2017年湖北省荆门市、荆州市、襄阳市、宜昌市四地七校联盟高考数学模拟试卷(文科)(2月份)(解析版)

2017年湖北省七市（州）教科研协作体高考数学模拟试卷（理科）一、选择题．本题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．集合A={﹣1，0，1，2，3}，B={x|log2（x+1）＜2}，则A∩B等于（）A．{﹣1，0，1，2} B．{0，1，2}C．{﹣1，0，1，2，3}D．{0，1，2，3}2．设i为虚数单位，则复数z=的虚部为（）A．﹣2 B．﹣i C．i D．﹣13．在正数数列{a n}中，a1=2，且点在直线x﹣9y=0上，则{a n}的前n项和S n等于（）A．3n﹣1 B．C．D．4．广告投入对商品的销售额有较大影响．某电商对连续5个年度的广告费和销售额进行统计，得到统计数据如表（单位：万元）：由表可得到回归方程为=10.2x+，据此模型，预测广告费为10万元时的销售额约为（）A．101.2 B．108.8 C．111.2 D．118.25．秦九昭是我国南宋时期的数学家，他在所著的《数学九章》中提出的多项式求值的秦九昭算法，至今仍是比较先进的算法，如图所示的程序框图给出了利用秦九昭算法求某多项式值的一个实例，若输入n，x的值分别为3，4，则输出y 的值为（）A．6 B．25 C．100 D．4006．函数f（x）=Asin（ωx+φ）的部分图象如图所示，若，且f（x1）=f（x2）（x1≠x2），则f（x1+x2）=（）A．1 B．C．D．7．已知f（x）是定义在R上的偶函数，且在区间（﹣∞，0]上单调递增，若满足f（2）＞f（﹣），则a的取值范围是（）A．（﹣∞，）B．（0，）C．（，+∞） D．（1，）8．已知圆C：（x﹣1）2+y2=r2（r＞0）．设条件p：0＜r＜3，条件q：圆C上至多有2个点到直线x﹣y+3=0的距离为1，则p是q的（）A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件9．从数字1，2，3，4，5中，随机抽取3个数字（允许重复）组成一个三位数，其各位数字之和等于12的概率为（）A．B． C． D．10．一个几何体的三视图如图所示，该几何体外接球的表面积为（）A．36πB．C．32πD．28π11．关于曲线C：x2+y4=1，给出下列四个命题：①曲线C有两条对称轴，一个对称中心；②曲线C上的点到原点距离的最小值为1；③曲线C的长度l满足l＞4；④曲线C所围成图形的面积S满足π＜S＜4．上述命题中，真命题的个数是（）A．4 B．3 C．2 D．112．已知正三角形ABC的顶点A，B在抛物线y2=4x上，另一个顶点C（4，0），则这样的正三角形有（）A．1个 B．2个 C．3个 D．4个二、填空题：本题共4小题，每小题5分．13．平面向量，，不共线，且两两所成的角相等，若||=||=2，||=1，则|++|=．14．（x+y）（x﹣y）8展开式中x3y6的系数为．15．已知实数x，y满足，则的最小值为．16．数列{a n}满足a n+（﹣1）n a n=n+1，则{a n}前40项的和．+1三、解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．17．如图，已知△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，C=120°．（Ⅰ）若c=1，求△ABC面积的最大值；（Ⅱ）若a=2b，求tanA．18．某校举行运动会，其中三级跳远的成绩在8.0米（四舍五入，精确到0.1米）以上的进入决赛，把所得数据进行整理后，分成6组画出频率分布直方图的一部分（如图），已知从左到右前5个小组的频率分别为0.04，0.10，0.14，0.28，0.30，第6小组的频数是7．（Ⅰ）求进入决赛的人数；（Ⅱ）若从该校学生（人数很多）中随机抽取两名，记X表示两人中进入决赛的人数，求X的分布列及数学期望；（Ⅲ）经过多次测试后发现，甲成绩均匀分布在8～10米之间，乙成绩均匀分布在9.5～10.5米之间，现甲，乙各跳一次，求甲比乙远的概率．19．如图，在四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD是长方形，侧棱PD⊥底面ABCD，且PD=AD=1，DC=2，过D作DF⊥PB于F，过F作FE⊥PB交PC于E．（Ⅰ）证明：DE⊥平面PBC；（Ⅱ）求平面DEF与平面ABCD所成二面角的余弦值．20．在直角坐标系xOy上取两个定点A1（﹣，0），A2（，0），再取两个动点N1（0，m），N2（0，n），且mn=2．（Ⅰ）求直线A1N1与A2N2交点M的轨迹C的方程；（Ⅱ）过R（3，0）的直线与轨迹C交于P，Q，过P作PN⊥x轴且与轨迹C交于另一点N，F为轨迹C的右焦点，若=λ（λ＞1），求证：=λ．21．函数f（x）=lnx+x2+ax（x∈R），g（x）=e x+x2．（Ⅰ）讨论f（x）的极值点的个数；（Ⅱ）若对于∀x＞0，总有f（x）≤g（x）．（i）求实数a的范围；（ii）求证：对于∀x＞0，不等式e x+x2﹣（e+1）x+＞2成立．四、请考生在第22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分，作答时请用2B铅笔在答题卡上将所选题号后的方框涂黑．22．在极坐标系中，圆C的极坐标方程为：ρ2=4ρ（cosθ+sinθ）﹣3．若以极点O 为原点，极轴所在直线为x轴建立平面直角坐标系．（Ⅰ）求圆C的参数方程；（Ⅱ）在直角坐标系中，点P（x，y）是圆C上动点，试求x+2y的最大值，并求出此时点P的直角坐标．23．已知函数f（x）=|x﹣2|+2，g（x）=m|x|（m∈R）．（Ⅰ）解关于x的不等式f（x）＞5；（Ⅱ）若不等式f（x）≥g（x）对任意x∈R恒成立，求m的取值范围．2017年湖北省七市（州）教科研协作体高考数学模拟试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题．本题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．集合A={﹣1，0，1，2，3}，B={x|log2（x+1）＜2}，则A∩B等于（）A．{﹣1，0，1，2} B．{0，1，2}C．{﹣1，0，1，2，3}D．{0，1，2，3}【考点】交集及其运算．【分析】根据对数的定义与性质求出集合B，再根据交集的定义写出A∩B．【解答】解：集合A={﹣1，0，1，2，3}，B={x|log2（x+1）＜2}={x|0＜x+1＜4}={x|﹣1＜x＜3}，则A∩B={0，1，2}．故选：B．2．设i为虚数单位，则复数z=的虚部为（）A．﹣2 B．﹣i C．i D．﹣1【考点】复数代数形式的乘除运算．【分析】利用复数的运算法则、虚部的定义即可得出．【解答】解：复数z===2﹣i的虚部为﹣1，故选：D．3．在正数数列{a n}中，a1=2，且点在直线x﹣9y=0上，则{a n}的前n项和S n等于（）A．3n﹣1 B．C．D．【考点】数列的求和．【分析】代入点，化简可得数列{a n}为首项为2，公比为3的等比数列，由等比数列的求和公式，化简计算即可得到所求和．【解答】解：在正数数列{a n}中，a1=2，且点在直线x﹣9y=0上，可得a n2=9a n﹣12，即为a n=3a n﹣1，可得数列{a n}为首项为2，公比为3的等比数列，则{a n}的前n项和S n等于==3n﹣1．故选：A．4．广告投入对商品的销售额有较大影响．某电商对连续5个年度的广告费和销售额进行统计，得到统计数据如表（单位：万元）：由表可得到回归方程为=10.2x+，据此模型，预测广告费为10万元时的销售额约为（）A．101.2 B．108.8 C．111.2 D．118.2【考点】线性回归方程．【分析】求出数据中心，代入回归方程求出，再将x=10代入回归方程得出答案．【解答】解：由题意，=4，=50．∴50=4×10.2+，解得=9.2．∴回归方程为=10.2x+9.2．∴当x=10时，=10.2×10+9.2=111.2．故选：C．5．秦九昭是我国南宋时期的数学家，他在所著的《数学九章》中提出的多项式求值的秦九昭算法，至今仍是比较先进的算法，如图所示的程序框图给出了利用秦九昭算法求某多项式值的一个实例，若输入n，x的值分别为3，4，则输出y 的值为（）A．6 B．25 C．100 D．400【考点】程序框图．【分析】由题意，模拟程序的运行，依次写出每次循环得到的i，v的值，当i=﹣1时，不满足条件i≥0，跳出循环，输出v的值为18．【解答】解：初始值n=3，x=4，程序运行过程如下表所示：v=1i=2，v=1×4+2=6i=1，v=6×4+1=25i=0，v=25×4+0=100i=﹣1 跳出循环，输出v的值为100．故选：C．6．函数f（x）=Asin（ωx+φ）的部分图象如图所示，若，且f（x1）=f（x2）（x1≠x2），则f（x1+x2）=（）A．1 B．C．D．【考点】由y=Asin（ωx+φ）的部分图象确定其解析式．【分析】由图象可得A=1，由周期公式可得ω=2，代入点（，0）可得φ值，进而可得f（x）=sin（2x+），再由题意可得x1+x2=，代入计算可得．【解答】解：由图象可得A=1，=，解得ω=2，∴f（x）=sin（2x+φ），代入点（，0）可得sin（+φ）=0∴+φ=kπ，∴φ=kπ﹣，k∈Z又|φ|＜，∴φ=，∴f（x）=sin（2x+），∴sin（2×+）=1，即图中点的坐标为（，1），又，且f（x1）=f（x2）（x1≠x2），∴x1+x2=×2=，∴f（x1+x2）=sin（2×+）=，故选：D7．已知f（x）是定义在R上的偶函数，且在区间（﹣∞，0]上单调递增，若满足f（2）＞f（﹣），则a的取值范围是（）A．（﹣∞，）B．（0，）C．（，+∞） D．（1，）【考点】奇偶性与单调性的综合．【分析】根据题意，由函数的奇偶性与单调性分析可得f（x）在区间[0，+∞）上递减，则f（2）＞f（﹣）可以转化为2＜，变形可得log3a＜，解可得a的取值范围，即可得答案．【解答】解：根据题意，f（x）是定义在R上的偶函数，且在区间（﹣∞，0]上单调递增，则其在区间[0，+∞）上递减，f（2）＞f（﹣）⇔f（2）＞f（）⇔2＜，即log3a＜，解可得0＜a＜；故选：B．8．已知圆C：（x﹣1）2+y2=r2（r＞0）．设条件p：0＜r＜3，条件q：圆C上至多有2个点到直线x﹣y+3=0的距离为1，则p是q的（）A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件【考点】必要条件、充分条件与充要条件的判断．【分析】求出圆心（1，0）到直线的距离d=2．即可判断出结论．【解答】解：圆C：（x﹣1）2+y2=r2（r＞0）．圆心（1，0）到直线的距离d==2．由条件q：圆C上至多有2个点到直线x﹣y+3=0的距离为1，则0＜r＜3．则p是q的充要条件．故选：C．9．从数字1，2，3，4，5中，随机抽取3个数字（允许重复）组成一个三位数，其各位数字之和等于12的概率为（）A．B． C． D．【考点】列举法计算基本事件数及事件发生的概率．【分析】先求出基本事件总数n=53=125，再利用分类讨论思想求出其各位数字之和等于12包含的基本事件个数，由此能求出其各位数字之和等于12的概率．【解答】解：从数字1，2，3，4，5中，随机抽取3个数字（允许重复）组成一个三位数，基本事件总数n=53=125，其各位数字之和等于12包含的基本事件有：由2，5，5能组成三个满足条件的三位数，由4，4，4能组成一个满足条件的三位数，由3，4，5能组成=6个满足条件的三位数，满足条件的三位数共有：3+1+6=10，∴其各位数字之和等于12的概率为p==．故选：A．10．一个几何体的三视图如图所示，该几何体外接球的表面积为（）A．36πB．C．32πD．28π【考点】由三视图求面积、体积．【分析】由已知中的三视图可得，该几何体是一个以正视图为底面的四棱锥，其外接球，与以俯视图为底面，以2为高的正三棱柱的外接球相同，进而可得该几何体外接球的表面积．【解答】解：由已知中的三视图可得，该几何体是一个以正视图为底面的四棱锥，其外接球，与以俯视图为底面，以4为高的正三棱柱的外接球相同，如图所示：由底面边长为4，可得底面外接圆的半径为：，由棱柱高为4，可得球心距为2，故外接球半径为：=，故外接球的表面积S=4πr2=，故选：B11．关于曲线C：x2+y4=1，给出下列四个命题：①曲线C有两条对称轴，一个对称中心；②曲线C上的点到原点距离的最小值为1；③曲线C的长度l满足l＞4；④曲线C所围成图形的面积S满足π＜S＜4．上述命题中，真命题的个数是（）A．4 B．3 C．2 D．1【考点】命题的真假判断与应用．【分析】根据方程特点得：以﹣x代替x，以﹣y代替y，方程也不变，说明曲线关于x轴、y轴、原点对称；又x2=（1﹣y2）•（1+y2）≥（1﹣y2），即：x2≥（1﹣y2）即x2+y2≥1，说明曲线上任意一点到原点的距离都大于或等于1，故封闭曲线面积大于π，结合正方形的面积；以及两点之间线段最短，综合可得答案．【解答】解：以﹣x代替x，方程不变，以﹣y代替y，方程也不变，同时以x代替x、﹣y代替y，方程也不变，说明曲线关于x轴、y轴、原点对称，故①正确；又∵x2=（1﹣y2）•（1+y2）≥（1﹣y2）∴x2+y2≥1，∴曲线上任意一点到原点的距离都大于或等于1，（当且仅当y=0时，等于1）故②正确；由②可得，曲线C所围成图形的面积S满足大于单位圆的面积，小于边长为2的正方形的面积，即π＜S＜4，故④正确；曲线C在每一段的长都大于，故由对称性满足l＞4，故③正确．故选：A．12．已知正三角形ABC的顶点A，B在抛物线y2=4x上，另一个顶点C（4，0），则这样的正三角形有（）A．1个 B．2个 C．3个 D．4个【考点】抛物线的简单性质．【分析】根据题意和抛物线以及正三角形的对称性，可推断出两个边的斜率，进而表示出这两条直线，每条直线与抛物线均有两个交点，焦点两侧的两交点连接，分别构成一个等边三角形，可知当等边三角形关于x轴轴对称时，有两个．【解答】解：由题意，当等边三角形关于x轴轴对称时两个边的斜率k=±tan30°=±，其方程为：y=±（x﹣4），每条直线与抛物线均有两个交点，焦点两侧的两交点连接，分别构成一个等边三角形，这样的正三角形有2个，图中黑色的两个．两个顶点同时在抛物线上方如图中蓝色，或同时在下方各一个如图中绿色，故选D．二、填空题：本题共4小题，每小题5分．13．平面向量，，不共线，且两两所成的角相等，若||=||=2，||=1，则|++|=1．【考点】平面向量数量积的运算．