最新初中数学--培优专题8-公式变形与字母系数方程(含答案)

初一数学基础知识讲义第一讲和绝对值有关的问题一、知识结构框图：数二、绝对值的意义：(1)几何意义：一般地，数轴上表示数a的点到原点的距离叫做数a的绝对值，记作|a|。

(2)代数意义：①正数的绝对值是它的本身；②负数的绝对值是它的相反数；③零的绝对值是零。

也可以写成：()()() ||0a aa aa a⎧⎪⎪=⎨⎪-⎪⎩当为正数当为0当为负数说明：（Ⅰ）|a|≥0即|a|是一个非负数；（Ⅱ）|a|概念中蕴含分类讨论思想。

三、典型例题例1．（数形结合思想）已知a、b、c在数轴上位置如图：则代数式 | a | + | a+b | + | c-a | - | b-c | 的值等于（ A ）A．-3a B． 2c－a C．2a－2b D．b解：| a | + | a+b | + | c-a | - | b-c |=-a-(a+b)+(c-a)+b-c=-3a分析：解绝对值的问题时，往往需要脱去绝对值符号，化成一般的有理数计算。

脱去绝对值的符号时，必须先确定绝对值符号内各个数的正负性，再根据绝对值的代数意义脱去绝对值符号。

这道例题运用了数形结合的数学思想，由a 、b 、c 在数轴上的对应位置判断绝对值符号内数的符号，从而去掉绝对值符号，完成化简。

例2．已知：z x <<0，0>xy ，且x z y >>， 那么y x z y z x --+++的值（ C ）A ．是正数B ．是负数C ．是零D ．不能确定符号 解：由题意，x 、y 、z 在数轴上的位置如图所示：所以分析：数与代数这一领域中数形结合的重要载体是数轴。

这道例题中三个看似复杂的不等关系借助数轴直观、轻松的找到了x 、y 、z 三个数的大小关系，为我们顺利化简铺平了道路。

虽然例题中没有给出数轴，但我们应该有数形结合解决问题的意识。

例3．（分类讨论的思想）已知甲数的绝对值是乙数绝对值的3倍，且在数轴上表示这两数的点位于原点的两侧，两点之间的距离为8，求这两个数；若数轴上表示这两数的点位于原点同侧呢？ 分析：从题目中寻找关键的解题信息，“数轴上表示这两数的点位于原点的两侧”意味着甲乙两数符号相反，即一正一负。

专项训练分式方程字母系数的确定类型一 利用分式方程的解求待定字母的值（或取值范围） 【方法点拨】已知分式方程的解（或解的范围），可求出待定字母的值（或取值范围），方法是: ①先将分式方程化为整式方程，并用待定字母的值表示出方程的解；②根据已知条件中方程的解（或解的范围）重新构造含待定字母的方程或不等式； ③解方程（或不等式），求出待定字母的值（或取值范围）； ④检验:排除解集内使分母等于零的值. 1.若关于x 的分式方程113=--x m 的解为x ＝2，则m 的值为（ ） A.5 B.4 C.3 D.22.关于x 的分式方程31112=----x x a x 的解为非负数，则a 的取值范围为____________. 3.若分式方程113122-=-++x mx x 的解是正数，求m 的取值范围.类型二 利用分式方程的增根求字母系数的值【方法点拨】分式方程的增根就是使最简公分母等于零的未知数的值，因此已知分式方程的增根求字母的值的一般步骤:①化分式方程为整式方程；②令最简公分母为0，确定出增根的值；③把增根代入整式方程即可求得相关字母的值. 4.若分式方程xx x x a x 221232=-+--有增根，则实数a 的取值是（ ）A.0或2B.4C.8D.4或8 5.已知关于x 的分式方程01122=+--+xx x x a 有增根，则a ＝____________. 类型三 利用分式方程无解问题求字母的值【方法点拨】原分式方程无解，要分两种情况讨论:①是去分母后的新的整式方程本身无解，也就是Ax ＝B 的形式，当x 的系数A ＝0时，整式方程不成立，无解；②是讨论原分式方程有增根，就是使最简公分母等于0的x 值，代入整式方程，即可求出a 的值.这两种情况均为无解的情况，不能漏解.6.若关于x 的分式方程3221+-=--x mx x 无解，则m 的值为____________. 7.若关于x 的分式方程x x x m 2132=--+无解，求m 的值.8.当m 为何值时，分式方程121312-+-=+x x x m 无解？类型四 利用分式方程有解问题求字母的值【方法点拨】使原分式方程有解，就是原分式方程的最简公分母不等于零，因此题的一般步骤是:①化分式方程为整式方程，用待定字母的值表示出方程的解；②方程有解即最简公分母不等于零，求出未知数的值；③根据①和②，重新构造含待定字母的不等式；④解出不等式即可.9.a 为何值时，关于x 的分式方程)1(163-+=-+x x ax x x 有根？10.若关于x 的方程323-=--x m x x 有解，求m 的取值范围.类型五 利用待定系数法求分式方程中字母系数的值【方法点拨】①将分式方程化为整式方程；②将方程右边去括号、合并同类项，整理成一般形式，构造恒等式；③根据恒等式中的对应项系数相等，重新构造二元一次方程组；④解方程组求出待定字母的值. 11.若等式13)1)(3(53++-=+--x bx a x x x 恒成立，则1788)2(22++--+b a ab b a 的值是（ ）A.50B.37C.29D.26 12.已知31)3)(1(5--+=-++x Bx A x x x （其中A ，B 为常数），求A 2020B 的值.巩固训练1.若关于x 的方程222-=-+x mx x 有增根，则m 的值与增根x 的值分别是（ ） A.m ＝-4，x ＝2 B.m ＝4，x ＝2 C.m ＝-4，x ＝-2 D.m ＝4，x ＝-2 2.已知关于x 的分式方程132=--x mx 的解是非正数，则m 的取值范围是（ ） A.m ≤3 B.m ＜3 C.m ＞-3 D.m ≥-3 3.若关于x 的方程1311+=-+x x ax 的解为整数，则满足条件的所有整数a 的和是（ ） A.6 B.0 C.1 D.94.关于x 的分式方程12221=--+-x a x 的解为正数，则a 的取值范围是____________. 5.阅读理解题:若111312-++=--x Nx M x x ，试求M ，N 的值解:等式右边通分，得 1)()1)(1()1()1(2--++=-+++-x MN x N M x x x N x M ，根据题意，得⎩⎨⎧=--=+13M N N M ，解之，得⎩⎨⎧-=-=12N M . 仿照上题解法解答下题:已知121)12)(1(45-+-=---x Bx A x x x ，试求A ，B 的值.6.已知关于x 的分式方程152=--+xx a x . （1）若分式方程的根是x ＝5，求a 的值； （2）若分式方程有增根，求a 的值； （3）若分式方程无解，求a 的值；（4）若分式方程一定有解，求a 的取值范围.参考答案1.В2.a ≤4 且a ＋33.解:去分母得2（x-1）＋3（x ＋1）＝m ，解得51-=m x ， ∵原方程的解为正数，∴x ＞0且x ＋1，即051>-m 且151≠-m .∴m ＞1且m ≠6.4. D5.16.17.解:去分母得:2mx ＋x 2-x 2＋3x ＝2x-6，即（2m-1）x ＋6＝0， 当2m ＋1＝0，即m ＝-0.5时，方程无解；当2m ＋1≠0，即m ≠-0.5时，由分式方程无解，得到x ＝0或x ＝3，把x ＝0代入整式方程得:m 无解；把x ＝3代入整式方程得:6m ＋9＝0，解得:m ＝-1.5. 综上，m 值为-1.5或-0.5.8.解:原题化成整式方程为:m （x-1）＝3＋2（x ＋1） ，即:（m-2）x ＝m ＋5 ①， 分式方程121312-+-=+x x x m 无解，所以方程①无解或方程D 有解，都是分式方程的增根， (1).当分式方程有增根，增根为x ＝1或x ＝-1,当x ＝1时，方程①没意义；当x ＝-1时，m ＝-23. (2).当m-2＝0时，即:m ＝2时，方程①无解.即:满足条件的m 的值为2或-23. 9.解:方程两边同时乘以x （x-1），得3（x-1）＋6x ＝x ＋a ， 整理得:8x ＝a ＋3，∵方程有根，∴x ≠1或x ≠0. 当x ＝1时，a ＝5，当x ＝0时，a ＝-3. ∴a ≠5或a ≠-3时，方程有根.10.解:方程两边同时乘x-3，x —2（x —3）＝m ，解得x ＝6-m. ∵关于x 的方程323-=--x mx x 有解，∴x-3≠0，即x ≠3. ∴6-m ≠3，即m ≠3. 答:m 的取值范围是m ≠3. 11. D 12.解：)3)(1()3()()3)(1()1()3(31-++--=-++--=--+x x B A x B A x x x B x A x B x A . ∴)3()(5B A x B A x +--=+.∴⎩⎨⎧-=+=-531B A B A ，解得⎩⎨⎧-=-=21B A ，∴A 2020 B ＝（-1）2020 ×（-2）＝-2. 巩固训练1. B2. A3. D4.a ＜5且a ≠35.解:已知等式变形得:)12)(1()1()12()12)(1(45---+-=---x x x B x A x x x ，即)()2(45B A x B A x +-+=-，可得⎩⎨⎧=+=+452B A B A ，解得:A ＝1，B ＝3.6.解:方程两边同时乘x （x-2）得:x （x ＋a ）-5（x-2）＝x （x-2）， x 2＋ax-5x ＋10＝x 2-2x ，整理得:（a-3）x ＝-10，（1）原分式方程的根是x ＝5，代人得:（a-3）·5＝-10，解得:a ＝1. （2）原分式方程有增根，则增根是x ＝2或者x ＝0，①当x ＝2时，代人整式方程得:（a-3）·2＝-10，解得:a ＝-2； ②当x ＝0时，代入整式方程得:（a-3）·0＝-10，此时不存在a 的值. ∴原分式方程有增根，a 的值是-2. （3）原分式方程无解，分两种情况讨论:①当a-3＝0时，方程无解，∴a ＝3.②当有增根x ＝0或x ＝2时，原分式方程无解， 当x ＝0时，不存在a 的值.当x ＝2时，（a-3）·2＝-10，解得:a ＝-2， ∴原分式方程无解，a 的值是3或-2.（4）方程两边同时乘以x （x-2）得，x （x ＋a ）-5（x-2）＝x （x-2）， 整理得:（a-3）x ＝-10，∴310--=a x . ∵原分式方程一定有解，∴a ≠3，且不会产生增根. ∴x ≠2或者x ≠0.∴①当310--a ≠0时，a ≠3； ②当310--a ≠2时，a ≠3且a ≠2，∴原分式方程一定有解，a 的取值范围是a ≠3且a ≠2.。

