[配套K12]2018版高中数学 第三章 指数函数和对数函数 3 第2课时 习题课——指数函数及其性质学案 北师大版

2017-2018年高中数学第三章基本初等函数（Ⅰ）3.2 对数与对数函数3.2.3 指数函数与对数函数的关系课时作业新人教B版必修1编辑整理：尊敬的读者朋友们：这里是精品文档编辑中心，本文档内容是由我和我的同事精心编辑整理后发布的，发布之前我们对文中内容进行仔细校对，但是难免会有疏漏的地方，但是任然希望（2017-2018年高中数学第三章基本初等函数（Ⅰ）3.2 对数与对数函数3.2.3 指数函数与对数函数的关系课时作业新人教B 版必修1）的内容能够给您的工作和学习带来便利。

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3.2.3 指数函数与对数函数的关系一、选择题1．函数y＝错误!x的反函数为错误!( C ）A．y＝错误!x B．y＝错误!xC．y＝错误!x D．y＝错误!x[解析]函数y＝log a x(a〉0，a≠1）与函数y＝a x(a〉0，a≠1)互为反函数，∴函数y＝错误!x的反函数是y＝错误!x，故选C．2．若f(10x）＝x,则f(5)＝导学号 65164973（ B ）A．log510 B．lg5C．105D．510[解析］解法一：令u＝10x,则x＝lg u，∴f(u）＝lg u，∴f（5)＝lg5.解法二：令10x＝5，∴x＝lg5，∴f(5）＝lg5。

3．若函数y＝错误!的图象关于直线y＝x对称，则a的值为错误!（ B ）A．1 B．－1C．±1D．任意实数［解析]因为函数图象本身关于直线y＝x对称，故可知原函数与反函数是同一函数，所以先求反函数，再与原函数作比较即可得出答案；或利用反函数的性质求解，依题意,知点（1，错误!)与(错误!，1）均在原函数图象上，故可得a＝－1.4．已知函数y＝f（x）与y＝e x互为反函数，函数y＝g（x）的图象与y＝f（x）的图象关于x轴对称，若g(a)＝1，则实数a的值为错误!（ C ）A．－e B．－错误!C．错误!D．e［解析]∵函数y＝f（x）与y＝e x互为反函数，∴f(x）＝ln x，又∵函数y＝g(x)的图象与y＝f（x)的图象关于x轴对称，∴g（x)＝－ln x，∴g（a）＝－ln a＝1,∴ln a＝－1，∴a＝错误!。

2018版高中数学第三章指数函数和对数函数3.3 第2课时指数函数的图像与性质的应用学业分层测评北师大版必修1编辑整理：尊敬的读者朋友们：这里是精品文档编辑中心，本文档内容是由我和我的同事精心编辑整理后发布的，发布之前我们对文中内容进行仔细校对，但是难免会有疏漏的地方，但是任然希望（2018版高中数学第三章指数函数和对数函数3.3 第2课时指数函数的图像与性质的应用学业分层测评北师大版必修1）的内容能够给您的工作和学习带来便利。

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3。

3 第2课时指数函数的图像与性质的应用（建议用时:45分钟）［学业达标]一、选择题1。

已知集合M＝{－1,1},N＝错误!,则M∩N＝（）A．{－1,1｝B．{－1}C．{0} D．{－1，0}【解析】N＝｛x|2－1〈2x＋1<22，x∈Z｝，又y＝2x在R上为增函数,所以N＝{x|－1<x＋1〈2，x∈Z}＝｛x｜－2<x<1,x∈Z｝＝{－1，0｝，所以M∩N＝{－1,1}∩｛－1，0｝＝｛－1}，故选B.【答案】B2. 下列判断正确的是（）A．2。

52。

5>2。

53B．0.82〈0.83C．π2<π 2 D．0。

90。

3〉0。

90.5【解析】∵y＝0.9x是R上的减函数，且0。

5>0.3，∴0.90.3〉0.90.5.【答案】D3。

函数y＝5－｜x|的图像是（）【解析】当x>0时,y＝5－|x|＝5－x＝错误!x,又原函数为偶函数,故选D.【答案】D4. 若函数f（x)＝3x＋3－x与g（x)＝3x－3－x的定义域为R，则( )A．f(x)与g(x）均为偶函数B．f(x）为偶函数，g(x)为奇函数C．f（x)与g（x）均为奇函数D．f（x)为奇函数，g(x)为偶函数【解析】f(－x)＝3－x＋3x＝f(x），f(x)为偶函数,g(－x)＝3－x－3x＝－g（x)，g(x）为奇函数．故选B。

§3.2.2对数函数学习目标：1. 巩固对数函数图象及性质，以及对数函数的图像与性质的综合应用。

2.解简单的指对数方程及不等式。

学习重难点：对数函数的图像与性质的综合应用。

学习过程：一. 温故链接，导引自学说明下列函数图象与对数函数y=log 3x 的图象的关系，并画出图象。

① y=log 3(x+1) ②y=log 3x +1 ③y=log 3|x| ④y=|log 3x|⑤y=log 3|x+1|二.交流质疑，精讲点拨例1：判断下列函数的奇偶性：（1）22()log (1)log (1)f x x x =++-（2）22()log (1)log (1)f x x x =++-（3）())f x x =-变式训练1：判断下列函数的奇偶性：（1）1()lg1x f x x-=+ （2）()lg(f x x =例2：已知定义在R 上的奇函数()f x ，当0x >时，()log (2)(0,1)a f x x a a =+>≠，求()f x 的表达式。

变式训练2：已知定义在R 上奇函数)(x f ，当0>x 时，)21(log )(2+=x x f ，则不等式0)(≤x f 的解集为 。

例3 .已知函数f(x)=2+log 3x ，x []81,1∈，求()[]()22x f x f y +=的最大值及对应的x 值。

变式训练3：设09)(log 9)(log 221221≤++x x 的解集为M ，求M x ∈时，函数)8)(log 2(log )(22x x x f =的最大值与最小值。

例4．已知函数2log ()a y ax x =-在区间[]2,4上是增函数，求实数a 的取值范围。

变式训练4：已知函数22()log ()f x x ax a =--在(,1-∞上是单调减函数，则实数a的取值范围是_____________________________三.当堂反馈，拓展迁移1．已知函数()log (2)a f x ax =-在[0，1]上是减函数，a 的范围_____________。

