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第九章《不等式与不等式组》章节计划教材分析：第一本章主要内容包括：不等式的有关概念，不等式的性质，一元一次不等式（组）的相关概念及其解法，利用一元一次不等式（组）分析与解决实际问题。
其中，以一元一次不等式（组）为工具分析解决实际问题是全章的重点，同时也是难点。
第二本章的编写思路第8章“二元一次方程组有大致相同。
类似于方程是解决具有相等关系的实际问题的数学模型一样，不等式（组）是解决具有不等关系的实际问题的数学模型。
本章也都是从丰富的实际问题出发，在分析解决实际问题的过程中，认识不等式（组）（主要是一元一次不等式（组）），学习解一元一次不等式（组）的方法。
这样的一种编排，就将利用一元一次不等式（组）分析解决实际问题贯穿于全章始终，突出重点，强调不等式（组）是解决实际问题的一种有效的数学模型。
第三本章首先从一个行程问题出发，通过分析问题中的不等关系列出不等式，由此引出不等式的概念，然后通过讨论满足不等式成立的x的取值，给出不等式的解集以及一元一次不等式的概念；接下去采用与等式的性质相类比的方式讨论了不等式的3条性质，这就为求出一元一次不等式的解集提供了依据；为了更好地体现不等式是解决实际问题的有效工具。
第四教课书安排了一节“实际问题与一元一次不等式”，探讨了商场购物、空气质量、知识竞赛等情景中的一些具有不等关系的问题，利用一元一次不等式解决这些实际问题，这里列出的不等式比以前见过的复杂，有需要去括号的，有需要去分母的等，这样就结合实际问题，在分析解决实际问题的过程中进一步学习一元一次不等式（组）的解法，最后类比一元一次方程的解法，归纳出求一元一次不等式解集的基本过程。
这样就将有关一元一次不等式的概念和解法融入到分析解决实际问题的过程中。
二元一次不等式组也是采用了这种方式进行编排。
第五本章内容主要是不等式的概念和一元一次不等式的解法，教学重点是不等式（组）的解法和用一元一次不等式解决实际问题。
通过本章学习，不仅使学生学会解一元一次不等式（组）的方法，更使学生体会不等式是解决实际问题的有效的数学模型不等式与不等式组课程标准（1）结合具体问题，了解不等式的意义，探索不等式的基本性质。
第九章不等式与不等式组单元总体分析一、教学内容：不等式的知识是初中阶段在一元一次方程和二元一次方程组的学习之后，进一步探究现实世界数量关系的重要内容．数量之间除了有相等关系外，还有大小不等的关系．正如方程与方程组是讨论等量关系的有力数学工具一样，不等式与不等式组是讨论不等关系的有力数学工具．应用不等式的基本性质解一元一次不等式，是一项基本技能，也是学生以后学习一元二次方程、函数以及进一步学习不等式知识的基础。
教材注重了一元一次不等式（组）的解法与一元一次不等式（组）在实际问题中的应用的有机结合，让学生经历和体会“从实际问题中抽象出数学模型，并回到实际问题中解释和检验”的过程。
二、教学目标1、知识与技能：①了解一元一次不等式及其相关概念，经历“把实际问题抽象为不等式”的过程，能够“列出不等式或不等式组表示问题中的不等关系”，体会不等式（组）是刻画现实世界中不等关系的一种有效的数学模型．②通过观察、对比和归纳，探索不等式的性质，能利用它们探究一元一次不等式的解法．③了解解一元一次不等式的基本目标（使不等式逐步转化为的形式），熟悉解一元一次不等式的一般步骤，掌握一元一次不等式的解法，并能在数轴上表示出解集，体会解法中蕴涵的化归思想．④了解不等式组及其相关概念，会解由两个一元一次不等式组成的不等式组，并会用数轴确定解集．2、过程与方法：使学生经历建立一元一次不等式（组）这样的数学模型并应用它解决实际问题的过程，体会不等式（组）的特点和作用，掌握运用它们解决问题的一般方法，提高分析问题、解决问题的能力，增强创新精神和应用数学的意识。
3、情感、态度与价值观：（1）体会数学与现实生活的联系，增强克服勇气和信心；（2）会应用数学知识解决一些简单的实际问题，增强应用意识；（3）使学生进一步形成数学来源于实践，又服务于实践的辩证唯物主义观点。
三、重点难点重点：了解一元一次不等式及其相关概念；掌握一元一次不等式的解法，并能在数轴上表示出解集；了解不等式组及其相关概念，会解由两个一元一次不等式组成的不等式组，并会用数轴确定解集．难点：列出不等式或不等式组表示问题中的不等关系。
9.1.2不等式的性质【回顾引入】对于某些简单的不等式，我们可以直接得出它们的解集，例如不等式x+3＞6的解集是x＞3,不等式2x ＜8的解集是x＜4.但是对于比较复杂的不等式，例如5x+1 6−2＞x−54,直接得出解集就比较困难.因此，还要讨论怎样解不等式.与解方程需要依据等式的性质一样，解不等式需要依据不等式的性质.回想一下，等式有哪些性质？分别用文字语言和符号语言表示出来.等式有上述性质，那不等式是否也应该同样具备类似的性质呢？（3）形如a≥b或a≤b的式子，也具有不等式的三个性质，即：若a≥b,则a±c≥b±c,ac≥bc或ac ≥bc(其中c＞0),ac≤bc或ac ≤abc(其中c＜0).（4）用数轴表示不等式的解集时，实心圆点和空心圆圈有什么区别？不等式的解集中含“≥”“≤”时在数轴上如何表示？答：实心圆点表示取值范围内包含这个数，而空心圆圈则表示不包含这个数.不等式的解集中含“≥”“≤”时在数轴上的表示如下：（5）用不等式的性质解下列不等式，并在数轴上表示解集：①［教材P117例1（3）］23x＞50；②［教材P117例1（4）］-4x＞3；③-3x +2≤8；④x 4≤x 4-17.解：①根据不等式的性质2，不等式两边乘32，不等号的方向不变，所以32×23x ＞32×50，x ＞75.解集在数轴上的表示如图①所示.②根据不等式的性质3，不等式两边除以-4，不等号的方向改变，所以−4x −4-＜3−4，x ＜-34.解集在数轴上的表示如图②所示.③根据不等式的性质1，不等式两边减2，不等号的方向不变，所以-3x+2-2≤8-2，-3x ≤6.根据不等式的性质3，不等式两边除以-3，不等号的方向改变，所以−3x −3-3≥6−3，x ≥-2.解集在数轴上的表示如图③所示.④根据不等式的性质1，不等式两边减x6，不等号的方向不变，所以x 4-x 6≤x 6-17-x 6，x 12≤-17.根据不等式的性质2，不等式两边乘12，不等号的方向不变，所以12×x12≤12×(−17)，x ≤-127.解集在数轴上的表示如图④所示. 【对应训练】1~2.教材P119练习第1~2题.探究点3利用不等式的性质解决实际问题（教材P119例2）如图，某长方体形状的容器长5cm，宽3cm，高10cm.容器内原有水的高度为3cm，现准备向它继续注水.用V(单位：cm3)表示新注入水的体积.（1）新注入水的体积V与原有水的体积的和（2）与容器的容积有什么关系？答：新注入水的体积V与原有水的体积的和不能超过容器的容积.（2）新注入水的体积V可以是负数吗？不能.（3）你能写出V的取值范围吗？答：由（1）知V＋3×5×3≤3×5×10，即V≤105.由（2）知V≥0，所以V的取值范围是V≥0并且V≤105.（4）试将V的取值范围在数轴上表示出来.你认为在数轴上表示需要注意什么？在数轴上表示V的取值范围如图所示.需要注意：这是一个包含两端点的区间（闭区间）.