八年级数学上期末压轴题练习2

期末难点特训二和一次函数的实际应用有关的压轴题1．如图①，一个正方体铁块放置在圆柱形水槽内，现以一定的速度往水槽中注水，28s时注满水槽．水槽内水面的高度y（cm）与注水时间x（s）之间的函数图象如图②所示．（1）正方体的棱长为cm；（2）求线段AB对应的函数解析式，并写出自变量x的取值范围；（3）如果将正方体铁块取出，又经过t（s）恰好将此水槽注满，直接写出t的值．2．用充电器给某手机充电时，其屏幕画面显示目前电量为20%（如图1）．经测试，在用快速充电器和普通充电器对该手机充电时，其电量y（单位：%）与充电时间x（单位：h）的函数图象分别为图2中的线段AB、AC．根据以上信息，回答下列问题：(1)在目前电量20%的情况下，用充电器给该手机充满电时，快速充电器比普通充电器少用______小时．(2)求线段AB对应的函数表达式；(3)先用普通充电器充电a h后，再改为快速充电器充满电，一共用时3h，请在图2中画出电量y（单位：%）与充电时间x（单位：h）的函数图象，并标注出a所对应的值．3．已知A、B 两地相距3km，甲骑车匀速从A 地前往B 地，如图表示甲骑车过程中离A 地的路程y 甲（km）与他行驶所用的时间x（min）之间的关系．根据图像解答下列问题：(1)甲骑车的速度是km/min；(2)若在甲出发时，乙在甲前方1.2km 的C处，两人均沿同一路线同时匀速出发前往B 地，在第4 分钟甲追上了乙，两人到达B 地后停止．请在下面同一平面直角坐标系中画出乙离B 地的距离y 乙（km）与所用时间x（min）的关系的大致图像；(3)在（2）的条件下，求出两个函数图像的交点坐标，并解释它的实际意义．4．如图()1所示，在A，B两地间有一车站C，一辆汽车从A地出发经C站匀速驶往B地.如图()2是汽车行驶时离C站的路程y(千米)与行驶时间x(小时)之间的函数关系的图象．()1填空：a=______km，AB两地的距离为______km；()2求线段PM、MN所表示的y与x之间的函数表达式；()3求行驶时间x在什么范围时，小汽车离车站C的路程不超过60千米？5．某动物园内的一段线路如图1所示，动物园内有免费班车从处出发，沿该线路开往熊猫馆，途中停靠珍禽馆（上下车时间忽略不计），第一班车上午9:15出发，以后每隔10分钟有一班车从入口处发车，且每班车速度均相同．小明周末到动物园游玩，上午9点到达入口处，因还没到班车发车时间，于是他从入口处出发，沿该路线步行25分钟后到达珍禽馆，离入口处的路程y（米）与时间x（分）的函数关系如图2所示：（1）第一班车从入口处到达珍禽馆所需的时间为 分钟：（2）求第一班车离入口处的路程y （米）与时间x （分）的函数关系式并写出自变量x 的取值范围： （3）小明在珍禽馆游玩35分钟后，想乘班车到熊猫馆，则小明最早能够乘上第 班车；（4）如果小明在珍禽馆游玩35分钟后，乘最早的班车到熊猫馆，那么比他在珍禽馆游玩结东后立即步行到熊猫馆提前 分钟到（假设小明步行速度不变）．6．某数学小组探究下列问题：商场将甲、乙两种糖果按照质量比为1：2混合成什锦糖售卖、设甲、乙糖果的单价分别为m 元/千克、n 元/千克，求什锦糖的单价．列式可以求解：(1)小红根据题目中的数量关系，通过列式得出什锦糖的单价，请你按小红的思路完成解答：不列式，画图可以求解吗？(2)小莉设计了一幅算图（如图①），设计方案与使用方法如下：设计方案：过点1,0A ，()3,0C 分别作x 轴的垂线AB ，CD ．使用方法：把乙糖果的单价用y 轴上的点E 的纵坐标表示，甲糖果的单价用直线CD 上的点F 的纵坐标表示，连接EF ，EF 与AB 的交点记为P ，则点P 的纵坐标就是什锦糖的单价．请你用一次函数的知识说明小莉方法的正确性；(3)小明将原问题的条件改为：甲、乙、丙三种糖果按照质量比为1：2：3混合成什锦糖售卖，已知甲、乙、丙三种糖果的单价分别为12元/千克、15元/克、16元/千克．请你帮小明在图②中设计一幅算图，求出什锦糖的单价．要求：标注必要的字母与数据，不写设计方案与使用方法，不必说明理由．7．实际情境：甲、乙两人从相距4千米的两地同时、同向出发，甲每小时走6千米，乙每小时走4千米，小狗随甲一起出发，每小时跑12千米，小狗遇到乙的时候它就往甲这边跑，遇到甲时又往乙这边跑，遇到乙的时候再往甲这边跑…就这样一直跑下去．数学研究：如图，折线A B C --、A D E --分别表示甲、小狗在行进过程中，离乙的路程y （km ）与甲行进时间x （h ）之间的部分函数图像．（1）求线段AB 对应的函数表达式；（2）求点E 的坐标；（3）小狗从出发到它折返后第一次与甲相遇的过程中，直接写出x 为何值时，它离乙的路程与它离甲的路程相等？8．数学兴趣小组的同学们受《乌鸦喝水》故事的启发，在数学实验室中，利用带刻度的容器和匀速流水的水龙头进行数学实验．（1）如图，有三种不同形状的容器，现向三种容器匀速注水，恰好注满时停止．已知注水前 图①的容器中有200ml 的水，图②容器中有100ml 的水，图③容器中没有水，是空的．图①和图②的注水速度均为 5/ml s ，图③的注水速度为10/ml s ．设容器中水的体积为y （单位：ml ），注水时间为x （单位：s ）．请分别写出三个容器中y 关于x 的函数表达式，填写在图中对应的横线上．（2）如图④，同学们自己制作了一个特殊的容器，这个特殊容器有上、下两个高度相同的圆柱体组合而成，且上圆柱体底面圆的半径是下圆柱体底面圆的半径的一半．已知这个特殊容器的高为20cm ，注水前，容器内的水面高度是4cm ，现向容器匀速注水，直至容器恰好注满时停止，每5s 记录一次水面的高度h （单位：cm ），前5次数据如下表所示． 注水时间/t s0 5 10 15 20 … 水面高度/h cm 4 5 6 7 8 …①在平面直角坐标系中，请画出水面高度h 关于注水时间t 的函数图像，并标注相关数据；②在水面高度h 满足616h ≤≤时，则注水时间t 的取值范围是__________．9．一辆货车从甲地匀速驶往乙地，到达乙地停留一段时间后，沿原路以原速返回甲地．货车出发一段时间后，一辆轿车以120km/h 的速度从甲地匀速驶往乙地．货车出发h a 时，两车在距离甲地160km 处相遇，货车回到甲地的同时轿车也到达乙地．货车离甲地的距离()1km y 、轿车离甲地的距离()2km y 分别与货车所用时间()h x 之间的函数图像如图所示．（1）货车的速度是______km/h ，a 的值是______，甲、乙两地相距______km ；（2）图中D 点表示的实际意义是：______．（3）求2y 与x 的函数表达式，并求出b 的值；（4）直接写出货车在乙地停留的时间．10．甲、乙两地相距300千米，一辆货车和一辆轿车分别从甲地开往乙地（轿车的平均速度大于货车的平均速度），如图，线段OA 、折线BCD 分别表示两车离甲地的距离y （单位：千米）与时间x （单位：小时）之间的函数关系．（1）线段OA 与折线BCD 中，______（填线段OA 或折线BCD ）表示货车离甲地的距离y 与时间x 之间的函数关系．（2）求线段CD 的函数关系式（标出自变量x 取值范围）；（3）货车出发多长时间两车相遇？11．快车从M 地出发沿一条公路匀速前往N 地，慢车从N 地出发沿同一条公路匀速前往M 地，已知快车比慢车晚出发0.5小时，快车先到达目的地．设慢车行驶的时间为t （h ），快慢车辆车之间的距离为s （km ），s 与t 的函数关系如图1所示．（1）求图1中线段BC 的函数表达式；（2）点D 的坐标为 ，并解释它的实际意义；（3）设快车与N 地的距离为y （km ），请在图2中画出y 关于慢车行驶时间t 的函数图象．（标明相关数据）12．某天早上爸爸骑车从家送小明去上学.途中小明发现忘带作业本，于是他立即下车，下车后的小明匀速步行继续赶往学校，同时爸爸加快骑车速度，按原路匀速返回家中取作业本（拿作业本的时间忽略不计），紧接着以返回时的速度追赶小明.最后两人同时达到学校.如图是小明离家的距离()y m 与所用时间()min x 的函数图像.请结合图像回答下列问题：（1）小明家与学校距离为______m ，小明步行的速度为______/min m ；（2）求线段AB 所表示的y 与x 之间的函数表达式；（3）在同一坐标系中画出爸爸离家的距离()y m 与所用时间()min x 的关系的图像.（标注相关数据．．．．．．） 13．快车和慢车分别从A 市和B 市两地同时出发，匀速行驶，先相向而行，慢车到达A 市后停止行驶，快车到达B 市后，立即按原路原速度返回A 市（调头时间忽略不计），结果与慢车同时到达A 市．快、慢两车距B 市的路程y 1、y 2（单位：km ）与出发时间x （单位：h ）之间的函数图像如图所示．（1）A 市和B 市之间的路程是 km ；（2）求a 的值，并解释图中点M 的横坐标、纵坐标的实际意义；（3）快车与慢车迎面相遇以后，再经过多长时间两车相距20 km ？14．某城市对居民生活用水按以下规定收取每月的水费：家庭月用水量如果不超过8吨，按每吨2.5元收费；如果超过8吨，未超过的部分仍按每吨2.5元收取，而超过部分则按每吨4元收取．（1）设某家庭月用水量为x 吨，水费为y 元，请写出y 与x 之间的函数解析式，并在给定的平面直角坐标系中，画出该函数的图象；（2）如果小明家按题中规定今年3月份应缴水费34元，那么今年3月份小明家用水多少吨？15．已知A、B两地相距2.4km，甲骑车匀速从A地前往B地，如图表示甲骑车过程中离A地的路程y（km）与他行驶所用的时间x（min）之间的关系．根据图像解答下列问题：（1）甲骑车的速度是km/min；（2）若在甲出发时，乙在甲前方0.6km处，两人均沿同一路线同时出发匀速前往B地，在第3分钟甲追上了乙，两人到达B地后停止．请在下面同一平面直角坐标系中画出乙离A地的距离y乙（km）与所用时间x（min）的关系的大致图像；（3）乙在第几分钟到达B地？（4）两人在整个行驶过程中，何时相距0.2km？16．某兴趣小组利用计算机进行电子虫运动实验．如图1，在相距100个单位长度的线段AB上，电子虫甲从端点A出发，匀速往返于端点A、B之间，电子虫乙同时从端点B出发，设定不低于甲的速度匀速往返于端点B、A之间．他们到达端点后立即转身折返，用时忽略不计．兴趣小组成员重点探究了甲、乙迎面相遇的情况，这里的“迎面相遇”包括面对面相遇、在端点处相遇这两种．设甲、乙第一次迎面相遇时，相遇地点与点A之间的距离为x个单位长度，他们第二次迎面相遇时，相遇地点与点A之间的距离为y个单位长度．(1)请直接写出：当x ＝20时，y 的值为_________；当x ＝40时，y 的值为________；(2)兴趣小组成员发现了y 与x 的函数关系，并画出了部分函数图像（如图2中的线段OM ，但不包括点O ，因此点O 用空心画出）①请直接写出：a ＝_______；②分别求出各部分图像对应的函数解析式，并在图2中补全函数图像，标出关键点的坐标；(3)设甲、乙第一次迎面相遇时，相遇地点与点A 之间的距离为x 个单位长度，他们第三次迎面相遇时，相遇地点与点A 之间的距离为z 个单位长度．若z 不超过40，则x 的取值范围是_______（直接写出结果）．17．某公司开发处一款新的节能产品，该产品的成本价为6元/件，该产品在正式投放市场前通过代销点进行了为期一个月(30天)的试销售，售价为10元/件，工作人员对销售情况进行了跟踪记录，并将记录情况绘制成图象，图中的折线ABC 表示日销售量y(件)与销售时间x(天)之间的函数关系．(1)求y 与x 之间的函数表达式，并写出x 的取值范围；(2)若该节能产品的日销售利润为W(元)，求W 与x 之间的函数表达式，并求出日销售利润不超过1040元的天数共有多少天？(3)若5≤x≤17，直接写出第几天的日销售利润最大，最大日销售利润是多少元？18．在平面直角坐标系中，对于()11,A x y 、()22,B x y 两点，用以下方式定义两点间的“极大距离”(),d A B ；若1212x x y y -≥-，则()12,d A B x x =-；若1212x x y y -<-，则()12,d A B y y =-．例如：如图，点()2,3P ，则(),3d P O =．【理解定义】（1）若点()3,2A 、()1,1B --，则(),d A B =______．（2）在点()2,2C 、()1,2D -、()3,2E --、()1,2F -中，到坐标原点O 的“极大距离”是2的点是______．（填写所有正确的字母代号）【深入探索】（3）已知点13,22M a a ⎛⎫ ⎪⎝⎭，(),2d M O =，O 为坐标原点，求a 的值． 【拓展延伸】（4）经过点()1,3的一次函数y kx b =+（k 、b 是常数，0k ≠）的图像上是否存在点P ，使(),2d P O =，O 为坐标原点，直接写出点P 的个数及对应的k 的取值范围．19．如图①，长方体长AB 为8 cm ，宽BC 为6 cm ，高BF 为4 cm ．在该长体的表面上，蚂蚁怎样爬行路径最短？(1)蚂蚁从点A 爬行到点G ，且经过棱EF 上一点，画出其最短路径的平面图，并标出它的长．(2)设该长方体上底面对角线EG 、FH 相交于点O （如图②），则OE ＝OF ＝OG ＝OH ＝5 cm ．①蚂蚁从点B 爬行到点O 的最短路径的长为 cm ；②当点P 在BC 边上，设BP 长为a cm ，求蚂蚁从点P 爬行到点O 的最短路的长（用含a 的代数式表示）．20．某工厂甲、乙两车间接到加工一批零件的任务，从开始加工到完成这项任务共用了9天，乙车间在加工2天后停止加工，引入新设备后继续加工，直到与甲车间同时完成这项任务为止，设甲、乙车间各自加工零件总数为y （件），与甲车间加工时间x （天），y 与x 之间的关系如图（1）所示．由工厂统计数据可知，甲车间与乙车间加工零件总数之差z （件）与甲车间加工时间x （天）的关系如图（2）所示．（1）甲车间每天加工零件为_____件，图中d值为_____．（2）求出乙车间在引入新设备后加工零件的数量y与x之间的函数关系式．（3）甲车间加工多长时间时，两车间加工零件总数为1000件？答案与解析1．如图①，一个正方体铁块放置在圆柱形水槽内，现以一定的速度往水槽中注水，28s时注满水槽．水槽内水面的高度y（cm）与注水时间x（s）之间的函数图象如图②所示．（1）正方体的棱长为cm；（2）求线段AB对应的函数解析式，并写出自变量x的取值范围；（3）如果将正方体铁块取出，又经过t（s）恰好将此水槽注满，直接写出t的值．【答案】（1）10；（2）y=58x+52（12≤x≤28）；（3）4 s.【分析】（1）直接利用一次函数图象结合水面高度的变化得出正方体的棱长；（2）直接利用待定系数法求出一次函数解析式，再利用函数图象得出自变量x的取值范围；（3）利用一次函数图象结合水面高度的变化得出t的值．【详解】（1）由题意可得：12秒时，水槽内水面的高度为10cm，12秒后水槽内高度变化趋势改变，所以正方体的棱长为10cm；故答案为10cm；（2）设线段AB对应的函数解析式为：y=kx+b，∵图象过A（12，0），B（28，20），∴120 2820k bk b+=⎧⎨+=⎩，解得：5852kb⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，∴线段AB对应的解析式为：5582y x=+（12≤x≤28）；（3）∵28﹣12=16（cm），∴没有立方体时，水面上升10cm，所用时间为：16秒，∵前12秒由立方体的存在，导致水面上升速度加快了4秒，∴将正方体铁块取出，经过4秒恰好将此水槽注满．2．用充电器给某手机充电时，其屏幕画面显示目前电量为20%（如图1）．经测试，在用快速充电器和普通充电器对该手机充电时，其电量y （单位：%）与充电时间x （单位：h ）的函数图象分别为图2中的线段AB 、AC ．根据以上信息，回答下列问题：(1)在目前电量20%的情况下，用充电器给该手机充满电时，快速充电器比普通充电器少用______小时．(2)求线段AB 对应的函数表达式；(3)先用普通充电器充电a h 后，再改为快速充电器充满电，一共用时3h ，请在图2中画出电量y （单位：%）与充电时间x （单位：h ）的函数图象，并标注出a 所对应的值． 【答案】(1)4；(2)线段AB 的函数表达式为： y =40x +20 ；(3)作图见解析．【分析】（1）由图象可知快速充电器给该手机充满电需2小时，普通充电器给该手机充满电需6小时，即可求解；（2）利用待定系数法可求解析式；（3）由时间恰好是3h ，列出方程可求解，即可画出函数图像．（1）解：由图象可知快速充电器给该手机充满电需2小时，普通充电器给该手机充满电需6小时，∴用充电器给该手机充满电时，快速充电器比普通充电器少用4小时；故答案为4；（2）解：设线段AB 的函数表达式为y =k 1x +b 1，将(0，20)，(2， 100)代入y = k 1x +b 1，111210020k b b +=⎧⎨=⎩解得114020k b =⎧⎨=⎩ ， ∴线段AB 的函数表达式为： y =40x +20 ；（3）解：设线段AC 的函数表达式为y =k 2x +b 2，将(0， 20)，(6， 100)代入y = k 2x +b 2，222610020k b b +=⎧⎨=⎩ ， 解得2240320k b ⎧=⎪⎨⎪=⎩ ， 线段AC 的函数表达式为：40203y x =+； ∴()40403100203a a +⨯-=-，解得32a =， 把32a =代入40203y x =+得40y =， ∴点,3402⎛⎫ ⎪⎝⎭是先用普通充电器充电，再用快速充电器充电时电量y 与充电时间x 的函数图象的转折点，作图如下图所示，作点D ,3402⎛⎫ ⎪⎝⎭，E (3，100)，连接AD ，DE ，折线ADE 即为所求作的图形， ．【点睛】本题考查了一次函数的应用，待定系数法求解析式及一元一次方程的应用，求出解析式是解答本题的关键．3．已知 A 、B 两地相距 3km ，甲骑车匀速从 A 地前往 B 地，如图表示甲骑车过程中离 A 地的路程 y 甲（km ）与他行驶所用的时间 x （min ）之间的关系．根据图像解答下列问题：(1)甲骑车的速度是km/min；(2)若在甲出发时，乙在甲前方1.2km 的C处，两人均沿同一路线同时匀速出发前往B 地，在第4 分钟甲追上了乙，两人到达B 地后停止．请在下面同一平面直角坐标系中画出乙离B 地的距离y 乙（km）与所用时间x（min）的关系的大致图像；(3)在（2）的条件下，求出两个函数图像的交点坐标，并解释它的实际意义．【答案】(1)0.5(2)见解析(3)（187，97），它的意义是当出发187min后，乙离B的距离和甲离A地的距离都是97km【分析】（1）由甲骑车6min行驶了3km，可得甲骑车的速度是0.5km/min；（2）设乙的速度为x km/min，求出乙的速度，可得乙出发后9min到达B地，即可作出图象；（3）由y甲=0.5x，y乙=1.8-0.2x，可得两个函数图象的交点坐标为（187，97），它的意义是当出发187min后，乙离B的距离和甲离A地的距离都是97 km．(1)解：甲骑车6min行驶了3km，∴甲骑车的速度是3÷6=0.5（km/min），故答案为：0.5；(2)解：设乙的速度为x km/min，由题意得0.5×4-4x=1.2，∴x=0.2，又A、B两地相距3km，A、C两地相距1.2km，∴B、C两地相距1.8km，∴乙出发后1.8÷0.2=9（min）到达B地，在同一平面直角坐标系中画出乙离B 地的距离y 乙（km ）与所用时间x （min ）的关系的大致图象如下：(3)解：由（1）（2）可知，y 甲=0.5x ，y 乙=1.8-0.2x ，由0.5x =1.8-0.2x 得x =187， 当x =187时，y 甲=y 乙=97， ∴两个函数图象的交点坐标为（187，97）， 它的意义是当出发187min 后，乙离B 的距离和甲离A 地的距离都是97km ． 【点睛】本题考查一次函数的应用，一元一次方程的应用，解题的关键是读懂题意，求出甲、乙速度从而列出函数关系式．4．如图()1所示，在A ，B 两地间有一车站C ，一辆汽车从A 地出发经C 站匀速驶往B 地.如图()2是汽车行驶时离C 站的路程y(千米)与行驶时间x(小时)之间的函数关系的图象．()1填空：a =______km ，AB 两地的距离为______km ；()2求线段PM 、MN 所表示的y 与x 之间的函数表达式；()3求行驶时间x 在什么范围时，小汽车离车站C 的路程不超过60千米？【答案】（1）240 390；（2）PM 所表示的函数关系式为：1y 15060x =-，MN 所表示的函数关系式为：2y 60x 150=-；（3）1.5h x 3.5h ≤≤，小汽车离车站C 的路程不超过60千米.【分析】（1）根据图象中的数据即可得到A ，B 两地的距离；（2）根据函数图象中的数据即可得到两小时后，货车离C 站的路程y 2与行驶时间x 之间的函数关系式；（3）根据题意可以分相遇前和相遇后两种情况进行解答．【详解】解：()1由题意和图象可得，150a 42402.5=⨯=千米， A ，B 两地相距：150240390+=千米，故答案为240，390()2由图象可得，A 与C 之间的距离为150km汽车的速度15060km /h 2.5=， PM 所表示的函数关系式为：1y 15060x =-MN 所表示的函数关系式为：2y 60x 150=-()3由1y 60=得 15060x 60-=，解得：x 1.5=由2y 60=得 60x 15060-=，解得：x 3.5=由图象可知当行驶时间满足：1.5h x 3.5h ≤≤，小汽车离车站C 的路程不超过60千米【点睛】本题考查一次函数的应用，解答本题的关键是明确题意，找出所求问题需要的条件，利用数形结合的思想和函数的思想解答．5．某动物园内的一段线路如图1所示，动物园内有免费班车从处出发，沿该线路开往熊猫馆，途中停靠珍禽馆（上下车时间忽略不计），第一班车上午9:15出发，以后每隔10分钟有一班车从入口处发车，且每班车速度均相同．小明周末到动物园游玩，上午9点到达入口处，因还没到班车发车时间，于是他从入口处出发，沿该路线步行25分钟后到达珍禽馆，离入口处的路程y （米）与时间x （分）的函数关系如图2所示：（1）第一班车从入口处到达珍禽馆所需的时间为 分钟：（2）求第一班车离入口处的路程y （米）与时间x （分）的函数关系式并写出自变量x 的取值范围： （3）小明在珍禽馆游玩35分钟后，想乘班车到熊猫馆，则小明最早能够乘上第 班车；（4）如果小明在珍禽馆游玩35分钟后，乘最早的班车到熊猫馆，那么比他在珍禽馆游玩结东后立即步行到熊猫馆提前 分钟到（假设小明步行速度不变）． 【答案】（1）9；（2）2003000(1533)y x x =-≤≤；（3）5；（4）12【分析】（1）先求出第一班车速度，行到珍禽馆行程1800÷速度计算即可；（2）设y ＝kx+b ，运用待定系数法求解即可得出第一班车离入口处的距离y （米）与时间x （分）的解析式；把（15，0），（33，3600）代入y ＝kx+b ，得015360033k b k b=+⎧⎨=+⎩解方程组即可； （3）设小聪坐上了第n 班车，30﹣25+10（n ﹣1）≥40，解得n≥4.5，可得小聪坐上了第5班车，再根据“路程、速度与时间的关系”解答即可．（4）先求出第5班车行程解析式，第5班车到熊猫馆时间即可，再求出用小明步行与游玩一共时间-第5班车到熊猫馆时间即可【详解】解：（1）从入口到熊猫馆一共用33-15=18分钟。