3.2.2 第2课时 对数函数的图象与性质的应用(建议用时：45分钟)[学业达标]一、填空题1．在同一坐标系中，函数y ＝log 3 x 与y ＝log 13 x 的图象关于________对称．【解析】 y ＝log 13x ＝－log 3 x 与y ＝log 3 x 的图象关于x 轴对称．【答案】 x 轴2．若y ＝(log 12 a )x在R 上为减函数，则实数a 的取值范围是________．【解析】 由题知0<log 12a <1，即log 121<log 12a <log 1212，∴1>a >12.【答案】 ⎝ ⎛⎭⎪⎫12，13．函数f (x )＝log a |x |＋1(0<a<1)的图象大致为________．(填序号)【解析】 将g (x )＝log a x 的图象不动，并将之关于y 轴对称到y 轴左侧，再上移1个单位，即得f (x )的图象．【答案】 ①4．若函数f (x )＝log a x (0<a <1)在区间[a,3a ]上的最大值是最小值的3倍，则a 等于________．【解析】 ∵a ∈(0,1)，∴f (x )max ＝log a a ＝1，f (x )min ＝log a 3a ， 由题知log a 3a ＝13，∴a ＝133＝39.【答案】395．函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧log 12x ，x ≥1，2x ，x <1的值域为________．【解析】 x ≥1时，f (x )≤0，x <1时，0<f (x )<2，故f (x )的值域为(－∞，2)．【答案】 (－∞，2) 6．函数f (x )＝lg (4x－2x ＋1＋11)的最小值是________．【解析】 4x－2x ＋1＋11＝(2x )2－2·2x＋11＝(2x－1)2＋10≥10，∴f (x )≥lg 10＝1. 【答案】 17．已知函数f (x )＝ln x ，g (x )＝lg x ，h (x )＝log 3 x ，直线y ＝a (a <0)与这三个函数的交点的横坐标分别为x 1，x 2，x 3，则x 1，x 2，x 3的大小关系是________．【解析】 法一：分别做出f (x )，g (x )，h (x )的图象(图略)，通过作y ＝a (a <0)可以看出x 2<x 3<x 1.法二：由题知f (x 1)＝a ＝ln x 1，∴x 1＝e a，同理x 2＝10a，x 3＝3a，结合指数函数y ＝e x，y ＝10x ，y ＝3x 的图象可知，x 2<x 3<x 1.【答案】 x 2<x 3<x 18．已知f (x )是定义在[－2,2]上的单调递增函数，且f (x )的最大值为1，则满足f (log 2x )<1的解集为________．【解析】 由题知－2≤log 2 x <2，∴log 2 2－2≤log 2 x <log 2 22，故14≤x <4.【答案】 ⎣⎢⎡⎦⎥⎤14，4 二、解答题9．(1)若log a 34<1(a >0，a ≠1)，求实数a 的取值范围；(2)已知f (x )的定义域为[0,1]，求函数y ＝f (log 12(3－x ))的定义域.【解】 (1)log a 34<1，即log a 34<log a a .当a >1时，函数y ＝log a x 在(0，＋∞)上是单调增函数， 由log a 34<log a a ，得a >34，故a >1.当0<a <1时，函数y ＝log a x 在(0，＋∞)上是单调减函数，由log a 34<log a a ，得a <34，故0<a <34.综上，实数a 的取值范围为⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫a ⎪⎪⎪0<a <34或a >1. (2)由0≤log 12(3－x )≤1得，log 121≤log 12 (3－x )≤log 1212， 所以12≤3－x ≤1，解得2≤x ≤52.所以函数y ＝f (log 12(3－x ))的定义域为⎣⎢⎡⎦⎥⎤2，52. 10．设函数y ＝f (x )满足lg y ＝lg(3x )＋lg(3－x )． (1)求f (x )的表达式； (2)求f (x )的值域；(3)讨论f (x )的单调性．(不用证明) 【解】 (1)∵lg y ＝lg(3x )＋lg(3－x )，∴⎩⎪⎨⎪⎧x ＞0，3－x ＞0，y ＞0，，即⎩⎪⎨⎪⎧0＜x ＜3，y ＞0.又∵lg y ＝lg[3x (3－x )]， ∴y ＝3x (3－x )＝－3x 2＋9x ， 即f (x )＝－3x 2＋9x (0＜x ＜3)．(2)∵－3x 2＋9x ＝－3⎝ ⎛⎭⎪⎫x －322＋274且0＜x ＜3，∴0＜－3x 2＋9x ≤274，即函数f (x )的值域为⎝⎛⎦⎥⎤0，274.(3)∵f (x )＝－3⎝ ⎛⎭⎪⎫x －322＋274，且0＜x ＜3，∴f (x )在⎝ ⎛⎭⎪⎫0，32上单调递增，在⎝ ⎛⎭⎪⎫32，3上单调递减． [能力提升]1．若函数f (x )＝log a (x ＋b )的图象如图3­2­2，其中a ，b 为常数，则函数g (x )＝a x＋b 的图象大致是下列中的________．(填序号)图3­2­2【解析】 由f (x )的图象可知0<a <1,0<b <1，故g (x )＝a x＋b 的图象为④. 【答案】 ④2．已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧a －x －1，x ≤1，log a x ，x >1，若f (x )在(－∞，＋∞)上单调递增，则实数a 的取值范围为________．【解析】 由题知⎩⎪⎨⎪⎧a －2>0，a >1，a －－1≤log a 1＝0⇒2<a ≤3.【答案】 (2,3]3．已知函数f (x )是定义在R 上的偶函数，且在区间[0，＋∞)上单调递增．若实数a 满足f (log 2 a )＋f (log 12a )≤2f (1)，则a 的取值范围是________.【解析】 ∵f (log 2 a )＋f (log 12a )＝f (log 2 a )＋f (－log 2 a )＝2f (log 2 a )≤2f (1)，∴f (log 2 a )≤f (1)，由f (x )为偶函数，且在[0，＋∞)上单调递增， ∴－1≤log 2 a ≤1，即log 2 12≤log 2 a ≤log 2 2，∴12≤a ≤2. 【答案】 ⎣⎢⎡⎦⎥⎤12，2 4．已知函数f (x )＝log 121－axx －1的图象关于原点对称，其中a 为常数． (1)求a 的值；(2)若当x ∈(1，＋∞)时，f (x )＋log 12(x －1)＜m 恒成立，求实数m 的取值范围．【解】 (1)∵函数f (x )的图象关于原点对称，∴函数f (x)为奇函数，∴f (－x)＝－f (x)，即log121＋ax－x－1＝－log121－axx－1＝log12x－11－ax，解得a＝－1或a＝1(舍)．所以a＝－1.(2)f (x)＋log12(x－1)＝log121＋xx－1＋log12(x－1)＝log12 (1＋x)，当x＞1时，log12(1＋x)＜－1.∵当x∈(1，＋∞)时，f (x)＋log12(x－1)＜m恒成立，∴m≥－1.即实数m的取值范围[－1，＋∞).。