【教学建【对应训练】用炸药爆破时，如果导火索燃烧的速度是0.8cm/s,人跑开的速度是4m/s,为了让点导火索的战士在爆破时能够跑到100m以外(不含100m)的安全区域，这个导火索的长度应大于多少厘米?请将解集在数轴上表示出来.解：设导火索的长度是xcm.根据题意，得x0.8×4＞100,解得.在数轴上表示x的取值范围如图所示. 议】此类实际问题容易引起学生关注，激发他们参与学习的热情.教学中让学生体会到生活中蕴含着数学知识，反过来数学知识又帮助我们解决生活中的许多实际问题，从而感受到知识的应用价值.活动三：重点突破，提升探例若不等式2x＜4的解都能使关于x的不等式3x＜a+5成立，求a的取值范围.【教学建议】一些简单的实际问题吗？【知识结构】【作业布置】1.教材P120习题9.1第4~9题.2.《创优作业》主体本部分相应课时训练.不等式的其他性质：（1）若a＞b，则b＜a；（2）若a＞b，b＞c，则a＞c；（3）若a＞b，c＞d，则a+c＞b+d.例1实数a，b，c在数轴上的对应点如图所示，则下列式子中正确的是（C）A.-a-c＞-b-cB.ac＞bcC.|a-b|=a-bD.a＜-b＜-c解析：由图知：a＞b，那么-a＜-b，-a-c＜-b-c，故A选项错误，不符合题意；由图知：a＞b，c＜0，那么ac＜bc，故B选项错误，不符合题意；由图知：a＞b，那么a-b＞0，|a-b|=a-b，故C选项正确，符合题意；由图知：|a|＞|b|，|a|＞|c|，a＞0，c＜b＜0，那么a＞-c＞-b，故D选项错误，不符合题意.故选C.例2根据等式和不等式的性质，我们可以得到比较两数大小的方法：(1)①如果a-b＜0，那么a＜b；②如果a-b=0，那么a=b；③如果a-b ＞0，那么a＞b.(2)（1）中这种比较大小的方法称为“求差法比较大小”，请运用这种方法尝试解决下面的问题：①比较4+3a2-2b+b2与3a2-2b+1的大小；②若2a+2b-1＞3a+b，比较a，b的大小.解：（2）①因为4+3a2-2b+b2-(3a2-2b+1)=b2+3＞0，所以4+3a2-2b+b2＞3a2-2b+1.②因为2a+2b-1＞3a+b，所以2a+2b-3a-b＞1，即b-a＞1.因为1＞0，所以b-a＞0.所以a＜b.例3用甲、乙两种原料配制成某种饮料，已知这两种原料的维生素C 的含量及购买这两种原料的价格如下表：（1）现配制9kg这种饮料，要求至少含有4000单位的维生素C，试写出所需甲种原料的质量x（单位：kg）应满足的不等式；（2）在（1）的条件下，如果还要求甲、乙两种原料的费用不超过70元，试写出x（单位：kg）应满足的另一个不等式.解：（1）由题意，得500x+80（9-x）≥4000.（2）由题意，得16x+4（9-x）≤70.。
第九章不等式与不等式组9.1不等式9.1.1不等式及其解集【教学目标】知识与技能1.能感受到生活中存在着大量的不等关系，了解不等式和一元一次不等式和意义；2.会寻找不等式的解，会在数轴上正确地表示出不等式的解集；3.能够根据题意准确迅速地列出相应的不等式。
过程与方法通过汽车行驶过A地这一实例的研究，使学生体会到数学来源于生活，又服务于生活，培养学生“学数学、用数学”的意识；情感、态度与价值观培养学生类比的思想方法、数形结合的思想。
【教学重难点】重点:1.不等式、一元一次不等式、不等式解与解集的意义；2.在数轴上正确地表示出不等式的解集；难点:不等式解集的意义，根据题意列出相应的不等式。
【导学过程】【情境引入】引例：一辆匀速行驶的汽车在11：20距离Ａ地50千米，要在12：00之前驶过Ａ地，车速应满足什么条件？设车速是x千米/小时，(1)从时间上看，汽车要在12：00之前驶过Ａ地，则以这个速度行驶50千米所用的时间不到小时，即＜①(2) 从路程上看，汽车要在12：00之前驶过Ａ地，则以这个速度行驶小时的路程要超过50千米，即ｘ＞50 ②【新知探究】探究一、不等式、一元一次不等式的概念1.不等式请同学们观察上面的两个式子,式子左右两边的大小关系是怎样的? 左右两边相等吗?不等式：像上面的这些式子，用符号“”，“”，“”“”或“”表示不等关系的式子叫做不等式用“＞”或“＜”号表示大小关系的式子叫做不等式;2.练习判断下列式子中哪些是不等式，是不等式的请在题后的括号内划“√”，不是的请划“×”(1)3＞ 2 ( ）(2)2a+1＞0 ( ）(3)a ＋b＝b＋a （）(4)x＜2x+1 （）(5)x＝2x-5 （）(6)2x+4x＜3x+1 （）(7)15≠7＋9 （）上面的不等式中，有些不含未知数，有些含有未知数，大家把(2)、(4)、(6)式与(5)式类比，(5)式是一个一元一次方程，能不能给(2)、(4)、(6)式也起个名字呢?3. 一元一次不等式不等式：像上面的这些式子，用符号“”，“”，“”“”或“”表示不等关系的式子叫做不等式。
第九章不等式与不等式组教案（人教版初一下）第一节、知识梳理一、学习目标1. 把握不等式及其解〔解集〕的概念，明白得不等式的意义.2. 明白得不等式的性质并会用不等式差不多性质解简单的不等式.3. 会用数轴表示出不等式的解集.二、知识概要1. 不等式：一样地，用不等号”〉"、”v"表示不等关系的式子叫做不等式2. 不等式的解：一样地，在含有未知数的不等式中，能使不等式成立的未知数的值，叫做不等式的解3. 不等式的解集：一个不等式的所有解，组成那个不等式的解的集合，称之为此不等式的解集.4. 一元一次不等式：只含有一个未知数，且未知数的次数是 1 的不等式，叫做一元一次不等式.5. 不等式的性质：性质一：不等式的两边都加上〔或减去〕同一个数或同一个整式，不等号的方向不变.性质二：不等式两边都乘以〔或除以〕同一个正数，不等号的方向不变.性质三：不等式的两边都乘以〔或除以〕同一个负数，不等号方向改变.6. 三角形中任意两边之差小于第三边.三、重点难点重点是不等式的差不多性质及其应用，难点是不等式和不等式解集的明白得.四、知识链接本周知识由往常学过的比较大小拓展而来，又为解决实际咨询题提供了一个解题的工具，并为以后学的不等式组打下基础.五、中考视点不等式也是经常考到的内容，经常显现在选择题、填空题中，以解不等式为主. 有时在一些解答题中也要用到不等式，利用不等关系求范畴等.第二节、教材解读1. 常用的不等号有哪些？常用的不等号有五种，其读法和意义是：〔1〕”工"读作”不等于"，它讲明两个量是不相等的，但不能明确哪个大哪个小〔2〕”>"读作”大于'’，表示其左边的量比右边的量大〔3〕”v"读作”小于'’，表示其左边的量比右边的量小〔4〕”》"读作”大于或等于"，即”不小于"，表示左边的量不小于右边的量〔5〕y"读作”小于或等于"，即”不大于'’，表示左边的量不大于右边的量2. 如何恰当地列不等式表示不等关系？〔1〕找准题中不等关系的两个量，并用代数式表示〔2〕正确明白得题目中的关键词语，如：多、少、快、慢、增加了、减少了、不足、不到、不大于、不小于、不超过、非负数、至多、至少等的确切含义〔3〕选用与题意符合的不等号将表示不等关系的两个量的代数式连接起来依照以下关系列不等式：a的2倍与b的亍的和不大于3.前者用代数式表示是2a+丁 b. ”不大于"确实是”小于或等于".列不等式为：2a+〒b w 3.3. 用数轴表示不等式注意什么？