课题:椭圆的参数方程
一、三维目标 1.知识与技能:
(1).椭圆的参数方程.
(2).椭圆的参数方程与普通方程的关系。 2.过程与方法:
(1). 了解椭圆的参数方程，了解参数方程中系数b a ,的含义．
(2)．通过学习椭圆的参数方程，进一步完善对椭圆的认识，理解参数方程与普通方程的相互联系．并能相互转化．提高综合运用能力
3.情感态度价值观:使学生认识到事物的表现形式可能不止一种。 二、学习重难点
学习重点：椭圆参数方程的推导.参数方程与普通方程的相互转化
学习难点：(1)椭圆参数方程的建立及应用.(2)椭圆的参数方程与普通方程的互化 三、学法指导：认真阅读教材，按照导学案的导引进行自主合作探究式学习 四、知识链接:
将下列参数方程化成普通方程
1 )(sin cos 为参数ϕϕϕ⎩⎨⎧==b y a x
2 )(sin cos 为参数ϕϕϕ
⎩
⎨⎧==a y b x
五、学习过程
(一)椭圆的参数方程 1焦点在x 轴: )(sin cos 为参数ϕϕ
ϕ
⎩⎨
⎧==b y a x
2焦点在y 轴: )(sin cos 为参数ϕϕϕ
⎩
⎨⎧==a y b x
(二)典型例题
A 例1参数方程与普通方程互化 1把下列普通方程化为参数方程.
(1)19422=+y x (2)116
22
=+y x 2把下列参数方程化为普通方程 (1) )(sin 5cos 3为参数ϕϕϕ⎩⎨
⎧==y x (2) )(sin 10cos 8为参数ϕϕ
ϕ
⎩⎨⎧==y x
A 练习：已知椭圆的参数方程为 ( 是参数) ，则此椭圆的长轴长为
______，短轴长为_______，焦点坐标是________，离心率是_-________。
B 例2、在椭圆882
2
=+y x 上求一点P ，使P 到直线l ：04=+-y x 的距离最小.
的最大值和最小值吗？
求出的前提下，
满足进行类比，你能在实数与简单的线性规划问题思考：
y x z y x y x 2116
25,2
2-==+
C 例3、已知椭圆
164
1002
2=+y x 有一内接矩形ABCD,求矩形ABCD 的最大面积。
六、达标检测
A ( ) B
?
____________________),(,0cos 3sin 2cos 42222方程为那么圆心的轨迹的普通为参数、已知圆的方程为θθθθ=+--+y x y x
B
C
七、学习小结反思
课题:双曲线、抛物线的参数方程 一、三维目标 1.知识与技能:
(1). 双曲线、抛物线的参数方程.
(2). 双曲线、抛物线的参数方程与普通方程的关系。 2.过程与方法:
(1). 了解双曲线、抛物线的参数方程，了解参数方程中系数b a ,的含义．
(2)．通过学习双曲线、抛物线的参数方程，进一步完善对双曲线、抛物线的认识，理解参数方程与普通方程的相互联系．并能相互转化．提高综合运用能力
3.情感态度价值观:使学生认识到事物的表现形式可能不止一种。 二、学习重难点
学习重点：双曲线、抛物线参数方程的推导
学习难点：(1) 双曲线、抛物线参数方程的建立及应用.(2) 双曲线、抛物线的参数方程与普通方程的互化 三、学法指导：认真阅读教材，按照导学案的导引进行自主合作探究式学习
2cos sin x y θ
θθ=⎧⎨
=⎩)2,0(),3,1(),0,3(),3,2()sin 2,cos 3(1πθθθ、点、点、点、点所确定的曲线必过变化时，动点、当参数D C B A P 方程。
上各点连线的中点轨迹为参数和椭圆、求定点)(sin cos {)0,2(3θθθ
b y a x a ==的坐标，求点的倾斜角为为原点，上一点，且在第一象限为参数是椭圆、P O OP y x P 3)()(sin 32cos 44πθθθ==⎩⎨⎧
四、知识链接:
焦点在x 上的椭圆的参数方程________________________________________
焦点在y 上的椭圆的参数方程________________________________________ 五、学习过程（阅读教材29-34完成） (一)双曲线的参数方程
1双曲线)0,0(122
22>>=-b a b
y a x 的参数方程___________________________
注：（1）ϕ的范围__________________________
（2）ϕ的几何意义___________________________
2双曲线)0,0(122
22>>=-b a b
x a y 的参数方程___________________________
(二)抛物线的参数方程
抛物线)0(22
>=p px y 的参数方程___________________________ (三)典型例题
六、达标检测
、 的轨迹方程。
，求点相交于点并于点，且上异于顶点的两动
是抛物线是直角坐标原点，、如图例M M AB AB OM OB OA p px y
B A O B ⊥⊥>=,)0(2,12
B
x y
o
A M
___________tan 34sec 32{1的两个焦点坐标、求双曲线αα==y x A ____
__________)(tan sec 3{2的渐近线方程为为参数、双曲线ϕϕϕ
==y x B 的轨迹方程。的中点，求点
线段为，点上的动点，给定点为抛物线、设P M M P M x y M B 002
)0,1(23-=
