2011-2012学年八年级数学同步练习题及答案：轴对称

第十三章《轴对称》单元检测题题号一二三 总分 19 202122 23 24分数一、选择题(每题3分，共30分) 1．下列说法错误的是（ ） A ．等边三角形有3条对称轴 B ．正方形有4条对称轴 C ．角的对称轴有2条 D ．圆有无数条对称轴2．下列四句话中的文字有三句具有对称规律，其中没有这种规律的一句是（ ） A ．上海自来水来自海上 B ．保卫钓鱼岛 C ．清水池里池水清D ．蜜蜂酿蜂蜜3．如图，在△ABC 中，AB ＝AC ，AD ⊥BC 于点D ，则下列结论不一定成立的是（ ）A ．AD ＝BDB ．BD ＝CDC ．∠1＝∠2D ．∠B ＝∠C4．如图，直线m 是多边形ABCDE 的对称轴，其中∠A＝120°，∠B＝110°，那么∠BCD 的度数为( )A ．50°B ．60°C ．70°D ．80°5.如图，ABC △在平面直角坐标系的第二象限内，顶点A 的坐标是2,3-（），先把ABC △向右平移4个单位得到111A B C △，再作111A B C △，关于x 轴的对称图形222A B C △，则顶点2A 坐标是（ ）A.3,2-（）B.2,3-（）C.1,2-（）D.3,1-（）6.如图，ABC △是等边三角形，D ，E 分别在BC 和AC 上，BD CE =，连接BE 、AD 交于P 点，则APB ∠的度数是（ ）A.60︒B.90︒C.120︒D.150︒7.如图，E 是等边ABC △中AC 边上的点，12∠=∠，BE CD =，则对ADE △的形状判断最准确的（ ） A.等腰三角形B.等边三角形C.不等边三角形D.不能确定形状8.如图，分别以线段AB的两端点A，B为圆心，大于AB长为半径画弧，在线段AB的两侧分别交于点E，F，作直线EF交AB于点O．在直线EF上任取一点P （不与O重合），连接PA，PB，则下列结论不一定成立的是（）A．PA＝PB B．OA＝OB C．OP＝OF D．PO⊥AB9.如图，在五边形ABCDE中，AB＝AC＝AD＝AE，且AB∥ED，∠EAB＝120°，则∠DCB＝（）A．150°B．160°C．130°D．60°10.如图，△ABC中，D点在BC上，将D点分别以AB、AC为对称轴，画出对称点E、F，并连接AE、AF．根据图中标示的角度，求∠EAF的度数为何？（）A．113°B．124°C．129°D．134°二、填空题(每题3分，共24分)11．若等边三角形的周长为24cm，则它的面积为．12．如图，在△ABC中，DE垂直平分AC，若△BCD的周长是12，BC＝4，则AB 的长．13．如图在长度为1个单位长度的小正方形组成的正方形中，点A，B，C在小正方形的顶点上．画出关于l成轴对称图形的△AB′C，五边形ACBB′C′的周长为．14．已知∠AOB＝30°，点P在OA上，且OP＝2，点P关于直线OB的对称点是Q，则PQ＝．15．如图，现要利用尺规作图作△ABC关于BC的轴对称图形△A′BC．若AB＝5cm，AC＝6cm，BC＝7cm，则分别以点B、C为圆心，依次以cm、cm为半径画弧，使得两弧相交于点A′，再连接A′C、A′B，即可得△A′BC．16．若点A（1﹣m，6）与B（2+n，6）关于某坐标轴对称，则m﹣n＝．17．如图所示，在Rt△ABC中，∠A＝30°，∠B＝90°，AB＝12，D是斜边AC 的中点，P是AB上一动点，则PC+PD的最小值为．18．如图，△PDE的周长是8cm，BP，CP分别是△ABC中∠ABC和∠ACB的平分线，且PD∥AB，PE∥AC，则BC＝cm．三.解答题(共46分,19题6分，20 ---24题8分)19如图，在△ABC中，∠C＝90°，∠B＝15°，AB的垂直平分线分别与BC，AB 交于点M、N．试说明MB与AC的大小关系．20如图，已知AD平分△ABC的外角∠EAC，且∠EAD＝∠C，求证：AB＝AC．21．如图，已知A(0，4)，B(－2，2)，C(3，0)．(1)作△ABC关于x轴对称的△A1B1C1；(2)写出点A1，B1，C1的坐标；(3)△A1B1C1的面积S△A1B1C1＝________．22．如图，在△ABC中，AB＝AC，∠A＝36°，AC的垂直平分线交AB于E，D为垂足，连接EC.(1)求∠ECD的度数；(2)若CE＝5，求BC的长．23．如图，过等边△ABC的顶点A，B，C依次作AB，BC，CA的垂线MG，MN，NG，三条垂线围成△MNG.求证：△MNG是等边三角形．24．操作实验：如图，把等腰三角形沿顶角平分线对折并展开，发现被折痕分成的两个三角形成轴对称．所以△ABD≌△ACD，所以∠B＝∠C．归纳结论：如果一个三角形有两条边相等，那么这两条边所对的角也相等．根据上述内容，回答下列问题：思考验证：如图（4），在△ABC中，AB＝AC．试说明∠B＝∠C的理由；探究应用：如图（5），CB⊥AB，垂足为B，DA⊥AB，垂足为A．E为AB的中点，AB＝BC，CE⊥BD．（1）BE与AD是否相等，为什么？（2）小明认为AC是线段DE的垂直平分线，你认为对吗？说说你的理由；（3）∠DBC与∠DCB相等吗？试说明理由．答案一、选择题(每题3分，共30分)题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 C B A D D D A B D D二、填空题(每题3分，共24分)11．若等边三角形的周长为24cm，则它的面积为16．【分析】根据等边三角形三线合一的性质，即可求D为BC中点，根据勾股定理即可求AD的值，根据AD、BC即可计算△ABC的面积．【解答】解：∵△ABC周长为24，∴边长AB＝8，AD为等边△ABC的高，则D为BC中点，即BD＝DC＝4，∴AD＝，故△ABC的面积为BC•AD＝＝16，故答案为：1612．如图，在△ABC中，DE垂直平分AC，若△BCD的周长是12，BC＝4，则AB 的长．【答案】见试题解答内容【分析】先根据线段垂直平分线的性质得出AD＝CD，进而根据等腰三角形的性质可得出结论．【解答】解：∵DE垂直平分AC，∴AD＝CD．∵△BCD的周长是12，BC＝4，∴AB＝BD+CD＝12﹣4＝8，故答案为：8．13．如图在长度为1个单位长度的小正方形组成的正方形中，点A，B，C在小正方形的顶点上．画出关于l成轴对称图形的△AB′C，五边形ACBB′C′的周长为．【分析】根据题意画出图形，进而利用勾股定理得出答案．【解答】解：如图所示：五边形ACBB′C′的周长为：AC+BC+BB′+B′C′+AC′＝2++2++2＝4+2+2．故答案为：4+2+2．14．已知∠AOB＝30°，点P在OA上，且OP＝2，点P关于直线OB的对称点是Q，则PQ＝．【分析】连OQ，由点P关于直线OB的对称点是Q，根据轴对称的性质得到OB 垂直平分PQ，则∠POB＝∠QOB＝30°，OP＝OQ，得到△POQ为等边三角形，根据等边三角形的性质得PQ＝PO＝2．【解答】解：如图，连OQ，∵点P关于直线OB的对称点是Q，∴OB垂直平分PQ，∴∠POB＝∠QOB＝30°，OP＝OQ，∴∠POQ＝60°，∴△POQ为等边三角形，∴PQ＝PO＝2．故答案为2．15．如图，现要利用尺规作图作△ABC关于BC的轴对称图形△A′BC．若AB＝5cm，AC＝6cm，BC＝7cm，则分别以点B、C为圆心，依次以cm、cm为半径画弧，使得两弧相交于点A′，再连接A′C、A′B，即可得△A′BC．【分析】根据轴对称的性质画出图形即可．【解答】解：∵AB＝5cm，AC＝6cm，BC＝7cm，∴分别以点B、C为圆心，依次以5cm、6cm为半径画弧，使得两弧相交于点A′，再连接A′C、A′B，即可得△A′BC故答案为：5，6．16．若点A（1﹣m，6）与B（2+n，6）关于某坐标轴对称，则m﹣n＝．【分析】根据关于y轴对称的点，纵坐标相同，横坐标互为相反数，可得m、n 的值，根据移项、合并同类项，可得答案．【解答】解：由点A（1﹣m，6）与B（6+n，得1﹣m＝﹣2﹣n，移项，得m﹣n＝4，故答案为：3．17．如图所示，在Rt△ABC中，∠A＝30°，∠B＝90°，AB＝12，D是斜边AC 的中点，P是AB上一动点，则PC+PD的最小值为．【分析】作C关于AB的对称点C'，连接C′D，易求∠ACC'＝60°，则AC＝AC'，且△ACC'为等边三角形，CP+PD＝DP+PC'为C'与直线AC之间的连接线段，其最小值为C'到AC的距离＝AB＝12，所以最小值为12．【解答】解：作C关于AB的对称点C'，连接C′D，∵∠B＝90°，∠A＝30°，∴∠ACB＝60°，∵AC＝AC'，∴△ACC'为等边三角形，∴CP+PD＝DP+PC'为C'与直线AC之间的连接线段，∴最小值为C'到AC的距离＝AB＝12，故答案为：1218．如图，△PDE的周长是8cm，BP，CP分别是△ABC中∠ABC和∠ACB的平分线，且PD∥AB，PE∥AC，则BC＝cm．【分析】分别利用角平分线的性质和平行线的判定，求得△DBP和△ECP为等腰三角形，由等腰三角形的性质得BD＝PD，CE＝PE，那么△PDE的周长就转化为BC边的长，即为8cm．【解答】解：∵BP、CP分别是∠ABC和∠ACB的角平分线，∴∠ABP＝∠PBD，∠ACP＝∠PCE，∵PD∥AB，PE∥AC，∴∠ABP＝∠BPD，∠ACP＝∠CPE，∴∠PBD＝∠BPD，∠PCE＝∠CPE，∴BD＝PD，CE＝PE，∴△PDE的周长＝PD+DE+PE＝BD+DE+EC＝BC＝8cm．故答案是：8．三.解答题(共46分,19题6分，20 ---24题8分)19如图，在△ABC中，∠C＝90°，∠B＝15°，AB的垂直平分线分别与BC，AB 交于点M、N．试说明MB与AC的大小关系．【考点】垂线段最短；线段垂直平分线的性质；含30度角的直角三角形．【专题】等腰三角形与直角三角形；运算能力．【答案】见试题解答内容【分析】根据线段垂直平分线得出AM＝BM，求出∠B＝∠MAB＝15°，求出∠AMC＝30°，根据含30度角的直角三角形性质求出AM＝2AC＝BM．【解答】解：MB＝2AC，理由：连接AM，∵MN为AB的垂直平分线，∴MA＝MB，∴∠MAB＝∠B＝15°，∴∠AMC＝30°，∵∠C＝90°，∴MA＝2AC，∴MB＝2AC．20如图，已知AD平分△ABC的外角∠EAC，且∠EAD＝∠C，求证：AB＝AC．【考点】等腰三角形的判定．【专题】等腰三角形与直角三角形；推理能力．【答案】见试题解答内容【分析】根据角平分线定义可得∠EAD＝∠DAC，然后证明AD∥BC，再利用平行线的性质结合等量代换证明∠B＝∠C，根据等角对等边可得AB＝AC．【解答】证明：∵AD平分△ABC的外角∠EAC，∴∠EAD＝∠CAD，∵∠EAD＝∠C，∴∠C＝∠CAD，∴AD∥CB，∴∠EAD＝∠B，∴∠B＝∠C，∴AB＝AC．21．解：(1)如图．(第23题)(2)A1(0，－4)，B1(－2，－2)，C1(3，0)．(3)722：(1)∵DE垂直平分AC，∴AE＝CE，∴∠ECD＝∠A＝36°.(2)∵AB＝AC，∠A＝36°，∴∠ABC＝∠ACB＝72°.∵∠BEC＝∠A＋∠ACE＝72°，∴∠B＝∠BEC，∴BC＝CE＝5. 23明：∵△ABC是等边三角形，∴∠BAC＝∠ABC＝∠BCA＝60°.又∵AB⊥MG，∴∠BAG＝90°.∴∠CAG＝30°.∵AC⊥NG，∴∠ACG＝90°.∴∠G＝60°.同理，∠M＝60°，∠N＝60°.∴△MNG是等边三角形．24．解：思考验证：过A点作AD⊥BC于D，∴∠ADB＝∠ADC＝90°，在Rt△ABD和Rt△ACD中，，∴△ABD≌△ACD（HL），∴∠B＝∠C；探究应用：（1）说明：因为BD⊥EC，∴∠CEB+∠1＝90°，∠1+∠ADB＝90°，∴∠ADB＝∠BEC，在△ADB和△BEC中，∴△DAB≌△EBC（AAS）．∴DA＝BE．（2）∵E是AB中点，∴AE＝BE．∵AD＝BE，∴AE＝AD．在△ABC中，因为AB＝BC，∴∠BAC＝∠BCA．∵AD∥BC，∴∠DAC＝∠BCA．∴∠BAC＝∠DAC．在△ADC和△AEC中，，∴△ADC≌△AEC（SAS）．∴DC＝CE．∴C在线段DE的垂直平分线上．∵AD＝AE，∴A在线段DE的垂直平分线上．∴AC垂直平分DE．（3）∵AC是线段DE的垂直平分线，∴CD＝CE．∵△ADB≌△BEC，∴DB＝CE．∴CD＝BD．∴∠DBC＝∠DCB．。