【分析】平面向量，，不共线，且两两所成的角相等，可得所成的角为．可得|++|=，即可得出．【解答】解：平面向量，，不共线，且两两所成的角相等，∴所成的角为．∴===﹣1，==﹣2．∴|++|===1．故答案为：1．14．（x+y）（x﹣y）8展开式中x3y6的系数为﹣28．【考点】二项式系数的性质．【分析】由题意依次求出（x﹣y）8中x2y6，x3y5项的系数，求和即可．【解答】解：在（x+y）（x﹣y）8中，=（﹣1）r•C8r x8﹣r y r，（x﹣y）8的通项公式为T r+1令r=6，则T7=C86x2y6=28x2y6，令r=5，则T6=﹣C85x3y5=﹣56x3y5，∴（x+y）（x﹣y）8的展开式中x3y6的系数为：1×28﹣1×56=﹣28．故答案为：﹣28．15．已知实数x，y满足，则的最小值为．【考点】利用导数研究函数的单调性；利用导数研究函数的极值；简单线性规划．【分析】根据题意作出不等式组对应的平面区域，为图中阴影部分，设P（x，y）是区域内一个动点，得=K OP是原点与P点连线的斜率．运动P点并观察斜率的变化，可得，从而得到当且仅当P与A重合时，的最小值．【解答】解：不等式组，表示的平面区域如图阴影部分，则表示直线的斜率，由可行域可知可行域内的点与原点连线的最小值在y=，与y=kx相切时k的值．可得k=，令g（x）=，x＞0，g′（x）=﹣，令﹣=0，可得x=1，x∈（0，1），g（x）是减函数，x＞1，函数是增函数，g（1）是函数g（x）的最小值为：=．所以的最小值为：．故答案为：．16．数列{a n}满足a n+1+（﹣1）n a n=n+1，则{a n}前40项的和440．【考点】数列的求和．【分析】由已知数列递推式可得a2k﹣1+a2k+a2k+1+a2k+2=4k+4．取k=1，3，5，…，19，作和得答案．【解答】解：由a n+1+（﹣1）n a n=n+1（n∈N*），∴当n=2k时，有a2k+1+a2k=2k+1，①当n=2k﹣1时，有a2k﹣a2k﹣1=2k，②当n=2k +1时，有a 2k +2﹣a 2k +1=2k +2，③ ①﹣②得：a 2k +1+a 2k ﹣1=1， ①+③得：a 2k +2+a 2k =4k +3， ∴a 2k ﹣1+a 2k +a 2k +1+a 2k +2=4k +4．∴S 40=4（1+3+5+…+19）+40=4×+40=440．故答案为：440．三、解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．17．如图，已知△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，C=120°． （Ⅰ）若c=1，求△ABC 面积的最大值； （Ⅱ）若a=2b ，求tanA ．【考点】余弦定理．【分析】（Ⅰ）由余弦定理，基本不等式可得，进而利用三角形面积公式即可计算得解．（Ⅱ）由正弦定理得sinA=2sinB ，利用三角形内角和定理可求B=60°﹣A ，利用三角函数恒等变换的应用即可化简求值得解． 【解答】（本题满分为12分）解：（Ⅰ）由余弦定理得a 2+b 2﹣2abcos120°=1，… a 2+b 2+ab=1≥2ab +ab=3ab ，当且仅当a=b 时取等号；解得，…故，即f （x ）面积的最大值为．…（Ⅱ）因为a=2b ，由正弦定理得sinA=2sinB ，… 又C=120°，故A +B=60°，∴，…∴，∴．…18．某校举行运动会，其中三级跳远的成绩在8.0米（四舍五入，精确到0.1米）以上的进入决赛，把所得数据进行整理后，分成6组画出频率分布直方图的一部分（如图），已知从左到右前5个小组的频率分别为0.04，0.10，0.14，0.28，0.30，第6小组的频数是7．（Ⅰ）求进入决赛的人数；（Ⅱ）若从该校学生（人数很多）中随机抽取两名，记X表示两人中进入决赛的人数，求X的分布列及数学期望；（Ⅲ）经过多次测试后发现，甲成绩均匀分布在8～10米之间，乙成绩均匀分布在9.5～10.5米之间，现甲，乙各跳一次，求甲比乙远的概率．【考点】列举法计算基本事件数及事件发生的概率；频率分布直方图；离散型随机变量的期望与方差．【分析】（Ⅰ）由频率分直方图求出第6小组的频率，从而求出总人数，进而得到第4、5、6组成绩均进入决赛，由此能求出进入决赛的人数．（Ⅱ）由题意知X的可能取值为0，1，2，进入决赛的概率为，从而X～，由此能求出X的分布列及数学期望．（Ⅲ）设甲、乙各跳一次的成绩分别为x、y米，则基本事件满足的区域为：，由此利用几何概型能求出甲比乙远的概率．【解答】解：（Ⅰ）第6小组的频率为1﹣（0.04+0.10+0.14+0.28+0.30）=0.14，∴总人数为（人）．…∴第4、5、6组成绩均进入决赛，人数为（0.28+0.30+0.14）×50=36（人）即进入决赛的人数为36．…（Ⅱ）由题意知X的可能取值为0，1，2，进入决赛的概率为，∴X～，，P（X=1）=，．…∴所求分布列为：，两人中进入决赛的人数的数学期望为．…（Ⅲ）设甲、乙各跳一次的成绩分别为x、y米，则基本事件满足的区域为：，事件A“甲比乙远的概率”满足的区域为x＞y，如图所示．…∴由几何概型P（A）==．即甲比乙远的概率为．…19．如图，在四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD是长方形，侧棱PD⊥底面ABCD，且PD=AD=1，DC=2，过D作DF⊥PB于F，过F作FE⊥PB交PC于E．（Ⅰ）证明：DE⊥平面PBC；（Ⅱ）求平面DEF与平面ABCD所成二面角的余弦值．【考点】二面角的平面角及求法；直线与平面垂直的判定．【分析】（Ⅰ）由已知得BC⊥平面PCD．即BC⊥DE，又PB⊥平面DEF．得PB⊥DE即可．（2）以点D原点，分别为x、y、z轴建立空间直角坐标系，则D（0，0，0），A（1，0，0），B（1，2，0），P（0，0，1）由DF⊥PB，FE⊥PB得PB⊥面DEF，是面DEF的法向量，又因为面ABCD的法向量为，利用向量的夹角公式求解．【解答】解：（Ⅰ）证明：因为PD⊥底面ABCD，所以PD⊥BC，由底面ABCD为长方形，有BC⊥CD，而PD∩CD=D，所以BC⊥平面PCD．而DE⊂平面PCD，所以BC⊥DE．…又因为DF⊥PB，FE⊥PB所以PB⊥平面DEF．而PB⊂平面PBC，所以PB⊥DE．…又BC⊥DE，PB∩BC=B，所以DE⊥平面PBC．…（Ⅱ）如图2，以点D原点，分别为x、y、z轴建立空间直角坐标系，则D（0，0，0），A（1，0，0），B（1，2，0），P（0，0，1）由DF⊥PB，FE⊥PB得PB⊥面DEF，∴是面DEF的法向量，又因为面ABCD的法向量为，利用向量的夹角公式可得cos=﹣，∴平面DEF与平面ABCD所成二面角的余弦值20．在直角坐标系xOy 上取两个定点A 1（﹣，0），A 2（，0），再取两个动点N 1（0，m ），N 2（0，n ），且mn=2．（Ⅰ）求直线A 1N 1与A 2N 2交点M 的轨迹C 的方程；（Ⅱ）过R （3，0）的直线与轨迹C 交于P ，Q ，过P 作PN ⊥x 轴且与轨迹C 交于另一点N ，F 为轨迹C 的右焦点，若=λ（λ＞1），求证：=λ．【考点】轨迹方程．【分析】（I ）由直线方程的点斜式列出A 1N 1和A 2N 2的方程，联解并结合mn=2化简整理得方程，再由N 1、N 2不与原点重合，可得直线A 1N 1与A 2N 2交点的轨迹C 的方程；（II ）设l ：x=ty +3，代入椭圆方程消去x ，得（3+t 2）y 2+6ty +3=0，利用分析法进行证明．【解答】（I ）解：依题意知直线A 1N 1的方程为：y=（x +）…①；直线A 2N 2的方程为：y=﹣（x ﹣）…②设Q （x ，y ）是直线A 1N 1与A 2N 2交点，①、②相乘，得y 2=﹣（x 2﹣6）由mn=2整理得：=1∵N 1、N 2不与原点重合，可得点A 1，A 2不在轨迹M 上，∴轨迹C 的方程为=1（x ≠±）．（Ⅱ）证明：设l ：x=ty +3，代入椭圆方程消去x ，得（3+t 2）y 2+6ty +3=0．设P （x 1，y 1），Q （x 2，y 2），N （x 1，﹣y 1），可得y 1+y 2=﹣且y 1y 2=，=λ，可得（x1﹣3，y1）=λ（x2﹣3，y2），∴x1﹣3=λ（x2﹣3），y1=λy2，证明=λ，只要证明（2﹣x1，y1）=λ（x2﹣2，y2），∴2﹣x1=λ（x2﹣2），只要证明=﹣，只要证明2t2y1y2+t（y1+y2）=0，由y1+y2=﹣且y1y2=，代入可得2t2y1y2+t（y1+y2）=0，∴=λ．21．函数f（x）=lnx+x2+ax（x∈R），g（x）=e x+x2．（Ⅰ）讨论f（x）的极值点的个数；（Ⅱ）若对于∀x＞0，总有f（x）≤g（x）．（i）求实数a的范围；（ii）求证：对于∀x＞0，不等式e x+x2﹣（e+1）x+＞2成立．【考点】利用导数研究函数的极值；利用导数研究函数的单调性．【分析】（Ⅰ）【解法一】：求f（x）的导数f′（x），利用判别式△=a2﹣4，判断f′（x）是否大于0，从而得出f（x）的单调性与极值点情况；【解法二】：求f（x）的导数f′（x），根据x＞0求出f'（x）的值域，讨论a的值得出f′（x）的正负情况，判断f（x）的单调性和极值点问题；（Ⅱ）（i）f（x）≤g（x）等价于e x﹣lnx+x2≥ax，由x＞0，利用分离常数法求出a的表达式，再构造函数求最值即可证明；（ii）由（i）结论，a=e+1时有f（x）≤g（x），得出不等式，再进行等价转化，证明转化的命题成立即可．【解答】解：（Ⅰ）【解法一】：由题意得，令△=a2﹣4，（1）当△=a2﹣4≤0，即﹣2≤a≤2时，x2+ax+1≥0对x＞0恒成立；即对x＞0恒成立，此时没有极值点；…（2）当△=a2﹣4＞0，即a＜﹣2或a＞2，①a＜﹣2时，设方程x2+ax+1=0两个不同实根为x1，x2，不妨设x1＜x2，则x1+x2=﹣a＞0，x1x2=1＞0，故x2＞x1＞0，∴x＜x1或x＞x2时f（x）＞0；在x1＜x＜x2时f（x）＜0，故x1，x2是函数f（x）的两个极值点；②a＞2时，设方程x2+ax+1=0两个不同实根为x1，x2，则x1+x2=﹣a＜0，x1x2=1＞0，故x2＜0，x1＜0，∴x＞0时，f（x）＞0；故函数f（x）没有极值点；…综上，当a＜﹣2时，函数f（x）有两个极值点；当a≥﹣2时，函数f（x）没有极值点；…【解法二】：由题意得，…∵x＞0，∴f'（x）∈[a+2，+∞），①当a+2≥0，即a∈[﹣2，+∞）时，f′（x）≥0对∀x＞0恒成立，∴f（x）在（0，+∞）上单调递增，f（x）没有极值点；…②当a+2＜0，即a∈（﹣∞，﹣2）时，方程x2+ax+1=0有两个不等正数解x1，x2，不妨设0＜x1＜x2，则当x∈（0，x1）时，f'（x）＞0，f（x）单调递增；x∈（x1，x2）时，f'（x）＜0，f（x）单调递减；x∈（x2，+∞）时，f'（x）＞0，f（x）单调递增，所以x1，x2分别为f（x）极大值点和极小值点，f（x）有两个极值点．综上所述，当a∈[﹣2，+∞）时，f（x）没有极值点；当a∈（﹣∞，﹣2）时，f（x）有两个极值点；…（Ⅱ）（i）f（x）≤g（x）等价于e x﹣lnx+x2≥ax，由x＞0，即对于∀x＞0恒成立，设，，∵x＞0，∴x∈（0，1）时，φ'（x）＜0，φ（x）单调递减，x∈（1，+∞）时，φ'（x）＞0，φ（x）单调递增，∴φ（x）≥φ（1）=e+1，∴a≤e+1；…（ii）由（i）知，当a=e+1时有f（x）≤g（x），即：，等价于e x+x2﹣（e+1）x≥lnx…①当且仅当x=1时取等号，…以下证明：，设，则，∴当x∈（0，e）时θ'（x）＜0，θ（x）单调递减，x∈（e，+∞）时θ'（x）＞0，θ（x）单调递增，∴θ（x）≥θ（e）=2，∴，…②当且仅当x=e时取等号；由于①②等号不同时成立，故有．…四、请考生在第22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分，作答时请用2B铅笔在答题卡上将所选题号后的方框涂黑．22．在极坐标系中，圆C的极坐标方程为：ρ2=4ρ（cosθ+sinθ）﹣3．若以极点O 为原点，极轴所在直线为x轴建立平面直角坐标系．（Ⅰ）求圆C的参数方程；（Ⅱ）在直角坐标系中，点P（x，y）是圆C上动点，试求x+2y的最大值，并求出此时点P的直角坐标．【考点】简单曲线的极坐标方程；函数的最值及其几何意义．【分析】（Ⅰ）由圆C的极坐标方程为：ρ2=4ρ（cosθ+sinθ）﹣3．利用互化公式可得直角坐标方程，再利用同角三角函数的平方关系可得圆C的参数方程．（Ⅱ）由（Ⅰ）可得，设点P（2+cosθ，2+sinθ），可得x +2y=6+5，设sinα=，则，可得x +2y=6+5sin （θ+α），再利用三角函数的单调性与值域即可得出最大值．【解答】解：（Ⅰ）∵圆C 的极坐标方程为：ρ2=4ρ（cosθ+sinθ）﹣3． ∴直角坐标方程为：x 2+y 2﹣4x ﹣4y +3=0，即（x ﹣2）2+（y ﹣2）2=5为圆C 的普通方程．利用同角三角函数的平方关系可得：圆C 的参数方程为（θ为参数）．（Ⅱ）由（Ⅰ）可得，设点P （2+cosθ，2+sinθ），∴x +2y=2+cosθ+2（2+）=6+5设sinα=，则， ∴x +2y=6+5sin （θ+α），当sin （θ+α）=1时，（x +2y ）max =11，此时，θ+α=，k ∈Z ．∴sinθ=cosα=，cosθ=sinα=． 点P 的直角坐标为（3，4）时，x +2y 取得最大值11．23．已知函数f （x ）=|x ﹣2|+2，g （x ）=m |x |（m ∈R ）．（Ⅰ）解关于x 的不等式f （x ）＞5；（Ⅱ）若不等式f （x ）≥g （x ）对任意x ∈R 恒成立，求m 的取值范围．【考点】绝对值不等式的解法；绝对值三角不等式．【分析】（Ⅰ）由f （x ）＞5，得|x ﹣2|＞3，即可解关于x 的不等式f （x ）＞5；（Ⅱ）若不等式f （x ）≥g （x ）对任意x ∈R 恒成立，得|x ﹣2|≥m |x |﹣2对任意x ∈R 恒成立，分类讨论，分离参数，即可求m 的取值范围．【解答】解：（Ⅰ）由f （x ）＞5，得|x ﹣2|＞3，即x ﹣2＜﹣3或x ﹣2＞3，…∴x ＜﹣1或x ＞5．故原不等式的解集为{x |x ＜﹣1或x ＞5}…（Ⅱ）由f （x ）≥g （x ），得|x ﹣2|≥m |x |﹣2对任意x ∈R 恒成立， 当x=0时，不等式|x ﹣2|≥m |x |﹣2成立，当x≠0时，问题等价于对任意非零实数恒成立，…∵，∴m≤1，即m的取值范围是（﹣∞，1]．…2017年3月15日。

