微专题22“隐形圆”问题
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题组一利用圆的定义(到定点的距离等于定长的点的轨迹)确定隐形圆
1.－6
5，0
解析：由题意得圆(x－2a)2＋(y－a－3)2＝4与圆x2＋y2＝1相交，所以2
－1<（2a）2＋（a＋3）2
<1＋2，1<5a2＋6a＋9<9，5a2＋6a＋8>0，
5a2＋6a<0，解得a∈－6
5，0
.
2.2－2
2≤a≤2＋2
2解析：因为PA、PB与O相切，且∠APB＝60°，则∠APO＝30°，
所以OP＝OA
sin30°＝2，则存在使∠APB＝60°的点P等价于在圆M上存在与点O距离为2的
点．圆M：(x－a)2＋(y－a＋4)2＝1的圆心M(a，a－4)在直线y＝x－4上，所以OM＝
a2＋（a－4）2，所以圆M上到点O的最小距离为OM－1＝a2＋（a－4）2－1，最大距离
为OM＋1＝a2
＋（a－4）2
＋1，存在满足题意有点P即OM－1≤2≤OM＋1，解不等式得
2－2
2≤a≤2＋2
2.
1.8解析：设A(x1，y1)，B(x2，y2)，AB中点M(x′，y′）．因为x′＝x1＋x2
2，y′＝y1＋y2
2，
所以OA→
＋OB→
＝(x
1＋x
2，y
1＋y
2)＝2OM→
，因为C：x2＋y2－6x＋5＝0，所以(x－3)2＋y2＝4.
圆心C(3，0)，半径CA＝2，因为点A，B在圆C上，AB＝23，所以CA2－CM2＝1
2AB2
，
即CM＝1.点M在以C为圆心，半径r＝1的圆上，所以OM≤OC＋r＝3＋1＝4，所以|OA→
＋
OB→
|≤8.
题组二已知定点A，B，动点P满足PA→
·PB→
＝λ确定隐形圆
1.[4，6]解析：圆C：(x－3)2＋(y－4)2＝1的圆心C(3，4)，半径r＝1，设P(a，b)
在圆C上，则AP→
＝(a＋m，b)，BP→
＝(a－m，b)，因为∠APB＝90°，所以AP→
⊥BP→
，所以AP→
·BP→
＝(a＋m)(a－m)＋b2＝0，所以m2＝a2＋b2＝OP2，所以m的最大值即为OP的最大值，等于
1隐形圆(4大模型与6类题型)
第一部分【模型梳理与题型目录】
隐形圆模型是初中数学中的重要知识点，常用于解决一些看似没有直接使用圆的知识但实
际上需要运用圆的性质来解决的问题，隐形圆常常用于解决最值问题.本专题梳理了隐形圆四大
模型，供大家参考使用.
【模型1】 定点定长模型
【模型分析】(1)出现共端点、等线段时，可以利用圆的定义构造辅助圆；(2)如图1，若OA=OB
=OC，则A、B
、C在以O为圆心，
OA为半径的圆上.由圆周角定理可得：∠ABC=
1
2∠AOC,
∠ACB=1
2∠AOB,
∠BAC=1
2∠BOC.
图1
【模型2】 90°圆周角模型
【模型分析】如图2，在△ABC中，∠C=90°，点C为动点，则点C的轨迹是以AB为直径的⊙O
(不包含A、B两点)．
注：作出辅助圆是关键，计算时结合求点圆、线圆、最值等方法进行相关计算．
图2
应用：常用于解决直角三角形中动点的轨迹问题。
【模型3】 定弦定角模型
【模型分析】固定的线段只要对应固定的角度，那么这个角的顶点轨迹为圆的一部分．
如图①，在⊙O中，若弦AB长度固定，则弦AB所对的圆周角都相等；(注意：弦AB所对的劣弧
(AB)上也有圆周角，需要根据题目灵活运用)
2如图②，若有一固定线段AB及线段AB所对的∠C大小固定，根据圆的知识可知点C不唯一．当
∠C<90
°时，点C在优弧上运动；当∠C=90
°时，点C在半圆上运动，且线段AB是⊙O的直径；当∠C
>90
°时，点C在劣弧上运动．
【模型4】四点共圆模型
【模型分析】在四边形ABCD中，若∠A+∠C=1800
，则A、B、C、D在圆O上，称之为A、B、C、D四点
共圆.
图3
应用：常用于解决四点共圆的问题，如角度相等、线段最值等问题.
