2019-2020年九年级数学生活中的函数问题教案 华师版

2019-2020学年(春季版)九年级数学下册 26 二次函数学案（新版）华东师大版【学习目标】1．通过对实际问题情境的分析，让学生经历二次函数概念的形成过程，学会用类比思想学习二次函数知识．2．掌握二次函数的概念，列出实际问题中的二次函数关系式．【学习重点】掌握二次函数的概念，列出二次函数关系式．【学习难点】理解变量之间的对应关系，并会求自变量的取值范围．行为提示：点燃激情，引发学生思考本节课学什么．行为提示：认真阅读课本，独立完成“自学互研”中的题目，并在练习中发现规律，从猜测到探索到理解知识．知识链接：判断二次函数的方法，函数化简整理后满足：①函数的表达式是整式；②自变量的最高次数是2；③二次项系数不等于0.若满足就是二次函数，否则就不是．情景导入生成问题1．什么是一次函数？答：形如y＝kx＋b(k≠0，k，b为常数)的函数为一次函数．2．列出下列问题中的函数关系式，它们有什么共同特点？(1)矩形周长为20，其面积y与一边长x的函数关系式；(2)圆的面积S与半径r之间的函数关系式；(3)矩形的长是4cm，宽是3cm，如果将其长与宽都增加x cm，则面积增加y cm2，试写出y与x的函数关系式．答：(1)y＝－x2＋10x；(2)S＝πr2；(3)y＝x2＋7x.共同特点：都是关于自变量的二次式．自学互研生成能力知识模块一二次函数的概念阅读教材P2～P4，完成下列问题：问题：什么是二次函数？答：形如y＝ax2＋bx＋c(a，b，c是常数，a≠0)的函数叫做二次函数，其中a，b，c分别是二次项系数，一次项系数，常数项．范例：下列函数属于二次函数的是( B )A ．y ＝x 2＋1x＋1 B ．y ＝2－x 2 C ．y ＝1x2－x 2 D ．y ＝(x －1)2－x 2仿例1：对于二次函数y ＝7－3x ＋πx 2，它的二次项系数，一次项系数和常数项分别为( C )A ．7，－3，1B ．7，－3，πC ．π，－3，7D ．1，－3，7 仿例2：下列关系中，为二次函数的是( B )A ．大米每千克4元，购买数量x(kg )与所付钱数y(元)B ．圆的面积S(cm 2)与半径r(cm )C ．矩形的面积为20cm 2，两邻边长x(cm )与y(cm )D ．已知T(℃)随时间t(h )的变化行为提示：列二次函数关系式要注意实际问题中自变量取值范围，求自变量取值范围时，注意题目条件限制和图形限制等．行为提示：找出自己不明白的问题，先对学，再群学，对照答案，提出疑惑，小组内解决不了的问题，写在小黑板上，在小组展示的时候解决．行为提示：教会学生整理反思．仿例3：已知函数y＝(m2－m)x2＋mx＋(m＋1)(m是常数)，当m为何值时：(1)函数是一次函数；(2)函数是二次函数．解：(1)m＝1；(2)m≠0且m≠1.知识模块二列出实际问题中的二次函数表达式范例：有一人患了流感，经过两轮传染后共有m 人患了感冒，假设每轮传染恰好每一个人传染n 个人，则m 与n 之间的函数关系式为m ＝(1＋n)2．仿例1：某车的刹车距离y(m )与开始刹车时的速度x(m /s )之间满足二次函数y ＝120x 2(x>0)，若该车某次的刹车距离为5m ，则开始刹车时的速度为( C )A ．40m /sB ．20m /sC ．10m /sD ．5m /s仿例2：一个长方形的周长是20cm ，一边长是x cm ，则这个长方形的面积y(cm 2)与x(cm )的函数关系式是y ＝－x 2＋10x ，自变量x 的取值范围是0<x<10．仿例3：如图所示，有长为24m 的篱笆，一面利用墙(墙的最大可用长度为10m )围成中间隔有一道篱笆的长方形花圃，设花圃的宽AB 为x(m )，面积为S(m 2)，则S 与x 的函数关系式为S ＝－3x 2＋24x ，自变量取值范围是143<x<8．仿例4：多边形的对角线条数d 与边数n 之间的关系式为d ＝12n 2－32n ，自变量n 的取值范围是n ≥3且为整数；当d ＝35时，多边形的边数n ＝10．仿例5：如图，等腰直角△ABC 的直角边长与正方形MNPQ 的边长均为20cm ，AC 与MN 在同一条直线上，开始时点A 与点N 重合，若△ABC 以2cm /s 的速度向左运动，最终点A 与点M 重合，则重叠部分的面积y(cm 2)与时间t(s )之间的函数关系式为y ＝12(20－2t)2(0≤x≤10),.)交流展示 生成新知1．将阅读教材时“生成的问题”和通过“自学互研”得出的“结论”展示在各小组的小黑板上，并将疑难问题也板演到黑板上，再一次通过小组间就上述疑难问题相互释疑．2．各小组由组长统一分配展示任务，由代表将“问题和结论”展示在黑板上，通过交流“生成新知”．知识模块一 二次函数的概念知识模块二 列出实际问题中的二次函数表达式检测反馈 达成目标【当堂检测】见所赠光盘和学生用书 【课后检测】见学生用书课后反思 查漏补缺1．收获：________________________________________________________________________2．困惑：________________________________________________________________________课题：二次函数y＝ax2的图象与性质【学习目标】1．会用描点法画出二次函数y＝ax2的图象，掌握二次函数y＝ax2的性质．2．经历探索二次函数y＝ax2的图象与性质的过程，能运用二次函数y＝ax2的图象及性质解决简单的实际问题，掌握数形结合的数学思想方法．【学习重点】会画二次函数y＝ax2的图象，理解有关概念及图象性质．【学习难点】对二次函数研究的途径和方法的体悟．行为提示：点燃激情，引发学生思考本节课学什么．行为提示：认真阅读课本，独立完成“自学互研”中的题目，并在练习中发现规律，从猜测到探索到理解知识．知识链接：二次函数y＝ax2(a≠0)的图象开口方向和开口大小分别由a决定，当a>0时，开口向上；当a<0时，开口向下，开口的大小由|a|决定，|a|越小，抛物线的开口越大；|a|越大，抛物线的开口越小．情景导入生成问题1．用描点法画函数图象有哪些步骤？答：列表、描点、连线．2．一次函数、反比例函数的图象是什么？答：一次函数的图象是一条直线，反比例函数的图象是两条双曲线．3．对于函数y＝x2，取一些x，y的对应值在坐标系内描点，这些点会在同一直线上吗？答：不会．自学互研生成能力知识模块一二次函数y＝ax2的图象阅读教材P5～P6，完成下列问题：问题：二次函数y＝ax2的图象是怎样的？答：二次函数y＝ax2的图象是一条抛物线，它是轴对称图形，y轴是它的对称轴，抛物线与它的对称轴的交点是抛物线的顶点．范例：关于二次函数y＝x2与y＝－x2的图象，下列叙述正确的有( A)①它们的图象都是一条抛物线；②它们的图象的对称轴都是y轴；③它们的图象都经过(0，0)；④二次函数y＝x2的图象开口向上，二次函数y＝－x2的图象开口向下．A．4个B．3个C．2个D．1个仿例：函数y＝ax2与y＝－ax＋b的图象可能是图中的( B),A) ,B) ,C) ,D)知识模块二二次函数y＝ax2的图象与性质问题：二次函数y＝ax2的图象与性质是什么？答：二次函数y＝ax2的图象是一条抛物线，①当a>0时，抛物线的开口向上，图象有最低点；当a<0时，抛物线的开口向下，图象有最高点；②抛物线的对称轴是y轴，顶点坐标是(0，0)；③当a>0时，在对称轴左侧，图象呈下降趋势，y随x的增大而减小，在对称轴右侧，图象呈上升趋势，y随x的增大而增大．行为提示：要灵活应用二次函数图象性质，必须结合图象来进行做题，一定要多画草图，这是求解函数题的关键．行为提示：教会学生怎么交流，先对学，再群学，充分在小组内展示自己，分析答案，提出疑惑，共同解决．范例1：函数y ＝－6x 2的图象开口向下，顶点坐标是(0，0)，对称轴是y 轴，当x ＝0时，函数y ＝－6x 2有最大(选填“大”或“小”)值，这个值为0．仿例1：在抛物线y ＝－12x 2中，当x<0时，y 的值随x 的增大而增大，当x>0时，y 的值随x 的增大而减小．仿例2：下列四个二次函数：①y＝x 2；②y＝－2x 2；③y＝12x 2；④y＝3x 2，其中抛物线开口从大到小的排列顺序是③①②④．