2020届湖北省“荆、荆、襄、宜四地七校考试联盟”2017级高三1月联考数学（理）试卷★祝考试顺利★(解析版)本试卷共2页,共23题（含选考题）满分150分,考试用时120分钟注意事项：1.答题前,考生务必将自己的姓名、班级、准考证号填写在答题卡上,并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置.2.选择题的作答：每小题选出答案后,用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑,如需改动,用橡皮擦干净后,再选涂其它答案标号.答在试题卷、草稿纸上无效.3.填空题和解答题的作答：用黑色中性笔将答案直接答在答题卡上对应的答题区域内,答在试题卷、草稿纸上无效.4.考生必须保持答题卡的整洁,考试结束后,请将答题卡上交.一、选择题：共12小题,每小题5分,共60分.在每个小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.1.复数z 满足(1)z i i -=,则z 在复平面上对应的点位于( )A. 第一象限B. 第二象限C. 第三象限D. 第四象限 【答案】B【解析】 由题意可得1=-i z i ,根据复数的除法运算得1122z i =-+,可得选项. 【详解】由题意可得(1)1111(1)(1)222i i i i z i i i i +-+====-+--+, 对应的点在第二象限,故选：B.2.已知全集U =R ,集合2230{|}A x x x =--≤,集合2{log 1}B x x =≤|,则()U A B =( )A. (2,3]B. φC. [1,0)(2,3]-D. [1,0](2,3]-【答案】D【解析】根据对数不等式的解法可求得集合{|02}B x x =<<, 根据一元二次不等式的解法可求得集合13{|}A x x =-≤≤, 再根据集合的补集运算可求得{|0U C B x x =≤或2}x ≥, 从而可得选项.【详解】集合U =R ,{}2|230{|13}A x x x x x =--≤=-≤≤,集合{}2|log 1{|02}B x x x x =<=<<,所以{|0U C B x x =≤或2}x ≥,所以(){|10U A C B x x ⋂=-≤≤或23}[1,0][2,3]x ≤≤=-⋃故选：D.3.已知0.20.8512,(),2log 22a b c -===,则( ) A. c a b <<B. c b a <<C. a b c <<D. b a c << 【答案】A【解析】 先判断指数函数底数21>,故指数函数2x y =在R 上单调递增,可得0.800.20.8112222-⎛⎫=<<= ⎪⎝⎭,再由对数函数底数51>,故对数函数5log y x =在(0,)+∞上单调递增,故5552log 2log 4log 51=<=,从而可得选项。

“荆、荆、襄、宜四地七校考试联盟”2019届高三2月联考数 学（理）试 题一、选择题:本大题共12小题,每小题5分,在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的. 1.已知全集{1,2,3,4,5,6}U =,集合{1,2,4},{1,3,5}A B ==,则()U A B =ð（ ）A.{1}B.{3,5}C.{1,6}D.{1,3,5,6}2.欧拉公式cos sin i e i θθθ=+(e 是自然对数的底,i 是虚数单位)是由瑞士著名数学家欧拉发现的.它将三角函数的定义域扩大到复数,建立了三角函数和指数函数的关系,它在复变函数论里占有非常重要的地位 当θπ=时,就有10i e π+=.根据上述背景知识试判断20183i e π-表示的复数在复平面对应的点位于（ ） A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限3.向量,,a b c 在正方形网格中的位置如图所示.若向量λ+a b 与c 共线,则实数λ=（ ） A.2- B.1- C.1D.2 4. 若数列{}n a 是公比不为1的等比数列,且201820200a a +=⎰,则2017201920212023(2)a a a a ++=（ ）A.24π B.22π C.2π D.23π5.设x R ∈,定义符号函数1,0sgn()0,01,0x x x x >⎧⎪==⎨⎪-<⎩,则下列等式正确的是（ ）A. sin sgn()sin x x x ⋅=B. sin sgn()|sin |x x x ⋅=C. sin sgn()sin x x x ⋅=D. sin sgn()sin ||x x x ⋅=6.运行如图所示的程序框图,设输出的数据构成集合A ,从集合A 中任取一个元 素a ,则函数y ＝x a 在（0,+∞）上是增函数的概率为（ ）A.12B.25C.23D.347. 已知函数32()17f x ax bx cx =++-(,,)a b c R ∈的导函数为)(x f ',0)(≤'x f 的解集为{}32≤≤-x x ,若)(x f 的极小值等于98-,则a 的值是（ ） A.2281-B.31C.2D.5 8.已知()511x ax x ⎛⎫+- ⎪⎝⎭的展开式中常数项为40-,则a 的值为（ ）A.2B.2-C. 2±D.49.已知函数()2sin 0)f x x w w =>（在区间,23p p轾-犏犏臌上是增函数,且在区间[]0,p 上存在唯一的0x 使得()02f x =,则w 的取值不可能为（ ）A.13 B. 23 C. 45D. 1 10.直线4x =与双曲线C ：2214x y -=的渐近线交于A 、B 两点,设P 为双曲线C 上的任意一点,若OB b OA a OP +=(a 、b ∈R ,O 为坐标原点),则下列不等式恒成立的是（ ）A.2212a b +≥B.2218a b +≥C.2212a b +≤D.2218a b +≤11.如图，在正方体ABCD －A 'B 'C 'D '中,平面α垂直于对角线AC ',且平面α截得正方体的六个表面得到截面六边形,记此截面六边形的面积为S ,周长为l ,则（ ）A.S 为定值,l 不为定值B.S 不为定值,l 为定值C.S 与l 均为定值D.S 与l 均不为定值12.设函数32()341f x x x x =-+-,x R ∈. 若当02πθ<<时,不等式(sin )(4)2f m f m θ+->恒成立,则实数m 的取值范围是（ ） A. []1,2- B.()4,4- C.[)2,+∞ D.(],2-∞二.填空题：本大题共4小题,每小题5分。

湖北省荆门市、荆州市、襄阳市、宜昌市2017年四地七校联盟高考（2月份）模拟数学（理科）试卷及答案解析一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1．已知复数1i z =-（i 是虚数单位），则22z z-的共轭复数是（ ）A ．13i -B ．13i +C ．13i -+D ．13i --2．设集合{}{}|2,|21,xA x xB y y =<==-则A B =（ ）A ．()()232,06,0F F ，- (),3-∞B ．[)2,3C ．[),2-∞D ．()1,2-3．已知α为第四象限角，1sin cos 5αα+=，则tan 2α的值为（ ）A ．12-B ．12C ．13-D ．134．有一长、宽分别为50m 、30m 的游泳池，一名工作人员在池边巡视，某时刻出现在池边任一位置的可能性相同。

一人在池中心（对角线交点）处呼唤工作人员，其声音可传出，则工作人员能及时听到呼唤（出现在声音可传到区域）的概率是（ ） A ．34B ．38C ．3π16D ．123π32+ 5．抛物线24y x =的焦点到双曲线3213y x -=的渐近线的距离是（ ）A ．12B C ．1 D 6．函数2ln ||y x x =-的图象大致为（ ）A ．B ．C ．D ．7．某几何体的三视图如图所示，图中的四边形都是边长为4的正方形，两条虚线互相垂直，则该几何体的体积是（ ）A ．1763B ．1603C ．1283D ．328．宋元时期数学名著《算学启蒙》中有关于“松竹并生”的问题：松长五尺，竹长两尺，松日自半，竹日自倍，松竹何日而长等，如图是源于其思想的一个程序框图，若输入的,a b 分别为5，2，则输出的n 等于（ ）A ．2B ．3C ．4D ．59．设随机变量η服从正态分布()21,N σ，若()10.2Pη<-=，则函数()32213f x x x x η=++没有极值点的概率是（ ） A ．0.2B ．0.3C ．0.7D ．0.810．已知圆22:4,C x y +=点P 为直线290x y +-=上一动点，过点P 向圆引两条切线PA 、PB ，A 、B 为切点，则直线AB 经过定点（ ） A ．48,99⎛⎫ ⎪⎝⎭B ．24,99⎛⎫⎪⎝⎭C ．()2,0D ．()9,011．如图，三个边长为2的等边三角形有一条边在同一条直线上，边33B C 上有10个不同的点1210,,,P P P ⋯记i 2i 1,2,,10i m AB AP =∙=⋯（），则1210m m m ++⋯+的值为（ ）A ．180B．C ．45D．12．已知函数()[]()()()2|1|,021,=2x x x f x x ⎧-∙-≤<⎪=⎨⎪⎩，其中[]x 表示不超过x 的最大整数。

