；综合法；概率与统计．

【分析】列举基本事件，运用公式计算即可．

【解答】解：∵集合A={2，3，﹣4}中随机选取一个数记为k，

∴函数y=kx，即为；y=2x，y=3x，y=﹣4x，共三个函数，

∵单调递增的概率为；y=2x，y=3x，共两个函数，

∴概率为，

故选：D．

【点评】本题考查了古典概率的题目，关键是确定基本事件，利用古典概率的计算公式计算即可．

2．设双曲线的渐近线方程为3x±2y=0，则a的值为（ ）

A．4 B．3 C．2 D．1

【考点】双曲线的简单性质．

【专题】计算题；圆锥曲线的定义、性质与方程．

【分析】由题意，，即可求出a的值．

【解答】解：由题意，，

∴a=2，

故选：C．

【点评】本题主要考查了双曲线的简单性质．属基础题．

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3．如图，设圆弧x2+y2=1（x≥0，y≥0）与两坐标轴正半轴围成的扇形区域为M，过圆弧上中点A做该圆的切线与两坐标轴正半轴围成的三角形区域为N．现随机在区域N内投一点B，若设点B落在区域M内的概率为P，则P的值为（ ）

A． B． C． D．

【考点】几何概型．

【专题】数形结合；定义法；概率与统计．

【分析】根据条件求出A的坐标，以及过A的直线方程，求出对应的面积，利用几何概型的概率公式进行求解即可．

【解答】解：∵A是圆弧上的中点，

∴A（1，1），

则OA的斜率为k=1，

则过A的直线方程为y﹣1=﹣（x﹣1），即y=﹣x+2，

则直线y=﹣x+2与坐标轴的交点为（2，0），（0，2）对应三角形的面积S==2，

M的面积S==，

则点B落在区域M内的概率为P==，

故选：B

【点评】本题主要考查几何概型的概率的计算，根据直线和圆的位置关系求出切线方程，以及对应的区域面积是解决本题的关键．

4．如图，点P、Q、R、S分别在正方体的四条棱上，并且是所在棱的中点，则直线PQ与RS是异面直线的一个图是（ ）

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A． B． C． D．

【考点】异面直线的判定．

【专题】空间位置关系与距离．

【分析】利用一面直线的定义和正方体的性质，逐一分析各个选项中的2条直线的位置关系，把满足条件的选项找出来．

【解答】解：A 中的PQ与RS是两条平行且相等的线段，故选项A不满足条件．

B 中的PQ与RS是两条平行且相等的线段，故选项B也不满足条件．

D 中，由于PR平行且等于SQ，故四边形SRPQ为梯形，

故PQ与RS是两条相交直线，它们和棱交与同一个点，故选项D不满足条件．

C 中的PQ与RS是两条既不平行，又不相交的直线，故选项C满足条件．

故选 C

【点评】本题主要考查异面直线的定义，正方体的性质，判断2条直线的位置关系，属于基础题．

5．设M，N是球心O的半径OP上的两点，且NP=MN=OM，分别过N，M，O作垂线于OP的面截球得三个圆，则这三个圆的面积之比为：（ ）

A．3，5，6 B．3，6，8 C．5，7，9 D．5，8，9

【考点】球面距离及相关计算．

【专题】计算题．

【分析】先求截面圆的半径，然后求出三个圆的面积的比．

【解答】解：设分别过N，M，O作垂线于OP的面截球得三个圆的半径为r1，r2，r3，球半径为R，则：

∴r12：r22：r32=5：8：9∴这三个圆的面积之比为：5，8，9

故选D

【点评】此题重点考查球中截面圆半径，球半径之间的关系；考查空间想象能力，利用勾股定理的计算能力．