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正项级数比值审敛法

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11-2正项级数及其审敛法

11-2正项级数及其审敛法

(方法 比较法 un 方法2) 方法
−n−( −1)n =2
≤ 2−n ⋅ 2 =
1 2n−1
(n ≥ 1)
Q ∑
. 收敛，∴ 原级数收敛 收敛， n−1 n=1 2
∞
1
注 对于∑2
n=1
∞
−n−(−1)n
, 比值法失效！ 比值法失效！
2, n偶数 −1+2(−1)n = 1 =2 ， n奇数 8
但 p > 1, 级数收敛 ; p ≤ 1, 级数发散 .
判别下列级数的收敛性: 例11 判别下列级数的收敛性 ∑2
n=1
∞
−n−(−1)n
.
方法1) 方法 解 (方法 根值法
(−1)n −1− n Q lim n un = lim 2 n→∞ n→∞
. = 2−1< 1 ∴ 原级数收敛
−n ⋅ 2( −1)n+1 =2
n=1 n=1 ∞ ∞
(c ≠ 0) 同敛散 同敛散.
(ⅰ) 若 ⅰ 则 (ⅱ) 若 ⅱ 则
收敛 , 也收敛 ; 发散 , 也发散 .
c
(n ≥ N ),
c
(n ≥ N ),
比较法的使用思路： 比较法的使用思路： 欲证收敛(发散 ，则放大(缩小 缩小) 欲证收敛 发散)，则放大 缩小 发散
2 . 的敛散性 例2 判断正项级数 ∑ n=1 n(n + 1)
n
3d x
o
1 2 n −1 n
= 1+ ∫
n
1
1 1 1 1 d x= 1+ (1 − p−1 ) < 1 + (n = 2,3,L) p p −1 p −1 x n
级数收敛. 级数收敛 p -级数部分和 n有上界， 级数部分和 级数部分和S 有上界， 故当p > 1时, p -级数收敛 时

正项级数的比值审敛法

正项级数的比值审敛法

例一—-设，a则-an2〈+（奇T=如），"础 一 3 例•设an -
8
8
n
从而级数£ an = £ n=1 n=1 2
但 5 = 2 + (T)n+1
收敛.
1
一 a” 2(2 + (-1)n ) 〃‘ 且lim c2n =z，
lim
c2n+1
=
3，・.・
lim
-n±L
=
lim
ns 6 cn 不存
10n+1 n! 10
故级数£刍发散. n=110
1 .比值审敛法不必找参考级数，通过相邻两项比值的极限 来确定级数的敛散性.
2.当级数的一般性含有n!时,采用比值审敛法
一、比值审敛法（达朗贝尔判别法）
8
"
定理1 :设£an是正项级皿数,若极限lim-^ = p,则
8 n=1
E an
⑴p < 1时,£ an收敛；
n=1 8
(2) 1 < p V+8 时，£ an 发
散;
n=1
证明：⑴当Q vl时,取0 V £ V 1 - 〃，记r = p + £
< 1,
a
则于是H NaN,+当1 < nra>N ,Na时N+2,有< a-nr^aN<+1p< +r a£N，= 一r, , 8
ns
当p = +8时,取M > 1,则存在N，当 n > N时,
芒>M.同上，级数发散
比值审敛法的优点：不必找参考级数.
8
注1 P = 1时,£ an可能收敛，也可能发

正项级数及其审敛法

正项级数及其审敛法

正项级数及其审敛法
推论
正项级数及其审敛法
【例9】
利用比较审敛法，需要和已知的级数相比较，我们已经有等比级 数和调和级数，另一个常用的级数是p级数.
正项级数及其审敛法
【例10】
判别p级数
正项级数及其审敛法
注
p级数收敛性结论在以后级数的收敛性例11】
判定下列级数的敛散性.
正项级数及其审敛法
利用比较审敛法，常要在讨论不等式上花费很 大精力，同时要对所讨论的级数有个大致的估计， 才能证明是收敛或是发散.因为我们都是在一般项 趋近于零的前提下讨论敛散性，因此我们自然会想， 可否通过比较一般项的无穷小的阶来判断其收敛性 呢？下面给出比较审敛法的极限形式.
【例15】
正项级数及其审敛法
【例16】
正项级数及其审敛法
定理5
正项级数及其审敛法
【例17】
正项级数及其审敛法
【例18】
正项级数及其审敛法
【例19】
正项级数及其审敛法
定理6
正项级数及其审敛法
【例20】
正项级数及其审敛法
【例21】
谢谢聆听
其他审敛法都是以这条定理为基础而建立起来的.但是，无论是由
定义还是基本法则来判定正项级数的收敛性，都涉及部分和的计算，
这是相当困难的，为此，下面我们在基本法则的基础上，讨论常用
的正项级数的审敛方法.
首先看一个例题.
正项级数及其审敛法
【例8】
正项级数及其审敛法
定理2
正项级数及其审敛法
注
该审敛法条件中的不等式，也可以从某项开始， 即un≤vn(n=N,N+1,…).见推论，请读者自己论证.
收敛于S，即
则{Sn}一