用数轴表示不等式要注意两点：一是边界；二是方向•假设边界点在范畴内那么用实心点表示，假设边界点不在范畴内，那么用空心圆圈表示；方向是关于边界点而言，大于向右画，而小于那么向左画在同一个数轴上表示以下两个不等式：x>-3 ; x w 2.V J 」O L 2 3第三节、错题剖析一、去括号时，错用乘法分配律【例1】解不等式3x+2〔2-4x〕<19.错解：去括号，得3x+4-4x<19，解得x>-15.诊断：错解在去括号时，括号前面的数2没有乘以括号内的每一项.正解：去括号，得3x+4-8x<19 ,-5x<15，因此x>-3.二、去括号时，忽视括号前的负号5x-3 〔2x-1〕>-6.错解：去括号，得5x-6x-3>-6，解得x<3.诊断：去括号时，当括号前面是”-〃时，去掉括号和前面的”-〃，括号内的各项都要改变符号•错解在去括号时，没有将括号内的项全改变符号•正解：去括号，得5x-6x+3>-6 ，因此-x>-9，因此x<9.三、移项时，不改变符号【例3】解不等式4x-5<2x-9.错解：移项，得4x+2x<-9-5 ，即6x<-14，因此弓诊断：一元一次不等式中的移项和一元一次方程中的移项一样，移项就要改变符号，错解忽略了这一点.正解：移项，得4x-2x<-9+5 ，解得2x<-4，因此x<-2.四、去分母时，忽视分数线的括号作用【例4】解不等式错解：去分母，得6x-2x-5>14，解得4诊断：去分母时，假如分子是一个整式，去掉分母后要用括号将分子括起来.错解在去掉分母时, 忽视了分数线的括号作用.正解：去分母，得6x- 〔2x-5〕>14，去括号，得6x-2x+5>14，解得儿【例5】解不等式3x —6 v 1+7x.错解：移项，得3x —7x v 1+6,即一4x v 7,因此诊断：将不等式一4x v 7的系数化为1时，不等式两边同除以一4后，依照不等式的差不多性质: 不等式两边同乘以或同除以同一个负数，不等号要改变方向，因此造成了错解正解：移项，得3x—7x<1+6，即—4x V 7，因此x > ■'【例6】x2与a的和不是正数用不等式表示.错解及分析：x 2+a<0.对”不是正数"明白得不清.x2与a的和是0或负数.正解：x2+a w 0.【例7】求不等式2 的非负整数解.—错解及分析：整理得，3x w 16，因此3故其非负整数解是1，2，3，4，5.本例的解题过程没有错误，错在对”非负整数'‘的明白得正解：整理得，3x< 16，因此故其非负整数解是0，1，2，3，4，5.【例8】解不等式3-5〔=x-2〕-4〔-1+5x〕<0.错解及分析：去括号，得3-x-2-4+5x<0，即4x<3，因此4此题一是去括号后各项没有改变符号；二是一个数乘以一个多项式时应该把那个数和多项式的每一项相乘.正解：去括号得3-x+10+4-20x<0，即-21x<-17，因此21【例9】解不等式7x-6<4x-9.错解及分析：移项，得7x+4x<-9-6 ，即11x<-15，因此LL '一元一次不等式中移项和一元一次方程中的移项一样，都要改变符号正解：移项，得7x-4x<-9+6 ，即3x<-3，因此x<-1.错解及分析：去分母，得3+2〔2-3x〕w 5〔1+x〕即11x>2,因此_'I |错误的缘故是在去分母时漏乘了不含分母的一项”3".正解：去分母，得30+2〔2-3x〕w 5〔1+x〕.即11x> 29,因此M【例11】解不等式6x-6W 1+7x.错解及分析：移项，得6x-7x w 1+6.即-x< 7,因此x<-7.将不等式-X W7的系数化为1时，不等式两边同除以-1，不等号没有改变方向，因此造成了错解正解：移项，得6x-7x<1+6.即-x< 7,因此x>-7.【例12】解关于x的不等式m〔x-2〕>x-2.错解：化简，得〔m-1〕x>2〔m-1〕，因此x>2.诊断：错解默认为m-1>0，实际上m-1还可能小于或等于0.正解：化简，得〔m-1〕x>2〔m-1〕，①当m-1>0 时，x>2;②当m-1<0 时，x<2;③当m-1=0时，无解.【例13】解不等式〔a —1〕x > 3.3错解：系数化为1,得X>4l .诊断：此题的未知数系数含有字母，不能直截了当在不等式两边同时除以那个系数，应该分类讨论正解：①当a— 1 > 0时，x > ：I ；②当a= 1时，O X x> 3，不等式无解；③当a—1v 0 时，x v 口-1 .J【例14】不等式组12工-1<0的解集为错解：两个不等式相加，得x-1 v 0,因此x v 1.求出不等式组中各个不等式的解集，然后在数轴上表示出来，求得的公共部分确实是不等式组的解集，而不能用解方程组的方法来求解正解：解不等式组，得 2 .在同一条数轴上表示出它们的解集，如图,因此不等式组的解集为:［例15】解不等式组1儀+2心-£错解：因为5x-3 > 4x+2，且4x+2 > 3x-2 ,因此5x-3 > 3x-2.移项，得5x-3x > -2+3.解得x >L I.诊断：上面的解法套用了解方程组的方法，是否正确，我们能够在x>T的条件下，任取一个x的值,看是否满足不等式组•如取x = 1,将它代入5x-3 > 4x+2，得2 > 6〔不成立〕.可知x>—不是原方程组的解集，其造成错误的缘故是由原不等式组变形为一个新的不等式时，改变了不等式的解集正解：由5x-3 >4x+2，得x> 5.由4x+2> 3x-2，得x>— 4.综合x>5和x>—4，得原不等式组的解集为x>5.【例16】解不等式组5—49错解：由不等式2x+ 3<7可得x<2.由不等式5x-6>9可得x>3.因此原不等式组的解集为2>x>3.诊断：由不等式性质可得，2>3,这是不可能的.正解：由不等式2x+ 3<7可得x<2.由不等式5x-6>9可得x>3.因此原不等式组无解.错解：去分母，得 3 —4x —1>9x.移项，得—4x —9x> 1 —3合并，得—13x>—2系数化为1,得.诊断：此题忽视了分数线的双重作用，去分母时，假设分子为多项式，应对其加上括号•正解：去分母，得3-〔4x —1〕> 9x去括号，得3 —4x+1 > 9x.移项，得一4x —9x>-1 —3合并，得—13x >—4系数化为1,得I」【例18】假设不等式组^ 的解集为x>2，那么a的取值范畴是〔〕.A. a<2B. a <2C. a>2D. a >2s错解及分析：原不等式组可分为爼=6得a<2,应选A.x>2 f当a=2时，原不等式组变为厶解集也为x>2.正解：应为a< 2 ,应选B.2T<7+X ■）①【例19】解不等式组殳C.②错解：②—①，得不等式组的解集为x<-13.诊断：错解中把方程组的解法套用到不等式组中正解：由不等式2x<7+x得到x<7.由不等式3x<x-6得到x<-3.因此原不等式组的解集为x<-3.第四节、思维点拨一、巧用乘法【例1】解不等式0.125x V 3.【摸索与分析】此不等式是一元一次不等式的一样形式，只需不等式两边同时除以0.125，就能够化系数为” T,然而较繁.不如利用不等式的性质2两边同乘以8要比两边同除以0.125解得简捷.解：两边同乘以8,得x v 24.、巧去分母【例2】解不等式【摸索与分析】常规方法是先去分母，但认真观看就会发觉，可先进行移项【例2】解不等式移项，合并同类项，得6x w -6两边同时除以6得 x < -1.