教材习题点拨 思考：这里定点Q 在圆O 外，你能判断这个轨迹表示什么曲线吗？如果定点Q 在圆O 上，轨迹是什么？如果定点Q 在圆O 内，轨迹又是什么？ 答：若定点Q (a ，b )，由例2知，动点M 的参数方程是cos ,2()sin 2 a x b y θθθ?=+????=+??为参数，化为普通方程，得????x －a 22＋??? ?y －b 22＝1，所以无论定点Q 在圆O 外还是在圆O 上或圆O 内，动点M 的轨迹都是圆． 思考：为什么例4(2)中的两个参数方程合起来才是椭圆的参数方程？ 答： 参数方程2x y t ??=?=??(t 为参数)中，由于x ＝31－t 2≥0，所以只表示椭圆x 29＋y 24＝1在y 轴的右半部分(含y 轴交点)， 同样2x y t ??=-?=??(t 为参数)中，由于x ＝－31－t 2 ≤0，所以只表示椭圆x 29＋y 24 ＝1在y 轴的左半部分(含y 轴交点)，故两部分合起来才是椭圆的参数方程． 习题2.1 1．一架救援飞机以100 m/s 的速度作水平直线飞行，在离灾区指定目标的水平距离还有1 000 m 时投放救灾物资(不计空气阻力，重力加速度g ＝9.8 m/s 2)，问此时飞机的飞行高度约是多少(精确到1 m)? 解：易知在时刻t 时，救灾物资在水平方向的位移量x ＝100t .下落高度y ＝12 gt 2，即????? x ＝100t ， ①y ＝12 gt 2， ② ∴1 000＝100t ，t ＝10(s)，代入②得 y ＝12 ×9.8×100＝490(m)． ∴此时飞机高度约为490 m. 2．动点M 作匀速直线运动，它在x 轴和y 轴方向的分速度分别为3 m/s 和4 m/s ，直角坐标系的长度单位是1 m ，点M 的起始位置在点M 0(2,1)处，求点M 的轨迹的参数方程． 解：在时刻t 设M 为(x ，y )，
课题:椭圆的参数方程 一、三维目标 1.知识与技能: (1).椭圆的参数方程. (2).椭圆的参数方程与普通方程的关系。 2.过程与方法: (1). 了解椭圆的参数方程，了解参数方程中系数b a ,的含义． (2)．通过学习椭圆的参数方程，进一步完善对椭圆的认识，理解参数方程与普通方程的相互联系．并能相互转化．提高综合运用能力 3.情感态度价值观:使学生认识到事物的表现形式可能不止一种。 二、学习重难点 学习重点：椭圆参数方程的推导.参数方程与普通方程的相互转化 学习难点：(1)椭圆参数方程的建立及应用.(2)椭圆的参数方程与普通方程的互化 三、学法指导：认真阅读教材，按照导学案的导引进行自主合作探究式学习 四、知识链接: 将下列参数方程化成普通方程 1 )(sin cos 为参数ϕϕϕ⎩⎨⎧==b y a x 2 )(sin cos 为参数ϕϕϕ ⎩ ⎨⎧==a y b x 五、学习过程 (一)椭圆的参数方程 1焦点在x 轴: )(sin cos 为参数ϕϕ ϕ ⎩⎨ ⎧==b y a x 2焦点在y 轴: )(sin cos 为参数ϕϕϕ ⎩ ⎨⎧==a y b x (二)典型例题 A 例1参数方程与普通方程互化 1把下列普通方程化为参数方程. (1)19422=+y x (2)116 22 =+y x 2把下列参数方程化为普通方程 (1) )(sin 5cos 3为参数ϕϕϕ⎩⎨ ⎧==y x (2) )(sin 10cos 8为参数ϕϕ ϕ ⎩⎨⎧==y x A 练习：已知椭圆的参数方程为 ( 是参数) ，则此椭圆的长轴长为 ______，短轴长为_______，焦点坐标是________，离心率是_-________。 B 例2、在椭圆882 2 =+y x 上求一点P ，使P 到直线l ：04=+-y x 的距离最小. 的最大值和最小值吗？ 求出的前提下， 满足进行类比，你能在实数与简单的线性规划问题思考： y x z y x y x 2116 25,2 2-==+ C 例3、已知椭圆 164 1002 2=+y x 有一内接矩形ABCD,求矩形ABCD 的最大面积。 六、达标检测 A ( ) B ? ____________________),(,0cos 3sin 2cos 42222方程为那么圆心的轨迹的普通为参数、已知圆的方程为θθθθ=+--+y x y x B C 七、学习小结反思 课题:双曲线、抛物线的参数方程 一、三维目标 1.知识与技能: (1). 双曲线、抛物线的参数方程. (2). 双曲线、抛物线的参数方程与普通方程的关系。 2.过程与方法: (1). 了解双曲线、抛物线的参数方程，了解参数方程中系数b a ,的含义． (2)．通过学习双曲线、抛物线的参数方程，进一步完善对双曲线、抛物线的认识，理解参数方程与普通方程的相互联系．并能相互转化．提高综合运用能力 3.情感态度价值观:使学生认识到事物的表现形式可能不止一种。 二、学习重难点 学习重点：双曲线、抛物线参数方程的推导 学习难点：(1) 双曲线、抛物线参数方程的建立及应用.(2) 双曲线、抛物线的参数方程与普通方程的互化 三、学法指导：认真阅读教材，按照导学案的导引进行自主合作探究式学习 2cos sin x y θ θθ=⎧⎨ =⎩)2,0(),3,1(),0,3(),3,2()sin 2,cos 3(1πθθθ、点、点、点、点所确定的曲线必过变化时，动点、当参数D C B A P 方程。 上各点连线的中点轨迹为参数和椭圆、求定点)(sin cos {)0,2(3θθθ b y a x a ==的坐标，求点的倾斜角为为原点，上一点，且在第一象限为参数是椭圆、P O OP y x P 3)()(sin 32cos 44πθθθ==⎩⎨⎧
[对应学生用书P27] 1．直线的参数方程 (1)过点M 0(x 0，y 0)，倾斜角为α的直线l 的参数为??? ?? x ＝x0＋tcos α y ＝y0＋tsin α(t 为参数) (2)由α为直线的倾斜角知α∈[0，π)时，sin α≥0. 2．直线参数方程中参数t 的几何意义 参数t 的绝对值表示参数t 所对应的点M 到定点M 0的距离． (1)当M 0M ―→与e (直线的单位方向向量)同向时，t 取正数． (2)当M 0M ―→与e 反向时，t 取负数，当M 与M 0重合时，t ＝0. [对应学生用书P27] [ 例 1] 已知直线l 的方程为3x －4y ＋1＝0，点P (1,1)在直线l 上，写出直线l 的参数方程，并求点P 到点M (5,4)的距离． [思路点拨] 由直线参数方程的概念，先求其斜率，进而由斜率求出倾斜角的正、余弦值，从而得到直线参数方程． [解] 由直线方程3x －4y ＋1＝0可知，直线的斜率为3 4 ，设直线的倾斜角为
α， 则tan α＝3 4，sin α＝3 5，cos α＝4 5. 又点P (1,1)在直线l 上， 所以直线l 的参数方程为? ???? x ＝1＋4 5t ， y ＝1＋3 5t (t 为参数)． 因为3×5－4×4＋1＝0，所以点M 在直线l 上． 由1＋4 5 t ＝5，得t ＝5，即点P 到点M 的距离为 5. 理解并掌握直线参数方程的转化，弄清参数t 的几何意义，即直线上动点M 到定点M 0的距离等于参数t 的绝对值是解决此类问题的关键． 1．设直线l 过点A (2，－4)，倾斜角为5π6 ，则直线l 的参数方程为__________ ______． 解析：直线l 的参数方程为? ???? x ＝2＋tcos 5π 6， y ＝－4＋tsin 5π 6(t 为参数)，即
