圆锥曲线在高考数学中的地位

浅析高中数学的圆锥曲线问题1. 引言1.1 什么是圆锥曲线问题圆锥曲线问题是高中数学中一个重要的概念，它涉及到平面几何和解析几何中的一类特殊的曲线。

所谓圆锥曲线，是指在空间中由一个圆锥与一个平面相交而得到的曲线形态。

圆锥曲线问题从最早的古希腊时代就开始被研究，而在现代数学中，圆锥曲线成为了解析几何的基础之一。

圆锥曲线问题并不仅仅局限于几何学中，它在数学的其他分支如代数、微积分等领域都有着广泛的应用。

通过研究椭圆、双曲线、抛物线等不同类型的圆锥曲线，我们可以更深入地理解数学中的各种概念和定理。

圆锥曲线问题也可以帮助我们培养数学思维和解题能力，提高我们的数学水平。

在接下来的我们将具体探讨不同类型的圆锥曲线的定义、性质以及应用举例，以及解题方法。

通过深入地学习和理解圆锥曲线问题，我们可以更好地应用数学知识解决实际问题，提高我们的数学素养。

希望通过本文的介绍，读者能够对圆锥曲线问题有一个更加深入的了解。

1.2 高中数学中圆锥曲线的重要性在高中数学中，圆锥曲线是一个非常重要的概念。

它不仅是数学中的基础知识，还在实际生活和科学领域中有着广泛的应用。

在学习圆锥曲线的过程中，学生不仅可以提高数学的学习兴趣和动力，还能够培养解决问题和思维能力。

掌握圆锥曲线的相关知识对于进一步学习高等数学课程有着重要的意义，可以为学生打下坚实的数学基础。

深入理解和掌握圆锥曲线的知识，对于高中数学学习来说是必不可少的。

通过学习圆锥曲线，学生可以更好地理解数学概念，提高自己的数学素养，为未来的学习和工作打下坚实的基础。

圆锥曲线在高中数学中的重要性不言而喻，应该引起学生和教师的重视。

2. 正文2.1 椭圆的定义和性质椭圆是圆锥曲线中的一种，它的定义可以通过几何和代数两种方式来描述。

从几何的角度来看，椭圆可以被定义为平面上到两个定点的距离之和等于常数的点的轨迹。

这两个定点称为焦点，这个常数称为椭圆的离心率。

另一种定义方式是通过代数方程来描述椭圆，即x^2/a^2 + y^2/b^2 = 1，其中a和b分别为椭圆在x轴和y轴上的半轴长度。

高中生对圆锥曲线的理解圆锥曲线是高中数学中的一个重要内容，涉及抛物线、椭圆、双曲线等曲线的定义、性质和方程。

圆锥曲线问题在高考中占有一定比例，要想取得好成绩，必须掌握其常用方法。

本文将介绍圆锥曲线中的常用方法，并举例说明其在高考中的应用。

圆锥曲线是平面几何的重要组成部分，也是高考的重点之一。

圆锥曲线问题往往需要运用曲线的定义、性质和方程来解决。

为了更好地掌握圆锥曲线问题，我们需要了解其常用方法。

圆锥曲线包括抛物线、椭圆、双曲线等，是指一个动点的轨迹满足某种条件的曲线。

圆锥曲线的定义和性质是解决圆锥曲线问题的前提和基础。

抛物线是指一个动点到一个定点和一条定直线距离之比为定值的轨迹，其中定点与定直线相交。

根据不同的定义，抛物线有不同的方程，如标准方程、参数方程等。

椭圆是指一个动点到一个定点和一条定直线的距离之比为定值且小于1的轨迹，其中定点与定直线相交。

椭圆有标准方程、参数方程等，应用时需要根据具体问题进行选择。

双曲线是指一个动点到两个定点距离之差的绝对值为定值的轨迹，其中两个定点不重合。

双曲线有标准方程、参数方程等，需要根据题目要求进行选择。

在解决圆锥曲线问题时，我们常常需要运用一些常用方法。

下面介绍几种常见的圆锥曲线方法：代入法：通过代入消元，将圆锥曲线问题转化为解方程组的问题。

这种方法在解决圆锥曲线交点、弦长等问题时非常实用。

【例1】已知椭圆方程为，直线方程为，求直线与椭圆相交的弦长。

解：将直线方程代入椭圆方程，得到一个二元一次方程组，通过解方程组得到交点坐标，再利用弦长公式计算即可。

参数法：通过引入参数，将圆锥曲线问题转化为参数方程的问题，从而简化计算。

这种方法在解决涉及角度、长度等问题时常用。

【例2】已知抛物线方程为，A、B是抛物线上的两个点，且AB的倾斜角为，求AB的长度。

解：将问题转化为参数方程形式，设，则，利用参数方程求出AB的长度。

定义法：利用圆锥曲线的定义解决问题。

在解决与轨迹、弦长相关的问题时常用此方法。

圆锥曲线是广泛应用于科学研究及生产和生活中的曲线，是高中数学中几何与代数知识的重要组成部分，是高中学生运用平面直角坐标系将曲线与方程、几何与代数融会贯通的重要载体，更是让学生体验和领悟数与形相互转化过程的重要途径，在高考数学中占有较大的比重.2020年高考数学试卷中圆锥曲线与方程专题部分的试题，着重考查圆锥曲线的定义、方程，以及简单的几何性质，立足“四基”，凸显基础性；注重对数形结合、代数方法与几何问题化归的考查，立意能力，在数与形之间彰显综合性、应用性；重视对数学运算、逻辑推理、直观想象等数学学科核心素养的考查，立旨素养，引导数学教学，实现数学学科的育人价值.同时，与往年相比，试题结构和难度保持稳定，既体现对主线内容、核心概念、数学本质考查的连贯性，也体现了对学生的人文关怀.