上海市2018届高三数学复习数学归纳法与数列极限专题练习

2018年高考数学 数列 综合题专项练习一、选择题：1.在等差数列{a n }中，S n 为其前n 项和，若34825a a a ++=，则9S =( ) A.60 B.75 C.90 D.1052.已知数列{a n }为等差数列，其前n 项和为S n ，7825a a -=，则11S 为（ ） A.110 B.55 C.50 D.不能确定3.若数列{a n }，{b n }的通项公式分别为a a n n ∙-=+2016)1(，nb n n 2017)1(2+-+=，且n n b a <，对任意*∈N n 恒成立，则实数a 的取值范围是( )A.)21,1[- B.[-1,1） C.[-2,1) D.)23,2[- 二、填空题：4.已知等差数列{a n }的公差d ≠0，若a 21＋a 2=1，a 22＋a 3=1，则a 1=________.5.已知{a n }是等差数列，S n 是其前n 项和.若a 1+a 22=－3，S 5=10，则a 9的值是 . 三、解答题：6.已知等差数列{a n }的前n 项和为S n ，a 1=1＋2，S 3=9＋32. (1)求数列{a n }的通项公式及其前n 项和； (2)设b n =nS n，求证：数列{b n }中任意不同的三项都不可能成等比数列.7.已知数列{a n }的前n 项和1n n S a λ=+，其中λ错误！未找到引用源。

0. （1）证明{a n }是等比数列，并求其通项公式. （2）若53132S =，求λ.8.已知数列{a n }的前n 项和为S n ，a 1=1，且3S n =a n+1﹣1. （1）求数列{a n }的通项公式；（2）设等差数列{b n }的前n 项和为T n ，a 2=b 2，T 4=1+S 3，求的值.9.已知各项都为正数的数列{a n }满足a 1=1，211(21)20n n n n a a a a ++---=.（1）求23,a a ；（2）求{}n a 的通项公式.10.已知数列{a n }中，a 1=4，a n =a n ﹣1+2n ﹣1+3（n ≥2，n ∈N *）.（1）证明数列{a n ﹣2n}是等差数列，并求{a n }的通项公式；（2）设b n =，求b n 的前n 和S n .11.已知{a n }是各项均为正数的等比数列，且a 1+ a 2 =6, a 1a 2= a 3 （1）求数列{a n }通项公式；（2）{b n }为各项非零的等差数列，其前n 项和为S n 。