3.1.2 第2课时指数函数的图象与性质的应用1．能掌握指数函数的图象和性质，会用指数函数的图象和性质解决相关的问题．(重点、难点)2．能应用指数函数及其性质解决实际应用题．(难点)[基础·初探]教材整理指数函数形如y＝ka x(k∈R，且k≠0，a>0且a≠1)的函数是一种指数型函数，这是一种非常有用的函数模型．设原有量为N，每次的增长率为p，经过x次增长，该量增长到y，则y＝N(1＋p)x(x∈N)．某人于今年元旦到银行存款a万元，银行利率为月息p，则该人9月1日取款时，连本带利共可以取出金额为________．【解析】一个月后a(1＋p)，二个月后a(1＋p)(1＋p)＝a(1＋p)2，…9月1日取款时共存款8个月，则本利和为a(1＋p)8.【答案】a(1＋p)8[小组合作型]求下列函数的定义域和值域：【精彩点拨】使式子的每个部分有意义，即可求得各自的定义域，求值域时要把函数予以分解，求指数的范围，再求整个函数的值域．1．对于y＝a f (x)这类函数(1)定义域是指使f (x)有意义的x的取值范围．(2)值域问题，应分以下两步求解：①由定义域求出u＝f (x)的值域．②利用指数函数y＝a u的单调性或利用图象求得函数的值域．2．对于y＝m(a x)2＋n(a x)＋p(m≠0)这类函数值域问题．利用换元法，借助二次函数求解．[再练一题]1．(1)函数f (x )＝1－2x＋1x ＋3的定义域为________.(2)求函数y ＝4－x－21－x＋1在x ∈[－3,2]上的最大值和最小值．【解析】 (1)由⎩⎪⎨⎪⎧1－2x≥0，x ＋3>0，得－3<x ≤0.所以函数的定义域是(－3,0]． 【答案】 (－3,0] (2)y ＝4－x－21－x＋1＝⎝ ⎛⎭⎪⎫122x －2·⎝ ⎛⎭⎪⎫12x ＋1＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤⎝ ⎛⎭⎪⎫12x －12，∵x ∈[－3,2]，∴⎝ ⎛⎭⎪⎫12x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤14，8， 令t ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12x ，得y ＝(t －1)2，其中t ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤14，8，∴y ∈[0,49]，即最大值为49，最小值为0.某市现有人口总数为100万人，如果年平均增长率为1.2%，试解答下列问题：(1)试写出x 年后该城市人口总数y 万人与x 之间的函数关系式； (2)计算10年后该城市人口总数(精确到1万人)．【精彩点拨】 本题考查有关增长率的问题，若设原来人口总数为N ，年平均增长率为p ，则对于x 年后的人口总数y ，可以用y ＝N (1＋p )x 表示．【自主解答】 (1)1年后城市人口总数为：y ＝100＋100×1.2%＝100(1＋1.2%)．2年后城市人口总数为：y ＝100×(1＋1.2%)＋100×(1＋1.2%)×1.2%＝100(1＋1.2%)2，同理3年后城市人口总数为y ＝100(1＋1.2%)3， …故x 年后的城市人口总数为y ＝100(1＋1.2%)x . (2)10年后该城市人口总数为：y ＝100(1＋1.2%)10＝100×1.01210≈100×1.127≈113(万人)．故10年后该城市人口总数约为113万人．解决实际应用题的步骤1．领会题意，并把题中的普通语言转化为数学语言；2．根据题目要求，分析量与量之间的关系，建立恰当的函数模型，并注意对变量的限制条件，加以概括；3．对已经“数学化”的问题用所学的数学知识处理，求出解；4．检验：将数学问题的解代入实际问题检查，舍去不符合题意的解，并作答．[再练一题]2．某乡镇现在人均一年占有粮食360千克，如果该乡镇人口平均每年增长1.2%，粮食总产量平均每年增长4%，那么x 年后若人均一年占有y 千克粮食，求出y 关于x 的函数解析式．【解】 设该乡镇现在人口数量为M ，则该乡镇现在一年的粮食总产量为360M 千克． 经过1年后，该乡镇粮食总产量为360M (1＋4%)千克，人口数量为M (1＋1.2%)． 则人均占有粮食为360M＋M＋千克，经过2年后，人均占有粮食为 360M＋2M＋2千克，…经过x 年后，人均占有粮食为 y ＝360M ＋x M＋x千克，即所求函数解析式为y ＝360⎝⎛⎭⎪⎫1.041.012x (x ∈N *)．[探究共研型]探究 通过指数函数y ＝2x，y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫2x 的图象，可以抽象出指数函数的性质有哪些？【提示】 指数函数y ＝a x(a >0，且a ≠1)的图象和性质已知定义域为R 的函数f (x )＝－2x＋b2x ＋1＋a是奇函数．(1)求a ，b 的值；(2)若对任意的t ∈R ，不等式f (t 2－2t )＋f (2t 2－k )<0恒成立，求k 的取值范围； (3)求f (x )在[－1,2]上的值域．【精彩点拨】 (1)根据奇函数的定义，求出a ，b .(2)利用单调性和奇偶性去掉f 解不等式求k 的范围．(3)利用(2)中单调性求f (x )的值域．【自主解答】 (1)∵函数y ＝f (x )是定义域R 上的奇函数，∴⎩⎪⎨⎪⎧f ＝0，f－＝－f，∴⎩⎪⎨⎪⎧－1＋b 2＋a ＝0，－2－1＋b 20＋a ＝－－21＋b22＋a，∴b ＝1，a ＝2.(2)由(1)知f (x )＝1－2xx ＋＝－12＋12x ＋1，设x 1，x 2∈R 且x 1<x 2， 则f (x 2)－f (x 1)＝12x 2＋1－12x 1＋1＝2x 1－2x 2x 2＋x 1＋<0，∴f (x )在定义域R 上为减函数， 由f (t 2－2t )＋f (2t 2－k )<0恒成立，可得f (t 2－2t )<－f (2t 2－k )＝f (k －2t 2)， ∴t 2－2t >k －2t 2，∴3t 2－2t －k >0恒成立， ∴Δ＝(－2)2＋12k <0， ∴k <－13.(3)由(2)知f (x )在R 上单调递减，∴f (x )在[－1,2]上单调递减，∴f (x )max ＝f (－1)＝－12＋11＋12＝16，f (x )min ＝f (2)＝－12＋14＋1＝－310，∴f (x )的值域为⎣⎢⎡⎦⎥⎤－310，16.与指数函数有关的综合应用问题往往涉及到指数函数的定义域、值域、单调性、奇偶性、最值(值域)等问题，求解时可充分借助已学的知识逐项求解．[再练一题]3．设a >0，函数f (x )＝4xa ＋a4x 是定义域为R 的偶函数．(1)求实数a 的值；(2)证明：f (x )在(0，＋∞)上是增函数． 【解】 (1)由f (x )＝f (－x ) 得4xa ＋a 4x ＝4－xa ＋a4－x ， 即4x ⎝ ⎛⎭⎪⎫1a －a ＋14x ⎝ ⎛⎭⎪⎫a －1a ＝0，所以⎝⎛⎭⎪⎫4x －14x ⎝ ⎛⎭⎪⎫1a －a ＝0，根据题意，可得1a－a ＝0，又a >0，所以a ＝1.