一、考查内容分析2020年全国各地高考数学试卷共10套13份，具体为全国Ⅰ卷（文、理）、全国Ⅱ卷（文、理）、全国Ⅲ卷（文、理）、全国新高考Ⅰ卷、全国新高考Ⅱ卷、北京卷、上海卷、天津卷、江苏卷、浙江卷.有的试卷由国家统一命题，也有的由各省市自主命题，无论是延续2019年模式的全国卷和地方卷高考试题，还是2020年首次亮相的立足《普通高中数学课程标准（2017年版）》（以下简称《标准》）的全国新高考卷试题，都是重视基础，突出能力，并围绕学生的数学学科核心素养展开全方位考查.1.布局合理，考点紧扣标准2020年高考数学试卷，以圆锥曲线的定义、基本量、标准方程、简单几何性质、位置关系等核心内容为载体，重点考查学生对平面解析几何问题基本解决过程的掌握情况：用代数语言把几何问题转化为代数问题，根据对几何问题（图形）的分析，探索解决问题的思路，运用代数方法得到结论并给出代数结论合理的几何解释解决几何问题.突出考查学生运用代数方法研究上述曲线之间的基本关系、运用平面解析几何的思想解决一些简单的实际问题的能力，旨在考查学生的直观想象、数学运算、逻辑推理等数学学科核心素养.试题紧扣《标准》，以基础题、中档题为主，在总共的26道（相同试题算1道）试题中：基础题有10道、中档题有12道，占比约85%；难题4道，其中2020年高考“圆锥曲线与方程”专题命题分析段喜玲1摘要：2020年高考数学试题中的圆锥曲线与方程部分考查内容紧扣高中数学课程标准，分值、结构稳定，试题突出对“四基”的考查，注重圆锥曲线与其他知识的结合，注重对数学思维和数学学科核心素养的考查.试题体现基础性、应用性、综合性等特点，以基础知识的考查为载体，将对学生分析问题、解决问题能力的考查蕴含在解题过程之中，以实现对学生数学学科核心素养的考查.基于2020年高考试题的命题分析，给出高考复习建议，有效引导高三复习．关键词：圆锥曲线；命题分析；数形结合；数学运算收稿日期：2020-08-01基金项目：重庆市教育科学“十三五”规划2017年度规划课题——课堂教学中自主学习实施途径与策略的研究（2017-MS-13）.作者简介：段喜玲（1979—），女，中学高级教师，主要从事高中数学课堂教学研究.全国新高考Ⅰ卷第22题、全国Ⅰ卷文科第21题（同理科第20题）、全国Ⅲ卷文科第21题（同理科第20题）为压轴题，布局合理.2.分值稳定，多选双填增新彩高考试题对本专题内容的考查一般是两道客观题和一道主观题，共22分，占全卷分值的14.7%，其中北京卷24分，占全卷分值的16%，而全国Ⅰ卷文科、全国Ⅱ卷文（理）科、天津卷、江苏卷、上海卷中是一道客观题和一道主观题，共17分，占全卷分值的11.3%.考查形式、题型分布及分值比例与往年基本持平，有很高的稳定性.在全国新高考Ⅰ卷、全国新高考Ⅱ卷中出现多选题，北京卷中出现两个空的填空题，使试题形式更丰富.这是新高考题型的示范，为教学指引方向.3.文、理略异，趋同铺垫新高考2020年高考数学试卷中只有全国卷分别命制了文、理科试题.由于新高考将不再区分文科和理科，因此2020年全国卷的文、理科试题从内容到难度，差异较往年减小，姊妹题数量增加.在对圆锥曲线与方程的考查中：全国Ⅰ卷文科第21题与理科第20题相同，第11题不同，文科比理科少一道填空题；全国Ⅱ卷文科第9题与全国Ⅱ卷理科第8题相同，全国Ⅱ卷文、理科试卷第19题第（1）小题相同，第（2）小题的已知条件不同，但求解相同，方法相同；全国Ⅲ卷文科第7题、第21题与全国Ⅲ卷理科第5题、第20题相同，文科第14题不同.由此可以看出，文、理科试题虽有不同之处，但同根同源，体现趋同性，明确导向新高考.4.层次分明，数形结合思想贯穿始终《标准》对圆锥曲线与方程的要求有了解和掌握两个层次：圆锥曲线的实际背景、圆锥曲线在刻画现实世界和解决实际问题中的作用、抛物线与双曲线的定义、几何图形和标准方程，以及它们的简单几何性质、椭圆与抛物线的简单应用为了解；椭圆的定义、标准方程及简单几何性质为掌握.2020年高考数学试题对圆锥曲线与方程部分的考查层次分明，基础题和中档题均以抛物线和双曲线的定义、简单几何性质、位置关系为考查内容，部分较难的中档题和难题考查椭圆定义、标准方程、几何性质、简单应用，唯独上海卷的解答题考查圆和双曲线的组合，意在打破常规、力求创新，以考查学生的创新应用意识.同时，在试题中，数形结合思想这条主线贯穿始终，方程与曲线的表述与理解、代数与几何的转化与化归在数形结合中体现得淋漓尽致.5.综合性强，凸显思想育素养圆锥曲线与方程知识是平面几何、平面向量、直线与圆的知识的延续，可以将很多知识、方法（如三角形、直线位置关系、圆、向量、角度、长度、面积、坐标、方程、不等式及函数等）有机结合起来进行考查，体现在知识的交会处命题的基本原则.例如，全国Ⅰ卷理科第20题、全国Ⅲ卷理科第20题、全国新高考Ⅰ卷第22题、北京卷第20题、江苏卷第18题、浙江卷第21题，上海卷第20题综合性都较强，对学生要求较高.