2017-2018学年安徽师大附中高二(上)期末数学试卷(理科)
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2017-2018学年安徽师大附中高二（上）期末数学试卷（理科）
一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1．（5分）命题“∃x0∈（0，+∞），lnx0=x0﹣1”的否定是（ ）
A．∃x0∈（0，+∞），lnx0≠x0﹣1 B．∃x0∉（0，+∞），lnx0=x0﹣1
C．∀x∈（0，+∞），lnx≠x﹣1 D．∀x∉（0，+∞），lnx=x﹣1
2．（5分）向量=（2，4，x），=（2，y，2），若||=6，且⊥，则x+y的值为（ ）
A．﹣3 B．1 C．﹣3或1 D．3或1
3．（5分）若抛物线y2=2px的焦点与椭圆=1的右焦点重合，则p的值为（ ）
A．2 B．﹣2 C．﹣4 D．4
4．（5分）已知x为实数，条件p：x2＜x，条件q：＞2，则p是q的（ ）
A．充要条件 B．必要不充分条件
C．充分不必要条件 D．既不充分也不必要条件
5．（5分）在四面体O﹣ABC中，点M在OA上，且OM=2MA，N为BC的中点，若，则使G与M，N共线的x的值为（ ）
A．1 B．2 C． D．
6．（5分）已知F1，F2为双曲线C：x2﹣=1的左、右焦点，点P在C上，|PF1|=2|PF2|，则cos∠F1PF2=（ ）
A． B． C． D．
7．（5分）已知m，n为两个不相等的非零实数，则方程mx﹣y+n=0与nx2+my2=mn所表示的曲线可能是（ ）
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A． B．
C． D．
8．（5分）下列四个命题：
①命题“若x2﹣3x+2=0，则x=1”的逆否命题为“若x≠1，则x2﹣3x+2≠0”；
②“”是“cos2α=0”的充分不必要条件；
③若p∧q为假，p∨q为真，则p，q有且仅有一个是真命题；
④对于命题p：∃x∈R，使得x2+x+1＜0，则¬p：∀x∈R，使得x2+x+1≥0．
其中，正确的命题个数为（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
9．（5分）椭圆x2+2y2=4的以（1，1）为中点的弦所在直线的方程是（ ）
A．x﹣4y+3=0 B．x+4y﹣5=0 C．x﹣2y+1=0 D．x+2y﹣3=0
10．（5分）若椭圆=1与双曲线=1有相同的焦点F1、F2，P是这两条曲线的一个交点，则△F1PF2的面积是（ ）
A．4 B．2 C．1 D．
11．（5分）如图所示，已知椭圆的方程为，A为椭圆的左顶点，B，C在椭圆上，若四边形OABC为平行四边形，且∠OAB=45°，则椭圆的离心率等于（ ）
A． B． C． D．
12．（5分）抛物线y2=2px（p＞0）的焦点为F，准线为l，A，B是抛物线上的两
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个动点，且满足∠AFB=．设线段AB的中点M在l上的投影为N，则的最大值是（ ）
A． B． C． D．
二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）
13．（5分）若命题“∃x∈R，使x2+（a﹣1）x+1＜0”是假命题，则实数a的取值范围为 ．
14．（5分）若圆锥曲线的焦距与实数k无关，则它的焦点坐标为 ．
15．（5分）如图，60°的二面角的棱上有A，B两点，直线AC，BD分别在这个二面角的两个半平面内，且都垂直于AB，已知AB=4，AC=6，BD=8，则CD的长为 ．
16．（5分）以下四个关于圆锥曲线的命题中：
①双曲线与椭圆有相同的焦点；
②在平面内，设A、B为两个定点，P为动点，且|PA|+|PB|=k，其中常数k为正实数，则动点P的轨迹为椭圆；
③方程2x2﹣3x+1=0的两根可分别作为椭圆和双曲线的离心率；
④过双曲线的右焦点F作直线l交双曲线于A、B两点，若|AB|=4，则这样的直线l有且仅有3条．
其中真命题的序号为
（写出所有真命题的序号）．
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三、解答题（本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）
17．（10分）设命题p：方程x2+2mx+1=0有两个不相等的负根，命题q：∀x∈R，x2+2（m﹣2）x﹣3m+10≥0恒成立．
（1）若命题p、q均为真命题，求m的取值范围；
（2）若命题p∧q为假，命题p∨q为真，求m的取值范围．
18．（12分）已知椭圆+=1（a＞b＞0）的左、右焦点分别为F1，F2，点P在此椭圆上，且PF1⊥F1F2，|PF1|=，|PF2|=．
（1）求椭圆的方程；
（2）若直线l过圆x2+y2+4x﹣2y=0的圆心M且交椭圆于A，B两点，且A，B关于点M对称，求直线l的方程．
19．（12分）如图，四棱锥P﹣ABCD的底面ABCD为矩形，PA⊥底面ABCD，BC=4，AB=PA=2，M为线段PC的中点，N在线段BC上，且BN=1．