范例2：抛物线y ＝－x 2上有两点(x 1，y 1)，(x 2，y 2)，若x 1<x 2<0，则y 1<y 2.(比较大小)仿例1：已知函数y ＝(m ＋1)xm 2＋m －4是二次函数，当x ＞0时，y 随x 的增大而减小，则m ＝－3．仿例2：如图，⊙O 的半径为2，C 1是函数y ＝12x 2的图象，C 2是函数y ＝－12x 2的图象，则阴影部分的面积是2π．仿例3：若点(x 1，5)和点(x 2，5)(x 1≠x 2)均在抛物线y ＝ax 2上，则当x ＝x 1＋x 2时，y 的值是( A )A ．0B ．10C ．5D ．－5交流展示 生成新知1．将阅读教材时“生成的问题”和通过“自学互研”得出的“结论”展示在各小组的小黑板上，并将疑难问题也板演到黑板上，再一次通过小组间就上述疑难问题相互释疑．2．各小组由组长统一分配展示任务，由代表将“问题和结论”展示在黑板上，通过交流“生成新知”．知识模块一 二次函数y ＝ax 2的图象知识模块二 二次函数y ＝ax 2的图象与性质检测反馈 达成目标【当堂检测】见所赠光盘和学生用书 【课后检测】见学生用书课后反思 查漏补缺1．收获：________________________________________________________________________2．困惑：________________________________________________________________________课题：二次函数y＝ax2＋k的图象与性质【学习目标】1．能解释二次函数y＝ax2＋k和y＝ax2的图象的位置关系，掌握y＝ax2上、下平移规律．2．体会图形的变化与图形上的点的坐标变化之间的关系，领悟y＝ax2与y＝ax2＋k相互转化的过程．【学习重点】抛物线y＝ax2＋k的图象与性质．【学习难点】理解抛物线y＝ax2与y＝ax2＋k之间的位置关系．行为提示：点燃激情，引发学生思考本节课学什么．行为提示：教会学生看书，自学时对于书中的问题一定要认真探究，书写答案，教会学生落实重点．知识链接：二次函数y＝ax2＋k的图象是由二次函数y＝ax2的图象向上或向下平移|k|个单位得到的，当k>0时，向上平移，当k<0时，向下平移．行为提示：二次函数y＝ax2＋k的图象与性质要结合平移来记，顶点变，其他不变．情景导入生成问题二次函数y＝ax2的图象性质是怎样的？答：二次函数y＝ax2的图象是一条抛物线，对称轴是y轴，顶点为原点，当a>0时，开口向上，在对称轴左侧，y随x增大而减小，在对称轴右侧，y随x增大而增大；当a<0时，开口向下，在对称轴左侧，y随x增大而增大，在对称轴右侧，y随x增大而减小，且|a|越大，开口越小，|a|越小，开口越大．自学互研 生成能力 知识模块一 抛物线y ＝ax 2＋k 与y ＝ax 2之间的平移 阅读教材P 7～P 9，完成下列问题：问题：y ＝ax 2＋k 与y ＝ax 2之间有何关系？答：二次函数y ＝ax 2＋k 是由y ＝ax 2平移|k|个单位得到的，k>0，向上平移，k<0，向下平移．范例：(郴州中考)将抛物线y ＝x 2＋1向下平移2个单位，则此时抛物线的表达式为y ＝x 2－1．仿例：下列各组抛物线中，能够通过互相平移而彼此得到对方的是( D )A ．y ＝2x 2与y ＝3x 2B ．y ＝12x 2＋2与y ＝2x 2＋12C ．y ＝2x 2与y ＝x 2＋2D ．y ＝x 2＋2与y ＝x 2－2知识模块二 二次函数y ＝ax 2＋k 的图象与性质问题：二次函数y ＝ax 2＋k 的图象与性质是怎样的？答：一般地，抛物线y ＝ax 2＋k 的对称轴是y 轴，顶点是(0，k)，当a>0时，开口向上，顶点是最低点；当a<0时，开口向下，顶点是最高点．范例1：抛物线y ＝14x 2－9的开口向上，对称轴是y 轴，顶点坐标是(0，－9)，它可以看做是由抛物线y ＝14x 2－1向下平移8个单位得到的．仿例：抛物线y ＝－12x 2＋1与抛物线y ＝ax 2＋c 关于x 轴对称，则a ＝12，c ＝－1.行为提示：求二次函数的表达式，一般先依题意设出适当的函数式，然后依据图象上点的坐标代入所设函数式，得到一个方程组，从而求出函数表达式．行为提示：找出自己不明白的问题，先对学，再群学，对照答案，提出疑惑，小组内解决不了的问题，写在小黑板上，在小组展示的时候解决． 范例2：一抛物线的顶点坐标为(0，5)，形状与抛物线y ＝2x 2相同，在对称轴右侧，y 随x 增大而减小，则该函数关系式为( A )A ．y ＝－2x 2＋5B ．y ＝－5x 2＋ 2C ．y ＝－5x 2－ 2D ．y ＝2x 2－5仿例：抛物线y ＝－12x 2＋4与x 轴交于B ，C 两点，顶点为A ，则△ABC 的面积为( B )A ．8B ．8 2C ．4D ．4 2交流展示 生成新知1．将阅读教材时“生成的问题”和通过“自学互研”得出的“结论”展示在各小组的小黑板上，并将疑难问题也板演到黑板上，再一次通过小组间就上述疑难问题相互释疑．2．各小组由组长统一分配展示任务，由代表将“问题和结论”展示在黑板上，通过交流“生成新知”．知识模块一 抛物线y ＝ax 2＋k 与y ＝ax 2之间的平移知识模块二 二次函数y ＝ax 2＋k 的图象与性质检测反馈 达成目标【当堂检测】见所赠光盘和学生用书 【课后检测】见学生用书课后反思 查漏补缺1．收获：________________________________________________________________________2．困惑：________________________________________________________________________课题：二次函数y ＝a(x －h)2的图象与性质【学习目标】1．会用描点法画二次函数y ＝a(x －h)2的图象，掌握y ＝a(x －h)2的图象与性质．2．理解抛物线y ＝a(x －h)2与y ＝ax 2之间的位置关系． 【学习重点】二次函数y ＝a(x －h)2的图象与性质． 【学习难点】把握抛物线y ＝ax 2通过平移后得到y ＝a(x －h)2时平移的方向和距离．行为提示：点燃激情，引发学生思考本节课学什么．情景导入生成问题1．二次函数y＝ax2＋k(a≠0)的图象与性质是什么？它由y＝ax2如何平移得到？答：函数y＝ax2＋k(a≠0)的图象是一条抛物线，对称轴是y轴，顶点是(0，k)．当a>0时，抛物线开口向上，顶点是抛物线的最低点；当a<0时，抛物线开口向下，顶点是抛物线的最高点．当a>0时，在对称轴左侧(x<0)，y随x的增大而减小，在对称轴右侧(x>0)，y 随x的增大而增大．2．二次函数y＝ax2＋k的图象是由y＝ax2的图象上、下平移|k|个单位得到的．行为提示：认真阅读课本，独立完成“自学互研”中的题目，并在练习中发现规律，从猜测到探索到理解知识．知识链接：1．由抛物线y ＝ax 2向右平移k(k>0)个单位，则y ＝a(x －k)2.向左平移k(k>0)个单位，则y ＝a(x ＋k)2；2．抛物线平移对应的二次项系数a 相等；3．抛物线的平移规律是“左右平移，左加右减；上下平移，上加下减”．行为提示：y ＝a(x －h)2由y ＝ax 2左右平移得到，注意顶点对称轴的变化，函数增减性叙述的变化．行为提示：教会学生怎么交流，先对学，再群学，充分在小组内展示自己，分析答案，提出疑惑，共同解决．自学互研 生成能力 知识模块一 抛物线y ＝a(x －h)2与y ＝ax 2之间的平移 阅读教材P 11～P 13，完成下列问题：问题：二次函数y ＝a(x －h)2如何由y ＝ax 2平移得到？答：二次函数y ＝a(x －h)2是由y ＝ax 2向左或向右平移|h|个单位得到，当h>0时，向右平移；当h<0时，向左平移．范例：将抛物线y ＝－2⎝ ⎛⎭⎪⎫x －322向左平移4个单位后，所得抛物线的表达式为y ＝－2⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋522,.)仿例：将抛物线y ＝23(x ＋2)2沿x 轴向右平移3个单位，得到抛物线y ＝23(x －1)2.知识模块二 抛物线y ＝a （x －h ）2的图象与性质问题：抛物线y ＝a(x －h)2的图象与性质是什么？