(2)由(1)可知f (x )＝4x＋14x ，设任意的x 1，x 2∈(0，＋∞)，且x 1<x 2，则f (x 1)－f (x 2)＝4x 1＋14x 1－4x 2－14x 2＝(4x 1－4x 2)⎝⎛⎭⎪⎫1－14x 1＋x 2.因为0<x 1<x 2， 所以4x 1<4x 2. 又x 1＋x 2>0， 所以4x 1＋x 2>1，所以1－14x 1＋x 2＝4x 1＋x 2－14x 1＋x 2>0，所以f (x 1)－f (x 2)<0， 即f (x 1)<f (x 2)．于是知f (x )在(0，＋∞)上是增函数．探究1 y ＝2x【提示】 y ＝2x 在R 上单调递增，y ＝x ＋1在R 上单调递增，y ＝2x ＋1在R 上单调递增．探究2 y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12x 与y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12x ＋1的单调性分别如何？【提示】 y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12x 单调递减，y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12x ＋1单调递减．探究3 y ＝－x 与y ＝2－x的单调性如何？【提示】 y ＝－x 单调递减，y ＝2－x＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12x 单调递减．探究4 由以上3个探究，我们可以对由y ＝f (u )，u ＝g (x )复合而成的函数y ＝f (g (x ))的单调性做出什么猜想．【提示】 y ＝f (g (x ))可以由y ＝f (u )，u ＝g (x )复合而成，复合而成的函数单调性与y ＝f (u )，u ＝g (x )各自单调的关系为“同增异减”．即f 与g 单调性相同，复合后单调递增，f 与g 单调性不同，复合后单调递减．探究5 用单调性的定义证明：当y ＝f (u )，u ＝g (x )均单调递减时y ＝f (g (x ))单调递增．【提示】 任取x 1，x 2∈D 且x 1<x 2. ∵g (x )单调递减，∴g (x 1)>g (x 2)，即u 1>u 2， 又f (x )单调递减，∴f (u 1)<f (u 2)， 即f (g (x 1))<f (g (x 2))， ∴y ＝f (g (x ))单调递增．函数y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12的单调增区间为________，单调减区间为________，最大值为________．【精彩点拨】 先确定u ＝x 2－4x 的值域、单调性，再确定f (x )＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12u 的单调性和值域．【自主解答】 令u ＝x 2－4x ，则y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12u ，∵u (x )＝x 2－4x 在(－∞，2]上递减，在[2，＋∞)上递增，故u min ＝u (2)＝－4，又y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12u在R 上单调递减，∴y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12x 2－4x 在(－∞，2]上递增，在[2，＋∞)上递减，且y max ＝y (2)＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12－4＝16.【答案】 (－∞，2] [2，＋∞) 161．关于指数型函数y ＝af (x )(a >0，且a ≠1)，它由两个函数y ＝a u，u ＝f (x )复合而成．其单调性由两点决定，一是底数a >1还是0<a <1；二是f (x )的单调性．2．求这种指数型函数的单调区间，首先求出函数的定义域，然后把函数分解成y ＝f (u )，u ＝φ(x )，通过考查f (u )和φ(x )的单调性，求出y ＝f (φ(x ))的单调性，其规则是“同增异减”．[再练一题]4．(1)函数y ＝2⎝ ⎛⎭⎪⎫1x 2的单调增区间为________．(2)讨论函数f (x )＝ax 2－4x 的单调性． 【解析】 (1)设y ＝2u，u ＝1x2，【答案】 (－∞，0)(2)设u ＝x 2－4x ，则f (x )＝a u ，u ＝x 2－4x ，易知u ＝x 2－4x 在(－∞，2]上单调递减，在[2，＋∞)上单调递增，故当a >1时，y ＝a u递增，故f (x )的单调增区间为(2，＋∞)，单调减区间为(－∞，2)，当0<a <1时，y ＝a u 递减，故f (x )的单调增区间为(－∞，2)，单调减区间为(2，＋∞).1．函数f (x )＝1－3x＋1x ＋5的定义域为________．【解析】 令⎩⎪⎨⎪⎧1－3x≥0，x ＋5>0，∴－5<x ≤0.【答案】 (－5,0]2．函数f (x )＝⎝ ⎛⎭⎪⎫13x－1，x ∈[－1,2]的值域为________．【解析】 x ∈[－1,2]时，⎝ ⎛⎭⎪⎫13x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤19，3，∴f (x )∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－89，2. 【答案】 ⎣⎢⎡⎦⎥⎤－89，23．函数y ＝3的单调递减区间是________．【解析】 令y ＝3u，u ＝2－2x 2，因为y ＝3u 在R 上单调递增，u ＝2－2x 2在(0，＋∞)上单调递减，所以y ＝32－2x 2的单调递减区间是(0，＋∞)．【答案】 (0，＋∞)4．若函数f (x )＝2x －k ·2－x2x ＋k ·2－x (k 为常数)在定义域内为奇函数，则k 的值为________．【解析】 依题意，f (－x )＝2－x－k ·2x 2－x ＋k ·2x ＝－f (x )＝－2x －k ·2－x2x ＋k ·2－x ，即(2－x－k ·2x )(2x ＋k ·2－x )＝(2－x ＋k ·2x )·(－2x ＋k ·2－x )，∴k 2＝1，k ＝±1. 【答案】 ±15．设0≤x ≤2，y ＝4－3·2x＋5，试求该函数的最值.【解】 令t ＝2x,0≤x ≤2，∴1≤t ≤4. 则y ＝22x －1－3·2x＋5＝12t 2－3t ＋5.又y ＝12(t －3)2＋12，t ∈[1,4]，∴y ＝12(t －3)2＋12在[1,3]上是减函数；在t ∈[3,4]上是增函数，∴当t ＝3时，y min ＝12；当t ＝1时，y max ＝52.故函数的最大值为52，最小值为12.。