八年级上册数学压轴题期末复习试卷测试卷附答案一、压轴题1．如图，在平面直角坐标系中，直线y＝﹣34x+m分别与x轴、y轴交于点B、A．其中B点坐标为（12，0），直线y＝38x与直线AB相交于点C．（1）求点A的坐标．（2）求△BOC的面积．（3）点D为直线AB上的一个动点，过点D作y轴的平行线DE，DE与直线OC交于点E （点D与点E不重合）．设点D的横坐标为t，线段DE长度为d．①求d与t的函数解析式（写出自变量的取值范围）．②当动点D在线段AC上运动时，以DE为边在DE的左侧作正方形DEPQ，若以点H（12，t）、G（1，t）为端点的线段与正方形DEPQ的边只有一个交点时，请直接写出t的取值范围．2．如图，已知等腰△ABC 中，AB=AC，∠A＜90°，CD 是△ABC 的高，BE 是△ABC 的角平分线，CD 与BE 交于点P．当∠A 的大小变化时，△EPC 的形状也随之改变．（1）当∠A=44°时，求∠BPD 的度数；（2）设∠A=x°，∠EPC=y°，求变量y 与x 的关系式；（3）当△EPC 是等腰三角形时，请直接写出∠A 的度数．3．如图，直线11 2y x b=-+分别与x轴、y轴交于A，B两点，与直线26y kx=-交于点()C4,2．（1）b= ；k= ；点B坐标为；（2）在线段AB上有一动点E，过点E作y轴的平行线交直线y2于点F，设点E的横坐标为m，当m为何值时，以O、B、E、F为顶点的四边形是平行四边形；（3）若点P为x轴上一点，则在平面直角坐标系中是否存在一点Q，使得P，Q，A，B四个点能构成一个菱形．若存在，直接写出所有符合条件的Q点坐标；若不存在，请说明理由．4．某校七年级数学兴趣小组对“三角形内角或外角平分线的夹角与第三个内角的数量关系”进行了探究．（1）如图1，在△ABC中，∠ABC与∠ACB的平分线交于点P，∠A＝64°，则∠BPC＝；（2）如图2，△ABC的内角∠ACB的平分线与△ABC的外角∠ABD的平分线交于点E．其中∠A＝α，求∠BEC．（用α表示∠BEC）；（3）如图3，∠CBM、∠BCN为△ABC的外角，∠CBM、∠BCN的平分线交于点Q，请你写出∠BQC与∠A的数量关系，并说明理由；（4）如图4，△ABC外角∠CBM、∠BCN的平分线交于点Q，∠A=64°，∠CBQ，∠BCQ的平分线交于点P，则∠BPC= ゜，延长BC至点E，∠ECQ的平分线与BP的延长线相交于点R，则∠R= ゜．5．如图，已知△ABC中，AB=AC=10cm，BC=8cm，点D为AB的中点．如果点P在线段BC 上以3cm/s的速度由B点向C点运动，同时，点Q在线段CA上由C点向A点运动．（1）若点Q的运动速度与点P的运动速度相等，经过1s后，BP= cm，CQ= cm．（2）若点Q的运动速度与点P的运动速度相等，经过1s后，△BPD与△CQP是否全等，请说明理由；（3）若点Q 的运动速度与点P 的运动速度不相等，当点Q 的运动速度为多少时，能够使△BPD 与△CQP 全等？（4）若点Q 以（3）中的运动速度从点C 出发，点P 以原来的运动速度从点B 同时出发，都逆时针沿△ABC 三边运动，求经过多长时间点P 与点Q 第一次相遇？6．在等边△ABC 的顶点A 、C 处各有一只蜗牛，它们同时出发，分别以每分钟1米的速度由A 向B 和由C 向A 爬行，其中一只蜗牛爬到终点时，另一只也停止运动，经过t 分钟后，它们分别爬行到D 、E 处，请问：（1）如图1，在爬行过程中，CD 和BE 始终相等吗，请证明？（2）如果将原题中的“由A 向B 和由C 向A 爬行”，改为“沿着AB 和CA 的延长线爬行”，EB 与CD 交于点Q ，其他条件不变，蜗牛爬行过程中∠CQE 的大小保持不变，请利用图2说明：∠CQE =60°；（3）如果将原题中“由C 向A 爬行”改为“沿着BC 的延长线爬行，连接DE 交AC 于F ”，其他条件不变，如图3，则爬行过程中，证明：DF =EF7．如图1，矩形OACB 的顶点A 、B 分别在x 轴与y 轴上，且点()6,10C ，点()0,2D ，点P 为矩形AC 、CB 两边上的一个点．（1）当点P 与C 重合时，求直线DP 的函数解析式；（2）如图②，当P 在BC 边上，将矩形沿着OP 折叠，点B 对应点B '恰落在AC 边上，求此时点P 的坐标．（3）是否存P 在使BDP ∆为等腰三角形？若存在，直接写出点P 的坐标；若不存在，请说明理由．8．观察下列两个等式：5532321,44133+=⨯-+=⨯-，给出定义如下：我们称使等式1a b ab +=-成立的一对有理数,a b 为“白马有理数对”，记为(,)a b ，如：数对5(3,2),4,3⎛⎫⎪⎝⎭都是“白马有理数对”．（1）数对3(2,1),5,2⎛⎫- ⎪⎝⎭中是“白马有理数对”的是_________； （2）若(,3)a 是“白马有理数对”，求a 的值；（3）若(,)m n 是“白马有理数对”，则(,)n m --是“白马有理数对”吗？请说明理由． （4）请再写出一对符合条件的“白马有理数对”_________（注意：不能与题目中已有的“白马有理数对”重复） 9．阅读下列材料，并按要求解答．（模型建立）如图①，等腰直角三角形ABC 中，∠ACB ＝90°，CB ＝CA ，直线ED 经过点C ，过A 作AD ⊥ED 于点D ，过B 作BE ⊥ED 于点E ．求证：△BEC ≌△CDA ． （模型应用）应用1：如图②，在四边形ABCD 中，∠ADC ＝90°，AD ＝6，CD ＝8，BC ＝10，AB 2＝200．求线段BD 的长．应用2：如图 ③，在平面直角坐标系中，纸片△OPQ 为等腰直角三角形，QO ＝QP ，P （4，m ），点Q 始终在直线OP 的上方．（1）折叠纸片，使得点P 与点O 重合，折痕所在的直线l 过点Q 且与线段OP 交于点M ，当m ＝2时，求Q 点的坐标和直线l 与x 轴的交点坐标；（2）若无论m 取何值，点Q 总在某条确定的直线上，请直接写出这条直线的解析式 ．10．在Rt ABC 中，90ACB ∠=︒，30A ∠=︒，BD 是ABC 的角平分线，DE AB ⊥于点E .（1）如图1，连接EC ，求证：EBC 是等边三角形；（2）如图2，点M 是线段CD 上的一点（不与点,C D 重合），以BM 为一边，在BM 下方作60BMG ∠=︒，MG 交DE 延长线于点G .求证：AD DG MD =+；（3）如图3，点N 是线段AD 上的点，以BN 为一边，在BN 的下方作60BNG ∠=︒，NG 交DE 延长线于点G .直接写出ND ，DG 与AD 数量之间的关系.11．如图，以ABC 的边AB 和AC ，向外作等腰直角三角形ABE △和ACF ，连接 EF ，AD 是ABC 的高，延长DA 交EF 于点G ，过点F 作DG 的垂线交DG 于点H ．（1）求证：FHA ADC ≌△△； （2）求证：点G 是EF 的中点．12．一次函数y ＝kx +b 的图象经过点A （0，9），并与直线y ＝53x 相交于点B ，与x 轴相交于点C ，其中点B 的横坐标为3．（1）求B点的坐标和k，b的值；（2）点Q为直线y＝kx+b上一动点，当点Q运动到何位置时△OBQ的面积等于272？请求出点Q的坐标；（3）在y轴上是否存在点P使△PAB是等腰三角形？若存在，请直接写出点P坐标；若不存在，请说明理由．【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除一、压轴题1．（1）点A坐标为（0，9）；（2）△BOC的面积＝18；（3）①当t＜8时，d＝﹣9 8t+9，当t＞8时，d＝98t﹣9；②12≤t≤1或7617≤t≤8017．【解析】【分析】（1）将点B坐标代入解析式可求直线AB解析式，即可求点A坐标；（2）联立方程组可求点C坐标，即可求解；（3）由题意列出不等式组，可求解．【详解】解：（1）∵直线y＝﹣34x+m与y轴交于点B（12，0），∴0＝﹣34×12+m，∴m＝9，∴直线AB的解析式为：y＝﹣34x+9，当x＝0时，y＝9，∴点A坐标为（0，9）；（2）由题意可得：38394y x y x ⎧=⎪⎪⎨⎪=+⎪⎩，解得：83x y =⎧⎨=⎩，∴点C （8，3）， ∴△BOC 的面积＝12×12×3＝18； （3）①如图，∵点D 的横坐标为t ，∴点D （t ，﹣34t+9），点E （t ，38t ），当t ＜8时，d ＝﹣34t+9﹣38t ＝﹣98t+9，当t ＞8时，d ＝38t+34t ﹣9＝98t ﹣9； ②∵以点H （12，t ）、G （1，t ）为端点的线段与正方形DEPQ 的边只有一个交点， ∴12≤t≤1或919829918t t t t ⎧-+≤-⎪⎪⎨⎪-+≥-⎪⎩， ∴12≤t≤1或7617≤t≤8017． 【点睛】本题是一次函数综合题，考查了待定系数法求解析式，三角形的面积公式，不等式组的应用，灵活运用这些性质解决问题是本题的关键． 2．（1）56°；（2）y=454x +；（3）36°或1807°.【解析】 【分析】（1）根据等边对等角求出等腰△ABC 的底角度数，再根据角平分线的定义得到∠ABE 的度数，再根据高的定义得到∠BDC=90°，从而可得∠BPD ；（2）按照（1）中计算过程，即可得到∠A 与∠EPC 的关系，即可得到结果； （3）分①若EP=EC ，②若PC=PE ，③若CP=CE ，三种情况，利用∠ABC+∠BCD=90°，以及y=454x+解出x 即可. 【详解】解：（1）∵AB=AC ，∠A=44°， ∴∠ABC=∠ACB=（180-44）÷2=68°， ∵CD ⊥AB ， ∴∠BDC=90°， ∵BE 平分∠ABC ， ∴∠ABE=∠CBE=34°， ∴∠BPD =90-34=56°； （2）∵∠A =x °，∴∠ABC=（180°-x°）÷2=（902x-）°， 由（1）可得：∠ABP=12∠ABC=（454x -）°，∠BDC=90°， ∴∠EPC =y °=∠BPD=90°-（454x -）°=（454x+）°， 即y 与 x 的关系式为y=454x +； （3）①若EP=EC ， 则∠ECP=∠EPC=y ，而∠ABC=∠ACB=902x-，∠ABC+∠BCD=90°， 则有：902x -+（902x --y ）=90°，又y=454x+，∴902x -+902x --（454x+）=90°， 解得：x=36°； ②若PC=PE ，则∠PCE=∠PEC=（180-y ）÷2=902y-，由①得：∠ABC+∠BCD=90°，∴902x -+[902x --（902y-）]=90，又y=454x +，解得：x=1807°； ③若CP=CE ，则∠EPC=∠PEC=y ，∠PCE=180-2y ， 由①得：∠ABC+∠BCD=90°，∴902x -+902x --（180-2y ）=90，又y=454x +， 解得：x=0，不符合，综上：当△EPC 是等腰三角形时，∠A 的度数为36°或1807°. 【点睛】本题考查了等腰三角形的性质，二元一次方程组的应用，高与角平分线的定义，有一定难度，关键是找到角之间的等量关系.3．（1）4；2；(0，4)；（2）125m =或285m =；（3）存在．Q 点坐标为()-，()4，()0,4-或()5,4．【解析】 【分析】（1）根据待定系数法，将点C (4，2)代入解析式可求解； （2）设点E (m ，142m +)，F (m ，2m -6)，得()154261022EF m m m =-+--=-，由平行四边形的性质可得BO =EF =4，列出方程即可求解；（3）分两种情况讨论，由菱形的性质按照点平移的坐标规律，先确定P 点坐标，再确定O 点坐标即可求解． 【详解】解：（1）（1）∵直线y 2=kx -6交于点C (4，2)， ∴2=4k -6， ∴k =2， ∵直线212y x b =-+过点C (4，2)， ∴2=-2+b ， ∴b =4，∴直线解析式为：212y x b =-+，直线解析式为y 2=2x -6， ∵直线212y x b =-+分别与x 轴、y 轴交于A ，B 两点，∴当x =0时，y =4，当y =0时，x =8， ∴点B (0，4)，点A (8，0)， 故答案为：4；2；(0，4)（2）∵点E 在线段AB 上，点E 的横坐标为m ， ∴1,42E m m ⎛⎫-+ ⎪⎝⎭，(),26F m m -， ∴()154261022EF m m m =-+--=-． ∵四边形OBEF 是平行四边形， ∴EF BO =， ∴51042m -=， 解得：125m =或285m =时， ∴当125m =或285m =时，四边形OBEF 是平行四边形． （3）存在．此时Q 点坐标为()45,4-，()45,4，()0,4-或()5,4． 理由如下：假设存在．以P ，Q ，A ，B 为顶点的菱形分两种情况： ①以AB 为边，如图1所示．因为点()8,0A，()0,4B ，所以45AB =．因为以P ，Q ，A ，B 为顶点的四边形为菱形， 所以AP AB =或BP BA =．当AP AB =时，点()845,0P -或()845,0+； 当BP BA =时，点()8,0P -．当()845,0P -时，()8458,04Q -+，即()45,4-；当()845,0P +时，()8458,04Q ++，即()45,4；当()8,0P -时，()880,004Q -+-+-，即()0,4-．②以AB 为对角线，对角线的交点为M ，如图2所示．可得5AP =，点P 坐标为()3,0．因为以P ，Q ，A ，B 为顶点的四边形为菱形，所以点Q 坐标为()5,4．综上可知：若点P 为x 轴上一点，则在平面直角坐标系中存在一点Q ，使得P ，Q ，A ，B 四个点能构成一个菱形，此时Q 点坐标为()45,4-，()45,4，()0,4-或()5,4．【点睛】本题是一次函数综合题，利用待定系数法求解析式，平行四边形的性质，菱形的性质，利用分类讨论思想解决问题是本题的关键．4．（1） 122°；（2）12BEC α∠=；（3）01902BQC A ；（4）119，29 ； 【解析】【分析】（1）根据三角形的内角和角平分线的定义；（2）根据三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和，用A ∠与1∠表示出2∠，再利用E ∠与1∠表示出2∠，于是得到结论；（3）根据三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和以及角平分线的定义表示出EBC ∠与ECB ∠，然后再根据三角形的内角和定理列式整理即可得解；（4）根据（1），（3）的结论可以得出∠BPC 的度数；根据（2）的结论可以得到∠R 的度数．【详解】解：（1）BP 、CP 分别平分ABC ∠和ACB ∠，12PBC ABC ∴∠=∠，12PCB ACB ∠=∠， 180()BPC PBC PCB ∴∠=︒-∠+∠11180()22ABC ACB =︒-∠+∠，1180()2ABC ACB =︒-∠+∠， 1(180180)2A =︒-︒-∠， 1180902A =-︒+︒∠， 9032122，故答案为：122︒； （2）如图2示，CE 和BE 分别是ACB ∠和ABD ∠的角平分线，112ACB ∴∠=∠，122ABD ∠=∠， 又ABD ∠是ABC ∆的一外角，ABD A ACB ∴∠=∠+∠，112()122A ABC A ∴∠=∠+∠=∠+∠， 2∠是BEC ∆的一外角，112111222BEC A A α∴∠=∠-∠=∠+∠-∠=∠=； （3）1()2QBC A ACB ∠=∠+∠，1()2QCB A ABC ∠=∠+∠， 180BQC QBC QCB ∠=︒-∠-∠，11180()()22A ACB A ABC =︒-∠+∠-∠+∠， 11180()22A A ABC ACB =︒-∠-∠+∠+∠， 结论1902BQC A ∠=︒-∠． （4）由（3）可知，119090645822BQCA ， 再根据（1），可得180()BPCPBC PCB 1118022QBC QCB 1180902Q1 18090582 119；由（2）可得：115829 22R Q;故答案为：119，29．【点睛】本题考查了三角形的外角性质与内角和定理，熟记三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和是解题的关键．5．（1）BP=3cm，CQ=3cm；（2）全等，理由详见解析；（3）154；（4）经过803s点P与点Q第一次相遇．【解析】【分析】（1）速度和时间相乘可得BP、CQ的长；（2）利用SAS可证三角形全等；（3）三角形全等，则可得出BP=PC，CQ=BD，从而求出t的值；（4）第一次相遇，即点Q第一次追上点P，即点Q的运动的路程比点P运动的路程多10+10=20cm的长度．【详解】解：（1）BP=3×1=3㎝，CQ=3×1=3㎝（2）∵t=1s，点Q的运动速度与点P的运动速度相等∴BP=CQ=3×1=3cm，∵AB=10cm，点D为AB的中点，∴BD=5cm．又∵PC=BC﹣BP，BC=8cm，∴PC=8﹣3=5cm，∴PC=BD又∵AB=AC，∴∠B=∠C，在△BPD和△CQP中，PC BD B C BP CQ =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩∴△BPD ≌△CQP(SAS)（3）∵点Q 的运动速度与点P 的运动速度不相等，∴BP 与CQ 不是对应边，即BP ≠CQ∴若△BPD ≌△CPQ ，且∠B=∠C ，则BP=PC=4cm ，CQ=BD=5cm ，∴点P ，点Q 运动的时间t=433BP =s ， ∴154Q CQ V t ==cm/s ； （4）设经过x 秒后点P 与点Q 第一次相遇． 由题意，得154x=3x+2×10， 解得80x=3 ∴经过803s 点P 与点Q 第一次相遇． 【点睛】本题考查动点问题，解题关键还是全等的证明和利用，将动点问题视为定点问题来分析可简化思考过程．6．（1)相等，证明见解析；（2)证明见解析；（3)证明见解析．【解析】【分析】（1）先证明△ACD ≌△CBE ，再由全等三角形的性质即可证得CD=BE ；（2）先证明△BCD ≌△ABE ，得到∠BCD=∠ABE ，求出∠DQB=∠BCQ+∠CBQ=∠ABE+∠CBQ=180°-∠ABC ，∠CQE=180°-∠DQB ，即可解答； （3）如图3，过点D 作DG ∥BC 交AC 于点G ，根据等边三角形的三边相等，可以证得AD=DG=CE ；进而证明△DGF 和△ECF 全等，最后根据全等三角形的性质即可证明．【详解】（1）解：CD 和BE 始终相等，理由如下：如图1，AB=BC=CA ，两只蜗牛速度相同，且同时出发，∴CE=AD ，∠A=∠BCE=60°在△ACD 与△CBE 中，AC=CB ，∠A=∠BCE ，AD=CE∴△ACD ≌△CBE （SAS ），∴CD=BE ，即CD 和BE 始终相等；（2）证明：根据题意得：CE=AD，∵AB=AC，∴AE=BD，∴△ABC是等边三角形，∴AB=BC，∠BAC=∠ACB=60°，∵∠EAB+∠ABC=180°，∠DBC+∠ABC=180°，∴∠EAB=∠DBC，在△BCD和△ABE中，BC=AB，∠DBC=∠EAB，BD=AE∴△BCD≌△ABE（SAS），∴∠BCD=∠ABE∴∠DQB=∠BCQ+∠CBQ=∠ABE+∠CBQ=180°-∠ABC=180°-60°=120°，∴∠CQE=180°-∠DQB=60°，即CQE=60°；（3）解：爬行过程中，DF始终等于EF是正确的，理由如下：如图，过点D作DG∥BC交AC于点G，∴∠ADG=∠B=∠AGD=60°，∠GDF=∠E，∴△ADG为等边三角形，∴AD=DG=CE，在△DGF和△ECF中，∠GFD=∠CFE，∠GDF=∠E，DG=EC∴△DGF≌△EDF（AAS），∴DF=EF.【点睛】本题主要考查了全等三角形的判定与性质和等边三角形的性质；题弄懂题中所给的信息，再根据所提供的思路寻找证明条件是解答本题的关键．7．（1）y=43x+2；（2）（103，10）；（3）存在， P坐标为（6，6）或（6，7+2）或（6，7）．【解析】【分析】（1）设直线DP解析式为y=kx+b，将D与C坐标代入求出k与b的值，即可确定出解析式；（2）当点B的对应点B′恰好落在AC边上时，根据勾股定理列方程即可求出此时P坐标；（3）存在，分别以BD，DP，BP为底边三种情况考虑，利用勾股定理及图形与坐标性质求出P 坐标即可．【详解】解：（1）∵C （6，10）,D （0，2），设此时直线DP 解析式为y=kx+b ，把D （0，2），C （6，10）分别代入，得2610b k b =⎧⎨+=⎩， 解得432k b ⎧=⎪⎨⎪=⎩ 则此时直线DP 解析式为y=43x+2； （2）设P （m ，10），则PB=PB′=m ，如图2，∵OB′=OB=10，OA=6，∴AB′=22OB OA '-=8，∴B′C=10-8=2，∵PC=6-m ，∴m 2=22+（6-m ）2，解得m=103 则此时点P 的坐标是（103，10）； （3）存在，理由为：若△BDP 为等腰三角形，分三种情况考虑：如图3，①当BD=BP 1=OB-OD=10-2=8，在Rt △BCP 1中，BP 1=8，BC=6，根据勾股定理得：CP 1228627-=∴AP 17P 1（6，7）；②当BP 2=DP 2时，此时P 2（6，6）；③当DB=DP 3=8时，在Rt △DEP 3中，DE=6，根据勾股定理得：P 3228627-∴AP3=AE+EP3，即P3（6，+2），综上，满足题意的P坐标为（6，6）或（6，+2）或（6，）．【点睛】此题属于一次函数综合题，待定系数法确定一次函数解析式，坐标与图形性质，等腰三角形的性质，勾股定理，熟练掌握待定系数法是解题的关键．8．（1）35,2⎛⎫⎪⎝⎭；（2）2；（3）不是；（4）（6，75）【解析】【分析】（1）根据“白马有理数对”的定义，把数对3(2,1),5,2⎛⎫- ⎪⎝⎭分别代入1a b ab+=-计算即可判断；（2）根据“白马有理数对”的定义，构建方程即可解决问题；（3）根据“白马有理数对”的定义即可判断；（4）根据“白马有理数对”的定义即可解决问题．【详解】（1）∵-2+1=-1，而-2×1-1=-3，∴-2+1≠-3，∴（-2，1）不是“白马有理数对”，∵5+32=132，5×32-1=132，∴5+32=5×32-1，∴35,2⎛⎫⎪⎝⎭是“白马有理数对”，故答案为：3 5,2⎛⎫ ⎪⎝⎭；（2）若(,3)a是“白马有理数对”，则a+3=3a-1，解得：a=2，故答案为：2；（3）若(,)m n是“白马有理数对”，则m+n=mn-1，那么-n+（-m）=-（m+n）=-（mn-1）=-mn+1，∵-mn+1≠ mn-1∴（-n，-m）不是“白马有理数对”，故答案为：不是；（4）取m=6，则6+x=6x-1，∴x=75，∴（6，75）是“白马有理数对”，故答案为：（6，75）．【点睛】本题考查了“白马有理数对”的定义，有理数的加减运算，一次方程的列式求解，理解“白马有理数对”的定义是解题的关键．9．模型建立：见解析；应用1：2：（1）Q(1，3)，交点坐标为(52，0)；（2）y＝﹣x+4【解析】【分析】根据AAS证明△BEC≌△CDA，即可；应用1：连接AC，过点B作BH⊥DC，交DC的延长线于点H，易证△ADC≌△CHB，结合勾股定理，即可求解；应用2：（1）过点P作PN⊥x轴于点N，过点Q作QK⊥y轴于点K，直线KQ和直线NP 相交于点H，易得：△OKQ≌△QHP，设H(4，y)，列出方程，求出y的值，进而求出Q(1，3)，再根据中点坐标公式，得P(4，2)，即可得到直线l的函数解析式，进而求出直线l与x轴的交点坐标；（2）设Q(x，y)，由△OKQ≌△QHP，KQ＝x，OK＝HQ＝y，可得：y＝﹣x+4，进而即可得到结论．【详解】如图①，∵AD⊥ED，BE⊥ED，∠ACB＝90°，∴∠ADC＝∠BEC＝90°，∴∠ACD+∠DAC＝∠ACD+∠BCE＝90°，∴∠DAC＝∠BCE，∵AC＝BC，∴△BEC≌△CDA（AAS）；应用1：如图②，连接AC，过点B作BH⊥DC，交DC的延长线于点H，∵∠ADC＝90°，AD＝6，CD＝8，∴AC＝10，∵BC＝10，AB2＝200，∴AC2+BC2＝AB2，∴∠ACB＝90°，∵∠ADC＝∠BHC＝∠ACB＝90°，∴∠ACD＝∠CBH，∵AC＝BC＝10，∴△ADC≌△CHB（AAS），∴CH＝AD＝6，BH＝CD＝8，∴DH=6+8=14，∵BH⊥DC，∴BD＝22260BH DH+=＝265；应用2：（1）如图③，过点P作PN⊥x轴于点N，过点Q作QK⊥y轴于点K，直线KQ和直线NP相交于点H，由题意易：△OKQ≌△QHP（AAS），设H(4，y)，那么KQ＝PH＝y﹣m＝y﹣2，OK＝QH＝4﹣KQ＝6﹣y，又∵OK＝y，∴6﹣y＝y，y＝3，∴Q(1，3)，∵折叠纸片，使得点P与点O重合，折痕所在的直线l过点Q且与线段OP交于点M，∴点M是OP的中点，∵P(4，2)，∴M(2，1)，设直线Q M的函数表达式为：y＝kx+b，把Q(1，3)，M(2，1)，代入上式得：213k bk b+=⎧⎨+=⎩，解得：25kb=-⎧⎨=⎩∴直线l的函数表达式为：y＝﹣2x+5，∴该直线l与x轴的交点坐标为(52，0)；（2）∵△OKQ≌△QHP，∴QK＝PH，OK＝HQ，设Q(x，y)，∴KQ＝x，OK＝HQ＝y，∴x+y＝KQ+HQ＝4，∴y＝﹣x+4，∴无论m取何值，点Q总在某条确定的直线上，这条直线的解析式为：y＝﹣x+4，故答案为：y＝﹣x+4．【点睛】本题主要考查三角形全等的判定和性质定理，勾股定理，一次函数的图象和性质，掌握“一线三垂直”模型，待定系数法是解题的关键．10．（1）证明见解析；（2）证明见解析；（3）结论：AD DG ND=-，证明见解析．【解析】【分析】（1）先根据直角三角形的性质得出60ABC ∠=︒，再根据角平分线的性质可得CD ED =，然后根据三角形的判定定理与性质可得BC BE =，最后根据等边三角形的判定即可得证；（2）如图（见解析），延长ED 使得DF MD =，连接MF ，先根据直角三角形的性质、等边三角形的判定得出MDF ∆是等边三角形，再根据等边三角形的性质、角的和差得出,,F MDB MF MD FMG DMB ∠=∠=∠=∠，然后根据三角形全等的判定与性质、等量代换即可得证；（3）如图（见解析），参照题（2），先证HDN ∆是等边三角形，再根据等边三角形的性质、角的和差得出,,H NDG NH ND HNB DNG ∠=∠=∠=∠，然后根据三角形全等的判定与性质、等量代换即可得证．【详解】（1）3,090A ACB ∠=︒∠=︒9060ABC A ∴∠=︒-∠=︒ BD 是ABC ∠的角平分线，DE AB ⊥CD ED ∴=在BCD ∆和BED ∆中，CD ED BD BD=⎧⎨=⎩ ()BCD BED HL ∴∆≅∆BC BE ∴=EBC ∴∆是等边三角形；（2）如图，延长ED 使得DF MD =，连接MF3,090A ACB ∠=︒∠=︒，BD 是ABC ∠的角平分线，DE AB ⊥60,ADE BDE AD BD ∴∠=∠=︒=60,18060MDF ADE MDB ADE BDE ∴∠=∠=︒∠=︒-∠-∠=︒MDF ∴∆是等边三角形,60MF DM F DMF ∴=∠=∠=︒60BMG ∠=︒DMF DM B M G G D M G ∴∠+∠=+∠∠，即FMG DMB ∠=∠在FMG ∆和DMB ∆中，60F MDB MF MD FMG DMB ∠=∠=︒⎧⎪=⎨⎪∠=∠⎩()FMG DMB ASA ∴∆≅∆GF BD ∴=，即DF DG BD +=AD DF DG MD DG ∴=+=+即AD DG MD =+；（3）结论：AD DG ND =-，证明过程如下：如图，延长BD 使得DH ND =，连接NH由（2）可知，60,18060,ADE HDN ADE BDE AD BD ∠=︒∠=︒-∠-∠=︒= HDN ∴∆是等边三角形,60NH ND H HND ∴=∠=∠=︒60BNG ∠=︒HND BND BND BNG ∠+∠=+∠∴∠，即N HNB D G ∠=∠在HNB ∆和DNG ∆中，60H NDG NH ND HNB DNG ∠=∠=︒⎧⎪=⎨⎪∠=∠⎩()HNB DNG ASA ∴∆≅∆HB DG ∴=，即DH BD DG +=ND AD DG ∴+=即AD DG ND =-．【点睛】本题考查了直角三角形的性质、等边三角形的判定与性质、三角形全等的判定定理与性质等知识点，较难的是题（2）和（3），通过作辅助线，构造一个等边三角形是解题关键．11．（1）证明见解析；（2）证明见解析．【解析】【分析】（1）先利用同角的余角相等得到一对角相等，再由一对直角相等，且AF AC =，利用AAS 得到AFH CAD ∆≅∆；（2）由（1）利用全等三角形对应边相等得到FH AD =，再EK AD ⊥，交DG 延长线于点K ，同理可得到AD EK =，等量代换得到FK EH =，再由一对直角相等且对顶角相等，利用AAS 得到FHG EKG ≅△△，利用全等三角形对应边相等即可得证．【详解】证明：（1） ∵FH AG ⊥，90AEH EAH ∴∠+∠=︒，90FAC ∠=︒，90FAH CAD ∴∠+∠=︒，AFH CAD ∴∠=∠，在AFH ∆和CAD ∆中，90AHF ADC AFH CADAF AC ∠=∠=︒⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩， ()AFH CAD AAS ∴∆≅∆，（2）由（1）得AFH CAD ∆≅∆，FH AD ∴=，作FK AG ⊥，交AG 延长线于点K ，如图；同理得到AEK ABD ∆≅∆，EK AD ∴=，FH EK ∴=，在EKG ∆和FHG ∆中，90EKG FHG EGK FGHEK FH ∠=∠=︒⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩， ()EKG FHG AAS ∴∆≅∆，EG FG ∴=．即点G 是EF 的中点．【点睛】此题考查了全等三角形的判定与性质，熟练掌握K 字形全等进行证明是解本题的关键．12．（1）点B （3，5），k ＝﹣43，b ＝9；（2）点Q （0，9）或（6，1）；（3）存在，点P 的坐标为：（0，4）或（0，14）或（0，﹣1）或（0，478） 【解析】【分析】（1）53y x =相交于点B ，则点(3,5)B ，将点A 、B 的坐标代入一次函数表达式，即可求解； （2）OBQ ∆的面积1127||9|3|222OA xQ xB m =⨯⨯-=⨯⨯-=，即可求解； （3）分AB AP =、AB BP =、AP BP =三种情况，分别求解即可．【详解】解：（1）53y x =相交于点B ，则点(3,5)B ， 将点A 、B 的坐标代入一次函数表达式并解得：43k =-，9b =； （2）设点4(,9)3Q m m -+， 则OBQ ∆的面积1127||9|3|222OA xQ xB m =⨯⨯-=⨯⨯-=， 解得：0m =或6，故点Q （0，9）或（6，1）；（3）设点(0,)P m ，而点A 、B 的坐标分别为：(0,9)、(3,5)，则225AB =，22(9)AP m =-，229(5)BP m =+-，当AB AP =时，225(9)m =-，解得：14m或4； 当AB BP =时，同理可得：9m =（舍去）或1-； 当AP BP =时，同理可得：478m =； 综上点P 的坐标为：（0，4）或（0，14）或（0，﹣1）或（0，478）. 【点睛】 本题考查的是一次函数综合运用，涉及到一次函数的性质、勾股定理的运用、面积的计算等，其中（3），要注意分类求解，避免遗漏．。