2022-2023学年人教版八年级数学上册《第13章轴对称》解答题优生辅导训练（附答案）1．如图，△ABC中，AC＜AB＜BC，D、E为边BC上的点，且满足BD＝BA，CE＝CA，连接AD、AE．（1）①若∠B＝40°，∠C＝60°，则∠EAD＝°；②若∠BAC＝α，则∠EAD＝；（用含α的式子表示）（2）如图，DP∥AB，EP∥AC，连接AP．求证：AP平分∠BAC．2．如图，在正方形网格中，每个小正方形的边长均为1．（1）作四边形ABCD关于直线l的对称图形；（2）在直线l上找一点P，使P A+PC最小；（3）四边形ABCD的面积＝．3．如图坐标系中，按要求完成作图：（1）作出△ABC关于x轴对称的图形；（2）求出△ABC的面积；（3）在x轴上画出点Q，使QA+QC最小，写出Q点的坐标．4．如图在平面直角坐标系中，△ABC各顶点的坐标分别为：A（4，0），B（﹣1，4），C（﹣3，1）．（1）在图中作△A'B'C'，使△A'B'C'和△ABC关于x轴对称，并写出点B'的坐标；（2）求△A'B'C'的面积．5．如图，在等边△ABC外侧作直线AP，记∠BAP＝α（0°＜α＜60°），点B关于直线AP 的对称点为D，连接BD，CD，CD交AP于P，交AB于E．（1）当α＝20°时，求∠ACP的大小；（2）试找出P A、PC、PD三条线段的长度之间满足的用等号连接的数量关系，并说明理由．6．如图，在等边△ABC中，点D是线段BC上一点作射线AD，点B关于射线AD的对称点为E，连接EC并延长，交射线AD于点F．（1）补全图形；（2）用等式表示线段AF、CF、EF之间的数量关系，并证明．7．如图，在△ABC中，AB＝AC，AD是△ABC的中线，DE∥AB．求证：△ADE是等腰三角形．8．已知图①、图②都是轴对称图形．仅用无刻度直尺，按要求完成下列作图（保留作图痕迹，不写作法）：（1）在图①中，作出该图形的对称轴l；（2）在图②中，作出点P的对称点P'．9．如图，在锐角三角形ABC中，AB＝AC，作边AB上的高线CE，并延长CE至点G，使EG＝CE，连结AG，作边AC上的高线BD，并延长BD至点F，使DF＝BD，连结AF，CE与BD相交于点H．（1）按照上述语句，用尺规作图，补全图形（保留作图痕迹，不写作法）．（2）判断AG与AF之间的数量关系，并说明理由．（3）补全后的图形是轴对称图形吗？若是，画出对称轴，并指明对称轴；若不是，请说明理由．10．如图，等腰三角形ABC的周长是21cm，底边BC＝5cm．（1）求AB的长；（2）若N是AB的中点，点P从点B出发以2cm/s的速度向点C运动．同时点Q从点C 出发向点A运动，当△BPN与△CQP全等时，求点Q的速度．（3）点D、E、F分别是BC、AB、AC上的动点，当△DEF的周长取最小值时，探究∠EDF与∠A之间的数量关系，并说明理由．11．如图，在△ABC中，∠ABC＝∠C，BD是∠ABC的平分线，BE是AC边上的高，垂足为E，设∠BAC＝α．（1）探究与发现①如图1，若α＝30°，则∠C的度数为，∠DBE的度数为；②如图2，若α＝80°，则∠DBE的度数为；③试探究∠BDC与α的数量关系，并说明理由．（2）拓展与思考如图3，∠BDC的平分线DF交BC于点F．当DF∥AB时，求∠DBE的度数．12．如图，在△ABC中，AB＝AC，过点A在△ABC的外部作直线l，作点C关于直线l的对称点M，连接AM、BM，线段BM交直线l于点N．（1）依题意补全图形；（2）连接CN，求证：∠ACN＝∠ABM；（3）过点A作AH⊥BM于点H，用等式表示线段BN、2NH、MN之间的数量关系，并证明．13．如果一个三角形能被一条线段分割成两个等腰三角形，那么称这条线段为这个三角形的特异线，称这个三角形为特异三角形．（1）如图1，Rt△ABC中，∠C＝90°，CD＝BD，求证：CD是Rt△ABC的一条特异线．（2）如图2，△ABC是一个等腰锐角三角形，AB＝AC，且它是特异三角形，请求出∠A 的度数．14．如图所示．点P在∠AOB的内部，点M、N分别是点P关于直线OA、OB的对称点，线段MN交OA、OB于点E、F．（1）若MN＝20cm，求△PEF的周长．（2）若∠AOB＝35°，求∠EPF的度数．（3）若连接OP，请说明OP平分∠EPF．15．用一条长为25cm的绳子围成一个等腰三角形．（1）如果腰长是底边长的2倍，那么三角形的各边长是多少？（2）能围成有一边的长是6cm的等腰三角形吗？为什么？16．如图，在平面直角坐标系中，A（0，3），B（﹣2，1），C（3，2）．（1）在图中作出△ABC关于y轴对称的△A'B'C'．（2）点C′的坐标为，△A'B'C'的面积为．（3）在x轴上找出一点P，使得P A+PB的值最小．（不写作法，保留作图痕迹）17．完成下面证明过程并写出推理根据：已知：如图所示，AB＝AC，EP⊥BC，∠1＝∠2．求证：AE＝AF．证明：∵AB＝AC（已知），∴∠B＝∠C（），∵EP⊥BC（已知），∴∠E+∠C＝90°，∠B+∠BFP＝90°，∴∠E＝∠BFP（），又∵∠EF A＝∠BFP∴，∴AE＝AF（）．18．如图，已知∠ABC＝∠ADC＝90°，BC＝CD，CA＝CE．（1）求证：∠ACB＝∠ACD；（2）过点E作ME∥AB，交AC的延长线于点M，过点M作MP⊥DC，交DC的延长线于点P．①求∠BEA的度数；②连接PE，交AM于点N，证明AM垂直平分PE；（3）点O是直线AE上的动点，当MO+PO的值最小时，证明点O与点E重合．19．如图，在△ABC中，∠B＝90°，AB＝16cm，BC＝12cm，AC＝20cm，P、Q是△ABC 边上的两个动点，其中点P从点A开始沿A→B方向运动，且速度为每秒1cm，点Q从点B开始沿B→C→A方向运动，且速度为每秒2cm，它们同时出发，设出发时间为t秒．（1）BP＝（用t的代数式表示）（2）当点Q在边BC上运动时，出发几秒后，△PQB是等腰三角形？（3）当点Q在边CA上运动时，出发秒后，△BCQ是以BC或BQ为底边的等腰三角形？20．如图，在△ABC中，AH⊥BC，垂足为H，且BH＝CH，E为BA延长线上一点，过点E 作EF⊥BC，分别交BC，AC于F，M．（1）求证∠B＝∠C；（2）若AB＝5，AH＝3，AE＝2，求MF的长．参考答案1．解：（1）①•∵BD＝BA，∠B＝40°，∴∠BDA＝＝70°，∵CE＝CA，∠C＝60°，∴∠CEA＝＝60°，∴∠EAD＝180°﹣∠BDA﹣∠CEA＝180°﹣70°﹣60°＝50°；故答案为：50；②∵∠BDA＝，∠CEA＝，∴∠EAD＝180°﹣﹣＝，又∵∠B+∠C＝180°﹣∠BAC＝180°﹣α，∴∠EAD＝＝90°﹣；故答案为：90°﹣；（2）证明：延长PE交AB于点F，∴EF∥AC，∠APF＝∠P AC，又∵BE＝BC﹣CA，∴BF＝，EF＝，∴AF＝BA﹣BF＝BA﹣＝，∵DP∥AB，又∵DE＝BA+CA﹣BC，∴EP＝×，∵PF＝EP+EF＝，∴PF＝AF，∴∠P AF＝∠APF，∠P AC＝∠P AF，∴AP平分∠BAC．2．解：（1）如图，四边形A′B′C′D′即为所求；（2）如图，点P即为所求；（3）四边形ABCD的面积＝4×4﹣2××1×2﹣2××2×3＝8，故答案为：8．3．解：（1）如图，△DEF即为所求；（2）△ABC的面积＝2×3﹣×1×2﹣×1×2﹣×1×3＝．（3）如图，点Q即为所求，Q（﹣3，0）．故答案为：（﹣3，0）．4．解：（1）如图，△A'B'C'即为所求，点B'的坐标（﹣1，﹣4）；（2）△A'B'C'的面积＝4×7﹣×2×3﹣×1×7﹣×4×5＝11.5．5．解：（1）∵B，D关于AP对称，∴AD＝AB，∠DAP＝∠BAP＝20°，∵△ABC是等边三角形，∴∠BAC＝∠ACB＝60°，AB＝AC，∴∠DAC＝100°，AD＝AC，∴∠ADC＝∠ACD＝40°，即∠ACP＝40°；（2）结论：PC＝PB+P A．理由：连接PB．在PC上取一点J，使得PB＝PJ，连接BJ．∵∠DAC＝60°+2α，∴∠ACD＝∠ADC＝（180°﹣60°﹣2α）＝60°﹣α，∴∠BCE＝∠P AE＝α，∵∠AEP＝∠BEC，∴∠APC＝∠EBC＝60°，∴∠APD＝∠APB＝120°，∴∠BPC＝60°，∵PB＝PJ，∴△PBJ是等边三角形，∴∠PBJ＝∠ABC＝60°，BJ＝BP，∴∠APB＝∠CBJ，∵BA＝BC，∴△ABP≌△CBJ（SAS），∴P A＝CJ，∴PC＝PJ+CJ＝PB+P A．6．解：（1）补全图形如下，（2）结论：AF﹣CF＝EF．理由：如图，作∠FCG＝60°交AD于点G，连接BF，AE．由翻折的性质可知，AE＝AB＝AC，∠ABF＝∠AEF，BF＝EF，∠AFB＝∠AFE，∴∠ACE＝∠AEF，∴∠ACE＝∠ABF，∵∠ACE+∠ACF＝180°，∴∠ABF+∠ACF＝180°，∴∠BFC+∠BAC＝180°，∵∠BAC＝60°，∴∠BFC＝120°，∴∠AFC＝∠AFB＝60°，∵∠FCG＝60°，∴△FCG是等边三角形，∴CG＝CF＝DG，∵∠ACB＝∠GCF＝60°，∴∠ACG＝∠BCF，∵CA＝CB，∴△ACG≌△BCF（SAS），∴BF＝AG＝EF，∵AF﹣FG＝AG，∴AF﹣CF＝EF．7．证明：∵AB＝AC，AD是△ABC的中线，∴∠BAD＝∠CAD，∵DE∥AB，∴∠ADE＝∠BAD，∴∠CAD＝∠ADE，∴DE＝AE，∴△ADE是等腰三角形．8．解：（1）如图①：（2）如图②．9．解：（1）图形如图所示：（2）结论：AG＝AF．理由：∵AB⊥CG，EC＝EG，∴AG＝AC，同法可证，AB＝AF，∵AB＝AC，∴AG＝AF．（3）是轴对称图形，对称轴是直线AH．10．解：（1）AB＝（cm）；（2）∵N是AB的中点，AB＝8cm，∴BN＝4cm，∵△BPN与△CQP全等，∴BN＝CP＝4cm，BP＝CQ，∵BC＝5cm，∴BP＝CQ＝1cm，∴P、Q点的运动时间为：1÷2＝0.5（s），∴点Q的速度为：1÷0.5＝2（cm/s）；（3）∠EDF+2∠EAF＝180°．