指数扩充及其运算性质基 础 巩 固一、选择题 1．若有意义，则x 的取值范围是( )A ．x ∈RB ．x ≠12C ．x >12D ．x <12[答案] D[解析]＝16－2x5，要使有意义，则需1－2x >0，即x <12.2．以下化简结果错误的是( )[答案] D[解析]故选项D 错误．A ．5B ．23C ．25D ．27 [答案] B[解析] x 2＋1x ＝x ＋1x＝x ＋x －1故选B.4．要使4a －2＋(a －4)0有意义，则a 的取值范围是( ) A ．a ≥2 B ．2≤a <4或a >4 C ．a ≠2 D ．a ≠4 [答案] B[解析] 要使原式有意义，需满足：⎩⎪⎨⎪⎧a －2≥0a －4≠0，解得2≤a <4或a >4.[答案] A [解析]6．(36a 9)4·(63a 9)4的结果是( )A ．a 16B ．a 8C ．a 4D ．a 2[答案] C[解析] (36a9)4·(63a 9)4＝)4·(6a3)4二、填空题7．(2012·临淄高一检测)0.25×(－12)－4－4÷20－＝________.[分析] 本小题考查分数指数幂的运算，利用运算性质，运用法则即可求解．[答案]－4[解析]＝14×(12)－4－4－＝4－4－4＝－4.8．(2012·郑州模拟)设函数f1(x)＝x12，f2(x)＝x－1，f3(x)＝x2，则f1(f2(f3(2012)))＝________.[答案]12012[解析] f1(f2(f3(2012)))＝f1(f2(20122))＝f1((20122)－1)＝((20122)－1)12＝2012－1＝12012.三、解答题9．(1)已知3a2＋b＝1，求9a·3b3a的值．[解析] (1)9a·3b3a＝32a·3b3a2＝32a＋b÷3a2∵32a ＋b ＝1，∴9a·3b3a ＝3.能 力 提 升一、选择题[答案] A[解析] 利用平方差公式易求选A.2．下列结论中正确的个数是( )A ．0B ．1C ．2D ．3 [答案] B[解析] 取a ＝－2，可验证①不正确； 当a <0，n 为奇数时，②不正确；y ＝(x －2) 12－(3x －7)0的定义域应是[2，73)∪(73，＋∞)，③不正确；④由100a ＝5得102a＝5.(1) 又10b＝2.(2) (1)×(2)得102a ＋b＝10.∴2a ＋b ＝1，此命题正确． 二、填空题3．若2－x 有意义，则x 2－4x ＋4－|3－x |化简后的结果是________． [答案] －1[解析] ∵2－x 有意义，∴2－x ≥0. ∴x ≤2.∴x 2－4x ＋4－|3－x |＝|x －2|－|3－x |＝(2－x )－(3－x )＝－1.[答案] －23 [解析]三、解答题 5．化简下列各式：(2)a 3b 2·3ab 24a b43ba(a ＞b ，b ＞0)．[分析] 在指数式运算中，一定要注意运算顺序和灵活运用乘法公式．[解析][点评] 这种混合运算的题型，运算的关键是化简顺序：先乘方、再乘除，最后做加减，步步紧扣运算法则，同时应注意将系数和字母分开计算．6．已知a ＝－827，b ＝1771，求的值．[解析] ∵a ≠0，7．已知a 、b 是方程x 2－6x ＋4＝0的两根，且a >b >0，求a －ba ＋b的值． [解析] ∵a 、b 是方程x 2－6x ＋4＝0的两根，∴⎩⎪⎨⎪⎧a ＋b ＝6ab ＝4.(a －b a ＋b )2＝a ＋b －2ab a ＋b ＋2ab ＝6－246＋24＝15， ∵a >b >0，∴a >b ， ∴a －ba ＋b＝15＝55.。