二圆锥曲线的参数方程第一课时椭圆的参数方程 考纲定位重难突破 1.知道椭圆的参数方程，参数的意义. 2.会用椭圆的参数方程解决简单问题. 重点：理解和掌握椭圆的参数方程. 难点：椭圆的参数方程在实际问题中的应用. 授课提示：对应学生用书第25页 [自主梳理] 椭圆的参数方程 1．中心在原点，焦点在x轴上的椭圆 x2 a2＋ y2 b2＝1的参数方程是⎩⎪⎨ ⎪⎧x＝a cos φ， y＝b sin φ (φ是参数)，规定参数φ的取值范围是[0,2π)． 2．中心在(h，k)的椭圆普通方程为 (x－h)2 a2＋ (y－k)2 b2＝1，则其参数方程为⎩⎪⎨ ⎪⎧x＝h＋a cos φ， y＝k＋b sin φ(φ是参数)． [双基自测] 1．椭圆 ⎩⎪ ⎨ ⎪⎧x＝sin θ， 2y＝cos θ (θ为参数)的一个焦点坐标为() A.⎝⎛⎭⎫ 2 2，0 B.⎝⎛⎭⎫ 0， 2 2 C.⎝⎛⎭⎫ 3 2，0 D.⎝⎛⎭⎫ 0， 3 2 解析：由题知椭圆的普通方程为x2＋4y2＝1.可知椭圆的焦点坐标为⎝⎛⎭⎫ ± 3 2，0 ，故选C. 答案：C 2．过点(－3,2)且与曲线 ⎩⎪ ⎨ ⎪⎧x＝3cos φ， y＝2sin φ (φ为参数)有相同焦点的椭圆的方程是() A. x2 15＋ y2 10＝1 B. x2 152＋ y2 102＝1 C. x2 10＋ y2 15＝1 D. x2 102＋ y2 152＝1 解析：由题易知曲线 ⎩⎪ ⎨ ⎪⎧x＝3cos φ， y＝2sin φ 化为普通方程为 x2 9＋ y2 4＝1.∴焦点坐标为(±5，0)，又
所求椭圆过点(－3,2)，代入求得选A. 答案：A 3．椭圆⎩ ⎪⎨⎪⎧ x ＝3＋17cos θ， y ＝8sin θ－2(θ为参数)的中心坐标为________． 解析：椭圆的普通方程为(x －3)2172＋(y ＋2)2 82＝1. ∴椭圆的中心坐标为(3，－2)． 答案：(3，－2) 4．椭圆x 24＋y 2 2＝1的参数方程是________；椭圆(x －1)225＋(y ＋1)216＝1的参数方程是 ________． 答案：⎩⎨⎧ x ＝2cos φ， y ＝2sin φ (φ为参数，φ∈[0,2π)) ⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝1＋5cos φ，y ＝－1＋4sin φ (φ为参数，φ∈[0,2π)) 授课提示：对应学生用书第25页 探究一 用椭圆参数方程求最值 [例1] 在椭圆x 216＋y 2 12 ＝1上找一点，使这一点到直线x －2y －12＝0的距离最小． [解析] 由题意，椭圆的参数方程为⎩ ⎪⎨⎪⎧ x ＝4cos θ， y ＝23sin θ(θ为参数)， 则d ＝|4cos θ－43sin θ－12| 5 ＝45 5 |cos θ－3sin θ－3| ＝ 455⎪ ⎪⎪⎪2cos ⎝⎛⎭⎫θ＋π3－3， 当cos ⎝⎛⎭⎫θ＋π3＝1时，d min ＝45 5 ，
高中数学：第二章《参数方程》教案（新人教A版选修4-4） 参数方程 目标点击： 1．理解参数方程的概念，了解某些参数的几何意义和物理意义； 2．熟悉参数方程与普通方程之间的联系和区别，掌握他们的互化法则； 3．会选择最常见的参数，建立最简单的参数方程，能够根据条件求出直线、圆锥曲线等常用曲线的一些参数方程并了解其参数的几何意义； 4．灵活运用常见曲线的参数方程解决有关的问题. 基础知识点击： 1、曲线的参数方程 在取定的坐标系中，如果曲线上任意一点的坐标x,y都是某个变数t的函数， (1) 并且对于t的每一个允许值，由方程组(1)所确定的点M(x,y)都在这条曲线上，那么方程组(1)叫做这条曲线的参数方程. 联系x、y之间关系的变数叫做参变数，简称参数. 2、求曲线的参数方程 求曲线参数方程一般程序：
（1）设点：建立适当的直角坐标系，用(x,y)表示曲线上任意一点M的坐标； （2）选参：选择合适的参数； （3）表示：依据题设、参数的几何或物理意义，建立参数与x，y的关系 式，并由此分别解出用参数表示的x、y的表达式. （4）结论：用参数方程的形式表示曲线的方程 3、曲线的普通方程 相对与参数方程来说，把直接确定曲线C上任一点的坐标（x,y）的方程F（x,y）＝0叫做曲线C的普通方程. 4、参数方程的几个基本问题 (1) 消去参数，把参数方程化为普通方程. (2) 由普通方程化为参数方程. (3) 利用参数求点的轨迹方程. (4) 常见曲线的参数方程. 5、几种常见曲线的参数方程 1．直线的参数方程 (ⅰ)过点P0()，倾斜角为的直线的参数方程是 （t为参数）t的几何意义：t表示有向线段的数量，P() 为直线上任意一点. (ⅱ)过点P0()，斜率为的直线的参数方程是
第2课时 双曲线、抛物线的参数方程 [核心必知] 1．双曲线的参数方程 (1)中心在原点，焦点在x 轴上的双曲线x 2a 2－y 2 b 2＝1的参数方程是⎩ ⎪⎨⎪⎧x ＝a sec φ，y ＝b tan φ，规定参 数φ的取值X 围为φ∈[0，2π)且φ≠π2，φ≠3π 2 ． (2)中心在原点，焦点在y 轴上的双曲线y 2a 2－x 2 b 2＝1的参数方程是⎩ ⎪⎨⎪⎧x ＝b tan φ，y ＝a sec φ． 2．抛物线的参数方程 (1)抛物线y 2 ＝2px 的参数方程为⎩ ⎪⎨⎪ ⎧x ＝2pt 2 ，y ＝2pt ，t ∈R ． (2)参数t 的几何意义是抛物线上除顶点外的任意一点与原点连线的斜率的倒数． [问题思考] 1．在双曲线的参数方程中，φ的几何意义是什么？ 提示：参数φ是点M 所对应的圆的半径OA 的旋转角(称为点M 的离心角)，而不是OM 的旋转角． 2．如何由双曲线的参数方程判断焦点的位置？ 提示：如果x 对应的参数形式是a sec φ，那么焦点在x 轴上； 如果y 对应的参数形式是a sec φ，那么焦点在y 轴上．