数列（2018秋6）记等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，若30a =，6714a a +=，则7S = 答案：14（2018春5）已知{}n a 是等差数列，若2810a a +=，则357a a a ++=__________．答案：1（2017秋15）已知数列*2,N n c bn an x n ∈++=，使得100200300,,k k k x x x +++成等差数列的必要条件是 （ ）A. 0≥aB. 0≤bC. 0=cD. 02=+-c b a 答案：A（2013年文22）已知函数，无穷数列满足，．（1）若，求；（2）若，且成等比数列，求的值；（3）是否存在，使得12,,,,n a a a 成等差数列？若存在，求出所有这样的1a ；若不存在，说明理由．解：（1）22a =，30a =，42a =．（2）21122a a a =-=-，321222a a a =-=--．① 当102a <≤时，()31122a a a =--=，所以()22112a a =-，得11a =．② 当12a >时，()311224a a a =--=-，所以()()211142a a a -=-，得12a =去）或12a =综合①②得11a =或12a =．（3）假设这样的等差数列存在，那么212a a =-，3122a a =--．由2132a a a =+得111222a a a -+-=（*）． 以下分情况讨论：()2f x x =-{}n a 1()n n a f a +=*n N ∈10a =234,,a a a 10a >123,,a a a 1a 1a① 当12a >时，由（*）得10a =，与12a >矛盾； ② 当102a <≤时，由（*）得11a =，从而1n a = ()1,2,n =，所以{}n a 是一个等差数列；③ 当10a ≤时，则公差()2111220da a a a =-=+-=>，因此存在2m ≥使得()1212m a a m =+->．此时120m m m m d a a a a +=-=--<，矛盾．综合①②③可知，当且仅当11a =时，123,,a a a 构成等差数列．（2013理23）给定常数，定义函数．数列123,,,a a a 满足，．（1）若，求及；（2）求证：对任意，；（3）是否存在，使得12,,,,n a a a 成等差数列？若存在，求出所有这样的；若不存在，说明理由．解：（1）232,10a a c ==+．（2）()8,33+8,8,x c f x x c x c ++⎧⎪=+⎨⎪---⎩,4,4.x c c x c x c ≥---≤<-<--当n a c ≥-时，18n n a a c c +-=+>； 当4n c a c --≤<-时，()12382438n n n a a a c c c c +-=++≥--++=；当4n a c <--时，()128248n nn a a a c c c c +-=---≥-----=．0c >()24f x x c x c=++-+1()n n a f a +=*n N ∈12a c =--2a 3a *n N ∈1n n a a c +-≥1a 1a所以，对任意n N *∈，1n n a a c +-≥．方法二： 要证：24x c x c x c ++-+-≥ 24x c x c x c ++≥+++当0x c +<时，等式右边为0，不等式显然成立 当0x c +≥时，等式化为()()242x c x c ++≥+显然 （3）由（2），结合0c >得1n n a a +>，即{}n a 为无穷递增数列．又{}n a 为等差数列，所以存在正数M ，当n M >时，nac ≥-，从而，1()8n n n a f a a c +==++．由于{}n a 为等差数列，因此其公差8d c =+．① 若14a c <--，则211()8a f a a c ==---，又2118a a d a c =+=++，故1188a c a c ---=++，即18a c =--，从而20a =． 当2n ≥时，由于{}n a 为递增数列，故20naa c ≥=>-，所以，1()8n n n a f a a c +==++，而218aa c =++，故当18a c =--时，{}n a 为无穷等差数列，符合要求；② 若14c a c --≤<-，则211()338a f a a c ==++，又2118aa d a c =+=++，所以，113388a c a c ++=++，得1a c =-，舍去； ③ 若1a c ≥-，则由1n a a ≥得到1()8n n n a f a a c +==++，从而{}n a 为无穷等差数列，符合要求．综上，1a 的取值集合为[){},8c c -+∞--．（2015理17）记方程①：2110x a x ++=，方程②：2220x a x ++=，方程③：2340x a x ++=，其中123,,a a a 是正实数．当123,,a a a 成等比数列时，下列选项中，能推出方程③无实根的是（ ）A ．方程①有实根，且②有实根B ．方程①有实根，且②无实根C ．方程①无实根，且②有实根D ．方程①无实根，且②无实根 答案：B（2011理18）设{}n a 是各项为正数的无穷数列，i A 是边长为1,ii a a+的矩形面积（1,2,i =），则{}n A 为等比数列的充要条件为 （ ）A {}n a 是等比数列B 1321,,,,n a a a -或242,,,,n a a a 是等比数列C 1321,,,,n a a a -和242,,,,n a a a 均是等比数列D 1321,,,,n a a a -和242,,,,n a a a 均是等比数列，且公比相同答案：D（2016文22）对于无穷数列{}n a 与{}n b ，记*{|,}n A x x a n N ==∈，*{|,}n B x x b n N ==∈，若同时满足条件：① {}n a ，{}n b 均单调递增；② A B =∅且*AB N =，则称{}n a 与{}n b 是无穷互补数列．（1）若21n a n =-，42n b n =-，判断{}n a 与{}n b 是否为无穷互补数列，并说明理由；（2）若2n na =且{}n a 与{}nb 是无穷互补数列，求数列{}n b 的前16项的和；（3）若{}n a 与{}n b 是无穷互补数列，{}n a 为等差数列，且1636a =，求{}n a 与{}n b 的通项公式．【解】（1）因为4,4A B ∉∉，所以4A B ∉，从而{}n a 与{}n b 不是无穷互补数列．（2）因为416a =，所以416420b =+=．数列{}n b 的前16项的和为：2345120(1220)(2222)20(22)1802++++-+++=⨯--=． （3）设{}n a 的公差为,d d N *∈，则1611536a a d =+=．由136151a d =-≥，得1d =或2． 若1d =，则121a =，20n a n =+，与“{}n a 与{}n b 是无穷互补数列”矛盾；若2d =，则16a =，24n a n =+，,525,5n n n b n n ≤⎧=⎨->⎩．综上，24na n =+，,525,5n n n b n n ≤⎧=⎨->⎩．（2014年理23）已知数列满足1133n n n a a a +≤≤，*n N ∈，11a =．（1）若2342,,9a a x a ===，求x 的取值范围；（2）设{}n a 是公比为q 的等比数列，12n n S a a a =+++．若1133n n n S S S +≤≤，*n N ∈，求q 的取值范围； （3）若12,,,k a a a 成等差数列，且121000k a a a +++=，求正整数k 的最大值，以及k 取最大值时相应数列12,,,k a a a 的公差．解：（1）由条件得263x ≤≤且933xx ≤≤，解得36x ≤≤．所以x 的取值范围是[3,6]x ∈． （2）由133n n a a ≤，且110n n a a q -=≠，得0n a >，所以113n n S S +≤．又1133n n n a a a +≤≤，所以133q ≤≤．当1q =时，nS n =，11n Sn +=+，由13n n +≤得13n n S S +≤成立．当1q ≠时，13n n S S +≤．即111311n nq q q q+--≤⋅--． {}n a① 若13q <≤，则(3)2n q q -≥．由nq q ≥，n N *∈，得(3)2q q -≥，所以12q <≤． ② 若113q ≤<，则(3)2n q q -≤．由n q q ≤，n N *∈，得(3)2q q -≤，所以113q ≤<．综上，q 的取值范围为1,23⎡⎤⎢⎥⎣⎦． （3）设12,,k a a a 的公差为d ．由1133n n n a a a +≤≤，且11a =，得1[1(1)]13[1(1)]3n d nd n d +-≤+≤+-，1,2,,1n k =-．即(21)(23)2,nd nd +≥-⎧⎨-≥-⎩1,2,,1n k =-．当1n =时，223d -≤≤； 当2,,1n k =-时，由222123n n -->+-，得221d n -≥+，所以22213d k -≥≥--．所以()()111210002221k k k k ka d k k ---=+≥+⋅-，即2200010000k k -+≤，得1999k ≤． 所以k 的最大值为1999，1999k =时，12,,k a a a 的公差为11999-．（2014文23）已知数列{}n a 满足1113,,13n n n a a a n N a *+≤≤∈=．（1）若1342,,9a a x a ===，求x 的取值范围；（2）设{}n a 是等比数列，且11000m a =，求正整数m 的最小值，以及m 取最小值时相应{}n a 的公比； （3）若12100,,,a a a 成等差数列，求数列12100,,,a a a 的公差的取值范围．解：（1）由条件得263x ≤≤且933xx ≤≤，解得36x ≤≤．所以x 的取值范围是[3,6]x ∈． （2）设{}n a 的公比为q ．由133n n a a ≤，且110n n a a q -=≠，得0n a >．因为1133n n n a a a +≤≤，所以133q ≤≤．从而111111()10003m m m a q q ---==≥，131000m -≥，解得8m ≥．8m =时，1[,3]3q =．所以，m 的最小值为8，8m =时，{}n a（3）设数列12100,,a a a 的公差为d ．由133n n n a a d a ≤+≤，223n n a d a -≤≤，1,2,,99n =．① 当0d >时，999821a a a a >>>>，所以102d a <≤，即02d <≤．② 当0d =时，999821a a a a ====，符合条件．③当d <时，9998a aaa <<<<，所以9999223a d a -≤≤，2(198)2(198)3d d d -+≤≤+， 又0d <，所以20199d -≤<．综上，12100,,a a a 的公差的取值范围为2[,2]199-．（2012文14）已知，各项均为正数的数列满足，，若，则的值是 ．答案：解：由，，得， 由，得，，，，，依次类推，得全体偶数项相等， 所以 （2017春21）已知函数()21log 1xf x x+=- （1）解方程()1f x =；（2）设()()1,1,1,,x a ∈-∈+∞ 证明：()11,1ax a x -∈--，且()11ax f f x f a x a -⎛⎫⎛⎫-=- ⎪ ⎪-⎝⎭⎝⎭；1()1f x x=+{}n a 11a =2()n n a f a +=20102012a a =2011a a +265133+11a =2()n n a f a +=312a =579112358,,,35813a a a a ====2()n n a f a +=211n n a a +=-20102012a a =2010201220101111a a a =-=-201012a -=20082010201011a a a =-=22010a a =2011813a a +==（3）在数列{}n x 中，()11,1x ∈-，()113113n n n nx x x ++-=--，n N *∈，求1x 的取值范围，使得3n x x ≥对任意n N *∈成立答案：（1）13x =； （3）11,3⎛⎤- ⎥⎝⎦；（2016理11）无穷数列{}na由k个不同的数组成，nS为{}n a的前n项和.