第三章指数函数和对数函数章末复习课网络构建核心归纳知识点一指数函数y＝a x(a>0，a≠1)的图像与性质一般地，指数函数y＝a x(a>0，a≠1)的图像与性质如下表所示：底数的范围，通常要用到分类讨论思想．(2)a>1时，a值越大，图像向上越靠近y轴，递增速度越快；0<a<1时，a值越小，图像向上越靠近y轴，递减速度越快．(3)在同一坐标系中有多个指数函数图像时，图像的相对位置与底数大小有如下关系：在y 轴右侧，图像从上到下相应的底数由大变小；在y 轴左侧，图像从下到上相应的底数由大变小．即无论在y 轴的左侧还是右侧，底数按逆时针方向变大．这一性质可通过令x ＝1时，y ＝a 去理解，如图．知识点二 对数函数y ＝log a x (a >0，a ≠1)的图像与性质对数函数y ＝log a x (a >0，a ≠1)与指数函数y ＝a x(a >0，a ≠1)互为反函数，其图像关于直线y ＝x 对称．(如图)知识点四 幂函数与指数函数的区别幂函数与指数函数的主要区别：幂函数的底数为变量，指数函数的指数为变量．因此，当遇到一个有关幂的形式的问题时，就要看变量所在的位置从而决定是用幂函数知识解决，还是用指数函数知识去解决．要点一 有关指数、对数的运算问题指数与指数运算、对数与对数运算是两个重要的知识点，不仅是本章考查的重要题型，也是高考的必考内容．指数式的运算首先要注意化简顺序，一般负指数先转化成正指数，根式化为指数式；其次若出现分式，则要注意把分子、分母因式分解以达到约分的目的．对数运算首先要注意公式应用过程中范围的变化，前后要等价；其次要熟练地运用对数的三个运算性质，并根据具体问题合理利用对数恒等式和换底公式等．换底公式是对数计算、化简、证明常用的公式，一定要掌握并灵活运用．【例1】 (1)化简：a 43 －8a 13 b 4b 23 ＋23ab ＋a 23 ÷⎝ ⎛⎭⎪⎫1－23b a ×3ab ；(2)计算：2log 32－log 3329＋log 38－25log 53．解 (1)原式＝a 13 a －8bb 232＋2a 13 b 13 ＋a 232×a 13 a 13 －2b 13×a 13 b 13 ＝a 13a －8b a －8b×a 13 ×a 13 b 13 ＝a 3b ．(2)原式＝log 34－log 3329＋log 38－52log 53＝log 3⎝ ⎛⎭⎪⎫4×932×8－52log 53＝log 39－9＝2－9＝－7． 【训练1】 ⎝ ⎛⎭⎪⎫1681－34 ＋log 354＋log 345＝________．解析 ⎝ ⎛⎭⎪⎫1681－34 ＋log 354＋log 345＝⎝ ⎛⎭⎪⎫23－3＋log 31＝278＋0＝278． 答案278要点二 函数的图像函数图像是高考考查的重点内容，在历年高考中都有涉及．考查形式有知式选图、知图造式、图像变换以及用图像解题．函数图像形象地显示了函数的性质，利用数形结合有时起到事半功倍的效果．【例2】 函数y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12x＋1的图像关于直线y ＝x 对称的图像大致是( )解析 函数y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12x＋1的图像如图所示，关于y ＝x 对称的图像大致为A 选项对应图像．答案 A【训练2】 函数y ＝xa x|x |(0<a <1)的图像的大致形状是( )解析 当x >0时，y ＝xa x |x |＝a x.又0<a <1，可排除A 、C ；当x <0时，y ＝xa x |x |＝－a x .又0<a <1，可排除B ．答案 D要点三 比较大小比较几个数的大小问题是指数函数、对数函数和幂函数的重要应用，其基本方法是：将需要比较大小的几个数视为某类函数的函数值，其主要方法可分以下三种：(1)根据函数的单调性(如根据一次函数、二次函数、指数函数、对数函数、幂函数的单调性)，利用单调性的定义求解；(2)采用中间量的方法(实际上也要用到函数的单调性)，常用的中间量如0,1，－1等； (3)采用数形结合的方法，通过函数的图像解决． 【例3】 设a ＝log 12 3，b ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫130.2，c ＝213 ，则( )A ．a <b <cB ．c <b <aC ．c <a <bD ．b <a <c解析 a ＝log 13 3<0,0<b ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫130.2<1，c ＝213 >1，故有a <b <c ．答案 A【训练3】 设a ＝log 2π，b ＝log 12π，c ＝π－2，则( )A ．a >b >cB ．b >a >cC ．a >c >bD ．c >b >a解析 因为π>2，所以a ＝log 2π>1，所以b ＝log 12 π<0.因为π>1，所以0<π－2<1，即0<c <1.所以a >c >b ．答案 C要点四 指数、对数函数图像与性质的综合应用 1．指数函数与对数函数性质的对比(1)相同点：指数函数与对数函数的图像和性质都与底数a 的取值有关．当a 变化时函数的图像与性质也随之改变．(2)不同点：①指数函数的图像恒过定点(0,1)，而对数函数的图像恒过定点(1,0)；②指数函数与对数函数的定义域与值域均不同，但它们的定义域与值域正好互换．(3)联系：①指数函数y ＝a x(a >0且a ≠1)与对数函数y ＝log a x (a >0且a ≠1)互为反函数； ②两函数的图像关于直线y ＝x 对称． 2．指数函数与幂函数的区别与联系9(1)求k 的值．(2)若函数y ＝f (x )的图像与直线y ＝12x ＋b 没有交点，求b 的取值范围．(3)设h (x )＝log 9⎝ ⎛⎭⎪⎫a ·3x －43a ，若函数f (x )与h (x )的图像有且只有一个公共点，求实数a 的取值范围．解 (1)因为f (x )为偶函数，所以对任意x ∈R ，f (－x )＝f (x )，即log 9(9－x＋1)－kx ＝log 9(9x＋1)＋kx 对于任意x ∈R 恒成立．于是2kx ＝log 9(9－x＋1)－log 9(9x＋1)＝log 99x＋19x －log 9(9x＋1)＝－x 恒成立，而x 不恒为零，所以k ＝－12．(2)由题意知方程log 9(9x ＋1)－12x ＝12x ＋b 即方程log 9(9x＋1)－x ＝b 无解．令g (x )＝log 9(9x＋1)－x ，则函数y ＝g (x )的图像与直线y ＝b 无交点．因为g (x )＝log 99x＋19x ＝log 9⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋19x ，所以g (x )在(－∞，＋∞)上是单调减函数．因为1＋19x >1，所以g (x )＝log 9⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋19x >0.所以b 的取值范围是(－∞，0]．(3)由题意知方程3x ＋13x ＝a ·3x －43a 有且只有一个实数根．令3x＝t >0，则关于t 的方程(a －1)t 2－43at －1＝0(记为(*))有且只有一个正根．若a ＝1，则t ＝－34，不合题意，舍去．若a ≠1，则方程(*)的两根异号或有两相等正根．方程(*)的两根异号⇔(a －1)·(－1)<0⇔a >1.由Δ＝0⇒a ＝34或－3；但a ＝34⇒t ＝－2，不合题意，舍去；而a ＝－3⇒t ＝12；综上所述，实数a 的取值范围是{－3}∪(1，＋∞)．【训练4】 已知偶函数f (x )在x ∈[0，＋∞)上是增函数，f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12＝0，求不等式f (log a x )>0(a >0，且a ≠1)的解集．解 ∵f (x )是偶函数，且f (x )在[0，＋∞)上是增函数，又f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12＝0，∴f (x )在(－∞，0)上是减函数，f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－12＝0． 故若f (log a x )>0，则有log a x >12或log a x <－12．①当a >1时，由log a x >12或log a x <－12，得x >a 或0<x <a a． ②当0<a <1时，由log a x >12或log a x <－12，得0<x <a 或x >a a． 综上可知，当a >1时，f (log a x )>0的解集为⎝ ⎛⎭⎪⎫0，a a ∪(a ，＋∞)；当0<a <1时，f (log a x )>0的解集为(0，a )∪⎝⎛⎭⎪⎫a a ，＋∞.方向1 函数思想函数是描述客观世界变化规律的重要模型，不同的变化规律需要不同的函数模型来描述．本章学习的三种不同类型的函数模型(指数函数、对数函数、幂函数)刻画了客观世界中三类不同的变化规律，具有不同对应关系的变化现象．利用函数的意义解指数、对数方程，利用函数的单调性比较两个数的大小和解有关指数、对数的不等式是本章中运用函数思想解题的重要体现．【例5－1】 如果x 1是方程x ＋lg x ＝3的一个根，x 2是方程x ＋10x＝3的一个根，那么x 1＋x 2的值是( )A ．6B ．3C ．2D ．1解析 将已知的两个方程变形，得lg x ＝3－x,10x＝3－x ． 令f (x )＝lg x ，g (x )＝10x，h (x )＝3－x ．如图所示，记g (x )与h (x )的图像的交点为A (x 1，y 1)，f (x )与h (x )的图像的交点为B (x 2，y 2)，利用函数的性质易知A ，B 两点关于直线y ＝x 对称，便有x 1＝y 2，x 2＝y 1．将点A 的坐标代入h (x )，得y 1＝3－x 1．再将y 1＝x 2代入上式，得x 2＝3－x 1，即x 1＋x 2＝3．答案 B方向2 数形结合思想数形结合思想在解决对数函数问题中应用比较广泛．特别是在求有关对数方程解的个数或已知解的个数求参数的取值(范围)等问题时，常将已知数量关系转化到图像中，从而使问题直观、易解．【例5－2】 已知不等式2x－log a x <0在x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，12时恒成立，求实数a 的取值范围．解 要使不等式2x －log a x <0，即2x<log a x 在x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，12时恒成立，则函数y ＝log a x 的图像在⎝ ⎛⎭⎪⎫0，12内恒在函数y ＝2x 的图像的上方，且函数y ＝2x的图像过点⎝ ⎛⎭⎪⎫12，2．由图可知，log a 12>2，显然0<a <1，∴函数y ＝log a x 是减函数． ∵log a 12>2＝log a a 2，∴a 2>12，即a >⎝ ⎛⎭⎪⎫1222 ．故实数a 的取值范围为⎝ ⎛⎭⎪⎫⎝ ⎛⎭⎪⎫1222 ，1)．方向3 分类讨论思想我们以前就接触过分类讨论的思想方法，即根据所研究对象的性质差异，分各种不同的情况予以分析解决．应特别注意的是，当讨论的对象不止一种时，应分层进行，以避免混乱，分大类时有一个统一的标准，每一大类中再分几小类可另有统一的标准．【例5－3】 解关于x 的不等式：log a (4＋3x －x )3－log a (2x －1)>log a 2(a >0，a ≠1)． 解 原不等式可化为log a (4＋3x －x 2)>log a 2(2x －1)．①当a >1时，有⎩⎪⎨⎪⎧2x －1>0，4＋3x －x 2>0，4＋3x －x 2x －，即⎩⎪⎨⎪⎧x >12，－1<x <4，－3<x <2，∴12<x <2． ②当0<a <1时，有⎩⎪⎨⎪⎧2x －1>0，4＋3x －x 2>0，4＋3x －x 2x －，即⎩⎪⎨⎪⎧x >12，－1<x <4，x <－3或x >2，∴2<x <4．综上可知，当a >1时，原不等式的解集为⎝ ⎛⎭⎪⎫12，2；当0<a <1时，原不等式的解集为(2,4)．。