三、依照条件取专门值° -4-3-2-1 0 1合并同类项，得x > -1.2?t+l _喑-2小0.25fl 25 J【摸索与分析】 常规方法是去分母，两边同乘以分母的最小公倍数•但我们会注意到” 0.25 X 4 = 1, 0.5 X 2= 1”，那么利用分数的性质，对左边第一项分子、分母同乘以 4,第二项分子、分母同乘以2,如此就能够化去分母同时系数为整数解：利用分数的性质〔即左边第一项分子、分母同乘以4,第二项分子、分母同乘以2〕，得 8X+4-2〔x — 2〕W 2,去括号，得 8x+4-2x+4W 2, ■号,【例4】 设a 、b 是不相等的任意正数,，那么x 、y 这两个数- —定是都不大于2 都不小于2 至少有一个大于2 至少有一个小于 2【摸索与分析】 不妨取a = 1,b = 3,得x = 10, y = J从而排除 A 、B ,再取 a = 3, b = 4，得，从而排除D,应选C.答案：C.【反思】用专门值法解选择题时，假如所取的专门值使部分选项取得相同的结果，那么应另选专门值再验，直至选出答案.四、依照数轴取专门值【例5】不等式组的解集在数轴上表示出来是如以下图中的〔解：移项，得 23-- ― -- >【例3】解不等式【摸索与分析】此题的常规方法是先解不等式组，然后再对比各选项选出正确答案，由于如此做要解不等式组，比较苦恼•认真观看各选项中的数轴，有两个专门数2，-1，不妨先取x = 2，代入临-I魯知常-I冶烁T之时T “2 2 不成立，故可排除A B.再取x = 0，代入丁~ 不成立，又可排除C,从而选D,如此做不仅节约了时刻，而且又减少了出错的机会.答案：D.【反思】用专门值法解选择题时，要综合运用验证法，排除法等技巧，快速选出正确答案.比较两个数或两个代数式的大小，能够运用求差法：假如a—b>0，那么a>b;假如a —b<0,那么a<b.运用求差法比较大小的一样步骤是：〔1〕作差；〔2〕判定差的符号；〔3〕确定大小.【例6】设x>y，试比较代数式-〔8-10x丨与—〔8-10y〕的大小，假如较大的代数式为正数，那么其中最小的正整数x或y的值是多少？【摸索与分析】依照求差法的步骤我们先求出两个式子的差，然后再依照条件x>y，来判定那个差的符号，从而比较两个代数式的大小解：由两式作差得-〔8-10x 丨一［—〔8-10y 丨］=-8+10x+8-10y = 10x-10y.因为x>y，因此10x>10y，即10x-10y>0.因此-〔8-10x〕>—〔8-10y〕.又由题意得-〔8-10x〕>0,即x>3"，因此x最小的正整数值为1.【例7】有一个三口之家预备在假期出外旅行，咨询时了解到东方旅行社规定：假设父母各买一张全票那么小孩能够按全票的七折购票；而光明旅行社那么规定：三人均可按团体票计价，即按全票的80% 收费.假设两家旅行社的票价相同，那么实际哪家收费较低呢？【摸索与分析】要比较哪家旅行社的收费低，我们能够先用含有未知数的式子表示出两家旅行社需要的费用，然后依照求差法的步骤，求出两个式子的差，再依照条件判定那个差的符号即可比较出哪个旅行社的费用低.解：设这两家旅行社全票的价格为a元，依题意东方旅行社的收费为2a+ 70%a= 2.7a ,光明旅行社的收费为3a x 80%= 2.4a.因为 2.7a — 2.4a = 0.3a>0 ,因此实际上光明旅行社的收费较低.【反思】在解题时我们什么缘故设这两家旅行社全票的价格为a元呢？因为假如不设的话，我们即使明白用求差法比较大小，也无从下手五、巧去括号【例8】【摸索与分析】观看题目中的括号及数字的特点可先考虑去中括号，再去小括号，如此会使运算简便解：去中括号，得'去分母，得3x+60 v 28+8x，移项，合并同类项，得-5x V -32 ,化系数为I「得怎碍【例2】解不筹式：2呼讥討一圭山訴一【摸索与分析】观看题目中的括号及数字的特点可从里向外去小括号，给后面的运算带来方便解：去小括号，得鬲二討丄]耳4,即3 3 5 4再去中括号「得去分曰•得&0x+24^ I 5% F移项「合并同类项「得血A24一北济数为1「得心-菩□J六、巧用”整体思想〃【例9】解不等式：2x-l-[3（2x-l）-b3]<|-.【摸索与分析】观看题目中括号内外可知都有相同的项：2x-1，我们把2x —1视为整体，再去中括号和分母，那么可使运算简捷.解：3〔2x-1〕-9〔2x-1〕-9 v 5.合并同类项得-6X〔2x-1〕V 14.反思：我们在解带有括号的一元一次不等式时，我们要善于观看题目的特点，巧去括号可使运算简便•【例10】在欧洲足球锦标赛中，共有16支队伍参加竞赛，争夺象征欧洲足球最高荣誉的”德劳内杯" .16支队伍被分成4个小组，进行单循环赛〔即每个队需同其他三个队各赛一场〕，胜一场积3分，平一场积1分，负一场积0分，每组按照积分的前两名出线进入前八强，每个队在小组赛中需积多少分，才能确保出线？【摸索与分析】依照题意，只有小组赛中的积分的前两名才能出线，我们能够分几种情形来讨论出线积分的多少.〔1〕假设某一队三战全胜积9分，那么同组的另一小队需保证小组第二才有出线的期望，在剩下的两场竞赛中，它有六种可能：两场全胜积6分，一胜一平积4分，一胜一负积3分，两平积2分，一平一负积1分，两负积0分•〔三场竞赛，确信有一场负〕因此，在这种情形中，至少积6分才能确保出线；〔2〕假设某一队三战两胜一平积7分，那么小组第二至少要两胜积6分才能出线；〔3〕假设某一队三战两胜一负积6分，那么其他两个队也可能三战两胜一负积6分，如此三队同积6分，不能确保小组出线•由以上摸索讨论可知，在小组赛中，积分可能显现三个队积分相同，为了确保出线，至少需积7分，才能保证以小组第二的身份出线.解：需7分.【小结】通过解题过程我们明白做这类题的时候要注意：在足球竞赛中，一样按积分多少排名次；积分相等的两队，净胜球数多的队名次在前；积分、净胜球数都相等的球队，进球数多的队名次在前；分析有关足球竞赛的咨询题时，不能单纯的利用不等关系判定，还要注意到相互之间的胜负关系第五节、竞赛数学【例1】满足：「' 的x的值中，绝对值不超过11的那些整数之和等于.【摸索与分析】要求出那些整数之和，必须求出不等式的绝对值不超过11的整数解，因此我们应该先解不等式.解：原不等式去分母，得3〔2 + x〕》2〔2x —1〕，去括号，移项，合并同类项，得—x>—8, 即卩x w8.满足x<8且绝对值不超过11的整数有0, 土 1 ,± 2,± 3,± 4,± 5,± 6,± 7,± 8,—9,—10, —11.这些整数的和为〔一9〕+〔一10〕+〔一11〕= —30.【例2】假如关于x的一元一次方程3〔x+ 4〕= 2a+ 5的解大于关于x的方程—5 》—的解，那么〔〕•A. €>2艮心<2匚* 18【摸索与分析】这道题把方程咨询题转化为解不等式咨询题，利用了转化的数学思想.由于第个方程的解大于第二个方程的解， 只要先分不解出关于 x 的两个方程的解〔两个解差不多上关于 a 的式子〕， 再令第一个方程的解大于第二个方程的解，就能够求出咨询题的答案_勿-7解：关于x 的方程3〔x + 4〕= 2a + 5的解为”：丄^2【例3】 假如爭 7肛，2+c>2，那么〔答案.因此a<0.由2+c>2，得c>0,那么有一c<c. 两边都加上a ,得a-c<a+c ，排除A ;由 a<0, c>0,得 ac<0, - ac>0,从而 ac<-ac ，排除 C ; 由a<0，两边都加上 2a ,得3a<2a ，排除D.