⼈教版⼋年级数学上册期末专题《压轴题专练》（含答案）期末专题《压轴题专练》1.如图1，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，D是AB上⼀点，且∠ACD=∠B；（1）求证：CD⊥AB，并指出你在证明过程中应⽤了哪两个互逆的真命题；（2）如图2，若AE平分∠BAC，交CD于点F，交BC于E．求证：∠AEC=∠CFE；（3）如图3，若E为BC上⼀点，AE交CD于点F，BC=3CE，AB=4AD，△ABC、△CEF、△ADF的⾯积分别为S△ABC、S△CEF、S△ADF，且S△ABC=36，则S△CEF﹣S△ADF= ．（仅填结果）2.阅读下列材料：某同学遇到这样⼀个问题：如图1,在△ABC中,AB=AC,BD是△ABC的⾼．P是BC边上⼀点,PM,PN 分别与直线AB，AC垂直,垂⾜分别为点M,N.求证：BD=PM+PN．他发现，连接AP，有S△ABC=S△ABP+S△ACP，即.由AB=AC,可得BD=PM+PN．他⼜画出了当点P在CB的延长线上,且上⾯问题中其他条件不变时的图形,如图2所⽰.他猜想此时BD，PM，PN之间的数量关系是：BD=PN-PM．请回答：（1）请补全以下该同学证明猜想的过程；证明：连接AP．∵，∴．∵AB=AC，∴BD=PN-PM．（2）参考该同学思考问题的⽅法，解决下列问题：在△ABC中，AB=AC=BC，BD是△ABC的⾼．P是△ABC所在平⾯上⼀点，PM，PN，PQ分别与直线AB，AC，BC垂直，垂⾜分别为点M，N，Q．①如图3，若点P在△ABC 的内部，则BD，PM，PN，PQ之间的数量关系是：；②若点P在如图4所⽰位置，利⽤图4探究得出此时BD，PM，PN，PQ之间数量关系是: ．3.已知△ABC的⾯积是60，请完成下列问题：（1）如图1，若AD是△ABC的BC边上的中线，则△ABD的⾯积_______△ACD的⾯积（填“＞”“＜”或“=”）（2）如图2，若CD、BE分别是△ABC的AB、AC边上的中线，求四边形ADOE的⾯积可以⽤如下⽅法：连接AO，由AD=DB 得：S△ADO=S△BDO，同理：S△CEO=S△AEO，设S△ADO=x，S△CEO=y，则S△BDO=x，S=y由题意得：S△ABE=S△ABC=30，S△ADC=S△ABC=30，可列⽅程组为：，解得△AEO_______，通过解这个⽅程组可得四边形ADOE的⾯积为_______．（3）如图3，AD：DB=1：3，CE：AE=1：2，请你计算四边形ADOE的⾯积，并说明理由．4.如图1，在平⾯直⾓坐标系中，已知A(a，0)，B(b，3)，C(4，0)，且满⾜(a+b)2+|a﹣b+6|=0，线段AB交y轴于F点.(1)求点A、B的坐标；(2)点D为y轴正半轴上⼀点，若ED∥AB，且AM，DM分别平分∠CAB，∠ODE，如图 2，求∠AMD的度数；(3)如图 3，(也可以利⽤图 1)①求点F的坐标；②坐标轴上是否存在点P，使得△ABP和△ABC的⾯积相等？若存在，求出P点坐标；若不存在，请说明理由.5.问题情境：如图1，在直⾓三⾓形ABC中，∠BAC=90°，AD⊥BC于点D，可知：∠BAD=∠C（不需要证特例探究：如图2，∠MAN=90°，射线AE在这个⾓的内部，点B、C在∠MAN的边AM、AN上，且AB=AC，CF⊥AE于点F，BD⊥AE于点D.证明：△ABD≌△CAF；归纳证明：如图3，点B，C在∠MAN的边AM、AN上，点E，F在∠MAN内部的射线AD上，∠1、∠2分别是△ABE、△CAF的外⾓.已知AB=AC，∠1=∠2=∠BAC.求证：△ABE≌△CAF；拓展应⽤：如图4，在△ABC中，AB=AC，AB＞BC.点D在边BC上，CD=2BD，点E、F在线段AD上，∠1=∠2=∠BAC.若△ABC的⾯积为15，则△ACF与△BDE的⾯积之和为.6.如图，AD是△ABC的⾓平分线，点F，E分别在边AC，AB上，且FD=BD.(1)求证：∠B+∠AFD=180°；(2)如果∠B+2∠DEA=180°，探究线段AE，AF，FD之间满⾜的等量关系，并证明.7.（1）如图（1）在△ABC中，∠BAC=90°，AB=AC，直线m经过点A，BD⊥直线m，CE⊥直线m，垂⾜分别为点D、E．求证：DE=BD+CE；（2）如图（2）将（1）中的条件改为：在△ABC中，AB=AC，D、A、E三点都在直线m上，并且有∠BDA=∠AEC=∠BAC=α，其中α为任意锐⾓或钝⾓．请问结论DE=BD+CE是否成⽴？如成⽴，请给出证明；若不成⽴，请说明理由．8.如图1，在△ABC中，∠ACB是直⾓，∠B=60°，AD、CE分别是∠BAC、∠BCA的平分线，AD、CE相交于点F．（1）直接写出∠AFC的度数：60°；（2）请你判断并写出FE与FD之间的数量关系；（3）如图2，在△ABC中，如果∠ACB不是直⾓，⽽（1）中的其它条件不变，试判断线段AE、CD与AC之间的数量关系并说明理由．9.已知点P为∠EAF平分线上⼀点，PB⊥AE于B，PC⊥AF于C，点M，N分别是射线AE，AF上的点，且PM=PN．(1)如图1，当点M在线段AB上，点N在线段AC的延长线上时，求证：BM=CN；(2)在（1）的条件下，直接写出线段AM，AN与AC之间的数量关系________；(3)如图2，当点M在线段AB的延长线上，点N在线段AC上时，若AC：PC=2：1，且PC=4，求四边形ANPM的⾯积．10.观察发现：如图1，OP平分∠MON，在OM，ON上分别取OA，OB，使OA=OB，再在OP上任取⼀点D，连接AD，BD.请你猜想AD与BD 之间的数量关系，并说明理由.拓展应⽤：如图2，在△ABC中，∠ACB是直⾓，∠B=60°，AD，CE分别是∠BAC，∠BCA的平分线，AD，CE相交于点F，请你写出FE 与FD之间的数量关系，并说明理由.11.（1）如图1，△ABC中，作∠ABC、∠ACB的平分线相交于点O，过点O作EF∥BC分别交AB、AC于E、F.①求证：OE=BE；②若△ABC 的周长是25，BC=9，试求出△AEF的周长；（2）如图2，若∠ABC的平分线与∠ACB外⾓∠ACD的平分线相交于点P，连接AP，试探求∠BAC 与∠PAC的数量关系式.12.如图，已知△ABC中，AB=AC=10cm，BC=8cm，点D为AB的中点.如果点P在线段BC上以3cm/s的速度由点B向C点运动，同时，点Q在线段CA上由点C向A点运动.(1)若点Q的运动速度与点P的运动速度相等，经过1秒后，△BPD与△CQP是否全等，请说明理由.(2)若点Q的运动速度与点P的运动速度不相等，当点Q的运动速度为多少时，能够使△BPD与△CQP全等？参考答案1.（1）证明：∵∠ACB=90°，∴∠A+∠B=90°，∵∠ACD=∠B，∴∠A+∠ACD=90°，∴∠ADC=90°，即CD⊥AB，证明时应⽤了“直⾓三⾓形两锐⾓互余”和“有两个锐⾓互余的三⾓形是直⾓三⾓形”；（2）证明：∵AE平分∠BAC，∴∠CAE=∠BAE，∵∠CAE+∠AEC=90°，∠BAE+∠AFD=90°，∴∠AEC=∠AFD，∵∠AFD=∠CFE（对顶⾓相等），∴∠AEC=∠CFE；（3）解：∵BC=3CE，AB=4AD，∴S△ACD=S△ABC=×36=9，S△ACE=S△ABC=×36=12，∴S△CEF﹣S△ADF=S△ACE﹣S△ACD=12﹣9=3．故答案为：3．2.解：（1）证明：连接AP．∵，∴．∵AB=AC，∴．（2）①；②．3.解：（1）如图1，过A作AH⊥BC于H，。