培优专题01 一元二次方程的解法◎方法一 直接开平方法（1）如果方程的一边可以化成含未知数的代数式的平方，另一边是非负数，可以直接开平方。

一般地，对于形如x 2=a(a ≥0)的方程，根据平方根的定义可解得x 1=a ,x 2=a -.（2）直接开平方法适用于解形如x 2 = p 或(mx+a)2 = p(m ≠0)形式的方程，如果p ≥0，就可以利用直接开平方法。

（3）用直接开平方法求一元二次方程的根，要正确运用平方根的性质，即正数的平方根有两个，它们互为相反数；零的平方根是零；负数没有平方根。

（4）直接开平方法解一元二次方程的步骤是：①移项；②使二次项系数或含有未知数的式子的平方项的系数为1；③两边直接开平方，使原方程变为两个一元二次方程；④解一元一次方程，求出原方程的根。

1．（2022·浙江绍兴·八年级期末）一元二次方程x 2 -1＝0的根是（ ）A ．x 1＝x 2＝1B ．x 1＝1，x 2＝-1C ．x 1＝x 2＝-1D ．x 1＝1，x 2＝02．（2022·安徽滁州·八年级期末）如果关于x 的方程2(9)4x m -=+可以用直接开平方法求解，那么m 的取值范围是（ ）A ．3m >B ．3m ³C ．4m >-D ．4m ³-3．（2022·全国·九年级课时练习）关于x 的方程2x p =．（1）当0p >时，方程有__________的实数根；（2）当0p =时，方程有__________的实数根；（3）当0p <时，方程__________．4．（2022·安徽合肥·八年级期末）方程290x -=的解为______．5．（2022·全国·九年级单元测试）将4个数a ，b ，c ，d 排成2行、2列，两边各加一条竖直线记成a cb d ，定义 ac ad bc b d=-，上述记号就叫做2阶行列式．(1)若210493x x=，求x 的值．(2)若11611x x x x +-=-+，求x 的值．◎方法二 配方法1、配方法的一般步骤可以总结为：一移、二除、三配、四开；2、把常数项移到等号的右边；3、方程两边都除以二次项系数；4、方程两边都加上一次项系数一半的平方，把左边配成完全平方式；5、若等号右边为非负数，直接开平方求出方程的解。

初中竞赛1 1、公式变形与字母系数方程【知识精读】含有字母系数的方程和只含有数字系数的一元一次方程的解法是相同的，但用含有字母的式子去乘以或除以方程的两边，这个式子的值不能为零。

公式变形实质上是解含有字母系数的方程对于含字母系数的方程，通过化简，一般归结为解方程型，讨论如下：（1）当时，此时方程为关于x的一元一次方程，解为：（2）当时，分以下两种情况：<1>若，原方程变为，为恒等时，此时x可取任意数，故原方程有无数个解；<2>若，原方程变为，这是个矛盾等式，故原方程无解。

含字母系数的分式方程主要有两类问题：（一）求方程的解，其中包括：字母给出条件和未给出条件：（二）已知方程解的情况，确定字母的条件。

下面我们一起来学习公式变形与字母系数方程【分类解析】1. 求含有字母系数的一元一次方程的解例1. 解关于x的方程分析：将x以外字母看作数字，类似解一元一次方程，但注意除数不为零的条件。

解：去分母得：移项，得2. 求含字母系数的分式方程的解例2. 解关于x的方程分析：字母未给出条件，首先挖掘隐含的条件，分情况讨论。

解：若a、b全不为0，去分母整理，得对是否为0分类讨论：（1）当，即时，有，方程无解。

（2）当，即时，解之，得若a、b有一个为0，方程为，无解若a、b全为0，分母为0，方程无意义检验：当时，公分母，所以当时，是原方程的解。

说明：这种字母没给出条件的方程，首先讨论方程存在的隐含条件，这里a、b全不为0时，方程存在，然后在方程存在的情况下，去分母、化为一元一次方程的最简形式，再对未知数的字母系数分类讨论求解。

当a、b中只有一个为0时，方程也存在，但无解；当a、b全为0时，方程不存在。

最后对字母条件归纳，得出方程的解。

3. 已知字母系数的分式方程的解，确定字母的条件例3. 如果关于x的方程有唯一解，确定a、b应满足的条件。

分析：显然方程存在的条件是：且解：若且，去分母整理，得当且仅当，即时，解得经检验，是原方程的解应满足的条件：且说明：已知方程有唯一解，显然方程存在的隐含条件是a、b全不为0，然后在方程存在的条件下，求有解且唯一的条件。