答案应该选B,事实上，由a<0,得—a>0,从而—a>a ，两边同时加上 c ,可得c — a>c + a.5【例4】 四个连续整数的和为 S , S 满足不等式，这四个数中最大数与最小数的平方差等于 __________________________ .【摸索与分析】 由于四个数是连续整数，我们欲求最大值与最小值，故只须知四数之一就行了，由它们的和满足的不等式就能够求出•解： 设四个连续整数为 m-1, m m+1, m+2它们的和为 S = 4m + 2.解得7<m<9.由于m 为整数，因此 m= 8,那么四个连续整数为7 , 8 , 9 ,10 ,因此最大数与最小数的平方的差2 2为 10 — 7 = 51.从数轴上看，一个数的绝对值确实是表示那个数的点离开原点的距离•但除零以外，绝对值差不多上 表示两个数的绝对值，即一个数与它相反数的绝对值是一样的.由于那个性质，含有绝对值号的不等式的 求解过程显现了一些C. ac>-acD. 3a>2a【摸索与分析】两个不等式分不是关于 a 和c 的不等式，求得它们的解集后，便能够找到正确的A. a-c>a+cB. c-a>c+a产旳得心警<19 ,新特点.A. 1 , 2B.1 , 2, 3C. 1 , 2, 0D. 1 , 2 , 3 , 0一个实数a 的绝对值记作I a I,指的是由a 所惟一确定的非负实数：当时；1^1= C r 当 50 时；-Or 当Q 如时. 含绝对值的不等式的性质： 〔1〕 I a I>I b I —b w |a| 或 b > -|a| ,I a IwI b I 一• I b Iw a wI b I ；〔2〕 I a I - I b IwI a+b IwII a I + I b I; 〔3〕 I a I- I b IwI a-b IwI a I + I b I .由于绝对值的定义，含有绝对值号的代数式无法进行统一的代数运算•通常的手法是按照绝对值符号内 的代数式取值的正、负情形，去掉绝对值符号，转化为不含绝对值号的代数式进行运算，即含有绝对值号 的不等式的求解，常用分类讨论法•在进行分类讨论时，要注意所划分的类不之间应该不重、不漏•下面 结合例题予以分析.【例5】解不等式丨x-5 | - | 2x+3 |< 1.【分析】关键是去掉绝对值符号前后的变号.分三个区间讨论： 2 ' 2解：〔1〕当当x w 2时，原不等式化为-〔x-5丨-:-〔2x+3〕< 1,ra解得x<-7，结合x w ■，故x<-7是原不等式的解； 〔2〕当I 匕<x w5时，原不等式化为 -〔x-5〕-〔 2x+3〕< 1,条冷-r 结合◎理行故£炊理5解得 3丄3是原不等式的解；〔3〕当x > 5时，原不等式化为： x-5-〔 2x+3〕< 1,解得x >-9，结合x > 5,故x > 5是原不等式的解.年叱一7动I 富A --~综合〔1〕，〔2〕，〔3〕可知， 3是原不等式的解.第六节、本章训练基础训练题1.不等式x + 3< 6的非负整数解为〔 〕2. 三个连续奇数的和不超过27且大于10,如此的数组共有〔A. 1个B. 2 个C. 3个D. 4个3. 的值不小于一2,那么a的取值范畴是〔〕.yB. 心｝°^4_L 旦4. 假设I + 2x的值不大于8 —」的值，那么x的正整数解是_____________________________________ .5. 小明预备用26元钞票买火腿肠和方便面，一根火腿肠2元，一盒方便面3元，他买了5盒方便面,还能够买多少根火腿肠？6. 小华用最小刻度是1厘米的刻度尺，测量一本书的长，测得结果是17.5厘米，这0.5厘米是他估量的，并不准确，假设设他所测量的书的长为x厘米，那么x应该满足的不等式是什么？答案1. C2. B3. C4. 1 ，2,5. 解：设还能够买x根火腿肠.由题意我们可列不等式5X 3+ 2x w 26,解得因为x必须为正整数，因此x= 1 , 2, 3，4，5.答：小明还能够买火腿肠的数目不超过6. 解：17V X V 18.提高训练题2.李明在第一次数学测验中得76分，在第二次测验中得92分，设第三次测验的分数为x,且三次的平均分不低于85分，求x的取值范畴3. 小强去超市买某种牌子的衬衣，该种衬衣单价为每件100元，小强想买的衬衣数许多于5件，路上交> 5通费为10元，小强预备钞票时有以下几种选择：预备 400元，预备500元，预备510元，预备610元.请你讲明哪种方案可行？4. 某商城以单价260元购进一批DVD 机，出售时标价398元，由于销售不行，商场预备降价出售，但要 保证利润不低于10% .小明讲： ”可降价 100元.” 小英讲： ”可降价 150元.” 小华讲： ”降价不能超过 112元.” 你同意他们谁的讲法?5. 巧解以下不等式：〔1〕0.375x- 2W 0.5xI! 42 〔2〕7 33 72 <2 % ! 13〔4〕91 [ 9 1[6. 解以下不等式： 〔1〕9-2 〔 x — 2〕》6 〔2〕 12-3x v 8-2x答案1M ；将原不等式裂顷早字一亠一字―丄4 4 8b PR,约分得冷++” 移项峙■+ 合并得S &2. 解：由题意得我们可列不等式7百十92林3>85,解得 x >87.3. 解：设小明预备了 x 元钞票.5E-IOToo -7.我们由题意可列不等式勺3c —5解得x > 510.因此预备510元或预备610元都能够.4. 解：设降价x元.5. 〔1〕x>-16〔提示：不等式两边同乘8〕；（2）.提示原不筠式勰项再合那卩■U可消去令母）;（3）g-K提示同<5x2-1 闪」2S«H Th（4）应寻（提氐原不等武先移项再合并即可消去分母）.2.{I）兀丘壬；⑵；r>4.玄榊豳惫可知辛亠竽朋导込¥我们能够由题意列不等式398-x —260》260X 10% .解得x< 112.因此小明和小华的讲法是正确的.强化训练题a丰2 片2a+11. 假设实数a > 1，那么实数M= a, 一3的大小关系是〔〕.A . P > N> M B. M> N> PC . N > P> M D. M> P> N2. 假设0v a v 1,那么以下四个不等式中正确的选项是〔〕.A. c<l<—B T a<—<la aC. ■--I D- L U-a a3. a、b、c在数轴上的对应点的位置如下图，以下式子正确的有〔丨.£占心■_ ------- 1—«_■ -1_*_i ---- -- -2-10123① b+c > 0 :② a+b > a+c;③ be > ac;④ ab >ac.A . 1 个B. 2 个C . 3 个D. 4 个.4. 我市某初中举行”八荣八耻〃知识抢答赛，总共50道抢答题.抢答规定：抢答对1题得3分,抢答错1题扣1分，不抢答得0分.小军参加了抢答竞赛，只抢答了其中的20道题，要使最后得分许多于50分，咨询小军至少要答对几道题？5. 前年物价涨幅〔即前年物价比上一年，也确实是大前年物价增加的百分比〕为 15%，估量今年物价涨幅降低 5个百分点，为了使明年物价比大前年物价涨幅不高出必须比今年物价涨幅至少再降低 x 个百分点〔x 为整数〕那么x =〔 〕6.某商场打算投入一笔资金，采购紧销商品 .经调查发觉，如月初出售，可获利投资其他商品，那么月末又可获利 10% ;如等到月末出售可获利 30%，但需要支付仓储费用 700元.请咨询依照商场资金多少，如何购销获利较多？ 7. 小王家里装修，他去商店买灯，商店柜台里现有功率100瓦的白炽灯和40瓦的节能灯，它们的单价分不为2元和32元，经了解明白这两种灯的照明成效和使用寿命差不多上一样的 .小王家所在地的电价为每度0.5元，请咨询当这两种灯的使用寿命超过多长时刻时，小王选择节能灯才合算。