八年级上册数学压轴题专题练习（解析版）一、压轴题1．如图（1），AB＝4cm，AC⊥AB，BD⊥AB，AC＝BD＝3cm．点 P在线段 AB上以1cm/s的速度由点 A向点 B运动，同时，点 Q在线段 BD上由点 B向点 D运动．它们运动的时间为t（s）．（1）若点 Q的运动速度与点 P的运动速度相等，当t＝1时，△ACP与△BPQ是否全等，请说明理由，并判断此时线段 PC和线段 PQ的位置关系；（2）如图（2），将图（1）中的“AC⊥AB，BD⊥AB”为改“∠CAB＝∠DBA＝60°”，其他条件不变．设点 Q的运动速度为x cm/s，是否存在实数x，使得△ACP与△BPQ全等？若存在，求出相应的x、t的值；若不存在，请说明理由．2．在Rt ABC中，∠ACB=90︒，∠A=30︒，BD是ABC的角平分线，DE⊥AB于点E.（1）如图1，连接EC，求证：EBC是等边三角形；（2）如图2，点M是线段CD上的一点（不与点C,D重合），以BM为一边，在BM下方作∠BMG=60︒，MG交DE延长线于点G.求证：AD=DG+MD；（3）如图3，点N是线段AD上的点，以BN为一边，在BN的下方作∠BNG=60︒，NG交DE延长线于点G.直接写出ND，DG与AD数量之间的关系.3．在《经典几何图形的研究与变式》一课中，庞老师出示了一个问题：“如图1，等腰直角三角形的三个顶点分别落在三条等距的平行线l1，l2，l3上，∠BAC=90︒，且每两条平行线之间的距离为1，求AB的长度”.在研究这道题的解法和变式的过程中，同学们提出了很多想法：（1）小明说：我只需要过B、C向l1作垂线，就能利用全等三角形的知识求出AB的长.（2）小林说：“我们可以改变ABC的形状.如图2，AB=AC，∠BAC=120︒，且每两条平行线之间的距离为1，求AB的长.”（3）小谢说：“我们除了改变ABC的形状，还能改变平行线之间的距离.如图3，等边三角形ABC三个顶点分别落在三条平行线l1，l2，l3上，且l1与l2之间的距离为1，l2与l3之间的距离为2，求AB的长、”请你根据3位同学的提示，分别求出三种情况下AB的长度.4．在ABC中，AB=AC，D是直线AB上一点，E在直线BC上，且DE=DC．（1）如图1，当D在AB上，E在CB延长线上时，求证：∠EDB=∠ACD；（2）如图2，当ABC为等边三角形时，D是BA的延长线上一点，E在BC上时，作EF//AC，求证：BE=AD；（3）在（2）的条件下，∠ABC的平分线BF交CD于点F，连AF，过A点作AH⊥CD于点H，当∠EDC=30︒，CF=6时，求DH的长度．5．（阅读材科）小明同学发现这样一个规律：两个顶角相等的等腰三角形，如果具有公共的项角的顶点，并把它们的底角顶点连接起来则形成一组全等的三角形，小明把具有这个规律的图形称为“手拉手”图形．如图1，在“手拉手”图形中，小明发现若∠BAC=∠DAE，AB=AC，AD=AE，则△ABD≌△ACE．（材料理解）（1）在图1中证明小明的发现．（深入探究）（2）如图2，△ABC和△AED是等边三角形，连接BD，EC交于点O，连接AO，下列结论：①BD=EC；②∠BOC=60°；③∠AOE=60°；④EO=CO，其中正确的有．(将所有正确的序号填在横线上)．（延伸应用）（3）如图3，AB=BC，∠ABC=∠BDC=60°，试探究∠A与∠C的数量关系．6．阅读下面材料，完成(1)-(3)题．数学课上，老师出示了这样一道题：如图1，已知等腰△ABC中，AB＝AC，AD为BC边上的中线，以AB为边向AB左侧作等边△ABE，直线CE与直线AD交于点F．请探究线段EF、AF、DF之间的数量关系，并证明．同学们经过思考后，交流了自已的想法：小明：“通过观察和度量，发现∠DFC的度数可以求出来．”小强：“通过观察和度量，发现线段DF和CF之间存在某种数量关系．”小伟：“通过做辅助线构造全等三角形，就可以将问题解决．”......老师：“若以AB为边向AB右侧作等边△ABE，其它条件均不改变，请在图2中补全图形,探究线段EF、AF、DF三者的数量关系，并证明你的结论．”（1）求∠DFC的度数；（2）在图1中探究线段EF、AF、DF之间的数量关系，并证明；（3）在图2中补全图形，探究线段EF、AF、DF之间的数量关系，并证明．7．（1）填空①把一张长方形的纸片按如图①所示的方式折叠，EM，FM为折痕，折叠后的C点落在B 1M或B1M的延长线上，那么EMF的度数是________；②把一张长方形的纸片按如图②所示的方式折叠，B点与M点重合，EM，FM为折痕，折叠后的C点落在A1M或A1M的延长线上，那么EMF的度数是_______．（2）解答：①把一张长方形的纸片按如图③所示的方式折叠，EM，FM为折痕，折叠后的C点落在B1M或B1M的延长线上左侧，且EMF80，求C1MB1的度数；②把一张长方形的纸片按如图④所示的方式折叠，B点与M点重合，EM，FM为折痕，折叠后的C点落在A1M或A1M的延长线右侧，且EMF60，求C1MA1的度数．（3）探究：把一张四边形的纸片按如图⑤所示的方式折叠，EB，FB为折痕，设ABC，EBF，A1BC1，求，，之间的数量关系．8．已知ABC和ADE都是等腰三角形，AB AC，AD AE，DAE BAC．（初步感知）（1）特殊情形：如图①，若点D，E分别在边AB，AC上，则DB__________EC．（填＞、＜或=）（2）发现证明：如图②，将图①中的ADE绕点A旋转，当点D在ABC外部，点E 在ABC内部时，求证：DB EC．（深入研究）（3）如图③，ABC和ADE都是等边三角形，点C，E，D在同一条直线上，则∠CDB的度数为__________；线段CE，BD之间的数量关系为__________．（4）如图④，ABC和ADE都是等腰直角三角形，∠BAC=∠DAE=90︒，点C、D、E在同一直线上，AM为ADE中DE边上的高，则∠CDB的度数为__________；线段AM，BD，CD之间的数量关系为__________．（拓展提升）（5）如图⑤，ABC和ADE都是等腰直角三角形，∠BAC=∠DAE=90︒，将ADE绕点A逆时针旋转，连结BE、CD．当AB=5，AD=2时，在旋转过程中，△ABE与ADC的面积和的最大值为__________．9．直角三角形ABC中，∠ACB=90︒，直线l过点C．（1）当AC=BC时，如图1，分别过点A和B作AD⊥直线l于点D，BE⊥直线l于点E，ACD与△CBE是否全等，并说明理由；（2）当AC=8cm，BC=6cm时，如图2，点B与点F关于直线l对称，连接BF、CF，点M是AC上一点，点N是CF上一点，分别过点M、N作MD⊥直线l于点D，NE⊥直线l于点E，点M从A点出发，以每秒1cm的速度沿A→C路径运动，终点为C，点N从点F出发，以每秒3cm的速度沿F→C→B→C→F路径运动，终点为F，点M,N同时开始运动，各自达到相应的终点时停止运动，设运动时间为t秒，当△CMN为等腰直角三角形时，求t的值．10．已知：ABC中，过B点作BE⊥AD，∠ACB=90︒，AC=BC．(1)如图1，点D在BC的延长线上，连AD，作BE⊥AD于E，交AC于点F．求证：AD=BF；(2)如图2，点D在线段BC上，连AD，过A作AE⊥AD，且AE=AD，连BE交AC 于F，连DE，问BD与CF有何数量关系，并加以证明；(3)如图3，点D在CB延长线上，AE=AD且AE⊥AD，连接BE、AC的延长线交BE于点M，若AC=3MC，请直接写出DB的值．BC11．（1）在等边三角形ABC中，①如图①，D，E分别是边AC，AB上的点且AE=CD，BD与EC交于点F，则∠BFE的度数是度；②如图②，D，E分别是边AC，BA延长线上的点且AE=CD，BD与EC的延长线交于点F，此时∠BFE的度数是度；（2）如图③，在△ABC中，AC=BC，∠ACB是锐角，点O是AC边的垂直平分线与BC的交点，点D，E分别在AC，OA的延长线上，AE=CD，BD与EC的延长线交于点F，若∠ACB=α，求∠BFE的大小．（用含α的代数式表示）．12．已知ABC，P是平面内任意一点（A、B、C、P中任意三点都不在同一直线上）．连接 PB、PC，设∠PBA＝s°，∠PCA＝t°，∠BPC＝x°，∠BAC＝y°．（1）如图，当点 P在ABC内时，①若 y＝70，s＝10，t＝20，则 x＝；②探究 s、t、x、y之间的数量关系，并证明你得到的结论．（2）当点 P在ABC外时，直接写出 s、t、x、y之间所有可能的数量关系，并画出相应的图形．13．Rt△ABC中，∠C=90°，点D、E分别是△ABC边AC、BC上的点，点P是一动点．令∠PDA=∠1，∠PEB=∠2，∠DPE=∠α．（1）若点P在线段AB上，如图（1）所示，且∠α=60°，则∠1+∠2=；（2）若点P在线段AB上运动，如图（2）所示，则∠α、∠1、∠2之间的关系为；（3）若点P运动到边AB的延长线上，如图（3）所示，则∠α、∠1、∠2之间有何关系？猜想并说明理由；（4）若点P运动到△ABC形外，如图（4）所示，则∠α、∠1、∠2之间有何关系？猜想并说明理由．14．探索发现：11111111 =1-;=-;=-……1⨯222⨯3233⨯434根据你发现的规律，回答下列问题：（1）11＝，＝；n⨯(n+1)4⨯5111⋅+++1⨯22⨯33⨯4+1n⨯(n+1)（2）利用你发现的规律计算：（3）利用规律解方程：111112x-1 ++++=x(x+1)(x+1)(x+2)(x+2)(x+3)(x+3)(x+4)(x+4)(x+5)x(x+5) 15．数学活动课上，老师出了这样一个题目：“已知：MF⊥NF于F，点A、C分别在NF和MF上，作线段AB和CD（如图1），使∠FAB-∠MCD=90︒．求证：AB//CD”．（1）聪聪同学给出一种证明问题的辅助线：如图2，过A作AG//FM，交CD于G．请你根据聪聪同学提供的辅助线（或自己添加其它辅助线），给出问题的证明．（2）若点E在直线CD下方，且知∠BED=30︒，直接写出∠ABE和∠CDE之间的数量关系．16．现给出一个结论：直角三角形斜边的中线等于斜边的一半；该结论是正确的，用图形语言可以表示为：如图1在∆ABC中，∠C=90︒,若点D为AB的中点，则CD=请结合上述结论解决如下问题：1AB．2已知，点P是射线BA上一动点（不与A,B重合）分别过点A,B向直线CP作垂线，垂足分别为E,F,其中Q为AB的中点（1）如图2，当点P与点Q重合时，AE与BF的位置关系____________；QE与QF的数量关系是__________（2）如图3，当点P在线段AB上不与点Q重合时，试判断QE与QF的数量关系，并给予证明．(3)如图4，当点P在线段BA的延长线上时，此时（2）中的结论是否成立？请画出图形并写出主要证明思路．17．在△ABC中，AB=AC，D是直线BC上一点，以AD为一条边在AD的右侧作△ADE，使AE=AD，∠DAE=∠BAC，连接CE．（1）如图，当点D在BC延长线上移动时，若∠BAC=40°，则∠ACE=，∠DCE=，BC、DC、CE之间的数量关系为；（2）设∠BAC=α，∠DCE=β．①当点D在BC延长线上移动时，α与β之间有什么数量关系？请说明理由；②当点D在直线BC上（不与B，C两点重合）移动时，α与β之间有什么数量关系？请直接写出你的结论．（3）当CE∥AB时，若△ABD中最小角为15°，试探究∠ACB的度数（直接写出结果，无需写出求解过程）．18．阅读材料并完成习题：在数学中，我们会用“截长补短”的方法来构造全等三角形解决问题．请看这个例题：如图1，在四边形ABCD中，∠BAD=∠BCD=90°，AB=AD，若AC=2cm，求四边形ABCD的面积．解：延长线段CB到E，使得BE=CD，连接AE，我们可以证明△BAE≌△DAC，根据全等三角形的性质得AE=AC=2，∠EAB=∠CAD，则∠EAC=∠EAB+∠BAC=∠DAC+∠BAC=∠BAD=90°，得S四边形ABCD =S△ABC+S△ADC=S△ABC+S△ABE=S△AEC，这样，四边形ABCD的面积就转化为等腰直角三角形EAC面积．（1）根据上面的思路，我们可以求得四边形ABCD的面积为 cm2．（2）请你用上面学到的方法完成下面的习题．如图2，已知FG=FN=HM=GH+MN=2cm，∠G=∠N=90°，求五边形FGHMN的面积．19．（1）如图1，ABC和DCE都是等边三角形，且B，C，D三点在一条直线上，连接AD，BE相交于点P，求证：BE=AD．（2）如图2，在BCD中，若∠BCD<120︒，分别以BC，CD和BD为边在BCD外部作等边ABC，等边△CDE，等边BDF，连接AD、BE、CF恰交于点P．①求证：AD=BE=CF；②如图2，在（2）的条件下，试猜想PB，PC，PD与BE存在怎样的数量关系，并说明理由．20．阅读并填空：如图，ABC是等腰三角形，AB=AC，D是边AC延长线上的一点，E在边AB上且联接DE交BC于O，如果OE OD，那么CD=BE，为什么？解：过点E作EF AC交BC于F所以∠ACB=∠EFB（两直线平行，同位角相等）∠D=∠OEF（________）在OCD与△OFE中⎧∠COD=∠FOE(________)⎪⎨OD=OE⎪∠D=∠OEF⎩所以△OCD≌△OFE，（________）所以CD=FE（________）因为AB=AC（已知）所以∠ACB=∠B（________）所以∠EFB=∠B（等量代换）所以BE=FE（________）所以CD=BE【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除一、压轴题⎧t=2⎧t=1⎪1．（1）全等，垂直，理由详见解析；（2）存在，⎨或⎨3x=1x=⎩⎪2⎩【解析】【分析】（1）在t =1的条件下，找出条件判定△ACP和△BPQ全等，再根据全等三角形的性质和直角三角形的两个锐角互余的性质，可证∠CPQ= 90°，即可判断线段 PC和线段 PQ的位置关系;（2）本题主要在动点的条件下，分情况讨论，利用三角形全等时对应边相等的性质进行解答即可.【详解】(1)当t=1时，AP= BQ=1, BP= AC=3,又∠A=∠B= 90°，在△ACP和△BPQ中，AP=BQ{∠A=∠BAC=BP∴△ACP≌△BPQ(SAS).∴∠ACP=∠BPQ ,∴∠APC+∠BPQ=∠APC+∠ACP = 90*.∴∠CPQ= 90°，即线段PC与线段PQ垂直；(2)①若△ACP ≌△BPQ ，则AC= BP ，AP= BQ ，⎧3=4-t ⎨t =xt⎩解得⎨⎧t =1;x =1⎩②若△ACP ≌△BQP ，则AC= BQ ，AP= BP ，⎧3=xt ⎨t =4-t⎩⎧t =2⎪解得：⎨3x =⎪⎩2⎧t =2⎧t =1⎪综上所述,存在⎨或⎨3使得△ACP 与△BPQ 全等.x =1x =⎩⎪⎩2【点睛】本题主要考查三角形全等与动点问题，熟练掌握三角形全等的性质与判定定理，是解决本题的关键.2．（1）证明见解析；（2）证明见解析；（3）结论：AD =DG -ND ，证明见解析．【解析】【分析】（1）先根据直角三角形的性质得出∠ABC =60︒，再根据角平分线的性质可得CD =ED ，然后根据三角形的判定定理与性质可得BC =BE ，最后根据等边三角形的判定即可得证；（2）如图（见解析），延长ED 使得DF =MD ，连接MF ，先根据直角三角形的性质、等边三角形的判定得出∆MDF 是等边三角形，再根据等边三角形的性质、角的和差得出∠F =∠MDB ,MF =MD ,∠FMG =∠DMB ，然后根据三角形全等的判定与性质、等量代换即可得证；（3）如图（见解析），参照题（2），先证∆HDN 是等边三角形，再根据等边三角形的性质、角的和差得出∠H =∠NDG ,NH =ND ,∠HNB =∠DNG ，然后根据三角形全等的判定与性质、等量代换即可得证．【详解】（1）∠ACB =90︒,∠A =30︒∴∠ABC =90︒-∠A =60︒BD 是∠ABC 的角平分线，DE ⊥AB∴CD =ED⎧CD=ED在∆BCD和∆BED中，⎨BD=BD⎩∴∆BCD≅∆BED(HL)∴BC=BE∴∆EBC是等边三角形；（2）如图，延长ED使得DF=MD，连接MF∠ACB=90︒,∠A=30︒，BD是∠ABC的角平分线，DE⊥AB∴∠ADE=∠BDE=60︒,AD=BD∴∠MDF=∠ADE=60︒,∠MDB=180︒-∠ADE-∠BDE=60︒∴∆MDF是等边三角形∴MF=DM,∠F=∠DMF=60︒∠BMG=60︒∴∠DMF+∠DMG=∠BMG+∠DMG，即∠FMG=∠DMB⎧∠F=∠MDB=60︒⎪在∆FMG和∆DMB中，⎨MF=MD⎪∠FMG=∠DMB⎩∴∆FMG≅∆DMB(ASA)∴GF=BD，即DF+DG=BD∴AD=DF+DG=MD+DG即AD=DG+MD；（3）结论：AD=DG-ND，证明过程如下：如图，延长BD使得DH=ND，连接NH由（2）可知，∠ADE=60︒,∠HDN=180︒-∠ADE-∠BDE=60︒,AD=BD ∴∆HDN是等边三角形∴NH=ND,∠H=∠HND=60︒∠BNG=60︒∴∠HND+∠BND=∠BNG+∠BND，即∠HNB=∠DNG⎧∠H=∠NDG=60︒⎪在∆HNB和∆DNG中，⎨NH=ND⎪∠HNB=∠DNG⎩∴∆HNB≅∆DNG(ASA)∴HB =DG ，即DH +BD =DG∴ND +AD =DG即AD =DG -ND ．【点睛】本题考查了直角三角形的性质、等边三角形的判定与性质、三角形全等的判定定理与性质等知识点，较难的是题（2）和（3），通过作辅助线，构造一个等边三角形是解题关键．3．（1）5；（2）【解析】【分析】（1）分别过点B ，C 向l 1作垂线，交l 1于M ，N 两点，证明△ABM ≌△CAN ，得到AM=CN ，AN=BM ，即可得出AB ；（2）分别过点B ，C 向l 1作垂线，交l 1于点P ，Q 两点，在l 1上取M ，N 使∠AMB=∠CNA=120°，证明△AMB ≌△CAN ，得到CN=AM ，再通过△PBM 和△QCN 算出PM 和NQ 的值，得到AP ，最后在△APB 中，利用勾股定理算出AB 的长；（3）在l 3上找M 和N ，使得∠BNC=∠AMC=60°，过B 作l 3的垂线，交l 3于点P ，过A 作l 3的垂线，交l 3于点Q ，证明△BCN ≌△CAM ，得到CN=AM ，在△BPN 和△AQM 中利用勾股定理算出NP 和AM ，从而得到PC ，结合BP 算出BC 的长，即为AB.【详解】解：（1）如图，分别过点B ，C 向l 1作垂线，交l 1于M ，N 两点，由题意可得：∠BAC=90°，∵∠NAC+∠MAB=90°，∠NAC+∠NCA=90°，∴∠MAB=∠NCA ，在△ABM 和△CAN 中，221221；（3）33⎧∠AMB =∠CNA ⎪⎨∠MAB =∠NCA ，⎪AB =AC ⎩∴△ABM ≌△CAN （AAS ），∴AM=CN=2，AN=BM=1，∴AB=22+12=5；（2）分别过点B，C向l1作垂线，交l1于P，Q两点，在l1上取M，N使∠AMB=∠CNA=120°，∵∠BAC=120°，∴∠MAB+∠NAC=60°，∵∠ABM+∠MAB=60°，∴∠ABM=∠NAC，在△AMB和△CNA中，⎧∠AMB=∠CNA⎪⎨∠ABM=∠NAC，⎪AB=AC⎩∴△AMB≌△CNA（AAS），∴CN=AM，∵∠AMB=∠ANC=120°，∴∠PMB=∠QNC=60°，∴PM=11 BM，NQ=NC，22∵PB=1，CQ=2，设PM=a，NQ=b，∴a2+12=4a2，b2+22=4b2，解得：a=323，b=，332⎛23⎫43=∴CN=AM=22+ ，⎪3⎪3⎝⎭∴AB=AP2+BP2=(AM+PM)2+BP2=221；3（3）如图，在l3上找M和N，使得∠BNC=∠AMC=60°，过B作l3的垂线，交于点P，过A作l3的垂线，交于点Q，∵△ABC是等边三角形，∴BC=AC，∠ACB=60°，∴∠BCN+∠ACM=120°，∵∠BCN+∠NBC=120°，∴∠NBC=∠ACM，在△BCN和△CAM中，⎧∠BNC=∠CMA⎪⎨∠NBC=∠MAC，⎪BC=AC⎩∴△BCN≌△CAM（AAS），∴CN=AM，BN=CM，∵∠PBN=90°-60°=30°，BP=2，∴BN=2NP，在△BPN中，BP2+NP2=BN2，即22+NP2=4NP2，解得：NP=23，3∵∠AMC=60°，AQ=3，∴∠MAQ=30°，∴AM=2QM，在△AQM中，AQ2+QM2=AM2，即32+QM2=4QM2，解得：QM=3，∴AM=23=CN，∴PC=CN-NP=AM-NP=在△BPC中，BP2+CP2=BC2，43，3⎛43⎫221即BC=BP2+CP2=22+ ，=⎪3⎪3⎝⎭2∴AB=BC=221.3【点睛】本题考查了全等三角形的判定和性质，平行线之间的距离，等腰三角形的性质，等边三角形的性质以及勾股定理，解题的关键是利用平行线构造全等三角形，再利用全等三角形的性质以及勾股定理求解.4．