学生做题前请先回答以下问题问题1：一元一次方程的定义是什么？问题2：方程的解的定义是什么？问题3：如果两个方程的解之间存在一定关系，比如相等、互为倒数、互为相反数等，对于这类题，我们一般怎么处理？问题4：当a，b满足什么条件时，关于x的方程：（1）有唯一解；（2）有无穷多解；（3）无解．含字母的方程（综合）（北师版）一、单选题(共10道，每道10分)1.已知是关于的方程的解，则的值为( )A. B.C. D.答案：B解题思路：使方程左、右两边的值相等的未知数的值，叫做方程的解．因此将代入原方程得：解得：故选B．试题难度：三颗星知识点：方程的解2.若关于的方程的解为，则的值为( )A.0B.1C.3D.-3答案：C解题思路：使方程左、右两边的值相等的未知数的值，叫方程的解．把代入原方程，得解得故选C．试题难度：三颗星知识点：方程的解3.若是关于的方程的解，则的值为( )A.3B.1C. D.-3答案：D解题思路：使方程左、右两边的值相等的未知数的值，叫方程的解．把代入方程原方程，得解得故选D．试题难度：三颗星知识点：方程的解4.小马虎解方程去分母时，方程右边的-3忘记乘6，因而求得的解为x=2，则原方程的解为( )A.x=1B.x=6C.x=-13D.x=13答案：C解题思路：解：∵x=2为方程的解∴把x=2代入，得解得a=1把a=1代入，得解得x=-13故选C．试题难度：三颗星知识点：方程的解5.若方程2x+1=0与关于x的方程kx+2=2（k-x）是同解方程，则k的值为( )A. B.C. D.答案：A解题思路：解：解方程2x+1=0得∵题中两个方程是同解方程∴也是方程kx+2=2（k-x）的解∴解得故选A．试题难度：三颗星知识点：同解方程6.若方程2x-3=1的解与关于x的方程的解互为相反数，则k的值为( )A. B.C. D.答案：B解题思路：解：解方程2x-3=1得x=2解方程得∵题中两个方程的解互为相反数∴解得故选B．试题难度：三颗星知识点：同解方程7.若关于x的方程3x+a=0的解比5x-a=0的解小1，则a的值为( )A. B.C. D.答案：D解题思路：解：解方程3x+a=0得解方程5x-a=0得∵方程3x+a=0的解比5x-a=0的解小1∴解得故选D．试题难度：三颗星知识点：同解方程8.如果关于y的方程my=m的解为y=1，那么m应满足的条件是( )A.m≠0B.m为任意有理数C.m>0D.m<0答案：A解题思路：根据等式的基本性质2把my=m两边同时除以m，得到y=1，因此m≠0．故选A．试题难度：三颗星知识点：含字母系数的方程9.已知关于x的方程3x-5+a=bx+1有唯一解，则a与b必须满足的条件是( )A.b≠0B.a≠b且b≠3C.b≠3D.a=b且b≠3答案：C解题思路：关于x的方程即方程中x为未知数，其他字母视为常数．方程3x-5+a=bx+1可化为（3-b）x=6-a，当3-b≠0时，，方程有唯一解．所以若方程有唯一解，则3-b≠0，即b≠3．故选C．试题难度：三颗星知识点：含字母系数的方程10.若关于x的方程ax-2=0有正整数解，则整数a的值为( )A.2B.1或-2C.1D.1或2答案：D解题思路：解：原方程可化为ax=2∵该方程有解∴a≠0∴∵a为整数，且该方程有正整数解∴a=1或2．故选D．试题难度：三颗星知识点：含字母系数的方程。

培优专题06 浅谈两种特殊的一元一次方程【专题精讲】◎类型一：含字母系数的方程当方程的系数用字母表示时,这样的方程称为含字母系数方程,根据方程解的不同情况,在求方程的解及字母系数时,通常会把一元一次方程化成ax=b 的形式,结合方程解的特征,去寻求解题思路。

1.根据方程解的个数来确定字母系数当字母a,b 的取值范围未给出时,方程ax=b 的解应根据a,b 的取值范围分类讨论(1)当a ≠0时,方程有唯一解,x=-b a ;(2)当a=0,且b=0时,方程有无数解;(3)当a=0,且b ≠0时,方程无解。