同时，试题凸显了数形结合、转化与化归、函数与方程等重要思想，为培育学生的数学抽象、直观想象、数学运算、逻辑推理等数学学科核心素养做好了指挥引领作用.二、命题思路分析1.注重对基础知识和基本方法的考查圆锥曲线的定义、方程、基本量、性质、位置关系是这部分知识的常规考查内容，要求学生既要对椭圆、双曲线、抛物线的共性建构良好的知识网络，又要对每种曲线的自身特点掌握得清楚准确，特别是区分不同曲线的定义、方程、基本量关系、性质、离心率的异同，这些知识容易混淆出错.借助平面直角坐标系将几何问题坐标化、用代数方法解决几何问题是解析几何的灵魂所在，因此建立方程或方程组、整体求解、设而不求等基本方法，通性、通法也是高频考点.命题围绕这些设置试题，突出考查学生对基本概念、基础知识、基本方法的掌握.例1（全国Ⅰ卷·理15）已知F为双曲线C：x2a2-y2b2=1()a>0，b>0的右焦点，A为C的右顶点，B为C上的点，且BF垂直于x轴.若AB的斜率为3，则C 的离心率为.【评析】该题主要考查对双曲线的离心率、直线斜率、双曲线的几何性质的应用，属于基础题.可以用方程组求出||BF，或者联立方程求得点B的坐标，再或者直接用公式求得||BF，然后用斜率公式求得离心率.该题解法常规，在运算处理上较灵活，能够对学生数学思维、数学运算进行多角度考查.例2（全国Ⅱ卷·理19）已知椭圆C1：x 2a2+y2b2=1()a>b>0的右焦点F与抛物线C2的焦点重合，C1的中心与C2的顶点重合.过F且与x轴垂直的直线交C1于A，B两点，交C2于C，D两点，且||CD=43||AB.（1）求C1的离心率；（2）设M是C1与C2的公共点，若||MF=5，求C1与C2的标准方程.【评析】考查椭圆、抛物线的基本量a，b，c，p 之间的关系，相交弦长（通径），椭圆离心率，抛物线定义及方程，椭圆方程.注重学生对基本量、关系式、离心率、弦长等基础知识的掌握，要求学生弄清知识之间的区别与联系.该题求解方法简单，整体法求离心率亦常见，第（2）小题利用离心率得a，c的关系，化简方程是解答关键，很好地考查了学生的数学运算素养.除了联立方程求解外，还可以用圆锥曲线的统一定义表示焦半径，简化了运算，提高了解题速度和准确率.类似试题还有全国Ⅰ卷理科第4题、第15题，全国Ⅱ卷文科第19题，全国Ⅲ文科第14题，全国新高考Ⅰ卷第9题、第13题，全国新高考Ⅱ卷第9题，北京卷第7题、第12题、第20题，天津卷第7题，江苏卷第6题，浙江卷第8题，上海卷第10题.2.注重对圆锥曲线与其他知识的综合应用的考查在知识的交会处命题一直是高考数学命题的一大特点，圆锥曲线不仅是知识交会的高频考点，更是代数与几何的完美结合体，因此将圆锥曲线内容与章节内、章节间、学段间、学科间的知识综合，既体现知识的连贯性，又体现知识的交叉性，既考查学生学习的延续性，也考查学生的综合能力.2020年高考数学试题中综合考查了圆锥曲线的方程、离心率、渐近线、弦长、交点，以及三角形的面积、周长等，综合考查圆锥曲线与向量、不等式、函数、解三角形的交会，其中不乏对特殊三角形、圆、线段中垂线等初中平面几何知识的考查，以及几何性质与代数表达式之间互相转化的考查，能有效检测学生的思维能力与水平.例3（全国Ⅲ卷·理11）设双曲线C：x2a2-y2b2=1 ()a>0，b>0的左、右焦点分别为F1，F2，离心率为5.P是C上一点，且F1P⊥F2P.若△PF1F2的面积为4，则a的值为（）.（A）1（B）2（C）4（D）8【评析】该题综合考查双曲线的定义、离心率、焦点直角三角形、三角形面积，要求学生不仅熟练掌握知识，还要熟悉求解方程组的方法，是一道题型常见、思路常规的综合性试题.例4（江苏卷·18）如图1，在平面直角坐标系xOy 中，已知椭圆E：x24+y23=1的左、右焦点分别为F1，F2，点A在椭圆E上且在第一象限内，AF2⊥F1F2，直线AF1与椭圆E相交于另一点B.（1）求△AF1F2的周长；（2）在x轴上任取一点P，直线AP与椭圆E的右准线相交于点Q，求OP⋅QP的最小值；（3）设点M在椭圆E上，记△OAB与△MAB的面积分别为S1，S2，若S2=3S1，求点M的坐标.【评析】考查椭圆的定义、直线与椭圆相交、向量数量积和点到直线的距离.第（2）小题中数量积的最值问题考查函数与方程思想，将最值问题转化为函数问题求解的关键点是选取变量，明晰点P，Q的主、被动关系，特别是OP的纵坐标为0，即点Q的纵坐标对数量积没有影响，从而可以不求点Q的纵坐标，这是降低该题难度的关键点，需要学生有极强的数学运算素养.第（3）小题考查三角形的面积关系，实质是考查点到直线的距离，需要学生看到问题的本质，即当三角形的一边为定值时，面积取决于这一边上的高，进一步将高的值转化为椭圆上的点到直线的距离，即直线和椭圆的位置关系.这一系列问题将圆锥曲线与三角形、向量、函数、直线，以及距离流畅地结合起来，在综合考查学生基础知识的同时，考查学生灵活运用转化与化归思想以及数形结合思想解决问题的能力.