3．假设抛物线的参数方程表示为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2p tan 2 α， y ＝2p tan α. 那么参数α的几何意义是什么？ 提示：参数α表示抛物线上除顶点外的任意一点M ，以射线OM 为终边的角． 在双曲线x 2 －y 2 ＝1上求一点P ，使P 到直线y ＝x 的距离为 2. [精讲详析] 此题考查双曲线的参数方程的应用，解答此题需要先求出双曲线的参数方程，设出P 点的坐标，建立方程求解． 设P 的坐标为(sec φ，tan φ)，由P 到直线x －y ＝0的距离为2得|sec φ－tan φ| 2＝ 2 得|1cos φ－sin φcos φ|＝2，|1－sin φ|＝2|cos φ| 平方得1－2sin φ＋sin 2 φ＝4(1－sin 2 φ)， 即5sin 2 φ－2sin φ－3＝0. 解得sin φ＝1或sin φ＝－3 5. sin φ＝1时，cos φ＝0(舍去)． sin φ＝－35时，cos φ＝±4 5. ∴P 的坐标为(54，－34)或(－54，3 4)． ————— ————————————— 参数方程是用一个参数表示曲线上点的横纵坐标的，因而曲线的参数方程具有消元的作用，利用它可以简化某些问题的求解过程，特别是涉及到最值、定值等问题的计算时，用参
第二讲 参数方程 复习课 学习目标 1.梳理知识要点，构建知识网络.2.进一步巩固对参数方程等相关概念的理解和认识.3.能综合应用极坐标、参数方程解决问题． 1．参数方程的定义 一般地，在平面直角坐标系中，如果曲线上任意一点的坐标x ，y 都是某个变数t 的函数错误!①并且对于t 的每一个允许值，由方程组①所确定的点M (x ，y )都在这条曲线上，那么方程组①就叫做这条曲线的参数方程，联系变数x ，y 的变数t 叫做参变数，简称参数．参数方程中的参数可以是有物理意义或几何意义的变数，也可以是没有明显实际意义的变数． 2．常见曲线的参数方程 (1)直线 过定点M 0(x 0，y 0)，倾斜角为α的直线l 的参数方程的标准形式为⎩⎪⎨ ⎪⎧ x ＝x0＋tcos α，y ＝x0＋tsin α (t 为参数)． (2)圆 ①圆x 2 ＋y 2 ＝r 2 的参数方程为⎩ ⎪⎨ ⎪⎧ x ＝rcos θ， y ＝rsin θ(θ为参数)； ②圆(x －a )2 ＋(y －b )2 ＝r 2 的参数方程为⎩ ⎪⎨ ⎪⎧ x ＝a ＋rcos θ，y ＝b ＋rsin θ(θ为参数)． (3)椭圆 中心在原点，对称轴为坐标轴的椭圆b 2x 2＋a 2y 2＝a 2b 2 (a >b >0)的参数方程为 ⎩ ⎪⎨ ⎪⎧ x ＝acos φ， y ＝bsin φ(φ为参数)． (4)双曲线 中心在原点，对称轴为坐标轴的双曲线b 2x 2 －a 2y 2 ＝a 2b 2 (a >0，b >0)的参数方程为
⎩ ⎪⎨ ⎪⎧ x ＝asec φ，y ＝btan φ(φ为参数)． (5)抛物线 抛物线y 2 ＝2px (p >0)的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝2p tan2α， y ＝2p tan α (α 为参数)或⎩ ⎪⎨ ⎪⎧ x ＝2pt2， y ＝2pt (t 为参数)． 类型一 参数方程化为普通方程 例1 把下列参数方程化为普通方程： (1)⎩ ⎪⎨ ⎪⎧ x ＝cos θ－4sin θ， y ＝2cos θ＋sin θ(θ为参数)； (2)错误!(t 为参数，a ，b >0)． 解 (1)关于cos θ，sin θ的方程组 ⎩ ⎪⎨ ⎪⎧ x ＝cos θ－4sin θ，y ＝2cos θ＋sin θ，变形得⎩⎪⎨⎪⎧ sin θ＝y －2x 9 ，cos θ＝x ＋4y 9 . ∴⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋4y 92＋⎝ ⎛⎭ ⎪⎫y －2x 92＝cos 2θ＋sin 2θ＝1， 即5x 2 ＋4xy ＋17y 2 －81＝0. (2)由错误!解得错误! ∴①2－②2 ，得4x2a2－4y2b2＝4， ∴x2a2－y2 b2 ＝1(x >0)． 反思与感悟 参数方程化为普通方程的注意事项 (1)在参数方程与普通方程的互化中，必须使x ，y 的取值范围保持一致，由参数方程化为普通方程时需要考虑x 的取值范围，注意参数方程与消去参数后所得的普通方程同解性的判定．
第二讲 参数方程 知识梳理·双基自测 知识梳理 知识点一 参数方程的概念 如果曲线C 上任意一点P 的坐标x 和y 都可以表示为某个变量t 的函数⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝f (t )，y ＝g (t ). 反过来，对于t 的每个允许值，由函数式⎩⎪⎨⎪ ⎧ x ＝f (t )，y ＝g (t )所确定的点P (x ，y )都在曲线C 上， 那么方程⎩ ⎪⎨⎪⎧ x ＝f (t )， y ＝g (t )叫做曲线C 的参数方程，变量t 是参数． 知识点二 圆锥曲线的参数方程 (1)圆心为(a ，b )，半径为r 的圆的参数方程为 __⎩ ⎪⎨⎪⎧ x ＝a ＋r cos θ，y ＝b ＋r sin θ(θ为参数)__． (2)椭圆x 2a 2＋y 2 b 2＝1(a ＞b ＞0)的参数方程为 __⎩ ⎪⎨⎪⎧ x ＝a cos θ，y ＝b sin θ(θ为参数)__． (3)双曲线x 2a 2－y 2 b 2＝1(a ＞0，b ＞0)的参数方程为__⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝a cos θ，y ＝b tan θ (θ为参数)__． (4)抛物线y 2＝2px (p ＞0)的参数方程为⎩ ⎪⎨⎪⎧ x ＝2pt 2， y ＝2pt (t 为参数)． 知识点三 直线的参数方程 过点M (x 0，y 0)，倾斜角为α的直线l 的参数方程为__⎩ ⎪⎨⎪⎧ x ＝x 0＋t cos α， y ＝y 0＋t sin α(t 为参数)__，其 中t 表示直线上以定点M 0为起点，任意一点M (x ，y )为终点的有向线段M 0M → 的__数量__．当t ＞0时，M 0M →的方向向上；当t ＜0时，M 0M → 的方向向下；当t ＝0时，M 与M 0重合． 根据直线的参数方程的标准式中t 的几何意义，有如下常用结论： 过定点M 0的直线与圆锥曲线相交，交点为M 1，M 2，所对应的参数分别为t 1，t 2． ①弦长l ＝|t 1－t 2|； ②M 0是弦M 1M 2的中点⇒t 1＋t 2＝0；