（1）见解析；（2）见解析；（3）3【解析】【分析】（1）根据等腰三角形的性质和外角的性质即可得到结论；（2）过E作EF∥AC交AB于F，根据已知条件得到△ABC是等边三角形，推出△BEF是等边三角形，得到BE=EF，∠BFE=60°，根据全等三角形的性质即可得到结论；（3）连接AF，证明△ABF≌△CBF，得AF=CF，再证明DH=AH=【详解】解：（1）∵AB=AC，∴∠ABC=∠ACB，∵DE=DC，∴∠E=∠DCE，∴∠ABC-∠E=∠ACB-∠DCB，即∠EDB=∠ACD；（2）∵△ABC是等边三角形，∴∠B=60°，∴△BEF是等边三角形，∴BE=EF，∠BFE=60°，∴∠DFE=120°，∴∠DFE=∠CAD，在△DEF与△CAD中，1CF=3．2⎧∠EDF=∠DCA⎪⎨∠DFE=∠CAD，⎪DE=CD⎩∴△DEF≌△CAD（AAS），∴EF=AD，∴AD=BE；（3）连接AF，如图3所示：∵DE=DC，∠EDC=30°，∴∠DEC=∠DCE=75°，∴∠ACF=75°-60°=15°，∵BF平分∠ABC，∴∠ABF=∠CBF，在△ABF和△CBF中，⎧AB=BC⎪⎨∠ABF=∠CBF，⎪BF=BF⎩△ABF≌△CBF（SAS），∴AF=CF，∴∠FAC=∠ACF=15°，∴∠AFH=15°+15°=30°，∵AH⊥CD，∴AH=11AF=CF=3，22∵∠DEC=∠ABC+∠BDE，∴∠BDE=75°-60°=15°，∴∠ADH=15°+30°=45°，∴∠DAH=∠ADH=45°，∴DH=AH=3．【点睛】本题考查了全等三角形的判定与性质，等腰三角形和直角三角形的性质，三角形的外角的性质，等边三角形的判定和性质，证明三角形全等是解决问题的关键．5．（1）证明见解析；（2）①②③；（3）∠A+∠C=180°．【解析】【分析】（1）利用等式的性质得出∠BAD=∠CAE，即可得出结论；（2）同（1）的方法判断出△ABD≌△ACE，得出BD=CE，再利用对顶角和三角形的内角和定理判断出∠BOC=60°，再判断出△BCF≌△ACO，得出∠AOC=120°，进而得出∠AOE=60°，再判断出BF＜CF，进而判断出∠OBC＞30°，即可得出结论；（3）先判断出△BDP是等边三角形，得出BD=BP，∠DBP=60°，进而判断出△ABD≌△CBP （SAS），即可得出结论．【详解】（1）证明：∵∠BAC=∠DAE，∴∠BAC+∠CAD=∠DAE+∠CAD，∴∠BAD=∠CAE，在△ABD和△ACE中，⎧AB＝AC⎪⎨∠BAD＝∠CAE，⎪AD＝AE⎩∴△ABD≌△ACE；（2）如图2，∵△ABC和△ADE是等边三角形，∴AB=AC，AD=AE，∠BAC=∠DAE=60°，∴∠BAD=∠CAE，在△ABD和△ACE中，⎧AB＝AC⎪⎨∠BAD＝∠CAE，⎪AD＝AE⎩∴△ABD≌△ACE，∴BD=CE，①正确，∠ADB=∠AEC，记AD与CE的交点为G，∵∠AGE=∠DGO，∴180°-∠ADB-∠DGO=180°-∠AEC-∠AGE，∴∠DOE=∠DAE=60°，∴∠BOC=60°，②正确，在OB上取一点F，使OF=OC，∴△OCF是等边三角形，∴CF=OC，∠OFC=∠OCF=60°=∠ACB，∴∠BCF=∠ACO，∵AB=AC，∴△BCF≌△ACO（SAS），∴∠AOC=∠BFC=180°-∠OFC=120°，∴∠AOE=180°-∠AOC=60°，③正确，连接AF，要使OC=OE，则有OC=∵BD=CE，∴CF=OF=1 CE，21BD，2∴OF=BF+OD，∴BF＜CF，∴∠OBC＞∠BCF，∵∠OBC+∠BCF=∠OFC=60°，∴∠OBC＞30°，而没办法判断∠OBC大于30度，所以，④不一定正确，即：正确的有①②③，故答案为①②③；（3）如图3，延长DC至P，使DP=DB，∵∠BDC=60°，∴△BDP是等边三角形，∴BD=BP，∠DBP=60°，∵∠BAC=60°=∠DBP，∴∠ABD=∠CBP，∵AB=CB，∴△ABD≌△CBP（SAS），∴∠BCP=∠A，∵∠BCD+∠BCP=180°，∴∠A+∠BCD=180°．【点睛】此题考查三角形综合题，等腰三角形的性质，等边三角形的性质，全等三角形的判定和性质，构造等边三角形是解题的关键．6．（1）60°；（2）EF=AF+FC，证明见解析；（3）AF=EF+2DF，证明见解析．【解析】【分析】（1）可设∠BAD＝∠CAD＝α，∠AEC＝∠ACE＝β，在△ACE中，根据三角形内角和可得2α＋60＋2β＝180°，从而有α＋β＝60°，即可得出∠DFC的度数；（2）在EC上截取EG＝CF，连接AG，证明△AEG≌△ACF，然后再证明△AFG为等边三角形，从而可得出EF＝EG＋GF＝AF＋FC；（3）在AF上截取AG＝EF，连接BG，BF，证明方法类似（2），先证明△ABG≌△EBF，再证明△BFG为等边三角形，最后可得出结论．【详解】解：（1）∵AB=AC，AD为BC边上的中线，∴可设∠BAD＝∠CAD＝α，又△ABE为等边三角形，∴AE=AB=AC，∠EAB=60°，∴可设∠AEC＝∠ACE＝β，在△ACE中，2α＋60°＋2β＝180°，∴α＋β＝60°，∴∠DFC=α＋β＝60°；（2）EF=AF+FC，证明如下：∵AB=AC，AD为BC边上的中线，∴AD⊥BC，∴∠FDC=90°，∵∠CFD＝60°，则∠DCF=30°，∴CF＝2DF，在EC上截取EG＝CF，连接AG，又AE=AC，∴∠AEG=∠ACF，∴△AEG≌△ACF（SAS）,∴∠EAG＝∠CAF，AG＝AF，又∠CAF=∠BAD，∴∠EAG=∠BAD，∴∠GAF＝∠BAD+∠BAG=∠EAG+∠BAG=∠60°，∴△AFG为等边三角形，∴EF＝EG＋GF＝AF＋FC，即EF=AF+FC；（3）补全图形如图所示，结论：AF=EF+2DF．证明如下：同（1）可设∠BAD＝∠CAD＝α，∠ACE＝∠AEC＝β，∴∠CAE＝180°－2β，∴∠BAE＝2α＋180°－2β＝60°，∴β－α＝60°，∴∠AFC=β－α＝60°，又△ABE为等边三角形，∴∠ABE=∠AFC=60°，∴由8字图可得：∠BAD＝∠BEF，在AF上截取AG＝EF，连接BG，BF，又AB=BE ，∴△ABG ≌△EBF （SAS ），∴BG ＝BF ，又AF 垂直平分BC ，∴BF=CF ，∴∠BFA=∠AFC=60°，∴△BFG 为等边三角形，∴BG=BF ，又BC ⊥FG ，∴FG=BF=2DF ，∴AF ＝AG ＋GF ＝BF ＋EF ＝2DF ＋EF ．【点睛】本题考查了全等三角形的判定和性质、等边三角形的性质、等腰三角形的性质等知识，解决问题的关键是常用辅助线构造全等三角形，属于中考常考题型．7．90︒，45︒；20︒，30︒；a +γ=2β，a -γ=2β.【解析】【分析】（1）①如图①知∠EMC 1=11∠BMC 1，∠C 1MF =∠C 1MC 得22∠EMF =1(∠BMC 1+∠C 1MC )可求出解.2111∠ABC 1,∠C 1BF =∠C 1BC 得∠EBF =(∠ABC 1+∠C 1BC )可222②由图②知∠EBA 1=求出解.（2）①由图③折叠知∠CMF =∠FMC 1,∠BME =∠EMB 1，可推出(∠BMC -∠EMF )-∠EMF =∠C 1MB 1，即可求出解.②由图④中折叠知∠CMF =∠C 1MF ,∠ABE =∠A 1BE ，可推出290︒-60︒+∠A 1MC 1=90︒，即可求出解.（3）如图⑤-1、⑤-2中分别由折叠可知，a -β=β-γ、a -β=β+γ，即可求得()a +γ=2β、a -γ=2β.【详解】解：（1）①如图①中，11∠EMC 1=∠BMC 1，∠C 1MF =∠C 1MC ，22∴∠EMF =∠EMC 1+∠C 1MF =故答案为90︒.②如图②中，11(∠BMC 1+∠C 1MC )=⨯180︒=90︒，2211∠EBA 1=∠ABC 1,∠C 1BF =∠C 1BC ，22∴∠EBF =∠EBC 1+∠C 1BF =故答案为45︒.（2）①如图③中由折叠可知，11(∠ABC 1+∠C 1BC )=⨯90︒=45︒，22∠CMF =∠FMC 1,∠BME =∠EMB 1，∠C 1MF +∠EMB 1-∠EMF =∠C 1MB 1，∴∠CMF +∠BME -∠EMF =∠C 1MB 1，∴(∠BMC -∠EMF )-∠EMF =∠C 1MB 1，∴180︒-80︒=∠C 1MB 1=20︒；②如图④中根据折叠可知，∠CMF =∠C 1MF ,∠ABE =∠A 1BE ，︒2∠CMF +2∠ABE +∠AMC =90，11︒∴2(∠CMF +∠ABE )+∠AMC 11=90，(∴2(90∴290︒-∠EMF +∠A 1MC 1=90︒，︒)-60︒+∠A 1MC 1=90︒，)︒∴∠AMC =30；11（3）如图⑤-1中，由折叠可知，a -β=β-γ，∴a +γ=2β；如图⑤-2中，由折叠可知，a -β=β+γ，∴a -γ=2β.【点睛】本题考查了图形的变换中折叠属全等变换，图形的角度及边长不变及一些角度的计算问题，突出考查学生的观察能力、思维能力以及动手操作能力，本题是代数、几何知识的综合运用典型题目.8．（1）=；（2）证明见解析；（3）60°，BD=CE；（4）90°，AM+BD=CM ；（5）7【解析】【分析】（1）由DE ∥BC ，得到DB EC =，结合AB=AC ，得到DB=EC ；AB AC（2）由旋转得到的结论判断出△DAB≌△EAC，得到DB=CE；（3）根据等边三角形的性质和全等三角形的判定定理证明△DAB≌△EAC，根据全等三角形的性质求出结论；（4）根据全等三角形的判定和性质和等腰直角三角形的性质即可得到结论；（5）根据旋转的过程中△ADE的面积始终保持不变，而在旋转的过程中，△ADC的AC始终保持不变，即可．【详解】[初步感知]（1）∵DE∥BC，∴DB EC=，AB AC∵AB=AC，∴DB=EC，故答案为：=，（2）成立．理由：由旋转性质可知∠DAB=∠EAC，在△DAB和△EAC中⎧AD＝AE⎪⎨∠DAB＝∠EAC，⎪AB＝AC⎩∴△DAB≌△EAC（SAS），∴DB=CE；[深入探究]（3）如图③，设AB，CD交于O，∵△ABC和△ADE都是等边三角形，∴AD=AE，AB=AC，∠DAE=∠BAC=60°，∴∠DAB=∠EAC，在△DAB和△EAC中⎧AD＝AE⎪⎨∠DAB＝∠EAC，⎪AB＝AC⎩∴△DAB≌△EAC（SAS），∴DB=CE，∠ABD=∠ACE，∵∠BOD=∠AOC，∴∠BDC=∠BAC=60°；（4）∵△DAE 是等腰直角三角形，∴∠AED=45°，∴∠AEC=135°，在△DAB 和△EAC 中⎧AD ＝AE⎪⎨∠DAB ＝∠EAC，⎪AB ＝AC⎩∴△DAB ≌△EAC （SAS ），∴∠ADB=∠AEC=135°，BD=CE ，∵∠ADE=45°，∴∠BDC=∠ADB-∠ADE=90°，∵△ADE 都是等腰直角三角形，AM 为△ADE 中DE 边上的高，∴AM=EM=MD ，∴AM+BD=CM ；故答案为：90°，AM+BD=CM ；【拓展提升】（5）如图，由旋转可知，在旋转的过程中△ADE 的面积始终保持不变，△ADE 与△ADC 面积的和达到最大，∴△ADC 面积最大，∵在旋转的过程中，AC 始终保持不变，∴要△ADC 面积最大，∴点D 到AC 的距离最大，∴DA ⊥AC ，∴△ADE 与△ADC 面积的和达到的最大为2+故答案为7．【点睛】此题是几何变换综合题，主要考查了旋转和全等三角形的性质和判定，旋转过程中面积变化分析，解本题的关键是三角形全等的判定．9．（1）全等，理由见解析；（2）t=3.5秒或5秒1×AC×AD=5+2=7，2【解析】【分析】（1）根据垂直的定义得到∠DAC=∠ECB ，利用AAS 定理证明△ACD ≌△CBE ；（2）分点F 沿C→B 路径运动和点F 沿B→C 路径运动两种情况，根据等腰三角形的定义列出算式，计算即可；【详解】解：（1）△ACD 与△CBE 全等．理由如下：∵AD ⊥直线l ，∴∠DAC+∠ACD=90°，∵∠ACB=90°，∴∠BCE+∠ACD=90°，∴∠DAC=∠ECB ，在△ACD 和△CBE 中，⎧∠ADC =∠CEB⎪⎨∠DAC =∠ECB，⎪CA =CB⎩∴△ACD ≌△CBE （AAS ）；（2）由题意得，AM=t ，FN=3t ，则CM=8-t ，由折叠的性质可知，CF=CB=6，∴CN=6-3t ，点N 在BC 上时，△CMN 为等腰直角三角形，当点N 沿C→B 路径运动时，由题意得，8-t=3t-6，解得，t=3.5，当点N 沿B→C 路径运动时，由题意得，8-t=18-3t ，解得，t=5，综上所述，当t=3.5秒或5秒时，△CMN 为等腰直角三角形；【点睛】本题考查的是全等三角形的判定和性质，掌握全等三角形的判定定理和性质定理，灵活运用分情况讨论思想是解题的关键．10．（1）见详解，（2）BD =2CF ，证明见详解，（3）【解析】【分析】（1）欲证明BF =AD ，只要证明∆BCF ≅∆ACD 即可；（2）结论：BD =2CF ．如图2中，作EH ⊥AC 于H ．只要证明∆ACD ≅∆EHA ，推出CD =AH ，EH =AC =BC ，由∆EHF ≅∆BCF ，推出CH 2．3=CF 即可解决问题；（3）利用（2）中结论即可解决问题；【详解】（1）证明：如图1中，BE⊥AD于E，∴∠AEF=∠BCF=90︒，∠AFE=∠CFB，∴∠DAC=∠CBF，BC=AC，∴∆BCF≅∆ACD(AAS)，∴BF=AD．（2）结论：BD=2CF．理由：如图2中，作EH⊥AC于H．∠AHE=∠ACD=∠DAE=90︒，∴∠DAC+∠ADC=90︒，∠DAC+∠EAH=90︒，∴∠ADC=∠EAH，AD=AE，∴∆ACD≅∆EHA，∴CD=AH，EH=AC=BC，CB=CA，∴BD=CH，∠EHF=∠BCF=90︒，∠EFH=∠BFC，EH=BC，∴∆EHF≅∆BCF，∴FH=FC，∴BD=CH=2CF．（3）如图3中，作EH⊥AC于交AC延长线于H．∠AHE=∠ACD=∠DAE=90︒，∴∠DAC+∠ADC=90︒，∠DAC+∠EAH=90︒，∴∠ADC=∠EAH，AD=AE，∴∆ACD≅∆EHA，∴CD=AH，EH=AC=BC，CB=CA，∴BD=CH，∠EHM=∠BCM=90︒，∠EMH=∠BMC，EH=BC，∴∆EHM≅∆BCM，∴MH=MC，∴BD=CH=2CM．AC=3CM，设CM=a，则AC=CB=3a，BD=2a，∴DB2a2==．BC3a3【点睛】本题考查三角形综合题、全等三角形的判定和性质、等腰直角三角形的性质等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造全等三角形解决问题，属于中考压轴题．另外对于类似连续几步的综合题，一般前一步为后一步提供解题的条件或方法．11．（1）①60°；②60°；（2）∠BFE =α．【解析】【分析】（1）①先证明△ACE≌△CBD得到∠ACE=∠CBD，再由三角形外角和定理可得∠BFE=∠CBD+∠BCF；②先证明△ACE≌△CBD得∠ACE=∠CBD=∠DCF，再由三角形外角和定理可得∠BFE=∠D+∠DCF=∠D+∠CBD=∠BCA；（2）证明△AEC≌△CDB得到∠E=∠D，则∠BFE=∠D+∠DCF=∠E+∠ECA=∠OAC=α．【详解】（1）如图①中，∵△ABC是等边三角形，∴AC=CB，∠A=∠BCD=60°，∵AE=CD，∴△ACE≌△CBD，∴∠ACE=∠CBD，∴∠BFE=∠CBD+∠BCF=∠ACE+∠BCF=∠BCA=60°．故答案为60．（2）如图②中，∵△ABC是等边三角形，∴AC=CB，∠A=∠BCD=60°，∴∠CAE=∠BCD=′120°∵AE=CD，∴△ACE≌△CBD，∴∠ACE=∠CBD=∠DCF，∴∠BFE=∠D+∠DCF=∠D+∠CBD=∠BCA=60°．故答案为60．（3）如图③中，∵点O是AC边的垂直平分线与BC的交点，∴OC=OA，∴∠EAC=∠DCB=α，∵AC=BC，AE=CD，∴△AEC≌△CDB，∴∠E=∠D，∴∠BFE=∠D+∠DCF=∠E+∠ECA=∠OAC=α．【点睛】本题综合考查了三角形全等以及三角形外角和定理.12．（1）①100；②x=y+s+t；（2）见详解．【解析】【分析】（1）①利用三角形的内角和定理即可解决问题；②结论：x=y+s+t．利用三角形内角和定理即可证明；（2）分6种情形分别求解即可解决问题．【详解】解：（1）①∵∠BAC=70°，∴∠ABC+∠ACB=110°，∵∠PBA=10°，∠PCA=20°，∴∠PBC+∠PCB=80°，∴∠BPC=100°，∴x=100，故答案为：100．②结论：x=y+s+t．理由：∵∠A+∠ABC+∠ACB=∠A+∠PBA+∠PCA+∠PBC+∠PCB=180°，∠PBC+∠PCB+∠BPC=180°，∴∠A+∠PBA+∠PCA=∠BPC，∴x=y+s+t．（2）s、t、x、y之间所有可能的数量关系：如图1：s+x=t+y；如图2：s+y=t+x；如图3：y=x+s+t；如图4：x+y+s+t=360°；如图5：t=s+x+y；如图6：s=t+x+y；【点睛】本题考查三角形的内角和定理，三角形的外角的性质等知识，解题的关键是学会用分类讨论的思想思考问题．13．(1)150°；(2)∠1＋∠2＝90°＋α；(3)∠1＝90°＋∠2＋α，理由详见解析；(4)∠2＝90°＋∠1－α，理由详见解析【解析】【分析】(1)先用平角的得出，∠CDP=180°-∠1，∠CEP=180°-∠2，最后用四边形的内角和即可；(2)同(1)方法即可；(3)利用平角的定义和三角形的内角和即可得出结论；(4)利用三角形的内角和和外角的性质即可得出结论．【详解】解：(1)∵∠1+∠CDP=180°，∴∠CDP=180°-∠1，同理：∠CEP=180°-∠2，根据四边形的内角和定理得，∠CDP+∠DPE+∠CEP+∠C=360°，∵∠C=90°，∴180°-∠1+α+180°-∠2+90°=360°，∴∠1+∠2=90°+α=90°+60°=150°，故答案为：150；(2)∵∠1+∠CDP=180°，∴∠CDP=180°-∠1，同理：∠CEP=180°-∠2，根据四边形的内角和定理得，∠CDP+∠DPE+∠CEP+∠C=360°，∵∠C=90°，∴180°-∠1+α+180°-∠2+90°=360°，∴∠1+∠2=90°+α，故答案为：∠1+∠2=90°+α；(3)∠1＝90°＋∠2＋∠α．理由如下：如图3，设DP与BE的交点为F，∵∠2＋∠α＝∠DFE，∠DFE＋∠C＝∠1，∴∠1＝∠C＋∠2＋∠α＝90°＋∠2＋∠α．(4)∠2＝90°＋∠1－∠α，理由如下：如图4，设PE 与AC 的交点为G ，∵∠PGD ＝∠EGC ，∴∠α＋180°－∠1＝∠C ＋180°－∠2，∴∠2＝90°＋∠1－∠α．故答案为∠2＝90°＋∠1－∠α．【点睛】此题是三角形综合题，主要考查了四边形的内角和，三角形的内角和，三角形的外角的性质，平角的定义，解本题的关键是将∠1，∠2，α转化到一个三角形或四边形中，是一道比较简单的中考常考题．14．（1）【解析】【分析】（1）根据简单的分式可得，相邻两个数的积的倒数等于它们的倒数之差，即可得到和1111n -,-；（2）；（3）见解析．45n n +1n +114⨯51n ⨯(n +1)（2）根据（1）规律将乘法写成减法的形式，可以观察出前一项的减数等于后一项的被减数，因此可得它们的和.（3）首先利用（2）的和的结果将左边化简，再利用分式方程的解法求解即可.【详解】111111=-=-，解：（1）；n (n +1)n n +14⨯545故答案为1111-,-45n n +111111+-+-+22334+111n -=1-= ;n n +1n +1n +1（2）原式＝1-1111-+-+（3）已知等式整理得：x x +1x +1x +2112x -1-=所以，原方程即：，x x +5x (x +5)方程的两边同乘x （x +5），得：x +5﹣x ＝2x ﹣1，解得：x ＝3，检验：把x ＝3代入x （x +5）＝24≠0，∴原方程的解为：x ＝3．【点睛】+112x -1-=x +4x +5x (x +5)本题主要考查学生的归纳总结能力，关键在于根据简单的数的运算寻找规律,是考试的热点.15．（1）见解析；（2）∠ABE -∠CDE =30︒【解析】（1）根据聪聪提供的辅助线作法进行证明，先由平行线的性质得：∠AGC=∠MCD，∠F+∠GAF=90︒，再证明∠MCD=∠BAG，可得结论；（2）根据平行线的性质和三角形的外角性质可得结论．【详解】解：（1）证明：如图2，过A作AG//FM，交CD于G，∴∠AGC=∠MCD，∠F+∠GAF=90︒，FN⊥FM，∴∠F=90︒，∴∠GAF=90︒，∠FAB-∠MCD=90︒，∴∠FAB-∠GAF=∠MCD=∠BAG，∴AB//CD；（2）解：∠ABE-∠CDE=30︒，理由如下：如图3，AB//CD，∴∠BPD=∠ABE，∠BPD=∠CDE+∠BED，∠BED=30︒，∴∠BPD-∠CDE=30︒，∴∠ABE-∠CDE=30︒．。