例5（全国Ⅲ卷·理20）已知椭圆C ：x 225+y 2m 2=1()0<m <5的离心率为，A ，B 分别为C 的左、右顶点.（1）求C 的方程；（2）若点P 在C 上，点Q 在直线x =6上，且||BP =||BQ ，BP ⊥BQ ，求△APQ 的面积.【评析】该题是以直线与椭圆相交成图，考查三角形面积的综合问题，试题表述简洁，脉络清晰，是常规题型，但是试题却不易找到解题突破口.利用垂直关系证得三角形全等，然后用三角形全等求得关键点P ，Q 的坐标是求解该题的切入点，要求学生认识知识的联系性，将圆锥曲线与初中三角形知识自然地糅合在一起，考查学生对初中所学知识的延伸及初高中知识的融合应用，对学生的跨学段知识综合应用能力要求较高.此类型的试题还有全国Ⅰ卷文科第11题、全国Ⅱ卷理科第8题、全国Ⅲ卷文科第21题、全国新高考Ⅱ卷第21题、天津卷第18题、上海卷第10题.3.注重对数学思维、核心素养的考查《标准》对高考数学命题提出明确要求：注重对学生数学学科核心素养的考查，处理好数学学科核心素养与知识技能的关系，充分考虑对教学的积极引导作用；要适度增加试题的思维量，应特别关注数学学习过程中思维品质的形成.“一核”“四层”“四翼”的新高考评价体系也明确核心素养、关键能力等考查内容和要求.2020年高考圆锥曲线与方程的相关试题，以此为依据，注重考查数学思想方法、理性思维和学科核心素养，考查学生通过平面直角坐标系将图形定位、量化，利用代数（方程、方程组）研究平面图形的几何性质，将对数形结合思想、转化与化归思想、函数与方程思想、分类讨论思想的考查不动声色地浸润在试题里，使学生在解题中充分展示分析问题、解决问题的能力，同时注重对数学抽象、逻辑推理、数学运算、直观想象等数学学科核心素养的考查，对数学教学起到很好的引导作用.例6（全国新高考Ⅰ卷·22）已知椭圆C ：x 2a2+y 2b2=1()a >b >0的离心率为，且过点A ()2，1.（1）求C 的方程：（2）点M ，N 在C 上，且AM ⊥AN ，AD ⊥MN ，D 为垂足.证明：存在定点Q ，使得||DQ 为定值.【评析】该题为全国新高考Ⅰ卷的压轴题，第（2）小题是圆锥曲线中的定点、定值问题，特别之处是并不知道定点Q 的具体位置，需要学生自己寻找，增加了试题的难度.首先，学生要分析点M ，N 在椭圆上运动的过程中的变量和不变量，找出直线MN 过定点E ；其次，求得定点E 的坐标，并能在由点A ，D ，E 构成的直角三角形中找到定长.该题不仅在思维上起点高、难度大，在运算上亦是如此，设点、设线还需分类讨论验证，需要学生具有超强的运算功底.在解答过程中，充分体现对通性、通法的重视，对技巧的弱化，完整展现学生分析问题、解决问题的能力，对学生数学抽象、直观想象、逻辑推理、数学运算等数学学科核心素养有充分的检验作用.由于知识和思维跨度较大，数学运算繁杂，对学生综合能力要求较高，真正考查学生用数学眼光观察世界、用数学思维思考世界、用数学语言表达世界的能力.例7（上海卷·20）如图2，双曲线C 1：x 24-y 2b2=1，圆C 2：x 2+y 2=4+b 2()b >0在第一象限交点为A ，A ()x A ，y A ，曲线Γ：ìíîïïx 24-y 2b 2=1，x 2+y 2=4+b2()||x >x A .图2（1）若x A =6，求b ；（2）若b =5，C 2与x 轴交点记为F 1，F 2，P 是曲线Γ上一点，且在第一象限，并满足||PF 1=8，求∠F1PF2；（3）过点Sæèçöø÷0，2+b22且斜率为-b2的直线l交曲线Γ于M，N两点，用b的代数式表示OM⋅ON，并求出OM⋅ON的取值范围.【评析】该题是以双曲线系、圆系的交点为动点的轨迹问题，打破常规命题背景，有创新意识和应用意识.考查学生对曲线与方程的定义、双曲线的定义、直线与圆的位置关系、直线与直线的位置关系、向量数量积、函数最值的理解和综合应用.因为含有参数b使得轨迹不为学生所熟悉，所以要求学生对曲线方程的定义有较深的理解.第（3）小题中的直线l 与圆始终相切，切点为M是关键点，并观察直线l与一条渐近线平行，对学生的直观想象、逻辑推理素养要求较高，是一道以能力立意、考查素养、有创新意识的好题.此类型试题还有全国Ⅰ卷理科第20题、文科第21题，浙江卷第21题.三、复习建议通过对2020年高考圆锥曲线与方程试题的分析，可以看到试题对从基础知识、基本方法到运用基本数学思想解决数学问题的思维过程的考查，都体现了注重“四基”、能力立意、突出思维、落实素养的特点.因此，在高三复习过程中，要通过教学注重数学思想的渗透和学生思维能力的培养，让数学学科核心素养在课堂教学中生根发芽、开花结果.1.掌握知识，明辨异同，构建网络基础知识不仅是高考考查的重点，也是教学重点.高三复习首当其冲就是要把知识点弄清、理透、掌握牢.圆锥曲线部分的基本知识点有圆锥曲线的定义、标准方程、几何性质、位置关系，每个知识点所包含的内容很丰富.例如，圆锥曲线的定义，既有各自的定义，又有统一定义，还有其他方式的定义.