若对任意*∈Nn，{}3,2∈n S ，则k 的最大值为______________.答案：4（2018春15）记n S 为数列{}n a 的前n 项和．“{}n a 是递增数列”是“n S 为递增数列”的（ ） （A ）充分非必要条件 （B ）必要非充分条件 （C ）充要条件（D ）既非充分也非必要条件答案：D（2015理22文23）已知数列{a n }与{b n }满足a n +1﹣a n =2（b n +1﹣b n ），n ∈N *． （1）若b n =3n+5，且a 1=1，求数列{a n }的通项公式； （2）设{a n }的第0n 项是最大项，即0n n a a ≥（n ∈N *），求证：数列{b n }的第0n 项是最大项；（3）设a 1=λ＜0，b n =λn（n ∈N *），求λ的取值范围，使得{a n }有最大值M 与最小值m ，且()2,2Mm∈-． 答案：（1）65n - ；（3）1,02⎛⎫- ⎪⎝⎭（2016年理23）若无穷数列{}n a 满足：只要*(,)p q a a p q N =∈，必有11p q a a ++=，则称{}n a 具有性质P .（1）若{}n a 具有性质P ，且12451,2,3,2a a a a ====，67821a a a ++=，求3a ；（2）若无穷数列{}n b 是等差数列，无穷数列{}n c 是公比为正数的等比数列，151b c ==，5181b c ==，n n n a b c =+判断{}n a 是否具有性质P ，并说明理由；（3）设{}n b 是无穷数列，已知*1sin ()n n n a b a n N +=+∈.求证：“对任意1,{}n a a 都具有性质P ”的充要条件为“{}n b 是常数列”.答案：（1）316a =；（2）由于15a a =，但26a a ≠，故{}n a 不具有性质P ；（3）证明：必要性：若对于任意1a ，{}n a 都具有性质P ，则211sin a b a =+，设函数()()1,sin ,f x x b g xx =-= 由()(),f x g x 图像可得，对于任意的1b ，二者图像必有一个交点，所以一定能找到1a ，使得111sin a b a -=，所以2111sin a b a a =+=，所以1n n a a +=，故1211sin sin n n n n n n b a a a a b ++++=-=-=，故{}n b 是常数列（2013理1）计算：20lim 313n n n →∞+=+ ．答案：13（2018秋10）设等比数列{}n a 的通项公式为1n n a q -=（*n N ∈），前n 项和为n S ，若11lim2n n n S a →∞+=，则q =答案：3（2017年春 8）已知数列{}n a 的通项公式为3nn a =，则12lim nn na a a a →∞+++=______答案：32（2015理18文18）设是直线与圆在第一象限的交点，则极限（ ） A 、 B 、 C 、 D 、 解：当时，直线趋近于，与圆在第一象限的交点无限靠近，而可看成点与连线的斜率，其值会无限接近圆在点处的切线的斜率，其斜率为，∴ （2013文18）记椭圆221441x ny n +=+围成的区域（含边界）为(1,2,)n n Ω=，当点(,)x y 分别在12,,ΩΩ上时，x y +的最大值分别是12,,M M ，则lim n n M →∞=（ ）A ． 0B ．14C ． 2D ． (),n n n P x y ()2N 1nx y n n *-=∈+222x y +=1lim1n n n y x →∞-=-1-12-12n →∞21n x y n -=+21x y -=221x y +=()1,111n n y x --(),n n n P x y ()1,1222x y +=()1,11-1lim11n n n y x →∞-=--答案：D（2016理17）已知无穷等比数列}n a 的公比为q ，前n 项和为n S ，且S Snn =∞→lim .下列条件中，使得()*∈<N n S S n2恒成立的是（ ）（A ）7.06.0,01<<>q a （B ）6.07.0,01-<<-<q a （C ）8.07.0,01<<>q a （D ）7.08.0,01-<<-<q a答案：B思考：1,a q 需要满足____________答案：110,0,22a q ⎛⎫⎛⎫<∈- ⎪⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ （2014理8文10）设无穷等比数列{}n a 的公比为q ，若()134l i m nn a a a a →∞=+++，则q =___知识点13：数列与函数的性质结合（2009文13）已知函数．项数为27的等差数列满足,且公差． 若，则当= ．时,．答案：14 （2015理13）已知函数()sin f x x =．若存在12,,,m x x x 满足1206m x x x π≤<<<≤，且()()()()()()()12231122,m m f x f x f x f x f x f x m m N *--+-++-=≥∈，则m的最小值为 ． 答案：8（2012文18）若（），则在中，正数的个数是（ ）A ．16B ．72C ．86D ．100 答案；Cx x tan sin +{}n a ⎪⎭⎫⎝⎛-∈22ππ，n a 0≠d 0)()()(2721=+⋯++a f a f a f k0)(=k a f 2sin sin...sin 777n n S πππ=+++n N *∈12100,,...,S S S（2012理18）设，，在中，正数的个数是（ ）A ．25B ．50C ．75D ．100 答案：D（2013理17）在数列{}n a 中，21n na =-．若一个7行12列的矩阵的第i 行第j 列的元素,i j i j i j c a a a a =⋅++（1,2,,7i =；1,2,,12j =），则该矩阵元素能取到的不同数值的个数为（ ）A ．18B ． 28C ． 48D ． 63 答案：A（2018秋21）给定无穷数列{}n a ，若无穷数列{}n b 满足：对任意*n N ∈，都有||1n n b a -≤，则称{}n b 与{}n a “接近”. （1）设{}n a 是首项为1，公比为12的等比数列，11n n b a +=+，*n N ∈，判断数列{}n b 是否与{}n a 接近，并说明理由；（2）设数列{}n a 的前四项为：11a =，22a =，34a =，48a =，{}n b 是一个与{}n a 接近的数列，记集合{|,1,2,3,4}i M x x b i ===，求M 中元素的个数m ；（3）已知{}n a 是公差为d 的等差数列，若存在数列{}n b 满足：{}n b 与{}n a 接近，且在21b b -，32b b -，⋅⋅⋅，201200b b -中至少有100个为正数，求d 的取值范围.解析：（1）1112n n nb a -=-≤，所以{}n b 与{}n a “接近”； （2）[]10,2b ∈，[]21,3b ∈，[]33,5b ∈，[]47,9b ∈，{}|,1,2,3,4i M x x b i ===元素个数34m =或；（3）2d =-时，10,1,2,,200k k b b k +-≤=，即21b b -，32b b -，…，201200b b -中没有正数；当2d >-时，存在12201,,,b b b 使得210b b ->，320b b -<，430b b ->，540b b -<…，2001990b b ->，2012000b b -<，即有100个正数，故2d >-． （2018春21）若{}n c 是递增数列，数列{}n a 满足：对任意*n N ∈，存在*m N ∈，使得25sin 1πn n a n =n n a a a S +++= 2110021,,,S S S10m nm n a c a c +-≤-，则称{}n a 是{}n c 的“分隔数列”．（1）设2n c n =，1n a n =+，证明：数列{}n a 是{}n c 的“分隔数列”；（2）设4nc n =-，n S 是{}n c 的前n 项和，31n nd c -=，判断数列{}n S 是否是数列{}n d 的分隔数列，并说明理由； （3）设1n nc aq -=，n T 是{}n c 的前n 项和，若数列{}n T 是{}n c 的分隔数列，求实数a q 、的取值范围．答案：（2）不是，反例：4n =时，m 无解；（3）02a q >⎧⎨≥⎩（2017秋19）共享单车问题：每月供应量⎩⎨⎧+∞∈+-∈+=),4[47010]3,1[1554n n n n a n ，*N n ∈，每月损失量()*5N n n b n∈+=，保有量Q 为na的累计量减去n b 的累计和；（1）求第4月的保有量；（2）2(46)8800n S n =--+，记n S 为自行车停放点容纳车辆，当Q 取最大值时，停放点是否能容纳？。

沪教版(上海) 高三年级新高考辅导与训练第四章数列与数学归纳法四、数列的极限一、解答题(★★★) 1. 求下列各式的极限：（1）；（2）；（3）；（4）当时，；（5）．(★★) 2. 已知，，求的值．(★★★) 3. 求值：．(★★★) 4. 如图所示，设正三角形边长为是的中点三角形，为除去后剩下三个三角形内切圆面积之和，求．(★★★★) 5. 如图所示，有一列曲线．已知所围成的图形是面积为1的等边三角形，是对进行如下操作：将的每条边三等分，以每边中间部分的线段为边，向外作等边三角形，再将中间部分的线段去掉（）．记为曲线所围成图形的面积．（1）求数列的通项公式；（2）求．(★★★) 6. 求下列各式极限：（1）；（2）；（3）；（4）；（5）；（6）；（7）(★★★) 7. 求下列各式极限：（1）；（2）；（3）；（4）；（5）；（6）．(★) 8. 化循环小数为分数：（1）；（2）．(★★★) 9. 是等差数列，为数列前项和．求：（1）；（2）．(★★) 10. 是等比数列，为数列前项和，公比．求：（1）；（2）．(★★★) 11. 若，求常数的取值范围．(★★★)12. 设数列的首项，且，记，．（1）求；（2）判断是否为等比数列，并证明你的结论；（3）求．(★★★) 13. 求下列极限：（1）；（2）．(★★) 14. 数列由下列条件确定：．若数列的极限存在且大于0，求．(★★★) 15. 已知.（1）当时，求数列前 n项和；（用和 n表示）；（2）求.二、双空题(★★) 16. ，则__________，__________；三、填空题(★★) 17. 若，则实数的取值范围为______.(★★) 18. 已知数列的极限为，数列则数列的极限__________；(★★★) 19. 设等比数列的公比，且，则__________；(★★★)20. 已知等差数列的公差，首项，则__________．(★★★) 21. = ________ ．(★★★) 22. 设等比数列的公比，且，则__________；(★) 23. __________．(★★★) 24. 将直线轴，轴围成的封闭区域的面积记为，则__________．(★★) 25. __________．(★★★) 26. 极限__________．(★★★★) 27. 已知点、和，记的中点为，取和中的一条，记其端点为、，使之满足；记的中点为，取和中的一条，记其端点为、，使之满足；依次下去，得到点，则．四、单选题(★★★) 28. 已知数列满足，若，则（）A ．B ．3C．4D．5(★★★) 29. 数列{a n}中，a 1= ，a n+a n+1= ，则（a 1+a 2+…+a n） = （）A．B．C．D．(★★) 30. 已知和是两个不相等的正整数，且，则（）A．0B．1C．D．。