答：抛物线y ＝a(x －h)2的性质：对称轴是直线x ＝h ，顶点坐标为(h ，0)，a>0时，在对称轴右侧y 随x 的增大而增大，在对称轴的左侧y 随x 的增大而减小，图象有最低点，函数有最小值；a<0时，在对称轴右侧y 随x 的增大而减小，在对称轴的左侧y 随x 的增大而增大，图象有最高点，函数有最大值．范例：抛物线y ＝－9(x ＋12)2的开口向下，对称轴为直线x ＝－12，顶点坐标是(－12，0)；当x<－12时，y 随x 的增大而增大；当x>－12时，y 随x 的增大而减小；当x ＝－12时，函数y 有最大(选填“最大”或“最小”)值．仿例：已知A(－1，y 1)，B(－2，y 2)，C(3，y 3)三点都在二次函数y ＝－2(x ＋2)2的图象上，则y 1，y 2，y 3的大小关系是y 3<y 1<y 2．交流展示 生成新知1．将阅读教材时“生成的问题”和通过“自学互研”得出的“结论”展示在各小组的小黑板上，并将疑难问题也板演到黑板上，再一次通过小组间就上述疑难问题相互释疑．2．各小组由组长统一分配展示任务，由代表将“问题和结论”展示在黑板上，通过交流“生成新知”．知识模块一 抛物线y ＝a(x －h)2与y ＝ax 2之间的平移知识模块二 抛物线y ＝a(x －h)2的图象与性质检测反馈 达成目标【当堂检测】见所赠光盘和学生用书 【课后检测】见学生用书课后反思 查漏补缺1．收获：________________________________________________________________________2．困惑：________________________________________________________________________课题：二次函数y ＝a(x －h)2＋k 的图象与性质【学习目标】1．掌握抛物线y ＝a(x －h)2＋k 与y ＝ax 2的图象之间的关系，熟练掌握函数y ＝a(x －h)2＋k 的有关性质，并能用函数y ＝a(x －h)2＋k 的性质解决一些实际问题．2．经历探索y ＝a(x －h)2＋k 的图象与性质的过程，体验y ＝a(x －h)2＋k 与y ＝ax 2，y ＝ax 2＋k ，y ＝a(x －h)2之间的转化过程，深刻理解数学建模思想及数形结合的思想方法．【学习重点】二次函数y ＝a(x ＋h)2＋k 的性质． 【学习难点】二次函数y ＝a(x ＋h)2＋k 的图象与性质的运用．行为提示：创景设疑，帮助学生知道本节课学什么．行为提示：教会学生看书，自学时对于书中的问题一定要认真探究，书写答案，教会学生落实重点．知识链接：二次函数y ＝a(x －h)2＋k 的图象是由y ＝ax 2的图象向左(或右)平移|h|个单位，再向上(或下)平移|k|个单位得到的，平移规律是上下平移变常数项，上加下减；左右平移变自变量，左加右减．情景导入 生成问题1．填写下表2.抛物线y ＝13x 2－2，y ＝13(x －2)2是由y ＝13x 2如何平移得来？答：抛物线y ＝13x 2－2是由抛物线y ＝13x 2向下平移2个单位得到，y ＝13(x －2)2是由y ＝1x2向右平移2个单位得到．3自学互研生成能力知识模块一抛物线y＝a(x－h)2＋k与y＝ax2之间的平移阅读教材P14～P15，完成下列问题：问题：抛物线y＝a(x－h)2＋k如何由y＝ax2平移得到？答：一般地，抛物线y＝a(x－h)2＋k是由抛物线y＝ax2向上(下)、向左(右)平移得到的，平移的方向、距离要依据h，k的值来决定．范例：(无锡中考)将抛物线y＝2(x＋1)2－3向右平移1个单位，再向上平移3个单位，则所得抛物线的表达式为y＝2x2．仿例：(扬州中考)将抛物线y＝x2＋1先向左平移2个单位，再向下平移3个单位，那么所得抛物线的函数表达式是( B)A．y＝(x＋2)2＋2 B．y＝(x＋2)2－2C．y＝(x－2)2＋2 D．y＝(x－2)2－2知识模块二抛物线y＝a（x－h）2＋k的图象与性质问题：抛物线y＝a(x－h)2＋k的图象性质是怎样的？答：抛物线y＝a(x－h)2＋k有如下特点：当a>0时，开口向上；当a<0时，开口向下，对称轴是直线x＝h，顶点是(h，k)．从图象可以看出，如果a>0，当x<h时，y随x的增大而减小，当x>h时，y随x的增大而增大，如果a<0，当x<h时，y随x的增大而增大，当x>h 时，y随x的增大而减小．行为提示：熟记y ＝a(x －h)2＋k 的图象与性质并用它解决问题，已知顶点坐标可直接代入求h ，k 的值．注意平移时a 不变，绕原点旋转180°，a 变为原数的相反数．行为提示：教会学生怎么交流，先对学，再群学，充分在小组内展示自己，分析答案，提出疑惑，共同解决． 范例：抛物线y ＝－3(x －2)2＋1的对称轴是直线x ＝2，当x<2时，y 的值随x 的增大而增大，当x>2时，y 的值随x 的增大而减小；有最大值，当x ＝2时，这个值等于1．仿例：(泰安中考)对于抛物线y ＝－12(x ＋1)2＋3，下列结论：①抛物线的开口向下；②对称轴为直线x ＝1；③顶点坐标为(－1，3)；④x>1时，y 随x 的增大而减小．其中正确结论的个数有( C )A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个交流展示 生成新知1．将阅读教材时“生成的问题”和通过“自学互研”得出的“结论”展示在各小组的小黑板上，并将疑难问题也板演到黑板上，再一次通过小组间就上述疑难问题相互释疑．2．各小组由组长统一分配展示任务，由代表将“问题和结论”展示在黑板上，通过交流“生成新知”．知识模块一 抛物线y ＝a(x －h)2＋k 与y ＝ax 2之间的平移知识模块二 抛物线y ＝a(x －h)2＋k 的图象与性质检测反馈 达成目标【当堂检测】见所赠光盘和学生用书 【课后检测】见学生用书课后反思 查漏补缺1．收获：________________________________________________________________________2．困惑：________________________________________________________________________课题：二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c 的图象与性质【学习目标】1．会用配方法将二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c 的表达式写成y ＝a(x －h)2＋k 的形式；通过图象能熟练地掌握二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c 的性质．2．经历探索y ＝ax 2＋bx ＋c 与y ＝a(x －h)2＋k 的图象与性质紧密联系的过程，能运用二次函数的图象与性质解决简单的实际问题，深刻理解数学建模思想以及数形结合的思想．【学习重点】用描点法画出二次函数的图象，并指出该图象的基本性质． 【学习难点】通过对二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c 上的一些点的分析得出关于a ，b ，c 的不等式．行为提示：点燃激情，引发学生思考本节课学什么．行为提示：认真阅读课本，独立完成“自学互研”中的题目，并在练习中发现规律，从猜测到探索到理解知识．情景导入生成问题1．抛物线y＝a(x－h)2＋k的图象与性质是什么？答：(1)顶点坐标是(h，k)，对称轴是直线x＝h；(2)当a>0时，开口向上，顶点是最低点；当a<0时，开口向下，顶点是最高点．2．抛物线y＝－2(x－1)2－3的开口方向是向下，其顶点坐标是(1，－3)，对称轴是直线x＝1，当x>1时，函数值y随自变量x的值的增大而减小．自学互研生成能力知识模块一二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象与性质阅读教材P16～P18，完成下列问题：问题：二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象与性质是什么？知识链接：平移规律：先把y ＝ax 2＋bx ＋c 化成顶点式y ＝a(x －h)2＋k 的形式，平移规律同顶点式的抛物线．