又如，标准方程有焦点在x轴和焦点在y轴等.这些知识虽然靠记忆，但是学生容易混淆，因此复习时要让学生明晰同一知识点之间的联系与区别、圆锥曲线与圆锥曲线之间的联系与区别，牢固掌握基础知识.同时，复习不是知识点的简单重复与堆砌，复习是立足章节对所学知识的横向再认识，是站在数学学科角度对所学知识的纵向再认识，要高站位地建构横纵知识结构网络.2.注重通法，提升运算，渗透思想做题是复习课上必不可少的教学活动，《标准》在命题原则中明确提出：注重数学本质、通性和通法、淡化解题技巧.复习的例题、习题、试题要多选用通性、通法求解的题目，让学生熟练掌握通性、通法.圆锥曲线部分的内容特点决定了解题需要学生具有超强的运算能力，常用的运算方法、运算技巧、运算素养都需要在做题中提升.高中的运算不仅仅是简单的数的运算，更多的是式的运算，需要在理解运算对象的基础上，探究运算思路、选择运算方法、求得运算结果，即数学运算素养.这需要依赖教师在教学中加强对学生运算能力的培养，不能只靠学生自己算，要重视学生在求解运算中的过程设计，如整体解法、方程思想、设而不求、点差法、同理法等.运算的速度、准确度在很大程度上决定解析几何试题的得分情况，提升运算能力、培养数学运算素养是圆锥曲线部分复习的重点和难点.教学中要有意识渗透数学思想，方程与函数思想、数形结合思想、转化与化归思想、分类讨论思想等在解题中贯穿始终，能很好地体现理性思维.3.提高能力，增强思维，培育素养能力立意，关注思维，培育核心素养是新高考命题的宗旨，也是高三复习的风向标.能力、思维、素养的培养都“润物细无声”地存在于教学过程之中，因此教学要从培育核心素养的角度思考复习方案和教学设计，并深入了解学生学习的困难，关注一题多解和多题一解的内容与题目，体现灵活性，放手让学生大胆尝试、引导学生有效反思，有助于强化学生思维，培养学生在面对新的问题情境时运用数学概念对问题进行抽象，用数学符号表达，用逻辑推理分析问题、解决问题的能力，让学生真正做到用数学眼光观察世界、用数学思维思考世界、用数学语言表达世界，以达到提炼学生思维品质，培养学生学科核心素养的课程目标.4.克服畏惧，锻炼意志，增强信心在高考数学试卷中，本专题试题繁冗的运算、大容量的思维使得学生有畏惧心理，很多学生给自己的定位是只做解答题第（1）小题，因此纵使有些试卷的解答题不难，考查结果却差强人意.例如，全国Ⅱ卷理科第19题，仍有很多学生没有做第（2）小题.高考不仅是对知识能力的检测，也是对心理素质的检测，复习中不能根据经验或规律，让学生将圆锥曲线与方程问题定性为难题而轻易舍弃，而要以此为契机培养学生面对较繁杂问题时耐心分析、善于转化的能力与勇气，要有意识选择一些基础题和中档题，引导学生在求解的过程中磨炼意志和耐心，克服畏惧心理，以平常心对待，增强“只要有足够的时间，我一定会做出来”的信念和信心.四、模拟题欣赏1.已知F 1，F 2是双曲线E :x 2a 2-y 2b2=1的左、右焦点，点M 在E 上，若△MF 1F 2是直角三角形，且sin ∠MF 1F 2=12，则双曲线E 的离心率为（）.（A ）3-1（B ）3（C ）3+1（D ）3或3+1答案：D.2.设F 为抛物线C ：y 2=3x 的焦点，过焦点F 的动直线交C 于A ，B 两点，则 OA ⋅OB 的值为.答案：-2716.3.若F 1，F 2分别是椭圆C ：x 2a 2+y 2b2=1()a >b >0的左、右焦点，且离心率为12，若过右焦点F 2的直线与曲线C 交于A ，B 两点，求当△ABF 1面积的最大值为12时的椭圆标准方程.答案：x 216+y 212=1. 4.已知过椭圆x 24+y 2=1左顶点A 的直线l 交椭圆于另一点B ，以AB 为直径的圆过椭圆的上顶点，求直线l 的方程.答案：3x +10y +6=0.5.在平面直角坐标系xOy 中，已知1是椭圆C ：x 2a 2+y 2b2=1()a >b >0的右焦点，离心率为，过点F 1且垂直于x 轴的直线交椭圆C 于P ，Q 两点，||PQ =（1）求椭圆C 的标准方程；（2）若过椭圆左焦点F 2且斜率为k ()k >0的直线l 交椭圆C 于A ，B 两点，线段AB 的中点为E ，射线OE 交椭圆C 于点M ，交直线x =-3于点N .求证：||OE ，||OM ，||ON 构成等比数列.答案：（1）x 23+y 22=1；（2）略.参考文献：［1］中华人民共和国教育部制定.普通高中数学课程标准（2017年版）［M ］.北京：人民教育出版社，2018.［2］吴彤，徐明悦.2019年高考“圆锥曲线与方程”专题命题分析［J ］.中国数学教育（高中版），2019（9）：24-27.［3］任佩文，张强，霍文明.2018年高考“圆锥曲线与方程”专题命题分析［J ］.中国数学教育（高中版），2018（7/8）：122-128.［4］范美卿，张晓斌.2016年高考“直线和圆”专题命题分析［J ］.中国数学教育（高中版），2016（9）：2-8.。