第一章 集合与常用逻辑用语一．基础题组1. 【2017高考上海】已知集合{}{}1,2,3,4,3,4,5A B == ，则A B =I 【答案】{}3,4A B =I【解析】由交集的定义可得：{}3,4A B =I2. 【2016高考上海文数】设a ∈R ，则“1>a ”是“12>a ”的（ ）. （A ）充分非必要条件 （B ）必要非充分条件 （C ）充要条件 （D ）既非充分也非必要条件 【答案】A【解析】试题分析：2211,111a a a a a >⇒>>⇒><-或，所以“1>a ”是“12>a ”的充分非必要条件，选A.【考点】充要条件【名师点睛】充要条件的判定问题，是高考常考题目之一，其综合性较强，易于和任何知识点结合.本题涉及不等关系，突出体现了高考试题的基础性，能较好地考查考生分析问题与解决问题的能力、逻辑推理能力等.3. 【2015高考上海文数】设全集R =U .若集合}4,3,2,1{=A ，}32|{<≤=x x B ，则=)(B C A U I .【答案】}4,1{【考点定位】集合的运算.【名师点睛】先求B C U ，再求)(B C A U I .集合的运算是容易题，应注意用描述法表示集合应注意端点值是否取号.4.【2015高考上海文数】 设1z 、C ∈2z ，则“1z 、2z 均为实数”是“21z z -是实数”的（ ）.A. 充分非必要条件B.必要非充分条件C.充要条件D.既非充分又非必要条件 【答案】A【考点定位】复数的概念，充分条件、必要条件的判定.【名师点睛】判断p 是q 的什么条件，需要从两方面分析：一是由条件p 能否推得条件q ，二是由条件q 能否推得条件p .对于带有否定性的命题或比较难判断的命题，除借助集合思想把抽象、复杂问题形象化、直观化外，还可利用原命题和逆否命题、逆命题和否命题的等价性，转化为判断它的等价命题．5. 【2014上海,理15】设R b a ∈,,则“4>+b a ”是“2,2>>b a 且”的（ ） （A ）充分条件 （B ）必要条件（C ）充分必要条件 （D ）既非充分又非必要条件 【答案】B【解析】若2,2a b >>，则4a b +>，但当4,1a b ==时也有4a b +>，故本题就选B ． 【考点】充分必要条件．6. 【2013上海,理15】设常数a ∈R ，集合A ＝{x |(x －1)(x －a )≥0}，B ＝{x |x ≥a －1}．若A ∪B ＝R ，则a 的取值范围为( ) A ．(－∞，2) B ．(－∞，2] C ．(2，＋∞)D ．2，＋∞)【答案】B【解析】集合A 讨论后利用数轴可知，111a a ≥⎧⎨-≤⎩或11a a a ≤⎧⎨-≤⎩，解答选项为B.7. 【2013上海,理16】钱大姐常说“便宜没好货”，她这句话的意思是：“不便宜”是“好货”的( ) A ．充分条件B ．必要条件C ．充分必要条件D ．既非充分又非必要条件【答案】B【解析】 根据等价命题，便宜⇒没好货，等价于，好货⇒不便宜，故选B.8. 【2012上海,理2】若集合A ＝{x |2x ＋1＞0}，B ＝{x ||x －1|＜2}，则A ∩B ＝__________. 【答案】{x |12-＜x ＜3}【解析】A ＝{x |2x ＋1＞0}＝{x |x ＞12-}，B ＝{x ||x －1|＜2}＝{x |－1＜x ＜3}， ∴A ∩B ＝{x |12-＜x ＜3}． 9. 【2012上海,文2】若集合A ＝{x |2x －1＞0}，B ＝{x ||x |＜1}，则A ∩B ＝__________. 【答案】{x |12＜x ＜1} 【解析】由A ＝{x |x ＞12}，B ＝{x |－1＜x ＜1}， 则A ∩B ＝{x |12＜x ＜1}． 10. 【2012上海,文16】对于常数m ，n ，“mn ＞0”是“方程mx 2＋ny 2＝1的曲线是椭圆”的( ) A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充分必要条件 D ．既不充分也不必要条件 【答案】B11. 【2011上海,理2】若全集U ＝R ，集合A ＝{x |x ≥1}∪{x |x ≤0}，则∁U A ＝______. 【答案】{x |0＜x ＜1} 【解析】12. 【2011上海,文1】若全集U ＝R ，集合A ＝{x |x ≥1}，则∁U A ＝________. 【答案】{x |x ＜1} 【解析】13. 【2011上海,文17】若三角方程sin x ＝0与sin 2x ＝0的解集分别为E ，F ，则( ) A ．EF B ．E F C ．E ＝F D ．E ∩F ＝【答案】A 【解析】14. 【2010上海,理15】“24x k ππ=+（k Z ∈）”是“tan 1x =”成立的 （ ）（A ）充分不必要条件. （B ）必要不充分条件. （C ）充分条件. （D ）既不充分也不必要条件. 【答案】A【解析】当24x k ππ=+（k Z ∈）时，tan tan(2)tan144x k πππ=+==，反之，当tan 1x =时，4x k ππ=+（k Z ∈），所以“24x k ππ=+（k Z ∈）”是“tan 1x =”成立的充分不必要条件，选A.【点评】本题主要考查三角函数的诱导公式、特殊角的三角函数以及终边相同的角等基础知识，考查简易逻辑中充要条件的判断.记错诱导公式以及特殊角的三角函数，混淆条件的充分性和必要性，是这类问题出错的重要原因．15. 【2010上海,文1】已知集合A ＝{1, 3，m }，B ＝{3,4}，A ∪B ＝{1,2,3,4}则m ＝________. 【答案】4【解析】由题意知m ∈A ∪B ，且m ≠1,3，∴m ＝4.16. (2009上海,理2)已知集合A={x|x≤1},B={x|x≥a},且A ∪B=R ，则实数a 的取值范围是_____________. 【答案】(-∞,1］【解析】∵A ∪B=R,如图所示.当a≤1时满足题意.即a 的取值范围是(-∞,1］.17. .(2009上海,理15)“-2≤a≤2”是“实系数一元二次方程x 2+ax+1=0有虚根”的( ) A.必要不充分条件 B.充分不必要条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 【答案】A故选A.18. 【2008上海,理2】若集合A ＝{x |x ≤2}、B ＝{x |x ≥a }满足A ∩B ＝{2}，则实数a ＝ .19. 【2008上海,理13】 给定空间中的直线l 及平面，条件“直线l 与平面内无数条直线都垂直”是“直线l与平面垂直”的（ ）条件A ．充要B ．充分非必要C ．必要非充分D ．既非充分又非必要20. 【2008上海,理15】如图，在平面直角坐标系中，Ω是一个与x 轴的正半轴、y 轴的正半轴分别相切于点C 、D 的定圆所围成区域（含边界），A 、B 、C 、D 是该圆的四等分点，若点P(x ,y )、P’(x ’,y ’)满足x ≤x ’ 且y ≥y ’，则称P 优于P’，如果Ω中的点Q 满足：不存在Ω中的其它点优于Q ，那么所有这样的点Q 组成的集 合是劣弧（ ）A ． AB ︵ B ． BC ︵ C ． CD ︵ D ． DA ︵21. 【2007上海,文10】对于非零实数a b ，，以下四个命题都成立： ① 01≠+aa ； ② 2222)(b ab a b a ++=+； ③ 若||||b a =，则b a ±=； ④ 若ab a =2，则b a =.那么，对于非零复数a b ，，仍然成立的命题的所有序号是 . 【答案】② ④ 【解析】22. 【2006上海,理1】已知集合A ＝－1，3，2m －1，集合B ＝3，2m ．若B ⊆A ，则实数m ＝ ． 【答案】1【解析】已知集合A ＝－1，3，2m －1，集合B ＝3，2m ．若B ⊆A ，则221211m m m ⎧=-⎨-≠-⎩，所以实数m ＝1．23. 【2006上海,理14】若空间中有四个点，则“这四个点中有三点在同一直线上”是“这四个点在同一平面上”的 答]（ ）（A ）充分非必要条件；（B ）必要非充分条件；（C ）充要条件；（D ）非充分非必要条件． 【答案】A24. 【2006上海,文1】已知{1,3,}A m =-，集合{3,4}B =，若B A ⊆,则实数___m =. 【答案】4【解析】已知{1,3,}A m =-，集合{3,4}B =，若B A ⊆, 则实数4m =.25. 【2006上海,文15】若空间中有两条直线，则“这两条直线为异面直线”是“这两条直线没有公共点”的 （ ） （A ）充分非必要条件 （B ）必要非充分条件 （C ）充分必要条件 （D ）既非充分又非必要条件 【答案】A【解析】若空间中有两条直线，若“这两条直线为异面直线”，则“这两条直线没有公共点”；若 “这两条直线没有公共点”，则 “这两条直线可能平行，可能为异面直线”；∴ “这两条直线为异面直线”是“这两条直线没有公共点”的充分非必要条件，选A. 26. 【2005上海,理14】已知集合{}R x x x M ∈≤-=,2|1||，⎭⎬⎫⎩⎨⎧∈≥+=Z x x x P ,115|，则P M I 等于（ ）A ．{}Z x x x ∈≤<,30|B ．{}Z x x x ∈≤≤,30|C ．{}Z x x x ∈≤≤-,01|D ．{}Z x x x ∈<≤-,01| 【答案】B【解析】{}R x x x M ∈≤≤-=,31|{}Z x x x P ∈≤≤=,40|P M I ={}Z x x x ∈≤≤,30|，选B.27. 【2011上海,理2】若全集U ＝R ，集合A ＝{x |x ≥1}∪{x |x ≤0}，则∁U A ＝______. 【答案】{x |0＜x ＜1} 【解析】由补集的定义可得{}|01U C A x x =<< .28. 【2005上海,文15】条件甲：“1a >”是条件乙：“a a >”的（ ）A ．既不充分也不必要条件B ．充要条件C ．充分不必要条件D ．必要不充分条件 【答案】B【解后反思】对命题的充要条件、必要条件可以从三个方面理解：①定义法，②等价法，即利用A B ⇒与B A ⌝⌝⇒，B A ⇒与A B ⌝⌝⇒的等价关系，对于条件或结论是否定式的命题一般采用等价法，③利用集合间的包含关系判断：若A B ⊆则A 是B 的充分条件或B 是A 必要条件；若A B =则A 是B 的充要条件，另外，对于确定条件的不充分性或不必要性往往用构造反例的方法来说明.二．能力题组29. 【2017高考上海】已知,,a b c 为实常数，数列{}n x 的通项2*,n x an bn c n N =++∉ ，则“存在*k N ∈ 使得100200300,,k k k x x x +++ 成等差数列”的一个必要条件是( )A.0a ≥B.0b ≤C.0c =D.20a b c -+=【答案】A【解析】试题分析：由等差中项的定义可得：2001003002k k k x x x +++=+ ，即：()()()()()()2222200200100100300300,a k b k c a k b k c a k b k c ⎡⎤⨯++⨯++⎣⎦⎡⎤⎡⎤=⨯++⨯+++⨯++⨯++⎣⎦⎣⎦整理可得：()()()2222200100300a k a k k ⎡⎤+=+++⎣⎦当0a ≠ 时上式明显不成立，据此可得：“存在*k N ∈ 使得100200300,,k k k x x x +++ 成等差数列”的一个必要条件是0a ≥. 本题选择A 选项.30.【2016高考上海理数】设a ∈R ，则“1>a ”是 “12>a ”的（ ）. （A ）充分非必要条件 （B ）必要非充分条件 （C ）充要条件 （D ）既非充分也非必要条件 【答案】A【考点】充要条件【名师点睛】充要条件的判定问题，是高考常考题目之一，其综合性较强，易于和任何知识点结合.本题涉及不等关系，突出体现了高考试题的基础性，能较好地考查考生分析问题、解决问题的能力和逻辑推理能力等.31. 【2015高考上海理数】设全集U R =．若集合{}1,2,3,4A =，{}23x x B =≤≤，则U A B =I ð ．【答案】{}1,4【解析】因为{|32}U C B x x x =><或，所以{4,1}U A C B =I 【考点定位】集合运算【名师点睛】研究集合问题，一定要抓住元素，看元素应满足的属性.研究两集合的关系时，关键是将两集合的关系转化为元素间的关系，本题实质求满足属于集合A 或不属于集合B 的元素的集合. 本题需注意两集合一个是有限集，一个是无限集，按有限集逐一验证为妥32.【2015高考上海理数】设1z ，2C z ∈，则“1z 、2z 中至少有一个数是虚数”是“12z z -是虚数”的（ ）A ．充分非必要条件B ．必要非充分条件C ．充要条件D ．既非充分又非必要条件 【答案】B【考点定位】复数概念，充要关系【名师点睛】形如a ＋b i(a ，b ∈R)的数叫复数，其中a ，b 分别是它的实部和虚部．若b ＝0，则a ＋b i 为实数；若b ≠0，则a ＋b i 为虚数；若a ＝0且b ≠0，则a ＋b i 为纯虚数．判断概念必须从其定义出发，不可想当然.33. 【2014上海,理11】. 已知互异的复数a,b 满足ab≠0，集合{a,b}={2a ,2b },则a b += .【答案】1-【解析】由题意22a a b b ⎧=⎪⎨=⎪⎩或22a b b a ⎧=⎪⎨=⎪⎩，因为a b ≠，0ab ≠，132132a b ⎧=-+⎪⎪⎨⎪=--⎪⎩132132b a ⎧=-+⎪⎪⎨⎪=--⎪⎩或，因此1a b +=-．【考点】集合的相等，解复数方程．34. 【2011上海,理23】已知平面上的线段l 及点P .任取l 上一点Q ，线段PQ 长度的最小值称为点P 到线段l 的距离，记作d (P ，l )．(1)求点P (1,1)到线段l ：x －y －3＝0(3≤x ≤5)的距离d (P ，l )；(2)设l 是长为2的线段，求点的集合D ＝{P |d (P ，l )≤1}所表示的图形面积；(3)写出到两条线段l 1，l 2距离相等的点的集合Ω＝{P |d (P ，l 1)＝d (P ，l 2)}，其中l 1＝AB ，l 2＝CD ，A ，B ，C ，D 是下列三组点中的一组．对于下列三种情形，只需选做一种，满分分别是①2分，②6分，③8分；若选择了多于一种的情形，则按照序号较小的解答计分． ①A (1,3)，B (1,0)，C (－1,3)，D (－1,0) ②A (1,3)，B (1,0)，C (－1,3)，D (－1，－2) ③A (0,1)，B (0,0)，C (0,0)，D (2,0) 【答案】(1)5 (2) 4＋π;(3)参考解析【解析】(1)设Q (x ，x －3)是l 上任一点(3≤x ≤5)，则PQ ==，3≤x ≤5.当x ＝3时，min PQ =()d P l =，(2)不妨设A (－1,0)、B (1,0)为l 的两个端点，则D 为线段l 1：y ＝1(|x |≤1)、线段l 2：y ＝－1(|x |≤1)、半圆C 1：(x ＋1)2＋y 2＝1(x ≤－1)、半圆C 2：(x －1)2＋y 2＝1(x ≥1)所围成的区域．这是因为对P (x ，y )，|x |≤1，则d (P ，l )＝|y |；而对P (x ，y )，x ＜－1，则()d P l =，；对P (x ，y )，x ＞1，则()d P l =，.于是D 所表示的图形面积为4＋π. (3)①Ω＝{(x ，y )|x ＝0}．②Ω＝{(x ，y )|x ＝0，y ≥0}∪{(x ，y )|y 2＝4x ，－2≤y ＜0}∪{(x ，y )|x ＋y ＋1＝0，x ＞1}．③Ω＝{(x ，y )|x ≤0，y ≤0}∪{(x ，y )|y ＝x,0＜x ≤1}∪{(x ，y )|21(1)2y x =+，1＜x ≤2}∪{(x ，y )|4x －2y －3＝0，x ＞2}．35. 【2010上海,理14】以集合{}d c b a U ,,,= 的子集中选出4个不同的子集，需同时满足以下两个条件：（1）∅，U 都要选出；（2）对选出的任意两个子集A 和B ，必有B A ⊆或A B ⊆.那么共有________种不同的选法.【答案】36【点评】本题考查子集的有关概念，两个计数原理的灵活应用.注意到条件“对选出的任意两个子集A 和B ，必有B A ⊆或A B ⊆”，所以分类时A 中元素个数最多2个，这是解题的突破口.。