参数方程 考点要求 1 了解参数方程的定义。 2 分析直线，圆，圆锥曲线的几何性质。会选择适当的参数，写出他们的参数方程。并理解直线参数方程标准形式中参数的意义。 3掌握曲线的参数方程与普通方程的互化。 考点与导学 1参数方程的定义：在取定的坐标系中。如果曲线上任意一点的坐标y x ,都是某个变量t 的函数⎩⎨⎧==) ()(t g y t f x (t ∈T) （1） 这里T 是)(),(t g t f 的公共定义域。并且对于t 的每一个允许值。由方程（1）所确定的点 ),(y x M 。都在这条曲线上；那么（1）叫做这条曲线的参数方程，辅助变数t 叫做参数。 2过点),,(000y x p 倾斜角为α的直线l 的参数方程 （I ）⎩ ⎨⎧+=+=ααsin cos 00t y y t x x （t 为参数） （i ）通常称（I ）为直线l 的参数方程的标准形式。其中t 表示),,(000y x p 到l 上一点),(y x p 的有向线段p p 0的数量。 t>0时，p 在0p 上方或右方；t<0时，p 在0p 下方或左方，t=0时，p 与0p 重合。 （ii ）直线的参数方程的一般形式是：⎩⎨ ⎧+=+=bt y y at x x 00（t 为参数） 这里直线l 的倾斜角α的正切b a =αtan （00900==αα或时例外）。当且仅当122=+ b a 且b>0时. （1）中的t 才具有（I ）中的t 所具有的几何意义。 2 圆的参数方程。 圆心在点),,(00'y x o 半径为r 的圆的参数方程是⎩⎨⎧+=+=θ θsin cos 00r y y r x x （θ为参数） 3 椭圆122 22=+b y a x 的参数方程。 ⎩ ⎨⎧==θθsin cos b y a x （θ为参数） 4 双曲线122 22=-b y a x 的参数方程：⎩⎨⎧==θ θtan sec b y a x （θ为参数）
第二章参数方程 曲线的参数方程 教学目标： 1．通过分析抛物运动中时间与运动物体位置的关系，写出抛物运动轨迹的参数方程，体会参数的意义。 2．分析圆的几何性质，选择适当的参数写出它的参数方程。 3．会进行参数方程和普通方程的互化。 教学重点：根据问题的条件引进适当的参数，写出参数方程，体会参数的意义。参数方程和普通方程的互化。 教学难点：根据几何性质选取恰当的参数，建立曲线的参数方程。参数方程和普通方程的等价互化。 教学过程 一．参数方程的概念 1．探究： （1）平抛运动： 练习：斜抛运动：2．参数方程的概念 x y 500 O A v=100m/s x y O v=v0
（见教科书第22页） 说明：（1）一般来说，参数的变化范围是有限制的。 （2）参数是联系变量x ，y 的桥梁，可以有实际意义，也可无实际意义。 例1．（教科书第22页例1）已知曲线C 的参数方程是 (t 为参数) （1）判断点M 1(0,1),M 2(5,4)与曲线C 的位置关系； （2）已知点M 3(6,a )在曲线C 上，求a 的值。 A 、一个定点 B 、一个椭圆 C 、一条抛物线 D 、一条直线 二．圆的参数方程 说明： （1）随着选取的参数不同，参数方程形式也有不同，但表示的曲线是相同的。 （2）在建立曲线的参数方程时，要注明参数及参数的取值范围。 例2．（教科书第24页例2） x y O r M M 0
思考：你能回答教科书第25页的思考吗？ 三．参数方程和普通方程的互化 1．阅读教科书第25页，明确参数方程和普通方程的互化的方法。注意，在参数方程和普通方程的互化中，必须使x，y的取值范围保持一致。 例3．（教科书第25页例3） 例4．（教科书第26页例4） 2．你能回答教科书第26页的思考吗？ 四．课堂练习 （教科书第26页习题） 五．巩固与反思 1．本节学习的数学知识 2．本节学习的数学方法 巩固与提高 1．与普通方程xy=1表示相同曲线的参数方程（t为参数）是（D） A． B． C． D． 2．下列哪个点在曲线上（C） A．(2,7) B． C． D．(1,0)
二 圆锥曲线的参数方程 庖丁巧解牛 知识·巧学 一、椭圆的参数方程 中心在原点，坐标轴为对称轴的椭圆的参数方程有以下两种情况： (1)椭圆22 22b y a x +=1(a>b>0)的参数方程是⎩ ⎨⎧==θθsin ,cos b y a x (θ为参数，且0≤θ<2π）. (2)椭圆22 22a y b x +=1(b>a>0)的参数方程是⎩⎨⎧==θ θsin ,cos a y b x (θ为参数,且0≤θ<2π). 以(x 0，y 0)为中心，半长轴为a ，半短轴为b ，焦点连线平行于x 轴的椭圆的参数方程是⎩⎨⎧+=+=θ θsin ,cos 00b y y a x x （θ是参数）. 方法点拨 在利用⎩⎨⎧==θ θsin ,cos b y a x 研究椭圆问题时，椭圆上的点的坐标可记作 (acos θ,bsin θ). 二、双曲线的参数方程 中心在原点，坐标轴为对称轴的双曲线的参数方程有以下两种情况： (1)双曲线22 22b y a x -=1的参数方程为⎩⎨⎧==ϕ ϕtan ,sec b y a x （φ为参数）； (2)双曲线22 22a y b x -=1的参数方程为⎩ ⎨⎧==ϕϕtan ,sec a y b x （φ为参数）. 以(x 0，y 0)为中心，半实轴为a ，半虚轴为b ，焦点连线平行于x 轴的双曲线的参数方程为⎩⎨⎧+=+=θ θtan ,sec 00b y y a x x (θ为参数，0≤θ<2π，θ≠2π,23π). 方法点拨 在利用⎩ ⎨⎧==ϕϕtan ,sec b y a x 研究双曲线问题时，双曲线上的点的坐标可记作(asec φ,btan φ). 三、抛物线的参数方程 顶点在坐标原点的抛物线参数方程： 抛物线y 2 =2px(p>0)的参数方程：⎩⎨⎧==pt y pt x 2,22(p>0,t 为参数,t∈R ), 其中参数t 可视为该抛物线y 2=2px(p>0)上任一点P 与抛物线顶点O 所连直线OP 的斜率的倒数.设抛物线上任一点P(x,y),则t=y x .