第2课时 对数的运算性质1．掌握对数的运算性质，并能运用运算性质进行对数的有关运算．(重点) 2．了解换底公式．3．能用换底公式将一般对数化成自然对数或常用对数解题．(难点)[基础·初探]教材整理1 对数的运算性质 阅读教材P 75～P 76，完成下列问题． 1．符号表示如果a ＞0，a ≠1，M ＞0，N ＞0，则 (1)log a (MN )＝log a M ＋log a N ； (2)log a M n＝n log a M (n ∈R )； (3)log a M N＝log a M －log a N . 2．文字表述(1)两正数的积的对数等于这两个正数的对数的和； (2)两正数的商的对数等于被除数的对数减去除数的对数； (3)一个正数的n 次幂的对数等于n 倍的该数的对数．1．判断(正确的打“√” ，错误的打“×”) (1)积、商的对数可以直接化为对数的和、差．( ) (2)log a x ·log a y ＝log a (x ＋y )．( ) (3)log a (－2)4＝4log a (－2)．( )【解析】 根据对数的运算性质(1)只有正数积、商的对数才可以直接化为对数的和、差，(2)错误，(3)中－2不能作真数．【答案】 (1)× (2)× (3)×2．(1)log 2 25－log 2 254＝________；(2)log 2 8＝________.【解析】 (1)log 2 25－log 2 254＝log 2 25×425＝log 2 4＝log 2 22＝2log 2 2＝2.(2)log 2 8＝log 2 23＝3log 2 2＝3. 【答案】 (1)2 (2)3 教材整理2 换底公式阅读教材P 77～P 78，完成下列问题． 1．换底公式一般地，我们有log a N ＝log c Nlog c a ，(其中a >0，a ≠1，N >0，c >0，c ≠1)，这个公式称为对数的换底公式．2．与换底公式有关的几个结论(1)log a b ·log b a ＝1(a ，b >0且a ，b ≠1)； (2)log am b n＝n mlog a b (a ，b >0且a ，b ≠1，m ≠0)．若lg 5＝a ，lg 7＝b ，用a ，b 表示log 75＝________. 【解析】 log 75＝lg 5lg 7＝ab.【答案】 a b[小组合作型]计算下列各式的值．(1)lg 2＋lg 5；(2)log 5 35＋2log 122－log 5150－log 5 14；(3)[(1－log 6 3)2＋log 6 2·log 6 18]÷log 6 4.【精彩点拨】 根据对数的运算性质，先将式子转化为只含有一种或几种真数的形式再进行计算．【自主解答】 (1)lg 2＋lg 5＝lg (2×5)＝lg 10＝1. (2)原式＝log 5 35×5014＋2log 12 212＝log 5 53－1＝2.(3)原式＝[(log 6 6－log 6 3)2＋log 6 2·log 6(2·32)]÷log 6 4 ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤⎝⎛⎭⎪⎫log 6 632＋log 662＋log 6 32÷log 6 22＝[(log 6 2)2＋(log 6 2)2＋2log 6 2·log 6 3]÷2log 6 2 ＝log 6 2＋log 6 3＝log 6(2·3)＝1.1．对于同底的对数的化简要用的方法(1)“收”，将同底的两对数的和(差)收成积(商)的对数； (2)“拆”，将积(商)的对数拆成两对数的和(差)． 2．注意对数的性质的应用，如log a 1＝0，log a a ＝1，alog a N＝N .3．化简的式子中有多重对数符号时，应自内向外逐层化简求值．[再练一题]1．计算下列各式的值：(1)12lg 3249－43lg 8＋lg 245； (2)lg 25＋23lg 8＋lg 5×lg 20＋(lg 2)2；(3)2log 3 2－log 3 329＋log 3 8－5log5 3.【解】 (1)法一：原式＝12(5lg 2－2lg 7)－43×32lg 2＋12(2lg 7＋lg 5)＝52lg 2－lg 7－2lg 2＋lg 7＋12lg 5 ＝12lg 2＋12lg 5＝12(lg 2＋lg 5) ＝12lg 10＝12. 法二：原式＝lg 427－lg 4＋lg 7 5＝lg 42×757×4＝lg (2·5)＝lg 10＝12.(2)原式＝2lg 5＋2lg 2＋lg 5(2lg 2＋lg 5)＋(lg 2)2＝2lg 10＋(lg 5＋lg 2)2＝2＋(lg 10)2＝2＋1＝3.(3)原式＝2log 3 2－(log 3 32－log 3 9)＋3log 3 2－3＝2log 3 2－5log 3 2＋2＋3log 3 2－3＝－1.化简：【精彩点拨】 将需表示式子中的真数用已知的式子中的真数表示出来． 【自主解答】 (1)log 2(28×82)＝log 2[28×(23)2]＝log 2(28＋3×2)＝log 2 214＝14.(2)lg 24＝lg (3×8)＝lg 3＋lg 8＝lg 3＋3lg 2.这类问题一般有两种处理方法：一种是将式中真数的积、商、方根运用对数的运算法则将它们化为对数的和、差、积、商，然后化简求值；另一种方法是将式中的对数的和、差、积、商运用对数的运算法则将它们化为真数的积、商、幂、方根，然后化简求值．要特别注意log a (MN )≠log a M ·log a N ，log a (M ±N )≠log a M ±log aN.[再练一题] 2．化简：(1)log 2(45×82)；(2)log 13 27－log 139；(3)用lg x ，lg y ，lg z 表示lgx 2y3z.【解】 (1)log 2(45×82)＝log 2 (210×26)＝log 2 216＝16log 2 2＝16×2＝32. (2)log 1327－log 139＝log 13279＝log 133＝－1. (3)lgx 2y3z＝lg x 2＋lg y －lg 3z ＝2lg x ＋12lg y －13lg z .(1)已知3a ＝5b＝c ，且1a ＋1b＝2，则c 的值为________．(2)已知x ，y ，z 为正数，3x ＝4y ＝6z,2x ＝py . ①求p ；②证明：1z －1x ＝12y.【精彩点拨】 用换底公式统一底数再求解．