正项级数及其审敛法

正项级数及其审敛法

n
n
∴ 原级数发散.
(2)
lni mn2
n2 1 n1
∴ 原级数收敛.
3、比较审敛法3 (比阶审敛法)
设an和bn均为正项 , 级数
n1
n1
通 项 an和bn均 为 n时 的 无. 穷 小
(1) 当an 为bn 的同阶或高阶无穷, 小时
由bn 收敛可推出an 收敛.
n1
n1
(2) 当an 为bn 的同阶或低阶无穷 , 小时
n 1
1,
而 1发散,
n1n
∴ 原级数发散.
n
1
(2)
lim
n
n2
n 1
1
ln im n2
n2 n1
1,
n2
而
1
n1n2
收敛,
∴ 原级数收敛.
1
(3)
lim
n
4n
1
3n
4n
lim
n
1
1
3 4
n
1,
而
1
n14n
收
敛,
∴原级数收敛.
推论(比较审敛法 2)：
设 级 数
n 1
an为 正 项 级 数 ，(1)若
n1
若极 ln i m na 限 n有确,定 则意 有义
(1) 当 0 1 时, 级数收敛 ；
(2) 当 1 时, 级数发散 ；
(3) 当 1 时, 级数敛散性需另行判定.
当一般nn项 ,an等 ln 中 i m nan 含 易有 求 级的 数 常用根. 值审敛法
例:1)判
定
级 1数 的 n1nn
n1
思 路 ： 构 造 一 个 单 调 递 减 函 数 f(x)， 使 得 f(n)an

正项项级数的审敛法

正项项级数的审敛法

例
级数
1 发散,
n1 n
级数
n1
1 n2
收敛,
(
1)
2.条件是充分的,而非必要.
例
un
2
(1)n 2n
3 2n
vn ,
级数 un
n1
2 (1)n
n1
2n
收敛,
但
un1 un
2 (1)n1 2(2 (1)n )
an ,
lim
n
a2n
1, 6
lim
n
a2n1
3, 2
lim un1 u n
1
1
(1)
解
sin ; (2) n1 n
(1) lim nsin 1
n
n
n1
3
n
;
n sin 1
lim n
n 1
1,
原级数发散.
1
n
(2)
lim
n
3n
1
n
3n
lim 1
n
1
n 3n
1,
n1
31n收敛,
故原级数收敛.
6.比值审敛法(达朗贝尔 D’Alembert 判别法)：
设 un
lim un n vn
l,
则(1) 当 0 l 时,二级数有相同的敛散性;
(2) 当 l 0时，若 vn 收敛,则 un 收敛;
n1
n1
(3) 当 l 时, 若 vn 发散,则 un 发散;
n1
n1
证明 (1)由lim un l v n
n
对于 l 0,
2
N , 当n N时, l l un l l
(1)若对一切n > N0,成立不等式