1．（2021·全国·七年级单元测试）下列说法：①若0a b +=，且0ab ¹，则1x =是方程0ax b +=的解；②若0a b -=，且0ab ¹，则1x =-是方程0ax b +=的解；③若0ax b +=，则b x a =-；④若()230a a x b --+=是一元一次方程，则1a =．其中正确的结论是（ ）A ．只有①②B ．只有②④C ．只有①③④D ．只有①②④一元一次方程的定义，熟知方程的解就是能使方程左右两边相等的未知数的值是解答的关键，注意未知数的系数不为0．2．（2020·江西·宜春九中七年级期中）下列说法：①若0a b +=，且0ab ¹，则1x =是方程0ax b +=的解；②若0a b -=，且0ab ¹，则1x =-是方程0ax b +=的解；③若0ax b +=，则b x a=-；④若()230a a x b --+=是关于x 的一元一次方程，则1a =．其中正确的结论是（ ）A ．只有①B ．只有②④C ．只有①③④D ．只有①②④∴1a =或3a =（舍去）故④正确；故选：D ．【点睛】本题考查了一元一次方程、绝对值的知识；解题的关键是熟练掌握一元一次方程的定义和性质，从而完成求解．3．（2021·全国·七年级单元测试）若关于x 的方程(1)a x b +=（a ，b 为常数）的解是1b x a =+，则（ ）A ．方程ax b =的解是bx a=B ．方程bx a =的解是a x b =C ．方程(1)1a x +=的解是11x a =+D ．方程(1)1b x +=的解是11x b =+x=﹣1,那么 （ ）A ．a=bB ．a>bC ．a<bD ．a≠b【答案】C【分析】把x=-1代入方程计算即可求出．【详解】解：把x=﹣1代入（a ﹣b ）x=︱a ﹣b ︱得：--|-|a b a b ´=（）（1）∴b-a |-|a b =∵|-|0a b ³∴b-a 0³又∵（a﹣b）x=︱a﹣b︱有解，∴a-b0¹∴a b¹∴a<b故选C【点睛】此题考查了一元一次方程的解、绝对值的性质，掌握方程的解即为能使方程左右两边相等的未知数的值是解题的关键．2.根据方程定解的情况来确定字母系数5．（2020·辽宁大连·七年级期末）如果x＝25是关于x的方程5x﹣2m＝6的解，则m的值是（ ）A．﹣2B．﹣1C．1D．26．（2021·辽宁葫芦岛·七年级期末）如果x=-5是关于x的方程135x m+=-的解，那么m的值是（）A．-40B．-2C．-4D．4故答案为B.【点睛】本题主要考查一元一次方程的的解法，理解一元一次方程解的含义，就是将解代入这个方程，从而将方程变为以另个一个字母为未知数的一元一次方程即可.7．（2020·重庆万州·七年级期末）如果关于x 的方程3x +2k -5=0的解为x =-3，则k 的值是( )A ．2B ．-2C ．7D ．-7【答案】C【分析】把x=-3代入3x+2k-5=0得到关于k 的方程，然后解方程即可．【详解】把x=-3代入3x+2k-5=0得，-9+2k-5=0，解得k=7．故选C【点睛】本题考查了一元一次方程的解，熟悉等式的性质是解题的关键．8．（2018·江苏盐城·七年级阶段练习）已知1x =-是方程25x x m -=+的解，则m 的值是 （ ）A ．6B ．-6C ．-9D ．-5【答案】B【分析】根据一元一次方程的解的定义即可求出答案．【详解】将x=-1代入2x-5=x+m ，∴-2-5=-1+m∴m=-6故选B ．【点睛】本题考查一元一次方程的解法，解题的关键是熟练运用一元一次方程的解法，本题属于基础题型．3.根据方程的解相同来确定字母系数9．（2022·四川自贡·七年级期末）关于y 的方程ay －2＝4与方程y －1＝1的解相同，则a 的值是（ ）A ．2B ．3C ．4D ．－2【答案】B【分析】求出第二个方程的解得到y 的值，代入第一个方程即可求出a 的值．【详解】解：由y ﹣1＝1，得到y ＝2，将y＝2代入ay﹣2＝4中，得：2a﹣2＝4，解得：a＝3．故选：B．【点睛】本题考查同解方程，根据方程同解，得到关于a的方程是关键．10．（2022·江西赣州·七年级期末）若关于x的方程2153x-=与115kx-=的解相同，则k的值为（）A．8B．6C．-2D．2同，则k的值是（）A．1B．12-C．2-D．1-解，代入另一个方程中，求出待定字母的值．12．（2022·安徽安庆·七年级期末）若关于x 的方程35x m +=与25x m -=有相同的解，则x 的值是（ ）A ．3B ．4C ．4-D ．3-【答案】D【分析】根据两个方程有相同的解，可联立方程组，然后解二元一次方程组即可．【详解】解：联立方程组得3525x m x m +=ìí-=î①②，①3-´②式得5615m m +=-解得：4m =-，则x =-3故选：D ．【点睛】本题考查了方程的解与解二元一次方程组．解题的关键在于熟练掌握方程的解并正确的解方程组．4.根据方程整数解的情况来确定字母的系数13．（2019·重庆荣昌·七年级阶段练习）关于 x 的方程 ax - 2 = x +1有整数解，那么正整数 a 可能的取值有（ ）个.A ．1B ．2C ．3D ．4()43k x -=有正整数解，则自然数k 的值是（ ）A ．1或3B ．5C ．5或7D ．3或715．（2019·全国·七年级单元测试）若关于x的方程12mx-53=12(x-43)（其中m≠1）有负整数解，则整数m的值为（ ）A．2或3B．-1或2C．0或-1D．-1或0或2◎类型二：含绝对值的一元一次方程当一元一次方程中出现绝对值符号时,如何去掉绝对值符号往往是解决问题的关键,若绝对值符号内的数或者式子的正负性是确定的,则可以根据绝对值的代数意义去掉绝对值符号;若绝对值符号内的数或者式子的正负性是不确定的,则需要分类讨论解决问题,例如,由ax+bC,可得ax+b=c 或ax+b=ーc.含多重绝对值符号的一元一次方程问题也可仿照上述思想策略求解.16．（2022·全国·七年级课时练习）对于等式：123x -+=，下列说法正确的是（ ）A ．不是方程B ．是方程，其解只有2C ．是方程，其解只有0D ．是方程，其解有0和2【答案】D【分析】根据方程的定义及方程解的定义可判断选项的正确性．方程就是含有未知数的等式，方程的解是能使方程左右两边相等的未知数的值．【详解】解：|x-1|+2=3符合方程的定义，是方程，（1）当x≥1时，x-1+2=3，解得x=2；（2）当x ＜1时，1-x+2=3，解得x=0．故选：D ．【点睛】本题主要考查了方程的定义及方程解的定义，关键在于讨论x 的取值情况，从而通过解方程确定方程的解．17．（2017·四川宜宾·七年级阶段练习）已知关于x 的方程：mx +2=2(m -x )的解满足│x │-1=0，则m 的值是（ ）A ．2B ．4C ．2或0D ．4或0【答案】D【分析】根据题意可求出x 的值为1或-1，再将x =1和x =-1分别代入mx +2=2(m -x )，解出m 的值即可．【详解】解：由|x |-1=0，解得：x =1或x =-1，将x =1代入mx +2=2(m -x )，得：m +2=2m -2，解得：m =4；将x =-1代入mx +2=2(m -x )，得：2-m =2m +2，解得：m =0．故选：D ．【点睛】本题考查方程的解的定义，解绝对值方程和解一元一次方程．掌握方程的解就是使等式成立的未知数的值是解题关键．18．（2022·贵州黔西·七年级期末）若||2(3)80m m x ---=是关于x 的一元一次方程，则m 的值为（ ）A ．3-B ．3C ．3±D ．1A ．4-B ．4C ．10D ．4-或10【答案】D【分析】先根据题意求出（3-x ）的值，从而不难求出x 的值，注意绝对值等于正数的数有两个．【详解】解：∵|3|7x -=∴37x -=±∴x=-4或10故选：D ．【点睛】此题考查了绝对值，解题的关键是掌握绝对值的意义．【巩固训练】1．（2019·湖北鄂州·七年级期末）若关于x 的方程233n mx x +=-有无数解，则3m+n 的值为( )A ．﹣1B ．1C ．2D ．以上答案都不对22021··1a =10a x b -+=b 已知数）（ ）A ．有且只有一个解B ．无解C ．有无限多个解D ．无解或有无限多个解值是（ ）A ．3-B ．7-C ．3D ．7【答案】C【分析】把x=k-1代入-4x+2k=10得出-4（k-1）+2k=10，求出方程的解即可．【详解】把x=k-1代入-4x+2k=10得：-4（k-1）+2k=10，解得：k=-3，所以|k|=3故选C ．【点睛】本题考查了一元一次方程的解和解一元一次方程的应用，解此题的关键是得出关于k 的一元一次方程，难度适中．4．（2018·天津·南开翔宇学校七年级阶段练习）若x=-2是关于x 的方程2x+m=3的解，则关于x 的方程3（1-2x ）=m-1的解为（ ）A ．1-B ．12-C ．12D ．1【答案】B【分析】将x=-2代入2x+m=3求出m 的值，将所得m 的值代入3（1-2x ）=m-1，解之可（ ）A ．3-B ．2-C ．1-D ．1【答案】A【分析】先解方程5x ＋3＝3x −1，求出x 的值，然后再代入x −1＝k 中，进行计算即可．【详解】解：5x ＋3＝3x −1，5x −3x ＝−1−3，2x ＝−4，x ＝−2，把x ＝−2代入x −1＝k 中可得：k ＝−3，故A 正确．故选：A ．【点睛】本题考查了同解方程，熟练掌握同解方程是解题的关键．6．（2022·重庆彭水·七年级期末）如果方程20x -+=与关于x 的方程724x k -=的解相同，则k 的值为（ ）A ．5-B ．5C ．15-D ．15【答案】B【分析】先解第一个方程，再代入第二个方程求解．【详解】解：∵−x +2= 0，∴x =2，∵方程−x +2= 0与关于x 的方程7x −2k =4的解相同，∴7×2−2k =4，∴k =5．故选：B ．【点睛】本题考查同解方程的定义，正确求解第一个方程是求解本题的关键．7．（2020·山东临沂·八年级期中）已知a ，b ，c 为ABC V 的三边长b ，c 满足()2230b c -+-=，且a 为方程42x -=的解，则ABC V 的周长为（ ）A ．6B ．7C ．6或2D ．7或11A ．2B ．﹣3C ．2±D ．2或﹣39．（2022·全国·七年级课时练习）关于x 的方程7433mx x +=+有正整数解，则符合条件的整数m 的值是________．。