《参数方程》教案3（新人教A版选修4-4） 参数方程与极坐标 一. 本周教学内容： 《平面解析几何》第三章"参数方程与极坐标"全章小结与巩 固提高，主要包括：（1）知识要点与方法的回顾；（2）典 型例题分析与讲解；（3）单元检测。 二. 重点、难点： 1. 参数方程与普通方程的区别与联系： 在求曲线的方程时，一般地需要建立曲线上动点P（x，y） 的坐标x，y之间满足的等量关系F（x，y）＝0，这样得到 的方程F（x，y）＝0就是曲线的普通方程；而有时要想得到 联系x，y的方程F（x，y）＝0是比较困难的，于是可以通 过引入某个中间变量t，使之与曲线上动点P的坐标x，y间 接地联系起来，此时可得到方程组 显然，参数方程与普通方程的最明显的区别是其方程形式上 的区别，更大的区别是普通方程反映了曲线上任一点坐标x，y的直接关系，而参数方程则反映了x，y的间接关系。 尽管参数方程与普通方程有很大的区别，但他们之间又有着 密切的联系，这种联系表现在两方面：（1）这两种方程都是 同一曲线的不同的代数表现形式，是同一事物的两个方面；（2）这两种方程之间可以进行互化，通过消参可以把参数方
程化为普通方程，而通过引入参数，也可把普通方程化为参 数方程。需要注意的是，在将两种方程互化的过程中，要注 意两种方程（在表示同一曲线的）等价性，即注意参数的取 值范围对x，y的取值范围的影响。 实质上，参数的思想方法就是在运动变化的哲学思想指导下 的函数的思想方法，因此也可认为引入参数就是引入函数的 自变量。参数法在求曲线的轨迹方程，以及研究某些最值问 题时是一种常用的甚至是简捷的解题方法。 2. 化参数方程为普通方程的基本思路是消去参数，常用的 消参方法有代入消去法、加减消去法、恒等式（三角的或代 数的）消去法。 3. 化普通方程为参数方程的基本思路是引入参数，即选定 合适的参数t，先确定一个关系x=f(t)（或y=((t)），再代入普通方程F（x，y）＝0，求得另一关系y=((t)（或x=f(t)）。一般地，常选择的参数有角、有向线段的数量、斜率，某一 点的横坐标（或纵坐标）。 4. 常见曲线的参数方程的一般形式： （1）经过点P0（x0，y0），倾斜角为(的直线的参数方程为利用直线的参数方程，研究直线与圆锥曲线的位置关系以及 弦长计算，有时比较方便。方法是： 则（1）当△0时，l与C无交点；（2）当△=0时，l与C有一公共点；（3）当△0时，l与C有两个公共点；此时方程
2.4 圆锥曲线参数方程的应用 【课标要求】 1、了解抛物运动轨迹的参数方程及参数的意义。 2、理解直线的参数方程及其应用；理解圆和椭圆（椭圆的中心在原点）的参数方程及其简单应用。 3、会进行曲线的参数方程与普通方程的互化。 一、教学目标： 知识与技能：利用圆锥曲线的参数方程来确定最值，解决有关点的轨迹问题 过程与方法：选择适当的参数方程求最值。 情感、态度与价值观：通过观察、探索、发现的创造性过程，培养创新意识。 二、重难点：教学重点：选择适当的参数方程求最值。 教学难点：正确使用参数式来求解最值问题 三、教学模式：讲练结合，探析归纳 四、教学过程： （一）、复习引入： 通过参数θ简明地表示曲线上任一点坐标将解析几何中以计算问题化为三角问题，从而运用三角性质及变换公式帮助求解诸如最值，参数取值范围等问题。 （二）、讲解新课： 例1 、双曲线6sec ({x y ααα==为参数） 的两焦点坐标是 。 答案：（0， ，（0， 。学生练习。 例2、方程{t t t t x y e e e e --=+ =-（t 为参数）的图形是 双曲线右支 。 学生练习，教师准对问题讲评。反思归纳：判断曲线形状的方法。 例3、设P 是椭圆22364 1y x +=在第一象限部分的弧AB 上的一点，求使四边形OAPB 的面积最大的点P 的坐标。 分析：本题所求的最值可以有几个转化方向，即转化为求,POA poB OAPB s s S ∆+∆的最大值或
者求点P 到AB 的最大距离，或者求四边形OAPB 的最大值。 学生练习，教师准对问题讲评。【θ=4 π 时四边形OAPB 的最大值P 为（2）。】 （三）、巩固训练 1、直线)(sin cos 为参数θθθ⎩⎨ ⎧==t y t x 与圆)(sin 2cos 24为参数ϕϕϕ⎩⎨⎧=+=y x 相切，那么直线的倾斜角为（A ） A ．6π或65π B ．4π或43π C ．3π或3 2π D ．6π-或65π- 2、椭圆 122 22=+b y a x （0>>b a ）与x 轴正向交于点A ，若这个椭圆上存在点P ，使OP ⊥AP ，（O 为原点），求离心率e 的范围。 3、抛物线x y 42=的内接三角形的一个顶点在原点，其重心恰是抛物线的焦点，求内接三角形的周长。 4、设P 为等轴双曲线122=-y x 上的一点，1F ，2F 为两个焦点，证明2 21OP P F P F =⋅ 5、求直线为参数）t t y t x (11⎩⎨⎧-=+=与圆422=+y x 的交点坐标。 解：把直线的参数方程代入圆的方程，得(1+t)2+(1-t)2=4,得t=±1,分别代入直线方程,得交点 为（0，2）和（2，0）。 （三）、小结：本节课我们利用圆锥曲线的参数方程来确定最值，解决有关点的轨迹问题，选择适当的参数方程正确使用参数式来求解最值问题，要求理解和掌握求解方法。 （四）、作业： 练习：在抛物线ax y 42=)0(>a 的顶点，引两互相垂直的两条弦OA ，OB ，求顶点O 在AB 上射影H 的轨迹方程。 五、教学反思： 精美句子 1、善思则能“从无字句处读书”。读沙漠，读出了它坦荡豪放的胸怀；读太阳，读出了它普照万物的无私；读春雨，读出了它润物无声的柔情。读大海，读出了它气势磅礴的豪情。读石灰，读出了它粉身碎骨不变色的清白。