理由如下：过D点作AB、AC的对称点M、N，连接MN分别与AB、AC交于点E、F，连接AD、AM、AN、DE、CF，则DE＝ME，DF＝NF，∴△DEF的周长为DE+EF+DF＝ME+EF+FN＝MN，由两点之间线段最短知，此时△DEF的周长＝MN的值最小，根据对称性质可得，∠MAE＝∠DAE，∠NAF＝∠DAF，∠AMN＝∠ADE，∠ANM＝∠ADF，∴∠EDF+∠EAF＝∠AMN+∠ANM+∠MAN，∵AMN+∠ANM+∠MAN＝180°，∴∠EDF+∠EAF＝180°﹣∠MAN，∴∠EDF+∠EAF＝180°﹣∠EAF，∴∠EDF+2∠EAF＝180°．11．解：（1）①∵∠BAC＝30°，∴∠ABC＝∠C＝×（180°﹣30°）＝75°，∵BD是∠ABC的平分线，∴∠ABD＝∠ABC＝37.5°，∴∠BDE＝∠A+∠ABD＝67.5°，∵BE⊥AC，∴∠BED＝90°，∴∠DBE＝90°﹣∠BDE＝12.5°，∴∠C的度数为75°，∠DBE的度数为12.5°，故答案为：75°，22.5°；②∵∠BAC＝80°，∴∠ABC＝∠C＝×（180°﹣80°）＝50°，∵BD是∠ABC的平分线，∴∠CBD＝∠ABC＝25°，∴∠ADB＝∠C+∠CBD＝75°，∵BE⊥AC，∴∠BED＝90°，∴∠DBE＝90°﹣∠ADB＝15°，∴∠DBE的度数为15°，故答案为：15°；③∠BDC与α的数量关系为：∠BDC＝45°+α，理由：∵∠BAC＝α°，∴∠ABC＝∠C＝（180°﹣α）＝90°﹣α，∵BD是∠ABC的平分线，∴∠ABD＝∠ABC＝45°﹣α，∴∠BDC＝∠A+∠ABD＝45°+α，∴∠BDC与α的数量关系为：∠BDC＝45°+α；（2）由（1）可得：∠ABD＝45°﹣α，∠BDC＝45°+α，∵DF平分∠BDC，∴∠BDF＝∠BDC＝22.5°+α，∵AB∥DF，∴∠ABD＝∠BDF，∴45°﹣α＝22.5°+α，∴α＝36°，∴∠BDC＝45°+α＝72°，∵BE⊥AC，∴∠BED＝90°，∴∠DBE＝90°﹣∠BDC＝18°，∴∠DBE的度数为18°．12．（1）解：补全图形如图所示；（2）证明：∵点C关于直线l的对称点为点M，N在对称轴上∴△ACN≌△AMN．∴∠1＝∠ACN，AC＝AM．∵AB＝AC，∴AB＝AM．∴∠1＝∠2．∴∠ACN＝∠ABM（3）解：结论：BN＝2NH+MN．证明：在BM上截取BD＝MN，连接AD．在△ABD和△AMN中，，∴△ABD≌△AMN（SAS）．∴AD＝AN．∵AH⊥BM，∴DN＝2NH∴BN＝DN+BD＝2NH+MN．13．解：（1）在Rt△ABC中，∠C＝90°，CD＝BD，∴∠B＝∠BCD，∴∠A＝∠ACD，∴AD＝CD，∴CD是Rt△ABC斜边上的中线，∴CD＝BD＝AD＝AB，∴△CDB和△ADC是等腰三角形，∴CD是Rt△ABC的一条特异线；（2）当△ABC是一个等腰锐角三角形，且它是特异三角形时，有两种情形：如图1，∵AB＝AC，AD＝BD＝BC，∴∠ABC＝∠C＝∠BDC，∠A＝∠ABD，设∠A＝x，则x+2x+2x＝180°，解得x＝36°，∴∠A＝36°，如图2，∵AB＝AC，AD＝BC，BC＝CD，∴∠ABC＝∠C，∠A＝∠ABD，∠CDB＝∠CBD，∵∠CDB＝∠A+∠ABD＝2∠A，设∠A＝x，则2x+2x+3x＝180°，解得x＝（）°．∴∠A＝（）°．故∠A的度数是36°或（）°．14．解：（1）∵点M、N分别是点P关于OA、OB的对称点，∴ME＝PE，NF＝PF，MN＝20cm，∴ME+EF+NF＝PE+EF+PF＝MN＝20cm，即△PEF的周长是20cm；（2）如图，∵点M、N分别是点P关于直线0A、OB的对称点，∴OA垂直平分PM，OB垂直平分PN，∴∠PRE＝∠PTF＝90°，∴在四边形OTPR中，∴∠MPN+∠AOB＝180°，∵∠EPF+2∠M+2∠N＝180°，即∠MPN+∠M+∠N＝180°，∴∠M+∠N＝∠AOB＝35°，∴∠EPF＝180°﹣35°×2＝110°；（3）如图，连接OM，ON，OP．∵P，M关于OA对称，∴OA垂直平分线段PM，∴OM＝OP，EM＝EP，∴∠OPM＝∠OMP，∠EPM＝∠EMP，∴∠OPE＝∠OME，同法可证∠OPF＝∠ONF，∵OM＝ON，∴∠OME＝∠ONF，∴∠OPE＝∠OPF，∴OP平分∠EPF．15．解：（1）设底边长为xcm，则腰长为2xcm，依题意，得2x+2x+x＝25，解得x＝5．∴2x＝10．∴三角形三边的长为10cm、10cm、5cm；（2）能围成有一边的长是6cm的等腰三角形，理由如下：分两种情况：①若腰长为6cm，则底边长为25﹣6﹣6＝13（cm），而6+6＜13，所以不能围成腰长为6cm的等腰三角形；②若底边长为6cm，则腰长为（25﹣6）＝9.5（cm），此时能围成等腰三角形，三边长分别为6cm、9.5cm、9.5cm．综上所述，能围成有一边的长是6cm的等腰三角形．16．解：（1）如图所示，△A'B'C'即为所求；（2）由图形可知，C'（﹣3，2），△A'B'C'的面积为＝2×＝4，故答案为：（﹣3，2）；4；（3）如上图所示，点P即为所求．17．证明：∵AB＝AC（已知），∴∠B＝∠C（等边对等角），∵EP⊥BC（已知），∴∠E+∠C＝90°，∠B+∠BFP＝90°，∴∠E＝∠BFP（等角的余角相等），又∵∠EF A＝∠BFP∴∠EF A＝∠E，∴AE＝AF（等角对等边）．故答案为：等边对等角；等角的余角相等；∠EF A＝∠E；等角对等边．18．（1）证明：∵∠ABC＝∠ADC＝90°，BC＝CD，AC＝AC，∴Rt△ABC≌Rt△ADC（HL），∴∠ACB＝∠ACD；（2）①解∵Rt△ABC≌Rt△ADC，∴∠BAC＝∠CAD，∵CA＝CE，∴∠CAE＝∠CEA，∵∠EBA＝90°，∴∠BEA＝∠BAC＝∠CAE＝30°；②证明：∵PD⊥AE，MP⊥PD，∴AE∥MP，∴∠PMC＝∠MAE＝30°，∵ME∥AB，∴∠MEB＝∠ABE＝90°，∴∠MEA＝90°+30°＝120°，∵∠MAE＝30°，∴∠EMA＝30°，∵CP⊥MP，CE⊥ME，∠MCP＝∠MCE＝60°，∴△NEC≌△NPC（SAS），∴EN＝PN，∴N是EP的中点，NC⊥PE，∴AM垂直平分PE；（3）证明：延长PD、ME交于Q点，由①知，∠BEA＝30°，∠MEB＝90°，∴∠MEA＝120°，∴∠DEQ＝60°，∵PD⊥AE，∴∠EDQ＝90°，∴∠EQD＝30°，∵∠CPN＝30°，∴∠EPD＝∠DQE，∴PE＝EQ，∴ME+PE＝QE+ME≥MQ，此时ME+PE的值最小，∵点O是直线AE上的动点，∴当MO+PO的值最小时，E点与O点重合．19．解：（1）由题意可知AP＝t，BQ＝2t，∵AB＝16cm，∴BP＝AB﹣AP＝（16﹣t）cm，故答案为：（16﹣t）cm；（2）当点Q在边BC上运动，△PQB为等腰三角形时，则有BP＝BQ，即16﹣t＝2t，解得t＝，∴出发秒后，△PQB能形成等腰三角形；（3）①当△BCQ是以BC为底边的等腰三角形时：CQ＝BQ，如图1所示，则∠C＝∠CBQ，∵∠ABC＝90°，∴∠CBQ+∠ABQ＝90°．∠A+∠C＝90°，∴∠A＝∠ABQ，∴BQ＝AQ，∴CQ＝AQ＝10（cm），∴BC+CQ＝22（cm），∴t＝22÷2＝11；②当，△BCQ是以BQ为底边的等腰三角形时：CQ＝BC，如图2所示，则BC+CQ＝24（cm），∴t＝24÷2＝12，综上所述：当t为11或12时，△BCQ是以BC或BQ为底边的等腰三角形．故答案为：11秒或12．20．（1）证明：∵AH⊥BC，垂足为H，且BH＝CH，∴AH是BC的垂直平分线．∴AB＝AC．∴∠B＝∠C；（2）解：∵AH⊥BC，AB＝AC，∴∠BAH＝∠CAH．∵AH⊥BC，EF⊥BC，∴∠AHB＝∠EFB＝90°．∴AH∥EF．∴∠BAH＝∠E，∠CAH＝∠AME．∴∠E＝∠AME．∴AM＝AE＝2．∵AB＝AC＝5，∴CM＝AC﹣CM＝3．∵AH∥EF，∴MF＝．。

人教版八年级数学上册同步练习题及答案+八年级数学下册同步练习题及答案人教八年级数学上册同步练习题及答案第十一章全等三角形11.1全等三角形1、已知⊿ABC≌⊿DEF，A与D，B与E分别是对应顶点，∠A=52°，∠B=67 °，BC =15cm，= ，FE = .则F2、∵△ABC≌△DEF∴AB= ，AC= BC= ，（全等三角形的对应边）∠A= ，∠B= ，∠C= ；（全等三角形的对应边）3、下列说法正确的是（）A：全等三角形是指形状相同的两个三角形 B：全等三角形的周长和面积分别相等C：全等三角形是指面积相等的两个三角形 D：所有的等边三角形都是全等三角形4、如图1：ΔABE≌ΔACD，AB=8cm，AD=5cm，∠A=60°，∠B=40°，则AE=_____，∠C=____。

C课堂练习1、已知△ABC ≌△CDB ，AB 与CD 是对应边，那么AD= ，∠A= ；2、如图，已知△ABE ≌△DCE ，AE=2cm ，BE=1.5cm ，∠A=25°∠B=48°； 那么DE= cm ，EC= cm ，∠C= 度.3、如图，△ABC ≌△DBC ，∠A=800，∠ABC=300，则∠DCB= 度；（第1小题） （第2小题） （第3小题） （第4小题）4、如图，若△ABC ≌△ADE ，则对应角有 ； 对应边有 （各写一对即可）；11.2.1全等三角形的判定（sss ）课前练习1、如图1：AB=AC ，BD=CD ，若∠B=28°则∠C= ；2、如图2：△EDF ≌△BAC ，EC=6㎝，则BF= ；3、如图，AB ∥EF ∥DC ，∠ABC ＝900，AB ＝DC ，那么图中有全等三角形 对。

第2题图EDCBA（第1小题） （第2小题） （第3小题）课堂练习4、如图，在△ABC 中，∠C ＝900，BC ＝40，AD 是∠BAC 的平分线交BC 于D ，且DC ∶DB ＝3∶5，则点D 到AB 的距离是 。

