数值分析-常微分方程初值问题的解法

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常微分方程初值问题数值解法的比较

数值计算实践—课程设计报告

课题名称 常微分方程初值问题数值解法的比较 完成时间 2013-1-17

姓名 班级 学号 成绩

一. 实验目的及内容

1实验目的：（1） 了解常微分方程初值问题的理论背景以及初值问题稳定性、收敛性的研究；

（2） 熟练掌握欧拉法、改进欧拉法、龙格-库塔法以及截断误差分析；

（3） 比较欧拉法、改进欧拉法及龙格-库塔法，能够选择合适的方法进行问题的研究计算；

2实验内容：求微分方程)10(1)0('xyyy（欧拉法求解）

求微分方程)10(1)0(2'xyyxyy（改进欧拉法求解）

求微分方程)10(1)0()1log(1'xyxy（龙格-库塔求解）

根据实验的结果进行分析，了解一般方法的的优缺点，稳定性，收敛性以及截断误差的分析，针对相应问题拿出有效方法得出最优的结果。

二．相关背景知识介绍以及初值问题稳定性的研究：

在科学与工程问题中，常微分方程表述物理量的变化规律，应用非常广泛，比如，天体运动的轨迹，机器人控制，化学反应过程的描述和控制以及电路瞬态过程分析等。这些问题中要求解随时间变化的物理量，即位置函数tty),(表示时间，而微分方程描述了未知函数与它的一阶或高阶导数之间的关系。

考虑一阶常微分方程的初值问题 000')(],,[),,(yxybxxyxfy，如果存在实数,0L使

1 / 1 得,,|,|),(|),(|212121RyyyyLyxfyxf则称f关于y满足利普希茨条件，L称为利普希茨常数。

对于常微分方程初值问题000')(),,(ytyttytfy，考虑初值0y的扰动是问题的解)(ty发生偏差的情形。若t时)(ty的偏差被控制在有界范围内，则称该初值问题是稳定的，否则该初值问题不稳定的。

第２５卷第２期　

２０１２年６月　海南师范大学学报（自然科学版）　

Ｊｏｕｒｎａｌ　ｏｆ　Ｈａｉｎａｎ　Ｎｏｒｍａｌ　Ｕｎｉｖｅｒｓｉｔｙ（Ｎａｔｕｒａｌ　Ｓｃｉｅｎｃｅ）　Ｖｏ１．２５　Ｎｏ．２　

Ｊｕｎ．２０１２　

常微分方程初值问题的基本数值解法分析　

林爽　，张杰　（１．大连工业大学信息科学与工程学院，辽宁大连１１６０３４；　２．辽宁师范大学数学学院，辽宁大连１１６０２９）　

摘要：微分方程的数值解法在科学技术及生产实践等多方面应用广泛．文章分析了构造常　

微分方程初值问题数值解法的三种常用基本方法，差商代替导数法，数值积分法及待定系数法，　推导出了Ｅｕｌｅｒ系列公式及三阶龙格一库塔公式，指出了各公式的优劣性及适用条件，并对Ｅｕｌｅｒ　

公式的收敛性、稳定性进行了分析．　

关键词：常微分方程；数值解法；收敛性；稳定性　

中图分类号：Ｏ　２４１．８１　文献标识码：Ａ　文章编号：１６７４—４９４２（２０１２）０２—０１　１９—０３　

Ａｎａｌｙｓｉｓ　ｏｆ　Ｂａｓｉｃ　Ｎｕｍｅｒｉｃａｌ　Ｓｏｌｕｔｉｏｎｓ　ｆｏｒ　ｔｈｅ　Ｉｎｉｔｉａｌ　Ｖａｌｕｅ　

Ｐｒｏｂｌｅｍ　ｏｆ　Ｏｒｄｉｎａｒｙ　Ｄｉｆｅｒｅｎｔｉａｌ　Ｅｑｕａｔｉｏｎｓ　

ＬＩ　Ｎ　Ｓｈｕａｎｇ’。ＺＨＡＮＧ　Ｊｉｅ　（１．Ｓｃｈｏｏｌ　ｏｆＩｎｆｏｒｍａｔｉｏｎ　Ｓｃｉｅｎｃｅ　ａｎｄ　Ｅｎｇｉｎｅｅｒｉｎｇ，Ｄａｌｉａｎ　Ｐｏｌｙｔｅｃｈｎｉｃ　Ｕｎｉｖｅｒｓｉｔｙ，Ｄａｌｉａｎ　１　１　６０３４，Ｃｈｉｎａ；　２．Ｓｃｈｏｏｌ　ｏｆＭａｔｈａｍａｔｉｃｓ，ＬｉａｏｎｉｎｇＮｏｒｍａｌ　Ｕｎｉｖｅｒｓｉｔｙ，Ｄａｌｉａｎ　１１６０２９，Ｃｈｉｎａ）　