极限与数学归纳法教学目标（1）理解直观描述的数列极限的意义，掌握数列极限的四则运算法则，会求无穷等比数列各项的和。

（2）知道数学归纳法的基本原理，掌握数学归纳法的一般步骤，并会用于证明与正整数有关的简单命题和整除性问题。

知识梳理一、数列的极限：1.极限的概念和运算法则数列极限的定义：一般地，如果当项数n 无限增大时，无穷数列{a n }的项a n 无限地趋近于某个常数a ，那么就说数列{a n }以a 为极限. 数列极限的运算法则：如果Aa n n =∞→lim ，Bb n n =∞→lim .则① ()B A b a n n n +=+∞→lim .② ()AB b a n n n =∞→lim .③ ()0,0lim≠≠=∞→B b B Ab a n n n n .（注意：和与积中包含的数列个数必须是有限的，另外这些运算法则逆命题并不一定成立，例如，若已知()nnn b a ∞→lim存在，nn a ∞→lim ，nn b ∞→lim 不一定存在，可以进行这样的改编，让学生自行判断和举反例。

） 2.基本数列极限①为常数）；C C C n (lim =∞→ ②）；*(01limN n n n ∈=∞→ ③）；1|(|0lim <=∞→q q n n而对于nn qlim ∞→，当1=q 时，1lim =∞→nn q；当1||>q 或1-=q 时，nn qlim ∞→极限不存在。

3.无穷等比数列各项和当公比1||0<<q 时,无穷等比数列ΛΛn a a a a ,,,321的各项和为:）；1||0(11lim <<-==∞→q q a S S n n（可以让学生解释各项和怎么由前n 项和公式演变而来，注意适用范围及两者区别） 4.常见的数列极限可以归纳为两大类:第一类是两个关于自然数n 的多项式的商的极限:)0,0,,(.0;,*01110111lim ≠≠∈⎪⎩⎪⎨⎧>==++++++++----∞→l k l l l l k k k k n b a N l k k l k l b ab n b n b n b a n a n a n a 时，当时当ΛΛ当l k >时,上述极限不存在.第二类是关于n 的指数式的极限:⎩⎨⎧=<=∞→时，当时；当111||,0lim q q q nn 当1||>q 或1-=q 时,上述极限不存在（注意：求极限时，把常数项提到极限记号外面可以使运算变得很简洁。

专题06 数列一．基础题组1. 【2014上海,理8】 设无穷等比数列{n a }的公比为q ，若)(lim 431 ++=∞→a a a n ，则q= .【考点】无穷递缩等比数列的和.2. 【2013上海,理10】设非零常数d 是等差数列x 1，x 2，…，x 19的公差，随机变量ξ等可能地取值x 1，x 2，…，x 19，则方程Dξ＝______.【答案】30|d |　3. 【2013上海,理17】在数列{a n }中，a n ＝2n －1.若一个7行12列的矩阵的第i 行第j 列的元素c ij ＝a i ·a j ＋a i ＋a j (i ＝1,2，…，7；j ＝1,2，…，12)，则该矩阵元素能取到的不同数值的个数为( )A ．18B ．28C ．48D ．63【答案】A 4. 【2012上海,理6】有一列正方体，棱长组成以1为首项、12为公比的等比数列，体积分别记为V 1，V 2，…，V n ，…，则12lim ()n n V V V →∞+++=…__________.【答案】875. 【2011上海,理18】设{a n }是各项为正数的无穷数列，A i 是边长为a i ，a i ＋1的矩形的面积(i ＝1，2，…)，则{A n }为等比数列的充要条件是( )A ．{a n }是等比数列B ．a 1，a 3，…，a 2n －1，…或a 2，a 4，…，a 2n ，…是等比数列C ．a 1，a 3，…，a 2n －1，…和a 2，a 4，…，a 2n ，…均是等比数列D ．a 1，a 3，…，a 2n －1，…和a 2，a 4，…a 2n ，…均是等比数列，且公比相同【答案】D6. 【2010上海,理11】将直线1l ：0nx y n +-=、2l ：0x ny n +-=（*n N ∈，2n ≥）x 轴、y 轴围成的封闭图形的面积记为n S ，则lim n n S →∞= ；【答案】1【点评】本题将直线与直线的位置关系与数列极限结合，考查两直线的交点的求法、两直线垂直的充要条件、四边形的面积计算以及数列极限的运算法则，是本次考题的一个闪光点.7. (2009上海,理12)已知函数f(x)=sinx+tanx,项数为27的等差数列{a n }满足a n ∈(2π-,2π),且公差d≠0.若f(a 1)+f(a 2)+…+f(a 27)=0,则当k=__________时,f(a k )=0.【答案】148. (2009上海,理23)本题共有3个小题,第1小题满分5分,第2小题满分5分,第3小题满分8分.已知{a n }是公差为d 的等差数列,{b n }是公比为q 的等比数列.(1)若a n =3n+1,是否存在m 、k∈N *,有a m +a m+1=a k ?说明理由;(2)找出所有数列{a n }和{b n },使对一切n∈N *,n nn b a a =+1,并说明理由;(3)若a1=5,d=4,b1=q=3,试确定所有的p,使数列{a n}中存在某个连续p项的和是数列{b n}中的一项,请证明.【答案】(1)不存在;(2) {a n}为非零常数列,{b n}为恒等于1的常数列;(3)参考解析9. 【2008上海,理14】 若数列{a n }是首项为1，公比为a －的无穷等比数列，且{a n }各项的和为a ，则a 32的值是（ ） A ．1 B ．2 C ． D ．1254【答案】B10. 【2005上海,理12】用n 个不同的实数n a a a ,,,21 可得到!n 个不同的排列，每个排列为一行写成一个!n 行的数阵。