数学选修4-4坐标系与参数方程知识点总结第一讲 一平面直角坐标系 1．平面直角坐标系 (1)数轴：规定了原点，正方向和单位长度的直线叫数轴．数轴上的点与实数之间可以 建立一一对应关系． (2)平面直角坐标系： ①定义：在同一个平面上互相垂直且有公共原点的两条数轴构成平面直角坐标系，简称为直角坐标系； ②数轴的正方向：两条数轴分别置于水平位置与竖直位置，取向右与向上的方向分别为两条数轴的正方向； ③坐标轴水平的数轴叫做x轴或横坐标轴，竖直的数轴叫做y轴或纵坐标轴，x轴或y 轴统称为坐标轴； ④坐标原点：它们的公共原点称为直角坐标系的原点； ⑤对应关系：平面直角坐标系上的点与有序实数对(x，y)之间可以建立一一对应关系． (3)距离公式与中点坐标公式：设平面直角坐标系中，点P1(x1，y1)，P2(x2，y2)，线段 P1P2的中点为P，填表： 两点间的距离公式中点P的坐标公式 2＋〔y |P1P2|＝〔x1－x2〕1－y2〕2 x1＋x2 x＝ y＝ 2 y1＋y2 2 2.平面直角坐标系中的伸缩变换 设点P(x，y)是平面直角坐标系中的任意一点，在变换φ：x′＝λx〔λ>0〕 y′＝μy〔μ>0〕 的作用下， 点P(x，y)对应到点P′x(′，y′)，称φ为平面直角坐标系中的坐标伸缩变换，简称伸缩变换．
二极坐标系 (1)定义：在平面内取一个定点O，叫做极点；自极点O引一条射线Ox叫做极轴；再选 定一个长度单位、一个角度单位(通常取弧度)及其正方向(通常取逆时针方向)，这样就建立 了一个极坐标系． (2)极坐标系的四个要素：①极点；②极轴；③长度单位；④角度单位及它的方向． (3)图示 2．极坐标 (1)极坐标的定义：设M是平面内一点，极点O与点M的距离|OM|叫做点M的极径， 记为ρ；以极轴Ox为始边，射线OM为终边的角xOM叫做点M的极角，记为θ.有序数对(ρ， θ)叫做点M的极坐标，记作M(ρ，θ)． (2)极坐标系中的点与它的极坐标的对应关系：在极坐标系中，极点O的极坐标是(0，θ)，(θ∈R)，假设点M的极坐标是M(ρ，θ)，那么点M的极坐标也可写成M(ρ，θ＋2kπ)， (k∈Z)． 假设规定ρ>0，0≤θ<2π，那么除极点外极坐标系内的点与有序数对(ρ，θ)之间才是一一对应关系． 3．极坐标与直角坐标的互化公式 如下图，把直角坐标系的原点作为极点，x轴的正半轴作为极轴，且长度单位一样， 设任意一点M的直角坐标与极坐标分别为(x，y)，(ρ，θ)． (1)极坐标化直角坐标 x＝ρcosθ， y＝ρsinθＷ. (2)直角坐标化极坐标 ρ2＝x2＋y2， tanθ＝y 〔x≠0〕. x 三简单曲线的极坐标方程 1．曲线的极坐标方程 一般地，在极坐标系中，如果平面曲线C上任意一点的极坐标中至少有一个满足方程f(ρ，θ)＝0，并且坐标适合方程f(ρ，θ)＝0的点都在曲线C上，那么方程f(ρ，θ)＝0叫做曲线C的极坐标方程． 2．圆的极坐标方程 (1)特殊情形如下表： 圆心位置极坐标方程图形 圆心在极点(0，0) ρ＝r (0≤θ<2π)
从一道课本例题来看如何培养学生解析几何的思维品质 人教版教材《数学•选修4-4》第二讲中有一道例题：如图2-13，O 是直角坐标原点，A ，B 是抛物线2 2(0)y px p =>上异于顶点的两动点，且,OA OB OM AB ⊥⊥并与AB 相交于 点M ，求点M 析几何的一个很好的素材，这节课可充分探究式教学，为解决高考中有关解析几何压轴大题奠定很好的基础。探究： Ⅰ 一题多解，思维发散，培养思维的敏捷性与灵活性 师：我们已经学习了抛物线的参数方程，如何用参数方程来求动 点M 的轨迹呢？ 生1：可根据条件，设点M ，A ，B 的坐标分别为， 22 11221212(,),(2,2),(2,2)(,0)x y pt pt pt pt t t t t ≠≠且 则，211OM (,),(2,2),x y OA pt pt ==2 22(2,2),OB pt pt = 222121(2(),2())AB p t t p t t =-- 0OA OB OA OB ⊥⇒=，即：22121212(2)(2)01pt t p t t t t +=⇒=-…………………① OM OM 0AB AB ⊥⇒⊥=，即：2 22 121122()2()0()0px t t py t t x t t y -+-=⇒++= 即：12(0)y t t x x +=- ≠……………………………………………………………………② 又2 2 1212,,AM//(2)(2)(2)(2)A M B x pt pt y y pt pt x ⇔⇔--=--三点共线MB 即：1212()20y t t pt t x +--=………………………………………………………………③ 由①②③可得：点M 的轨迹方程为2 2 20(0)x y px x +-=≠ 师：这位同学的解答利用了抛物线的参数方程，设出A 、B 两点的坐标，再利用题中三个独立的已知条件建立三个方程，再联立方程消参，便可得到所求的轨迹方程。请同学们再想一下，为什么要建立三个方程，两个方程行吗？由此你能得到什么结论？ 生2：因为设立了两个参数，再加上,x y 等于有四个未知数，要消去参数得到,x y 的关系，就必须建立三个方程，由此，如果设一个参数就只要一个方程，设三个参数就要四个方程了……以此类推，方程的个数比参数多一个就行了。 师：很好，我们学习了参数方程，主要是要大家在解题时自觉建立参数的思想解题，以前我们设直线的方程、弦的端点坐标等等实际上就是用到了参数思想。再请同学们思考一下，还有设参数的方法吗？ 生3：设1122:(,),(,),(,)AB l y kx b A x y B x y M x y =+ 由2222 (22)02y kx b k x bk p x b y px =+⎧⇒+-+=⎨ =⎩