2017年湖北省新联考高考数学四模试卷（理科）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每个小题给出的四个选项中，有且只有一项符合题目要求.1．已知集合A={x|y=}，B={x|x2﹣x＞0}，则A∩B=（）A．{x|x≥0}B．{x|0＜x＜1}C．{x|x＞1}D．{x|x＜0或x＞1}2．设复数z满足z（1+i）=i（i为虚数单位），则|z|=（）A．B．C．1 D．3．在[﹣1，2]内任取一个数a，则点（1，a）位于x轴下方的概率为（）A．B．C．D．4．若x＞2m2﹣3是﹣1＜x＜4的必要不充分条件，则实数m的取值范围是（）A．[﹣3，3]B．（﹣∞，﹣3]∪[3，+∞）C．（﹣∞，﹣1]∪[1，+∞）D．[﹣1，1]5．如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗实线画出的是某几何体的三视图，则该几何体的体积为（）A．B．C．D．6．已知直线l过双曲线Γ：=1（a＞0，b＞0）的一个焦点且与Γ的一条渐近线平行，若l在y轴上的截距为a，则双曲线的离心率为（）A．B．2 C．D．27．已知定义[x]表示不超过的最大整数，如[2]=2，[2，2]=2，执行如图所示的程序框图，则输出S=（）A．1991 B．2000 C．2007 D．20088．若tanα=，则sin4α﹣cos4α+6sin cos cosα=（）A．1 B．C．D．9．如图所示，单位位圆上的两个向量相互垂直，若向量满足（）（）=0，则||的取值范围是（）A．[0，1]B．[0，]C．[1，]D．[1，2]10．直线y=kx﹣4，k＞0与抛物线y2=2x交于A，B两点，与抛物线的准线交于点C，若AB=2BC，则k=（）A．B．C．2D．11．已知函数f（x）=cos（2x+φ），且f（x）dx=0，则下列说法正确的是（）A．f（x）的一条对称轴为x=B．存在φ使得f（x）在区间[﹣，]上单调递减C．f（x）的一个对称中心为（，0）D．存在φ使得f（x）在区间[，]上单调递增12．设定义在R上的可导函数f（x）的导函数为f′（x），若f（3）=1，且3f（x）+xf′（x）＞ln（x+1），则不等式（x﹣2017）3f（x﹣2017）﹣27＞0的解集为（）A．（2014，+∞）B．（0，2014）C．（0，2020）D．（2020，+∞）二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.13．（1+x）2017的展开式中，x2017的系数为．（用数字作答）14．已知点（x，y）满足约束条件，则的取值范围为．15．已知函数f（x）=，若f（a）=f（b）（0＜a＜b），则当取得最小值时，f（a+b）=．16．在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且=，则cosC﹣2sinB的最小值为．三、解答题：本大题共5小题，共70分.解答应写出必要的文字说明或推理、验算过程.17．已知等差数列{a n}满足a n＞1，其前n项和S n满足6S n=a n2+3a n+2（1）求数列{a n}的通项公式及前n项和S n；（2）设数列{b n}满足b n=，且其前n项和为T n，证明：≤T n＜．18．如图1，四边形ABCD中，AB∥CD，AD⊥AB，AB=2CD=4，AD=2，过点C作CO⊥AB，垂足为O，将△OBC沿CO折起，如图2使得平面CBO与平面AOCD所成的二面角的大小为θ（0＜θ＜π），E，F分别为BC，AO的中点（1）求证：EF∥平面ABD（2）若θ=，求二面角F﹣BD﹣O的余弦值．19．随着网络营销和电子商务的兴起，人们的购物方式更具多样化，某调查机构随机抽取10名购物者进行采访，5名男性购物者中有3名倾向于选择网购，2名倾向于选择实体店，5名女性购物者中有2名倾向于选择网购，3名倾向于选择实体店．（1）若从10名购物者中随机抽取2名，其中男、女各一名，求至少1名倾向于选择实体店的概率；（2）若从这10名购物者中随机抽取3名，设X表示抽到倾向于选择网购的男性购物者的人数，求X的分布列和数学期望．20．已知椭圆C：=1（a＞b＞0）过点A（0，3），与双曲线=1有相同的焦点（1）求椭圆C的方程；（2）过A点作两条相互垂直的直线，分别交椭圆C于P，Q两点，则PQ是否过定点？若是，求出定点的坐标，若不是，请说明理由．21．已知函数f（x）=8a2lnx+x2+6ax+b（a，b∈R）（1）若曲线y=f（x）在点（1，f（1））处的切线方程为y=2x，求a，b的值；（2）若a≥1，证明：∀x1，x2∈（0，+∞），且x1≠x2，都有＞14成立．[选修4-4：参数方程与极坐标系]22．在平面直角坐标系xOy中，直线l的参数方程为（t为参数），以坐标原点O为极点，x轴的正半轴为极轴的极坐标系中，曲线C的极坐标方程为ρ2﹣2ρcosθ﹣4=0（1）若直线l与曲线C没有公共点，求m的取值范围；（2）若m=0，求直线l被曲线C截得的弦长．[选修4-5：不等式选讲]23．已知函数f（x）=|x﹣2a|+|x+|（1）当a=1时，求不等式f（x）＞4的解集；（2）若不等式f（x）≥m2﹣m+2对任意实数x及a恒成立，求实数m的取值范围．2017年湖北省新联考高考数学四模试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每个小题给出的四个选项中，有且只有一项符合题目要求.1．已知集合A={x|y=}，B={x|x2﹣x＞0}，则A∩B=（）A．{x|x≥0}B．{x|0＜x＜1}C．{x|x＞1}D．{x|x＜0或x＞1}【考点】交集及其运算．【分析】求函数定义域得集合A，解不等式得集合B，根据交集的定义写出A∩B．【解答】解：集合A={x|y=}={x|x≥0}，B={x|x2﹣x＞0}={x|x＜0或x＞1}，则A∩B={x|x＞1}．故选：C．【点评】本题考查了求函数定义域和解不等式的应用问题，也考查了交集的运算问题，是基础题．2．设复数z满足z（1+i）=i（i为虚数单位），则|z|=（）A．B．C．1 D．【考点】复数求模．【分析】先求出复数z，然后利用求模公式可得答案．【解答】解：由z（1+i）=i得z===+i，则则|z|==，故选：B【点评】本题考查复数代数形式的运算、复数求模，属基础题．3．在[﹣1，2]内任取一个数a，则点（1，a）位于x轴下方的概率为（）A．B．C．D．【考点】几何概型．【分析】根据几何概型的概率公式即可得到结论．【解答】解：在[﹣1，2]内任取一个数a，则点（1，a）位于x轴下方的概率为=，故选：C．【点评】本题主要考查概率的计算，根据几何概型的概率公式是解决本题的关键．4．若x＞2m2﹣3是﹣1＜x＜4的必要不充分条件，则实数m的取值范围是（）A．[﹣3，3]B．（﹣∞，﹣3]∪[3，+∞）C．（﹣∞，﹣1]∪[1，+∞）D．[﹣1，1]【考点】必要条件、充分条件与充要条件的判断．【分析】根据充分条件和必要条件的定义结合不等式之间的关系进行求解即可．【解答】解：x＞2m2﹣3是﹣1＜x＜4的必要不充分条件，∴（﹣1，4）⊆（2m2﹣3，+∞），∴2m2﹣3≤﹣1，解得﹣1≤m≤1，故选：D．【点评】本题主要考查充分条件和必要条件的应用，根据不等式的关系是解决本题的关键．5．如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗实线画出的是某几何体的三视图，则该几何体的体积为（）A．B．C．D．【考点】由三视图求面积、体积．【分析】由题意，该几何体是由一个半圆柱与一个半球组成的组合体，其中半圆柱的底面半径为1，高为4，半球的半径为1，即可求出几何体的体积．【解答】解：由题意，该几何体是由一个半圆柱与一个半球组成的组合体，其中半圆柱的底面半径为1，高为4，半球的半径为1，几何体的体积为=π，故选C．【点评】本题考查三视图，考查几何体体积的计算，考查学生的计算能力，属于中档题．6．已知直线l过双曲线Γ：=1（a＞0，b＞0）的一个焦点且与Γ的一条渐近线平行，若l在y轴上的截距为a，则双曲线的离心率为（）A．B．2 C．D．2【考点】双曲线的简单性质．【分析】利用已知条件，求出直线方程，代入焦点坐标，转化求解双曲线的离心率即可．【解答】解：不妨设直线l过双曲线的左焦点（﹣c，0），要使l在y轴上的截距为：为a，直线l方程：y=，直线经过（﹣c，0），可得，可得，e，平方化简解得e=．故选：A．【点评】本题考查双曲线的简单性质的应用，考查转化思想以及计算能力．7．已知定义[x]表示不超过的最大整数，如[2]=2，[2，2]=2，执行如图所示的程序框图，则输出S=（）A．1991 B．2000 C．2007 D．2008【考点】程序框图．【分析】根据题意，模拟程序框图的运行过程，依次写出每次循环得到的i，S的值，当i=10时，退出循环，输出的S的值为2000．【解答】解：i=1，s=2017，i=2；s=2016，i=3；s=2016，i=3；s=2016，i=4，s=2016，i=5；s=2015，i=6；s=2010，i=7；s=2009，i=8；s=2008，i=9；s=2007，i=10；s=2000，跳出循环，输出s=2000，故选：B．【点评】本题考查程序框图和算法，考查学生的运算能力．8．若tanα=，则sin4α﹣cos4α+6sin cos cosα=（）A．1 B．C．D．【考点】三角函数的化简求值．【分析】利用同角三角函数的基本关系，二倍角公式求得要求式子的值．【解答】解：∵tanα=，则sin4α﹣cos4α+6sin cos cosα=sin2α﹣cos2α+3sinαcosα===，故选：D．【点评】本题主要考查同角三角函数的基本关系，二倍角公式，属于基础题．9．如图所示，单位位圆上的两个向量相互垂直，若向量满足（）（）=0，则||的取值范围是（）A．[0，1]B．[0，]C．[1，]D．[1，2]【考点】平面向量数量积的运算．【分析】先由条件可得出，||=，这样便可由得出，从而得出的取值范围．【解答】解：由条件，，；∵；∴；∴；∴；∴的取值范围为．故选B．【点评】考查向量垂直的充要条件，单位向量的概念，向量数量积的运算及计算公式．10．直线y=kx﹣4，k＞0与抛物线y2=2x交于A，B两点，与抛物线的准线交于点C，若AB=2BC，则k=（）A．B．C．2D．【考点】直线与抛物线的位置关系．【分析】将直线方程代入抛物线方程，利用韦达定理及相似三角形的性质，即可求得x1，x2，由x1x2=，代入计算即可求得k的值．【解答】解：如图，过AB两点作抛物线的准线抛物线的准线的垂线，设A（x1，y1），B（x2，y2），则，整理得：k2x2﹣（8k+2）x+16=0，则x1+x2=，x1x2=，显然△CB′B∽△CA′A，则==，由抛物线的定义得：==，∴=，整理得：4x2=（x1+x2）﹣，∴x2=﹣，则x1=+，由x1x2=，则（+）（﹣）=，由k＞，0解得：k=，或将选项一一代入验证，只有A成立，故选：A．【点评】本题考查直线与抛物线的位置关系，考查韦达定理，相似三角形的性质，计算量大，计算过程复杂，考查数形结合思想，属于中档题．11．已知函数f（x）=cos（2x+φ），且f（x）dx=0，则下列说法正确的是（）A．f（x）的一条对称轴为x=B．存在φ使得f（x）在区间[﹣，]上单调递减C．f（x）的一个对称中心为（，0）D．存在φ使得f（x）在区间[，]上单调递增【考点】余弦函数的图象．【分析】利用f（x）=cos（2x+φ），f（x）dx，求出φ值，然后找出分析选项，即可得出结论．【解答】解：f（x）=cos（2x+φ），f（x）dx=sin（2x+φ）=sin（+φ）+sinφ=0，∴tanφ=﹣，解得φ=﹣+kπ，k∈Z．令2x﹣+kπ=nπ，n∈Z，可得x=（n﹣k）π+，令（n﹣k）π+=π，=，矛盾；令2mπ≤2x﹣+kπ≤π+2mπ，k为奇数，单调减区间为[+mπ， +mπ]，不符合题意，k为偶数，单调减区间为[+mπ， +mπ]，不符合题意；令2x﹣+kπ=π+mπ，x=+（m﹣k）=，∴=，矛盾；令π+2mπ≤2x﹣+kπ≤2π+2mπ，k为奇数，单调减区间为[+mπ， +mπ]，符合题意．故选D．【点评】本题主要考查定积分，余弦函数的图象的性质，属于中档题．12．设定义在R上的可导函数f（x）的导函数为f′（x），若f（3）=1，且3f（x）+xf′（x）＞ln（x+1），则不等式（x﹣2017）3f（x﹣2017）﹣27＞0的解集为（）A．（2014，+∞）B．（0，2014）C．（0，2020）D．（2020，+∞）【考点】利用导数研究函数的单调性；函数恒成立问题；导数的运算．【分析】利用函数的可导性，构造函数g（x）=x3f（x），利用函数的单调性以及不等式，转化求解不等式的解集即可．【解答】解：定义在R上的可导函数f（x）的导函数为f′（x），3f（x）+xf′（x）＞ln（x+1），所以3x2f（x）+x3f′（x）＞x2ln（x+1）＞0（x＞0），可得[x3f（x）]′＞0，所以函数g（x）=x3f（x）在（0，+∞）是增函数，因为（x﹣2017）3f（x﹣2017）﹣27＞0，且f（3）=1，所以（x﹣2017）3f（x﹣2017）＞33f（3），即g（x﹣2017）＞g（3），所以x﹣2017＞3，解得x＞2020．则不等式（x﹣2017）3f（x﹣2017）﹣27＞0的解集为：（2020，+∞）．故选：D．【点评】本题考查函数的导数，不等式的解集，不等式恒成立问题存在性问题，考查转化思想以及计算能力．二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.13．（2016﹣x）（1+x）2017的展开式中，x2017的系数为﹣1．（用数字作答）【考点】二项式定理的应用．【分析】利用二项展开式的通项公式，求得（1+x）2017的展开式的通项公式，可得（2016﹣x）（1+x）2017的展开式中，x2017的系数．【解答】解：由于（1+x）2017的展开式的通项公式为T r+1=x r，分别令r=2017，r=2016，可得（2016﹣x）（1+x）2017的展开式中x2017的系数为2016﹣=2016﹣2017=﹣1，故答案为：﹣1．【点评】本题主要考查二项式定理的应用，二项展开式的通项公式，求展开式中某项的系数，属于基础题14．已知点（x，y）满足约束条件，则的取值范围为[﹣，] ．【考点】简单线性规划．【分析】画出满足条件的平面区域，求出角点的坐标，结合z=的几何意义求出其范围即可．【解答】解：不等式组表示的可行域如图：z=的几何意义是可行域内的点与（﹣3，0）连线的斜率：结合图形可知在A处取得最大值，在B处取得最小值，由：解得A（2，4），z=的最大值为：；由解得B（﹣1，﹣3），z=的最小值为：﹣．则的取值范围为[﹣，]．故答案为：[﹣，]．【点评】本题考查了简单的线性规划问题，考查数形结合思想，判断目标函数的几何意义是解题的关键，是一道中档题．15．已知函数f（x）=，若f（a）=f（b）（0＜a＜b），则当取得最小值时，f（a+b）=1﹣2lg2．【考点】基本不等式．【分析】根据函数的性质可得ab=1，再根据基本不等式得到当取得最小值，a，b的值，再代值计算即可【解答】解：由f（a）=f（b）可得lgb=﹣lga，即lgab=0，即ab=1，则==4a+b≥2=4，当且仅当b=4a时，取得最小值，由，可得a=，b=2，∴f（a+b）=f（）=lg=1﹣2lg2，故答案为：1﹣2lg2．【点评】本题主要考查函数的性质以及基本不等式的应用，意在考查学生的逻辑推理能力．16．在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且=，则cosC﹣2sinB 的最小值为﹣1．【考点】余弦定理；正弦定理．【分析】利用余弦定理化简已知等式可求b2+c2﹣a2=bc，进而利用余弦定理可求cosA=，可得A=，C=﹣B，利用三角函数恒等变换的应用化简可得cosC﹣2sinB=﹣sin（B+），进而利用正弦函数的图象和性质可求最小值．【解答】解：在△ABC中，∵=，∴=，整理可得：b2+c2﹣a2=bc，∴cosA==，∴A=，C=﹣B，∴cosC﹣2sinB=cos（﹣B）﹣2sinB=﹣sinB﹣cosB=﹣sin（B+）≥﹣1，当B+=时等号成立，即当B=，C=时，cosC﹣2sinB的最小值为﹣1．故答案为：﹣1．【点评】本题主要考查了三角函数恒等变换的应用，余弦定理在解三角形中的综合应用，考查了学生的运算求解能力和转化思想，属于基础题．三、解答题：本大题共5小题，共70分.解答应写出必要的文字说明或推理、验算过程.17．已知等差数列{a n}满足a n＞1，其前n项和S n满足6S n=a n2+3a n+2（1）求数列{a n}的通项公式及前n项和S n；（2）设数列{b n}满足b n=，且其前n项和为T n，证明：≤T n＜．【考点】数列的求和；数列递推式．【分析】（1）当n=1、2时，解得a1．a2，利用公差d=a2﹣a1=3．可得a n=a1+（n﹣1）d=3n﹣1．（2）由（1）可得a n=3n﹣1．利用“裂项求和”即可得出数列{b n}的前n项和T n．【解答】解：（1）∵6S n=a n2+3a n+2，∴6a1=a12+3a1+2，解得a1=1或a1=2．∵a n＞1，∴a1=2．当n=2时，6S2=a22+3a2+2，即6（2+a2）=a22+3a2+2，解得a2=5或a2=﹣2（舍）．∴等差数列{a n}的公差d=a2﹣a1=3．∴a n=a1+（n﹣1）d=3n﹣1．前n项和S n=．（2），前n项和为T n=b1+b2+b3+…+b n==∵b n＞0，∴，∴≤T n＜．【点评】本题考查了递推式的应用、等差数列的定义与通项公式、“裂项求和”方法，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．18．如图1，四边形ABCD中，AB∥CD，AD⊥AB，AB=2CD=4，AD=2，过点C作CO⊥AB，垂足为O，将△OBC沿CO折起，如图2使得平面CBO与平面AOCD所成的二面角的大小为θ（0＜θ＜π），E，F分别为BC，AO的中点（1）求证：EF∥平面ABD（2）若θ=，求二面角F﹣BD﹣O的余弦值．【考点】二面角的平面角及求法；直线与平面平行的判定．【分析】（1）过点E作EH∥BD，交CD于点H，连结HF，推导出平面EHF∥平面ABD，由此能证明EF∥平面ABD．（2）由题得平面CBO与平面AOCD所成二面角的平面角为∠BOA=θ，连结BF，以点F为坐标原点，以FO，FH，FB分别为x，y，z轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出二面角F﹣BD﹣O的余弦值．【解答】证明：（1）过点E作EH∥BD，交CD于点H，连结HF，则H为CD中点，∴HF∥AD∵AD⊂平面ABD，HF⊄平面ABD，∴HF∥平面ABD，同理，EH∥平面ABD，∵EH∩HF=H，∴平面EHF∥平面ABD，∵EF⊂平面EHF，∴EF∥平面ABD．解：（2）由题得平面CBO与平面AOCD所成二面角的平面角为∠BOA=θ，连结BF，∵θ=，OB=2，OF=1，∴BF⊥AO，以点F为坐标原点，以FO，FH，FB分别为x，y，z轴，建立空间直角坐标系，则F（0，0，0），B（0，0，），D（﹣1，2，0），O（1，0，0），设平面FBD的法向量=（x，y，z），则，取x=2，解得=（2，﹣1，0）同理得平面BDO的一个法向量=（，1），设二面角F﹣BD﹣O的平面角为α，cosα===，∴二面角F﹣BD﹣O的余弦值为．【点评】本题考查空间直线与增面的位置关系、空间角、数学建模，考查推理论证能力、运算求解能力、空间思维能力，考查转化化归思想、数形结合思想，是中档题．19．随着网络营销和电子商务的兴起，人们的购物方式更具多样化，某调查机构随机抽取10名购物者进行采访，5名男性购物者中有3名倾向于选择网购，2名倾向于选择实体店，5名女性购物者中有2名倾向于选择网购，3名倾向于选择实体店．（1）若从10名购物者中随机抽取2名，其中男、女各一名，求至少1名倾向于选择实体店的概率；（2）若从这10名购物者中随机抽取3名，设X表示抽到倾向于选择网购的男性购物者的人数，求X的分布列和数学期望．【考点】离散型随机变量的期望与方差；离散型随机变量及其分布列．【分析】（1）设“至少1名倾向于选择实体店”为事件A，则表示事件“随机抽取2名，（其中男、女各一名）都选择网购”，则P（A）=1﹣P．（2）X的取值为0，1，2，3．P（X=k）=，即可得出．【解答】解：（1）设“至少1名倾向于选择实体店”为事件A，则表示事件“随机抽取2名，（其中男、女各一名）都选择网购”，则P（A）=1﹣P=1﹣=．（2）X的取值为0，1，2，3．P（X=k）=，P（X=0）=，P（X=1）=，P（X=2）=，P（X=3）=．E（X）=0×+1×+2×+3×=．【点评】本题考查了对立与互相独立事件概率计算公式、超几何分布列与数学期望、组合计算公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．20．已知椭圆C：=1（a＞b＞0）过点A（0，3），与双曲线=1有相同的焦点（1）求椭圆C的方程；（2）过A点作两条相互垂直的直线，分别交椭圆C于P，Q两点，则PQ是否过定点？若是，求出定点的坐标，若不是，请说明理由．【考点】直线与椭圆的位置关系；椭圆的标准方程．【分析】（1）求得双曲线的焦点坐标，可得椭圆的c，由A点，可得b，求得a，即可得到椭圆方程；（2）设P（x1，y1），Q（x2，y2），直线AP的斜率为k，直线AQ的斜率为﹣，直线AP的方程为y=kx+3，代入椭圆方程，求得P的坐标，k换为﹣，可得Q的坐标，求出直线PQ的斜率，以及方程，整理可得恒过定点．【解答】解：（1）双曲线=1的焦点坐标为（3，0），（﹣3，0），可得椭圆中的c=3，由椭圆过点A（0，3），可得b=3，则a==6，则椭圆的方程为+=1；（2）设P（x1，y1），Q（x2，y2），直线AP的斜率为k，直线AQ的斜率为﹣，直线AP的方程为y=kx+3，代入椭圆x2+4y2﹣36=0，可得（1+4k2）x2+24kx=0，解得x1=﹣，y1=kx1+3=，即有P（﹣，），将上式中的k换为﹣，可得Q（，），则直线PQ的斜率为k PQ==，直线PQ的方程为y﹣=（x+），可化为x（k2﹣1）﹣（5y+9）k=0，可令x=0，5y+9=0，即x=0，y=﹣．则PQ过定点（0，﹣）．【点评】本题考查椭圆方程的求法，注意运用双曲线的焦点坐标，考查直线恒过定点的求法，注意运用联立直线方程和椭圆方程，考查化简整理的运算能力，属于中档题．21．已知函数f（x）=8a2lnx+x2+6ax+b（a，b∈R）（1）若曲线y=f（x）在点（1，f（1））处的切线方程为y=2x，求a，b的值；（2）若a≥1，证明：∀x1，x2∈（0，+∞），且x1≠x2，都有＞14成立．【考点】导数在最大值、最小值问题中的应用；利用导数研究曲线上某点切线方程．【分析】（1）求导，由题意可知，即可求得a，b的值；（2）利用分析法，构造辅助函数，求导，根据函数的单调性即可求得结论．【解答】解：（1）函数f（x）的定义域为（0，+∞），求导f′（x）=+2x+6a，由曲线y=f（x）在点（1，f（1））处的切线方程为y=2x，则，解得：或，则a，b的值0，1或﹣，；（2）证明：①当x1＜x2时，则x2﹣x1＞0，欲证：∀x1，x2∈（0，+∞），都有＞14成立，只需证∀x1，x2∈（0，+∞），都有f（x2）﹣f（x1）＞14（x2﹣x1）成立，只需证∀x1，x2∈（0，+∞），都有f（x2）﹣14x2＞f（x1）﹣14x1成立，构造函数h（x）=f（x）﹣14x，则h′（x）=2x++6a﹣14，由a≥1，则h′（x）=2x++6a﹣14≥8a+6a﹣14≥0，∴h（x）在（0，+∞）内单调递增，则h（x2）＞h（x1）成立，∴f（x2）﹣14x2＞f（x1）﹣14x1成立，则＞14成立；②当x1＞x2时，则x2﹣x2＜0，欲证：∀x1，x2∈（0，+∞），都有＞14成立，只需证∀x1，x2∈（0，+∞），都有f（x2）﹣f（x1）＞14（x2﹣x1）成立，只需证∀x1，x2∈（0，+∞），都有f（x2）﹣14x2＞f（x1）﹣14x1成立，构造函数H（x）=f（x）﹣14x，则H′（x）=2x++6a﹣14，由a≥1，则H′（x）=2x++6a﹣14≥8a+6a﹣14≥0，∴H（x）在（0，+∞）内单调递增，则H（x2）＜H（x1）成立，∴＞14成立，综上可知：∀x1，x2∈（0，+∞），且x1≠x2，都有＞14成立．【点评】本题考查导数的综合应用，导数的几何意义，利用导数求函数的单调性及最值，考查分析法证明不等式，考查转化思想，属于中档题．[选修4-4：参数方程与极坐标系]22．在平面直角坐标系xOy中，直线l的参数方程为（t为参数），以坐标原点O为极点，x轴的正半轴为极轴的极坐标系中，曲线C的极坐标方程为ρ2﹣2ρcosθ﹣4=0（1）若直线l与曲线C没有公共点，求m的取值范围；（2）若m=0，求直线l被曲线C截得的弦长．【考点】参数方程化成普通方程；简单曲线的极坐标方程．【分析】（1）曲线C的极坐标方程化为直角坐标方程，直线l的参数方程为，代入并整理可得t2+（m﹣1）t+m2﹣4=0，利用直线l与曲线C没有公共点，即可求m的取值范围；（2）若m=0，若m=0，直线l的极坐标方程为θ=，代入C的极坐标方程并整理可得ρ2﹣ρ﹣4=0，利用极径的意义求直线l被曲线C截得的弦长．【解答】解：（1）曲线C的极坐标方程对应的直角坐标方程为x2+y2﹣2x﹣4=0，即（x﹣1）2+y2=5直线l的参数方程为，代入并整理可得t2+（m﹣1）t+m2﹣4=0∵直线l与曲线C没有公共点，∴△=（m﹣1）2﹣4（m2﹣4）＜0，∴m＜﹣﹣2或m＞﹣+2；（2）若m=0，直线l的极坐标方程为θ=，代入C的极坐标方程并整理可得ρ2﹣ρ﹣4=0．直线l被曲线C截得的弦的端点的极径分别为ρ1，ρ2，则ρ1+ρ2=1，ρ1ρ2=﹣4，∴直线l被曲线C截得的弦长=|ρ1﹣ρ2|==．【点评】本题考查三种方程的转化，考查极径的意义，属于中档题．[选修4-5：不等式选讲]23．（2017湖北四模）已知函数f（x）=|x﹣2a|+|x+|（1）当a=1时，求不等式f（x）＞4的解集；（2）若不等式f（x）≥m2﹣m+2对任意实数x及a恒成立，求实数m的取值范围．【考点】绝对值三角不等式；绝对值不等式的解法．【分析】（1）当a=1时，分类讨论，求不等式f（x）＞4的解集；（2）f（x）=|x﹣2a|+|x+|≥|2a+|=|2a|+||，利用不等式f（x）≥m2﹣m+2对任意实数x及a恒成立，求实数m的取值范围．21 【解答】解：（1）当a=1时，不等式f （x ）＞4为|x ﹣2|+|x +1|＞4．x ＜﹣1时，不等式可化为﹣（x ﹣2）﹣（x +1）＞4，解得x＜﹣，∴x＜﹣；﹣1≤x ≤2时，不等式可化为﹣（x ﹣2）+（x +1）＞4，不成立；x ＞2时，不等式可化为（x ﹣2）+（x +1）＞4，解得x＞，∴x＞；综上所述，不等式的解集为{x |x＜﹣或x＞}；（2）f （x ）=|x ﹣2a |+|x+|≥|2a+|=|2a|+||， 不等式f （x ）≥m 2﹣m +2对任意实数x 及a 恒成立，∴2m 2﹣m +2，∴0≤m ≤1． 【点评】本题主要考查绝对值的意义，带由绝对值的函数，函数的恒成立问题，体现了转化、数形结合的数学思想，属于中档题．。

