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几何综合常见模型汇总

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中点辅助线:

2. 已知等腰三角形底边中点，可以考虑与顶点连接，用“三线合一”

3. 已知三角形一边的中点，可以考虑三角形的中位线

4. 已知直角三角形斜边中点，可以考虑构造斜边中线

5. 有些题目中的中点不直接给出，此时需要找出隐藏的中点，例如等腰三角形底边的中点,

直角三角形斜边的中点等，然后添加辅助线△ ABC中AD是BC边中线

截长补短：

若遇到证明线段的和差关系时，通常考虑截长补短法，构造全等三角形

1、 截长：在较长线段中截取一段等于另两条中的一条，然后证明剩下部分等于另一条

2、 补短：将一条较短线段延长，延长部分等于另一条较短线段，然后证明新线段等于 较长线段；或延长一条较短线段等于较长线段，然后证明延长部分等于另一条较短线段

角平分线:

1：角平分线的性质

1）角平分线把一个角分成两个相等的角 2）角平分线上的点到角两边的距离相等

2:角平分线的判定

1 ）角的内部，把角分成两个相等的角的线段或射线就是这个角的角平分线

2）角的内部，到角两边距离相等的点在这个角的平分线上 1.掌握倍长中线或类中线构造全等三角形方法

N

E

3:角平分线常用辅助线做法

1 ）图中有角平分线，可向两边做垂线

若PA^OM于点A,可以过P点作PB丄ON于点B,贝U PB=PA;

2）角平分线加垂线，三线合一试试看

若APX OP于点P,可以延长 AP交ON于点B,构造△ AOB是等腰三角形，P是底边AB的

中点;

3）图中有角平分线，可以将图对折看，对称以后关系现，截长补短是关键

4）角平分线平行线，等腰三角形必呈现

若过P点作PQ// ON交OM于点Q如图2-2（d），可以构造△ POC是等腰三角形若点A是射线OM上任意一点，可以在 ON上截取 OB=OA 连接 PB,构造△ OPB^^ OPA. （C(b)

手拉手:

1等边三角形

△ OAB △ OCD匀为等边三角形

①^OAO^^OBD ；② 厶疋甘= 6tr|； I③0E平分 厶EDI条件：△ OAB △ OCD匀为等腰直角三角形

结论：①^OAC^AOffD •，② SER二切户I ； I③0£平分 厶ED【 导角核心： ‘ ‘ 条件：

结论： 导角核心:

AOB =

/ COD

结论：①甘D •，② 厶EE =

ZAOB\；③平分ZAED\

核心条件：OA^ O”；OC = 0。；

IZAOB = ZCODo E

对角互补：

★对角互补，邻边相等

③亠"JCE =几小+比应=三°「

惨ZDCET』文AO建长集上干点"时

条件：① ZAOli = ZDCE 三 90°| ⑦ 0C 平分 ZAOB\

结论：① CD = I② OE- OD = de 思考：将条件“ 0C平分/ AOB 换为“ CD = CB ”

条件：①ZAOE M2ZDCE = 12W ②0C平分 乙40剧

结论：① CD = CE\ ② OD + OE = OC

条件：① 厶加，SCEslM尸一加I； I② 结论：① 0C 平分

ZAOB I② 0D + 0E = 20C - eosdf|

CDFF = DF + fi£|② KEF周^^为正方形ABCD周长一半

或者:

①正方形ABCD ;②EF = DF + &£ ；结论：ZMf = 4乎

条件：①正方粘ARCD :②ZEAF^45^\ 结论：®EF^DF-BE\

条件：①等腱直用AABQ: 结论：BD'+ CE- = DE-\半角模型：

1、90° 含 45°

条件: ①正方形ABCD :②ZEA A =45°

结论:

条件:

总结: 角含半角要旋转 4

E D

F C

F

若少AE歳转到AABC外部时

结论：+CE-=DE"仍然成立

正方形弦图（一线三等角）

三垂直全等模型基本图形

合集下载

全等三角形常见的几何模型

全等三角形常见的几何模型

全等三角形常见的几何模型

集团文件版本号：（M928-T898-M248-WU2669-I2896-DQ586-M1988）

1、绕点型（手拉手模型）

（1）自旋转：，造中心对称遇中点旋全等遇等腰旋顶角，造旋转，造等腰直角旋遇，造等边三角形旋遇自旋转构造方法0000018090906060

（2）共旋转（典型的手拉手模型）

例1、在直线ABC的同一侧作两个等边三角形△ABD和△BCE，连接AE与CD，证明：

（1） △ABE≌△DBC

（2） AE=DC

（3） AE与DC的夹角为60。

（4） △AGB≌△DFB

（5） △EGB≌△CFB

（6） BH平分∠AHC

（7） GF∥AC

变式练习1、如果两个等边三角形△ABD和△BCE，连接AE与CD，证明：

（1） △ABE≌△DBC

（2） AE=DC

（3） AE与DC的夹角为60。

（4） AE与DC的交点设为H,BH平分∠AHC

变式练习2、如果两个等边三角形△ABD和△BCE，连接AE与CD，证明：

(1)△ABE≌△DBC

(2)AE=DC

(3)AE与DC的夹角为60。

（4）AE与DC的交点设为H,BH平分∠AHC HFGEDABC

3、（1）如图1，点C是线段AB上一点，分别以AC，BC为边在AB的同侧作等边△ACM和△CBN，连接AN，BM．分别取BM，AN的中点E，F，连接CE，CF，EF．观察并猜想△CEF的形状，并说明理由．

（2）若将（1）中的“以AC，BC为边作等边△ACM和△CBN”改为“以AC，BC为腰在AB的同侧作等腰△ACM和△CBN，”如图2，其他条件不变，那么（1）中的结论还成立吗？若成立，加以证明；若不成立，请说明理由．

例4、例题讲解：

1. 已知△ABC为等边三角形，点D为直线BC上的一动点（点D不与B,C重合），以AD为边作菱形ADEF(按A,D,E,F逆时针排列），使∠DAF=60°,连接CF.

几何五大模型蝴蝶模型

几何五大模型蝴蝶模型

_________________

个性化辅导讲义

年 级： 时 间 年 月 日

课 题 蝴蝶模型

教学目标

1.熟记蝴蝶模型，

2.学会使用蝴蝶模型解决问题。

3.学着对平面图形进行对比，培养发现特征的能力。

教 学 内 容

【温故知新】

默写公式：

【知识梳理】

模型三 蝴蝶模型

任意四边形中的比例关系(“蝴蝶定理”)：

S4S3S2S1ODCBA

①1243::SSSS或者1324SSSS

②1243::AOOCSSSS

蝴蝶定理为我们提供了解决不规则四边形的面积问题的一个途径。通过构造模型，一方面可以使不规则四边形的面积关系与四边形内的三角形相联系；另一方面，也可以得到与面积对应的对角线的比例关系。

板块一 任意四边形模型

【例题精讲】

例1 如图，某公园的外轮廓是四边形ABCD，被对角线AC、BD分成四个部分，△AOB面积为1平方千米，△BOC面积为2平方千米，△COD的面积为3平方千米，公园由陆地面积是6．92平方千米和人工湖组成，求人工湖的面积是多少平方千米？

ODCBA

【举一反三】

1、如图，四边形被两条对角线分成4个三角形，其中三个三角形的面积已知。

求：⑴三角形BGC的面积；⑵AG:GC=？

ABCDG321

例2 如图，四边形ABCD的对角线AC与BD交于点O(如图所示)。如果三角形ABD的面积等于三角形BCD的面积的，且AO=2，DO=3，那么CO的长度是DO的长度的_________倍。