16.5 利用图形的平移、旋转和轴对称设计图案同步训练 2024-2025学年冀教版数学八年级上册一、单选题1．将图中所示的图案平移后得到的图案是()A．B．C．D．2．“玉兔”在月球表面行走的动力主要来自太阳光能，要使接收太阳光能最多，就要使光线垂直照射在太阳光板上．某一时刻太阳光的照射角度如图所示，要使得此时接收的光能最多，那么太阳光板绕支点A逆时针旋转的最小角度为()A．44°B．46°C．36°D．54°3．在平面内，由图1经过两次图形变换后得到图2，下列说法错误的是（）A．只需经过两次轴对称变换B．只需经过两次中心对称变换C．先经过轴对称变换，再进行中心对称变换D．先经过中心对称变换，再进行轴对称变换4．七巧板是我们祖先的一项卓越创造，被西方人誉为“东方魔板”．已知如图所示的“正方形”是由七块七巧板拼成的正方形（相同的板规定序号相同）．现从七巧板取出四块（序号可以相同）拼成一个小正方形（无空隙不重叠），则无法拼成的序号为（）A．②②②B．②②②C．②②②D．②②②5．彩陶、玉器、青铜器等器物以及壁画、织锦上美轮美奂的纹样，穿越时空，向人们呈现出古代中国丰富多彩的物质与精神世界，各种纹样经常通过平移、旋转、轴对称以及其它几何构架连接在一起，形成复杂而精美的图案.以下图案纹样中，从整体观察（个别细微之处的细节忽略不计），大致运用了旋转进行构图的是（）.A．B．C．D．6．如图，为保持原图的模样，应选哪一块拼在图案的空白处()A．A B．B C．C D．D7．已知正△ABC的中心为O，边长为1．将其沿直线l向右不滑动的翻滚一周时，其中心O 经过的路径长是（）A．43√3πB．23√3πC．4πD．2π二、填空题8．将点A绕另一个点O旋转一周，点A在旋转过程中所经过的路线是．9．一个数字映在镜子里的像如图所示，则这个数字是．10．如图所示，在正方形网格中，图②经过变换可以得到图②；图②是由图②经过旋转变换得到的，其旋转中心是点(填“A”或“B”或“C”)．11．已知点A(a,−1)，B(2,b)，若点A、B关于y轴对称，则a+b的值为．12．右图是“靠右侧通道行驶”的交通标志，若将图案绕其中心顺时针旋转90°，则得到的图案是“ ”的交通标志（不画图案，只填含义）．13．以如图（1）（以O为圆心，半径为1的半圆）作为“基本图形”，分别经历如下变换能得到图（2）的有（只填序号，多填或错填得0分，少填个酌情给分）．②只要向右平移1个单位；②先以直线AB为对称轴进行翻折，再向右平移1个单位；②先绕着点O旋转180°，再向右平移一个单位；②绕着OB的中点旋转180°即可．三、解答题14．在日常生产生活中，我们常会见到一些由旋转形成的美丽的图案．观察下列的两幅图（图（1）和图（2）），你能说出他们是由什么基本图形绕中心旋转180°设计出来的吗？15．构成如图所示中每个图形的一个基本图形是什么？它们是如何由基本图形变换而成的？16．请认真观察图（1）的4个图中阴影部分构成的图案，回答下列问题：(1)请写出这四个图案都具有的两个共同特征：特征1：；特征2：．(2)请在图（2）中设计出你心中最美的图案，使它也具备你所写出的上述特征（用阴影表示）．17．（1）如图1,大圆面积为5,请应用旋转知识,画图说明空白部分的面积.(2)如图2,大正方形边长为9个单位长,阴影部分的宽为1个单位长,请应用平移知识,画图说明空白部分的面积.18．旋转知识结构图19．如图，在6×8方格纸中有直线l，点A，B，C都在格点上，按要求画多边形．．．，使它的顶点都在方格的格点上，点A，B，C在边上（包括顶点）．（1）在图1中画一个轴对称图形，使直线l是对称轴；（2）在图2中画一个中心对称图形（非矩形），使直线l平分它的面积．。

3.3轴对称与坐标变化—2022-2023学年北师大版数学八年级上册堂堂练1.在平面直角坐标系xOy中，点关于x轴对称的点的坐标是( )A. B. C. D.2.在平面直角坐标系中，点关于y轴对称的点的坐标为( )A. B. C. D.3.如图1，将的三个顶点坐标的横坐标都乘-1，并保持纵坐标不变，则所得图形与原图形的关系是( )A.关于x轴对称B.关于y轴对称C.将原图形沿x轴的负方向平移了1个单位D.将原图形沿y轴的负方向平移了1个单位4.如图，的顶点都在正方形网格格点上，点A的坐标为.将沿y轴翻折到第一象限，则点C的对应点的坐标是( )A. B. C. D.5.在平面直角坐标系中，已知点在第四象限，则点P关于直线对称的点的坐标是( )A. B. C. D.6.李华同学在求点关于y轴对称的点的坐标时，看成了求关于x轴对称的点的坐标，求得结果是，那么正确的结果应该是___________.7.如图，点与点关于l（直线）对称，则的立方根为___________.8.如图，在平面直角坐标系中，三个顶点的坐标分别为，，.（1）请在图中作出关于y轴对称的图形（A、B、C的对称点分别是D、E、F），并直接写出D、E、F的坐标；（2）求的面积.答案以及解析1.答案：C解析：点关于x轴对称的点的坐标是.2.答案：B解析：关于y轴对称的对称点，纵坐标相等，横坐标互为相反数，点关于y轴对称的点的坐标是.故选B.3.答案：B解析：将的三个顶点坐标的横坐标都乘-1，纵坐标不变，则横坐标互为相反数，纵坐标相等，所得图形与原图形关于y轴对称，故选B.4.答案：A解析：由点A坐标，得.由翻折，得与C关于y轴对称，故.故选A.5.答案：C解析：设关于直线的对称点为，则有，，，故选C.6.答案：解析：点关于x轴对称的点的坐标为，点，点P关于y轴对称的点的坐标为.7.答案：解析：P与Q关于l（直线）对称，两点的横坐标相同，P到l的距离等于Q到l的距离，，，则，-5的立方根.8.答案：（1）如图所示，，，.（2）的面积.。

描述：初二数学上册(人教版)知识点总结含同步练习题及答案第十三章 轴对称 13.3 等腰三角形一、学习任务1. 了解等腰三角形和等边三角形的概念．2. 掌握等腰三角形和等边三角形的性质定理和判定定理，掌握 角的直角三角形的性质．二、知识清单等腰三角形 等边三角形三、知识讲解1.等腰三角形等腰三角形有两条边相等的三角形叫做等腰三角形（isosceles triangle ）．等腰三角形的性质① 等腰三角形的两个底角相等；② 等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线、底边上的高相互重合（简写成“三线合一”）．等腰三角形的判定如果一个三角形有两个角相等，那么这两个角所对的边也相等（简写成“等角对等边”）．三角形的边角对应关系在同一个三角形内，大边对大角，大角对大边．构造等腰三角形的方法30∘都填上）∠ADE=∠AED=2∠BAD34DE△BDE接 ，试判断 的形状，并说明理由．∠DBC描述：例题：2.等边三角形等边三角形三边都相等的三角形叫做等边三角形（equilateral triangle ），也属于等腰三角形．等边三角形的性质三个内角都相等，并且每一个角都等于 ．等边三角形性质的推论在直角三角形中，如果一个锐角等于 ，那么它所对的直角边等于斜边的一半．等边三角形的判定① 三个角都相等的三角形是等边三角形；② 有一个角是 的等腰三角形是等边三角形．构造等边三角形的方法，．即 是等腰三角形．2∴∠DBC =∠E ∴BD =DE △BDE 60∘30∘60∘如图所示，在等边三角形 中， 和 的平分线相交于点 ，， 的垂直平分线分别交 于点 ，，求证： 是等边三角形．分析：根据垂直平分线的性质可知，，，由于 ， 是角平分线，所以 ，再由于外角和定理，，所以 是等边三角形．证明： ， 分别是 ， 垂直平分线上的点，ABC ∠ABC ∠ACB O BO OC BC E F △OEF OE =BE OF =F C OB OC ∠OBC =∠OCB =30∘∠OEF =∠OF E =60∘△OEF ∵EF BO OC值为（ ）32A△ABC。

辅助线专题练习1．如图，已知在△ABC 中，CD 是AB 边上的高线，BE 平分∠ABC ，交CD 于点E ，BC ＝10，DE ＝4，则△BCE 的面积等于（ ）A ．16B ．20C ．28D ．402．如图，△ABC 内有一点D ，AD 平分∠CAB ，CD ⊥AD 于点D ，连接DB ，若△ADB 的面积为3cm 2，则△ABC 的面积为（ ）A ．5cm 2B ．6cm 2C ．7cm 2D ．8cm 23．如图，点P 是∠BAC 平分线AD 上的一点，AC ＝9，AB ＝5，PB ＝3，则PC 的长不可能是（ ）A ．4B ．5C ．6D ．74．如图．四边形ABCD 中，AD ∥BC ，BC ＝3，AB ＝5，AD ＝6．若点M 是线段BD 的中点，则CM 的长为（ ）A ．32B ．2C ．52D ．3`5．已知△ABC是等边三角形，点P在AB上，过点P作PD⊥AC，垂足为D，延长BC至点Q，使CQ＝AP，连接PQ交AC于点E，如图所示．如果等边三角形ABC的边长为4，那么线段DE的长为（）A．1B．2C．1.8D．2.56．如图，△ABC中，AD为中线，AD⊥AC，∠BAD＝30°，AB＝3，则AC长（）A．2.5B．2C．1D．1.57．如图，∠B＝∠C＝90°，M为是BC的中点，AM平分∠BAD，且∠CDM＝55°，则∠AMB的度数是（）A．35°B．45°C．55°D．65°8．如图，AD是△ABC的角平分线，DE⊥AB于E，点F，G分别在边AB，AC上，且DF ＝DG，△ADG与△ADF的面积分别是14和4，则△DEF的面积是（）A．10B．6C．5D．49．如图，△ABC中，∠ABC＝90°，点I为△ABC各内角平分线的交点，过I点作AC的垂线，垂足为H，若BC＝6，AB＝8，AC＝10，那么IH的值为（）A．2B．3C．4D．510．如图，在△AOB和△COD中，OA＝OB，OC＝OD，OA＜OC，∠AOB＝∠COD＝36°．连接AC，BD交于点M，连接OM．下列结论，其中错误的是（）A．AC＝BD B．∠AMB＝36°C．MO平分∠AMD D．OM平分∠AOD 11．已知：如图，∠BAC的平分线与BC的垂直平分线相交于点P，PE⊥AB，PF⊥AC，垂足分别为E、F．若AB＝8，AC＝4，则AE＝．12．如图，把△ABC放置在平面直角坐标系中，已知AB＝BC，∠ABC＝90°，A（3，0），B（0，﹣1），点C在第四象限，则点C的坐标是．13．如图，在同一平面内，直线l同侧有三个正方形A，B，C，若A，C的面积分别为9和4，则阴影部分的总面积为．14．如图，已知AB＝BC＝AD，AD⊥BC于点E，AC⊥CD，若CD=53，则△ACD的面积为．15．如图，已知AD是△ABC的中线，E是AC上的一点，BE交AD于F，AC＝BF，∠DAC ＝24°，∠EBC＝32°，则∠ACB＝．16．如图，已知∠AOB＝60°，点P在OA上，OP＝8，点M、N在边OB上，PM＝PN，若MN＝2，则OM＝．17．如图，△ABC是等边三角形，延长BC到点E，使CE=12BC，若D是AC的中点，连接ED并延长交AB于点F．（1）若AF＝3，求AD的长；（2）证明：DE＝2DF．18．如图，在等边△ABC中，已知点E在直线AB上（不与点A、B重合），点D在直线BC上，且ED＝EC．（1）若点E为线段AB的中点时，试说明DB＝AE的理由；（2）若△ABC的边长为2，AE＝1，求CD的长．19．已知A（﹣10，0），以OA为边在第二象限作等边△AOB．（1）求点B的横坐标；（2）如下图，点M、N分别为OA、OB边上的动点，以MN为边在x轴上方作等边△MNE，连结OE，当∠EMO＝45°时，求∠MEO的度数．20．如图所示，已知△ABC中，AB＝AC，∠DBC＝∠D＝60°，AE平分∠BAC，若BD＝8cm，DE＝3cm，求BC的长．21．如图，AB＝BD，AE＝EB，∠ACB＝∠ABC，证明：CD＝2CE．辅助线专题练习（答案）1．如图，已知在△ABC 中，CD 是AB 边上的高线，BE 平分∠ABC ，交CD 于点E ，BC ＝10，DE ＝4，则△BCE 的面积等于（ ）A ．16B ．20C ．28D ．40【解答】解：过E 作EM ⊥BC 于M ，∵CD ⊥AB ，EM ⊥BC ，BE 平分∠ABC ，DE ＝4，∴EM ＝DE ＝4，∵BC ＝10，∴△BCE 的面积是12×BC ×EM =12×10×4 ＝20，故选：B ．2．如图，△ABC 内有一点D ，AD 平分∠CAB ，CD ⊥AD 于点D ，连接DB ，若△ADB 的面积为3cm 2，则△ABC 的面积为（ ）A ．5cm 2B ．6cm 2C ．7cm 2D ．8cm 2【解答】解：延长CD 交AB 于E ，∵AD 平分∠CAB ，CD ⊥AD 于点D ，∴∠CAD ＝∠EAD ，∠ADC ＝∠ADE ＝90°，在△ADC 与△ADE 中，{∠CAD =∠EAD AD =AD ∠ADC =∠ADE，∴△ADC≌△ADE（ASA），∴CD＝DE，∴S△ACD＝S△ADE，S△BCD＝S△BDE，∴S△ABC＝2S△ADB，∵△ADB的面积为3cm2，∴△ABC的面积为6cm2，故选：B．