一、教学目标1. 知识与技能：学生能够理解不等式的基本概念。
学生能够解一元一次不等式。
2. 过程与方法：学生通过实例感知不等式的实际应用。
学生通过合作交流，掌握解不等式的方法。
3. 情感态度价值观：学生培养对数学的兴趣，感知数学与生活的联系。
二、教学重点与难点1. 重点：不等式的概念与性质。
不等式的解法。
2. 难点：不等式组的解法与解的意义。
三、教学方法与手段教学方法：采用问题驱动法、案例分析法、合作交流法。
教学手段：多媒体教学、板书、教学软件。
四、教学内容1. 第一课时：不等式的概念与性质导入：通过生活实例引入不等式概念。
新课：讲解不等式的基本性质。
练习：解简单的不等式。
2. 第二课时：不等式的解法导入：回顾一元一次方程的解法。
新课：引导学生掌握不等式的解法。
练习：解不同类型的不等式。
3. 第三课时：不等式组的解法导入：通过实例引入不等式组的概念。
新课：讲解不等式组的解法。
练习：解复杂的不等式组。
4. 第四课时：不等式应用题导入：通过实际问题引入不等式应用。
新课：讲解不等式在实际问题中的应用。
练习：解决实际问题的不等式应用题。
5. 第五课时：复习与拓展复习：总结不等式与不等式组的主要知识点。
拓展：引导学生思考不等式在生活中的广泛应用。
五、教学反思课后收集学生反馈，评估教学效果。
根据学生掌握情况，调整后续教学计划。
反思教学方法，确保学生能够有效理解和运用不等式知识。
六、教学评价通过课堂练习和课后作业评估学生的掌握情况。
关注学生在解决问题时的思维过程和方法。
结合学生的课堂表现和作业完成情况，全面评价学生的学习效果。
七、教学拓展引导学生将不等式知识应用到其他学科中，如科学实验中的数据比较。
通过数学故事或历史，让学生了解不等式在数学发展中的地位和作用。
鼓励学生参与数学竞赛或研究项目，提高解决复杂问题的能力。
八、教学资源利用互联网资源，如教育平台和数学论坛，获取最新的教学内容和方法。
结合学校图书馆的资源，推荐相关的数学读物，拓宽学生的知识视野。
不等式及其解集[教学目标】1.知识与技能：理解不等式及其解集的有关概念;2.过程与方法：会检验一组数中哪些是不等式的解，会在数轴上表示不等式的解集。
3.情感态度价值观：经历由具体实例建立不等模型的过程；经历学习不等式解与解集的不同意义的过程，渗透数形结合思想，体会学习数学的乐趣。
【教学重点】理解不等式的解集及解不等式的意义。
【教学难点】把不等式的解集正确的表示在数轴上，体会数形结合的思想。
【教学过程】一、情景引入“不相等”处处可见。
请用数学式子表示下列图片的含义身高：2.12m 身高：2.26m2.26＞2.12 2.12 ＜2.2请用数学式子表示下列图片的含义x + 15 ＜ 40 40 ＞ x + 15⑤ x + 15 ≠ 40二、探究新知一：一:不等式概念：观察： 2.26＞2.12 2.12 ＜ 2.2x + 15 ＜ 40 40 ＞ x + 15 x + 15 ≠ 40像这些用不等号表示不等关系的式子叫不等式.常见的不等号＜、＞ 、 ≠ 、 ≥ 读作大于或等于、≤ 读作小于或等于 不大于、不超过、至多、最多：≤不小于、不低于、至少、最少：≥ 20 20x 15x 1＞ 4 常见的不等关系有：1、a 是正数 2、a 是负数3、a 是非正数4、a 是非负数三、例题解析：例1、下列式子中哪些是不等式？① a+b=b+a ② -3＞5 ③ x≠1x+3＞6 ⑤ 2m≤n ⑥ 2x -3⑦ ⑧ ⑨ y +3≥3例2、 用不等式表示下列关系：(1)m 与3的和是负数 (2)x 与12的差是正数(3)a 与b 的乘积是非负数 (4)a 与2的商是非正数(5)x 与y 的和不小于2m (6)x 与y 的差不高于4探究新知二、 当x 取什么数值时不等式x≥2成立不等式的解定义： 能够使不等式成立的未知数的值叫做不等式的解.你还能找出其他解吗？这个不等式有多少个解？在数轴上表示不等式x≥2的解 一般地，一个含有未知数的不等式的所有解组成这个不等式的解集3250 x2求不等式解集的过程叫做解不等式.例3、在数轴上表示下列不等式的解集：（1）x＞2 （2）x≥3 （3）x＜2 （4）x≤-1归纳总结：大于向右画，小于向左画有等号时画实心圆点，无等号时画空心圆圈探究新知三、不等式的解与不等式的解集的区别与联系例4下列说法正确的是( )A.x=3是2x＞1的解B. x=3是2x＞1的唯一解B.C. x=3不是2x＞1的解 D. x=3是2x＞1的解集四课堂小结：这节课我学到了什么？。
七年级数学下册不等式与不等式组教案人教新课标版一、教学目标：知识与技能：使学生掌握不等式的概念、性质和基本运算；学会解一元一次不等式及不等式组。
过程与方法：通过观察、实验、探究等活动，培养学生的逻辑思维能力和解决问题的能力。
情感态度与价值观：激发学生学习数学的兴趣，培养学生克服困难、自主学习的品质。
二、教学内容：第一课时：不等式的概念与性质1. 不等式的定义2. 不等式的性质第二课时：不等式的基本运算1. 不等式的加减法2. 不等式的乘除法第三课时：解一元一次不等式1. 一元一次不等式的解法2. 解不等式组的策略第四课时：不等式应用举例1. 应用不等式解决实际问题2. 不等式组在实际问题中的应用第五课时：复习与拓展1. 复习不等式、不等式组的解法及应用2. 拓展练习三、教学重点与难点：重点：不等式的概念、性质，解一元一次不等式及不等式组的方法。
难点：不等式的性质，解一元一次不等式，不等式组在实际问题中的应用。
四、教学方法：采用问题驱动法、案例分析法、小组合作学习法等，引导学生主动探究、合作交流，培养学生的数学素养。
五、教学过程：第一课时：1. 导入新课：通过生活中的实例引入不等式概念。
2. 讲解不等式的性质。
3. 练习不等式的基本运算。
第二课时：1. 讲解不等式的加减法运算。
2. 讲解不等式的乘除法运算。
3. 练习不等式的基本运算。
第三课时：1. 讲解一元一次不等式的解法。
2. 讲解解不等式组的策略。
3. 练习解一元一次不等式及不等式组。
第四课时：1. 举例讲解应用不等式解决实际问题。
2. 举例讲解不等式组在实际问题中的应用。
3. 练习不等式及不等式组在实际问题中的应用。
第五课时：1. 复习不等式、不等式组的解法及应用。
2. 拓展练习。
六、教学评价：采用课堂练习、课后作业、小组讨论、个人总结等方式进行教学评价。
重点关注学生对不等式及不等式组的掌握程度，以及在实际问题中的应用能力。
七、教学策略：1. 采用多媒体课件辅助教学，直观展示不等式的性质和运算过程。