公式变形与字母系数方程【知识精读】含有字母系数的方程和只含有数字系数的一元一次方程的解法是相同的，但用含有字母的式子去乘以或除以方程的两边，这个式子的值不能为零。

公式变形实质上是解含有字母系数的方程对于含字母系数的方程，通过化简，一般归结为解方程ax b =型，讨论如下：（1）当a ≠0时，此时方程ax b =为关于x 的一元一次方程，解为：x b a =（2）当a =0时，分以下两种情况：<1>若b =0，原方程变为00x =，为恒等时，此时x 可取任意数，故原方程有无数个解；<2>若b ≠0，原方程变为00x b b =≠()，这是个矛盾等式，故原方程无解。

含字母系数的分式方程主要有两类问题：（一）求方程的解，其中包括：字母给出条件和未给出条件：（二）已知方程解的情况，确定字母的条件。

下面我们一起来学习公式变形与字母系数方程【分类解析】1. 求含有字母系数的一元一次方程的解例1. 解关于x 的方程2362ax b bx ac a b -=+≠c () 分析：将x 以外字母看作数字，类似解一元一次方程，但注意除数不为零的条件。

解：去分母得：1226ax bc bx ac -=+移项，得1262ax bx bc ac -=+()1262212602126a b x bc aca ba b x bc ac a b-=+≠∴-≠∴=+-2. 求含字母系数的分式方程的解例2. 解关于x 的方程a ax b b bx a x-++=2 分析：字母未给出条件，首先挖掘隐含的条件，分情况讨论。

解：若a 、b 全不为0，去分母整理，得()b a x ab 222-=-对b a 22-是否为0分类讨论：（1）当b a 220-=，即a b =±时，有02⋅=-x ab ，方程无解。

（2）当b a 220-≠，即a b ≠±时，解之，得x ab a b =-2 若a 、b 有一个为0，方程为12x x=，无解 若a 、b 全为0，分母为0，方程无意义检验：当x ab a b=-2时，公分母()()ax b bx a -+≠0，所以当ab a b ≠≠±0，时，x ab a b=-2是原方程的解。

专题08 还原与对消——方程的解与解方程阅读与思考解一元一次方程的一般步骤是：去分母、去括号、移项、合并同类项、系数化为1、得方程的解．我们在解一元一次方程时，既要学会按部就班(严格按步骤)地解方程，又要能随机应变(灵活打乱步骤)地解方程．方程的解是方程理论中的一个重要概念，对于方程解的概念，要学会从两个方面去运用： 1．求解：通过解方程，求出方程的解，进而解决问题． 2．代解：将方程的解代入原方程进行解题． 当方程中的未知数是用字母表示时，这样的方程叫含字母系数的方程，含字母系数的一元一次方程总可以化为ax ＝b 的形式，其方程的解由a ，b 的取值范围确定．字母a ，b 的取值范围确定或对解方程的过程并未产生实质性的影响，其解法同数字系数的一次方程解法一样；当字母a ，b 的取值范围未给出时，则需讨论解的情况，其方法是：(1)当a ≠0时，原方程有唯一解x ＝b a； (2)当a ＝0且b ＝0时，原方程有无数个解； (3)当a ＝0，b ≠0时，原方程无解；例题与求解[例1] 已知关于x 的方程3[x －2(x －3a )]＝4x 和312x a +－158x -＝1有相同的解，那么这个解是______．(北京市“迎春杯”竞赛试题)解题思路：建立关于a 的方程，解方程．[例2] 已知a 是任意有理数，在下面各说法中(1)方程ax ＝0的解是x ＝1 (2)方程ax ＝a 的解是x ＝1 (3)方程ax ＝1的解是x ＝1a(4)方程|a |x ＝a 的解是x ＝±1 结论正确的个数是( )．A ．0B ．1C ．2D ．3(江苏省竞赛试题)解题思路：给出的方程都是含字母系数的方程，注意a 的任意性． [例3] a 为何值时，方程3x ＋a ＝2x －16(x －12)有无数多个解？无解？ 解题思路：化简原方程，运用方程ax ＝b 各种解的情况所应满足的条件建立a 的关系式． [例4] 如果a ，b 为定值时，关于x 的方程23kx a +＝2＋6x bk-，无论k 为何值时，它的根总是1，求a ，b 的值．(2013年全国初中数学竞赛预赛试题)解题思路：利用一元一次方程方程的解与系数之间的关系求解．[例5] 已知p ，q 都是质数，并且以x 为未知数的一元一次方程px ＋5q ＝97的解是1，求代数式p 2－q 的值．(北京市“迎春杯”竞赛试题)解题思路：用代解法可得到p ，q 的关系式，进而综合运用整数相关知识分析．[例6] (1)在日历中(如图①)，任意圈出一竖列上相邻的三个数，设中间的一个为a ，则用含a 的代数式表示这三个数(从小到大排列)分别是______．(2)现将连续自然数1至2004按图中的方式排成一个长方形阵列，用一个正方形框出16个数(如图②)．①图中框出的这16个数的和是______；②在右图中，要使一个正方形框出的16个数之和等于2000，2004，是否可能？若不可能，试说明理由；若有可能，请求出该正方形框出的16个数中的最小数和最大数．(湖北省黄冈市中考试题)解题思路：(1)等差数列，相邻两数相差7．(2)①经观察不难发现，在这个方框里的每两个关于中心对称的数之和都等于44．如31与13，11与33，17与27都成中心对称的．于是易算出这16个数之和．②设框出的16个数中最小的一个数为a ，用a 表示出16个数之和，若算出的a 为自然数，则成立；不为自然数，则不可能．能力训练A 级1．若关于x 的方程(k －2)x |k －1|＋5k ＝0是一元一次方程，则k ＝______；若关于x 的方程(k ＋2)x 2＋4kx －5k ＝0是一元一次方程，则方程的解x ＝______．2．方程x －34[x －14(x －37)]＝316(x －37)的解是______． (广西赛区选拔赛试题)3．若有理数x ，y 满足(x ＋y －2)2＋|x ＋2y |＝0，则x 2＋y 3＝______．(“希望杯”邀请赛试题)4．若关于x 的方程a (2x ＋b )＝12x ＋5有无数个解，则a ＝______，b ＝______．(“希望杯”邀请赛试题)5．已知关于x 的方程9x －3＝kx ＝14有整数解，那么满足条件的所有整数k ＝______．(“五羊杯”竞赛试题)6．下列判断中正确的是( )．A ．方程2x －3＝1与方程x (2x －3)＝x 同解B ．方程2x －3＝1与方程x (2x －3)＝x 没有相同的解C ．方程x (2x －3)＝x 的解都是方程2x －3＝1的解D ．方程2x －3＝1的解都是方程x (2x －3)＝x 的解2003 20041997 1999 2000 2001 2002… … … (36)3738394041421996 29 30 31 32 33 34 35 22 23 24 25 26 27 28 15 16 17 18 19 20 21 8 9 10 11 12 13 14 1 2 3 4 5 6 7 图② 图① 日一二三四五六 6 7 8 9 10 11 12 1 2 3 4 5 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 307．方程12x ⨯＋23x ⨯＋…＋19951996x ⨯＝1995的解是( )． A ．1995 B ．1996 C ．1997 D ．1998 8．若关于x 的方程21x b x --＝0的解是非负数，则b 的取值范围是( )．A ．b ＞0B ．b ≥0C ．b ≠2D ．b ≥0且b ≠2(黑龙江省竞赛试题)9．关于x 的方程a (x －a )＋b (x ＋b )＝0有无穷多个解，则( )． A ．a ＋b ＝0 B ．a －b ＝0 C ．ab ＝0 D ．a b＝0 10．已知关于x 的一次方程(3a ＋8b )x ＋7＝0无解，则ab 是( )． A ．正数 B ．非正数 C ．负数 D ．非负数(“希望杯”邀请赛试题)11．若关于x 的方程kx －12＝3x ＋3k 有整数解，且k 为整数，求符合条件的k 值．(北京市“迎春杯”训练题) 12．已知关于x 的方程3x ＋a ＝||2a x －16(x －6)，当a 取何值时，(1)方程无解？(2)方程有无穷多解？(重庆市竞赛试题)B 级1．已知方程2(x ＋1)＝3(x －1)的解为a ＋2，则方程2[2(x ＋3)－3(x －a )]＝3a 的解为______．2．已知关于x 的方程2a x -＝33bx -的解是x ＝2，其中a ≠0且b ≠0，则代数式b a －a b的值是______．3．若k 为整数，则使得方程(k －1999)x ＝2001－2000x 的解也是整数的k 值有______个．(“希望杯”邀请赛试题)4．如果12＋16＋112＋…＋1(1)n n +＝20032004，那么n ＝______． (江苏省竞赛试题)5．用※表示一种运算，它的含义是A ※B ＝1A B +＋(1)(1)x A B ++，如果2※1＝53，那么3※4＝______．(“希望杯”竞赛试题)6．如图所示的两架天平保持平衡，且每块巧克力的质量相等，每个果冻的质量也相等，则一块巧克力的质量是______克．(河北省中考试题)7．有四个关于x 的方程 ①x －2＝－1②(x －2)＋(x －1)＝－1＋(x －1)第6题图③x ＝0 ④x －2＋11x -＝－1＋11x - 其中同解的两个方程是( )．A ．①与②B ．①与③C ．①与④D ．②与④8．已知a 是不为0的整数，并且关于x 的方程ax ＝2a 3－3a 2－5a ＋4有整数解，则a 的值共有( )．A ．1个B ．3个C ．6个D ．9个(“希望杯”邀请赛试题)9．(1)当a 取符合na ＋3≠0的任意数时，式子23ma na -+的值都是一个定值，其中m －n ＝6，求m ，n 的值．(北京市“迎春杯”竞赛试题)(2)已知无论x 取什么值，式子35ax bx ++必为同一定值，求a b b+的值． (“华罗庚杯”香港中学竞赛试题)10．甲队原有96人，现调出16人到乙队，调出后，甲队人数是乙队人数的k (k 是不等于1的正整数)倍还多6人，问乙队原有多少人？(上海市竞赛试题)11．下图的数阵是由77个偶数排成：用一平行四边形框出四个数(如图中示例)．(1)小颖说四个数的和是436，你能求出这四个数吗？ (2)小明说四个数的和是326，你能求出这四个数吗？第11题图…………………………………… 142 144 146 148 150 152 1543032343638404216 18 20 22 24 26 28 2 4 6 8 10 12 14。