2018年一模汇编——数列专题一、知识梳理【知识点1】等差、等比数列的相关公式的应用通项n a前n 项和n S等差()11n a a n d =+- 1n a dn a d =+-()12n n n a a S +=；2122n d d S n a n ⎛⎫=+- ⎪⎝⎭ 等比()110n n a a q q -=≠⎪⎩⎪⎨⎧≠--==1,1)1(111q q q a q na S n n【例1】设正项数列{}n a 的前n 项和是n S ，若{}n a 和{n S }都是等差数列，且公差相等，则=+d a 1 ． 【答案】43. 【解析】由于等差数列的前n 项和是n S 是关于n 一元二次表达式，且等差数列都是关于n 的一元一次表达式，那么n S 也是关于n 的一元一次表达式，所以n S 必然是个完全平方式。

根据以上分析，我们可以得到等式()111100241022d a a a d d d d ⎧⎧-==⎪⎪=⎧⎪⎪⇒⎨⎨⎨=⎩⎪⎪==⎪⎪⎩⎩或舍，所以134a d +=. 【点评】对于等差、等比数列来说，只需要求出首项1a 与公差d 或者公比q 就可以直接根据公式求出通项n a 和前n 项和n S .【例2】公差为d ，各项均为正整数的等差数列{}n a 中，若11,65n a a ==，则n d +的最小值等于 ． 【答案】17.【解析】()()111165n a a n d n d =+-=+-=，所以()164n d -=，由基本不等式22x y xy +⎛⎫≤ ⎪⎝⎭可知，()2112n d n d -+⎛⎫-≤ ⎪⎝⎭，即182n d -+≥，所以17n d +≥. 【点评】等差数列、等比数列的“基本元”是首项、公差或公比，当觉得不知如何用性质求解时，可以把问题转化成“基本元”解决..【知识点2】等差、等比数列的证明定义法等差、等比中项通项与求和的性质等差1n n a a --为定值 112n n n a a a +-+=n a 为一元一次 n S 为没有常数的一元二次 等比 1nn a a -为定值 211n n na a a +-⋅= n a 为指数函数类似形式【例1】数列}{n a 满足：)(22,111N n a a a a n nn ∈+==+. （1）求证：数列}1{na 是等差数列； （2）求}{n a 的通项公式.【答案】（1）证明见解析；（2）12+=n a n . 【解析】注意是到证明数列}1{n a 是等差数列，则要证明n n a a 111-+是常数.而nn n a a a 2211+=+，所以21111=-+n n a a .即数列}1{n a 是等差数列.又111=a ，则21)1(2111+=-+=n n a n ，所以12+=n a n . 【点评】对于数列的证明题，尤其是证明一个新的数列为等差或者等比，一般采用定义法，偶尔采用等差中项或者等比中项.【知识点3】等差、等比数列的基本性质以及两者间的类比推理等差数列等比数列性质一：),,,(N q p n m q p n m ∈+=+ q p n m a a a a +=+ q p n m a a a a ⋅=⋅ 性质二：每n 项捆绑（等差为前n 项和，等比为前n 项积）n S 、2n n S S -、32n n S S -成等差n T 、2n n T T 、32nnT T 成等比 性质三：等差（比）前n 项和n S （积n T ）的最值1100()00n n n n a a a a ++≥≤⎧⎧⎨⎨≥≤⎩⎩ )11(1111⎩⎨⎧>≤⎩⎨⎧<≥++n n n n a a a a【例1】设等差数列{}n a 满足：22223535317cos cos sin sin cos2sin()a a a a a a a --=+，42k a π≠，k Z ∈且公差(1,0)d ∈-，若当且仅当8n =时，数列{}n a 的前n 项和n S 取得最大值，则首项1a 的取值范围是（ ）A. 错误！未找到引用源。

第六章 数列一．基础题组1. 【2017高考上海，10】已知数列{}n a 和{}n b ，其中2*,n a n n N =∈ ，{}n b 的项是互不相同的正整数.若对于任意*n N ∈ ，{}n b 的第n a 项等于{}n a 的第n b 项，则()()149161234lg lg b b b b b b b b = .【答案】2【解析】由题意可得：()22n n b b = ， 当1n = 时：()211b b = ； 当2n = 时：()242b b = ； 当3n = 时：()293b b = ； 当4n = 时：()2164b b = ； 则：()()()()()222221491612341234b b b b b b b b b b b b == ，据此可得：()()()()214916123412341234lg lg 2lg lg b b b b b b b b b b b b b b b b == . 2、【2016高考上海理数】无穷数列{}n a 由k 个不同的数组成，n S 为{}n a 的前n 项和.若对任意n *∈N ，{}3,2∈n S ，则k 的最大值为________.【答案】4【解析】试题分析：当1n =时，12a =或13a =；当2n …时，若2n S =，则12n S -=，于是0n a =，若3n S =，则13n S -=，于是0n a =，从而存在N k *∈，当n k …时，0k a =.所以数列{}n a 要涉及最多的不同的项可以为：2,1，−1,0,0⋅⋅⋅从而可看出max 4k =. 【考点】数列的项与和【名师点睛】从分析条件入手，推断数列的构成特点，解题时应特别注意“数列{}n a 由k 个不同的数组成”和“k 的最大值”.本题主要考查考生的逻辑推理能力、基本运算求解能力等.3. 【2016高考上海理数】已知无穷等比数列{}n a 的公比为，前n 项和为n S ，且S S n n =∞→lim .下列条件中，使得()2n S S n *<∈N 恒成立的是（ ）.（A ）7.06.0,01<<>q a （B ）6.07.0,01-<<-<q a （C ）8.07.0,01<<>q a （D ）7.08.0,01-<<-<q a 【答案】B【考点】数列的极限、等比数列求和【名师点睛】本题解答时确定不等关系是基础，准确分类讨论是关键，易错点是在建立不等关系之后，不知所措或不能恰当地分类讨论.本题能较好地考查考生的逻辑思维能力、基本计算能力、分类讨论思想等.4. 【2014上海,理8】 设无穷等比数列{n a }的公比为q ，若)(lim 431 ++=∞→a a a n ，则q= .【答案】12-+【解析】由题意334lim()1n n a a a a q →∞+++=-，即2111a q a q=-，∵10,1a q ≠<，∴12q -+=. 【考点】无穷递缩等比数列的和.5. 【2013上海,理10】设非零常数d 是等差数列x 1，x 2，…，x 19的公差，随机变量ξ等可能地取值x 1，x 2，…，x 19，则方程D ξ＝______. 【答案】30|d |【解析】E ξ＝x 10，D ξ|.d =6. 【2013上海,理17】在数列{a n }中，a n ＝2n－1.若一个7行12列的矩阵的第i 行第j 列的元素c ij ＝a i ·a j ＋a i ＋a j (i ＝1,2，…，7；j ＝1,2，…，12)，则该矩阵元素能取到的不同数值的个数为( ) A ．18B ．28C ．48D ．63【答案】A【解析】a i ，j ＝a i ·a j ＋a i ＋a j ＝2i ＋j－1，而i ＋j ＝2,3，…，19，故不同数值个数为18，选A.7. 【2013上海,文2】在等差数列{a n }中，若a 1＋a 2＋a 3＋a 4＝30，则a 2＋a 3＝______. 【答案】15【解析】a 1＋a 2＋a 3＋a 4＝2(a 2＋a 3)＝30⇒a 2＋a 3＝15.8. 【2013上海,文7】设常数a R.若25()a x x+的二项展开式中x 7项的系数为－10，则a ＝______. 【答案】－2【解析】25()a x x +⇒255C ()()r y r a x x-＝－10x 7⇒r ＝1，15C a ＝－10⇒5a ＝－10，a ＝－2 9. 【2012上海,理6】有一列正方体，棱长组成以1为首项、12为公比的等比数列，体积分别记为V 1，V 2，…，V n ，…，则12lim ()n n V V V →∞+++=…__________.【答案】87∴128lim ()7n n V V V →∞+++=…. 10. 【2012上海,文8】在(x －1x)6的二项展开式中，常数项等于__________． 【答案】－20【解析】展开式的通项为T r ＋1＝6C rx6－r·(－1x)r，令6－r ＝r ，可得r ＝3 所以T 4＝36C x 3×(－1x)3＝－36C ＝－20. 11. 【2012上海,文14】已知1()1f x x=+，各项均为正数的数列{a n }满足a 1＝1，a n ＋2＝f (a n )．若a 2 010＝a 2 012，则a 20＋a 11的值是__________．【答案】326+ 【解析】由a n ＋2＝f (a n )＝11na +，a 1＝1， 可得311112a a ==+，5311211312a a ===++，7132513a ==+，9153815a ==+， 111851318a ==+. 由a 2 012＝201011a +＝a 2 010，可得a 2 010＝a 2 012则a 2＝a 4＝…＝a 20＝a 2n ＝a 2 010＝a 2 012所以a 20＋a 11813=. 12. 【2012上海,文18】若π2ππsin sin sin 777n n S =+++…(n ∈N *)，则在S 1，S 2，…，S 100中，正数的个数是( )A ．16B ．72C ．86D ．100 【答案】 C 【解析】由π8πsinsin 77=-，2π9πsin sin 77=-，…，6π13πsin sin 77=-，7π14πsin sin 077==， 所以S 13＝S 14＝0.同理S 27＝S 28＝S 41＝S 42＝S 55＝S 56＝S 69＝S 70＝S 83＝S 84＝S 97＝S 98＝0， 所以在S 1，S 2，…，S 100中，其余各项均大于0. 故选C 项．13. 【2011上海,理18】设{a n }是各项为正数的无穷数列，A i 是边长为a i ，a i ＋1的矩形的面积(i ＝1，2，…)，则{A n }为等比数列的充要条件是( ) A ．{a n }是等比数列B ．a 1，a 3，…，a 2n －1，…或a 2，a 4，…，a 2n ，…是等比数列C ．a 1，a 3，…，a 2n －1，…和a 2，a 4，…，a 2n ，…均是等比数列D ．a 1，a 3，…，a 2n －1，…和a 2，a 4，…a 2n ，…均是等比数列，且公比相同 【答案】D 【解析】14. 【2010上海,理11】将直线：0nx y n +-=、：0x n y n +-=（*n N ∈，2n ≥）轴、y轴围成的封闭图形的面积记为n S ，则lim n n S →∞= ；【答案】1【解析】直线：0nx y n +-=、：0x n y n +-=（*n N ∈，2n ≥）轴、y 轴围成的封闭图形为四边形OABC ，其中(0,0)O ，(1,0)A ，,11nn B n n ⎛⎫ ⎪++⎝⎭，(0,1)C ，则1OB k =，1AC k =-，∴OB AC ⊥，故11221n n S OB AC n =⋅==+，于是lim lim11n n n nS n →∞→∞==+，故答案为：1.【点评】本题将直线与直线的位置关系与数列极限结合，考查两直线的交点的求法、两直线垂直的充要条件、四边形的面积计算以及数列极限的运算法则，是本次考题的一个闪光点. 15. (2009上海,理12)已知函数f(x)=sinx+tanx,项数为27的等差数列{a n }满足a n ∈(2π-,2π),且公差d≠0.若f(a 1)+f(a 2)+…+f(a 27)=0,则当k=__________时,f(a k )=0. 【答案】1416. (2009上海,理23)本题共有3个小题,第1小题满分5分,第2小题满分5分,第3小题满分8分.已知{a n }是公差为d 的等差数列,{b n }是公比为q 的等比数列. (1)若a n =3n+1,是否存在m 、k ∈N *,有a m +a m+1=a k ?说明理由; (2)找出所有数列{a n }和{b n },使对一切n ∈N *,n nn b a a =+1,并说明理由; (3)若a 1=5,d=4,b 1=q=3,试确定所有的p,使数列{a n }中存在某个连续p 项的和是数列{b n }中的一项,请证明.【答案】(1) 不存在;(2) {a n }为非零常数列,{b n }为恒等于1的常数列;(3)参考解析 【解析】(1)由a m +a m+1=a k ,得6m+5=3k+1, 整理后,可得342=-m k , ∵m 、k ∈N *,∴k-2m 为整数. ∴不存在m 、k ∈N *,使等式成立. (2)解法一:若n n n b a a =+1,即1111)1(-=-++n q b dn a nda ,(*)①若d=0,则1=b 1q n-1=b n .当{a n }为非零常数列,{b n }为恒等于1的常数列,满足要求. ②若d≠0,(*)式等号左边取极限得1)1(11lim=-++∞→dn a nda n ,(*)式等号右边的极限只有当q=1时,才可能等于1.此时等号左边是常数, ∴d=0,矛盾.综上所述,只有当{a n }为非零常数列,{b n }为恒等于1的常数列,满足要求. 解法二:设a n =nd+c. 若n nn b a a =+1,对n ∈N *都成立,且{b n }为等比数列, 则q a a a a nn n n =+++112/,对n ∈N *都成立, 即a n a n+2=qa n+12.∴(dn+c)(dn+2d+c)=q(dn+d+c)2对n ∈N *都成立.∴d 2=qd 2.①若d=0,则a n =c≠0,∴b n =1,n ∈N *. ②若d≠0,则q=1,∴b n =m(常数), 即m cdn cd dn =+++,则d=0,矛盾.综上所述,有a n =c≠0,b n =1, 使对一切n ∈N *,n nn b a a =+1. (3)a n =4n+1,b n =3n,n ∈N *.设a m+1+a m+2+…+a m+p =b k =3k,p 、k ∈N *,m ∈N.k p p m m 321)(41)1(4=+++++,∴4m+2p+3=pk3.∵p 、k ∈N *,∴p=3s,s ∈N. 取k=3s+2,4m=32s+2-2×3s -3=(4-1)2s+2-2×(4-1)s-3≥0,由二项展开式可得正整数M 1、M 2, 使得(4-1)2s+2=4M 1+1,2×(4-1)s =8M 2+(-1)s2,∴4m=4(M 1-2M 2)-(-1)s+1］2.∴存在整数m 满足要求.故当且仅当p=3s,s ∈N 时,命题成立.说明:第(3)题若学生从以下角度解题,可分别得部分分(即分步得分). 若p 为偶数,则a m+1+a m+2+…+a m+p 为偶数,但3k 为奇数. 故此等式不成立,∴p 一定为奇数. 当p=1时,则a m+1=b k ,即4m+5=3k, 而3k=(4-1)k=k k k k k k k k k k k M C C C C )1(4)1()1(4)1(4411110-+=-∙+-∙∙++-∙∙+∙--- ,M ∈Z.当k 为偶数时,存在m,使4m+5=3k成立. 当p=3时,则a m+1+a m+2+a m+3=b k , 即3a m+2=b k , 也即3(4m+9)=3k,∴4m+9=3k-1,4(m+1)+5=3k-1.由已证可知,当k-1为偶数即k 为奇数时, 存在m,4m+9=3k 成立.当p=5时,则a m+1+a m+2+…+a m+5=b k ,即5a m+3=b k , 也即5(4m+13)=3k,而3k不是5的倍数, ∴当p=5时,所要求的m 不存在. 故不是所有奇数都成立.17. 【2008上海,理14】 若数列{a n }是首项为1，公比为a －32的无穷等比数列，且{a n }各项的和为a ，则a 的值是（ ） A ．1 B ．2 C ．12 D ．54【答案】B18. 【2007上海,文14】数列{}n a 中，22211100010012n n n a n n n n ⎧⎪⎪=⎨⎪⎪-⎩，≤≤，，≥， 则数列{}n a 的极限值（ ）Ａ.等于 Ｂ.等于Ｃ.等于或Ｄ.不存在【答案】B 【解析】19. 【2005上海,理12】用个不同的实数n a a a ,,,21 可得到!n 个不同的排列，每个排列为一行写成一个!n 行的数阵。