【题型1】定点定长模型......................................................3;
【模型2】 90°圆周角模型...................................................6;
类型一：定点到动点定长
点A为定点，点B为动点，AB为定长，
则点B的轨迹为圆心为点A，半径为AB的圆。
【经典例题1】如图，在矩形ABCD中，AB=4，AD=6，E是AB边的中点，F是线段BC边上的动点，将△EBF沿EF所在直线折叠得到△EB′F，连接B′D，则B′D的最小值是___.
【解析】如图所示：当∠BFE=∠B′EF，点B′在DE上时，此时B′D的值最小，
根据折叠的性质，△EBF≌△EB′F，
∴EB′⊥B′F，
∴EB′=EB，
∵E是AB边的中点，AB=4，
∴AE=EB′=2， ∵AD=6，
∴DE=1022622，
∴B′D=102−2.
练习1-1如图③，矩形ABCD中，AB=3，BC=4，点E是AB边上一点，且AE=2，点F是BC边上的任意一点，把△BEF沿EF翻折，点B的对应点为G，连接AG、CG，四边形AGCD的面积是否存在最小值，若存在，求这个最小值及此时BF的长度。若不存在，请说明理由。
【解析】（3）如图3，
△四边形ABCD是矩形，
△CD=AB=3，AD=BC=4，△ABC=△D=90°，根据勾股定理得，AC=5，
△AB=3，AE=2，
△点F在BC上的任何位置时，点G始终在AC的下方，
设点G到AC的距离为h，
△S四边形AGCD=S△ACD+S△ACG=21AD×CD+21AC×h=21×4×3+21×5×h=25h+6，
△要四边形AGCD的面积最小，即：h最小，
△点G是以点E为圆心，BE=1为半径的圆上在矩形ABCD内部的一部分点，
△EG△AC时，h最小， 由折叠知△EGF=△ABC=90°，
延长EG交AC于H，则EH△AC，
在Rt△ABC中，sin△BAC=ACBC=54，
在Rt△AEH中，AE=2，sin△BAC=AEEH=54，
△EH=54AE=58，
△h=EH-EG=58-1=53
△S四边形AGCD最小=25h+6=25×53+6=215．
爱“躲猫猫”的圆之“圆”形毕露
几何求最值是初中数学难点之一，而“隐圆”问题便是常见的一类考题，此类问题综
合性强（常常会牵扯到三角形、四边形、甚至坐标系等问题），隐蔽性强（不容易想到），加上部分题目的计算量很大，很容易造成同学们的丢分。近年来在全国各地的中考或名校的模拟考试中经常会出现“隐圆”求最值的问题(2014、2015、2016、2017、2018连续五年陕西中考的压轴题的最后一问都牵扯到了隐圆）。此类题目出现的位置一般是在填空的最后一
题或是压轴题，基本都是难题。广大学生在此问题上经常丢分，甚至已经到了谈“隐圆”变色的地步。为此宁老师和靳老师针对此类问题进行归类整理，希望对同学们有所帮助。
何谓“隐圆”？所谓“隐圆”就是题目中明明有圆或者牵扯到圆但做题的人就是看不见的圆，需要通过对题目的分析，找到题目条件隐藏下的圆。然后利用圆中的性质使得模糊问题清晰化、复杂问题简单化。那么哪些条件就会隐藏圆呢？
方案一：当题目中出现到定点的距离等于定长的点（或动点）即可考虑“隐圆”。
此即“定点定长存隐圆”。
例1：如图在四边形OABC中，AB=OA=OB=OC，则∠ACB的大小为______度。
分析：此题若直接从四边形问题入手可能会比较棘手，甚至无从下手；但若观察到题目中A、 例 1 题图 B、C三点到O点的长度相等，想到“定点定长存隐圆”。那么A、B、C三点就在以O为圆心以OA为半径的圆上，此时问题就很容易解决了。
例2：如图，地面OB与墙OA垂直，在墙与地面斜放一根8米长的竹竿MN，当竹竿的N端点由O点开始向右平移直至竹竿的M端点与O点重合时结束，此时竹竿的中点P的运动长度是
分析：要想求出P点运动的长度首先要知道P点是怎么走的也就是要知道P点的运动轨迹，观察到题目中P点到O点的距离始终不变（直角三角形斜边中线等于斜边一半），即可确定
P点的运动轨迹为以O为圆心以OP长为半径的弧，那么所求问题也就随之解决。