行为提示：1．要熟练将一般式化为顶点式；2．一般式中：a 确定抛物线的形状及开口大小与方向；a 与b 的符号确定对称轴的位置，即：左同右异；c 确定与y 轴交点位置．注意：在利用图象判断a ，b ，c 的符号时，不能忽略图形的作用，应做到数形结合，a ＋b ＋c 和a －b ＋c 的符号由当x ＝1和x ＝－1时y 的值来确定．行为提示：教会学生怎么交流，先对学，再群学，充分在小组内展示自己，分析答案，提出疑惑，共同解决．行为提示：教会学生整理反思． 答：由y ＝ax 2＋bx ＋c(a≠0)配方得y ＝a ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋b 2a 2＋4ac －b 24a ，知抛物线y ＝ax 2＋bx ＋c 的对称轴是直线x ＝－b 2a ，顶点坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫－b 2a，4ac －b 24a .二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c ，当a>0时，开口向上，当x>－b 2a 时，y 随x 的增大而增大，x<－b 2a 时，y 随x 的增大而减小，函数有最小值，即x ＝－b 2a 时，y 最小值＝4ac －b24a.范例：抛物线y ＝x 2－x ＋3的对称轴是直线x ＝12，顶点是⎝ ⎛⎪⎫12，114，与y 轴交点坐标是(0，3)，当x>12时，y 随x 的增大而增大．仿例1：把抛物线y ＝x 2＋2x 向右平移2个单位，再向下平移3个单位后所得抛物线的表达式是( B )A ．y ＝(x －1)2＋2B ．y ＝(x －1)2－4C ．y ＝(x ＋3)2＋2D ．y ＝(x ＋3)2－4仿例2：若抛物线y ＝2x 2＋bx ＋c 的对称轴是直线x ＝－1，则b ＝4．仿例3：若二次函数y ＝x 2－4x ＋m 有最小值－2，则m ＝2． 知识模块二 利用图象判断a ，b ，c 的符号范例：二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c 的图象如图所示，则下列结论正确的是( D )A ．a>0，b<0，c>0B ．a<0，b<0，c>0C ．a>0，b>0，c>0D ．a<0，b>0，c>0(范例图)(仿例图)仿例：二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c 的图象如图所示，下列结论：①abc<0；②2a－b<0；③a＋b ＋c>0；④a－b ＋c<0.其中正确的有( C )A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个交流展示 生成新知1．将阅读教材时“生成的问题”和通过“自学互研”得出的“结论”展示在各小组的小黑板上，并将疑难问题也板演到黑板上，再一次通过小组间就上述疑难问题相互释疑．2．各小组由组长统一分配展示任务，由代表将“问题和结论”展示在黑板上，通过交流“生成新知”．知识模块一 二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c 的图象与性质 知识模块二 利用图象判断a ，b ，c 的符号检测反馈 达成目标【当堂检测】见所赠光盘和学生用书 【课后检测】见学生用书课后反思 查漏补缺1．收获：________________________________________________________________________2．困惑：________________________________________________________________________课题：利用二次函数解决图形的最大面积问题【学习目标】1．学会将二次函数一般式化为顶点式并结合自变量取值范围求解最大面积问题． 2．学会利用二次函数建立模型解决实际问题． 【学习重点】用函数思想解决实际问题． 【学习难点】如何建立二次函数模型．行为提示：点燃激情，引发学生思考本节课学什么．行为提示：教会学生看书，自学时对于书中的问题一定要认真探究，书写答案，教会学生落实重点．情景导入 生成问题1．函数y ＝－12x 2＋3x －52化成y ＝a(x －h)2＋k 的形式是y ＝－12(x －3)2＋2，抛物线的开口方向是向下，顶点坐标是(3，2)，对称轴是直线x ＝2．当x ＝3时，函数取最大值为2．2．周长为40cm 的绳子要围成一个面积最大的矩形，怎样围 ?解：设矩形一边长为x cm ，另一边长为(20－x)cm ，面积S ＝x(20－x)＝－x 2＋20x ＝－(x －10)2＋100，当x ＝10时，S 最大＝100，∴围成正方形面积最大．自学互研 生成能力知识模块 如何围成最大面积阅读教材P 19～P 20，回答下列问题： 问题：如何求最大面积类问题？答：根据实际问题建立二次函数模型，再利用二次函数知识化为顶点式，结合自变量取值范围求出最大值．范例：如图，矩形ABCD 的两边长AB ＝18cm ，BC ＝4cm ，点P ，Q 分别从A ，B 同时出发，P 在边AB 上沿AB 的方向以2cm /s 的速度匀速运动，Q 在边BC 上沿BC 方向以1cm /s 的速度匀速运动．设运动时间为x(s )，△PBQ 的面积为y(cm 2)．(1)求y 关于x 的函数关系式，并写出x 的取值范围； (2)求△PBQ 的面积的最大值．解：(1)y ＝12BP ·BQ ＝12(18－2x)x ＝－x 2＋9x(0<x≤4)；(2)∵对称轴是直线x ＝－b 2a ＝92，0<x ≤4，∴图象在对称轴左侧，呈上升趋势．∴当x＝4时，△PBQ 的面积最大，是－42＋4×9＝20.仿例1：(成都中考)在美化校园的活动中，某兴趣小组想借助如图所示的直角墙角(两边足够长)，用28m 长的篱笆围成一个矩形花园ABCD(篱笆只围AB ，BC 两边)，设AB ＝x m .(1)若花园的面积为192m 2，求x 的值；(2)若在P 处有一棵树与墙CD ，AD 的距离分别是15m 和6m ，要将这棵树围在花园内(含边界，不考虑树的粗细)，求花园面积S 的最大值．解：(1)∵AB＝x m ，则BC ＝(28－x)m ，∴x(28－x)＝192， 解得x 1＝12，x 2＝16，∴x 的值是12m 或16m ；(2)由题意可得出：S ＝x(28－x)＝－x 2＋28x ＝－(x －14)2＋196， ∵在P 处有一棵树与墙CD ，AD 的距离分别是15m 和6m ， ∴x ≥6，28－x≥15，∴6≤x ≤13，在6≤x≤13范围内，S 随x 的增大而增大，∴当x ＝13时，S 最大值＝－(13－14)2＋196＝195(m 2)．答：花园面积S 的最大值为195m 2.行为提示：将实际问题转化为二次函数模型，利用二次函数知识即可求出最大值，再看所求值是否符合要求，将数学计算又转化为实际问题．行为提示：找出自己不明白的问题，先对学，再群学，对照答案，提出疑惑，小组内解决不了的问题，写在小黑板上，在小组展示的时候解决．仿例2：把4m 的木料锯成六段，制成如图所示的“目”字形窗户，若用x(m )表示横料AB 的长，y(m 2)表示窗户的面积，则y 与x 之间的函数关系式为y ＝－2x 2＋2x ，当x ＝12m 时，窗户面积最大．仿例3：如图，利用院墙用篱笆围成一个外形为矩形的花圃，花圃的面积为S m 2，平行于院墙的一边长为x m .(1)若院墙可利用的最大长度为10m ，篱笆总长度为24m ，花圃中间用一道篱笆间隔成两个小矩形，求S 与x 之间的函数关系式；(2)在(1)的条件下，当围成的花圃面积为45m 2时，求AB 的长．能否围成面积比45m 2更大的花圃？如果能，应该怎样围？如果不能，请说明理由．解：(1)S ＝－13x 2＋8x(0<x≤10)；(2)S ＝－13x 2＋8x ＝45，解得x 1＝5，x 2＝9，∵0＜x≤9，∴x ＝9，即当围成的花圃面积为45m 2时，AB ＝9m ；能围成面积比45m 2更大的花圃．∵S＝－13×(x － 12)2＋48，又∵0<x≤10，∴当x ＝10时，S最大＝1403>45，即当AB ＝143，BC ＝10时，S 最大． 交流展示 生成新知。

