初一数学常用几何模型

初中数学几何模型大全+经典题型(含答案)

初中数学几何模型大全及经典题型（含答案）

全等变换

平移：平行线段平移形成平行四边形。

对称：以角平分线、垂线或半角作轴进行对称，形成对称全等。

旋转：相邻等线段绕公共顶点旋转形成旋转全等。

对称半角模型

通过翻折将直角三角形对称成正方形、等腰直角三角形或等边三角形。

旋转全等模型

半角：相邻等线段所成角含1/2角及相邻线段。

自旋转：通过旋转构造相邻等线段的旋转全等。

共旋转：通过寻找两对相邻等线段构造旋转全等。

中点旋转：将倍长中点相关线段转换成旋转全等问题。

模型变形

当遇到复杂图形找不到旋转全等时，先找两个正多边形或等腰三角形的公共顶点，围绕公共顶点找到两组相邻等线段，分组组成三角形证全等。

几何最值模型

对称最值：通过对称进行等量代换，转换成两点间距离及点到直线距离。

旋转最值：找到与所要求最值相关成三角形的两个定长线段，定长线段的和为最大值，定长线段的差为最小值。

剪拼模型

通过中点的180度旋转及平移改变图形的形状，例如将三角形剪拼成四边形或将矩形剪拼成正方形。

正方形的边长可以通过射影定理来求解。假设正方形的边长为x，那么正方形的对角线长为x√2.将正方形分成两个等腰直角三角形，可以得到等腰直角三角形的斜边长为x√2/2.因此，根据射影定理，可以得到等腰直角三角形的高为x/2，进而得到正方形的边长为x=x√2/2.

通过平移和旋转，可以将一个正方形变成另一个正方形。这可以通过旋转相似模型来实现。例如，两个等腰直角三角形可以通过旋转全等来实现形状的改变，而两个有一个角为300度的直角三角形可以通过旋转相似来实现形状的改变。更一般地，两个任意相似的三角形可以通过旋转成一定角度来实现旋转相似，其中第三边所成夹角符合旋转“8”字的规律。

在相似证明中，需要注意边和角的对应关系。相等的线段或比值在证明相似时可以通过等量代换来构造相似三角形。另外，从三垂线到射影定理的演变，再到内外角平分线定理，需要注意它们之间的相同和不同之处。相似、射影定理和相交弦定理（可以推广到圆幂定理）之间的比值可以转换成乘积，通过等线段、等比值和等乘积进行代换，可以得到需要的结论。

完整版)初中数学几何模型大全+经典题型(含答案)

通过将倍长中点相关线段进行旋转变换，可以构造出旋转全等模型。这种模型的特点是，将相邻等线段所成角的一半旋转后拼接在一起，形成对称全等。同时，也可以通过将两个等腰三角形或正多边形的夹角进行变化，来构造出模型变形。如果遇到复杂图形找不到旋转全等，可以先找到两个正多边形或等腰三角形的公共极点，然后围绕公共极点找到两组相邻等线段，分组组成三角形证全等。

幂定理可以用等线段、等比值、等乘积进行代换，从而将两个数之间的比值转换成乘积。在相似证明中，常用的辅助线是平行线，根据题目条件来确定比值并做出相应的平行线。

题目一：在半圆中，圆心为O，圆上有点C、E，CD垂直于AB，EF垂直于AB，EG垂直于CO。证明CD等于GF。

题目二：在正方形ABCD内部，点P满足∠PAD＝∠PDA＝15度。证明△PBC是正三角形。

题目三：在图中，ABCD、A1B1C1D1都是正方形，A2、B2、C2、D2分别是AA1、BB1、CC1、DD1的中点。证明A2B2C2D2是正方形。

题目四：在四边形ABCD中，AD＝BC，M、N分别是AB、CD的中点，AD、BC的延长线交MN于E、F。证明∠DEN＝∠F。

题目五：在△ABC中，H为垂心，O为外心，且OM垂直于BC于M。

1）证明AH等于2OM；

2）如果∠BAC等于60度，证明AH等于AO。

1.设P为正三角形ABC内任意一点，连接PA,PB,PC，由三角形不等式可得PA+PB>AB。PB+PC>BC。PC+PA>CA。将三式相加得到2PA+2PB+2PC>AB+BC+CA=3，即PA+PB+PC>3/2.又由于P到三角形三边的距离不超过1，所以PA+PB+PC<3，综上可得1.5≤PA+PB+PC<3，即所求不等式成立。