ABCDO

【举一反三】

1、如图，平行四边形ABCD的对角线交于O点，CEF△、OEF△、ODF△、BOE△的面积依次是2、4、4和6。求：⑴求OCF△的面积；⑵求GCE△的面积。

OGFEDCBA

2、图中的四边形土地的总面积是52公顷，两条对角线把它分成了4个小三角形，其中2个小三角形的面积分别是6公顷和7公顷。那么最大的一个三角形的面积是多少公顷？

2024中考数学常见几何模型归纳总结—三角形中的倒角模型-高分线模型、双(三)垂直模型

2024中考数学常见几何模型归纳总结—三角形中的倒角模型-高分线模型、双(三)垂直模型

2024中考数学常见几何模型归纳总结—三角形中的倒角模型-高分线模型、

双（三）垂直模型

近年来各地考试中常出现一些几何倒角模型，该模型主要涉及高线、角平分线及角度的计算（内角和

定理、外角定理等）。熟悉这些模型可以快速得到角的关系，求出所需的角。本专题高分线模型、双垂直模

型、子母型双垂直模型（射影定理模型）进行梳理及对应试题分析，方便掌握。

模型1：高分线模型

条件：AD是高，AE是角平分线结论：∠

DAE=

2BC

例1．（2023秋·浙江·八年级专题练习）如图，在ABC

中，30A，

50B，CD为ACB

的平分线，

CEAB

于点E，则ECD

度数为（）

A．5B．8C．10D．12

【答案】C

【分析】依据直角三角形，即可得到40BCE

，再根据30A,

CD平分ACB

,即可得到BCD的度数,

再根据DCEBCDBCE进行计算即可．

【详解】解：50,BCEAB

,40BCE,又30A,

CD平分ACB,11

180503050

22()BCDBCA

，

504010DCEBCDBCE,故选：C．

【点睛】本题考查的是三角形内角和定理，熟知三角形内角和是180

是解答此题的关键．

例2．（2023春·河南南阳·七年级统考期末）如图，在△ABC中，∠1＝∠2，G为AD的中点，BG的延长线

交AC于点E，F为AB上的一点，CF与AD垂直，交AD于点H，则下面判断正确的有（）

①AD是△ABE的角平分线；②BE是△ABD的边AD上的中线；

③CH是△ACD的边AD上的高；④AH是△ACF的角平分线和高

A．1个B．2个C．3个D．4个

【答案】B

【详解】解：①根据三角形的角平分线的概念，知AG是△ABE的角平分线，故此说法错误；

②根据三角形的中线的概念，知BG是△ABD的边AD上的中线，故此说法错误；

③根据三角形的高的概念，知CH为△ACD的边AD上的高，故此说法正确；

几何五大模型-汇总

几何五大模型-汇总

小学平面几何五大模型

一、 共角定理

两个三角形中有一个角相等或互补，这两个三角形叫做共角三角形．

共角三角形的面积比等于对应角 ( 相等角或互补角 ) 两夹边的乘积之比．

如图在 △ ABC 中， D, E 分别是 AB, AC 上的点如图 ⑴( 或 D 在 BA 的延长线上，

上) ，则

AC S△ABC :S△ADE (AB AC) :(AD AE)

E 在

证明：由 三角形面积公式 S=1/2*a*b*sinC 可推导出

若△ ABC 和△ ADE 中，

∠ BAC= ∠ DAE 或∠ BAC+ ∠ DAE=180 °，

S ABC AB AC 则 =

AE S ADE AD

二、等积模型

①等底等高的两个三角形面积相等；②两个三角形高相等，面积比等于它们的底之比；

两个三角形底相等，面积比等于它们的高之比；

如下图 S1 : S2 a : b

③夹在一组平行线之间的等积变形，如右图 S ACD S BCD；

反之，如果 △ ，则可知直线 △ △

△ AB 平行于 CD ． S ACD S BCD

④等底等高的两个平行四边形面积相等 ( 长方形和正方形可以看作特殊的平行四边形 ) ；

⑤三角形面积等于与它等底等高的平行四边形面积的一半；⑥两个平行四边形高相等，面积比等于它们的底之比；两个平行四边形底相 等，面积比等于它们的高之比．

A B

S1 S2 C D

a b

三、蝶形定理

1、任意四边形中的比例关系 ( “蝶形定理” ) ：

①S1:S2 S4:S3或者 S1 S3 S2 S4

② AO :OC S1 S2 : S4 S3

速记：上×下 =左×右

蝶形定理为我们提供了解决不规则四边形的面积问题的一个途径．通过构造模型，一方面可以使不规则四边形的面积关系与四边形内的三角形相联系；另一方面，也可以得到与面积对应的对角线的比例关系．