荆、荆、襄、宜四地七校考试联盟2017届高三2月联考数学（文科）试题注意事项:1、答卷前，先将自己的姓名、准考证号填写在试题卷和答题卡上，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置。

2、选择题的作答：每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。

写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。

3、非选择题的作答：用签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内。

写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。

4、选考题的作答：先把所选题目的题号在答题卡上指定的位置用2B 铅笔涂黑。

答案写在答题卡上对应的答题区域内，写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。

5、考试结束后，请将本试题卷和答题卡一并上交。

第 Ⅰ 卷一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．设全集{2,1,0,1,2}U =--，{|1}A x x =≤，{2,0,2}B =-，则()U AB =ðA ．{2,0}-B ．{2,0,2}-C ．{1,1,2}-D ．{1,0,2}-2．复数2(1)1i i-+在复平面内对应的点位于A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限 3．从数字1,2,3,4中任取两个不同的数字构成一个两位数，这个两位数大于20的概率是 A ．14 B ．34 C ．13 D ．234．在正数数列{}n a 中,12a =,且点221(,)n n a a -在直线90x y -=上, 则{}n a 的前n 项和n S 等于A ． 31n- B ． ()132n-- C ．132n +D ． 232n n+5．函数xyOA x yOB x y OC xyO D2()(3)ln f x x x =-⋅的大致图象为6．已知在四面体ABCD 中，,E F 分别是,AC BD 的中点，若2,4,AB CD EF AB ==⊥，则EF 与CD 所成角的度数是A ．90B ．45C ．60D ．30 7．将函数3sin(2)3y x π=+的图象向右平移2π个单位，所得图象对应的函数 A ．在区间7[,]1212ππ上单调递增 B ．在区间7[,]1212ππ上单调递减C ．在区间[,]63ππ-上单调递增D ．在区间[,]63ππ-上单调递减8．设,,a b c 均为正数，且11222112log ,()log ,()log 22a b c a b c ===，则A ．c b a <<B ．a b c <<C ．c a b <<D ．b a c <<9．某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为A ．56πB ．43πC ．53πD ．23π10．执行如图所示的程序框图后，输出的值为4，则p 的取值范围是 A ．3748p <≤ B ．516p > C ．75816p ≤< D ．75816p <≤ 11．双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>的左右焦点分别为12,F F ，直线l 经过点1F 及虚轴的一个端点，且点2F 到直线l 的距离等于实半轴的长，则双曲线的离心率为A．12+ B．34+ CD12．数列{}n a 满足1+11,(1)(1)n n a na n a n n ==+++，且2c o s 3n n n b a π=，记n S 为数列{}n b 的前n项和，则24S =A ．294B ．174C ．470D ．304第 Ⅱ 卷本卷包括必考题和选考题两部分。