【自主解答】 (1)由3a ＝5b＝c ，得a ＝log 3c ，b ＝log 5c ，所以1a ＝log c 3，1b＝log c 5.又1a ＋1b＝2，所以log c 3＋log c 5＝2，即log c 15＝2，c ＝15.【答案】15(2)①设3x＝4y＝6z＝k (k ＞1)，则x ＝log 3k ，y ＝log 4k ，z ＝log 6k ，由2x ＝py ，得2log 3k ＝p log 4k ，解得p ＝2log 34.②证明：1z －1x ＝1log 6k －1log 3k＝log k 6－log k 3＝log k 2， 而12y ＝12log 4k ＝12log k 4＝log k 2. 故1z －1x ＝12y.1．换底公式即将底数不同的对数转化成底数相同的对数，从而进行化简、计算或证明．换底公式应用时，一般换成以10为底的常用对数，或以e 为底的自然对数，但也应该结合已知条件来确定．2．换底公式推导出的两个恒等式： (1)log a m N n＝nmlog a N ；(2)log a b ·log b a ＝1，要注意熟练应用．[再练一题]3．计算：(log 2 125＋log 4 25＋log 8 5)(log 5 2＋log 25 4＋log 125 8)．【解】 原式＝(log 2 53＋log 22 52＋log 23 5)(log 5 2＋log 52 22＋log 53 23) ＝(3log 2 5＋log 2 5＋13log 2 5)·(log 5 2＋log 5 2＋log 5 2)＝133·log 2 5·3log 5 2＝13.2015年我国国民生产总值为a 亿元，如果年平均增长8%，那么经过多少年，我国国民生产总值是2015年的2倍？(已知lg 2≈0.301 0，lg 3≈0.477 1，lg 1.08≈0.033 4，精确到1年)【精彩点拨】 认真分析题意，找出其中各量之间的关系，列出式子，并利用对数运算求解．【自主解答】 设经过x 年，我国国民生产总值是2015年的2倍． 经过1年，总产值为a (1＋8%)， 经过2年，总产值为a (1＋8%)2， ……经过x 年，总产值为a (1＋8%)x . 由题意得a (1＋8%)x＝2a ，即1.08x ＝2， 两边取常用对数，得lg 1.08x＝lg 2， 则x ＝lg 2lg 1.08≈0.301 00.033 4≈9(年)．答：约经过9年，国民生产总值是2015年的2倍．解对数应用题的步骤[再练一题]4．2000年我国国内生产总值(GDP)为89 442亿元，如果我国的GDP 年均增长7.8%左右，按照这个增长速度，在2000年的基础上，经过多少年后，我国GDP 才能实现比2000年翻两番的目标？(lg 2≈0.301 0，lg 1.078≈0.032 6，结果保留整数)．【解】 假设经过x 年实现GDP 比2000年翻两番的目标，根据题意，得89 442×(1＋7.8%)x＝89 442×4，即1.078x＝4，故x ＝log 1.078 4＝lg 4lg 1.078≈18.5.答：约经过19年以后，我国GDP 才能实现比2000年翻两番的目标．[探究共研型]探究1 【提示】 log a MN ＝log a M ＋log a N ，log a M N ＝log a M －log a N ，log a b ＝log c b log c a，log a Mn＝n log a M ，log am b n＝nmlog a b .探究2 解对数方程log a M ＝log a N ，应注意什么？【提示】 ⎩⎪⎨⎪⎧M ＝N ，M >0，N >0.已知lg x ＋lg y ＝2lg (x －2y )，求log 12⎝ ⎛⎭⎪⎫x y 的值．【精彩点拨】 根据对数的运算性质得到x ，y 的关系式，解方程即可． 【自主解答】 lg x ＋lg y ＝lg (xy )＝2lg (x －2y )＝lg (x －2y )2， 由题知，xy ＝(x －2y )2，即x 2－5xy ＋4y 2＝0， ∴⎝ ⎛⎭⎪⎫x y 2－5⎝ ⎛⎭⎪⎫x y＋4＝0，∴⎝ ⎛⎭⎪⎫x y－1⎝ ⎛⎭⎪⎫xy－4＝0，故x y＝1或4.又当x ＝y 时，x －2y ＝－y <0，故舍去，∴x y＝4. ∴log 12x y＝log 124＝－2.解含对数式的方程应注意两点： (1)对数的运算性质；(2)对数中底数和真数的范围限制．[再练一题]【解】 原方程等价于3(2log 3 x )－4log 42 x 2－12＝0， 即3log 3 x 2－4log 4 x －12＝0， ∴x 2－x －12＝0， ∴(x ＋3)(x －4)＝0， ∴x ＝4或－3.又⎩⎪⎨⎪⎧x >0，x 2>0，∴x ＝4，即原方程的解为x ＝4.1．log 2 27·log 3 4＝________；log 2 3·log 3 10·lg 8＝________. 【解析】 log 2 27·log 3 4＝log 2 33·log 3 22＝(3log 2 3)·(2log 3 2)＝6. log 2 3·log 3 10·lg 8＝lg 3lg 2·lg 10lg 3·lg 8lg 10＝lg 8lg 2＝log 2 8＝3.【答案】 6 32．已知lg 2＝a ，lg 7＝b ，那么log 8 98＝________. 【解析】 log 8 98＝lg 98lg 8＝2lg 7＋lg 23lg 2＝a ＋2b3a .【答案】a ＋2b 3a3．若log 5 14·log 4 6·log 6 x ＝2，则x ＝________.【解析】 log 5 14·log 4 6·log 6 x ＝()－log 5 4·()log 4 6()log 6 x ＝－log 5 x ＝2，∴log 5 x ＝－2，∴x ＝5－2＝125. 【答案】1254．已知2m ＝5n＝10，则1m ＋1n＝________.【解析】 因为m ＝log 2 10，n ＝log 5 10，所以1m ＋1n＝log 10 2＋log 10 5＝lg 10＝1.【答案】 15．已知lg(x ＋2y )＋lg(x －y )＝lg 2＋lg x ＋lg y ，求x y的值． 【解】 由已知条件得⎩⎪⎨⎪⎧x ＋2y >0，x －y >0，x >0，y>0，x ＋2yx －y ＝2xy ，即⎩⎪⎨⎪⎧x >y ，y >0，x ＋2yx －y ＝2xy ，整理得⎩⎪⎨⎪⎧x >y ，y >0，x －2yx ＋y ＝0，∴x －2y ＝0，∴xy＝2.。