初中数学分式的概念、运算及分式方程培优考试要求：例题精讲：模块一分式的概念【例1】x为何值时，分式29113xx-++有意义？【解析】根据题意可得：110330xx⎧+≠⎪+⎨⎪+≠⎩，解得3x≠-且4x≠-;如果问：x为何值时，分式29113xx-++值为零，答案为3x=.【答案】3x=【巩固】⑴若分式216(3)(4)xx x--+有意义，则x;⑵若分式216(3)(4)xx x--+无意义，则x;【解析】⑴若分式216(3)(4)xx x--+有意义，则3x≠且3x≠-且4x≠-;⑵若分式216(3)(4)xx x--+无意义，则3x=或3x=-或4x=-；【答案】⑴3x≠且3x≠-且4x≠-；⑵3x=或3x=-或4x=-【例2】解下列不等式：①53xx-<-；②523xx->-【解析】①由题意可知5030xx->⎧⎨-<⎩或者5030xx-<⎧⎨->⎩，解得3x<；5x>，所以原不等式的解集为3x<或5x>；②5203x x -->-，即11303xx ->-，由题意可知113030x x ->⎧⎨->⎩或者113030x x -<⎧⎨-<⎩， 解得1133x <<；无解，所以原不等式的解集为1133x <<. 【答案】3x <或5x >；1133x <<．【巩固】⑴解不等式304x x +<- ；⑵解不等式334x x +>- .【解析】 ⑴由题意可知3040x x +>⎧⎨-<⎩或者3040x x +<⎧⎨->⎩,由得34x -<<；无解集，所以原不等式的解集为34x -<<；⑵由题意可知3304x x +->-，15204xx ->-，可得：152040x x ->⎧⎨->⎩或者152040x x -<⎧⎨-<⎩得1542x <<；无解集，所以原不等式的解集为1542x <<. 【答案】34x -<<；1542x <<．模块二 分式的运算☞分式的化简求值裂项【例3】 设为正整数，求证：. 【解析】，故【答案】【巩固】化简：. 【解析】 【答案】2100100x x+n 1111...1335(21)(21)2n n +++<⋅⋅-+1111()(21)(21)22121n n n n =--+-+111111111(1.....)(1)233521212212n n n -+-++-=-<-++1111...1335(21)(21)2n n +++<⋅⋅-+111.....(1)(1)(2)(99)(100)x x x x x x ++++++++111111111.........(1)(1)(2)(99)(100)11299100x x x x x x x x x x x x +++=-+-+-++++++++++211100100100x x x x =-=++【巩固】化简： 【解析】 原式 【答案】255x x+【例4】 化简：. 【解析】同理，，故.【答案】0【巩固】(第11届希望杯试题)已知，，为实数，且，，，求. 【解析】 由已知可知 ，三式相加得，，故. 【答案】16【巩固】化简：. 【解析】同理，， 故 【答案】022222111113256712920x x x x x x x x x x +++++++++++++11111(1)(1)(2)(2)(3)(3)(4)(4)(5)x x x x x x x x x x =+++++++++++++211555x x x x =-=++222()()()()()()a bc b ac c aba b a c b c b a c a c b ---++++++++22()()()()a bc a ac ac bc a ca b a c a b a c a b a c-+--==-++++++2()()b ac b a b c b a b c b a -=-++++2()()c ab c bc a c b c a c b-=-++++2220()()()()()()a bcb ac c aba b a c b c b a c a c b ---++=++++++a b c 13ab a b =+14bc b c =+15ca c a =+abc ab bc ca++113114115a b b cc a ⎧+=⎪⎪⎪+=⎨⎪⎪+=⎪⎩1116a b c ++=1111116abc ab bc ca ab bc ca abc a b c===++++++222222a b c b c a c a ba ab ac bc b ab bc ac c ac bc ab ------++--+--+--+221111()()a b c a b a c a ab ac bc a b a c a b a c a b c a---+-==+=---+------2211b c a b ab bc ac b c a b --=---+--2211c a b c ac bc ab c a b c --=---+--2222220a b c b c a c a ba ab ac bc b ab bc ac c ac bc ab ------++=--+--+--+☞分式的恒等变形部分分式【例5】 下面的等式成立：22465()()x y x y x y A x y B -+--=--++，求A 、B . 【解析】2222465()()()()x y x y x y A x y B x y B A x A B y AB -+--=--++=-+--+-， 故有4B A -=，6A B +=，所以1A =，5B =.【答案】1A =5B =【巩固】若代数式(1)(2)(3)x x x x p ++++恰好能分解为两个二次整式的乘积(其中二次项系数均为1，且一次项系数相同)，则p 的最大值是 . 【解析】设原式可分解为22()()x ax m x ax n ++++，展开可得：224322()()2()()x ax m x ax n x ax a m n x a m n x mn ++++=+++++++. 比较等号两边的系数可得：32a m n mn p =⎧⎪+=⎨⎪=⎩，，故22(2)21(1)1p m m m m m =-=-=--≤，最大值为1.【答案】1【例8】 若213111a M Na a a -=+--+，求M 、N 的值. 【解析】 2213()()1111a M N M N a M N a a a a -++-=+=--+-，所以31M N M N +=-⎧⎨-=⎩，所以12M N =-⎧⎨=-⎩ 【答案】1,2M N =-=-【巩固】(06年宁波市重点中学提前考试招生试题)已知2a x +与2b x -的和等于244xx -，求a ，b .【解析】 22()2()42244a b a b x a b x x x x x +--+==+--- 所以40a b a b +=⎧⎨-=⎩，解得22a b =⎧⎨=⎩【答案】2,2a b ==分式恒等证明【例9】 求证：()()332222222222a a a ab b a ab b a ab b a ab b a b a b ⎛⎫⎛⎫++--+-=++-+ ⎪⎪-+⎝⎭⎝⎭【解析】 左边()()333333333322a b a b a b a a b a a b a b a b a b a b a b -+--⎛⎫⎛⎫-+=--=⋅ ⎪⎪--++-+⎝⎭⎝⎭ ()()33332222a b a b a ab b a ab b a b a b -+=⋅=++-+=-+右边。

