第1章-1.2-1.2.1函数的概念

第一章集合与函数概念1.2 函数及其表示1.2.1 函数的概念和函数的表示法1 教学目标1.1 知识与技能：[1]理解函数的概念,了解构成函数的三要素．[2]会判断给出的两个函数是否是同一函数.[3]能正确使用区间表示数集.[4]函数的三种表示方法，并会求简单函数的定义域和值域.[5]通过实例体会分段函数的概念.[6]了解映射的概念及表示方法，并会判断一个对应关系是否是映射.1.2过程与方法：[1]通过具体实例，体会函数的概念和函数三要素，会求简单函数的定义域和值域。

[2]通过观察、画图等具体动手，体会分段函数的概念。

[3]通过具体习题，了解映射的概念，并会判断一个对应关系是否是映射.1.3 情感态度与价值观：[1]通过学习函数的概念及其表示法以及相关练习，培养学生逻辑思维。

[2]通过细致作图，培养学生的动手能力和识图能力。

2 教学重点/难点/易考点2.1 教学重点[1]函数的三种表示方法。

[2]分段函数的概念。

2.2 教学难点[1]根据不同的需要选择恰当的方法表示函数，什么才算“恰当”？分段函数的表示及其图象．[2]会求函数的定义域和值域。

3 专家建议此节为高中数学函数的第一节内容，一定要让学生充分理解函数的概念，结合具体习题提升学生的逻辑思维和数学素养。

4 教学方法实例探究——归纳总结，提炼概念——补充讲解——练习提高5 教学用具多媒体，教学用直尺、三角板。

6 教学过程6.1 引入新课【师】同学们好。

初中的时候我们就接触过函数，并掌握了一次函数，二次函数和反比例函数。

这节课我们来继续进一步学习和函数有关的内容。

【板书】第一章集合与函数概念 1.2 函数及其表示6.2 新知介绍[1]函数的概念【师】下面请同学们看三个实例，看有什么不同点和相同点。

【板演/PPT】PPT演示三个实例。

【师】那我们现在可以发现不同点是三个实例分别用解析式，图像和表格刻画变量之间的对应关系。

相同点是都有两个非空数集，并且两个数集之间都有一种确定的对应关系。

第1章函数的概念（函数基础知识部分）1函数及其表示1.1函数的概念1.1.1函数概念：设A，B是非空的数集，如果按照某种对应关系f，使对于集合A中的任意一个数x，在集合B中都有唯一确定的数)f和它对应，那么就称f：A→B为从集合A到集合B的一个函数，(x记作：Ay∈(，其中x为自变量，x的取值范围叫定义域，与x对应的y值叫函数值，函数=),fxx值的集合}xxf∈叫做函数的值域．({A|)1.1.2函数的内涵（三要素+ 唯一）：①函数定义中的集合必须是非空数集．②定义域的每个元素都有函数值与之对应．③定义域的每个元素都有唯一的函数值与之对应．④函数是一种确定的对应关系．1.1.3函数概念的外延①必须是非空数集，不是点集P(x,y)或者其它集合。