一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．设集合U ＝{x|x ＜5，x ∈N*}，M ＝{x|x 2−5x ＋6＝0}，则∁U M ＝（ ）A 、{1，4}B 、{1，5}C 、{2，3}D 、{3，4}2．下列判断错误的是（ ）A 、“am 2＜bm 2”是“a ＜b ”的充分不必要条件B 、命题“∀x ∈R ，x 3−x 2−1≤0”的否定是““∃x ∈R ，x 3−x 2−1＞0”C 、若p ，q 均为假命题，则p ∧q 为假命题D 、命题：若x 2＝1，则x ＝1或x ＝1的逆否命题为：若x ≠1或x ≠−1，则x 2≠13．已知扇形的弧长是4cm ，面积是2cm 2，则扇形的圆心角的弧度数是（ ）A 、1B 、2C 、4D 、1或4 4．幂函数f （x ）＝（m 2−2m ＋1）x12-m 在（0，＋∞）上为增函数，则实数m 的值为（ ） A 、0 B 、1 C 、2 D 、1或25．若函数f(x)＝sin(2x ＋φ)＋3cos(2x ＋φ)为奇函数，则φ的一个值为（ ）A 、−3πB 、3πC 、6π D 、34π 6．已知函数f （x ）＝e x −mx ＋1的图象为曲线C ，若曲线C 存在与直线y ＝ex 垂直的切线，则实数m 的取值范围是（ ）A 、（−∞，e 1） B 、（e 1，＋∞） C 、（e1，e ） D 、（e ，＋∞） 7．已知α、β为锐角，sin α＝53，tan(β−α)＝31，则tan β＝（ ） A 、913 B 、139 C 、3 D 、31 8．设函数f （x ）＝⎩⎨⎧≥+<-1),ln(1,x a x x a e x ，其中a ＞−1．若f （x ）在R 上是增函数，则实数a 的取值范围是（ ）A 、[e ＋1，＋∞）B 、（e ＋1，＋∞）C 、（e −1，＋∞）D 、[e −1，＋∞）9．在钝角三角形ABC 中，内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ．若△ABC 的面积是1，c ＝2，a ＝2，则b ＝（ ）A 、10B 、10C 、2D 、210．函数y ＝（x 2−1）||x e 的图象大致是（ ） A 、 B 、 C 、 D 、11．已知函数f(x)＝⎩⎨⎧>≤+0|,log |0|,1|3x x x x ，若方程f （x ）＝a 有四个不同的解x 1，x 2，x 3，x 4，且x 1＜x 2＜x 3＜x 4，则x 1＋x 2＋31x ＋41x 的取值范围是（ ） A 、[0，34] B 、[0，34) C 、(0，34] D 、[0，1） 12．已知函数y ＝f （x ）的定义域为（−π，π），且函数y ＝f （x −1）的图象关于直线x ＝1对称，当x ∈（0，π）时，f(x)＝−f ′(2π)sinx ＋πlnx （其中f ′（x ）是f （x ）的导函数）．若a ＝f （83.0），b ＝f （log π3），c ＝f(log 281)，则a ，b ，c 的大小关系是（ ） A 、a ＞b ＞c B 、b ＞a ＞c C 、c ＞b ＞a D 、c ＞a ＞b二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．13．函数f(x)＝x x )1ln(-的定义域为__________．（结果用区间表示）14．已知函数f （x ）是定义在R 上的周期为2的奇函数，当0＜x ＜1时，f （x ）＝9x ，则f(−25)＋f(2)＝____________．15．已知p ：关于x 的方程x 2−ax ＋1＝0有实根；q ：关于x 的函数y ＝2x 2＋ax ＋4在[0，＋∞）上是增函数．若“p 或q ”是真命题，“p 且q ”是假命题，则实数a 的取值范围是________．16．设函数f （x ）的定义域为R ，其图象是连续不断的光滑曲线，设其导函数为f ′（x ）．若对∀x ∈R ，有f （x ）−f （−x ）＝2x ，且在（0，＋∞）上，恒有f ′（x ）＜1成立．若f （2−t ）−f （t ）≥2−2t ，则实数t 的取值范围是____________．三、解答题：共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17．已知数列{a n }的前n 项和S n ＝21+n −2，数列{b n }满足b n ＝S n （n ∈N*）．（1）求数列{a n }的通项公式；（2）求数列{b n }的前n 项和T n ．18．如图，在四棱锥P −ABCD 中，底面ABCD 为菱形，∠BAD ＝60°，Q 为AD 的中点．（1）若PA ＝PD ，求证：平面PQB ⊥平面PAD ；（2）若平面PAD ⊥平面ABCD ，且PA ＝PD ＝AD ＝2，点M 在线段PC 上，且PM ＝3MC ，求三棱锥P −QBM 的体积．19．经市场调查：生产某产品需投入年固定成本为3万元，每生产x 万件，需另投入流动成本为W （x ）万元，在年产量不足8万件时，W （x ）＝31x 2＋x （万元），在年产量不小于8万件时，W （x ）＝6x ＋x100−38（万元）．通过市场分析，每件产品售价为5元时，生产的商品能当年全部售完．（1）写出年利润L （x ）（万元）关于年产量x （万件）的函数解析式；（2）写出当产量为多少时利润最大，并求出最大值．20．在△ABC 中，角A 、B 、C 所对的边分别为a 、b 、c ，且满足cos2C −cos2A ＝2sin （3π＋C ）•sin （3π−C ）． （1）求角A 的值；（2）若a ＝3且b ≥a ，求2b −c 的取值范围．21．已知椭圆C ：22a x ＋22by ＝1(a ＞b ＞0)经过A(1，22)，B(22，−23)两点，O 为坐标原点．（1）求椭圆C 的标准方程；（2）设动直线l 与椭圆C 有且仅有一个公共点，且与圆O ：x 2＋y 2＝3相交于M ，N 两点，试问直线OM 与ON 的斜率之积k OM •k ON 是否为定值？若是，求出该定值；若不是，说明理由．22．已知f （x ）＝e x −ax −b （a ＞0，b ∈R ）．（1）当a ＝b ＝1时，求函数f （x ）的极值；（2）若f （x ）有两个零点x 1，x 2，求证：x 1＋x 2＜2lna ．。

荆、荆、襄、宜四地七校考试联盟2017届高三第一次联考理科数学试题命题学校：宜昌市第一中学 命题人：孙红波 审题人：熊明珠、李智伟 本试题卷共4页，23题（含选考题）。

全卷满分150分。

考试用时120分钟。

★祝考试顺利★注意事项:1、答题前，先将自己的姓名、准考证号填写在试题卷和答题卡上，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置。

用2B 铅笔将答题卡上试卷类型A 后方框涂黑。

2、选择题的作答：每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。

写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。

3、非选择题的作答：用签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内。

写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。

4、选考题的作答：先把所选题目的题号在答题卡上指定的位置用2B 铅笔涂黑。

答案写在答题卡上对应的答题区域内，写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。

5、考试结束后，请将答题卡上交。

第Ⅰ卷一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.请将正确的答案填涂在答题卡上. 1．已知复数z 满足264z z i +=-（i 是虚数单位），则复数z 在复平面内对应的点位于 A ．第一象限 B ．第二象限 C ．第三象限 D ．第四象限 2．设集合{}2430A x x x =-+≤，集合201x B x x ⎧-⎫=>⎨⎬+⎩⎭，则R A B = ðA ．[]1,3- B ．[]1,2C ．(]1,3- D.[)(,1)1,-∞-+∞3．若n S 是等差数列{}n a 的前n 项和，且484a a +=，则11S 的值为A ．44B ．22C ．18D ．12 4．函数x x x f 2log )(+=π的零点所在区间为A ．1142⎡⎤,⎢⎥⎣⎦B ．1184⎡⎤,⎢⎥⎣⎦C ．108⎡⎤,⎢⎥⎣⎦ D ．112⎡⎤,⎢⎥⎣⎦5．下列选项中，说法正确的是A ．命题“0x R ∃∈，2000x x -≤”的否定为“x R ∃∈，20x x ->”B ．命题“在ABC ∆中，30A >，则1sin 2A >”的逆否命题为真命题 C ．若非零向量a 、b 满足a b a b +=-，则a 与b 共线D ．设{}n a 是公比为q 的等比数列，则“1q >”是“{}n a 为递增数列”的充分必要条件6．设函数3(1)()3(1)x x bx f x x -<⎧=⎨≥⎩，若1(())92f f =，则实数b 的值为A ．32-B ．98-C ．34-D ．12- 7．已知角ϕ的终边经过点(3,4)P -，函数()sin()(0)f x x ωϕω=+>图像的相邻两条对称轴之间的距离等于2π，则()4f π=A ．35-B ．35C ．45-D ．458．若点(,,)P x y 的坐标满足1ln 1x y=-，则点P 的轨迹图像大致是9．如图，在直角梯形ABCD 中，22AB AD DC ==，E 为BC 边上一点，3BC EC =，F 为AE 的中点，则BF = A ．1233AB AD - B ．2133AB AD -C ．1233AB AD -+ D ．2133AB AD -+10．已知函数32()2(1)2f x x x f '=++，函数()f x 在点(2,(2))f 处的切线的倾斜角为α，则23sin ()sin()cos()22πππααα+-+-的值为A ．917B ．2017C ．316D ．211911．已知在ABC ∆内有一点P ，满足0PA PB PC ++=，过点P 作直线l 分别交AB 、AC 于M 、N ，若AM mAB = ，(0,0)AN nAC m n =>>，则m n +的最小值为A ．43B ．53C ．2D ．312．已知函数2()2cos x f x x x π=-+，设12,(0,)x x π∈，12x x ≠且12()()f x f x =，若1x 、0x 、2x 成等差数列，则A ．0()0f x '>B ．0()0f x '=C ．0()0f x '<D ．0()f x '的符号不确定第9题图第Ⅱ卷本卷包括必考题和选考题两部分.第13题至第21题为必考题，每个试题考生都必须作答.第22题至第23题为选考题，考生根据要求作答.二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.请将答案填在答题卡对应题号的位置上，答错位置，书写不清，模棱两可均不得分.13．已知平面向量(1,2)a = ，(2,)b m =-，若//a b ，则23a b += __________．14．已知()f x 是定义在R 上的奇函数,且当0x <时, ()2xf x =,则4(log 9)f 的值为__________． 15．三国魏人刘徽，自撰《海岛算经》，专论测高望远．其中有一题：今有望海岛，立两表齐，高三丈，前後相去千步，令後表与前表相直。