圆锥曲线在高考数学中的应用圆锥曲线在高考数学中的应用是一个广为人知的话题。

圆锥曲线是数学中非常重要的一个概念，它在几何、代数、物理等多个领域中都有着广泛的应用，同时也是高中数学中的重要知识点之一。

在高考中，圆锥曲线不仅是数学选择题中常出现的题型，而且在解析几何中也有重要的应用和指导意义。

一、圆锥曲线的定义和分类在空间直角坐标系中，对于任意给定的两个定点 F1 和 F2 ，以及一个正实数 e（离心率），设点 P(x, y，z) 在平面 F1PF2 上，且点 P 到 F1、F2 两点的距离之比为 e，则称 P(x, y，z) 所在的曲线为椭圆，当 e=1 时，称为双曲线。

以直角坐标系中的 x 轴为对称轴，离心率为 e 的曲线称为扁平椭圆，离心率为 1 的曲线称为各向同性圆；以直角坐标系中的 y 轴为对称轴，离心率为 e 的曲线称为长圆，离心率为 1 的曲线称为抛物线；直角坐标系中过 y 轴的某一条直线称为对称轴，离心率为 e 的曲线称为双曲线，当 e=1 时，曲线即为平行于对称轴的两条渐进线的双曲线。

二、圆锥曲线在高考中的应用1. 选择题中的圆锥曲线圆锥曲线作为数学中重要的知识点之一，也是高考数学试卷中出现频率较高的题型之一。

在选择题中，考生通常需要根据所给出的条件来确定所求函数方程的类型，根据曲线的性质推算出符合条件的答案。

例如：已知点 A(2,0)、B(0,1) 和抛物线 C:y=mx^2+mx-1 的顶点在直线AB 上，且交点为 D。

则一个满足 D(-2,-3) 的曲线方程式为(A)双曲线(B)椭圆(C)抛物线(D)圆这道问题主要考察考生对于曲线类型的判断能力和对于直线方程、抛物线特征等知识点的掌握能力。

2. 解析几何中的圆锥曲线在解析几何中，圆锥曲线是几何学中不可或缺的内容之一。

其中，椭圆、双曲线和抛物线最为常见，它们的数学模型、特征方程以及轨迹方程等知识点在高考中都有一定的出现概率。

例如：已知椭圆的中心在坐标原点，长轴为 10，短轴为 6，曲线经过点（8，0）和（-8，0），则该椭圆的方程是：(A)x^2/25+y^2/9=1(B)x^2/100+y^2/36=1(C)x^2/36+y^2/100=1(D)x^2 /9+y^2/25=1这个问题主要考察考生通过已知条件推导出椭圆的方程的能力，需要对于椭圆的中心、坐标轴长度等特征有较为准确的掌握。

解析高考数学中的圆锥曲线及应用近年来，高考数学中的圆锥曲线部分一直是考生们的重点之一，也是不少学生难以攻克的难点。

在这篇文章中，我们将对圆锥曲线进行较为全面的解析，并探讨其在实际应用中的具体意义。

一、圆锥曲线的概念和基本形态圆锥曲线，是指在平面直角坐标系中，由一个固定点F（焦点）与一条固定直线l（准线）所确定的点P的轨迹。

这个点P与焦点的距离PF与P到直线l的距离PL之比始终相等，该比值称为偏心率，用字母e表示。

具体而言，圆锥曲线可以分为四类：椭圆、双曲线、抛物线和直线。

1. 椭圆椭圆是由一个固定点F1（焦点）和另外一个固定点F2（F2≠F1）到平面上的所有点P距离之和为定值的轨迹。

该定值等于两焦点距离之和的一半，用字母2a表示。

对于一个椭圆来说，它的中心点是两焦点的中点O，偏心距离e=OF1/OF2，长轴长度为2a，短轴长度为2b。

2. 双曲线双曲线是由一个固定点F1（焦点）和另外一个固定点F2（F2≠F1）到平面上的所有点P距离之差为定值的轨迹。

该定值等于两焦点距离之差的绝对值，用字母2a表示。

对于一个双曲线来说，它的中心点是两焦点的中点O，偏心距离e=OF1/OF2，距离焦点较远的那一部分曲线称为“远焦双曲线”，距离焦点较近的那一部分曲线称为“近焦双曲线”。

3. 抛物线抛物线是由一个固定点（焦点）F和一条固定直线（准线）l到平面上所有点P的距离之比为定值的轨迹。

该定值等于距离焦点F最近的点到准线l的距离，用字母p表示。

对于一个抛物线来说，它的中心点是准线l上的中点O，焦距f=2p。

4. 直线直线可以看作是一个非常特殊的圆锥曲线，它的两个焦点在无穷远点，准线可以看作是无穷远处的一条直线。

因此，直线的偏心率为0。

二、圆锥曲线的方程及参数表示圆锥曲线可以用不同的方程和参数表示，常用的有标准方程、参数方程和极坐标方程。

1. 椭圆的方程和参数表示椭圆的标准方程为：(x/a)^2+(y/b)^2=1。

圆锥曲线知识点小结圆锥曲线在高考中的地位：圆锥曲线在高考数学中占有十分重要的地位，是高考的重点、热点和难点。

通过以圆锥曲线为载体，与平面向量、导数、数列、不等式、平面几何等知识进行综合，结合数学思想方法，并与高等数学基础知识融为一体，考查学生的数学思维能力及创新能力，其设问形式新颖、有趣、综合性很强。