华师大版九年级下册26.1二次函数教案教学内容：课本P2~4；教学目标：1、通过对实际问题的分析，体会二次函数的意义，了解二次函数是刻画现实数量关系的又一个重要的数学模型；2、通过列出函数表达式，概括出二次函数的概念；3、掌握二次函数的一般形式，理解a≠0的必要性；教学重难点：重点：二次函数的概念和一般形式；难点：通过实例列出表达式，a≠0的应用；教学准备：课件教学方法：练习引导法教学过程：一、学习问题11、问题1：用总长为20m的围栏材料，一面靠墙，围成一个矩形花圃。

怎样围才能使花圃的面积最大？2、填表分析：AB的长1 2 3 4 5 6 7 8 9 （m）BC的长12（m）面积48（m2）从抽填的表格中，可以看出：随着AB的长度的增大，BC的长度将，矩形的面积将，当AB的长度为时，矩形的面积最大，最大面积是。

3、列式分析设AB的长为xm，矩形的面积为ym2，则BC的长为，y与x的函数关系式是，自变量的取值范围是。

二、学习问题21、问题2：某商店将每件进价为8元的某种商品按每件１０元出售，一天可售出100件。

该店想通过降低售价、增加销售量的办法来提高利润。

绕过市场调查，发现这种商品单价每降低0.1元，其销售量可增加１０件。

将这种商品的售价降低多少时，其每天的销售利润最大？2、填表分析 售价（元/件） 109.598.58销售量（件） 销售利润（元）从表格可以看出：随着售价的降低，销售量 ，销售利润 ，当售价为 时，销售利润最大，最大利润是 。

3、列式分析设将这种商品每件降价x 元，销售量增加 件。

销售一件商品的利润是 元，每天销售利润是 元。

自变量的取值范围是 。

三、探索1、问题1的函数关系式为：2220(010)y x x x =-+<< 问题2的函数关系式为：2100100200(02)y x x x =-++≤≤2、观察所得的两个函数关系式，它们有什么共同特点？ 教师总结：函数的表达式都是自变量的2次式。