Ａｂｓｔｒａｃｔ：Ｔｈｅ　ｎｕｍｅｒｉｃａｌ　ｓｏｌｕｔｉｏｎ　ｏｆ　ｄｉｆｆｅｒｅｎｔｉａｌ　ｅｑｕａｔｉｏｎｓ　ｉｓ　ｗｉｄｅｌｙ　ｕｓｅｄ　ｉｎ　ｓｃｉｅｎｃｅ，ｔｅｃｈｎｏｌｏｇｙ，ｐｒｏｄｕｃｔｉｏｎ　ｐｒａｃｔｉｃｅｓ　

常微分方程初值问题的数值解法

摘要:本文分别介绍了Euler法和常用的标准四阶龙格——库塔（Runge-Kutta）公式法来求常微分方程初值问题的数值解。通过两种不同方法求出解的结果，并将结果进行比较，分析两种方法的优劣。

关键字: Euler 四阶龙格-库塔 常微分方程初值问题 数值解

一、问题描述与分析

分别使用Euler法和四阶龙格-库塔公式法求解常微分方程初值问题的数值解。

例如：1)0()10(2222'ytttyy

1、微分方程的概念

未知的函数以及它的某些阶的导数连同自变量都由一已知方程联系在一起的方程称为微分方程。如果未知函数是一元函数，称为常微分方程。常微分方程的一般形式为0)yy,yy,(t,(n)F。

如果未知函数是多元函数，成为偏微分方程。联系一些未知函数的一组微分方程组称为微分方程组。微分方程中出现的未知函数的导数的最高阶解数称为微分方程的阶。若方程中未知函数及其各阶导数都是一次的，称为线性常微分方程，一般表示为b(t)(t)yay(t)(t)yn1-1)-(n1(n)naay。若上式中n1,2,i(t)，ia,均与t无关，称之为常系数。

2、常微分方程的解析解

（1）微分方程可直接通过积分求解.例如,一解常系数常微分方程1ydtdy，可以转化形式为dtydy1，两边同时积分可以得到通解1-tcey，其中c为任意常数。

(2)有些常微分方程可用一些技巧,如分离变量法,积分因子法,常数变异法,降阶法等可化为可积分的方程而求得解析解.

线性常微分方程的解满足叠加原理,从而他们的求解可归结为求一个特解和相应齐次微分方程的通解.一阶变系数线性微分方程总可用这一思路求得显式解。高阶线性常系数微分方程可用特征根法求得相应齐次微分方程的基本解，再用常数变异法求特解。

一阶常微分方程与高阶微分方程可以互化，已给一个n阶方程)y,y,y(t,1)-(n(n)fy。设yy1，yy2，，1)-(nyyn，可将上式转化为以解方程组：)y,,y,y(t,n211-3221fyyyyyyynnn 反过来，在许多情况下，一阶微分方程组也可化为高阶方程。所以一阶微分方程组与高阶常微分方程的理论与方法在许多方面是相通的，一阶常系数线性微分方程组也可用特征根法求解。

第七章 常微分方程初值问题的数值解法

--------学习小结

一、本章学习体会

通过本章的学习，我了解了常微分方程初值问题的计算方法，对于解决那些很难求解出解析表达式的，甚至有解析表达式但是解不出具体的值的常微分方程非常有用。在这一章里求解常微分方程的基本思想是将初值问题进行离散化，然后进行迭代求解。在这里将初值问题离散化的方法有三种，分别是差商代替导数的方法、Taylor级数法和数值积分法。常微分方程初值问题的数值解法的分类有显示方法和隐式方法，或者可以分为单步法和多步法。在这里单步法是指计算第n+1个y的值时,只用到前一步的值，而多步法则是指计算第n+1个y的值时，用到了前几步的值。通过对本章的学习，已经能熟练掌握如何用Taylor级数法去求解单步法中各方法的公式和截断误差，但是对线性多步法的求解理解不怎么透切，特别是计算过程较复杂的推理。

在本章的学习过程中还遇到不少问题，比如本章知识点多，公式多，在做题时容易混淆，其次对几种R-K公式的理解不够透彻，处理一个实际问题时，不知道选取哪一种公式，通过课本里面几种方法的计算比较得知其误差并不一样，，这个还需要自己在往后的实际应用中多多实践留意并总结。

二、本章知识梳理

常微分方程初值问题的数值解法一般概念

步长h，取节点0,(0,1,...,)nttnhnM，且MtT，则初值问题000'(,),()yftyttTyty的数值解法的一般形式是

1(,,,...,,)0,(0,1,...,)nnnnkFtyyyhnMk

显示单步法

7.2.1 显示单步法的一般形式

1(,,),(0,1,...,1)nnnnyyhtyhnM

定理7.2.1 设增量函数(,,)nntyh在区域00{(,,)|,||,0}DtyhttTyhh内对变量y满足Lipschitz条件，即存在常数K，使对D内任何两点1(,,)tuh和2(,,)tuh，不等式1212|(,,)(,,)|||tuhtuhKuu成立，那么，若单步法的局部截断误差1nR与1(1)php同阶，即11()pnROh，则单步法的整体截断误差1n与ph同阶，即1()pnOh。(且称单步法为p阶方法)