第一讲 一元一次方程培优竞赛辅导一、【知识点梳理】知识点一、一元一次方程的基本概念1．方程： 叫做方程．2．一元一次方程：只含有一个 （元），未知数的次数都是 ，这样的 方程叫做一元一次方程．要点诠释：．．．．．（．1．）一元一次方程变形后总可以化为．．．．．．．．．．．．．．． 的形式，它是一元一次方程的标准形式．．．．．．．．．．．．．．．．．．． （2）判断是否为一元一次方程，应看是否满足：①只含有一个未知数②未知数的次数为1；未知数所在的式子是整式（即分母中不含未知数）；3.方程的解： 叫做这个方程的解．4．解方程： 叫做解方程．知识点二、等式的性质等式的性质：等式的性质1：等式两边加(或减)同一个数(或式子)，结果仍相等．等式的性质2：等式两边乘同一个数，或除以同一个 的数，结果仍相等．知识点三、一元一次方程的解法方程的变形规则：1、方程两边同加(或减)同一个数(或式子)，方程的解不变．2、方程两边同乘或除以同一个 的数(或式子)，方程的解不变．解一元一次方程的一般步骤：(1)去分母：依据 在方程两边同乘以各分母的(2)去括号：依据 ，先去小括号，再去中括号，最后去大括号．(3)移项：依据 把含有未知数的所有项移到方程一边，常数项移到方程另一边．(4)合并：逆用乘法分配律，分别合并含有未知数的项及常数项，把方程化为ax ＝b (0≠0)．(5)系数化为1：依据 方程两边同除以未知数的系数得到方程的解b x a=(a ≠0)． (6)检验：把方程的解代入原方程，若方程左右两边的值相等，则是方程的解；否则则不是方程的解．二、基础夯实1、下列方程中是一元一次方程的是( )A ．x+y=8B ．()7561x x +=-C ．()21112x x +-=D ．12x x-= 2、若（m －2）23m x -＝5是一元一次方程，则m 的值为( )A ．±2B ．－2C ．2D ．43、下列判断错误的是( )A.若ac-7=bc-7,则a=bB.若a=b,则1122+=+c b c a C.若x/a=y/a,则x=y D.若ax=bx,则a=b 或x=04、关于x 的方程2(x －1)－a ＝0的根是3，则a 的值是（ ）A ．4B ．－4C ．2D ．－15、如果a 、b 是已知数，则－7x ＋2a ＝－5x ＋2b 的解是（ ）A ． a －bB ． －a －bC ． b －aD ． b ＋a6、若关于x 的一元一次方程2332x k x k --+=1的解是x=-1，则k 的值是（ ） A ．27 B ．1 C ．-1311D ．0 7、中央电视台2套“开心辞典”栏目中，有一期的题目如图所示，两个天平都平衡，则三个球的质量等于（ ）个正方体的重量.A 、2B 、3C 、4D 、58、对方程7.02.01.023.01+=-+x x x 变形正确的是（ ） A ． 72231+=-+x x x B ． 722031+=-+x x x C ． 7223110+=-+x x x D ． 72231010+=-+x x x 9、已知|x+1|+(y+2x )2＝0，则y x =________． 10、a 、b 、c 、d 为实数，现规定一种新的运算 bc ad dc b a -=. （1）则2121-的值为 ；（2）当185)1(42=-x 时，x = .11、解方程：4621132x x -+-=． 3{2x -1-[3(2x -1)+3]}＝5．12、某书有一道方程：x x =+*+132，*处的一个数十阿紫印刷时被墨盖住了，查后面的答案，知道方程的解为5.2-=x ，那么*处被墨盖住的数应该是多少？三、【典型例题】【例1】解方程：432.50.20.05x x ---= 35.0102.02.01.0=+--x x【变式题组】1、解方程：2.15.023.01=+--x x2、解方程：14981522097211012-+-=-+-x x x x【例2】含字母系数方程的解法：解关于x 的方程b ax =【变式题组】1、关于x 的方程1)1(-=+m x m 有解，则m 的值是 （ ）A. 0≠mB. 1≠mC. 1-≠mD. 1±≠m2、已知关于x 的方程a(2x-1)=3x-2无解，则a 的值___________．3*、若使关于x 的方程ax －6＝834x ⎛⎫- ⎪⎝⎭有无穷多解，则a 应取何值?4、解关于x 的方程11x x a b a b ab--+-=【例3】含绝对值的方程解法解方程|x -2|＝3．【变式题组】解下列方程523x -= 解方程 121x x -=-+【例4】整数解问题：若关于x 的方程9x －4＝kx 的解为正整数，则整数k 的值为k ＝_____【变式题组】1、(成都)要使一元一次方程－kx ＝k 的解为x ＝－1，必须满足的条件是（ ）A ．可取一切数B ． k ＜ 0C ． k ≠0D ． k ＞02、(“五羊杯”竞赛题)已知关于x 的方程9x －3＝kx ＋4有整数解，那么满足条件的所有整数k ＝___________培优竞赛检测：一、填空题：1、在下列方程中 ①3x 2x 2+=+）（x ，②931=-x x ，③021=x ④322313=-，⑤3132+=-y y 是一元一次方程的有_______________（填序号）.2、由13-x 与x 2互为相反数，=x _______________。