13.2 正项级数及其审敛法

13.2 正项级数及其审敛法

时，lim n
un
0.
3.
若出现
ρ=1 或
lim
n
n
un
不存在,
则改用其它方法.
4. 条件是充分的, 并非必要.
由
un(, un 0)
收敛
lim n
n
un
1；
n1
由 un(, un 0)
发散
lim n
n
un
1.
n1
均可能出现 1，或不存在.
例14 判定正项级数的敛散性.
解
(1)
lim n
1
但 p 1, 级数收敛 ; p 1, 级数发散 .
定理5. 根值审敛法 ( Cauchy判别法)
设
为正项级数，且
lim n
n
un
,
则
(1) 当 1 时,级数收敛; (2) 当 1 时, 级数发散 .
定理4 . 比值审敛法 ( D’alembert 判别法)
设
为正项级数, 且 lim un1 , 则
当 x=1时,
级数是调和级数
1 ,
发散.
例12 判定正项级数
解
因为
0
n 2n
cos2
nn1
3
n 2n
cos
n 2n
2
n3n1的n敛散性.
(n 1,2,)
且
lim
n
n1 2n1
2n n
n1 lim
n 2n
1 2
1
,所以
n1
n 2n
收敛,
再由比较判别法知, 原级数也收敛.
例13 利用级数敛散性, 证明
部分和数列 有上界 .

第二节 正项级数及其审敛法、第三节 绝对收敛与条件收敛

n+1 n
un+1 a ( n + 1 )! n = lim ⋅ n ρ = lim n+1 n→ ∞ u n → ∞ ( n + 1) a n! n
a a = lim = , n→ ∞ 1 n e (1 + ) n 故 ( 1 ) 当 a < e 时 , 即 ρ < 1 时 , 级数收敛
(2) 当 a > e 时 , 即 ρ > 1 时 ,
1 又 ∑ 2 收敛 , n =1 n
∞
故原级数收敛. 故原级数收敛
5.比值审敛法(达朗贝尔 D’Alembert 判别法)： 比值审敛法( Alembert 判别法)
un +1 = ρ (ρ数或 + ∞ ) 是正项级数, 设 ∑ un 是正项级数,如果 lim n→ ∞ u n =1 n
时级数收敛; 时级数发散; 时失效. 则ρ < 1时级数收敛;ρ > 1时级数发散; ρ = 1 时失效.
n =1
∞
∞
1 n+1 ) ∑ ( − ln ; (3) n =1 n n
∞
n
1 1 ~ n ( 2) ∵ n → ∞ 时, n 3 −n 3
1 故原级数收敛. 又 ∑ n 收敛 , 故原级数收敛 n =1 3
∞
n+1 1 ) ∑ ( − ln (3) n =1 n n
∞
1 n+1 − ln n n = lim x − ln(1 + x ) lim n→ ∞ x→0 1 x2 2 n 1 1− x 1 1 + x = lim = lim = , x→0 x → 0 2 x (1 + x ) 2x 2

高等数学8.2正项级数收敛性


n1
解: lim un1 lim(n1)xn x
n un
n n x n1
根据定理4可知:
当 0x1时 ,级数收敛 ;
当x1时,级数发散 ;
当x1时,级数n发散.
n1
2020/4/30
1 xp
,
故
1
np
nn1n1pdx
n1 n1xp
dx
p1 1(n1 1)p1np 11
考 1 虑 强2 p 1 级 1 数 n 22 p 1 ( n1 113 )pp 1 11 n p11 n 的p 1 部 1 分 ( 和n 1 1 )p 1
n
kn1k1p1(k11)p11
n1
n1
(3) 当 l =∞ 且vn 发散时, un 也发散.
n1
n1
2020/4/30
例3. 判别级数 sin
n 1
1 n
的敛散性 .
解: lim nsin 1 lim n 1 1
sin
1 n
～
1 n
n
n n n
根据比较审敛法的极限形式知
n1sin1n 发散.
例4.
判别级数 ln
n1
1
1 n2
的敛散性.
ln(
1 n2
)
～
1 n2
解:
lim n 2
n
ln
1
1 n2
limn2
n
1 n2
1
根据比较审敛法的极限形式知 n1ln1n12 收敛.
2020/4/30
定理4 . 比值审敛法 ( D’alembert 判别法)
设(1) 当un为正1项时级, 级数数, 且收敛nl im; uunn1 , 则