人教版八年级上册数学期末动点问题压轴题专题训练1．如图，△ABC是等边三角形，点D是边BC上一个动点（点D不与点B，C重合），连接AD，点E在边AC的延长线上，且DA＝DE．(1)求证：△BAD＝△EDC：(2)用等式表示线段CD，CE，AB之间的数量关系，并证明．2．如图，已知△ ABC是边长为10cm的等边三角形，点F为AC的中点，动点D，E同时从A，B两点出发，分别沿AB，BC匀速运动，其中点D运动的速度是1cm/s，点E运动的速度是2cm/s，设运动时为t 秒．(1)当t为何值时，△ AFD与△ CFE全等；(2)当t为何值时，△ BDE为直角三角形．3．已知△ABC为等边三角形，点D为直线BC上的一动点（点D不与B、C重合），以AD为边作等边△ADE（顶点A、D、E按逆时针方向排列），连接CE．(1)如图1，当点D在边BC上时，求证：△BD＝CE，△AC＝CE＋CD；(2)如图2，当点D在边BC的延长线上且其他条件不变时，结论AC＝CE＋CD是否成立？若不成立，请写出AC、CE、CD之间存在的数量关系，并说明理由．4．在等边△ABC中，(1)如图1，P，Q是BC边上两点，AP＝AQ，△BAP＝20°，求△AQB的度数；(2)点P，Q是BC边上的两个动点（不与B，C重合），点P在点Q的左侧，且AP＝AQ，点Q关于直线AC的对称点为M，连接AM，PM．△依题意将图2补全；△求证：P A＝PM．5．如图，在三角形ABC中，D是射线BC上一动点．(1)如图1，点D在BC边上（不与点B，C重合），△ 按要求作图：分别过点D作DE BA∥交边AB于点F；∥交边AC于点E，作DF CA△ 在△的条件下，判断△EDF与△A的数量关系，并说明理由；(2)如图2，若点D在BC的延长线上，DF CA∥，△EDF=△A，试判断DE与BA的位置关系，并说明理由．6．如图1，等腰Rt△ABC中，△BAC＝90°，AB＝AC，D，E分别是AC和BC上的动点，BD△AE，垂足为F．(1)求证△CAE=△ABD；(2)连接DE，满足△AEB=△DEC，求证：BD=DE+AE；(3)点G在BD的延长线上，连接EG，满足△AEB=△GEC，试写出AE，EG，BG之间的数量关系，并证明．7．已知：如图，ABC是边长为6cm的等边三角形，动点P，Q同时从A，B两点出发，分别沿AB，BC方向匀速移动，它们的速度都是1cm/s，当点P到达点B时，P，Q两点停止运动，设点P的运动时间为()s t，解答下列各问题：(1)ABC的面积为多少？△是等边三角形？(2)当t为何值时，PBQ△是直角三角形时，求t的值．(3)当PBQA a，将点A向右平移b个单位得到点B，其中a，b满足8．如图△所示，点A的坐标为(0,)+-=．a b50(2)如图△，坐标轴上有两个动点P ，Q ，点P 从A 点出发沿y 轴负方向以每秒1个单位长度的速度运动，点Q 从O 点出发以每秒2个单位长度的速度沿x 轴正方向运动，点P 、Q 同时出发，点P 到达O 点时整个运动结束．设运动时间为t 秒，问t 为何值时，使得12OBP BOQ S S =△△？并求出此时点P 和点Q 的坐标； (3)如图△所示，点F 为x 轴上一点，作△BOF 的平分线OG ，且OG △FB ，垂足为G ，△AOB 的平分线OE 与射线FB 交于点E ，求△E 的度数．9．如图，在平面直角坐标系中，点A ，B 的坐标分别为(a ，0)，(b ，0)，且a ，b 满足()23-20a b ++=．现同时将点A ，B 分别向左平移2个单位，再向上平移2个单位，得到点A ，B 的对应点C ，D ，连接AC ，BD ，CD ．(1)直接写出A ，B 两点的坐标为：A ___________， B ___________．(2)若点P 是线段AC 上的一个动点，Q 是线段CD 的中点，连接PQ ，PO ，当点P 在线段AC 上移动时（不与点A ，C 重合），请找出PQD ∠，OPQ ∠，POB ∠的数量关系，并证明你的结论．(3)在坐标轴上是否存在点M ，使三角形MAD 的面积与三角形ACD 的面积相等？若存在，请求出点M 的坐标；若不存在，试说明理由．10．已知：直线AD BC ∥，动点P 在直线EF 上运动，探究ADP ，DPC ∠，BCP ∠之间的关系．(1)【问题发现】若25ADP ∠=︒，35BCP ∠=︒，求DPC ∠的度数．(2)【结论猜想】当点P 在线段AB 上时，猜想ADP ，DPC ∠，BCP ∠三个角之间的数量关系，并说明理(3)【拓展延伸】若点P 在射线AE 上或者在射线BF 上时（不包括端点），试着探究ADP ，DPC ∠，BCP ∠之间的关系是否会发生变化，请挑选一种情形画出图形，写出结论，并说明理由．11．ABC 中，70C ∠=︒，点D ，E 分别是ABC 边AC ，BC 上的点，点P 是一动点，令1PDA ∠=∠，2PEB ∠=∠，DPE α∠=∠．初探：(1)如图1，若点P 在线段AB 上，且60α∠=︒，则12∠+∠=_____________； (2)如图2，若点P 在线段AB 上运动，则△1，△2，α∠之间的关系为_____________； (3)如图3，若点P 在线段AB 的延长线上运动，则△1，△2，α∠之间的关系为_____________； 再探：(4)如图4，若点P 运动到ABC 的内部，写出此时△1，△2，α∠之间的关系，并说明理由．12．如图，AB 、CD 被AC 所截，AB CD ∥，△CAB ＝108°，点P 为直线AB 上一动点（不与点A 重合），连CP ，作△ACP 和△DCP 的平分线分别交直线AB 于点E 、F ．(1)当点P 在点A 的右侧时△若△ACP ＝36°，则此时CP 是否平分△ECF ，请说明理由． △求△ECF 的度数．(2)在点P 运动过程中，直接写出△APC 与△AFC 之间的数量关系．(1)求证：AB CD ∥；(2)如图2，若3ABE EBF ∠=∠，120BFD ∠=︒，试求CDFBDF∠∠的值；(3)如图3，若H 是直线CD 上一动点（不与D 重合），BI 平分HBD ∠，则EBI ∠与BHD ∠的数量关系为______．14．如图1，在△ABC 中，BO AC ⊥于点O ，3,1AO BO OC ===，过点A 作AH BC ⊥于点H ，交BO 于点P ．(1)求线段OP 的长度；(2)连接OH ，求证：点O 到△AHC 的两边距离相等；(3)如图2，若点D 为AB 的中点，点M 为线段BO 延长线上一动点，连接MD ，过点D 作DN DM ⊥交线段OA 延长线于N 点，则BDM ADN S S ∆∆-的值是否发生改变，如改变，求出该值的变化范围；若不改变，求该式子的值．15．在ABC 中，BAC ABC ∠>∠，三个内角的平分线交于点O ．(1)填空：如图1，若80BCA ∠=︒，则BOA ∠的大小为________度；(3)如图2，CO 的延长线交AB 于点E ，点M 是AB 边上的一动点（不与点E 重合），过点M 作MN CE ⊥于点N ，请探索AMN ∠、ABC ∠、BAC ∠三者之间的数量关系．16．如图1，CE 平分ACD ∠，AE 平分BAC ∠，90EAC ACE ∠+∠=︒(1)请判断AB 与CD 的位置关系并说明理由；(2)如图2，在（1）的结论下，当90E ∠=︒保持不变，移动直角顶点E ，使MCE ECD ∠=∠，当直角顶点E 点移动时，问BAE ∠与MCD ∠是否存在确定的数量关系？(3)如图3，在（1）的结论下，P 为线段AC 上一定点，点Q 为直线CD 上一动点，当点Q 在射线CD 上运动时（点C 除外），CPQ CQP ∠+∠与BAC ∠有何数量关系？17．如图，在△ABC 中，D 为AB 的中点，AB ＝AC ＝10cm ，BC ＝8cm ，动点P 从点B 出发，沿BC 方向以每秒3cm 的速度向点C 运动；同时动点Q 从点C 出发，沿CA 方向以每秒3cm 的速度向点A 运动，运动时间是t 秒．(1)在运动过程中，当点C 位于线段PQ 的垂直平分线上时，求出t 的值；(2)在运动过程中，是否存在某一时刻t ，使△BPD 和△CQP 全等，若存在，求出t 的值．若不存在，请说明理由．18．如图，△ABC是边长是12cm的等边三角形，动点P，Q同时从A，B两点出发，分别沿AB，BC方向匀速移动，其中点P运动的速度是1cm/s，点Q运动的速度是2cm/s，当点Q到达点C时，P、Q两点都停止运动，设运动时间为t（s），解答下列问题：(1)当点Q到达点C时，PQ与AB的位置关系如何?请说明理由．(2)在点P与点Q的运动过程中，△BPQ是否能成为等边三角形?若能，请求出t，若不能，请说明理由．(3)则当t为何值时，△BPQ是直角三角形?2,0，以线段OA为边在第四象限内作等边AOB，点C 19．如图，在平面直角坐标系中，点A的坐标为()OC>，连接BC，以线段BC为边在第四象限内作等边CBD，连接DA．为x轴正半轴上一动点()2(1)求证：OBC ABD≌；(2)是否存在点C，使得ACD△为直角三角形．若存在，请求出点C的坐标；若不存在，请说明理由；(3)是否存在点C，使得ACD△为等腰三角形．若存在，请求出AC的长；若不存在，请说明理由．B-(0,4)点4(6,)A -．(1)如图1，动点P 从点B 出发，以每秒2个单位长度的速度沿BA 方向运动，同时动点Q 从点O 出发，以每秒3个单位长度的速度沿y 轴向上运动，当点P 运动到点A 时，P 、Q 同时停止运动，设点P 运动时间为t 秒．用含t 的式子表示P ，Q 两点的坐标．(2)如图2，点D 为线段OA （端点除外）上某一点，当点D 在线段上运动时，过点D 作直线EF 交x 轴正半轴于E ，交直线AB 于F ，,EOD AFD ∠∠的平分线相交于点N ，若ODF α∠=，请用含α的式子表示ONF ∠的大小，并说明理由．答案1． (2)AB ＝CD +CE 2．(1)103t =(2)t ＝2或53．(2)AC+CD ＝CE ，4．(1)80°5．(1)；△△EDF =△A ， (2)DE BA ∥，6． (3)BG =AE +EG ，7．(1)2cm (2)3 (3)2或48．(1)(0,2)A ，(3,2)B (2)65t =，点0,54P ⎛⎫ ⎪⎝⎭，12,05Q ⎛⎫ ⎪⎝⎭ (3)△E ＝45°9．(1)（−3，0）；（2，0）(2)△DQP ＋△QPO ＋△BOP ＝360°； (3)（0，163）或（0，−43）或（−8，0）或（2，0）10．(1)60°；(2)△DPC =△ADP +△PCB(3)△PCB =△DPC +△ADP ；或△ADP =△DPC +△PCB11．(1)130︒；(2)1270α∠+∠=︒+∠； (3)1270α∠-∠=︒+∠； (4)12430α∠+∠=︒-∠，12．(1)△平分，；△36°(2)当点P 在点E 的右侧时，2APC AFC ∠=∠；当点P 、点E 在点A 的左侧，点F 在点A 的右侧时，2180AFC APC ∠+∠=︒；当点P 、点E 、点F 均在点A 的左侧时， 2180AFC APC ∠-∠=︒．13． (2)4(3)△BHD =2△EBI 或△EBI =90°-12△BHD14．(1)OP =1；(3)不变，9415．(1)130(3)2360AMN ABC BAC ∠=∠-∠+︒或2AMN BAC ABC ∠=∠-∠16．(1)平行，(2)存在，1902BAE MCD ∠+∠=︒(3)BAC PQC QPC ∠=∠+∠17．(1)43t = (2)当1t =时，△BPD △△CQP18．(1)PQ 与AB 垂直，(2)能，当4s t =时，△BPQ 是等边三角形(3) 2.4s t =或6s t =，△BPQ 是直角三角形19． (2)C （4,0）(3)不存在，20．(1)P （2t ，-4），Q （0，3t ）； (2)12ONF α∠=，。