本章复习整体设计教材分析本章所学知识是在学生学习了一元一次方程和二元一次方程组的基础上研究简单的不等关系．首先通过具体实例建立不等式，探索不等式的性质，了解一般不等式的解、解集以及解不等式的概念；然后具体研究一元一次不等式、一元一次不等式组的解、解集、解集在数轴上的表示、一元一次不等式和一元一次不等式组的解法及其简单应用．通过探究这些问题，可以进一步提高学生的类比能力，逐步渗透数学建模思想，初步体会方程与不等式的内在联系与区别．本章重点、难点是一元一次不等式及一元一次不等式组的解法．在本章的复习中，主要从两方面进行：一是帮助学生理清本章知识结构，通过引导师生共同梳理知识，建构知识框架；二是掌握一元一次不等式组的解法以及解决实际问题的数学建模训练．课时分配1课时教学目标1．归纳本章学过的知识，使学生系统地理解本章有关概念；正确掌握不等式的性质；熟练地解一元一次不等式和一元一次不等式组及它们的应用；2．通过回顾与总结，培养并提高学生归纳、对比及分析问题和解决问题的能力．教学重难点教学重点：不等式的性质及解一元一次不等式(组)．教学难点：本章知识结构与框架的建立．教学方法设计典型例题，利用问题展开探索、交流．在学生掌握基本内容的基础上，教师引导学生进一步提炼、构建知识体系，科学地进行小结与归纳．在此基础上，通过学生尝试解决问题，以及师生之间、生生之间的讨论交流，使学生对数学思想方法的认识更深刻，对解决问题的策略把握得更灵活．教学过程一、熟悉知识体系设计说明通过引领学生回忆本章的知识要点，形成知识框架，让学生对本章知识有一个整体的把握，同时了解各知识之间的内在联系．二、知识要点回顾(一)基础知识设计说明以填空的形式引导学生回忆全章的有关知识，使学生掌握的知识更加深刻、系统．1．不等式、不等式的解、不等式的解集、解不等式用符号“＜”或“＞”表示大小关系的式子叫做不等式；用“≠”“≥”“≤”表示不等关系的式子也是不等式；使不等式成立的__________叫做不等式的解；一般地，一个含有未知数的不等式的__________，组成这个不等式的解集；求__________的过程叫做解不等式．2．不等式的性质性质1：不等式两边加(或减)__________，不等号的方向__________；性质2：不等式两边乘(或除以)__________，不等号的方向__________；性质3：不等式两边乘(或除以)__________，不等号的方向__________．3．一元一次不等式只含有__________，并且未知数的最高次数是__________，这样的不等式叫做一元一次不等式．4．解一元一次不等式的步骤与解一元一次方程相类似，基本步骤是：____________________，特别注意：当系数化为1时，不等式两边同乘(或除以)同一个负数，不等号的方向__________．5．不等式解法与方程解法的对比从形式上看，一元一次不等式与一元一次方程是类似的．在学习一元一次方程时利用等式的两个基本性质求得一元一次方程的解，按“类比”思想考虑问题自然会推断出，若用不等式的三条性质，采用与解一元一次方程相类似的步骤去解一元一次不等式，可求得一元一次不等式的解集．例如：解下列方程和不等式：2＋x 2＝2x －13＋1； 2＋x 2≥2x －13＋1. 解：3(2＋x )＝2(2x －1)＋6 1.去分母： 解：3(2＋x )≥2(2x －1)＋6，6＋3x ＝4x －2＋6 2.去括号： 6＋3x ≥4x －2＋6 3x －4x ＝－2＋6－6 3.移项： 3x －4x ≥－2＋6－6－x ＝－2 4.合并同类项： －x ≥－2x ＝2 5.系数化为1: x ≤2∴x ＝2是原方程的解. ∴x ≤2是原不等式的解集． 方程的解在数轴上的表示 不等式的解集在数轴上的表示点评：解一元一次不等式与解一元一次方程的步骤虽然完全相同，但是要注意步骤1和5，如果乘数或除数是负数时，解不等式时要改变不等号的方向．6．一元一次不等式组的解集一元一次不等式组的解集：一元一次不等式组中各不等式的解集的__________叫做这个不等式组的解集．7．解一元一次不等式组的步骤(1)求出不等式组中每个不等式的解集；(2)借助数轴找出各解集的公共部分；(3)写出不等式组的解集．求公共部分的规律：大大取大，小小取小，大小小大取中间，大大小小无解．例 解不等式组⎩⎪⎨⎪⎧ 2x －1>x ＋1， ①x ＋8<4x －1. ②解：解不等式①，得x ＞2，解不等式②，得x ＞3.在数轴上表示不等式①②的解集所以这个不等式组的解集是x ＞3.8．列一元一次不等式组解实际问题的一般步骤(1)审题；(2)__________；(3)根据不等关系列不等式组；(4)__________；(5)检验并作答．以上填空题答案省略．教学说明在教学过程中，借助前面的知识框架，以提问的方式引导学生回顾以上知识点，有些知识点要借助具体问题帮助学生回忆，如一元一次不等式的解法、一元一次不等式组的解法等．由于学生有的知识遗忘了，有的知识不能很好地用数学语言表达，教师应有充分的耐心听学生说完，并注意及时规范学生的不准确的表述．通过以上复习，使学生把全章知识串起来，使全章知识系统化、条理化、全面化．(二)例题精讲例1 解不等式：x ＋3(x ＋1)8＞1－x －52. 思考：(1)不等式的性质3你知道吗？(2)解一元一次不等式通常有哪几个步骤？(3)在去分母时，通常应注意哪两点？解：去分母，得8x ＋3(x ＋1)＞8－4(x －5)，去括号，得8x ＋3x ＋3＞8－4x ＋20，移项，得8x ＋3x ＋4x ＞8＋20－3，合并同类项，得15x ＞25，系数化为1，得x ＞53. 在解不等式的过程中，去分母时，不能漏乘每一项，并且要注意添括号、去括号及移项的过程中，要注意符号的变化，尤其系数化为1时，系数若为负数，一定要注意不等号方向的变化．只要抓住这几点，解一元一次不等式的知识便可掌握．例2 当x 为何值时，代数式2x ＋13－1的值不小于3＋5x 4的值？ 思考：(1)“不小于”怎样用数学符号表示？“不大于”呢？(2)解此类问题首先应干什么？解：依题意，得2x ＋13－1≥3＋5x 4， ∴4(2x ＋1)－12≥3(3＋5x )．8x －15x ≥9＋12－4，－7x ≥17，∴x ≤－177. ∴当x ≤－177时，代数式2x ＋13－1的值不小于3＋5x 4的值． 例3 x 取哪些正整数时，代数式3－x －14的值不小于代数式3(x ＋2)8的值？ 解：依题意，得3－x －14≥3(x ＋2)8. 去分母，得24－2(x －1)≥3(x ＋2)，去括号，得24－2x ＋2≥3x ＋6，移项，得－2x －3x ≥6－24－2，合并同类项，得－5x ≥－20，系数化为1，得x ≤4，x ≤4的正整数解为x ＝1,2,3,4.答：当x 取1,2,3,4时，代数式3－x －14的值不小于代数式3(x ＋2)8的值． 点评：此题是带有附加条件的不等式，这时应先求不等式的解集，再在解集中，找出满足附加条件的解．例4 已知不等式5(x －2)＋8＜6(x －1)＋7的最小整数解为方程2x －ax ＝3的解．求代数式4a －14a的值．思路分析：本例是一道不等式、方程、求代数式的值交融于一体的综合题，必须各个击破，一个问题一个问题的解决，便可攻破，这也是解综合题的常用方法．解：5(x －2)＋8＜6(x －1)＋7，5x －10＋8＜6x －6＋7，5x －6x ＜－6＋7＋10－8，－x ＜3，∴x ＞－3.∴此不等式的最小整数解为x ＝－2.∵x ＝－2为方程2x －ax ＝3的解，∴2×(－2)－a ·(－2)＝3.∴a ＝72. 当a ＝72时，4a －14a ＝4×72－1472＝14－4＝10. 例5 解不等式组⎩⎪⎨⎪⎧ x －32＋3≥x ＋1，①1－3(x －1)<8－x ，②并写出该不等式组的整数解．