函数教学设计示例函数第二课时教学目标：1、进一步理解函数的概念，能从简单的实际事例中，抽象出函数关系，列出函数解析式；2、使学生分清常量与变量，并能确定自变量的取值范围.3、会求函数值，并体会自变量与函数值间的对应关系.4、使学生掌握解析式为只含有一个自变量的简单的整式、分式、二次根式的函数的自变量的取值范围的求法.5、通过函数的教学使学生体会到事物是相互联系的.是有规律地运动变化着的.教学重点：了解函数的意义，会求自变量的取值范围及求函数值.教学难点：函数概念的抽象性.教学过程：（一）引入新课：上一节课我们讲了函数的概念：一般地，设在一个变化过程中有两个变量x、y，如果对于x的每一个值，y都有唯一的值与它对应，那么就说x是自变量，y是x的函数.生活中有很多实例反映了函数关系，你能举出一个，并指出式中的自变量与函数吗？1、学校计划组织一次春游，学生每人交30元，求总金额y（元）与学生数n（个）的关系.2、为迎接新年，班委会计划购买100元的小礼物送给同学，求所能购买的总数n（个）与单价（a）元的关系.解：1、y=30ny是函数，n是自变量2、，n是函数，a是自变量.（二）讲授新课刚才所举例子中的函数，都是利用数学式子即解析式表示的.这种用数学式子表示函数时，要考虑自变量的取值必须使解析式有意义.如第一题中的学生数n必须是正整数.例1、求下列函数中自变量x的取值范围．（1）（2）（3）（4）（5）（6）分析：在（1）、（2）中，x取任意实数，与都有意义.（3）小题的是一个分式，分式成立的条件是分母不为0.这道题的分母是，因此要求 .同理（4）小题的也是分式，分式成立的条件是分母不为0，这道题的分母是，因此要求且 .第（5）小题，是二次根式，二次根式成立的条件是被开方数大于、等于零.的被开方数是．同理，第(6)小题也是二次根式,是被开方数,.解：（1）全体实数（2）全体实数（3）（4）且（5）（6）小结：从上面的例题中可以看出函数的解析式是整数时，自变量可取全体实数；函数的解析式是分式时，自变量的取值应使分母不为零；函数的解析式是二次根式时，自变量的取值应使被开方数大于、等于零.注意：有些同学没有真正理解解析式是分式时，自变量的取值应使分母不为零，片面地认为，凡是分母，只要即可.教师可将解题步骤设计得细致一些.先提问本题的分母是什么？然后再要求分式的分母不为零.求出使函数成立的自变量的取值范围.二次根式的问题也与次类似.但象第（4）小题，有些同学会犯这样的错误，将答案写成或 .在解一元二次方程时，方程的两根用“或者”联接，在这里就直接拿过来用.限于初中学生的接受能力，教师可联系日常生活讲清“且”与“或”.说明这里与是并且的关系.即2与-1这两个值x都不能取.例2、自行车保管站在某个星期日保管的自行车共有3500辆次，其中变速车保管费是每辆一次0.5元，一般车保管费是每次一辆0.3元.（1）若设一般车停放的辆次数为x，总的保管费收入为y元，试写出y关于x的函数关系式；（2）若估计前来停放的3500辆次自行车中，变速车的辆次不小于25%，但不大于40%，试求该保管站这个星期日收入保管费总数的范围.解：（1）（x是正整数，（2）若变速车的辆次不小于25%，但不大于40%，则收入在1225元至1330元之间总结：对于反映实际问题的函数关系，应使得实际问题有意义.这样，就要求联系实际，具体问题具体分析.对于函数，当自变量时，相应的函数y的值是 .60叫做这个函数当时的函数值.例3、求下列函数当时的函数值：（1）（2）（3）（4）解：1）当时，（2）当时，（3）当时，（4）当时，注：本例既锻炼了学生的计算能力，又创设了情境，让学生体会对于x的每一个值，y都有唯一确定的值与之对应.以此加深对函数的理解.（二）小结：这节课，我们进一步地研究了有关函数的概念.在研究函数关系时首先要考虑自变量的取值范围.因此，要求大家能掌握解析式含有一个自变量的简单的整式、分式、二次根式的函数的自变量取值范围的求法，并能求出其相应的函数值.另外，对于反映实际问题的函数关系，要具体问题具体分析.作业：习题13.2A组2、3、5。

一、教学目标1. 知识目标：- 学生能够理解函数的基本概念，包括自变量、因变量和对应关系。

- 学生能够识别一次函数和反比例函数，并掌握其图像和性质。

- 学生能够运用函数的知识解决简单的实际问题。

2. 能力目标：- 学生能够通过观察图像来分析函数的性质。

- 学生能够将实际问题转化为数学问题，并运用函数知识进行求解。

- 学生能够通过小组合作，提高团队协作能力和解决问题的能力。

3. 情感目标：- 学生能够体会到数学与生活的联系，增强学习数学的兴趣。

- 学生能够培养严谨的数学思维和科学探究的精神。

二、教学内容根据华师版初中数学教材，以下为第17章“函数及其图象”的教学内容模板：1. 函数的基本概念：- 自变量、因变量和对应关系。

- 函数的定义域和值域。

- 函数的表示方法。

2. 一次函数：- 一次函数的定义和图像。

- 一次函数的性质：单调性、奇偶性、周期性等。

- 一次函数的应用。

3. 反比例函数：- 反比例函数的定义和图像。

- 反比例函数的性质：单调性、奇偶性、周期性等。

- 反比例函数的应用。

4. 函数图像的绘制：- 利用坐标系绘制函数图像。

- 分析函数图像，理解函数的性质。

5. 实际问题中的应用：- 将实际问题转化为数学问题。

- 运用函数知识解决实际问题。

三、教学过程1. 导入：- 通过生活中的实例引入函数的概念，激发学生的学习兴趣。

- 提出问题，引导学生思考函数与生活的联系。

2. 新课讲授：- 结合教材，讲解函数的基本概念、一次函数和反比例函数的定义、性质和图像。

- 通过实例讲解函数图像的绘制方法。

- 讲解函数在实际问题中的应用。

3. 课堂练习：- 布置课堂练习题，巩固学生对知识的掌握。

- 鼓励学生积极参与课堂练习，及时发现问题并解决问题。

4. 小组合作：- 将学生分成小组，进行实际问题解决练习。

- 引导学生运用函数知识解决实际问题，培养学生的团队协作能力和解决问题的能力。

5. 总结：- 总结本节课的学习内容，强调重点和难点。

2019-2020年九年级数学上册 锐角三角函数教案 华师大版教学目标：1、 理解锐角三角函数的定义，掌握锐角三角函数的表示法；2、 能根据锐角三角函数的定义计算一个锐角的各个三角函数的值；3、 掌握直角三角形中的锐角三角函数的表示：sinA=， cosA=，tanA=，cotA= 4、掌握锐角三角函数的取值范围；5、通过经历三角函数概念的形成过程，培养学生从特殊到一般及数形结合的思想方法。