3．如图，点P是∠BAC平分线AD上的一点，AC＝9，AB＝5，PB＝3，则PC的长不可能是（）A．4B．5C．6D．7【解答】解：在AC上截取AE＝AB＝5，连接PE，∵AC＝9，∴CE＝AC﹣AE＝9﹣5＝4，∵点P是∠BAC平分线AD上的一点，∴∠CAD＝∠BAD，在△APE和△APB中，{AE =AB ∠CAP =∠BAD AP =AP，∴△APE ≌△APB （SAS ），∴PE ＝PB ＝3，∵4﹣3＜PC ＜4+3，解得1＜PC ＜7，∴PC 不可能为7，故选：D ．4．如图．四边形ABCD 中，AD ∥BC ，BC ＝3，AB ＝5，AD ＝6．若点M 是线段BD 的中点，则CM 的长为（ ）A ．32B ．2C ．52D ．3【解答】解：延长CM 交AD 于N ，如图所示：∵点M 是线段BD 的中点，∴BM ＝DM ，∵AD ∥BC ，∴∠CBM ＝∠NDM ，∠BCM ＝∠DNM ，在△BCM 和△DNM 中，{∠CBM =∠NDM ∠BCM =∠DNM BM =DM，∴△BCM ≌△DNM （AAS ），∴NM ＝CM =12CN ，DN ＝BC ＝3，∴AN ＝AD ﹣DN ＝6﹣3＝3，∴AN ＝BC ，∵AD ∥BC ，∴四边形ABCN 是平行四边形，∴CN ＝AB ＝5，∴CM =52，故选：C ．5．已知△ABC是等边三角形，点P在AB上，过点P作PD⊥AC，垂足为D，延长BC至点Q，使CQ＝AP，连接PQ交AC于点E，如图所示．如果等边三角形ABC的边长为4，那么线段DE的长为（）A．1B．2C．1.8D．2.5【解答】解：如图，过点P作PF∥BC，交AC于点F，则∠EPF＝∠Q，∠APF＝∠ABC∵△ABC是等边三角形，∴∠ABC＝∠ACB＝60°，∴∠APF＝∠AFP＝60°，∴△APF也是等边三角形，而CQ＝AP∴PF＝AP＝CQ，又∵∠PEF＝∠QEC，∴△PEF≌△QEC，∴EF＝EC，∵PD⊥AC于D，△APF是等边三角形，∴AD＝DF，∴AD+EC＝DF+EF＝DE=12AF+12CF=12（AF+CF）=12AC，∴DE=12AC＝2．故选：B．6．如图，△ABC 中，AD 为中线，AD ⊥AC ，∠BAD ＝30°，AB ＝3，则AC 长（ ）A ．2.5B ．2C ．1D ．1.5【解答】解：如图，延长AD ，使AD ＝DE ，连接CE ，∵AD 为中线，∴BD ＝CD ，在△ABD 与△ECD 中，{AD =ED ∠ADB =∠EDC BD =CD，∴△ABD ≌△ECD （SAS ），∴∠BAD ＝∠CED ，AB ＝EC ，∵∠BAD ＝30°，∴∠CED ＝30°，∵AD ⊥AC ，∴∠CAD ＝90°，∴AC =12EC ，∴AB ＝EC ，∴AC =12AB =32，即AC ＝1.5，故选：D ．7．如图，∠B ＝∠C ＝90°，M 为是BC 的中点，AM 平分∠BAD ，且∠CDM ＝55°，则∠AMB 的度数是（ ）A．35°B．45°C．55°D．65°【解答】解：过M作MN⊥AD于N，则∠MNA＝∠MND＝90°，∵∠B＝90°，∴MB⊥AB，∵AM平分∠BAD，∴MN＝MB，∵M为是BC的中点，∴MB＝MC，∴MN＝MC，在Rt△MND和Rt△MCD中，{MD=MDMN=MC，∴Rt△MND≌Rt△MCD（HL），∴∠NDM＝∠CDM＝55°，∴∠CDA＝∠NDM+∠CDM＝110°，∵∠B＝∠C＝90°，∴∠B+∠C＝180°，∴CD∥AB，∴∠BAD+∠CDA＝180°，∴∠BAD＝180°﹣∠CDA＝180°﹣110°＝70°，∵AM平分∠BAD，∴∠BAM=12∠BAD＝35°，∴∠AMB＝90°﹣∠BAM＝90°﹣35°＝55°，故选：C．8．如图，AD是△ABC的角平分线，DE⊥AB于E，点F，G分别在边AB，AC上，且DF ＝DG，△ADG与△ADF的面积分别是14和4，则△DEF的面积是（）A．10B．6C．5D．4【解答】解：如图，过点D作DH⊥AC于H，∵AD是△ABC的角平分线，DE⊥AB，∴DE＝DH，在Rt△DEF和Rt△DHG中，{DE=DHDF=DG，∴Rt△DEF≌Rt△DHG（HL），∴S△EDF＝S△HGD，同理Rt△ADE≌Rt△ADH，∴S△ADE＝S△ADH，∵△ADG与△ADF的面积分别是14和4，∴S△DEF=14−42=5，故选：C．9．如图，△ABC中，∠ABC＝90°，点I为△ABC各内角平分线的交点，过I点作AC的垂线，垂足为H，若BC＝6，AB＝8，AC＝10，那么IH的值为（）A．2B．3C．4D．5【解答】解：连接IA、IB、IC，过I作IM⊥AB于M，IN⊥BC于N，∵点I 为△ABC 各内角平分线的交点，IM ⊥AB ，IN ⊥BC ，IH ⊥AC ，∴IH ＝IM ＝IN ，∵AB ＝8，BC ＝6，∠ABC ＝90°，∴S △ABC =12×AB ×BC =12×8×6=24，∵S △ABC ＝S △AIB +S △BIC +S △AIC ，∴24=12×AB ×IM +12×BC ×IN +12×AC ×IH ，∵AB ＝8，BC ＝6，AC ＝10，IH ＝IM ＝IN ，∴24=12×8×IH +12×6×IH +12×10×IH ， ∴IH ＝2，故选：A ．10．如图，在△AOB 和△COD 中，OA ＝OB ，OC ＝OD ，OA ＜OC ，∠AOB ＝∠COD ＝36°．连接AC ，BD 交于点M ，连接OM ．下列结论，其中错误的是（ ）A ．AC ＝BDB ．∠AMB ＝36°C ．MO 平分∠AMD D ．OM 平分∠AOD【解答】解：∵∠AOB ＝∠COD ＝36°，∴∠AOC ＝∠BOD ，在△AOC 和△BOD 中，{OA =OB ∠AOC =∠BOD OC =OD，∴△AOC ≌△BOD （SAS ），∴AC ＝BD ，∠OAC ＝∠OBD ，故A 选项不符合题意；∵∠OAB +∠ABO ＝180°﹣36°＝144°，∴∠MAB +∠ABM ＝144°，∴∠AMB ＝180°﹣144°＝36°，故B 选项不符合题意；过点O 作OG ⊥AC 于点G ，过点O 作OH ⊥BD 于点H ，如图所示：∵△AOC ≌△BOD ，∴S △AOC ＝S △BOD ，即12AC ⋅OG =12BD ⋅OH ，∵AC ＝BD ，∴OH ＝OG ，在Rt △OHM 和Rt △OGM 中，{OG =OH OM =OM， ∴Rt △OHM ≌Rt △OGM （HL ），∴∠OMG ＝∠OMH ，即OM 平分∠AMD ，故C 选项不符合题意；假设OM 平分∠AOD ，则∠AOM ＝∠DOM ，∵OM 平分∠AMD ，∴∠AMO ＝∠DMO ，∵OM ＝OM ，∴△AMO ≌△DMO （ASA ），∴AO ＝DO ，∵OD ＝OC ，AO ＜OC ，∴AO ＜DO ，∴假设不成立，∴OM 不平分∠AOD ，故D 选项符合题意，故选：D ．11．已知：如图，∠BAC 的平分线与BC 的垂直平分线相交于点P ，PE ⊥AB ，PF ⊥AC ，垂足分别为E 、F ．若AB ＝8，AC ＝4，则AE ＝ 6 ．【解答】解：连接PB，PC，∵点P在BC的垂直平分线上，∴PB＝PC，∵AC平分∠BAC，PE⊥AB，PF⊥AC，∴PE＝PF，∠PEB＝∠PFC＝90°，∴∠APE＝∠APF，∴AE＝AF，在Rt△PBE和Rt△PCF中，{PB=PCPE=PF，∴Rt△PBE≌Rt△PCF（HL），∴BE＝CF，∵AB＝AE+BE，AF＝AC+CF，∴AB＝AC+CF+BE，∵AB＝8，AC＝4，∴BE＝CF＝2，∴AE＝AC+CF＝6．故答案为：6．12．如图，把△ABC放置在平面直角坐标系中，已知AB＝BC，∠ABC＝90°，A（3，0），B（0，﹣1），点C在第四象限，则点C的坐标是（1，﹣4）．【解答】解：过点C 作CD ⊥y 轴于点D ，如图所示．∵∠ABC ＝90°，∠AOB ＝90°，∴∠OAB +∠OBA ＝90°，∠OBA +∠DBC ＝90°，∴∠OAB ＝∠DBC ．在△OAB 和△DBC 中，{∠AOB =∠BDC =90°∠OAB =∠DBC AB =BC，∴△OAB ≌△DBC （AAS ），∴BD ＝AO ，DC ＝OB ．∵A （3，0），B （0，﹣1），∴BD ＝AO ＝3，DC ＝OB ＝1，OD ＝OB +BD ＝4，∴点C 的坐标为（1，﹣4）．故答案为：（1，﹣4）．13．如图，在同一平面内，直线l 同侧有三个正方形A ，B ，C ，若A ，C 的面积分别为9和4，则阴影部分的总面积为 6 ．【解答】解：如图，作LM ⊥FE 交FE 的延长线于点M ，交JI 的延长线于点N ， ∵四边形A 、B 、C 都是正方形，且正方形A 、C 的面积分别为9、4，∴∠EKI ＝∠EDR ＝∠IHG ＝90°，DE 2＝9，HI 2＝4，∴DE ＝3，HI ＝2，∵∠EDK ＝∠KHI ＝180°﹣90°＝90°，∴∠DKE ＝90°﹣∠KHI ＝∠HIK ，在△EDK 和△KHI 中，{∠EDK =∠KHI ∠DKE =∠HIK EK =KI，∴△EDK ≌△KHI （AAS ），∴DK ＝HI ＝2，DE ＝HK ＝3，∴S △EDK ＝S △KHI =12×3×2＝3；∵∠DEF ＝∠HIJ ＝90°，∴∠DEM ＝180°﹣∠DEF ＝90°，∠HIN ＝180°﹣∠HIJ ＝90°，∵∠KEL ＝∠KIL ＝90°，∴∠MEL ＝∠DEK ＝90°﹣∠KEM ，∠NIL ＝∠HIK ＝90°﹣∠KIN ，∵EF ∥l ，IJ ∥l ，∴EF ∥IJ ，∴∠EML ＝∠EMN ＝∠N ＝90°，在△EML 和△EDK 中，{∠MIL =∠DEK ∠EML =∠EDK EL =EK，∴△EML ≌△EDK （AAS ），∴EM ＝ED ＝EF ，∴S △EFL ＝S △EML ＝S △EDK ＝3；在△LNI 和△KHI 中，{∠NIL =∠HIK ∠N =∠KHI IL =IK，∴△LNI ≌△KHI （AAS ），∵IN ＝IE ＝IJ ，∴S △LJI ＝S △LNI ＝S △KHI ＝3，∴S △EFL +S △LJI ＝3+3＝6，∴阴影部分的总面积为6．14．如图，已知AB ＝BC ＝AD ，AD ⊥BC 于点E ，AC ⊥CD ，若CD =53，则△ACD 的面积为 259 ．【解答】解：∵AD ⊥BC ，AC ⊥CD ，∴∠ACD ＝∠AEC ＝90°，∴∠D +∠DCE ＝∠DCE +∠ACE ＝90°，∴∠D ＝∠ACB ，∵AB ＝BC ，∴∠BAH ＝∠BCA ，∴∠D ＝∠BAC ，过B 作BH ⊥AC 于H ，∴∠AHB ＝90°，AH =12AC ，在△ABH 与△DAC 中，{∠AHB =∠DCA =90°∠BAH =∠D AB =AD，∴△ABH ≌△DAC （AAS ），∴BH ＝AC ，AH ＝CD ，∴AC ＝2CD =103，∴△ACD 的面积=12AC •CD =12×103×53=259，故答案为：259．15．