一、填空题（每空2分，共10分）1. 已知等腰三角形ABC中，AB=AC，∠BAC=50°，则∠B=________°，∠C=________°。

2. 在直角坐标系中，点P（2，3）关于y轴的对称点为P'，则点P'的坐标为________。

3. 若等差数列{an}的首项为2，公差为3，则第10项an=________。

4. 在梯形ABCD中，AD∥BC，AB=CD，若∠A=50°，则∠C=________°。

5. 若方程x^2-5x+6=0的解为x1和x2，则x1+x2=________。

二、选择题（每题3分，共15分）1. 下列各数中，有理数是（）A. √3B. πC. 0.1010010001…D. -2/32. 在△ABC中，若∠A=30°，∠B=75°，则△ABC是（）A. 直角三角形B. 锐角三角形C. 钝角三角形D. 等腰三角形3. 若x^2-4x+3=0的解为x1和x2，则x1•x2=（）A. 3B. -3C. 4D. -44. 下列函数中，为一次函数的是（）A. y=2x^2+3B. y=3x-2C. y=√xD. y=2/x5. 若等差数列{an}的首项为5，公差为-2，则第10项an=（）A. -13B. -15C. -17D. -19三、解答题（每题10分，共30分）1. 已知等腰三角形ABC中，AB=AC，∠BAC=40°，求∠B和∠C的大小。

2. 在直角坐标系中，点P（-3，4）关于x轴的对称点为P'，求点P'的坐标。

3. 若等差数列{an}的首项为-3，公差为2，求第10项an。

四、应用题（20分）1. 甲、乙两地相距120千米，一辆汽车从甲地开往乙地，速度为60千米/小时；另一辆汽车从乙地开往甲地，速度为80千米/小时。

求两车相遇的时间。

2. 某班级有男生30人，女生40人，求该班级男生与女生人数的比例。

人教版八年级数学上学期期末压轴精选30题考试范围：全册的内容，共30小题. 八年级期中）ABC 中，120，点D9060 90或60 D 90或120【答案】D 【分析】ADC △为直角三角形分两种情况讨论一是当AD BC ⊥时，的度数；二是D 的度数即可．时，AD C ' 为直角三角形，AB AC =120=，30C ∴∠=AD B D AC ''∴∠+∠=综上所述120=︒ 或90故选：D【点睛】本题考查了等腰三角形的性质，三角形外角定义，直角三角形等知识，熟悉掌握有关知识是解题4得到相应的规律，根据规律再进行计算即可．1112x =-+x ，A．6B．7C．8D．9若ABC的三边则ABC．直角三角形．等腰三角形或直角三角形20=，从而可得【详解】解：ABC∆的三边22+-=b c22=，b c是等腰直角三角形．【点睛】本题主要考查等腰直角三角形，非负数性质，解答的关键是对相应的知识的掌握与运用．90C +∠60时，AF ABC S ab =其中正确的个数是（A ．0个B ．1个C ．2个D ．3个证得HBO EBO ≌，得到再证得HAO FAO ≌，得到∴BF 是ABC ∠的角平分线，和EBO 中，EBO ，∴()SAS HBO EBO ≌60BOH BOE ∠=∠=︒在HAO和FAO中，HAO FAOAO AOAOH AOF∠=∠=∠=∠，∴()ASAHAO FAO≌AF AH=，AB BH AH BE=+=故②正确；作OH AC⊥于H，OM∴BAC∠和ABC∠的平分线相交于点O，ABCS=③正确．故选：C【点睛】本题主要考查了三角形内角和定理，三角形外角的性质，三角形全等的性质和判定，正确作出辅助线证得HBO EBO≌，得到重庆市第七中学校八年级阶段练习）都用右边的整式减去左边的整式，所得之差写在这两个整式之间，可以产生一个新整式串：这称为第一次操作；将第一次操作后的整式串按上述方式再做一次操作，以此类推．通过下列实际操作，第二次操作后整式串为：x解：第一次操作后的整式串为：x<，329x∴<，即2∴-，3(9)0x即第二次操作后，当|第三次操作后整式串为第四次操作后整式串为3，个，故③的说法错误，不符合题意；第一次操作后所有整式的和为若ABC的边∆的值，作图后由AOD形一边边长大于另两边之差，小于它们之和，即可得中线长m的取值范围．20）===，DO CO ∠=∠, AO BOAOD BOC【答案】36︒##36度个1A BC 中，个12A A D ；在边2A D ，按此方法继续下去，第n 个等腰三角形的底角度数是1n -在1A BC 中，)202︒÷=1DA ，12802=⨯︒，【答案】②④##④②【详解】∠∴90BAC ︒∠=，AB AC =，∴45B C ∠==︒∠，在BED 和△BED △≌△ED FD =；②正确；BED △≌△Rt ABC 中，=90，AB =45，过点过点C 作CF 垂足是ABD ≌△10=ADE S ，=4CEF S 则=24ABC S ．【答案】①②③【分析】先根据垂直定义和等角的余角相等证得BAD CAF ∠=∠，B ACF ∠=∠，再利用ASA 可判断①正确；再证明ADE AFE △≌△可判断②正确；利用全等三角形的面积相等可判断③正确；根据全等三角形的性质和三角形的三边关系可判断④错误．【详解】解：在Rt ABC 中，=90BAC ∠，=AB AC ，45B ACB ∴∠=∠=，90BAD DAC ∠+∠=，AF AD ⊥，90CAF DAC ∴∠+∠=︒，BAD CAF ∴∠=∠，CF BC ⊥，9045ACF ACB ∴∠=︒-∠=，则B ACF ∠=∠，在ABD △和ACF △中，BAD CAF AB ACB ACF ∠=∠⎧⎪=⎨⎪∠=∠⎩()ABD ACF ASA ∴≌，故①正确；AD AF ∴=，45DAE ∠=，AF AD ⊥，9045FAE DAE DAE ∴∠=-∠==∠，在ADE 和AFE △中，AD AF DAE FAE AE AE =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩()ADE AFE SAS ∴≌，∴=DE EF ，故②正确；∴ADE AFE △≌△，ABD ACF ≌△△，ABD ACF SS ∴=，ADE AFE S S =，BD CF =，DE EF =， ABC ABD ADE AEC SS S S ∴=++ ACF ADE AEC S S S =++ADE AFE CEF S S S ++ADE CEF S S +104⨯+24，故③正确；CEF 中，CF CE +BD CE ∴+故④错误，综上，正确的是故答案为：【点睛】本题考查等腰三角形的性质、全等三角形的判定与性质、三角形的三边关系、等角的余角相等等(1)图2中的阴影部分的边长为___________；，在等腰直角ABC 中，是ABC 内一点，连接CE 交于点(1)如图1，求BFC ∠的度数；证得ABD ACE ≅，得出）设AC 交EG 于点H 45AED ACG ︒==∠，推出2BAD CGD α==∠，则BAD ，得出KAG ∠=∠证得AKG ADG ≅，得出180BKG AKG ︒+∠=，得出，得出GB GK DG ==，推出BDG EDF α=∠=，即可得出结论所示：∴AE AD ⊥，∴BAD CAE∠=∠，在ABD△和ACE△中，AB ACBAD CAEAD AE⎧⎪∠∠⎨⎪⎩＝＝＝，∴(SAS)ABD ACE≅，∴ABD ACF∠=∠，∴AHB FHC∠=∠，∴90BFC BAC︒∠=∠=；（2）设AC交EG于点H，在AB上截取AK AD=，连接KG，如图2所示：∴,90AD AE DAE︒=∠=∴45,AED ACG︒∠==∠∴,AHE GHC∠=∠∴,EAC CGE∠=∠由（1）知：,BAD CAE∠=∠∴,BAD CGD∠=∠设2,BAD a CGD∠==∠∴2,EAC BAD a∠=∠=∴1802,BGD a︒∠=-∴180,BAD BGD︒∠+∠=∴180,ABG ADG︒∠+∠=∴AG平分,BAD∠∴,KAG DAG a∠=∠=在AKG△和ADG△中，,AK ADKAG DAGAG AG=⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩∴(SAS),AKG ADG≅13的解为_____；_____的解为八年级期末）已知，在等边ABC中，(1)如图1，求AFD∠的度数；10AF，求BCD ，从而得到∴ABC 为等边三角形，60C ∠=︒，在ABE 和△中，AB BC ABE BCD BE CD =∠=∠=)SAS ABE △≌△，BAE CBD ∠=∠AFD ∠=∠∴AMB ABM ∠=∠，∴AB AM =，∴AH BD ⊥，∴10MH BH ==，∴51015FM FH HM =+=+=．【点睛】本题考查等边三角形的性质、全等三角形的判定与性质、等腰三角形的性质、含30︒的直角三角形的性质，熟练掌握等边三角形的性质和等腰三角形的性质，证明三角形全等是解题的关键．21．（2022·四川省内江市第二中学八年级期中）阅读材料利用公式法，可以将一些形如()20ax bx c a ++≠的多项式变形为()2a x m n ++的形式，我们把这样的变形方法叫做多项式()20ax bx c a ++≠的配方法，运用多项式的配方法及平方差公式能对一些多项式进行因式分解例如245x x +-2224225x x =++--()()()()()229232351x x x x x =+-=+++-=+- 根据以上材料，解答下列问题．(1)分解因式（利用公式法）：228x x +-；(2)已知ABC 的三边长a ，b ，c ，且满足221012610a b a b +--+=，求ABC 的最大边c 的取值范围．(3)已知2261P x y x =-+-，22413Q x y =++，试比较P ，Q 的大小．【答案】(1)()()42x x +-(2)611c ≤<(3)P Q <【分析】（1）仿照题意进行求解即可；（2）利用完全平方公式将所给式子变形为()()22560a b -+-=进而求出a 、b 的值，再根据三角形三边的关系求解即可；（3）利用作差法求出()()2232P Q x y -=---+，据此即可得到答案．【详解】（1）解：228x x +- 2222118x x =++--()219x =+- ()()1313x x =+++-()()42x x =+-；（2）解：∴221012610a b a b +--+=，∴22221051260a a b b -++-+=，∴()()22560a b -+-=，∴()()225060a b -≥-≥，，∴()()22560a b -=-=，∴5060a b -=-=，，∴56a b ==，，∴b a c a b -<<+，∴111c <<，∴c 是最大边，∴611c ≤<；（3）解：∴2261P x y x =-+-，22413Q x y =++，∴222612413P Q x y x x y -=-+----，226414x x y y =-+---2269441x x y y =-+----- ()()22321x y =---+-， ∴()()223020x y -≥+≥，，∴()()22320x y ---+≤，()()223210x y ---+-< ∴0P Q -<，∴P Q <．【点睛】本题主要考查了因式分解的应用，三角形三边的关系，平方的非负性，熟知完全平方公式是解题的关键．22．（2022·福建·莆田锦江中学八年级期中）如图，AB AD ⊥，且AB AD =，AC AE ⊥，且AC AE =(1)如图1，连接DC 、BE ，求证：DC BE =；(2)如图2，求证：ABC ADE S S ∆∆=(3)如图3，GF 经过A 点与DE 交于G 点，且GF BC ⊥于F 点．求证：G 为DE 的中点．【答案】(1)见解析；(2)见解析；(3)见解析．【分析】（1）根据垂直可得90BAE CAE ==︒∠∠，得出DAC BAE ∠=∠，根据全等三角形的判定证明DAC BAE ≅，可得答案；（2）作EM AD ⊥交DA 的延长线于M ，作CN AB ⊥，进而可得CAN MAE =∠∠，根据全等三角形的判定证明ACN AEM ≅，进而得出CN EM =，根据三角形的面积公式可得；（3）作DM AG ⊥交AG 的延长线于M ，作EN AG ⊥，先证明C NAE =∠∠，再证FCA NAE ≅，得出AF NE =；再证明BAF ADM ≅，得出AF DM =，进而得出DM NE =，再证明DMG ENG ≅，即可得出答案．【详解】（1）∴AB AD ⊥，AC AE ⊥，∴90BAE CAE ==︒∠∠∴BAD BAC BAC CAE +=+∠∠∠∠∴DAC BAE ∠=∠在DAC △和BAE 中，AD AB DAC BAE AC AE =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩∴DAC BAE ≅∴DC BE =（2）作EM AD ⊥交DA 的延长线于M ，作CN AB ⊥∴90EMD CNA ==︒∠∠∴90MAN CAE ==︒∠∠∴MAN CAM CAE CAM -=-∠∠∠∠∴CAN MAE =∠∠在ACN △和AEM △中，∴ACN AEM ≅CN EM =AB AD =，1122AB CN AD ⨯⨯=⨯ABC ADE S S ∆∆=（3）作DM AG ⊥交AG 的延长线于M ，作EN AG ⊥在CAF 和NEA 中，90CFA ENA C NAE AC AE ∠=∠=︒∠=∠=∴FCA NAE ≅∴AF NE =BAF B BAF +=∠∠∠B DAM ∠=∠在BAF △和ADM △90BFA DMA B DAM ∠=∠=⎧⎪∠=∠⎨∴BAF ADM ≅AF DM =DM NE =在DMG 和ENG △中，DMG ENG DGM NGE DM NE ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩∴DMG ENG ≅∴DG EG =∴G 为DE 的中点．【点睛】本题考查全等三角形的判定与性质，直角三角形的两个锐角互余，正确作辅助线证明三角形全等是解题的关键．23．（2022·山东淄博·八年级期中）阅读下列材料：常用的分解因式方法有提公因式、公式法等．但有的多项式只用上述方法就无法分解，如22424x y x y -+-，细心观察这个式子会发现前两项符合平方差公式，后两项可提取公因式，分解过程为：22424x y x y -+-()()22424x y x y =-+-分组()()()2222x y x y x y =-++-组内分解因式 ()()222x y x y =-++整体思想提公因式这种分解因式的方法叫分组分解法，利用这种方法解决下列问题：(1)分解因式：22993x x y y -+-；(2)已知ABC 的三边a b c 、、满足220a b ac bc --+=，判断ABC 的形状并说明理由．【答案】(1)()()x y x y -+-333(2)ABC 为等腰三角形；理由见解析【分析】（1）先用平方差公式与提公因式法分组分解，然后根据整体思想提公因式即可；（2）将220a b ac bc --+=通过因式分解化为()()0a b a b c -+-=；由三角形的三边关系可知0a b c +->；所以0a b -=，即a b =，从而得出结论；【详解】（1）解：22993x x y y -+-()()22993x y x y =---()()()3333x y x y x y =-+--()()333x y x y =-+-（2）解：依据分组分解法，得()()220a b ac bc ---=()()()0a b a b c a b -+--=()()0a b a b c -+-=根据三角形三边关系，易得0a b c +->∴0a b -=∴a b =∴ABC 为等腰三角形【点睛】本题考查了因式分解、等腰三角形的判定；熟练掌握因式分解的方法是解题的关键． 24．（2022·浙江·八年级专题练习）(1)阅读理解：如图1，在ABC 中，若10AB =，6AC =．求BC 边上的中线AD 的取值范围．解决此问题可以用如下方法：延长AD 到点E ，使DE AD =，再连接BE (或将ACD 绕着点D 逆时针旋转180︒得到EBD △)，把AB ，AC ，2AD 集中在ABE 中，利用三角形三边的关系即可判断中线AD 的取值范围是______；(2)问题解决：如图2，在ABC 中，D 是BC 边上的中点，DE DF ⊥于点D ，DE 交AB 于点E ，DF 交AC 于点F ，连接EF ，求证：BE CF EF +>；(3)问题拓展：如图3，在四边形ABCD 中，180B D ∠+∠=︒，CB CD =，140BCD ∠=︒，以C 为顶点作一个70︒角，角的两边分别交AB ，AD 于E ，F 两点，连接EF ，探索线段BE ，DF ，EF 之间的数量关系，并加以证明．【答案】(1)28AD <<；(2)见解析；(3)BE DF EF +=，证明见解析【分析】（1）延长AD 至E ，使DE AD =，连接BE ，证明SAS BDE CDA ≌（），根据三角形三边关系即可求解；（2）延长FD 至点M ，使DM DF =，连接BM ，EM ，同（1）得，(SAS)BMD CFD ∆≌，证明(SAS)EDM EDF ≌在BME ∆中，由三角形的三边关系得BE BM EM +>，即可得证；（3）延长AB 至点N ，使BN DF =，连接CN ，证明(SAS)NBC FDC ≌，(SAS)NCE FCE ≌，根据求的三角形的性质即可得证．【详解】（1）解：延长AD 至E ，使DE AD =，连接BE ，如图①所示：∴AD 是BC 边上的中线，∴BD CD =，在BDE △和CDA 中，BD CD BDE CDA DE AD =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩∴SAS BDE CDA ≌（）， ∴6BE AC ==，在ABE 中，由三角形的三边关系得：AB BE AE AB BE -<<+，∴106106AE -<<+，即416AE <<，∴28AD <<；故答案为：28AD <<；（2）证明：延长FD 至点M ，使DM DF =，连接BM ，EM ，如图所示同（1）得，(SAS)BMD CFD ∆≌，BM CF ∴=DE DF ⊥，DM DF =，DE DE =(SAS)EDM EDF ∴≌，EM EF ∴=在BME ∆中，由三角形的三边关系得BE BM EM +>，BE CF EF ∴+>（3）BE DF EF +=证明如下：延长AB 至点N ，使BN DF =，连接CN ，如图所示180ABC D ∠+∠=︒，180NBC ABC ∠+∠=︒NBC D ∴∠=∠在NBC 和FDC △中，BN DF NBC D BC DC =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，(SAS)NBC FDC ∴≌CN CF ∴=，NCB FCD ∠=∠140BCD ∠=︒，70ECF ∠=︒70BCE FCD ∴∠+∠=︒，70ECN ECF ∴∠=︒=∠(SAS)NCE FCE∴≌EN EF∴=．BE BN EN+=，BE DF EF∴+=【点睛】本题考查全等三角形的判定及性质、三角形三边关系、角的和差等，解答此题的关键是作出辅助对于任意2x与一个分式51x的和的形式．拆分成一个整式与一个分式（分子为整数）的和的形式；的值为整数，直接写出满足条件的整数对于任意整数（1）（2）证明：90ABC =QEA =∠=BAP APB ∠+∠中，证明：ΔPAB ≅，ACB ∆为等腰三角形，AB CB ∴=，QE CB ∴=，在ΔQEM CBM ∆中，QME QEM QE CB ∠=⎧⎪∠=⎨⎪=⎩QA AP ⊥，HA AC ⊥，AP PD ⊥，QAH ∴∠QAH ∴∠PAQ ∆为等腰直角三角形，AQ AP ∴=在AQH ∆和AQH AQ APQAH ∠⎧⎪=⎨⎪∠⎩HA AC ⊥HAF ∴∠在AHF ∆AH AD HAF AF AF =⎧⎪∠=⎨⎪=⎩ΔAHF ∴≌m n 的正方形．(1)请用两种不同的方法求图2中阴影部分的面积．【点睛】本题主要考查完全平方差公式和完全平方和公式的联系，会用代数式表示图形面积是解决问题的关键；两数的完全平方和比它们的完全平方差多了两数积的4倍，该结论经常用到．28．（2022·广东·江门市新会尚雅学校八年级阶段练习）（1）如图1，已知，在ABC 中，10AB AC ==，BD 平分ABC ∠，CD 平分ACB ∠，过点D 作EF BC ∥，分别交AB 、AC 于E 、F 两点，则图中共有________个等腰三角形：EF 与BE 、CF 之间的数量关系是________，AEF △的周长是________．（2）如图2，若将（1）中“ABC 中，10AB AC ==”改为“若ABC 为不等边三角形，8AB =，10AC =”其余条件不变，则图中共有________个等腰三角形；EF 与BE 、CF 之间的数量关系是什么？证明你的结论，并求出AEF △的周长．（3）已知：如图3，D 在ABC 外，AB AC >，且BD 平分ABC ∠，CD 平分ABC 的外角ACG ∠，过点D 作DE BC ∥，分别交AB 、AC 于E 、F 两点，则EF 与BE 、CF 之间又有何数量关系呢？写出结论并证明．【答案】（1）5，EF BE CF =+，20（2）2，EF BE CF =+，证明见详解，18（3）EF BE CF =-，证明见详解【分析】（1）根据角平分线的定义可得,EBD CBD FCD BCD ∠=∠∠=∠，再根据平行线的性质，“两直线平行，同位角相等”、“两直线平行，内错角相等”可知DB DC =,AEF ABC AFE ACB ∠=∠∠=∠，,EDB CBD FDC BCD ∠=∠∠=∠，即可求出AEF AFE ∠=∠，,EBD EDB FDC FCD ∠=∠∠=∠，根据“等角对等边”可知,,BE DE CF DF AE AF ===，即可确定等腰三角形的数量，EF 与BE 、CF 之间的数量关系以及AEF △的周长；（2）若ABC 为不等边三角形，根据角平分线的定义可知,EBD CBD FCD BCD ∠=∠∠=∠，再结合平线性的性质“两直线平行，内错角相等”可知,EDB CBD FDC BCD ∠=∠∠=∠，即可推导,EBD EDB FDC FCD ∠=∠∠=∠，然后根据“等角对等边”即可证明,BE DE CF DF ==，然后解答即可；（3）根据角平分线的定义可知,EBD CBD FCD GCD ∠=∠∠=∠，再结合平线性的性质“两直线平行，内错角相等”可知,EDB CBD FDC GCD ∠=∠∠=∠，即可推导,EBD EDB FDC FCD ∠=∠∠=∠，然后根据“等角对等边”即可证明,BE DE CF DF ==，即可证明EF 与BE 、CF 之间的数量关系．【详解】解：（1）∴AB AC =，∴A ABC CB =∠∠，∴BD 平分ABC ∠，CD 平分ACB ∠，∴,EBD CBD FCD BCD ∠=∠∠=∠，∴DBC DCB ∠=∠，∴DB DC =，∴EF BC ∥，∴,AEF ABC AFE ACB ∠=∠∠=∠，,EDB CBD FDC BCD ∠=∠∠=∠，∴AEF AFE ∠=∠，,EBD EDB FDC FCD ∠=∠∠=∠，∴,,BE DE CF DF AE AF ===，∴等腰三角形有,,,,ABC AEF DEB DFC DBC ，共计5个，∴EF DE DF BE CF =+=+，即EF BE CF =+，∴AEF △的周长AE EF AF =++AE DE DF AF =+++AE BE CF AF =+++AB AC =+1010=+20=，故答案为：5，EF BE CF =+，20；（2）若ABC 为不等边三角形，∴BD 平分ABC ∠，CD 平分ACB ∠，∴,EBD CBD FCD BCD ∠=∠∠=∠，∴EF BC ∥，∴,EDB CBD FDC BCD ∠=∠∠=∠，∴,EBD EDB FDC FCD ∠=∠∠=∠，∴,BE DE CF DF ==，∴等腰三角形有,DEB DFC ，共计2个，故答案为：2；∴,BE DE CF DF ==，∴EF DE DF BE CF =+=+，即EF BE CF =+；∴AEF △的周长AE EF AF =++AE DE DF AF =+++AE BE CF AF =+++AB AC =+810=+18=；（3）EF 与BE 、CF 之间的数量关系为：EF BE CF =-，证明：∴BD 平分ABC ∠，CD 平分ACG ∠，∴,EBD CBD FCD GCD ∠=∠∠=∠，∴EF BC ∥，∴,EDB CBD FDC GCD ∠=∠∠=∠，∴,EBD EDB FDC FCD ∠=∠∠=∠，∴,BE DE CF DF ==，∴EF DE DF BE CF =-=-，即EF 与BE 、CF 之间的数量关系为EF BE CF =-．【点睛】本题主要考查了等腰三角形的判定与性质、平行线的性质、角平分线的定义等知识，熟练掌握等腰三角形的判定与性质是解题关键．29．（2022·重庆市第一一〇中学校九年级开学考试）“数形结合百般好”．在代数式的学习过程中我们可以结合图形理解相关公式的产生，如图1所示的正方形，我们可以利用两种不同的方法计算它的面积，从而得到完全平方公式：()222+2a b a ab b +=+．请结合以上知识，解答下列问题：(1)写出图2所示的长方形所表示的数学等式 ；(2)根据图3得到的结论，解决下列问题：若8a b c ++=，19ab ac bc ++=，求代数式222a b c ++的值；(3)小明同学用图4中x 张边长为a 的正方形纸片，y 张边长为b 的正方形纸片，z 张边长分别为a ，b 的长方形纸片拼出一个面积为()()2365a b a b ++的长方形，求代数式x y z ++的值．【答案】(1)()()22232a b a b a ab b ++=++(2)26(3)55【分析】（1）根据表示图形面积的两种方法即可得到答案；（2）由题意得到大正方形的面积＝()2a b c ++，各个小图形面积之和＝222222a b c ab ac bc +++++，利用面积相等和已知条件即可求解；（3）大长方形的面积为()()222365122815a b a b a ab b ++=++，小图形的面积分别为22,,a b ab ，进一步即可得到答案． 【详解】（1）拼成的大长方形面积之和()()2a b a b =++，各个小图形面积之和2232a ab b =++，∴图2所表示的数学等式是()()22232a b a b a ab b ++=++．故答案为：()()22232a b a b a ab b ++=++．（2）图（3）中大正方形的面积＝()2a b c ++，各个小图形面积之和＝222222a b c ab ac bc +++++，∴()2222222a b c a b c ab ac bc ++=+++++．∴8a b c ++=，19ab ac bc ++=．∴()222222228a b c a b c ab ac bc ++=+++++=，即()222264a b c ab ac bc +++++=，∴()2226426421926a b c ab ac bc ++=-++=-⨯=．（3）大长方形的面积为：()()2222236512101815122815a b a b a ab ab b a ab b ++=+++=++， ∴小图形的面积分别为22,,a b ab ，∴12,15,28x y z ===．∴12152855x y z ++=++=．【点睛】本题考查多项式乘多项式的计算，整体代入思想，数形结合思想，能够通过几何图形找到代数之间的等量关系是解决此类题型的关键．30．（2022·全国·八年级专题练习）认真阅读下面关于三角形内外角平分线所夹角的探究片段，完成所提出的问题．(1)探究1：如图1，在ABC 中，O 是ABC ∠与ACB ∠的平分线BO 和CO 的交点，试分析BOC ∠与A ∠有怎样的关系？请说明理由．(2)探究2：如图2中，O 是ABC ∠与外角ACD ∠的平分线BO 和CO 的交点，试分析BOC ∠与A ∠有怎样的关系？请说明理由．(3)探究3：如图3中，O 是外角DBC ∠与外角ECB ∠的平分线BO 和CO 的交点，则BOC ∠与A ∠有怎样的关系？（直接写出结论）∴BO 和CO 分别是ABC ∠和ACD ∠的角平分线，是ABC 的一个外角，(12ACD A =∠是BOC 的一个外角，1212BOC =∠-∠=∠12BOC A =∠； ）解：∴O 是外角1OBC CBD =∠在BOC 中，180BOC =(11802-∠︒(11801802︒-1在BOC 中，5）解：∴BCD CDE ∠+∠CP DP ,分别平分PCD PDC ∠+∠在PCD 中，()()1801801808595CPD PCD PDC PCD PDC ︒︒︒︒︒∠=-∠+∠=-∠+∠=-=．【点睛】本题主要考查了三角形外角的性质与三角形内角和定理，多边形内角和定理，熟练掌握三角形外角的性质与三角形内角和定理，多边形内角和定理，利用类比思想解答是解题的关键．。