第五章二元一次方程组培优训练含字母系数的二元一次方程组的解法北师大版2024—2025学年八年级上册例1.已知⎩⎨⎧=++=++4c b 4a 103c b 3a 7，求c 2b 5a 11++的值变式1.如果2x +3y +z =130，3x +5y +z =180，求的值．变式2.若()4360,2700,x y z x y z xyz --=+-=≠求代数式222222522310x y z x y z +---的值.例2．已知关于x ，y 的方程组和的解相同，则（a +b ）2024的值为（ ） A ．0 B ．﹣1 C ．1 D ．2024变式1．已知关于x ，y 的二元一次方程组的解满足x +y ＝8，则k 的值为（ ） A ．4B ．5C ．﹣6D ．﹣8 变式2．由方程组可得x 与y 的关系式是（ ） A ．3x ＝7+3m B ．5x ﹣2y ＝10 C ．﹣3x +6y ＝2 D ．3x ﹣6y ＝2 变式3.已知关于x 、y 的二元一次方程组，若方程组的解x 、y 满足3x ﹣2y ＝4，求k 的值．z y x y x +++2变式4.已知方程组的解和方程组的解相同，求（2a +b ）2024的值．例3.已知关于,x y 的方程组()21,2213,ax y a x a y +=+⎧⎨+-=⎩分别求a 出为何值时， ⑴有唯一一组解；⑴无解；⑴有无穷多解。

变式1．k 取何值时，方程组21,.x y x k y k +=⎧⎨+=⎩⑴有唯一解，并写出这个解；⑴有无数多个解；⑴无解。

变式2．（1）求方程13x +30y ＝4的整数解；（2）求方程5x +3y ＝22的所有正整数解．变式3．已知关于x y 、的方程组210320mx y x y +=⎧⎨-=⎩有整数解,即x y 、都是整数,m 是正整数,求m 的值.变式4．正整数m 为何值时，方程组1311700,1x y y mx +=⎧⎨=-⎩有整数解。

2．微专题：关于含字母系数的方程(组)的有关问题 ◆类型一 利用二元一次方程的概念求方程(组)中的字母系数1．若(a －3)x ＋y |a|－2＝9是关于x 、y 的二元一次方程，则a 的值为________． ◆类型二 利用二元一次方程的解求方程中的字母系数【方法点拨】把解代入方程，得到关于未知系数的方程(组)，解这个方程(组)即可求出方程中未知系数的值．2．若⎩⎪⎨⎪⎧x ＝3，y ＝－2是关于x 、y 的方程ax ＋y ＝7的解，则a ＝________． 3．若关于x ，y 的方程mx ＋ny ＝6的两组解是⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1，y ＝－1和⎩⎪⎨⎪⎧x ＝3，y ＝1，则mn 的值为________．◆类型三 利用二元一次方程组的解求方程组中字母的值一、有关常数项为含有字母a 的式子的方程组，其解为另一个二元一次方程的解【方法点拨】三种解题思路：①把a 看作常数，求方程组的解，再代入第三个满足的方程中求a ；②已知方程组中消去a ，再与第三个方程组成方程组；③已知方程组适当加减变形，整体代入【如T4(2)】．4．已知关于x ，y 的方程组⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ＝5＋a ，2x －y ＝1－4a. (1)若其解满足方程x －y ＝－2，求a 的值；(2)若其解满足方程x －2y ＝1，求a 的值．二、利用二元一次方程组的解求看错问题中的字母系数【方法点拨】把解代入未看错的方程中，得到关于字母系数的方程或方程组．5．小颖解方程组⎩⎪⎨⎪⎧ax ＋2y ＝7，cx －dy ＝4时，把a 看错后得到的解是⎩⎪⎨⎪⎧x ＝5，y ＝1，而正确解是⎩⎪⎨⎪⎧x ＝3，y ＝－1，请你帮小颖写出原来的方程组．三、求被遮住的方程组的未知系数【方法点拨】先设出它们的系数，再把方程的解代入，从而求出要求的未知数的系数，这种方法叫“待定系数法”，是数学中常用的一种方法．6．小明给小刚出了这样一道数学题：如果我将二元一次方程组⎩⎪⎨⎪⎧2x ＋□y ＝3①，□x ＋y ＝3②的第①个方程中y 的系数遮住，第②个方程中x 的系数遮住，并告诉你⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2，y ＝1是这个方程组的解，你能求出原来的方程组吗？参考答案与解析1．－3 2.3 3.－94．解：(1)解方程组，得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2－a ，y ＝2a ＋3，将其代入x －y ＝－2，得(2－a)－(2a ＋3)＝－2，解得a ＝13. (2)⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ＝5＋a ①，2x －y ＝1－4a ②，②－①得x －2y ＝－4－5a.∵x －2y ＝1，∴－4－5a ＝1，解得a ＝－1.5．解：将⎩⎪⎨⎪⎧x ＝5，y ＝1，⎩⎪⎨⎪⎧x ＝3，y ＝－1分别代入cx －dy ＝4，得⎩⎪⎨⎪⎧5c －d ＝4，3c ＋d ＝4，解得⎩⎪⎨⎪⎧c ＝1，d ＝1.将x ＝3，y ＝－1代入ax ＋2y ＝7，得3a －2＝7，解得a ＝3.所以a ＝3，c ＝1，d ＝1.所以原来的方程组为⎩⎪⎨⎪⎧3x ＋2y ＝7，x －y ＝4. 6．解：设遮住的y ，x 的系数分别为m ，n.将⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2，y ＝1代入方程组，可得⎩⎪⎨⎪⎧2×2＋m ·1＝3，n ·2＋1＝3，解得⎩⎪⎨⎪⎧m ＝－1，n ＝1.所以原来的方程组为⎩⎪⎨⎪⎧2x －y ＝3，x ＋y ＝3.。

公式变形与字母系数方程一、1. 解关于x 的方程a ax b b bx a x -++=22. 如果关于x 的方程a x ab x b+=+11有唯一解，确定a 、b 应满足的条件。

3. 在物理学中我们学习了公式S v t at =-0212，其中所有的字母都不为零。

已知S 、v 0、t ，试求a 。

4. 已知z a b z cd--=，求z 。

（c d +≠0）二、1. 解关于x 的方程x m n x n m -=-11，其中m n m n ≠≠≠00，，。

2. 解关于x 的方程()()a a x x a --+=-1422。

3. a 为何值时，关于x 的方程x x a a +-=-+12235的解等于零？4. 已知关于x 的方程x x mx --=-323有一个正整数解，求m 的取值范围。

【试题答案】一、1 解：若a 、b 全不为0，去分母整理，得()b a x ab 222-=-对b a 22-是否为0分类讨论：（1）当b a 220-=，即a b =±时，有02⋅=-x ab ，方程无解。

（2）当b a 220-≠，即a b ≠±时，解之，得x aba b=-2 若a 、b 有一个为0，方程为12x x=，无解 若a 、b 全为0，分母为0，方程无意义检验：当x aba b=-2时，公分母()()ax b bx a -+≠0，所以当ab a b ≠≠±0，时，x aba b=-2是原方程的解。

2 解：若a ≠0且b ≠0，去分母整理，得 ()()b a x ab b a -=-当且仅当b a -≠0，即b a ≠时，解得x ab = 经检验，x ab =是原方程的解∴a b 、应满足的条件：a ≠0且b b a ≠≠0，3 解： S v t at =-0212∴=-≠∴≠∴=-1201202220202at v t S t at a v t S t4 解： d ≠0∴-=--=-+=++=+d z a c b z dz ad bc cz dz cz ad bc d c z ad bc()()()又 d c +≠0∴=++z bc adc d二、 1. 解：去分母，得nx m mx n -=-nx mx m n n m x m nm nn m x m nn m-=--=-≠∴-≠∴=--=-() 012. 解：原方程变为()a a x x a 25422-++=- ()a a x a 2562-+=- 即()()a a x a --=-232（1）当a ≠2且a ≠3时，得x a =-13（2）当a =2时，原方程变为00⋅=x∴x 为任意数，即原方程有无数个解（3）当a =3时，原方程为01⋅=x ，此时原方程无解。