如图，已知AD 是△ABC 的中线，E 是AC 上的一点，BE 交AD 于F ，AC ＝BF ，∠DAC＝24°，∠EBC ＝32°，则∠ACB ＝ 100° ．【解答】解：如图，延长AD 到M ，使得DM ＝AD ，连接BM ，如图所示：在△BDM 和△CDA 中，{DM =∠DA ∠BDM =∠CDA BD =CD，∴△BDM ≌△CDA （SAS ），∴BM ＝AC ＝BF ，∠M ＝∠DAC ＝24°，∠C ＝∠DBM ，∵BF ＝AC ，∴BF ＝BM ，∴∠M ＝∠BFM ＝24°，∴∠MBF ＝180°﹣∠M ﹣∠BFM ＝132°，∵∠EBC ＝32°，∴∠DBM ＝∠MBF ﹣∠EBC ＝100°，∴∠C ＝∠DBM ＝100°，故答案为：100°．16．如图，已知∠AOB＝60°，点P在OA上，OP＝8，点M、N在边OB上，PM＝PN，若MN＝2，则OM＝3．【解答】解：过P作PC⊥MN，∵PM＝PN，∴C为MN中点，即MC＝NC=12MN＝1，在Rt△OPC中，∠AOB＝60°，∴∠OPC＝30°，∴OC=12OP＝4，则OM＝OC﹣MC＝4﹣1＝3，故答案为：317．如图，△ABC是等边三角形，延长BC到点E，使CE=12BC，若D是AC的中点，连接ED并延长交AB于点F．（1）若AF＝3，求AD的长；（2）证明：DE＝2DF．【解答】（1）解：∵△ABC为等边三角形，∴AC＝BC，∠A＝∠ACB＝60°，∵D为AC中点，∴CD＝AD=12AC，∵CE=12BC，∴CD＝CE，∴∠E＝∠CDE，∵∠ACB＝∠E+∠CDE，∴∠E＝∠CDE＝30°，∴∠ADF＝∠CDE＝30°，∵∠A＝60°∴∠AFD＝180°﹣∠A﹣∠ADF＝90°，∵AF＝3∴AD＝2AF＝6；（2）证明：连接BD，∵△ABC为等边三角形，D为AC中点，∴BD平分∠ABC，∠ABC＝60°，∴∠DBC＝∠ABD=12∠ABC＝30°，∵∠BFD＝90°∴BD＝2DF∵∠DBC＝∠E＝30°∴BD＝DE∴DE＝2DF．18．如图，在等边△ABC中，已知点E在直线AB上（不与点A、B重合），点D在直线BC上，且ED＝EC．（1）若点E为线段AB的中点时，试说明DB＝AE的理由；（2）若△ABC的边长为2，AE＝1，求CD的长．【解答】解：（1）∵△ABC是等边三角形，E为AB的中点，∴∠BCE＝30°，BE＝AE，∵ED＝EC，∴∠EDB＝∠BCE＝30°，∵∠ABD＝120°，∴∠DEB＝30°，∴DB＝EB，∴AE＝DB；（2）如图1，E在线段AB上时，∵AB＝2，AE＝1，∴点E是AB的中点，由（1）知，BD＝AE＝1，∴CD＝BC+BD＝3；如图2，E在线段AB的反向延长线上时，∵AE＝1，AB＝2，∴BE＝3，∵△ABC是等边三角形，∴∠BAC＝∠BCA＝60°，AB＝BC＝AC＝2，过E作EH∥AC交BC的延长线于H，∴∠BEH＝∠BHE＝60°，∴△BEH是等边三角形，∴BE＝EH＝BH＝3，∠B＝∠H＝60°，∵ED＝EC，∴∠EDC＝∠ECD，∴∠B +∠BED ＝∠H +∠HEC ，∴∠BED ＝∠HEC ，在△BDE 和△HCE 中，{BE =HE ∠BED =∠HEC ED =EC，∴△BDE ≌△HCE （SAS ），∴BD ＝HC ＝BH ﹣BC ＝3﹣2＝1，∴CD ＝BH ﹣BD ﹣HC ＝3﹣1﹣1＝1．综上所述，CD 的长为1或3．19．已知A （﹣10，0），以OA 为边在第二象限作等边△AOB ．（1）求点B 的横坐标；（2）如下图，点M 、N 分别为OA 、OB 边上的动点，以MN 为边在x 轴上方作等边△MNE ，连结OE ，当∠EMO ＝45°时，求∠MEO 的度数．【解答】解：（1）如图，过B 作BD ⊥OA 于点D ，∵△AOB 为等边三角形，点A （﹣10，0），∴OA ＝OB ＝AB ＝10，∠BAO ＝∠ABO ＝∠AOB ＝60°，∵BD ⊥OA ，∴AD ＝OD =12OA =12×10＝5， ∴点B 的横坐标为﹣5；（2）如图2，过点M 作MF ∥AB 交OA 于点F ，∵MF ∥AB ，∴∠MFO ＝∠BAO ＝∠AOB ＝60°，∴△MOF 为等边三角形，∴∠FMO ＝60°，MF ＝MO ，∵△MNE 是等边三角形，∴∠NME ＝60°，MN ＝ME ，∴∠FMN +∠NMO ＝∠NMO +∠OME ＝60°，∴∠FMN ＝∠OME ，在△MFN 和△MOE 中，{MF =MO ∠FMN =∠OME MN =ME，∴△MFN≌△MOE（SAS），∴∠MFN＝∠MOE＝60°，∵∠EMO＝45°，∴∠MEO＝180°﹣∠MOE﹣∠EMO＝180°﹣60°﹣45°＝75°．20．如图所示，已知△ABC中，AB＝AC，∠DBC＝∠D＝60°，AE平分∠BAC，若BD＝8cm，DE＝3cm，求BC的长．【解答】解：延长DE交BC于M，延长AE交BC于N，∵AB＝AC，AE平分∠BAC，∴AN⊥BC，BN＝CN，∵∠DBC＝∠D＝60°，∴△BDM为等边三角形，∴BD＝DM＝BM＝8cm，∵DE＝3cm，∴EM＝5cm，∵△BDM为等边三角形，∴∠DMB＝60°，∵AN⊥BC，∴∠ENM＝90°，∴∠NEM＝30°，∴NM＝2.5 cm，∴BN＝5.5 cm，∴BC＝2BN＝11（cm）．21．如图，AB ＝BD ，AE ＝EB ，∠ACB ＝∠ABC ，证明：CD ＝2CE ．【解答】证明：如图，延长CE 至点F ，使EF ＝CE ，连接BF ，在△BEF 和△AEC 中{BE =AE ∠BEF =∠AEC EF =CE∴△BEF ≌△AEC （SAS ），∴BF ＝AC ，∠FBE ＝∠A ，又∵∠ACB ＝∠ABC ，∴AB ＝AC ，∴BF ＝AC ＝AB ＝BD ，∠DBC ＝∠A +∠ACB ＝∠FBE +∠ACB ＝∠FBE +∠ABC ＝∠FBC ，CB ＝CB ， 在△CBF 和△CBD 中，{BF =BD ∠FBC =∠CBD CB =CB，∴△CBF ≌△CBD （SAS ），∴CD ＝CF ＝2CE ．。

3.3轴对称与坐标变化同步练习题A组(基础题)一、填空题1．(1)在平面直角坐标系中，点P(－3，－5)关于x轴对称的点的坐标是____．(2)若a－4＋|b－3|＝0，则点(a，b)关于y轴对称的点的坐标是____．(3)在平面直角坐标系中，已知点P1(a－1，6)和P2(3，b－1)关于x轴对称，则(a＋b)2 020的值为____1．2．如图，在平面直角坐标系中，写出△ABC关于y轴对称的△A′B′C′中点A′，B′的坐标分别是____，____．3．小王在求点A关于x轴对称的点的坐标时，由于把x轴看成y轴，结果是(2，－5)，那么正确的答案应该是____．4．在平面直角坐标系中，点P(4，2)关于直线x＝1对称的点的坐标是____．二、选择题5．在平面直角坐标系中，将点P(3，2)向下平移2个单位长度得到的点的坐标是（）A．(3，0) B．(1，2) C．(5，2) D．(3，4)6．在平面直角坐标系中，点P(－4，2)向右平移7个单位长度得到点P1，则点P1关于x轴对称的点P2的坐标是（）A．(－3，2) B．(－2，3) C．(3，－2) D．(2，－3) 7．如图，x轴是△AOB的对称轴，y轴是△BOC的对称轴，点A的坐标为(1，2)，则点C 的坐标为（）A．(－1，－2) B．(1，－2) C．(－1，2) D．(－2，－1) 8．在平面直角坐标系中，已知点P(a，3)在第二象限，则点P关于直线m(直线m上各点的横坐标都是2)对称的点的坐标是（）A．(－a，3) B．(a，－3) C．(－a＋2，3) D．(－a＋4，3) 9．如图，在平面直角坐标系中，点A(－1，0)与点B关于y轴对称，现将图中的“月牙①”绕点B顺时针旋转90°得到“月牙②”，则点A的对应点A′的坐标为（）A．(1，2) B．(1，－2) C．(－2，1) D．(2，－4)三、解答题10．如图，在平面直角坐标系中，△ABC的三个顶点坐标分别为A(2，1)，B(－1，3)，C(－3，2).(1)作出△ABC关于x轴对称的△A1B1C1.(2)点A1的坐标为____，点B1的坐标为____．B组(中档题)四、填空题11．点P(a，a－2)与点Q关于x轴对称，若PQ＝8，则点P的坐标为________．12．(1)如图，点P(－2，1)与点Q(a，b)关于直线l(y＝－1)对称，则a＋b＝____．(2)在平面直角坐标系中，点P(－3，2)关于第一、三象限角平分线对称的点的坐标是____．13．在平面直角坐标系中，已知A(0，2)，B(6，6)，x轴上有一动点P，则PA＋PB的最小值为____．14．在平面直角坐标系中，已知A(4，3)，B(2，1)，x轴上有一动点P，则PA－PB的最大值为____．15．在平面直角坐标系中，点P1坐标是(2，1)，点P2与P1关于y轴对称，P2与P3关于x 轴对称，P3与P4关于y轴对称，P4与P5关于x轴对称，……则点P2 020的坐标为____.五、解答题16．如图，在平面直角坐标系中，点A(－5，3)，B(－2，1)，C(－1，4).(1)在图中作出△ABC关于x轴对称的图形△A1B1C1.(2)写出点A1，B1，C1的坐标．(3)求△A1B1C1的面积．C组(综合题)17．如图，在平面直角坐标系中，直线l是第一、三象限的角平分线．(1)由图观察易知，A(0，2)关于直线l对称的点A′的坐标为(2，0).请在图中分别标明B(5，3)，C(－2，5)关于直线l的对称点B′，C′的位置，并写出它们的坐标：B′____、C′____．(2)结合图形，观察以上三组点的坐标，直接写出平面直角坐标系内任一点P(a，b)关于第一、三象限的角平分线l的对称点P的坐标为____．(3)已知两点D(1，－3)，E(－1，－4)，试在直线l上画出点Q，使△QDE的周长最小，并求出△QDE周长的最小值．参考答案3.3轴对称与坐标变化同步练习题2021-2022学年北师大版八年级数学上册A组(基础题)一、填空题1．(1)在平面直角坐标系中，点P(－3，－5)关于x轴对称的点的坐标是(－3，5)．(2)若a－4＋|b－3|＝0，则点(a，b)关于y轴对称的点的坐标是(－4，3)．(3)在平面直角坐标系中，已知点P1(a－1，6)和P2(3，b－1)关于x轴对称，则(a＋b)2 020的值为1．2．如图，在平面直角坐标系中，写出△ABC关于y轴对称的△A′B′C′中点A′，B′的坐标分别是(－2，4)，(3，－2)．3．小王在求点A关于x轴对称的点的坐标时，由于把x轴看成y轴，结果是(2，－5)，那么正确的答案应该是(－2，5)．4．在平面直角坐标系中，点P(4，2)关于直线x＝1对称的点的坐标是(－2，2)__．二、选择题5．在平面直角坐标系中，将点P(3，2)向下平移2个单位长度得到的点的坐标是（ A ）A．(3，0) B．(1，2) C．(5，2) D．(3，4)6．在平面直角坐标系中，点P(－4，2)向右平移7个单位长度得到点P1，则点P1关于x轴对称的点P2的坐标是（ C ）A．(－3，2) B．(－2，3) C．(3，－2) D．(2，－3) 7．如图，x轴是△AOB的对称轴，y轴是△BOC的对称轴，点A的坐标为(1，2)，则点C 的坐标为（ A ）A．(－1，－2) B．(1，－2) C．(－1，2) D．(－2，－1) 8．