教学重点：锐角三角函数相关定义的理解及根据定义计算锐角三角函数的值。

教学难点：锐角三角函数概念的形成。

教学过程： 一、创设情境：鞋跟多高合适？美国人体工程学研究人员卡特·克雷加文调查发现，70％以上的女性喜欢穿鞋跟高度为6至7厘米左右的高跟鞋。

但专家认为穿6厘米以上的高跟鞋腿肚、背部等处的肌肉非常容易疲劳。

据研究，当高跟鞋的鞋底与地面的夹角为11度左右时，人脚的感觉最舒适。

假设某成年人脚前掌到脚后跟长为15厘米，不难算出鞋跟在3厘米左右高度为最佳。

问：你知道专家是怎样计算的吗？显然，高跟鞋的鞋底、鞋跟与地面围城了一个直角三角形，回顾直角三角形的已学知识，引出课题。

二、探索新知： 1、下面我们一起来探索一下。

实践一：作一个30°的∠A ，在角的边上任意取一点B ，作BC ⊥AC 于点C 。

量出AB ，AC ，BC 的长度（精确到1mm ）。

⑴计算，，，的值，并将所得的结果与你同伴所得的结果进行比较。

∠A=30°时学生1结果 学生2结果 学生3结果学生4结果⑵将你所取的AB 的值和你的同伴比较。

实践二：作一个50°的∠A ，在角的边上任意取一点B ，作BC ⊥AC 于点C 。

量出AB ，AC ，BC 的长度（精确到1mm ）。

（1）计算，，，的值（结果保留2个有效数字），并将所得的结果与你同伴所得的结果进行比较。

∠A=50°时学生1结果AC B学生2结果 学生3结果 学生4结果（2）将你所取的AB 的值和你的同伴比较。

利用函数图像解一元二次方程一、教材分析：《利用二次函数的图像解一元二次方程》选自义务教育课程标准试验教科书《数学》（华师版）九年级下册第二十六章，这节课是在学生学习了二次函数的概念、图象、性质及其相关应用的基础上，让学生继续探索二次函数与一元二次方程的关系，教材通过具体的二次函数的图像与x 轴交点个数的不同创设三个问题，这三个问题对应了一元二次方程有两个不等实根、有两个相等实根、没有实根的三种情况。

这样，学生结合图像就能直观地对二次函数与一元二次方程的关系有很好的体会；从而得出用二次函数的图象求一元二次方程的方法。

这也突出了课标的要求：注重数形结合。

本节教学时间安排1课时二、教学目标：知识技能：1．经历探索二次函数与一元二次方程的关系的过程，体会方程与函数之间的联系．2．理解抛物线交x轴的点的个数与一元二次方程的根的个数之间的关系，理解何时方程有两个不等的实根、两个相等的实数和没有实根．3．能够利用二次函数的图象求一元二次方程的近似根。

数学思考：1．经历探索二次函数与一元二次方程的关系的过程，培养学生的探索能力和创新精神．2．经历用图象法求一元二次方程的近似根的过程，获得用图象法求方程近似根的体验．3．通过观察二次函数图象与x轴的交点个数，讨论一元二次方程的根的情况，进一步培养学生的数形结合思想。

解决问题：1．经历探索二次函数与一元二次方程的关系的过程，体验数学活动充满着探索与创造，感受数学的严谨性以及数学结论的确定性。

2．通过利用二次函数的图象估计一元二次方程的根，进一步掌握二次函数图象与x轴的交点坐标和一元二次方程的根的关系，提高估算能力。

情感态度：1．从学生感兴趣的问题入手，让学生亲自体会学习数学的价值，从而提高学生学习数学的好奇心和求知欲。

2．通过学生共同观察和讨论，培养大家的合作交流意识。

三、教学重点、难点：教学重点：1．体会方程与函数之间的联系。

2．能够利用二次函数的图象求一元二次方程的近似根。

24.３锐角三角函数教案（２）教学内容：课本Ｐ108~109页。

教学目标：１、推导并掌握30°、45°、60°的三个三角函数值； ２、理解三角函数随着角度的变化而变化的规律；３、通过对特殊角的三角函数值的认识，进一步理解三角函数的概念。

教学重点：掌握30°、45°、60°的三个三角函数值。

教学难点：掌握30°、45°、60°的三个三角函数值。

教学准备：课件 教学方法：练习引导法。

教学过程 一、练习１、在Ｒt △ＡＢＣ中，∠Ｃ＝90°，∠Ａ＝３０°。

（１）求∠Ａ的三个三角函数值。

（２）求∠Ｂ的三个三角函数值。

ACBACB２、在Ｒt △ＡＢＣ中，∠Ｃ＝90°，∠Ａ＝４５°。

求∠Ａ的三个三角函数值.二、归纳１、特殊角的三角函数值表。

a sina cosa tana30°12323345°2222160°32123２、规律：（１）正弦随着角度的增大而增大，余弦随着角度的增大而减少，正切随着角度的增大而增大。

（２）sin30°=cos60°,sin60°=cos30°,sin４５°=cos45°.一个角的正弦等于这个角的余角的余弦，一个角的余弦等于这个角余角的正弦。

三、应用例１、求值：sin30°·tan30°+cos60°·tan60°解：原式＝1313232⨯+⨯＝3362+＝233例２、在Ｒt△ＡＢＣ中，∠Ｃ＝90°，ＡＣ＝23，ＢＣ＝６.求∠Ａ的度数。

A CB解：∵tanＡ＝BCAC =623=3∴∠Ａ=60°答：∠Ａ的度数是60°。

例３、如图，长4m的楼梯AB的倾斜角∠ABD为60°，为了改善楼梯的安全性能，准备重新建造楼梯，使其倾斜角∠ACD为45°，求调整后的楼梯AC的长.解：在Ｒt△ＡＢＤ中，∠ABD＝60°，∵sin∠ABD＝ADAB，∴AD=AB·sin∠ABD=4×sin60°=4×32=23.在Ｒt△ＡＢＤ中，∠ACD＝45°，∵sin∠ACD＝ADAC，∴AC=sin ADACD∠=23sin45︒=232622=答：ＡＣ的长为２6.学生练习：课本Ｐ109页练习第１、２题。

2019-2020学年九年级数学下册 26 二次函数小结与复习题（一）教案华东师大版教学内容：课本P31~32教学目标1、形成二次函数的知识结构，能够根据知识结构解读知识要点；2、形成二次函数的方法体系；教学重难点重点：形成二次函数的知识结构，能够根据知识结构解读知识要点；难点：形成二次函数的方法体系；教学准备：课件教学方法：讲练法教学过程一、展示知识结构二、解读知识点（一）知识点一：二次函数的解析式1、定义：一般要，形如的函数，叫做二次函数。

2、二次函数的解析式（1）一般式：；其中二次函数的对称轴是，顶点坐标是；（2）顶点式：；其中二次函数的对称轴是，顶点坐标是；（3）交点式：；其中二次函数的对称轴是，顶点坐标是；3、利用图象平移求解析式（1）平移条件：两个二次函数的a相等，就可以通过平移其中一个函数图象得到另一个函数图象。