解：解不等式①，得x ≤1，解不等式②，得x ＞－2，所以不等式组的解集为－2＜x ≤1.因为x 取整数，所以x ＝－1,0,1.所以不等式组的整数解为－1,0,1.例6 工程队原计划6天内完成300土方的工程，第一天完成60土方，现决定比原计划提前两天超额完成，问后几天每天平均至少要完成多少土方？思考：(1)列一元一次方程解应用题有哪些步骤？(2)如何依题意找相等关系？(3)如何根据题意找不等关系来解决一元一次不等式应用题？解：设后几天每天平均完成x 土方，根据题意，得60＋(6－1－2)x ≥300，解之，得x ≥80.答：每天平均至少要完成80土方．例7 一堆玩具分给若干个小朋友，若每人分2件，则剩余3件；若前面每人分3件，则最后一人能分到玩具，但分到的玩具数不足2件．求小朋友的人数与玩具数．分析：由于最后一人能分到玩具，但分到的玩具数不足2件，所以该问题应该是建立不等式模型来解决．解：若设有x 个小朋友，则玩具有(2x ＋3)件，分到3件玩具的小朋友有(x －1)个，另一个小朋友分到玩具，但分到的玩具数不足2件，这样我们就可以得到不等式组⎩⎪⎨⎪⎧ (2x ＋3)－3(x －1)>0，(2x ＋3)－3(x －1)<2，解不等式，得4＜x ＜6， 因为x 取整数，所以x ＝5.所以玩具有2×5＋3＝13(件)．三、巩固训练，熟练技能1．不等式－x ＞－2的解集是( )．A ．x ＞2B ．x ＞－2C ．x ＜2D ．x ＜－22．不等式2x －7＜5－2x 的正整数解有( )．A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个3．不等式组⎩⎪⎨⎪⎧ x －2<0，x ≥1的解集为( )． A ．1≤x ＜2 B ．x ≥1 C ．x ＜2 D ．无解4．不等式组⎩⎪⎨⎪⎧3x ≤6，x ＋1>0的整数解是__________．5．解不等式组⎩⎪⎨⎪⎧ x －3(x －1)≤7，1－2－5x 3<x .6．m 取何值时，关于x 的方程x 6－6m －13＝x －5m －12的解大于1? 7．某校准备组织290名学生进行野外考察活动，行李共有100件，学校计划租用甲、乙两种型号的汽车共8辆．经了解，甲种汽车每辆最多能载40人和10件行李，乙种汽车每辆最多能载30人和20件行李．(1)设租用甲种汽车x 辆，请你帮助学校求出所有可能的租车方案；(2)如果甲、乙两种汽车每辆的租车费用分别为2 000元、1 800元，请你选择最省钱的一种租车方案．答案：1.C 2.B 3.A 4.0,1,2 5.－2≤x ＜－12. 6．解关于x 的方程，得x ＝3m －15，由于方程的解大于1，所以3m －15＞1. 解得m ＞2.7．解：(1)设租用甲种汽车x 辆，则租用乙种汽车(8－x )辆．由题意，得⎩⎪⎨⎪⎧40x ＋30(8－x )≥290，10x ＋20(8－x )≥100，解得5≤x ≤6. 即共有两种租车方案：第一种是租用甲种汽车5辆，乙种汽车3辆；第二种是租用甲种汽车6辆，乙种汽车2辆．(2)第一种租车方案的费用为5×2 000＋3×1 800＝15 400(元)；第二种租车方案的费用为6×2 000＋2×1 800＝15 600(元)．所以第一种租车方案更省钱．教学说明这一环节是为了评价本节课的教学效果，检验教学目标的达成情况，教师可根据学生反馈的具体情况作适当的评价与弥补，从而达到巩固提高的目的．四、总结反思，情意发展设计说明围绕下面四个问题，师生共同总结本节课的学习收获．1．哪些本已遗忘的知识得到巩固？2．哪些知识有新的认识？3．本章主要蕴涵了哪种数学思想？4．结合你自己的复习情况，谈谈你还有什么疑问？教学说明通过回顾和反思，让学生看到自己的进步，激励学生，使学生相信自己在今后的学习中会不断进步，同时促使学生形成良好的反思习惯．五、课堂小结1．本节重点复习归纳了本章的基础知识，提高了学生各知识点的综合应用能力．2．用到的主要思想方法是数形结合思想、类比思想、模型化思想．通过一元一次不等式解法的学习，领会转化的数学思想；通过在数轴上表示一元一次不等式的解集与运用数轴确定一元一次不等式组的解集，进一步领会数形结合的思想；通过实际问题的应用，进一步领会模型化思想．3．注意的问题：复习时将平时易错的知识点、感到疑难的问题做重点处理，不留尾巴．六、布置作业课本复习题9 第7,8题．七、拓展练习1．关于x 的不等式2x －a ≤－1的解集如图所示，则a 的取值是( )．A ．0B ．－3C ．－2D ．－12．已知一元一次不等式组⎩⎪⎨⎪⎧ x <a ，x <b (a ≠b )的解集为x ＜a ，则( )． A ．a ＞b B ．a ＜b C ．a ＞b ＞0 D ．a ＜b ＜03．一元一次不等式组⎩⎪⎨⎪⎧x >a ，x >b 的解集是x ＞a ，则a 与b 的关系为( )． A ．a ≥b B ．a ≤b C ．a ≥b ＞0 D ．a ≤b ＜04．不等式－0.5y ＋1≥0的正整数解有( )．A ．1个B ．2个C ．3个D ．无数个 5．不等式⎩⎪⎨⎪⎧ 2x >－3，x －1≤8－2x 的最小整数解为( )．A ．－1B ．0C ．2D ．36．不等式组⎩⎪⎨⎪⎧ 2x ＋4≤0，12x ＋2>0的整数解为__________．7．已知关于x 的不等式组⎩⎪⎨⎪⎧ x －a ≥0，3－2x >－1的整数解有5个，求a 的取值范围．8．某校准备在甲、乙两家公司为毕业班学生制作一批纪念册．甲公司提出：每册收材料费5元，另收设计费1 500元；乙公司提出：每册收材料费8元，不收设计费．(1)请写出制作纪念册的册数与甲公司的收费的关系式；(2)请写出制作纪念册的册数与乙公司的收费的关系式；(3)如果学校派你去甲、乙两家公司订做纪念册，你会选择哪家公司？答案：1.D 2.B 3.A 4.B 5.A 6.－3，－27．解：不等式组⎩⎪⎨⎪⎧ x －a ≥0，3－2x >－1可化为⎩⎪⎨⎪⎧x ≥a ，x <2， 由于它有解集，所以解集为a ≤x ＜2，它的解集中包含五个整数，这五个整数依次为1,0，－1，－2，－3，反映在数轴上，a 只需－4＜a ≤－3.点评：要求不等式组的解集符合一些条件，先找到这个解集，然后把它描述在数轴上，结合条件得到结论．8．解：设学校准备制作x 册纪念册，则甲公司收费y 甲元，乙公司收费y 乙元，则(1)y 甲＝5x ＋1 500；(2)y 乙＝8x .(3)若两家收费相同时，5x ＋1 500＝8x ，解得x ＝500；若甲家收费较少时，即5x ＋1 500＜8x ，解得x ＞500；若乙家收费较少时，即5x ＋1 500＞8x ，解得x ＜500.所以，当x ＝500时，选择甲、乙两家都一样；当x ＞500时，选择甲公司；当x ＜500时，选择乙公司．评价与反思 本节复习是以“问题串”的形式引导学生回顾梳理主要知识点，构建知识体系——通过典型例题探究加深对主要思想方法的理解，掌握常用的解题方法．在教学中，关注学生是否认真思考，相互交流与合作，以及学生对问题的理解情况，使学生在反思和交流的基础上构建合理的知识体系．借助典型例题重点强化利用一元一次不等式(组)进行计算，训练学生解不等式(组)及利用不等式(组)解决问题的技能，从而提高他们运用所学知识去分析问题和解决问题的能力．。