在平面直角坐标系中，已知点P(a，3)在第二象限，则点P关于直线m(直线m上各点的横坐标都是2)对称的点的坐标是（ D ）A．(－a，3) B．(a，－3) C．(－a＋2，3) D．(－a＋4，3) 9．如图，在平面直角坐标系中，点A(－1，0)与点B关于y轴对称，现将图中的“月牙①”绕点B顺时针旋转90°得到“月牙②”，则点A的对应点A′的坐标为（ A ）A．(1，2) B．(1，－2) C．(－2，1) D．(2，－4)三、解答题10．如图，在平面直角坐标系中，△ABC的三个顶点坐标分别为A(2，1)，B(－1，3)，C(－3，2).(1)作出△ABC关于x轴对称的△A1B1C1.(2)点A1的坐标为(2，－1)，点B1的坐标为(－1，－3)．解：如图所示．B组(中档题)四、填空题11．点P(a，a－2)与点Q关于x轴对称，若PQ＝8，则点P的坐标为(6，4)或(－2，－4)．12．(1)如图，点P(－2，1)与点Q(a，b)关于直线l(y＝－1)对称，则a＋b＝－5．(2)在平面直角坐标系中，点P(－3，2)关于第一、三象限角平分线对称的点的坐标是(2，－3)．13．在平面直角坐标系中，已知A(0，2)，B(6，6)，x轴上有一动点P，则PA＋PB的最小值为10．14．在平面直角坐标系中，已知A(4，3)，B(2，1)，x轴上有一动点P，则PA－PB的最大值为15．在平面直角坐标系中，点P 1坐标是(2，1)，点P 2与P 1关于y 轴对称，P 2与P 3关于x 轴对称，P 3与P 4关于y 轴对称，P 4与P 5关于x 轴对称，……则点P 2 020的坐标为(2，－1).五、解答题16．如图，在平面直角坐标系中，点A (－5，3)，B (－2，1)，C (－1，4).(1)在图中作出△ABC 关于x 轴对称的图形△A 1B 1C 1. (2)写出点A 1，B 1，C 1的坐标． (3)求△A 1B 1C 1的面积． 解：(1)△A 1B 1C 1如图所示．(2)A 1(－5，－3)，B 1(－2，－1)，C 1(－1，－4).(3)S △A 1B 1C 1＝3×4－12 ×2×3－12 ×4×1－12 ×1×3＝12－3－2－32 ＝112 .C 组(综合题)17．如图，在平面直角坐标系中，直线l 是第一、三象限的角平分线．(1)由图观察易知，A (0，2)关于直线l 对称的点A ′的坐标为(2，0).请在图中分别标明B (5，3)，C (－2，5)关于直线l 的对称点B ′，C ′的位置，并写出它们的坐标：B ′(3，5)、C ′(5，－2)．(2)结合图形，观察以上三组点的坐标，直接写出平面直角坐标系内任一点P (a ，b )关于第一、三象限的角平分线l 的对称点P 的坐标为(b ，a )．(3)已知两点D (1，－3)，E (－1，－4)，试在直线l 上画出点Q ，使△QDE 的周长最小，并求出△QDE 周长的最小值．解：由(2)得，D(1，－3)关于直线l的对称点D′的坐标为(－3，1)，连接D′E交直线l 于点Q，此时点Q到D，E两点的距离之和最小，即QE＋QD的最小值为D′E的长度．因为D′E＝D′M2＋ME2＝22＋52＝29，DE＝5，所以△QDE周长的最小值为29＋5.。

描述：初二数学上册(人教版)知识点总结含同步练习题及答案第十三章 轴对称 13.2 画轴对称图形一、学习任务1. 能够作一个图形关于一条直线的轴对称图形．体会轴对称和线段垂直平分线的性质．2. 在平面直角坐标系中，会求图形轴对称后的点坐标，能够用轴对称设计简单美观的图案．3. 感受轴对称的美，感受数学的美．二、知识清单轴对称 点的坐标与坐标系三、知识讲解1.轴对称轴对称相关概念如果一个平面图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形就叫做轴对称图形（axisymmentric figure ），这条直线就是它的对称轴（axis of symmetry ）．把一个图形沿着某一条直线折叠，如果它能够与另一个图形重合，那么就说这两个图形关于这条直线（成轴）对称，这条直线叫做对称轴，折叠后重合的点是对应点，叫做对称点（symmetric points ）．轴对称的性质① 如果两个图形关于某条直线对称，那么对称轴是任何一对对应点所连线段的垂直平分线；② 轴对称图形的对称轴，是任何一对对应点所连线段的垂直平分线．轴对称作图例题：下列图形成轴对称图形的有（ ）A. 个B. 个C. 个D. 个解：A．一个平面图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形就是轴对称图形，所以成轴对称图形有 个．54325如图，某小区花坛的形状是左右对称的六边形 ，若 ，则 的度数为（ ）A. B. C. D. 解：B．根据四边形内角和 ，可得 ，再根据轴对称的性质，．ABCDEF ∠AF C +∠BCF =150∘∠E +∠D 200∘210∘230∘250∘360∘∠A +∠B =−=360∘150∘210∘∠E +∠D =∠A +∠B =210∘作图题：（写出做法，保留作图痕迹）、 为 为 、 上的两个顶点，请你在 边上找一点 ，使 周长最小？分析：由于 的周长 ，而 是定值，故只需在 上找一点，使 最小．如果设 关于 的对称点为 ，所以只要使 最小即可．作法：① 作 关于 的对称点 ；② 连接 交 于 点；③ 连接 ，则 周长最小， 为所求．M N △ABC AB AC BC P P MN △P MN =P M +P N +MN MN BC P P M +P N M BC M ′P +P N M ′M BC M ′N M ′BC P MP △PMN P描述：2.点的坐标与坐标系有序数对有顺序的两个数 与 组成数对，叫做有序数对（ordered pair ），记作 ．当 时， 和 是不同的两个有序实数对．平面直角坐标系在平面内，两条互相垂直、原点重合的数轴，组成平面直角坐标系（rectangular coordinatesystem ）．水平的数轴称为 轴或横轴，习惯取向右为正方向，竖直的数轴称为 轴或纵轴，习惯取向上为正方向，两坐标轴的交点为平面直角坐标系的原点． 轴和 轴把坐标平面分成Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ、Ⅳ四个部分，每个部分称为象限（quadrant ），按逆时针顺序依次叫第一象限、第二象限、第三象限、第四象限．点的坐标对于平面内任意一点 ，过点 向 轴、 轴作垂线，垂足在 轴、 轴上对应的数 ，分别叫做点 的横坐标和纵坐标，有序数对 叫做点 的坐标，记作 ．坐标轴上的点不属于任何象限．点到坐标轴的距离点 到 轴的距离是点的纵坐标的绝对值，即 ；点 到 轴的距离是点的横坐标的绝对值，即 ．各象限的点的坐标点 在第一象限 ，；点 在第二象限 ，；点 在第三象限 ，；点 在第四象限 ，．坐标轴上点的坐标点 在 轴上， 为任意实数；点 在 轴上， 为任意实数；点 既在 轴上，又在 轴上，，即点 的坐标为 ．象限角平分线上的点当点在第一、三象限夹角平分线上时，则点的横纵坐标相等；当点在第二、四象限夹角平分线上时，则点的横纵坐标互为相反数．a b （a ,b ）a ≠b(a ,b )(b ,a )x y x y P P x y x y a b P （a ,b ）P P （a ,b ）P (a ,b )x |b |P (a ,b )y |a |P (x ,y )⇔x >0y >0P (x ,y )⇔x <0y >0P (x ,y )⇔x <0y <0P (x ,y )⇔x >0y <0P (x ,y )x ⇔y =0x P (x ,y )y ⇔x =0y P (x ,y )x y ⇔x =0y =0P (0,0)例题：平行于坐标轴的直线上的点平行于 轴直线上的两点，其纵坐标相等，横坐标不相等；平行于 轴直线上的两点，其横坐标相等，纵坐标不相等．关于 轴、 轴、原点对称的点① 两点关于 轴对称 两点坐标横坐标相同，纵坐标互为相反数；② 两点关于 轴对称 两点坐标横坐标互为相反数，纵坐标相同；③ 两点关于原点对称 两点坐标横坐标互为相反数，纵坐标互为相反数．点的平移平移口诀：在横坐标上左减右加，在纵坐标上上加下减．x yx yx⇔y⇔⇔如果将一张“ 排 号”的电影票简记为 ，那么 表示的电影票是___排___号．解：，．68(6,8)(15,20)1520如图，写出 、、、 各点的坐标．解：，，，．A B C DA(1,1)B(3,−2)C(−4,4)D(−2,−3)若点 在第二象限，则：（1） 点 在第___象限；（2） 点 在第___象限；（3） 点 在第___象限；（4） 点 在第___象限．解：（1）三；（2）一；（3）四；（4）四．先根据第二象限点的横、纵坐标的特点，判断 ， 的符号，再判断其余点所在的象限．P(a,b)(a,−b)P1(−a,b)P2(−a,−b)P3(b,a)P4a b点 到 轴的距离为____，到 轴的距离为_____．解：；．到 轴的距离就是该点纵坐标的绝对值，到 轴的距离就是该点横坐标的绝对值．P(5,−6)x y65x y已知：点 、，若 轴，则 _____；若 轴，则 _____．解： ；．过 、 两点的直线平行于 轴，显然两点的纵坐标相同，所以 ．同理，当 轴时，可知 ．E(a,1)F(−3,b)EF∥x b=EF∥y a= 1−3E F x b=1EF∥ya=−3在平面直角坐标系，点 关于 轴对称的点的坐标为_____，关于 轴对称的点的坐标为_____，关于原点对称的点的坐标为_____．解：；；．A(2,3)x y(2,−3)(−2,3)(−2,−3)在平面直角坐标系，点 向上平移 个单位长度，向右平移 个单位长度后的坐标是_______．P(−1,2)13四、课后作业 （查看更多本章节同步练习题，请到快乐学）解：．在横坐标上左减右加，在纵坐标上上加下减．(2,3)答案：1. 如图，有一矩形纸片 ，将纸片折叠，使 边落在 边上，折痕为 ，再将 以 为折痕向右折叠， 与 交于点 ，则 的面积为．A ．B ．C ．D ．C ABCD ,AB =10,AD =6AD AB AE △AED DE AE BC F △CEF ()46810答案：2. 如图，在坐标平面上， 为直角三角形， ， 垂直 轴， 为 的外心．若点坐标为 ， 点坐标为 ，则 点坐标为 ．A ．B ．C ．D ．B △ABC ∠B =90∘AB x M △ABC A (3,4)M (−1,1)B ()(3,−1)(3,−2)(3,−3)(3,−4)答案：3. 下列图形中，轴对称图形的个数是 ．A ．B ．C ．D ．B ()12344. 如图，正方形地砖的图案是轴对称图形，该图形的对称轴有 ．()高考不提分，赔付1万元，关注快乐学了解详情。