2.设P为正方形ABCD内任意一点，连接PA,PB,PC,PD。由于正方形四边相等，所以PA+PC=2，PB+PD=2.又由于P到四边的距离不超过1，所以PA+PB+PC+PD<4.将前两式相加得到PA+PB+PC+PD=2(PA+PB)/2+2(PC+PD)/2≥2√(PA·PB)+2√(PC·PD)。根据均值不等式，2√(PA·PB)+2√(PC·PD)≥4√(PA·PB·PC·PD)，所以PA+PB+PC+PD≥4√(PA·PB·PC·PD)。综上可得4√(PA·PB·PC·PD)＜4，即√(PA·PB·PC·PD)＜1，所以PA·PB·PC·PD<1，即所求最小值为1.

几何模型

A D

一、八字模型:

结论：

1、∠A+∠B=∠C+∠D

B C 2、AD+CD ＜AC+DB（外边之和小于内边之和）

A

二、 飞镖模型：

D 结论：1、∠A+∠B+∠C=∠D

2、AB+AC＞BD+DC （（外边之和大于内边之和）

B C

A E C

三、王冠模型：

结论：∠A+∠C=2∠E

B D

A

四、内角平分线模型

P 结论：∠P =900+12∠A

B

C

A

五、内角平分线模型

B C 结论：∠P =900 - 12∠A

P

A P 六、一内一外角平分线模型

结论：∠P = 12∠A

B C

一、 角平分线的六种用法

1、 两角相等

2、角平分线上任一点到角两边的距离相等

3、角的两边上关于角平分线对称两点的连线垂直于角平分线

4、角的两边上关于角平分线对称两点到角平分线上任意一点连线所组成的两个三角形全等（即：翻折及对称，对称即全等）

5、沿角一边上任一点做另一边的平行线与角平分线的相交，必构成一个等腰三角形

6、沿角一边上任一点做角平分线的平行线与角的另一边的反向延长线的相交，必构成一个等腰三角形

初中数学几何模型大全 + 经典题型（含答案）

全等变换

平移：平行等线段（平行四边形）

对称：角平分线或垂直或半角

旋转：相邻等线段绕公共顶点旋转

对称全等模型

说明：以角平分线为轴在角两边进行截长补短或者作边的垂线，形成对称全等。两边进行边或者角的等量代换，产生联系。垂直也可以做为轴进行对称全等。

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对称半角模型

说明：上图依次是 45 °、30 °、22.5 °、15 °及有一个角是 30 °直角三角形的对称（翻折），翻折成正方形或者等腰直角三角形、等边三角形、对称全等。

旋转全等模型

半角：有一个角含 1/2 角及相邻线段

自旋转：有一对相邻等线段，需要构造旋转全等

共旋转：有两对相邻等线段，直接寻找旋转全等

中点旋转：倍长中点相关线段转换成旋转全等问题

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旋转半角模型

说明：旋转半角的特征是相邻等线段所成角含一个二分之一角，

通过旋转将另外两个和为二分之一的角拼接在一起， 成对称全等。

自旋转模型

构造方法：

遇 60 度旋 60 度，造等边三角形

遇 90 度旋 90 度，造等腰直角

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遇等腰旋顶点，造旋转全等

遇中点旋 180 度，造中心对称

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共旋转模型

说明：旋转中所成的全等三角形， 第三边所成的角是一个经常考察的内容。通过“ 8”字模型可以证明。

模型变形

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说明：模型变形主要是两个正多边形或者等腰三角形的夹角的变

化，另外是等腰直角三角形与正方形的混用。

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当遇到复杂图形找不到旋转全等时， 先找两个正多边形或者等腰三角形的公共顶点， 围绕公共顶点找到两组相邻等线段， 分组组成三角形证全等。