2017年湖北省七市（州）教科研协作体高考数学模拟试卷（理科）一、选择题．本题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．（5分）集合A={﹣1，0，1，2，3}，B={x|log2（x+1）＜2}，则A∩B等于（）A．{﹣1，0，1，2} B．{0，1，2}C．{﹣1，0，1，2，3}D．{0，1，2，3}2．（5分）设i为虚数单位，则复数z=的虚部为（）A．﹣2 B．﹣i C．i D．﹣13．（5分）在正数数列{a n}中，a1=2，且点在直线x﹣9y=0上，则{a n}的前n项和S n等于（）A．3n﹣1 B．C．D．4．（5分）广告投入对商品的销售额有较大影响．某电商对连续5个年度的广告费和销售额进行统计，得到统计数据如表（单位：万元）：由表可得到回归方程为=10.2x+，据此模型，预测广告费为10万元时的销售额约为（）A．101.2 B．108.8 C．111.2 D．118.25．（5分）秦九昭是我国南宋时期的数学家，他在所著的《数学九章》中提出的多项式求值的秦九昭算法，至今仍是比较先进的算法，如图所示的程序框图给出了利用秦九昭算法求某多项式值的一个实例，若输入n，x的值分别为3，4，则输出y的值为（）A．6 B．25 C．100 D．4006．（5分）函数f（x）=Asin（ωx+φ）的部分图象如图所示，若，且f（x1）=f（x2）（x1≠x2），则f（x1+x2）=（）A．1 B．C．D．7．（5分）已知f（x）是定义在R上的偶函数，且在区间（﹣∞，0]上单调递增，若满足f（2）＞f（﹣），则a的取值范围是（）A．（﹣∞，）B．（0，）C．（，+∞） D．（1，）8．（5分）已知圆C：（x﹣1）2+y2=r2（r＞0）．设条件p：0＜r＜3，条件q：圆C上至多有2个点到直线x﹣y+3=0的距离为1，则p是q的（）A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件9．（5分）从数字1，2，3，4，5中，随机抽取3个数字（允许重复）组成一个三位数，其各位数字之和等于12的概率为（）A．B． C． D．10．（5分）一个几何体的三视图如图所示，该几何体外接球的表面积为（）A．36πB．C．32πD．28π11．（5分）关于曲线C：x2+y4=1，给出下列四个命题：①曲线C有两条对称轴，一个对称中心；②曲线C上的点到原点距离的最小值为1；③曲线C的长度l满足l＞4；④曲线C所围成图形的面积S满足π＜S＜4．上述命题中，真命题的个数是（）A．4 B．3 C．2 D．112．（5分）已知正三角形ABC的顶点A，B在抛物线y2=4x上，另一个顶点C（4，0），则这样的正三角形有（）A．1个 B．2个 C．3个 D．4个二、填空题：本题共4小题，每小题5分．13．（5分）平面向量，，不共线，且两两所成的角相等，若||=||=2，||=1，则|++|=．14．（5分）（x+y）（x﹣y）8展开式中x3y6的系数为．15．（5分）已知实数x，y满足，则的最小值为．16．（5分）数列{a n}满足a n+1+（﹣1）n a n=n+1，则{a n}前40项的和．三、解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．17．（12分）如图，已知△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，C=120°．（Ⅰ）若c=1，求△ABC面积的最大值；（Ⅱ）若a=2b，求tanA．18．（12分）某校举行运动会，其中三级跳远的成绩在8.0米（四舍五入，精确到0.1米）以上的进入决赛，把所得数据进行整理后，分成6组画出频率分布直方图的一部分（如图），已知从左到右前5个小组的频率分别为0.04，0.10，0.14，0.28，0.30，第6小组的频数是7．（Ⅰ）求进入决赛的人数；（Ⅱ）若从该校学生（人数很多）中随机抽取两名，记X表示两人中进入决赛的人数，求X 的分布列及数学期望；（Ⅲ）经过多次测试后发现，甲成绩均匀分布在8～10米之间，乙成绩均匀分布在9.5～10.5米之间，现甲，乙各跳一次，求甲比乙远的概率．19．（12分）如图，在四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD是长方形，侧棱PD⊥底面ABCD，且PD=AD=1，DC=2，过D作DF⊥PB于F，过F作FE⊥PB交PC于E．（Ⅰ）证明：DE⊥平面PBC；（Ⅱ）求平面DEF与平面ABCD所成二面角的余弦值．20．（12分）在直角坐标系xOy上取两个定点A1（﹣，0），A2（，0），再取两个动点N1（0，m），N2（0，n），且mn=2．（Ⅰ）求直线A1N1与A2N2交点M的轨迹C的方程；（Ⅱ）过R（3，0）的直线与轨迹C交于P，Q，过P作PN⊥x轴且与轨迹C交于另一点N，F为轨迹C的右焦点，若=λ（λ＞1），求证：=λ．21．（12分）函数f（x）=lnx+x2+ax（x∈R），g（x）=e x+x2．（Ⅰ）讨论f（x）的极值点的个数；（Ⅱ）若对于∀x＞0，总有f（x）≤g（x）．（i）求实数a的范围；（ii）求证：对于∀x＞0，不等式e x+x2﹣（e+1）x+＞2成立．四、请考生在第22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分，作答时请用2B铅笔在答题卡上将所选题号后的方框涂黑．22．（10分）在极坐标系中，圆C的极坐标方程为：ρ2=4ρ（cosθ+sinθ）﹣3．若以极点O为原点，极轴所在直线为x轴建立平面直角坐标系．（Ⅰ）求圆C的参数方程；（Ⅱ）在直角坐标系中，点P（x，y）是圆C上动点，试求x+2y的最大值，并求出此时点P的直角坐标．23．已知函数f（x）=|x﹣2|+2，g（x）=m|x|（m∈R）．（Ⅰ）解关于x的不等式f（x）＞5；（Ⅱ）若不等式f（x）≥g（x）对任意x∈R恒成立，求m的取值范围．2017年湖北省七市（州）教科研协作体高考数学模拟试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题．本题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．（5分）（2017•湖北模拟）集合A={﹣1，0，1，2，3}，B={x|log2（x+1）＜2}，则A∩B 等于（）A．{﹣1，0，1，2} B．{0，1，2}C．{﹣1，0，1，2，3}D．{0，1，2，3}【分析】根据对数的定义与性质求出集合B，再根据交集的定义写出A∩B．【解答】解：集合A={﹣1，0，1，2，3}，B={x|log2（x+1）＜2}={x|0＜x+1＜4}={x|﹣1＜x＜3}，则A∩B={0，1，2}．故选：B．【点评】本题考查了集合的运算和对数不等式的解法问题，是基础题目．2．（5分）（2017•湖北模拟）设i为虚数单位，则复数z=的虚部为（）A．﹣2 B．﹣i C．i D．﹣1【分析】利用复数的运算法则、虚部的定义即可得出．【解答】解：复数z===2﹣i的虚部为﹣1，故选：D．【点评】本题考查了复数的运算法则、虚部的定义，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．3．（5分）（2017•湖北模拟）在正数数列{a n}中，a1=2，且点在直线x﹣9y=0上，则{a n}的前n项和S n等于（）A．3n﹣1 B．C．D．【分析】代入点，化简可得数列{a n}为首项为2，公比为3的等比数列，由等比数列的求和公式，化简计算即可得到所求和．【解答】解：在正数数列{a n}中，a1=2，且点在直线x﹣9y=0上，可得a n2=9a n﹣12，即为a n=3a n﹣1，可得数列{a n}为首项为2，公比为3的等比数列，则{a n}的前n项和S n等于==3n﹣1．故选：A．【点评】本题考查数列与解析几何的综合运用，是一道好题．解题时要认真审题，仔细解答，注意等比数列的前n项和公式和通项公式的灵活运用．4．（5分）（2017•湖北模拟）广告投入对商品的销售额有较大影响．某电商对连续5个年度的广告费和销售额进行统计，得到统计数据如表（单位：万元）：由表可得到回归方程为=10.2x+，据此模型，预测广告费为10万元时的销售额约为（）A．101.2 B．108.8 C．111.2 D．118.2【分析】求出数据中心，代入回归方程求出，再将x=10代入回归方程得出答案．【解答】解：由题意，=4，=50．∴50=4×10.2+，解得=9.2．∴回归方程为=10.2x+9.2．∴当x=10时，=10.2×10+9.2=111.2．故选：C．【点评】本题考查了线性回归方程的特点与数值估计，属于基础题．5．（5分）（2017•湖北模拟）秦九昭是我国南宋时期的数学家，他在所著的《数学九章》中提出的多项式求值的秦九昭算法，至今仍是比较先进的算法，如图所示的程序框图给出了利用秦九昭算法求某多项式值的一个实例，若输入n，x的值分别为3，4，则输出y的值为（）A．6 B．25 C．100 D．400【分析】由题意，模拟程序的运行，依次写出每次循环得到的i，v的值，当i=﹣1时，不满足条件i≥0，跳出循环，输出v的值为18．【解答】解：初始值n=3，x=4，程序运行过程如下表所示：v=1i=2，v=1×4+2=6i=1，v=6×4+1=25i=0，v=25×4+0=100i=﹣1 跳出循环，输出v的值为100．故选：C．【点评】本题主要考查了循环结构的程序框图的应用，正确依次写出每次循环得到的i，v的值是解题的关键，属于基础题．6．（5分）（2017•湖北模拟）函数f（x）=Asin（ωx+φ）的部分图象如图所示，若，且f（x1）=f（x2）（x1≠x2），则f（x1+x2）=（）A．1 B．C．D．【分析】由图象可得A=1，由周期公式可得ω=2，代入点（，0）可得φ值，进而可得f（x）=sin（2x+），再由题意可得x1+x2=，代入计算可得．【解答】解：由图象可得A=1，=，解得ω=2，∴f（x）=sin（2x+φ），代入点（，0）可得sin（+φ）=0∴+φ=kπ，∴φ=kπ﹣，k∈Z又|φ|＜，∴φ=，∴f（x）=sin（2x+），∴sin（2×+）=1，即图中点的坐标为（，1），又，且f（x1）=f（x2）（x1≠x2），∴x1+x2=×2=，∴f（x1+x2）=sin（2×+）=，故选：D【点评】本题考查三角函数的图象与解析式，属基础题．7．（5分）（2017•湖北模拟）已知f（x）是定义在R上的偶函数，且在区间（﹣∞，0]上单调递增，若满足f（2）＞f（﹣），则a的取值范围是（）A．（﹣∞，）B．（0，）C．（，+∞） D．（1，）【分析】根据题意，由函数的奇偶性与单调性分析可得f（x）在区间[0，+∞）上递减，则f（2）＞f（﹣）可以转化为2＜，变形可得log3a＜，解可得a的取值范围，即可得答案．【解答】解：根据题意，f（x）是定义在R上的偶函数，且在区间（﹣∞，0]上单调递增，则其在区间[0，+∞）上递减，f（2）＞f（﹣）⇔f（2）＞f（）⇔2＜，即log3a＜，解可得0＜a＜；故选：B．【点评】本题考查函数奇偶性与单调性的综合应用，结合函数奇偶性和单调性之间的关系以及对数的运算性质是解决本题的关键．8．（5分）（2017•湖北模拟）已知圆C：（x﹣1）2+y2=r2（r＞0）．设条件p：0＜r＜3，条件q：圆C上至多有2个点到直线x﹣y+3=0的距离为1，则p是q的（）A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件【分析】求出圆心（1，0）到直线的距离d=2．即可判断出结论．【解答】解：圆C：（x﹣1）2+y2=r2（r＞0）．圆心（1，0）到直线的距离d==2．由条件q：圆C上至多有2个点到直线x﹣y+3=0的距离为1，则0＜r＜3．则p是q的充要条件．故选：C．【点评】本题考查了直线与圆的位置关系、点到直线的距离公式、简易逻辑的判定方法，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．9．（5分）（2017•湖北模拟）从数字1，2，3，4，5中，随机抽取3个数字（允许重复）组成一个三位数，其各位数字之和等于12的概率为（）A．B． C． D．【分析】先求出基本事件总数n=53=125，再利用分类讨论思想求出其各位数字之和等于12包含的基本事件个数，由此能求出其各位数字之和等于12的概率．【解答】解：从数字1，2，3，4，5中，随机抽取3个数字（允许重复）组成一个三位数，基本事件总数n=53=125，其各位数字之和等于12包含的基本事件有：由2，5，5能组成三个满足条件的三位数，由4，4，4能组成一个满足条件的三位数，由3，4，5能组成=6个满足条件的三位数，满足条件的三位数共有：3+1+6=10，∴其各位数字之和等于12的概率为p==．故选：A．【点评】本题考查概率的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意分类讨论思想的合理运用．10．（5分）（2017•湖北模拟）一个几何体的三视图如图所示，该几何体外接球的表面积为（）A．36πB．C．32πD．28π【分析】由已知中的三视图可得，该几何体是一个以正视图为底面的四棱锥，其外接球，与以俯视图为底面，以2为高的正三棱柱的外接球相同，进而可得该几何体外接球的表面积．【解答】解：由已知中的三视图可得，该几何体是一个以正视图为底面的四棱锥，其外接球，与以俯视图为底面，以4为高的正三棱柱的外接球相同，如图所示：由底面边长为4，可得底面外接圆的半径为：，由棱柱高为4，可得球心距为2，故外接球半径为：=，故外接球的表面积S=4πr2=，故选：B【点评】本题考查的知识点是由三视图求体积和表面积，解决本题的关键是得到该几何体的形状．11．（5分）（2017•湖北模拟）关于曲线C：x2+y4=1，给出下列四个命题：①曲线C有两条对称轴，一个对称中心；②曲线C上的点到原点距离的最小值为1；③曲线C的长度l满足l＞4；④曲线C所围成图形的面积S满足π＜S＜4．上述命题中，真命题的个数是（）A．4 B．3 C．2 D．1【分析】根据方程特点得：以﹣x代替x，以﹣y代替y，方程也不变，说明曲线关于x轴、y 轴、原点对称；又x2=（1﹣y2）•（1+y2）≥（1﹣y2），即：x2≥（1﹣y2）即x2+y2≥1，说明曲线上任意一点到原点的距离都大于或等于1，故封闭曲线面积大于π，结合正方形的面积；以及两点之间线段最短，综合可得答案．【解答】解：以﹣x代替x，方程不变，以﹣y代替y，方程也不变，同时以x代替x、﹣y代替y，方程也不变，说明曲线关于x轴、y轴、原点对称，故①正确；又∵x2=（1﹣y2）•（1+y2）≥（1﹣y2）∴x2+y2≥1，∴曲线上任意一点到原点的距离都大于或等于1，（当且仅当y=0时，等于1）故②正确；由②可得，曲线C所围成图形的面积S满足大于单位圆的面积，小于边长为2的正方形的面积，即π＜S＜4，故④正确；曲线C在每一段的长都大于，故由对称性满足l＞4，故③正确．故选：A．【点评】本题考查曲线的性质，命题的真假判断，注意运用不等式的性质和数形结合的思想方法，考查推理能力和判断能力，属于中档题．12．（5分）（2017•湖北模拟）已知正三角形ABC的顶点A，B在抛物线y2=4x上，另一个顶点C（4，0），则这样的正三角形有（）A．1个 B．2个 C．3个 D．4个【分析】根据题意和抛物线以及正三角形的对称性，可推断出两个边的斜率，进而表示出这两条直线，每条直线与抛物线均有两个交点，焦点两侧的两交点连接，分别构成一个等边三角形，可知当等边三角形关于x轴轴对称时，有两个．【解答】解：由题意，当等边三角形关于x轴轴对称时两个边的斜率k=±tan30°=±，其方程为：y=±（x﹣4），每条直线与抛物线均有两个交点，焦点两侧的两交点连接，分别构成一个等边三角形，这样的正三角形有2个，图中黑色的两个．两个顶点同时在抛物线上方如图中蓝色，或同时在下方各一个如图中绿色，故选D．【点评】本题主要考查了抛物线的简单性质和数形结合思想，主要是利用抛物线和正三角形的对称性．二、填空题：本题共4小题，每小题5分．13．