正项级数的审敛法


k 1
即 un收敛. n1
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铃
(2)若 1,取正数 0,使 1, N 0,当n N时有
un1 1,
un
也即un1 un , 从而lim un 0, 故 un发散.
n
n1
(3)当lim un1 时, n un
取M 1 0, 存在N 0,当n N时, 有 un1 M 1, un
2
N,
当n>N时, 有不等式
l 1 l un l 1 l , 2 vn 2
即
1 2
lvn
un
3 2
lvn
,
再根据比较审敛法, 即得所要证的结论.
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❖定理4(比较审敛法的极限形式)
设 un 和 vn 都 是 正 项 级 数 ,
n 1
n 1
(1)如果 lim un l (0l), n vn
级数∑vn收敛, 由已证结论, 级数∑un也收敛, 矛盾.
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❖定理2(比较审敛法)
设∑un和∑vn都是正项级数, 且unkvn(k>0, nN). 若级数 ∑vn收敛, 则级数∑un收敛 若级数∑un发散, 则级数∑vn发散.
例
1
讨论
p级
数
n 1
1 np
( p 0) 的 收 敛 性 .
而级
数
n 1
1 n 1
发散
,
故级数 n 1
1 也发散. n(n 1)
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铃

收敛函数


(1)
n
的敛散性
2n
解： lim n n
un
lim n n
2 (1)n 2n
lim 1 n 2 (1)n n 2
1 2
所给级数收敛
例6. 证明级数
收敛于S , 并估计以部分和 Sn 近
似代替和 S 时所产生的误差 .
解:
n un
n
1 nn
由定理5可知该级数收敛 令. rn S Sn , 则所求误差为
(2) 当 1 或 时, 级数发散 .
(2) 当 1 时, 级数可能收敛 可能发散; 证明 当为有限数时, 对 0,
N , 当n N时, 有 un1 ,
un
即 un1 (n N )
un
(1) 当 1时, un1 1
un
收敛 , 由比较审敛法可知 un 收敛.
n un
n 1 np
但 p 1, 级数收敛 ; p 1, 级数发散 .
比值审敛法的优点: 不必找参考级数.
两点注意:
1.当 1,或不存在，且不是无穷大 时不能用
比值审敛法;
例
级数
1 发散,
n1 n
级数
n1
1 n2
收敛,
(
1)
2.条件是充分的,而非必要.
例
un
2
(1)n 2n
3 2n
即 un (n )
n1
定理2 (比较审敛法) 设
是两个正项级数,
且存在
对一切
有
(1) 若强级数 收敛 , 则弱级数
(常数 k > 0 ), 也收敛 ;
(2) 若弱级数 发散 , 则强级数 也发散 .
证:因在级数前加、减有限项不改变其敛散性, 故不妨
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正项级数比值审敛法
正项级数比值审敛法是数学分析中常用的一种判定级数收敛性的
方法。

它利用级数的比值来判断级数的收敛性或发散性。

本文将详细
介绍正项级数比值审敛法的原理、应用例子以及一些注意事项，希望
能对读者们有所指导和帮助。

首先，我们来探讨正项级数比值审敛法的原理。

对于一个正项级
数∑an ，其中an≥0 ，我们可以求出级数相邻两项之比的极限值
L=lim（n→∞）（an+1/an）。

当 L<1 时，级数∑an 收敛；当 L>1 时，级数∑an 发散；当 L=1 时，比值试验不能确定级数的收敛性，
需采用其他方法进行判定。

接下来，让我们通过一个具体的例子来解释正项级数比值审敛法
的应用。

考虑级数∑1/n! ，我们可以计算相邻两项之比的极限值
L=lim（n→∞）（（n+1)!/n!） = lim（n→∞）（n+1）=∞。

由于
L>1 ，根据比值审敛法的原理，我们知道该级数发散，也就是说级数
∑1/n! 是发散的。

在应用正项级数比值审敛法时，需要注意以下几点。

首先，要确
保级数的各项都是正数，否则无法使用比值审敛法。

其次，比值试验
只适用于正项级数，对于含有负项的级数是不适用的。

此外，当极限
值 L=1 时，比值试验无法确定级数的收敛性，此时需要借助其他判定
方法。

最后，正项级数比值审敛法是一种快速判断级数收敛性的方法，
但并不是万能的，对于一些特殊级数可能会失效，需要采用其他方法进行判断。

总结起来，正项级数比值审敛法是一种简单有效的判定级数收敛性的方法。

通过计算级数相邻项的比值的极限值，我们可以快速判断级数的收敛性或发散性。

然而，在使用比值审敛法时需要注意级数的正性、不适用于负项级数以及极限值为1时的特殊情况。

希望本文的介绍能够帮助读者更好地理解和应用正项级数比值审敛法，从而在数学分析中取得更好的成绩。