2018届高三第一轮复习【21】-数列极限与数学归纳法一、知识梳理： 1．数学归纳法（1）由一系列有限的特殊事例得出一般结论的推理方法，通常叫归纳法，它能帮助我们发现一般规律；观察、归纳、猜想、证明，是发现数学规律的完整过程，其中证明是指用数学归纳法证明．（2）应用数学归纳法有两个步骤：①证明当取第一个时结论正确； ②假设当（*0,k N k n ∈≥）时，结论正确，证明当时，结论成立．这两步缺一不可，要完整地书写．（3）用数学归纳法可以证明一些与正整数有关的命题，如数列求和公式，整除性和平面几何问题． 2．数列的极限（1）数列极限的含义：一个数列{}n a 中的项n a ，当n 无限增大时，它无限地接近于某个常数A ，即||n a A -能小于任意给定的正数ε时，称A 为数列{}n a 的极限，记作lim n n a A →∞=．（2）数列极限的四则运算法则：如果，那么①②③特别地，如果C 是常数，那么．（3）三个基本极限：①（为常数） ②()*1lim 0,k n k N k n→∞=∈是常数③对于任意实常数， 当1q <时，lim 0nn q →∞=当1q =时，若1q =，则lim 1nn q →∞=；若1q =-，则()lim lim 1nnn n q →∞→∞=-不存在当1q >时，lim nn q →∞不存在【注意】：它们是极限运算的基础，但是要区别，如果q 是收敛的等比数列的公比时，0||1q << （4）计算数列极限的类型还有两种：根式型，分式型．注意它们的运算特点．n 0n k n =1+=k n b b a a b n n n ==∞→∞→lim ,lim ba b a n n n ±=±∞→)(lim ba b a n n n ⋅=⋅∞→)(lim )0(lim≠=∞→b bab a n n n Ca a C a C n n n n n =⋅=⋅∞→∞→∞→lim lim )(lim C C n =∞→lim C（5）数列极限的应用： 3. 无穷等比数列的各项和：当公比1||<q 时,无穷等比数列称为无穷递缩等比数列我们把10<<q 的无穷等比数列的前n 项的和n S ，当n →∞时的极限叫做无穷等比数列的各项和，并用符号S 表示qaq q a S S n n n n -=--==∞→∞→11)1(lim lim 11（10<<q ），（可用于化循环小数为分数和解相应的应用题，这时关键是找出等比数列及其首项和公比，然后代入公式计算） 【注意】① 并不是每一个无穷数列都有极限;② 一个无穷等比数列，只有公比q 满足10<<q 时，才有无穷项的和；反之，如果一个等比数列的无穷项的和可以求出时，必有10<<q ，这在解题中是经常遇到二、基础检测：1. 用数学归纳法证明22111(1)1n n a a a aa a++-++++=≠-, 在验证1n =的情形时, 左端计算所得的结果为________________. 2. 用数学归纳法证明(1)(2)()213(21)()n n n n n n n *+++=⋅⋅-∈, 从n k =到1n k =+的过程中, 等式左端要增乘的代数式为_____________. 3. 用数学归纳法证明“111111111()234212122n n n n n n*-+-++-=+++∈-++”时:从n k =到1n k =+的过程中, 等式左边增加的项为___________________; 等式右边增加(减少)的项为________________________.4. 求值: 1132lim 32n nn nn +-→∞-=+_________.5. 求值: 22212lim()n nn n n→∞+++=__________.6. 有一系列正方形, 其边长构成以1为首项, 12为公比的等比数列. 记它们面积依次为 12,,,,n s s s , 则数列{}n s 的各项和为____________.三、例题精讲：【例1】用数学归纳法证明22>nn ,5n N n ∈≥,则第一步应验证n = ． 【解析】n =5（注：跟学生说明0n 不一定都是1或2，要看题目）{}n a【例2】设)(x f 是定义在正整数集上的函数，且)(x f 满足：“当2()f k k ≥成立时，总可推出(1)f k +≥2)1(+k 成立”． 那么，下列命题总成立的是（ ）A ．若1)1(<f 成立，则100)10(<f 成立；B ．若4)2(<f 成立，则1)1(<f 成立；C ．若(3)9f ≥成立，则当1k ≥时，均有2()f k k ≥成立；D ．若(4)25f ≥成立，则当4k ≥时，均有2()f k k ≥成立． 【解析】B【例3】用数学归纳法证明命题：若n 是大于1的自然数，求证：n n <-++++12131211 ，从k 到+1k ，不等式左边添加的项的项数为 ．【解析】当k n =时，左边为1214131211-+++++k ． 当1+=k n 时，左边为1212211212112141312111-+++++++-++++++k k k k k ．左边需要添的项为121221121211-+++++++k k k k ，项数为k k k 212121=+--+．【例4】用数学归纳法证明：422135n n +++能被14整除*n N ∈（）．【解析】当=1n 时，8545353361224=+=+++n n 能被14整除．假设当k n =时原命题成立，即422135n n +++能被14整除*n N ∈（）．当1+=k n 时，原式为4(1)22(1)1442221353355k k k k +++++++=⋅+⋅4422121423(35)5(35)k k k +++=+--44221213(35)565k k k +++=+-⋅．422135n n +++能被14整除，56也能被14整除，所以上式能被14整除，所以当1+=k n 时原命题成立． 综上所述，原命题成立．【例5】是否存在常数,a b 使得()()2112233413n n n an bn +⨯+⨯+⨯+++=+对一切正整数n 都成立？证明你的结论．【解析】先用1n =和2n =探求1,2a b ==，再用数学归纳法证明【例6】若*n N ∈,求证:23sin coscoscoscos22222sin2nn nαααααα=．【解析】① 1n =时,左=cos2α, 右=sin cos22sin2ααα=,左=右② 设n k =时, 23sin coscoscoscos22222sin2kk kαααααα=1n k =+时, 2311sin (coscoscoscos)cos cos2222222sin2kk k k kαααααααα++⋅=⋅=111111sin sin cos22sincos2sin222k k k k k k αααααα++++++⋅=【例7】求下列极限： （1）∞→n lim757222+++n n n ; （2） ∞→n lim （n n n -+2）; （3）∞→n lim（22n +24n+…+22n n ）． 【解析】（1）∞→n lim757222+++n n n =∞→n lim 2275712nnn +++=52． （2）∞→n lim （n n n -+2）=∞→n lim nn n n ++2=∞→n lim1111++n=21． （3）原式=∞→n lim 22642n n ++++ =∞→n lim 2)1(nn n +=1．【例8】已知数列{}na 是由正数构成的数列，31=a ，且满足c a a n n lg lg lg 1+=-，其中n 是大于1的整数，c 是正数．（1）求数列{}n a 的通项公式及前n 和n S ；（2）求∞→n lim1122+-+-n nn n a a 的值．【解析】（1）由已知得1-⋅=n na c a ,{}n a ∴是31=a ，公比为c 的等比数列，则13-⋅=n n c a ．=∴n S ⎪⎩⎪⎨⎧≠>--=).10(1)1(3)1(3c c cc c n n 且（2） ∞→n lim1122+-+-n n n n a a =∞→n limnn n n c c 323211+---． ①当2=c 时，原式41-=;①当2>c时，原式＝∞→n lim ccc n n 3)2(23)2(11+⋅---c 1-=;①当20<<c 时，原式=∞→n lim11)2(32)2(31--⋅+-n n cc c 21=． 【例9】求和：0.180.0180.0018S =+++⋯ 【解析】0.008170.180.10.080.0080.110.190=+++⋯=+=- 0.008170.0180.010.0080.00080.110.1900=+++⋯=+=- 170.0018,9000=⋯170.00018,910nn ⋯=⋯⨯个 1717171717909090091010.181n ∴++⋯++⋯==⨯-原式= 【例10】已知12120121()20122n n n n a n -- , <⎧⎪=⎨- , ≥⎪⎩，n S 是数列{}n a 的前n 项和（ ）(A ）lim n n a →∞和lim n n S →∞都存在 (B) lim n n a →∞和lim n n S →∞都不存在A M NEFCBHGS1S 2(C) lim n n a →∞存在，lim n n S →∞不存在 (D) lim n n a →∞不存在，lim n n S →∞存在【解析】选A ：因为数列的极限与数列前有限项无关，所以lim =0n n a →∞，又因为 ()()1232011201220132014+++...+...=n a a a a a a a S ++++，所以()20121-1+402120112lim =+121--2n n S →∞⎛⎫ ⎪⨯⎝⎭⎛⎫⎪⎝⎭； 【例11】已知无穷数列{}n a ，首项13a =，其前n 项和为n S ，且1(1)2n n a a S +=-+*(0,1,)a a n ≠≠∈N ．若数列{}n a 的各项和为a 38-，则=a【解析】n 代换成1-n ，得到2)1(1+-=-n n S a a ，两式相减得到)2(1≥=+n aa a n n ，所以n a 是一个从第二项开始的等比数列，又可求得132-=a a ，所以可列等式a a a 381133-=--+，解得21-=a （23=a 舍）【例12】如图，在等腰直角三角形ABC 中，已知∠A 90=°，斜边BC 长为a ，途中排列着的内接正方形的面积分别为123,,S S S ⋯求： （1）无穷个正方形的周长之和； （2）无穷个正方形的面积之积 【解析】（1）2a （2）218a四、难题突破：【例1】若*n N ∈,求证:23sin coscoscoscos22222sin2nn nαααααα=．【解析】① 1n =时,左=cos2α, 右=sin cos22sin2ααα=,左=右② 设n k =时, 23sin coscoscoscos22222sin2kk kαααααα=1n k =+时, 2311sin (coscoscoscos)cos cos2222222sin2kk k kkαααααααα++⋅=⋅=111111sin sin cos22sincos2sin222k k k k k k αααααα++++++⋅=【例2】已知函数()0f x ≥，对任意实数,x y 满足()()()f x y f x f y +=++，求证：()()2f nx n f x =（n N *∈）【解析】（1）当1n =，原结论显然成立（∠）假设当n k =时结论成立，即()()2f kx k f x =，那么当1n k =+时，()()()1()f k x f kx x f kx f x +=+=++⎡⎤⎣⎦()()()()()()()22210,1k f x f x kf x k f x f x k =++=+≥≥，即当1n k =+时，结论也成立，综合可知，()()2f nx n f x =对任意n N *∈都成立【例3】设*n N ∈，用()N n 表示n 的最大奇因数，如：()()33,105N N ==，设()()()()()123212n n n S N N N N N =++++-+，则数列{}()12n n S S n --≥的前n 项和的表达式为 【解析】()()112112S N N =+=+=；()()()()2123411316S N N N N =+++=+++=；()()()312822S N N N =+++=；21324,16S S S S ∴-=-=，由归纳法可得：114n n n S S ---=，∠{}1n n S S --的前n 项和的表达式为：()()414441143n n-=--五、课堂练习：1. 用数学归纳法证明33322112(1)4n n n +++=+.2. 设111123n a n=++++. 用数学归纳法证明: 121(2, )n n n a a a na n n *-++++=≥∈.3. 求证49161()n n n *+-∈能被64整除.4. 已知函数2()2f x x=-. 记数列{}n a 的前n 项和为n S , 且有1(1)a f =, 当2n ≥时, 有221(52)()2n n S n n f a -=+-. (1) 计算1234,,,a a a a ;(2) 猜测数列{}n a 的通项公式, 并加以证明.5. 试举出符合下列条件的数列{}n a ,{}n b 的例子. (1) 对于n *∈, 有1n a >, 且lim 1n n a →∞=:______________________;(2) 数列{}n a 的极限不存在, 但2lim 1nn a →∞=:______________________; (3) 对于n *∈, 有1n n b a <<, 且lim lim 1n n n n b a →∞→∞==:________________________.6. 已知222lim 31n n n an b n →∞⎛⎫++-+=⎪+⎝⎭, 求实数a ,b 的值.7.131lim 3(1)3n n n n a +→∞=++, 求a 的取值范围.8. 等比数列{}n a 中, 11a >, 前n 项和为n S , 并满足11lim n n S a →∞=, 求1a 的取值范围.9. 如图: 已知直角ABC △中, 4, 3AC BC ==. 设1C 表示点C , 过1C 做12C C AB ⊥, 垂足为2C ; 再过2C 做23C C AC ⊥, 垂足为3C ; 再过3C 做34C C AB ⊥, 垂足为4C ,, 如此无限继续下去.(1) 设n a 表示线段212n n C C -的长, 求数列{}n a 各项的和; (2) 设n s 表示12n n n C C C ++△的面积, 求列{}n s 各项的和.六、回顾总结： 1. 主要方法:①进行恒等变形，转化为基本极限；②求极限时，应注意要先化简成可求极限的类型再用四则运算求极限，另外还有先求和，约A3C 1()C C 2C 5C B4C 6C 7C分后再求极限，对含参数的题目一定要注意分别讨论.③“归纳–猜测–论证”的数学思想方法的应用；检验有限个n 的值，寻找一定规律，猜想一个结论，而后用数学归纳法证明所猜想的结论正确. 2. 易错、易漏点:①数学归纳法证明时，第一步验证0n n =，要注意0n 不一定为1；②第二步证明时，要注意其推导过程必须每步都交代清楚，并且必须用到假设，且特别注意项数的变化，避免关键步骤含糊不清.③有穷数列不存在极限，无穷数列不一定有极限；数列是否有极限与数列的前有限项无关； ④如果一个数列有极限，那么它的极限是一个确定的常数； ⑤特别注意无穷等比数列的各项和公式中的隐含条件；⑥用数列极限运算法则求数列的极限时须注意各数列极限必须存在；四则运算只限于有限个数列极限的运算.七、课后练习：1. 从11, 2349,3456725,=++=++++=中,找出第n个等式为_____________________________. 2. 若1112n S n =+++, 用数学归纳法证明21(2, )2n nS n n *>+≥∈时, 从n k =到1n k =+的过程中, 左端需要增加的项数为_______项.3. 在数列}{n a 中, 它的前n 项和1n n S na =-, 通过求4321,,,a a a a 的值, 猜想通项公式为____________.4. 用数学归纳法证明1123111(21)(N )2n n n n n n *+++-++-++=-∈时, 从n k =到1n k =+的过程中, 等式左端需要加的项是_____________.5. 在应用数学归纳法证明命题“当n 为正奇数时, n n x y +能被x y +整除”时, 第二步: 假设当21n k =-时命题为真, 进而需证明n =__________时, 命题亦真.6. 用数学归纳法证明1111123421n n +++++<-的过程中, 第一步需要验证 答 [ ] A. 1n <B. 1122+<C. 111223++<D. 11112234+++<7. 某个命题与非零自然数n 有关, 若n k =时该命题成立, 可以推出当1n k =+时该命题也成立. 现在已知当7n =时, 该命题不成立, 则可推得答[ ]A. 当8n =时, 该命题成立B. 当8n =时, 该命题不成立C. 当6n =时, 该命题成立D. 当6n =时, 该命题不成立8. 求值: 2232lim 31n n nn n →∞+=+-________.9. 求值: 111111393lim 1111()4164n n n -→∞-++++=-+-+-________.10. 求值: 111lim[]1447(32)(31)n n n →∞+++=⨯⨯-+________.11. 已知{}n a 与{}n b 均为等差数列, 且它们前n 项的和之比为2:(31)n n +, 则limnn na b →∞=_______. 12. 若22(2)4lim 22(7)n k n nn →∞-+=+, 则实数k 的值为_________.13. 无穷等比数列{}n a 的公比q 满足||1q <, 若其中任何一项都等于该项后所有项的和, 则q =______.14. 已知数列{},{}n n x y 满足lim(2)1, lim(2)1n n n n n n x y x y →∞→∞+=-=, 求lim()n n n x y →∞+.15. 在数列{}n a 中, 1sin a θ=, 1cos n n a a θ+=⋅, 若12lim()n n a a a →∞+++求θ.16. 设首项为1, 公比为q 的等比数列前n 项和为n S , 求1lim nn n S S →∞+的值.17. 数列{}n b 中任意相邻两项1,n n b b +是方程21()03n n x a x -+=的两个根, 其中n *∈,且12b =, 求12lim()n n a a a →∞+++的值.【思考题】1. 用数学归纳法证明：221(1)n n aa ++++可以被21a a ++整除（*n N ∈）．2．平面内有n 个圆，其中每两个圆都交于两点，且无任何三个圆交于一点，求证：这n 个圆将平面分成22n n -+个部分．3．数列{}{},n n a b 中，112,4a b ==，且1,,n n n a b a +成等差数列，11,,n n n b a b ++成等比数列（*n N ∈），求234,,a a a 及234,,b b b ，由此猜测{}{},n n a b 的通项公式，并证明你的结论．。