(1).重视圆锥曲线的标准方程和几何性质与平面向量的巧妙结合。

(2).重视圆锥曲线性质与数列的有机结合。

(3).重视解析几何与立体几何的有机结合。

高考再现：2011年（文22）在平面直角坐标系x O y中，已知椭圆C：+ y2 = 1.如图所示，斜率为k（k＞0）且不过原点的直线l交椭圆C于A、B两点，线段AB的中点为E，射线OE交椭圆C于点G，交直线x = -3于点D（-3，m）.（1）求m2 + k2的最小值；（2）若∣OG∣2 =∣OD∣·∣OE∣, ①求证：直线l过定点；②试问点B、G能否关于x轴对称？若能，求出此时△ABG的外接圆方程；若不能，请说明理由.（理22）已知动直线l与椭圆C：+ = 1相交于P（x1，y1），Q（x2，y 2）两个不同点，且△OPQ的面积S△OPQ=，其中O为坐标原点．（1）证明：+和+均为定值；（2）设线段PQ 的中点为M ，求∣OM ∣·∣PQ ∣的最大值；（3）椭圆C 上是否存在三点D, E, G ，使得S △ODE = S △ODG = S △OEG =？若存在，判断△DEG 的形状；若不存在，请说明理由．(2009年山东卷)设m ∈R,在平面直角坐标系中,已知向量a =(mx,y+1),向量b =(x,y-1),a⊥b ,动点M(x,y)的轨迹为E.（1）求轨迹E 的方程,并说明该方程所表示曲线的形状;（2）已知m=1/4,证明:存在圆心在原点的圆,使得该圆的任意一条切线与轨迹E 恒有两个交点A,B,且OA⊥OB(O 为坐标原点),并求出该圆的方程; (3)已知m=1/4,设直线l 与圆C:x 2+y 2=R 2(1<R<2)相切于A 1,且l 与轨迹E 只有一个公共点B 1,当R 为何值时,|A 1B 1|取得最大值?并求最大值. 一.圆锥曲线的定义：椭圆：平面内与两个定点的距离之和等于定长（大于）的点的轨迹叫做椭圆。

高考数学中的圆锥曲线圆锥曲线是代数几何中的重要概念，也是高中数学中比较难的一部分。

它包含了直线、双曲线、抛物线和椭圆四种曲线类型。

在高考数学中，圆锥曲线是一个难点，但是掌握了这个知识点，不仅有助于理解高数中其他知识点，也有助于应对高考成绩。

一、圆锥曲线的定义和概念圆锥曲线是在平面直角坐标系中的解析几何概念，它是二次方程x²+y²+Dx+Ey+F=0（D，E，F均为常数，且D²+E²≠0）的图形。

其中的四种曲线类型如下：1. 直线：当圆锥曲线的系数D=E=0时，圆锥曲线变成直线。

直线可以看成是一个不确定的椭圆，它有两个焦点（即两个充电电荷）、两个半轴（即极值）。

2. 双曲线：当圆锥曲线的系数D²-E²>0时，圆锥曲线变成双曲线。

双曲线有两个焦点和两个渐近线。

3. 抛物线：当圆锥曲线的系数D=0，E≠0时，圆锥曲线变成抛物线。

抛物线有一个焦点和一个顶点。

4. 椭圆：当圆锥曲线的系数D²-E²<0时，圆锥曲线变成椭圆。

椭圆有两个焦点和两个半轴。

二、实例探究：直线与圆锥曲线我们以直线为例，来看一下圆锥曲线与直线的关系。

首先，我们知道当圆锥曲线系数D=E=0时，可以变成一个直线。

而对于直线y=kx+b（k和b均为常数），可以加入一个令y=mx，那么k和b就是D和E，即圆锥曲线的系数。

例如，圆锥曲线x²-6x+y²+4y+9=0，我们可以将它转换为(x-3)²+(y+2)²=4。

这是一个半径为2，圆心在(3,-2)处的圆。

我们可以绘制它的图像，然后再绘制直线y=x-1的图像。

从图像来看，直线y=x-1穿过了圆心，因此它一定与这个圆有交点。

我们可以通过解方程，求出直线y=x-1与圆的交点：(x-3)²+(y+2)²=4；y=x-1.解得：x²-5x+9=0，因此x=（5±√5）/2，代入y=x-1，得到y=（3±√5）/2。