2022-2023学年人教版八年级数学上册《第13章轴对称》单元综合测试题（附答案）一．选择题（共8小题，满分32分）1．在一些美术字中，有的汉字是轴对称图形，下面4个汉字中，可以看作是轴对称图形的是（）A．B．C．D．2．如图，△ABC中，AB＝AC、∠ABC＝72°，CD∥AB，BD交AC于E，且CE＝DE，则∠D的度数是（）A．.36°B．30°C．.22.5°D．40°3．如图，在△ABC中，∠C＝90°，AP是角平分线，AP＝5，CP＝2，则P到AB的距离是（）A．5B．2C．3D．44．等腰三角形两边长分别为3和6，则该三角形的周长为（）A．12B．15C．12或15D．条件不够无法计算5．如图，∠ABC是一个锐角，以点A为圆心，适当长度为半径画弧，交射线BC于点D，E．若∠ABC＝40°，∠BAD＝25°，则∠DAE的度数是（）A．40°B．50°C．60°D．70°6．如图，在△ABC中，边AB，AC的垂直平分线交于点P，连结BP，CP，若∠A＝50°，则∠BPC＝（）A．50°B．100°C．130°D．150°7．如图，已知长方形纸片ABCD，点E，F在AD边上，点G，H在BC边上，分别沿EG，FH折叠，使点D和点A都落在点M处，若α+β＝118°，则∠EMF的度数为（）A．56°B．58°C．60°D．62°8．如图，在△ABC中，∠A＝90°，BE是△ABC的角平分线，ED⊥BC于点D，CD＝4，△CDE周长为12，则AC的长是（）A．14B．8C．16D．6二．填空题（共8小题，满分40分）9．已知三角形的三边长分别为5、a、10，则a的取值范围是；如果这个三角形中有两条边相等，那么它的周长为．10．等腰三角形的一个底角为50°，则该等腰三角形的顶角度数为度．11．如图，将一张长方形纸片ABCD沿EF折叠，使点D与点B重合，点C落在C′的位置上，若∠BFE＝68°，则∠ABE的度数为．12．如图，在△ABC中，AB＝AC，且AE＝AD，∠EDC＝α，则∠BAD＝．13．如图，点P为∠AOB内一点，分别作出P点关于OA，OB的对称点P1，P2，连结P1P2交OA于M，交OB于N，若线段P1P2的长为12cm，则△PMN的周长为cm．14．如图，在直角三角形ABC中，∠C＝90°，点D在AB上，点G在BC上，将△BDG 沿直线DG翻折后，点B落在点F处，联结DF，如果DF∥AC，那么∠B与∠BDG的数量关系是．15．如图，三角形纸片ABC中，∠A＝65°，∠B＝75°，将纸片的一角折叠，使点C落在△ABC内，则∠1+∠2＝度．16．如图，在四边形ABCD中，∠BCD＝50°，∠B＝∠D＝90°，在BC、CD上分别取一点M、N，使△AMN的周长最小，则∠MAN＝°．三．解答题（共7小题，满分48分）17．如图，∠AOB＝40°，点D在OA边上，点C，E在OB边上，连接CD，DE．若OC ＝OD＝DE，求∠CDE的度数．18．如图，已知M、N分别是∠AOB的边OA上任意两点．（1）尺规作图：作∠AOB的平分线OC；（2）在∠AOB的平分线OC上求作一点P，使PM+PN的值最小．（保留作图痕迹，不写画法）19．如图，在△ABC中，∠ABC＝20°，∠ACB＝65°，DE，FG分别为AB，AC的垂直平分线，E，G分别为垂足．（1）求∠DAF的度数．（2）若BC的长为50，求△DAF的周长．20．在8×6的网格中，A，B，C是格点，D是AB与网格线的交点，仅用无刻度的直尺在给定网格中完成画图，画图过程用虚线表示：（1）在线段AC上取点E，使DE＝CD；（2）画格点F，使EF∥AB；（3）画点E关于AB的对称点G；（4）在射线AG上画点P，使∠PDE与∠GAE互补．21．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝6，BC＝8，将△ACB沿CD折叠，使点A 恰好落在BC边上的点E处．（1）求△BDE的周长；（2）若∠B＝37°，求∠CDE的度数．22．如图，在△ABC中，AB＝AC，AB的垂直平分线交AB于点N，交AC于点M．（1）若∠B＝70°，求∠BAC的大小．（2）连接MB，若AB＝8cm，△MBC的周长是14cm．①求BC的长；②在直线MN上是否存在点P，使PB+CP的值最小，若存在，标出点P的位置并求PB+CP的最小值，若不存在，说明理由．23．如图，点D在等边△ABC的外部，E为BC边上的一点，AD＝CD，DE交AC于点F，AB∥DE．（1）判断△CEF的形状，并说明理由；（2）若BC＝10，CF＝4，求DE的长．参考答案一．选择题（共8小题，满分32分）1．解：A．风，不是轴对称图形，故此选项不合题意；B．和，不是轴对称图形，故此选项不合题意；C．日，是轴对称图形，故此选项符合题意；D．丽，不是轴对称图形，故此选项不合题意；故选：C．2．解：∵AB＝AC，∠ABC＝72°，∴∠ACB＝∠ABC＝72°，∵CD∥AB，∴∠BCD＝180°﹣∠ABC＝108°，∴∠ACD＝∠BCD﹣∠ACB＝36°，∵CE＝DE，∴∠D＝∠ACD＝36°，故选：A．3．解：过P作PD⊥AB于D，∵∠C＝90°，∴PC⊥AC，∴AP平分∠CAB，∴PD＝PC，∵PC＝2，∴PD＝2，∴点P到边AB的距离是2，故选：B．4．解：当等腰三角形的腰为3时，三边为3，3，6，3+3＝6，三边关系不成立，当等腰三角形的腰为6时，三边为3，6，6，三边关系成立，周长为3+6+6＝15．故选：B．5．解：根据题意，得AD＝AE，∴∠ADE＝∠AED，∵∠ABC＝40°，∠BAD＝25°，∴∠ADE＝40°+25°＝65°，∴∠AED＝65°，∴∠DAE＝180°﹣65°﹣65°＝50°，故选：B．6．解：连接AP，延长BP交AC于D，∴∠BPC＝∠PDA+∠ACP＝∠BAC+∠ABP+∠ACP，∵点P是AB，AC的垂直平分线的交点，∴P A＝PB＝PC，∴∠ABP＝∠BAP，∠ACP＝∠CAP，∴∠BPC＝∠BAC+∠BAP+∠CAP＝∠BAC+∠BAC＝2∠BAC＝2×50°＝100°，故选B．7．解：∵AD∥BC，∴∠DEG＝α，∠AFH＝β，∴∠DEG+∠AFH＝α+β＝118°，由折叠得：∠DEM＝2∠DEG，∠AFM＝2∠AFH，∴∠DEM+∠AFM＝2×118°＝236°，∴∠FEM+∠EFM＝360°﹣236°＝124°，在△EFM中，∠EMF＝180°﹣（∠FEM+∠EFM）＝180°﹣124°＝56°，故选：A．8．解：∵BE是△ABC的角平分线，ED⊥BC，∠A＝90°，∴AE＝DE，∵△CDE的周长为12，CD＝4，∴DE+EC＝8，∴AC＝AE+EC＝8，故选：B．二．填空题（共8小题，满分40分）9．解：根据三角形的三边关系可得：10﹣5＜a＜10+5，即5＜a＜15，∵这个三角形中有两条边相等，∴a＝10或a＝5（不符合三角形的三边关系，不合题意，舍去）∴周长为5+10+10＝25，故答案为：5＜a＜15；25．10．解：∵等腰三角形底角相等，∴180°﹣50°×2＝80°，∴顶角为80°．故答案为：80．11．解：∵AD∥BC，∴∠DEF＝∠BFE＝68°，根据折叠的性质得，∠BEF＝∠DEF＝68°，∴∠AEB＝180°﹣∠BEF﹣∠DEF＝180°﹣68°﹣68°＝44°，∵∠A＝90°，∴∠ABE＝90°﹣44°＝46°，故答案为：46°．12．解：∵∠AED＝∠C+∠EDC＝∠C+α，AE＝AD，∴∠ADE＝∠AED＝∠C+α，∴∠ADC＝∠C+2α，∵AB＝AC，∴∠B＝∠C，∴∠BAD＝∠ADC﹣∠B＝∠ADC﹣∠C＝∠ADC﹣（∠C+2α）＝2α．故答案为：2α．13．解：∵P点关于OA、OB的对称点P1，P2，∴NP＝NP2，MP＝MP1，∴△PMN的周长＝PN+MN+MP＝P2N+NM+MP1＝P1P2＝12cm，故答案为：12．14．解：∠B与∠BDG的数量关系是：∠B+2∠BDG＝90°，∵AC∥DF，∴∠DEB＝∠C＝90°，∴∠B+∠FDB＝90°，由翻折可得：∠BDG＝∠FDG，∴∠B+2∠BDG＝90°，故答案为：∠B+2∠BDG＝90°．15．解：延长AF、BE交于点D，∵∠A＝65°，∠B＝75°，∴∠D＝180°﹣∠A﹣∠B＝40°，∴∠DFE+∠DEF＝180°﹣∠D＝140°，∵将纸片的一角折叠，使点C落在△ABC内，∴∠CFE＝∠DFE，∠CEF＝∠DEF，∴∠DFC+∠DEC＝2（∠DFE+∠DEF）＝280°，∴∠1+∠2＝（180°﹣∠DFC）+（180°﹣∠DEC）＝360°﹣（∠DFC+∠DEC）＝360°﹣280°＝80°，故答案为：80．16．解：如图，作点A关于BC、CD的对称点A1、A2，连接A1、A2分别交BC、DC于点M、N，连接AM、AN，则此时△AMN的周长最小，∵∠BCD＝50°，∠B＝∠D＝90°，∴∠BAD＝360°﹣90°﹣90°﹣50°＝130°，∴∠A1+∠A2＝180°﹣130°＝50°，∵点A关于BC、CD的对称点为A1、A2，∴NA＝NA2，MA＝MA1，∴∠A2＝∠NAD，∠A1＝∠MAB，∴∠NAD+∠MAB＝∠A1+∠A2＝50°，∴∠MAN＝∠BAD﹣（∠NAD+∠MAB）＝130°﹣50°＝80°，故答案为：80°．三．解答题（共7小题，满分48分）17．解：∵OC＝OD，∴∠OCD＝∠ODC，∵∠AOB＝40°，∴∠ODC＝（180°﹣∠AOB）÷2＝（180°﹣40°）÷2＝70°，∵OD＝DE，∴∠OED＝∠AOB＝40°，∴∠ODE＝180°﹣40°×2＝100°，∴∠CDE＝∠ODE﹣∠ODC＝100°﹣70°＝30°．18．解：（1）如图1所示，OC即为所求作的∠AOB的平分线．（2）如图2，作点M关于OC的对称点M′，连接M′N交OC于点P，则点P即为所求．19．解：（1）∵∠ABC＝20°，∠ACB＝65°，∴∠BAC＝180°﹣∠ABC﹣∠ACB＝95°，∵DE，FG分别为AB，AC的垂直平分线，∴DA＝DB，F A＝FC，∴∠DAB＝∠ABC＝20°，∠F AC＝∠ACB＝65°，∴∠DAF＝∠BAC﹣∠DAB﹣∠F AC＝10°；（2）由（1）可知，DA＝DB，F A＝FC，∴△DAF的周长＝DA+DF+F A＝DB+DF+FC＝BC＝50．20．解：（1）如图，点E即为所求；（2）如图，线段EF即为所求；（3）如图，点G即为所求；（4）如图，点P即为所求．21．解：（1）由折叠可得，AC＝CE，DE＝AD，∵AC＝6，BC＝8，∴CE＝6，AB＝10，∵BC＝8，∴BE＝2，∴△BDE的周长＝DE+EB+BD＝AD+BD+EB＝AB+EB，∵AB＝10，∴△BDE的周长＝10+2＝12；（2）∵∠B＝37°，∴∠CED＝37°+∠BDE，∵∠A＝∠CED，∴∠CED＝37°+∠BDE，∵∠ACB＝90°，∴37°+∠BDE+37°＝90°，∴∠BDE＝16°，∴∠ADE＝180°﹣16°＝164°，∴∠CDE＝∠ADE＝82°．22．解：（1）∵AB＝AC，∠B＝70°，∴∠BAC＝180°﹣70°×2＝40°；（2）∵MN垂直平分AB．∴MB＝MA，又∵△MBC的周长是14cm，∴AC+BC＝14cm，∴BC＝6cm．（3）当点P与点M重合时，PB+CP的值最小，为AC长，最小值是8cm．23．解：（1）△CEF是等边三角形，理由：∵△ABC是等边三角形，∴∠ABC＝∠ACB＝∠BAC，∵AB∥DE，∴∠CEF＝∠ABC，∠CFE＝∠CAB，∴∠CEF＝∠CFE＝∠ECF∴△CEF是等边三角形；（2）连接BD，∵△ABC是等边三角形，∴AB＝BC＝AC，∵AD＝CD，∴BD是线段AC的垂直平分线，∴BD平分∠ABC，∴∠ABD＝∠CBD，∵AB∥DE∴∠ABD＝∠BDE，∴∠BDE＝∠CBD，∴BE＝DE，∴BC＝BE+EC＝DE+CF∴DE＝BC﹣CF＝10﹣4＝6．。