②定义域中每一个取值，都必须有唯一的)f和它对应．(x③对于x，)f不一定仅仅对应x．即可以多个x对应一个(xf必须是唯一确定的；反过来，一个)(xf．函数是一对一或多对一的．)(x④在坐标系中，只要)f对应了两个或两个以上的x（用竖线扫描），就不是函数，比如闭合图象就不(x可能是函数．⑤值域⊆B，值域是和定义域相对应，但是B中可以有多余的元素．1.1.4理解概念的例题：如图曲线x和y 能否构成函数？不能，因为同一个x对应了2个y值．1 函数()y f x =的图象与直线1x =的公共点数目是（ ）A ．1B ．0C ．0或1D ．1或2 1.1.5 同一函数的判定方法定义域相同、对应关系相同，值域是由定义域和对应关系确定的，因此，同一函数的判定标准是：定义域和对应关系相同的函数．（值域可以作为判定）对应关系可用不同的方式表达，与使用的符号没有关系．典型例题： ①函数112--=x x y 与1+=x y 是不是同一函数？② 函数x y =与2t s =是否是同一个函数？③函数2t s =与函数2)(t y =是否是同一函数？2 判断下列各组中的两个函数是同一函数的为（ ）⑴3)5)(3(1+-+=x x x y ，52-=x y ；⑵111-+=x x y ，)1)(1(2-+=x x y ；⑶x x f =)(，2)(x x g =；⑷343()f x x x =-，3()1F x x x =-；⑸21)52()(-=x x f ，52)(2-=x x f ．A ．⑴、⑵ B．⑵、⑶ C．⑷ D．⑶、⑸ 1.2函数定义域1.2.1 定义域一般用集合或区间表示，定义域分自然定义域和实际应用的定义域．自然定义域，要求函数有意义；在实际应用中，应满足实际情况． 1.2.2 区间的概念和表示方法① 闭区间 ② 开区间 ③ 半开半闭区间 ④ 半开半闭区间 ⑤ （-∞，+∞）⑥ [a ，+∞），（a ，+∞） ⑦（-∞，b ]，（-∞，b ）1.2.3 举例： ①请用集合和区间两种方法表示函数11-=x y 的定义域．② 求解函数131)(-++-=x x x f 的定义域，课本19页练习第1题．3 求函数12-=x xx y 的定义域．函数422--=x x y 的定义域 ．4 求下列函数定义域：（1）83y x x =++- （2）11122--+-=x xx y总结：求解定义域，不可化简、多个限制条件一般是交集形式，大多用不等式表示，注意考虑完整，不能有遗漏的项目． 1.2.4 定义域有意义的几种情况 ① 分母不为0．② 0不能有0次冪或负次幂． ③ 三角函数的tanα，α≠2kπ+2π，k ∈Z 这三条类似分母不为0．④ 偶次方根或绝对值为非负数．⑤ 对数函数的真数必须为正数． 这两条是非负数或正数的限制． ⑥ 二次函数c bx ax y ++=2（a ≠0）．⑦ 指数和对数函数x a y =，a >0，且a ≠1． 这两条是对参数的限制． ⑧ 上述几种情况可能组合或层叠在一起．⑨ 涉及到多个复合函数计算时，要注意所有的复合函数定义域都满足给定的条件！ 1.3求定义域或解析式的方法1.3.1 直接法或观察法① 求函数153+-=x xx xy 的定义域．（1）xx x y -+=11；（2）6512+-+=x x x y .1.3.2 二次函数性质或图象法 ①求函数x x x y +-=)1(的定义域．1.3.3 待定系数法、方程组（对抽象函数适用） ①已知一次函数)(x f 满足172)1(2)1(3+=--+x x f x f ，求)(x f 表达式． 已知)(x f 是二次函数，且442)1()1(2+-=-++x x x f x f ，求)(x f 的解析式1.3.4 分离目标变量法、分离常数法、反函数法 ①课本24页习题1．2第5题，已知函数)(x f =62-+x x ，求解定义域和值域．1.3.5 换元法（注意定义域）（换元放前面） ① 已知44)1(2++=+x x x f ，求函数)(x f 的解析式． 5 已知)1(-x f =x ，求)(x f ． 6已知x x x f +=+2)21(，求)(x f 的解析式.1.3.6 整体法（配凑法） ①已知2)1()1(xx x x f +=-，求函数)(x f 的解析式．7 已知函数xxx xf 31)11(22++=+，求)(x f 的解析式.8已知2211()x x x f xx+++=，求()f x 的表达式．1.3.7 赋值法、特殊值法 ①设函数)(x f 的定义域为R ， 1)0(=f ，对于任意实数有)12()()(+--=-y x y x f y x f ，求)(x f 的解析式．特殊值法，在选择题中应用极广，应完全掌握．在特殊值法中用得最多的是0，1，－1，以及使数值为0，1，－1的情况为最多．1.3.8 图像法：根据图象求函数解析式，在分段函数，一次函数、二次函数、多种基本函数的复合方程中较多1.3.9 分段函数的定义域与值域对应关系（全程搜索） ①下图是由一次函数和二次函数构成的分段函数，请根据图象写出函数的解析式)(x f ．若)(x f =2，求x 的值．②已知分段函数)(x f =⎪⎩⎪⎨⎧≥<<--≤+.2,2,11,,1,42x x x x x x 若3)(=x f ，求x 的值．③2011浙江高考 设函数)(x f =⎩⎨⎧>≤-.1,,0,2x x x x 若)(a f =4，则实数a =A ．－4或－2B ．－4或2C ．-2或4D ．－2或2④已知分段函数)(x f =⎪⎩⎪⎨⎧≥<<--≤+.2,2,11,,1,42x x x x x x 若3)(=x f ，求x 的值．⑤2011江苏 已知实数0≠a ，函数)(x f =⎩⎨⎧≥--<+.1,2,1,2x a x x a x 若)1()1(+=-a f a f ，则a 的值为 ．⑥2010江苏 已知函数)(x f =⎩⎨⎧<≥+.0,1,0,12x x x 满足不等式)2()1(2x f x f >-的x 的取值范围是 ．⑦设⎩⎨⎧<+≥-=)10()],6([)10(,2)(x x f f x x x f 则)5(f 的值为（ ）A ．10B ．11C ．12D ．131设函数.)().0(1),0(121)(a a f x xx x x f >⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧<≥-=若则实数a 的取值范围是 ．2若函数234(0)()(0)0(0)x x f x x x π⎧->⎪==⎨⎪<⎩，则((0))f f = ．3已知函数⎩⎨⎧>-≤+=)0(2)0(1)(2x xx x x f ，若()10f x =,则x = ．1.3.10 实际问题的定义域课本24页，习题2．4的A 组．第9题．一个圆柱形容器底部直径为d cm ，高是h cm ，现以v s cm /3的速度向容器注入某种溶液，求容器内溶液高度x cm 关于注入溶液的时间t s 的函数解析式，并写出函数的定义域和值域．分析：直径是d ，高是h ，容器的体积确定为：42hd π，速度×时间 = 溶液体积，溶液高度x 与t 的关系．高度与体积的关系：vt x d =42π，因此t dvx 24π=． 0≤x ≤h ．这里x 是函数，t 是自变量，因此要表达为：t dvx 24π=，由于t 是自变量，因此还要给出定义域：[0，vd h 42π]．结论：解应用题时，一定要注意定义域的范围；要搞清楚自变量和函数，并不是只要是x 就是自变量，是y 就是函数．。