（Ⅰ）证明：BM⊥AN；
（Ⅱ）求直线MN与平面PCD所成角的正弦值．
20．（12分）已知点P（1，m）在抛物线C：y2=2px（p＞0）上，F为焦点，且PF=3．
（1）求抛物线C的方程；
（2）过点T（4，0）的直线l交抛物线C于A，B两点，O为坐标原点，求•的值．
21．（12分）在如图所示的五面体中，面ABCD为直角梯形，AB∥EF，∠BAD=∠ADC=，平面ADE⊥平面ABCD，EF=2DC=4AB=4，△ADE是边长为2的正三角形．
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（Ⅰ）证明：BE⊥平面ACF；
（Ⅱ）求二面角A﹣BC﹣F的余弦值．
22．（12分）已知双曲线C的中心在坐标原点，焦点在x轴上，离心率e=，虚轴长为2．
（Ⅰ）求双曲线C的标准方程；
（Ⅱ）若直线l：y=kx+m与双曲线C相交于A，B两点（A，B均异于左、右顶点），且以AB为直径的圆过双曲线C的左顶点D，求证：直线l过定点，并求出该定点的坐标．
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2017-2018学年安徽师大附中高二（上）期末数学试卷（理科）
参考答案与试题解析
一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1．（5分）命题“∃x0∈（0，+∞），lnx0=x0﹣1”的否定是（ ）
A．∃x0∈（0，+∞），lnx0≠x0﹣1 B．∃x0∉（0，+∞），lnx0=x0﹣1
C．∀x∈（0，+∞），lnx≠x﹣1 D．∀x∉（0，+∞），lnx=x﹣1
【分析】根据特称命题的否定是全称命题即可得到结论．
【解答】解：命题的否定是：∀x∈（0，+∞），lnx≠x﹣1，
故选：C．
【点评】本题主要考查含有量词的命题的否定，比较基础．
2．（5分）向量=（2，4，x），=（2，y，2），若||=6，且⊥，则x+y的值为（ ）
A．﹣3 B．1 C．﹣3或1 D．3或1
【分析】由||=6，且⊥，可得=6，4+4y+2x=0，解出即可得出．
【解答】解：∵||=6，且⊥，
∴=6，4+4y+2x=0，
解得，或．
则x+y=﹣3或1．
故选：C．
【点评】本题考查了向量模的计算公式、向量垂直与数量积的关系，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．
3．（5分）若抛物线y2=2px的焦点与椭圆=1的右焦点重合，则p的值为（ ）
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A．2 B．﹣2 C．﹣4 D．4
【分析】根据题意，由椭圆的标准方程可得其右焦点坐标，即可得抛物线y2=2px的焦点为（2，0），由抛物线的性质计算可得答案．
【解答】解：根据题意，椭圆的方程为：=1，
其中a2=6，b2=2，则c==2，
则其右焦点坐标为（2，0），
若抛物线y2=2px的焦点与椭圆=1的右焦点重合，
即抛物线y2=2px的焦点为（2，0），
则有=2，即p=4，
故选：D．
【点评】本题考查抛物线、椭圆的几何性质，关键是由椭圆的标准方程求出焦点坐标．
4．（5分）已知x为实数，条件p：x2＜x，条件q：＞2，则p是q的（ ）
A．充要条件 B．必要不充分条件
C．充分不必要条件 D．既不充分也不必要条件
【分析】根据不等式的性质，结合充分条件和必要条件的定义即可得到结论．
【解答】解：由x2＜x得0＜x＜1．由＞2，得0＜x＜．
所以p是q的必要不充分条件，
故选：B．
【点评】本题主要考查充分条件和必要条件的判断，根据不等式的性质是解决本题的关键．
5．（5分）在四面体O﹣ABC中，点M在OA上，且OM=2MA，N为BC的中点，若，则使G与M，N共线的x的值为（ ）
A．1 B．2 C． D．
【分析】由已知可得，．假设G与M，N共线，则存在
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实数λ使得=+，与比较可得．
【解答】解：，．
假设G与M，N共线，则存在实数λ使得=+，
与比较可得：=，，
解得x=1．
故选：A．
【点评】本题考查了向量的共线定理、向量的平行四边形法则，属于基础题．
6．（5分）已知F1，F2为双曲线C：x2﹣=1的左、右焦点，点P在C上，|PF1|=2|PF2|，则cos∠F1PF2=（ ）
A． B． C． D．
【分析】根据双曲线的定义，结合|PF1|=2|PF2|，利用余弦定理，即可求cos∠F1PF2的值．
【解答】解：双曲线方程x2﹣=1，则a=1，b=，c=2，
设|PF1|=2|PF2|=2m，
根据双曲线的定义，|PF1|﹣|PF2|=2a可得m=1，
∴|PF1|=4，|PF2|=2，
∵|F1F2|=2c=4，
∴cos∠F1PF2===．
故选：A．
【点评】本题考查了双曲线的定义与简单几何性质的应用问题，也考查了余弦定理的运用问题，是中档题目．
7．（5分）已知m，n为两个不相等的非零实数，则方程mx﹣y+n=0与nx2+my2=mn