第五部分 数列与极限35、等差数列{n a }中，通项b dn a n +=，前n 项和cn n d S n +=22（d 为公差，N n ∈）.证明某数列是等差（比）数列，通常利用等差（比）数列的定义加以证明，即证：n n a a -+1是常数)(N n ∈(1n na a +=常数，)n N ∈，也可以证明连续三项成等差（比）数列.即对于任意的自然数n 有：n n n n a a a a -=-+++112（nn n n a a a a 112+++=）. ［举例］数列}{n a 满足：)(22,111N n a a a a n n n ∈+==+. （1）求证：数列}1{na 是等差数列；（2）求}{n a 的通项公式. 分析：注意是到证明数列}1{n a 是等差数列，则要证明n n a a 111-+是常数.而nnn a a a 2211+=+，所以21111=-+n n a a .即数列}1{n a 是等差数列.又111=a ，则21)1(2111+=-+=n n a n ，所以12+=n a n . 36、等差数列前n 项和、次n 项和、再后n 项和（即连续相等项的和）仍成等差数列；等比数列前n 项和（和不为0）、次n 项和、再后n 项和仍成等比数列.类比还可以得出：等比数列的前n 项的积、次n 项的积、再后n 项的积仍成等比数列.［举例1］已知数列}{n a 是等差数列，n S 是其前n 项的和，20,884==S S ，则=12S ＿；分析：注意到812484,,S S S S S --是等差数列的连续4项的和，它们成等差数列.可以得到16812=-S S ，所以3612=S . ［举例2］已知数列}{n a 是等比数列，n T 是其前n 项的积，20,584==T T ，则=12T ＿. 分析：由812484,,T T T T T 成等比，则8124248)(T T T T T ⋅=，所以64)(34812==T T T . 37、在等差数列}{n a 中，若),,,(N q p n m q p n m ∈+=+，则q p n m a a a a +=+；在等比数列}{n a 中，若),,,(N q p n m q p n m ∈+=+，则q p n m a a a a ⋅=⋅等差（等比）数列中简化运算的技巧多源于这条性质. ［举例］数列}{n a 是等比数列，124,5128374=+-=⋅a a a a ，且公比q 为整数，则10a 的值为＿＿＿＿＿＿＿.分析：由8374a a a a ⋅=⋅得⎩⎨⎧-==⇒⎩⎨⎧-=⋅=+4128512124838383a a a a a a 或⎩⎨⎧=-=128483a a ，又此数列的公比为整数，所以⎩⎨⎧=-=128483a a 公比2-=q ，则5122810==q a a .38、等差数列当首项01>a 且公差0<d ，前n 项和存在最大值.当首项01<a 且公差0>d ，前n 项和存在最小值.求等差数列前n 项和的最值可以利用不等式组⎩⎨⎧≥≤≤≥+)0(0)0(01n n a a 来确定n 的值；也可以利用等差数列的前n 项的和是n 的二次函数（常数项为0）转化成函数问题来求解.［举例1］若}{n a 是等差数列，首项0,0,020072006200720061<⋅>+>a a a a a ，则（1）使前n 项和n S 最大的自然数n 是＿＿；（2）使前n 项和0>n S 的最大自然数=n ；分析：由条件可以看出0,020072006<>a a ，可知2006S 最大，则使n S 最大的自然数为2006；由020072006>+a a 知040121>+a a ，02)(4012401214012>+=a a S ，200740134013a S ⋅=，所以04013<S ，则使0>n S 的最大自然数为4012. ［举例2］在等差数列}{n a 中，满足7473a a =且n S a ,01>是数列前n 项的和.若n S 取得最大值，则=n ＿＿＿＿＿. 分析：首项、公差（比）是解决等差（比）数列的最基本出发点.等差（比）数列的运算多可以通过首项与公差（比）来解决.由7473a a =知111334)6(7)3(3a d d a d a -=⇒+=+，则1113343733)1(4a n a n a a n -=--=.当9≤n 时0>n a ，当10≥n 时0<n a ，所以9=n .39、数列}{n a 是等比数列，其前n 项的和n S 是关于q 的分段函数⎪⎩⎪⎨⎧≠--==1,1)1(111q q q a q na S n n ，在求和过程中若公比不是具体数值时，则要进行讨论.［举例1］数列}{n a 是等比数列，前n 项和为n S ，且11lim a S n n =∞→，求1a 的取值范围. 分析：注意到等比数列的公比是不为零的常数，前n 项和存在的前提条件是1||<q ，且q a S n n -=∞→1l i m 1，知1111a q a =-，则q a -=121，有)2,1()1,0(21 ∈a ，则)2,1()1,0(1 ∈a )0,1()1,2(--- .［举例2］数列}{n a 是等比数列，首项11=a ，公比1-≠q ，求nn S 1lim ∞→的值. 分析：涉及到等比数列的前n 项和的问题不能直接的应用公式，要考虑到公比的取值情况.当1=q 时，n na S n ==1，此时01lim 1lim ==∞→∞→n S n nn ；当1≠q 时，q q S n n --=11，则n n S 1lim ∞→= 1,(||1)1lim 0,(||1)1n n q q q q q →∞-<⎧-=⎨>-⎩. 40、等差数列、等比数列的“基本元”是首项、公差（比），当觉得不知如何用性质求解时，可以把问题转化成“基本元”解决.学会用任意两项关系：若n a {｝是等差数列，则对于任意自然数n m ,有d m n a a m n )(-+=；若n a {｝是等比数列，则对于任意的自然数n m ,，有m n m n q a a -⋅=.在这两关系式中若取1m =，这就是等差（比）数列的通项公式.［举例1］已知数列}{n a 是等差数列，首项01>a ，且05375=+a a .若此数列的前n 项和为n S ，问n S 是否存在最值？若存在，n 为何值？若不存在，说明理由.分析：对于本题来说，等差数列的基本性质用不上，可以化归为首项与公差来解决.设此数列的公差为d ，则0)6(5)4(311=+++d a d a ，即1214a d -=，由01>a 知0<d ，所以数列}{n a 是递减数列，故n S 有最大值而无最小值.由等差数列的通项公式知：11121425)214)(1(a n a n a a n -=--+=，当6≤n 时，0>n a ，当7≥n 时，0<n a .所以6S 最大.综上知，当6=n 时，n S 最大，不存在最小值.[举例2]已知正项等比数列}{n a 中，首项11>a ，且15735=⋅a a .若此数列的前n 项积为n T ，问n T 是否存在最值？说明理由.分析：与举例1联系起来，这是数列中的“类比”问题.其解决的思想方法是一样的.对于单调正项数列，前n 项积n T 最大（小），则应满足)11(1111⎩⎨⎧>≤⎩⎨⎧<≥++n n n n a a a a . 设此数列公比为q ，则1)()(461341=⋅q a q a ，则2141-=a q .214251121411)(n n n a a a a ---=⋅=.由11>a 知：6≤n 时，7,1≥>n a n 时，1<n a .所以当6=n 时，6T 最大，n T 没有最小值.[特别注意]等差数列与正项等比数列之间存在的类比关系实际上是运算上的变化，这种变化可以由等差数列与等比数列的一个性质来揭示.我们知道：若数列}{n a 是正项等比数列，记)1,0(log ≠>=m m a b n m n ，则数列}{n b 是等差数列.反之若数列{}n a 是等差数列，记(0)n a n b m m =>，则数列{}n b 是等比数列.41、已知数列的前n 项和n S ，求数列的通项公式时，要注意分段⎩⎨⎧≥-==-2,111n S S n S a n n n .当1a 满足)2(,1≥-=-n S S a n n n 时，才能用一个公式表示.［举例］已知数列}{n a 的前n 项和a n n a S n ++-=2)2(.若}{n a 是等差数列，求}{n a 的通项公式.分析：证明一个数列是等差数列或是等比数列，要从等差、等比数列的定义出发.等差、等比数列的性质不能作为证明的理由.由a n n a S n ++-=2)2(知，1=n 时，1211-==a S a ，当2≥n 时，=-=-1n n n S S a)3()2(2a n a -+-.当2≥n 时，)2(21-=-+a a a n n ，而412-=-a a a .若数列}{n a 是等差数列，则4)2(2-=-a a ，所以0=a .则34+-=n a n .42、形如：n n a a =+1+)(n f 的递推数列，求通项用叠加（消项）法；形如：)(1n g a a nn =+的递推数列，求通项用连乘（约项）法.［举例］数列}{n a 满足)2(3,1111≥+==--n a a a n n n ，求数列}{n a 的通项公式.分析：解决这种递推数列的思想方法实质上是等差、等比数列求通项公式的思想方法.等差数列的基本递推关系：d a a n n +=+1，等比数列的递推关系：q a a nn =+1. 由题知：)2(333311233222111≥⎪⎪⎪⎭⎪⎪⎪⎬⎫=-=-=-=---------n a a a a a a a a n n n n n n n n n 相加得：2)31(33331211-----=+++=-n n n n a a ，又11=a ，所以)2(213≥-=n a n n ，而1a 满足此式，则)(213N n a n n ∈-=. 43、一次线性递推关系：数列}{n a 满足：c b a c a b a a a n n ,,(,,11+⋅==+是常数）是最重要的递推关系式，可以看出当1=b 时，此数列是等差数列，当0=c （)0≠b 时，此数列是等比数列.解决此递推的方法是通过代换（令)k a b n n +=化成等比数列求解.［举例］已知数列}{n a 满足：)(,12,111N n a a a n n ∈+==+，求此数列的通项公式.分析：由121+=+n n a a 得：)1(211+=++n n a a 知数列}1{+n a 是等比数列，首项为2，公比为2，所以n n a 21=+，知12-=n n a .44、在解以数列为模型的数学应用题时，要选择好研究对象，即选择好以“哪一个量”作为数列的“项”，并确定好以哪一时刻的量为第一项；对较简单的问题可直接寻找“项”与“项数”的关系，对较复杂的问题可先研究前后项之间的关系（即数列的递推公式），然后再求通项.［举例］某企业去年底有资金积累a 万元，根据预测，从今年开始以后每年的资金积累会在原有的基础上增长20%，但每年底要留出b 万元作为奖励金奖给职工.企业计划用5年时间使资金积累翻一番，求b 的最大值.分析：与年数相关的应用题在解答过程中要注意项数与年数之间的关系，在设数列时就要指明.特别注意年底、年初的不同.设从今年开始每年底该企业的资金积累为n a 万元，则b a b a a -=-+=45%)201(1（万元），b a b a a n n n -=-+=+45%)201(1，则)4(4541b a b a n n -=-+.所以数列}4{b a n -是以b a b a 54541-=-为首项，45为公比的等比数列，所以1)45)(545(4--=-n n b a b a ，1)45)(545(4--+=n n b a b a .由题知a a 25≥，则a b a b 2)2.1)(52.1(44≥-+，求得：a a b 08.09950763≈≤.即b 的最大值大约为8%a . 45、常见的极限要记牢：⎪⎩⎪⎨⎧-=><==∞→11||1||,01,1lim q q q q q n n 或不存在，，注意n n q ∞→lim 存在与0lim =∞→n n q 是不相同的；e nn n =+∞→)11(lim ，特别注意此式的结构形式；若)(),(n g n f 是关于n 的多项式函数，要会求)()(lim n g n f n ∞→. ［举例1］求下列各式的值：（1）)4(22lim 2≠-+∞→a a a nn n n n ；（2）n n n n 2)11(lim +-∞→. 分析：对于指数型的分式型极限，一般是分子、分母同除以幂底数绝对值较大的幂，这样可以求出极限.（1）当2||<a 时，原式1)2(11)2(lim =-+=∞→n n n a a ；当2||>a 时，原式11)2()2(1lim -=-+=∞→n n n aa . （2）与e 相关的极限问题要注意其结构形式，注意到括号内是""+号相连，且分子为1，幂的指数与括号内的分母相同.当形式不同时，要向此转化.n n n n n n n )121(lim )11(lim 2+-=+-∞→∞→= 2)12(21)2111(lim )2111(lim -+-⋅+-∞→∞→=+-+=+-+e n n n n n n n n .［举例2］若1432lim 2=+++∞→n bn an n ，则=a ＿＿＿＿；=b ＿＿＿＿. 分析：对于分子分母是关于n 的整式的分式型极限，若分子的最高的幂指数大于分母的最高的幂指数，则此式极限不存在；当分子的最高的幂指数与分母的最高的幂指数相同时，极限是分子、分母的最高次幂的系数比；当分子的最高的幂指数小于分母的最高的幂指数时，极限是零.注意到此式极限为1是存在的，由上分析知13,0==b a ，所以3,0==b a . 46、理解极限是“无限运动的归宿”.［举例］已知△ABC 的顶点分别是))(0,24(),2,0(),2,0(N n nC n B n A ∈+-，记△ABC 的外接圆面积为n S ，则=∞→n n S lim ＿＿＿＿＿.分析：本题若要先求出三角形ABC 的面积后再求极限则是“漫长”的工作，注意到当∞→n 时A 、B 、C 点的变化，不难看出△ABC 被“压扁”成一条长为4的线段，而此线段就是此三角形外接圆的直径.从而有π4lim =∞→n n S .。