圆锥曲线高考知识点圆锥曲线是数学中的一门重要的几何学分支，也是高考数学中的重中之重。

掌握圆锥曲线的知识点，对于高中数学的学习以及高考的顺利通过具有重要的意义。

本文将从圆锥曲线的基本概念到不同类型的圆锥曲线的性质和应用进行论述，希望能够帮助同学们更好地理解和掌握这一知识点。

一、圆锥曲线的基本概念圆锥曲线是由一个固定点F（焦点）和一条固定直线L（准线）确定的曲线。

根据焦点和准线的相对位置可以得到不同类型的圆锥曲线，包括椭圆、双曲线和抛物线。

椭圆：焦点到椭圆上任意一点的距离之和等于两倍的焦准距离。

椭圆是一种封闭的曲线，具有对称性和周期性。

在实际生活中，椭圆的应用非常广泛，例如卫星轨道和地球公转等。

双曲线：焦点到双曲线上任意一点的距离之差等于两倍的焦准距离。

双曲线是开放的曲线，具有两支且无对称轴。

它在数学、物理和工程等领域中有广泛的应用，例如电磁场分布和天体运动等。

抛物线：焦点到抛物线上任意一点的距离等于焦准距离。

抛物线是一种非常常见的曲线，具有对称性和方向性。

它在日常生活中有很多实际应用，例如抛物物体的运动轨迹和反射焦点原理等。

二、圆锥曲线的性质1. 集中性：椭圆和抛物线的焦点在曲线内部，而双曲线的焦点在曲线外部。

这是圆锥曲线与其他曲线（如直线和旋转曲面）的重要区别。

2. 对称性：椭圆和抛物线具有对称轴，对称轴是通过焦点且垂直于准线的直线；双曲线则没有对称轴。

这一性质对于曲线的研究和应用具有重要的帮助。

3. 参数方程：圆锥曲线可以使用参数方程描述。

参数方程给出了曲线上任意一点的坐标与参数之间的关系，简化了计算和分析过程。

4. 弦：圆锥曲线上的任意两点可以确定一条弦，弦与准线的交点称为弦的准线截距。

弦的性质是圆锥曲线研究的重要内容之一。

三、圆锥曲线的应用圆锥曲线在科学和工程领域有广泛的应用，以下是其中几个重要的应用：1. 卫星轨道：圆锥曲线可以用来描述卫星在地球上空运行的轨道。

椭圆轨道、圆轨道和双曲线轨道分别对应不同的卫星运行状态，这对于航天技术的发展和应用非常重要。

浅析圆锥曲线在高中数学中地位及重点
高中数学课程中，圆锥曲线占据着独特的地位，非常重要。

它既是圆论中的重
要概念，也是几何学中无可置疑的重点。

圆锥曲线是数学研究中传统的研究对象，也是多角形的一种，使用广泛并应用于科学研究的诸多方面。

它的功能及其所涉及的问题是数学家和物理学家多年来深刻思考及研究的话题。

高中数学中，圆锥曲线的基本结构包括原点、坐标轴、锥轴、锥曲线和旋转轴等，这是绘制圆锥曲线的关键步骤，也是学习圆锥曲线的重要环节。

圆锥曲线的讨论也涉及到面积的计算、曲线的分析、积分、求值及解析等多个方面，它处于一种精细的结构和复杂的性质，一定程度上表示了高中数学的精髓。

圆锥曲线在运筹学和求解多项式方程的过程中也发挥了重要作用。

在企业决策
或工程领域，如分配财政预算、解决冲突等，圆锥曲线可以作为一种巧妙的学习方法来构建最优解，这种优化方法把仿真技术和数学抽象有机结合起来，圆锥曲线优化理论对数值方面和实验领域都有重要的启发作用。

圆锥曲线在高中数学教育中有着多种深度的应用，它既是几何学中一种重要的
研究对象，也有助于实现探究式学习，又兼具科学研究及企业管理等方面的重要性，透过它可获得经济效益及技术创新，对提升学生的学习乐趣及加深其对数学的理解有重要的作用。

基于数学高考中圆锥曲线的教学探析数学高考中的圆锥曲线一直是考试中比较重要的知识点，它涉及到数学的几何、代数等多个方面，对于学生来说，掌握圆锥曲线不仅可以帮助他们提高数学成绩，还可以培养他们的逻辑思维能力和解决问题的能力。

本文将从数学教学的角度，对基于数学高考中圆锥曲线的教学进行一番探析。

圆锥曲线在数学高考中的地位不可忽视。

在数学高考中，圆锥曲线是一个非常重要的知识点，它包括抛物线、椭圆、双曲线等几种曲线。

学生不仅需要了解这些曲线的定义、性质、方程等基本知识，还需要能够熟练地运用圆锥曲线解决各种与之相关的问题。

对圆锥曲线的教学应该引起教师和学生的高度重视。

圆锥曲线的教学应该注重理论与实践相结合。

在教学过程中，老师不仅要向学生介绍圆锥曲线的理论知识，还要让学生通过实际例子来感受和理解这些知识。

可以通过实物模型或投影仪来展示不同类型的圆锥曲线，让学生对其形状有一个直观的认识；再可以通过问题解析的方式，让学生亲自动手去推导圆锥曲线的方程，从而加深他们对知识点的理解。

只有理论与实践相结合，学生才能真正掌握圆锥曲线的知识。

圆锥曲线的教学应该注重培养学生的发散思维能力。

圆锥曲线的问题通常是比较复杂的，需要学生具有一定的解题思路和方法。

老师在教学中要引导学生，让他们学会通过不同的思路和方法解决问题。

可以给学生提供一些与圆锥曲线相关的实际问题，让他们自己思考和解决，从而培养他们的逻辑思维能力和解决问题的能力。

圆锥曲线的教学应该注重激发学生的学习兴趣。

圆锥曲线是一个有趣的数学知识点，它涉及到许多有趣的问题和定理，比如开普勒的行星运动定律、抛物面的抛物线轨迹等等。

老师可以通过讲解一些有趣的实例和问题，来激发学生的学习兴趣。

还可以组织一些有趣的数学竞赛和活动，让学生在竞争中感受数学的魅力，从而激发他们对圆锥曲线的学习兴趣。

基于数学高考中圆锥曲线的教学应该注重理论与实践相结合，培养学生的发散思维能力，激发学生的学习兴趣。