常用几何模型总结

第 1 页

⑵

A 2013

l ∥l

l ∥,  ∥B l ⊥l ⊥  ∥C l ⊥l ∥ ∥D  ⊥ l ∥l ⊥  第 6 讲立体几何中的常用模型

§6.1 平行与垂直的直观感受

【例1】 ⑴

A

B 2013

m ∥

m ∥m，n

n∥m∥ m∥n

 ∥C m∥n m ⊥n ⊥D m ∥ ⊥ m⊥ 

A  ⊥ B C  ⊥  ⊥   ∩  = l l ⊥ D  ⊥  第 2 页

. §6.2 借助正（长）方体模型研究问题

【例2】

A

B

C

D

第 3 页

【例3】 ABCD  A1B1C1D1 P

.

BD1

【例4】

ABCD

.

AB  CD  2

AC  BD  3

AD  BC §6.3 外接球问题

【例5】

3

【例6】 2019 A  BCD AB  BCD AB  BD CB  CD  1 A  BCD P

5

1 2

2 第 4 页

1 E F §6.4 等体积法

【例7】 ABCD  A1B1C1D1

D1  EDF

A1

D1

C1

B1

E F

D C

A B

【例8】

EF  1

2 ABCD  A1B1C1D1

△AEF

C1

E

D1 1 B1D1

A  CEF .

B1

F

A1

C B

D A AA1 B1C

E F 第 5 页

初中数学常用几何模型及构造方法大全，

掌握它轻松搞定压轴题！

几何是初中数学中非常重要的内容，一般会在压轴题中进行考察，而掌握几何模型能够为

考试节省不少时间，这次整理了常用的各大模型，一定要认真掌握哦~

全等变换

平移：平行等线段（平行四边形）

对称：角平分线或垂直或半角

旋转：相邻等线段绕公共顶点旋转对称全等模型

说明：以角平分线为轴在角两边进行截长补短或者作边的垂线，形成对称全等。两边进行边或者角的等量代换，产生联系。垂直也可以做为轴进行对称全等。

对称半角模型

说明：上图依次是45°、30°、22.5°、15°及有一个角是30°直角三角形的对称（翻折），

翻折成正方形或者等腰直角三角形、等边三角形、对称全等。旋转全等模型

半角：有一个角含1/2角及相邻线段

自旋转：有一对相邻等线段，需要构造旋转全等

共旋转：有两对相邻等线段，直接寻找旋转全等

中点旋转：倍长中点相关线段转换成旋转全等问题

旋转半角模型

说明：旋转半角的特征是相邻等线段所成角含一个二分之一角，通过旋转将另外两个和为二分

之一的角拼接在一起，成对称全等。

自旋转模型

构造方法：遇60度旋60度，造等边三角形; 遇90度旋90度，造等腰直角;

遇等腰旋顶点，造旋转全等; 遇中点旋180度，造中心对称.

共旋转模型

说明：旋转中所成的全等三角形，第三边所成的角是一个经常考察的内容。通过“8”字模型可

以证明。

模型变形

说明：

模型变形主要是两个正多边形或者等腰三角形的夹角的变化，另外是等腰直角三角形与正方形的混用。

当遇到复杂图形找不到旋转全等时，先找两个正多边形或者等腰三角形的公共顶点，围绕公共

顶点找到两组相邻等线段，分组组成三角形证全等。

中点旋转：

说明：两个正方形、两个等腰直角三角形或者一个正方形一个等腰直角三角形及两个图形顶点

连线的中点，证明另外两个顶点与中点所成图形为等腰直角三角形。证明方法是倍长所要证等

腰直角三角形的一直角边，转化成要证明的等腰直角三角形和已知的等腰直角三角形（或者正方形）公旋转顶点，通过证明旋转全等三角形证明倍长后的大三角形为等腰直角三角形从而得