主动成长 夯基达标 1.下列可以作为直线2x -y +1=0的参数方程的是( ) A.⎩ ⎨ ⎧+=+=t y t x 31(t 为参数) B.⎩⎨ ⎧-=+=t y t x 252(t 为参数) C.⎩ ⎨ ⎧-=-=t y t x 231(t 为参数) D.⎪⎪⎩ ⎪⎪⎨⎧+=+ =t y t x 55555 22(t 为参数) 解析一:根据所给的方程可知直线的斜率为2,而所给直线的参数方程中,A 选项的斜率是1,B 选项的斜率是-2,C 选项的斜率是2,D 选项的斜率是2 1 .所以只有C 符合条件,这里C 虽然不是标准式的参数方程,但是只有C 能化成2x -y +1=0. 解析二:化各参数方程为普通方程,再去比较. 答案:C 2.已知参数方程⎩ ⎨ ⎧+=+=θλθλsin , cos bt y at x (a 、b 、λ均不为零,0≤θ≤2π).当(1)t 是参数;(2)λ是参数;(3)θ 是参数,则下列结论中成立的是( ) A.(1)(2)(3)均为直线 B.只有(2)是直线 C.(1)(2)是直线,(3)是圆 D.(2)是直线,(1)(3)是圆锥曲线 解析:若t 是参数,a 、b 、λ、θ为常数,消去t 得一个关于x 、y 的二元一次方程,故t 是参数时,参数方程表示直线,若λ是参数,a 、b 、t 、θ是常数,消λ后方程化为关于x 、y 的二元一次方程,故λ是参数时,参数方程仍表示直线;若θ是参数,a 、b 、t 、λ是常数,消θ后方程化为(x -at )2+(y -bt )2=λ2,参数方程表示圆. 答案:C 3.两条曲线的参数方程分别是⎪⎩⎪⎨⎧-=-=θ θ2 2 sin 2, 1cos y x (θ为参数),⎩⎨⎧==t y t x sin 2,cos 3(t 为参数),则其交点个数为( ) A.0 B.1 C.0或1
曲线的参数方程 教学目标： 1．通过分析抛物运动中时间与运动物体位置的关系，写出抛物运动轨迹的参数方程，体会参数的意义。 2．分析圆的几何性质，选择适当的参数写出它的参数方程。 3．会进行参数方程和普通方程的互化。 教学重点：根据问题的条件引进适当的参数，写出参数方程，体会参数的意义。参数方程和普通方程的互化。 教学难点：根据几何性质选取恰当的参数，建立曲线的参数方程。参数方程和普通方程的等价互化。 教学过程 一．参数方程的概念 1．探究： （1）平抛运动： 为参数） t gt y t x (215001002⎪⎩ ⎪ ⎨⎧-== 练习：斜抛运动： 为参数） t gt t v y t v x (21sin cos 200⎪⎩ ⎪ ⎨⎧-⋅=⋅=αα 2．参数方程的概念 （见教科书第22页） 说明：（1）一般来说，参数的变化X 围是有限制的。 （2）参数是联系变量x ，y 的桥梁，可以有实际意义，也可无实际意义。 例1．（教科书第22页例1）已知曲线C 的参数方程是⎩⎨⎧+==1 232 t y t x (t 为参数) （1）判断点M 1(0,1),M 2(5,4)与曲线C 的位置关系； （2）已知点M 3(6,a )在曲线C 上，求a 的值。 ) 0,1()2 1 ,21()21,31()7,2()(2cos sin 2D C B A y x ，、，、，、的坐标是表示的曲线上的一个点为参数、方程θθθ⎩⎨⎧==
A 、一个定点 B 、一个椭圆 C 、一条抛物线 D 、一条直线 二．圆的参数方程 )(sin cos 为参数t t r y t r x ⎩⎨ ⎧==ωω )(sin cos 为参数θθ θ⎩⎨ ⎧==r y r x 说明： （1）随着选取的参数不同，参数方程形式也有不同，但表示的曲线是相同的。 （2）在建立曲线的参数方程时，要注明参数及参数的取值X 围。 例2．（教科书第24页例2） 思考：你能回答教科书第25页的思考吗？ 三．参数方程和普通方程的互化 1．阅读教科书第25页，明确参数方程和普通方程的互化的方法。注意，在参数方程和普通方程的互化中，必须使x ，y 的取值X 围保持一致。 例3．（教科书第25页例3） 例4．（教科书第26页例4） 2．你能回答教科书第26页的思考吗？ 四．课堂练习 （教科书第26页习题） 五．巩固与反思 1．本节学习的数学知识 2．本节学习的数学方法 巩固与提高 1．与普通方程xy=1表示相同曲线的参数方程（t 为参数）是（D ） A ．⎩⎨⎧==-22t y t x B ． ⎩⎨⎧==t y t x csc sin C ．⎪⎩ ⎪ ⎨⎧==t y t x 1 D ．⎩⎨⎧==t y t x cot tan 轨迹是所表示的一族圆的圆心为参数、由方程)(045243222t t ty tx y x =-+--+。半径，并化为普通方程所表示圆的圆心坐标、为参数、指出参数方程)(sin 235cos 22ααα+=-=⎩⎨⎧y x