（5分）（2017•湖北模拟）平面向量，，不共线，且两两所成的角相等，若||=||=2，||=1，则|++|=1．【分析】平面向量，，不共线，且两两所成的角相等，可得所成的角为．可得|++|=，即可得出．【解答】解：平面向量，，不共线，且两两所成的角相等，∴所成的角为．∴===﹣1，==﹣2．∴|++|===1．故答案为：1．【点评】本题考查了向量数量积运算性质，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．14．（5分）（2017•湖北模拟）（x+y）（x﹣y）8展开式中x3y6的系数为﹣28．【分析】由题意依次求出（x﹣y）8中x2y6，x3y5项的系数，求和即可．【解答】解：在（x+y）（x﹣y）8中，=（﹣1）r•C8r x8﹣r y r，（x﹣y）8的通项公式为T r+1令r=6，则T7=C86x2y6=28x2y6，令r=5，则T6=﹣C85x3y5=﹣56x3y5，∴（x+y）（x﹣y）8的展开式中x3y6的系数为：1×28﹣1×56=﹣28．故答案为：﹣28．【点评】本题考查了二项式定理的灵活应用问题，也考查了推理能力与计算能力，是基础题．15．（5分）（2017•湖北模拟）已知实数x，y满足，则的最小值为．【分析】根据题意作出不等式组对应的平面区域，为图中阴影部分，设P（x，y）是区域内一个动点，得=K OP是原点与P点连线的斜率．运动P点并观察斜率的变化，可得，从而得到当且仅当P与A重合时，的最小值．【解答】解：不等式组，表示的平面区域如图阴影部分，则表示直线的斜率，由可行域可知可行域内的点与原点连线的最小值在y=，与y=kx 相切时k的值．可得k=，令g（x）=，x＞0，g′（x）=﹣，令﹣=0，可得x=1，x∈（0，1），g（x）是减函数，x＞1，函数是增函数，g（1）是函数g（x）的最小值为：=．所以的最小值为：．故答案为：．【点评】本题考查线性规划，函数的导数的应用，单调区间以及函数的最小值的求法，考查转化思想以及计算能力．16．（5分）（2017•湖北模拟）数列{a n }满足a n +1+（﹣1）n a n =n +1，则{a n }前40项的和 440 ． 【分析】由已知数列递推式可得a 2k ﹣1+a 2k +a 2k +1+a 2k +2=4k +4．取k=1，3，5，…，19，作和得答案．【解答】解：由a n +1+（﹣1）n a n =n +1（n ∈N *）， ∴当n=2k 时，有a 2k +1+a 2k =2k +1，① 当n=2k ﹣1时，有a 2k ﹣a 2k ﹣1=2k ，② 当n=2k +1时，有a 2k +2﹣a 2k +1=2k +2，③ ①﹣②得：a 2k +1+a 2k ﹣1=1， ①+③得：a 2k +2+a 2k =4k +3， ∴a 2k ﹣1+a 2k +a 2k +1+a 2k +2=4k +4． ∴S 40=4（1+3+5+…+19）+40=4×+40=440．故答案为：440．【点评】本题考查数列递推式，考查了数列前n 项和的求法，考查数学转化思想方法，是中档题．三、解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．17．（12分）（2017•湖北模拟）如图，已知△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，C=120°． （Ⅰ）若c=1，求△ABC 面积的最大值； （Ⅱ）若a=2b ，求tanA ．【分析】（Ⅰ）由余弦定理，基本不等式可得，进而利用三角形面积公式即可计算得解．（Ⅱ）由正弦定理得sinA=2sinB，利用三角形内角和定理可求B=60°﹣A，利用三角函数恒等变换的应用即可化简求值得解．【解答】（本题满分为12分）解：（Ⅰ）由余弦定理得a2+b2﹣2abcos120°=1，…（2分）a2+b2+ab=1≥2ab+ab=3ab，当且仅当a=b时取等号；解得，…（4分）故，即f（x）面积的最大值为．…（6分）（Ⅱ）因为a=2b，由正弦定理得sinA=2sinB，…（8分）又C=120°，故A+B=60°，∴，…（10分）∴，∴．…（12分）【点评】本题主要考查了余弦定理，基本不等式，三角形面积公式，正弦定理，三角形内角和定理，三角函数恒等变换的应用，考查了转化思想，属于基础题．18．（12分）（2017•湖北模拟）某校举行运动会，其中三级跳远的成绩在8.0米（四舍五入，精确到0.1米）以上的进入决赛，把所得数据进行整理后，分成6组画出频率分布直方图的一部分（如图），已知从左到右前5个小组的频率分别为0.04，0.10，0.14，0.28，0.30，第6小组的频数是7．（Ⅰ）求进入决赛的人数；（Ⅱ）若从该校学生（人数很多）中随机抽取两名，记X表示两人中进入决赛的人数，求X 的分布列及数学期望；（Ⅲ）经过多次测试后发现，甲成绩均匀分布在8～10米之间，乙成绩均匀分布在9.5～10.5米之间，现甲，乙各跳一次，求甲比乙远的概率．【分析】（Ⅰ）由频率分直方图求出第6小组的频率，从而求出总人数，进而得到第4、5、6组成绩均进入决赛，由此能求出进入决赛的人数．（Ⅱ）由题意知X的可能取值为0，1，2，进入决赛的概率为，从而X～，由此能求出X的分布列及数学期望．（Ⅲ）设甲、乙各跳一次的成绩分别为x、y米，则基本事件满足的区域为：，由此利用几何概型能求出甲比乙远的概率．【解答】解：（Ⅰ）第6小组的频率为1﹣（0.04+0.10+0.14+0.28+0.30）=0.14，∴总人数为（人）．…（2分）∴第4、5、6组成绩均进入决赛，人数为（0.28+0.30+0.14）×50=36（人）即进入决赛的人数为36．…（4分）（Ⅱ）由题意知X的可能取值为0，1，2，进入决赛的概率为，∴X～，，P（X=1）=，．…（6分）∴所求分布列为：，两人中进入决赛的人数的数学期望为．…（8分）（Ⅲ）设甲、乙各跳一次的成绩分别为x、y米，则基本事件满足的区域为：，事件A“甲比乙远的概率”满足的区域为x＞y，如图所示．…（10分）∴由几何概型P（A）==．即甲比乙远的概率为．…（12分）【点评】本题考查频率分布直方图的应用，考查离散型随机变量的分布列及数学期望的求法，考查概率的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意二项分布的性质的合理运用．19．（12分）（2017•湖北模拟）如图，在四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD是长方形，侧棱PD ⊥底面ABCD，且PD=AD=1，DC=2，过D作DF⊥PB于F，过F作FE⊥PB交PC于E．（Ⅰ）证明：DE⊥平面PBC；（Ⅱ）求平面DEF与平面ABCD所成二面角的余弦值．【分析】（Ⅰ）由已知得BC⊥平面PCD．即BC⊥DE，又PB⊥平面DEF．得PB⊥DE即可．（2）以点D原点，分别为x、y、z轴建立空间直角坐标系，则D（0，0，0），A （1，0，0），B（1，2，0），P（0，0，1）由DF⊥PB，FE⊥PB得PB⊥面DEF，是面DEF的法向量，又因为面ABCD的法向量为，利用向量的夹角公式求解．【解答】解：（Ⅰ）证明：因为PD⊥底面ABCD，所以PD⊥BC，由底面ABCD为长方形，有BC⊥CD，而PD∩CD=D，所以BC⊥平面PCD．而DE⊂平面PCD，所以BC⊥DE．…（2分）又因为DF⊥PB，FE⊥PB所以PB⊥平面DEF．而PB⊂平面PBC，所以PB⊥DE．…（4分）又BC⊥DE，PB∩BC=B，所以DE⊥平面PBC．…（6分）（Ⅱ）如图2，以点D原点，分别为x、y、z轴建立空间直角坐标系，则D（0，0，0），A（1，0，0），B（1，2，0），P（0，0，1）由DF⊥PB，FE⊥PB得PB⊥面DEF，∴是面DEF的法向量，又因为面ABCD的法向量为，利用向量的夹角公式可得cos=﹣，∴平面DEF与平面ABCD所成二面角的余弦值【点评】本题考查了空间线面垂直的判定，向量法求二面角，属于中档题．20．（12分）（2017•湖北模拟）在直角坐标系xOy上取两个定点A1（﹣，0），A2（，0），再取两个动点N1（0，m），N2（0，n），且mn=2．（Ⅰ）求直线A1N1与A2N2交点M的轨迹C的方程；（Ⅱ）过R（3，0）的直线与轨迹C交于P，Q，过P作PN⊥x轴且与轨迹C交于另一点N，F为轨迹C的右焦点，若=λ（λ＞1），求证：=λ．【分析】（I）由直线方程的点斜式列出A1N1和A2N2的方程，联解并结合mn=2化简整理得方程，再由N1、N2不与原点重合，可得直线A1N1与A2N2交点的轨迹C的方程；（II）设l：x=ty+3，代入椭圆方程消去x，得（3+t2）y2+6ty+3=0，利用分析法进行证明．【解答】（I）解：依题意知直线A1N1的方程为：y=（x+）…①；直线A2N2的方程为：y=﹣（x﹣）…②设Q（x，y）是直线A1N1与A2N2交点，①、②相乘，得y2=﹣（x2﹣6）由mn=2整理得：=1∵N1、N2不与原点重合，可得点A1，A2不在轨迹M上，∴轨迹C的方程为=1（x≠±）．（Ⅱ）证明：设l：x=ty+3，代入椭圆方程消去x，得（3+t2）y2+6ty+3=0．设P（x1，y1），Q（x2，y2），N（x1，﹣y1），可得y1+y2=﹣且y1y2=，=λ，可得（x1﹣3，y1）=λ（x2﹣3，y2），∴x1﹣3=λ（x2﹣3），y1=λy2，证明=λ，只要证明（2﹣x1，y1）=λ（x2﹣2，y2），∴2﹣x1=λ（x2﹣2），只要证明=﹣，只要证明2t2y1y2+t（y1+y2）=0，由y1+y2=﹣且y1y2=，代入可得2t2y1y2+t（y1+y2）=0，∴=λ．【点评】本题着重考查了动点轨迹的求法、椭圆的标准方程与简单几何性质、直线与圆锥曲线的位置关系和一元二次方程根与系数的关系等知识，属于中档题．21．（12分）（2017•湖北模拟）函数f（x）=lnx+x2+ax（x∈R），g（x）=e x+x2．（Ⅰ）讨论f（x）的极值点的个数；（Ⅱ）若对于∀x＞0，总有f（x）≤g（x）．（i）求实数a的范围；（ii）求证：对于∀x＞0，不等式e x+x2﹣（e+1）x+＞2成立．【分析】（Ⅰ）【解法一】：求f（x）的导数f′（x），利用判别式△=a2﹣4，判断f′（x）是否大于0，从而得出f（x）的单调性与极值点情况；【解法二】：求f（x）的导数f′（x），根据x＞0求出f'（x）的值域，讨论a的值得出f′（x）的正负情况，判断f（x）的单调性和极值点问题；（Ⅱ）（i）f（x）≤g（x）等价于e x﹣lnx+x2≥ax，由x＞0，利用分离常数法求出a的表达式，再构造函数求最值即可证明；（ii）由（i）结论，a=e+1时有f（x）≤g（x），得出不等式，再进行等价转化，证明转化的命题成立即可．【解答】解：（Ⅰ）【解法一】：由题意得，令△=a2﹣4，（1）当△=a2﹣4≤0，即﹣2≤a≤2时，x2+ax+1≥0对x＞0恒成立；即对x＞0恒成立，此时没有极值点；…（2分）（2）当△=a2﹣4＞0，即a＜﹣2或a＞2，①a＜﹣2时，设方程x2+ax+1=0两个不同实根为x1，x2，不妨设x1＜x2，则x1+x2=﹣a＞0，x1x2=1＞0，故x2＞x1＞0，∴x＜x1或x＞x2时f（x）＞0；在x1＜x＜x2时f（x）＜0，故x1，x2是函数f（x）的两个极值点；②a＞2时，设方程x2+ax+1=0两个不同实根为x1，x2，则x1+x2=﹣a＜0，x1x2=1＞0，故x2＜0，x1＜0，∴x＞0时，f（x）＞0；故函数f（x）没有极值点；…（4分）综上，当a＜﹣2时，函数f（x）有两个极值点；当a≥﹣2时，函数f（x）没有极值点；…（5分）【解法二】：由题意得，…（1分）∵x＞0，∴f'（x）∈[a+2，+∞），①当a+2≥0，即a∈[﹣2，+∞）时，f′（x）≥0对∀x＞0恒成立，∴f（x）在（0，+∞）上单调递增，f（x）没有极值点；…（3分）②当a+2＜0，即a∈（﹣∞，﹣2）时，方程x2+ax+1=0有两个不等正数解x1，x2，不妨设0＜x1＜x2，则当x∈（0，x1）时，f'（x）＞0，f（x）单调递增；x∈（x1，x2）时，f'（x）＜0，f（x）单调递减；x∈（x2，+∞）时，f'（x）＞0，f（x）单调递增，所以x1，x2分别为f（x）极大值点和极小值点，f（x）有两个极值点．综上所述，当a∈[﹣2，+∞）时，f（x）没有极值点；当a∈（﹣∞，﹣2）时，f（x）有两个极值点；…（5分）（Ⅱ）（i）f（x）≤g（x）等价于e x﹣lnx+x2≥ax，由x＞0，即对于∀x＞0恒成立，设，，∵x＞0，∴x∈（0，1）时，φ'（x）＜0，φ（x）单调递减，x∈（1，+∞）时，φ'（x）＞0，φ（x）单调递增，∴φ（x）≥φ（1）=e+1，∴a≤e+1；…（9分）（ii）由（i）知，当a=e+1时有f（x）≤g（x），即：，等价于e x+x2﹣（e+1）x≥lnx…①当且仅当x=1时取等号，…（10分）以下证明：，设，则，∴当x∈（0，e）时θ'（x）＜0，θ（x）单调递减，x∈（e，+∞）时θ'（x）＞0，θ（x）单调递增，∴θ（x）≥θ（e）=2，∴，…②当且仅当x=e时取等号；由于①②等号不同时成立，故有．…（12分）【点评】本题考查了函数与导数的综合应用问题，也考查了求函数最值与不等式恒成立问题，是综合性问题．四、请考生在第22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分，作答时请用2B铅笔在答题卡上将所选题号后的方框涂黑．22．（10分）（2017•湖北模拟）在极坐标系中，圆C的极坐标方程为：ρ2=4ρ（cosθ+sinθ）﹣3．若以极点O为原点，极轴所在直线为x轴建立平面直角坐标系．（Ⅰ）求圆C的参数方程；（Ⅱ）在直角坐标系中，点P（x，y）是圆C上动点，试求x+2y的最大值，并求出此时点P 的直角坐标．【分析】（Ⅰ）由圆C的极坐标方程为：ρ2=4ρ（cosθ+sinθ）﹣3．利用互化公式可得直角坐标方程，再利用同角三角函数的平方关系可得圆C的参数方程．（Ⅱ）由（Ⅰ）可得，设点P（2+cosθ，2+sinθ），可得x+2y=6+5，设sinα=，则，可得x+2y=6+5sin（θ+α），再利用三角函数的单调性与值域即可得出最大值．【解答】解：（Ⅰ）∵圆C的极坐标方程为：ρ2=4ρ（cosθ+sinθ）﹣3．∴直角坐标方程为：x2+y2﹣4x﹣4y+3=0，即（x﹣2）2+（y﹣2）2=5为圆C的普通方程．利用同角三角函数的平方关系可得：圆C的参数方程为（θ为参数）．（Ⅱ）由（Ⅰ）可得，设点P（2+cosθ，2+sinθ），∴x+2y=2+cosθ+2（2+）=6+5设sinα=，则，∴x+2y=6+5sin（θ+α），当sin（θ+α）=1时，（x+2y）max=11，此时，θ+α=，k∈Z．∴sinθ=cosα=，cosθ=sinα=．点P的直角坐标为（3，4）时，x+2y取得最大值11．【点评】本题考查了极坐标与直角坐标的互化公式、同角三角函数的基本关系式、圆的参数方程及其应用、三角函数的单调性与值域、和差公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．23．（2017•湖北模拟）已知函数f（x）=|x﹣2|+2，g（x）=m|x|（m∈R）．（Ⅰ）解关于x的不等式f（x）＞5；（Ⅱ）若不等式f（x）≥g（x）对任意x∈R恒成立，求m的取值范围．【分析】（Ⅰ）由f（x）＞5，得|x﹣2|＞3，即可解关于x的不等式f（x）＞5；（Ⅱ）若不等式f（x）≥g（x）对任意x∈R恒成立，得|x﹣2|≥m|x|﹣2对任意x∈R恒成立，分类讨论，分离参数，即可求m的取值范围．【解答】解：（Ⅰ）由f（x）＞5，得|x﹣2|＞3，即x﹣2＜﹣3或x﹣2＞3，…（3分）∴x＜﹣1或x＞5．故原不等式的解集为{x|x＜﹣1或x＞5}…（5分）（Ⅱ）由f（x）≥g（x），得|x﹣2|≥m|x|﹣2对任意x∈R恒成立，当x=0时，不等式|x﹣2|≥m|x|﹣2成立，当x≠0时，问题等价于对任意非零实数恒成立，…（7分）∵，∴m≤1，即m的取值范围是（﹣∞，1]．…（10分）【点评】本题考查不等式的解法，考查恒成立问题，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．。