初中常用几何模型及构造方法全覆盖

几何是初中数学中非常重要的内容，一般会在压轴题中进行考察，而掌握几何模型能够为考试节省不少时间。

全等变换

平移：平行等线段（平行四边形）

对称：角平分线或垂直或半角

旋转：相邻等线段绕公共顶点旋转

对称全等模型

说明：以角平分线为轴在角两边进行截长补短或者作边的垂线，形成对称全等。两边进行边或者角的等量代换，产生联系。垂直也可以做为轴进行对称全等。

对称半角模型

说明：上图依次是45°、30°、22.5°、15°及有一个角是30°直角三角形的对称（翻折），翻折成正方形或者等腰直角三角形、等边三角形、对称全等。

旋转全等模型

半角：有一个角含1/2角及相邻线段

自旋转：有一对相邻等线段，需要构造旋转全等

共旋转：有两对相邻等线段，直接寻找旋转全等

中点旋转：倍长中点相关线段转换成旋转全等问题

旋转半角模型

说明：旋转半角的特征是相邻等线段所成角含一个二分之一角，通过旋转将另外两个和为二分之一的角拼接在一起，成对称全等。

自旋转模型

构造方法：

遇60度旋60度，造等边三角形

遇90度旋90度，造等腰直角

遇等腰旋顶点，造旋转全等

遇中点旋180度，造中心对称

共旋转模型

说明：旋转中所成的全等三角形，第三边所成的角是一个经常考察的内容。通过“8”字模型可以证明。

模型变形

说明：模型变形主要是两个正多边形或者等腰三角形的夹角的变化，另外是等腰直角三角形与正方形的混用。

当遇到复杂图形找不到旋转全等时，先找两个正多边形或者等腰三角形的公共顶点，围绕公共顶点找到两组相邻等线段，分组组成三角形证全等。

中点旋转

说明：两个正方形、两个等腰直角三角形或者一个正方形一个等腰直角三角形及两个图形顶点连线的中点，证明另外两个顶点与中点所成图形为等腰直角三角形。证明方法是倍长所要证等腰直角三角形的一直角边，转化成要证明的等腰直角三角形和已知的等腰直角三角形（或者正方形）公旋转顶点，通过证明旋转全等三角形证明倍长后的大三角形为等腰直角三角形从而得证。

_________________

个性化辅导讲义

年 级： 时 间 年 月 日

课 题 蝴蝶模型

教学目标

1.熟记蝴蝶模型，

2.学会使用蝴蝶模型解决问题。

3.学着对平面图形进行对比，培养发现特征的能力。

教 学 内 容

【温故知新】

默写公式：

【知识梳理】

模型三 蝴蝶模型

任意四边形中的比例关系(“蝴蝶定理”)：

S4S3S2S1ODCBA

①1243::SSSS或者1324SSSS

②1243::AOOCSSSS

蝴蝶定理为我们提供了解决不规则四边形的面积问题的一个途径。通过构造模型，一方面可以使不规则四边形的面积关系与四边形内的三角形相联系；另一方面，也可以得到与面积对应的对角线的比例关系。

板块一 任意四边形模型

【例题精讲】

例1 如图，某公园的外轮廓是四边形ABCD，被对角线AC、BD分成四个部分，△AOB面积为1平方千米，△BOC面积为2平方千米，△COD的面积为3平方千米，公园由陆地面积是6．92平方千米和人工湖组成，求人工湖的面积是多少平方千米？

ODCBA

【举一反三】

1、如图，四边形被两条对角线分成4个三角形，其中三个三角形的面积已知。

求：⑴三角形BGC的面积；⑵AG:GC=？

ABCDG321

例2 如图，四边形ABCD的对角线AC与BD交于点O(如图所示)。如果三角形ABD的面积等于三角形BCD的面积的，且AO=2，DO=3，那么CO的长度是DO的长度的_________倍。

ABCDO

【举一反三】

1、如图，平行四边形ABCD的对角线交于O点，CEF△、OEF△、ODF△、BOE△的面积依次是2、4、4和6。求：⑴求OCF△的面积；⑵求GCE△的面积。

OGFEDCBA

2、图中的四边形土地的总面积是52公顷，两条对角线把它分成了4个小三角形，其中2个小三角形的面积分别是6公顷和7公顷。那么最大的一个三角形的面积是多少公顷？