（2）平移方法：先把一般式转换成顶点式，再确定顶点坐标，最后按要求平移顶点。

（3）平移规律：h满足正右移，负左移；k满足正上移，负下移。

即左加右减，上加下减。

（二）知识点二：二次函数的图象及性质1、当△>0时，抛物线与x轴有2个交点，两个交点的横坐标就是一元二次方程的两个不相等的实数根。

2、当△＝0，抛物线与x轴有1个交点，交点是顶点，一元二次方程有两个相等的实数根；3、当△<0时，抛物线与x轴没有交点，一元二次方程没有初数根。

（四）知识点四：二次函数的图象与字母a、b、c之关系。

（1）抛物线开口向上，a>0，开口向下，a<0；（2）对称轴在y轴左侧，a,b同号；对称轴在y轴右侧，a,b异号；对称轴在y轴，b＝0.简记：左同右异中间0.（3）抛物线与y轴的交点在x轴上方，c>0，抛物线与y轴交点在x轴下方，c<0，抛物线与y轴交点在原点，c＝0.简记：上正下负中间0.（4）判断2a-b与0的关系，需比较对称轴与－1的大小；判断2a+b与0的关系，需比较对称轴与1的大小；（5）判断a+b+c与0的关系，需看x=1时，函数值与0的大小；判断a-b+c与0的关系，需看x=-1时，函数值与0的大小。

第二十六章二次函数26.3 实践与探索课时3 一次函数与二次函数图像的综合应用1.会结合二次函数的图象分析问题、解决问题，在运用中体会二次函数的实际意义．2.在转化、建模中，让学生学会合作、交流.3.通过对实际问题的分析，感受数学在生活中的应用，激发学习热情.利用二次函数的性质解决实际问题，特别是商品利润及拱桥等问题.建立二次函数的数学模型.在现实生活中，我们常常会遇到与二次函数及其图象有关的问题，如拱桥跨度、拱髙计算等，利用二次函数的有关知识研究和解决这些问题，具有现实的意义．本节课，请同学们共同研究，尝试解决以下几个问题．指出本节所学内容．问题1 某公园要建造一个圆形的喷水池，在水池中央垂直于水面竖一根柱子，在柱子的顶端A处安装一个喷头向外喷水．柱子在水面以上部分的高度为1．25m．水流在各个方向上沿形状相同的抛物线路径落下，如图(1)所示．根据设计图纸已知：在图(2)所示的平面直角坐标系中，水流喷出的高度y(m)与水平距离x(m)之间的函数关系式是．(1)喷出的水流距水平面的最大高度是多少？(2)如果不计其他因素，为使水不溅落在水池外，那么水池的半径至少为多少时，才能使喷出的水流都落在水池内？教师出示问题，巡视指导；引导学生如何将文学语言转化为数学语言，得出问题(1)就是求函数：24 25y x x=-++最大值，问題(2)就是求如图(2)B点的横坐标；最后教师讲评学生板演．问题2 某商品现在的售价为每件60元，毎星期可卖出如6件．市场调查反映：如果调整价格，每涨价1元，每星期要少卖出10件；每降价1元，每星期可多卖出20件；巳知商品的进价为每件40元，如何定价才能使利润最大？分析思考：⑴销售额为多少？(2)进货额为多少？(3)利润；y元与每件涨价x元的函数表达式是什么？(4)自变量a：的范围如何确定？(5)如何求解最值？教师出示同题，并关注：(1)学生能否用函数的琢点来认识问题．(2)学生能否建立函数模型．(3)学生能否找到两个变量之间的关系．(4)学生能否从利润中体会到函数模型对解决实际问题的价值．问题3 —个涵洞的截面边缘是抛物线，如图所示，现测得当水面宽AB=1．6m时，涵洞顶点与水面的距离为2．4m．这时，离开水面1．5m处，涵洞宽ED是多少？是否会超过1m？1．教师引导学生思考：(1)此题与问题1有何区别？(问题1中已有函数表达式，本问题中需列出函数表达式．)(2)怎样建立平面直角坐标系？(3)建立如图所示的平面直角坐标系后，要求ED的长，只需求出什么就可以？(求出D点的横坐标)2．巡回检查，最后板书解题过程．如图，—位运动员在距篮下4m处跳起投篮，球运行的路线是抛物线，当球运行的水平距离为2．5m时，达到最大高度3．5m，然后准确落人篮圈，已知篮圈中心到地面的距离为3．05m．(1)建立如图所示的直角坐标系，求抛物线的函数表达式；(2)该运动员身髙1．8m，在这次跳投中，球在头顶上方0．25m处出手问：球出手时，他跳离地面的髙度是多少？本节课应掌握：根据图象可直观地回答使得函数值y大于、等于或小于零时x的取值(范围).。

华师大版九年级数学下册教案261 二次函数一、教学内容本节课我们将学习华师大版九年级数学下册第261页的二次函数。

具体内容包括：二次函数的定义、图像、性质及其应用。

我们将详细探讨二次函数的顶点式、标准式和一般式的相互转换，以及二次函数图像的绘制方法。

二、教学目标1. 理解并掌握二次函数的定义，能够用顶点式、标准式和一般式表示二次函数。

2. 学会绘制二次函数的图像，了解二次函数图像的性质。

3. 能够运用二次函数解决实际问题，提高学生的应用能力。

三、教学难点与重点教学难点：二次函数图像的性质及其应用。

教学重点：二次函数的定义、图像的绘制方法及二次函数的性质。

四、教具与学具准备1. 教具：多媒体教学设备、黑板、粉笔。

2. 学具：直尺、圆规、铅笔、橡皮、草稿纸。

五、教学过程1. 引入：通过实际生活中的抛物线现象，如投篮、抛物线运动等，引入二次函数的概念。

2. 知识讲解：(1) 二次函数的定义及表示方法。

(2) 二次函数图像的绘制方法。

(3) 二次函数图像的性质。

3. 例题讲解：(1) 求给定二次函数的顶点、开口方向及对称轴。

(2) 根据二次函数图像，确定函数的解析式。

4. 随堂练习：完成教材第261页的练习题，巩固所学知识。

5. 小组讨论：探讨二次函数在实际问题中的应用，如最大（小）值问题、面积问题等。

六、板书设计1. 二次函数定义及表示方法。

2. 二次函数图像的绘制方法及性质。

3. 例题解答步骤及关键点。

七、作业设计1. 作业题目：(1) 求函数y=x^22x+1的顶点、开口方向及对称轴。

(2) 已知二次函数的顶点为（1，3），且过点（0，1），求函数的解析式。

2. 答案：(1) 顶点：(1,0)，开口向上，对称轴：x=1。

(2) y=(x1)^23。

八、课后反思及拓展延伸1. 反思：本节课学生对二次函数的定义、图像及性质掌握情况，对实际问题的应用能力。

2. 拓展延伸：引导学生思考二次函数与一次函数、反比例函数之间的关系，以及二次函数在高中数学中的应用。