苏教版八年级数学上册 压轴题 期末复习试卷（Word 版 含解析）一、压轴题1．如图1所示，直线:5L y mx m =+与x 轴负半轴，y 轴正半轴分别交于A 、B 两点．（1）当OA OB =时，求点A 坐标及直线L 的解析式．（2）在（1）的条件下，如图2所示，设Q 为AB 延长线上一点，作直线OQ ，过A 、B 两点分别作AM OQ ⊥于M ，BN OQ ⊥于N ，若17AM =，求BN 的长． （3）当m 取不同的值时，点B 在y 轴正半轴上运动，分别以OB 、AB 为边，点B 为直角顶点在第一、二象限内作等腰直角OBF ∆和等腰直角ABE ∆，连接EF 交y 轴于P 点，如图3.问：当点B 在y 轴正半轴上运动时，试猜想PB 的长是否为定值？若是，请求出其值；若不是，说明理由．2．（1）探索发现：如图1，已知Rt △ABC 中，∠ACB ＝90°，AC ＝BC ，直线l 过点C ，过点A 作AD ⊥l ，过点B 作BE ⊥l ，垂足分别为D 、E ．求证：AD ＝CE ，CD ＝BE ．（2）迁移应用：如图2，将一块等腰直角的三角板MON 放在平面直角坐标系内，三角板的一个锐角的顶点与坐标原点O 重合，另两个顶点均落在第一象限内，已知点M 的坐标为（1，3），求点N 的坐标．（3）拓展应用：如图3，在平面直角坐标系内，已知直线y ＝﹣3x+3与y 轴交于点P ，与x 轴交于点Q ，将直线PQ 绕P 点沿逆时针方向旋转45°后，所得的直线交x 轴于点R ．求点R 的坐标．3．已知ABC 是等腰直角三角形，∠C=90°，点M 是AC 的中点，延长BM 至点D ，使DM ＝BM ，连接AD ．（1）如图①，求证：DAM ≌BCM ；（2）已知点N 是BC 的中点，连接AN ．①如图②，求证：ACN≌BCM；②如图③，延长NA至点E，使AE＝NA，连接，求证：BD⊥DE．4．如图，已知等腰△ABC 中，AB=AC，∠A＜90°，CD 是△ABC 的高，BE 是△ABC 的角平分线，CD 与BE 交于点P．当∠A 的大小变化时，△EPC 的形状也随之改变．（1）当∠A=44°时，求∠BPD 的度数；（2）设∠A=x°，∠EPC=y°，求变量y 与x 的关系式；（3）当△EPC 是等腰三角形时，请直接写出∠A 的度数．5．如图1．在△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC=10，直线DE经过点C，过点A，B分别作AD⊥DE，BE⊥DE，垂足分别为点D和E，AD=8，BE=6．（1）①求证：△ADC≌△CEB；②求DE的长；（2）如图2，点M以3个单位长度/秒的速度从点C出发沿着边CA运动，到终点A，点N 以8个单位长度/秒的速度从点B出发沿着线BC—CA运动，到终点A．M，N两点同时出发，运动时间为t秒(t＞0)，当点N到达终点时，两点同时停止运动，过点M作PM⊥DE 于点P，过点N作QN⊥DE于点Q；①当点N在线段CA上时，用含有t的代数式表示线段CN的长度；②当t为何值时，点M与点N重合；③当△PCM与△QCN全等时，则t=．6．已知三角形ABC 中，∠ACB ＝90°，点D （0，－4），M （4，－4）．（1）如图1，若点C 与点O 重合，A （－2，2）、B （4，4），求△ABC 的面积；（2）如图2，AC 经过坐标原点O ，点C 在第三象限且点C 在直线DM 与x 轴之间，AB 分别与x 轴，直线DM 交于点G ，F ，BC 交DM 于点E ，若∠AOG ＝55°，求∠CEF 的度数；（3）如图3，AC 经过坐标原点O ，点C 在第三象限且点C 在直线DM 与x 轴之间，N 为AC 上一点，AB 分别与x 轴，直线DM 交于点G ，F ，BC 交DM 于点E ，∠NEC+∠CEF ＝180°，求证∠NEF ＝2∠AOG ．7．已知：ABC 中，过B 点作BE ⊥AD ，=90=，∠︒ACB AC BC ．(1)如图1，点D 在BC 的延长线上，连AD ，作BE AD ⊥于E ，交AC 于点F ．求证：=AD BF ；(2)如图2，点D 在线段BC 上，连AD ，过A 作AE AD ⊥，且=AE AD ，连BE 交AC 于F ，连DE ，问BD 与CF 有何数量关系，并加以证明；(3)如图3，点D 在CB 延长线上，=AE AD 且AE AD ⊥，连接BE 、AC 的延长线交BE 于点M ，若=3AC MC ，请直接写出DB BC的值．8．如图，以直角△AOC 的直角顶点O 为原点，以OC ，OA 所在直线为x 轴和y 轴建立平面直角坐标系，点A （0，a ），C （b ，0）满足280a b b -++-=．（1）点A 的坐标为________；点C 的坐标为________．（2）已知坐标轴上有两动点P ，Q 同时出发，P 点从C 点出发沿x 轴负方向以每秒2个单位长度的速度匀速移动，Q 点从O 点出发沿y 轴正方向以每秒1个单位长度的速度匀速移动，点P 到达O 点整个运动随之结束．AC 的中点D 的坐标是（4，3），设运动时间为t 秒．问：是否存在这样的t ，使得△ODP 与△ODQ 的面积相等？若存在，请求出t 的值；若不存在，请说明理由．（3）在（2）的条件下，若∠DOC=∠DCO ，点G 是第二象限中一点，并且y 轴平分∠GOD ．点E 是线段OA 上一动点，连接接CE 交OD 于点H ，当点E 在线段OA 上运动的过程中，探究∠GOA ，∠OHC ，∠ACE 之间的数量关系，并证明你的结论（三角形的内角和为180°可以直接使用）．9．如图1，在△ABC 中，AB ＝AC ，∠BAC ＝90°，D 为AC 边上一动点，且不与点A 点C 重合，连接BD 并延长，在BD 延长线上取一点E ，使AE ＝AB ，连接CE ．（1）若∠AED ＝20°，则∠DEC ＝ 度；（2）若∠AED ＝a ，试探索∠AED 与∠AEC 有怎样的数量关系？并证明你的猜想； （3）如图2，过点A 作AF ⊥BE 于点F ，AF 的延长线与EC 的延长线交于点H ，求证：EH 2+CH 2＝2AE 2．10．如图，已知直线l 1：y 1＝2x +1与坐标轴交于A 、C 两点，直线l 2：y 2＝﹣x ﹣2与坐标轴交于B 、D 两点，两直线的交点为P 点．(1)求P 点的坐标；(2)求△APB 的面积；(3)x 轴上存在点T ，使得S △ATP ＝S △APB ，求出此时点T 的坐标．11．在ABC 中，AB AC =，D 是直线AB 上一点，E 在直线BC 上，且DE DC =． （1）如图1，当D 在AB 上，E 在CB 延长线上时，求证：EDB ACD ∠=∠；（2）如图2，当ABC 为等边三角形时，D 是BA 的延长线上一点，E 在BC 上时，作//EF AC ，求证：BE AD =；（3）在（2）的条件下，ABC ∠的平分线BF 交CD 于点F ，连AF ，过A 点作AH CD ⊥于点H ，当30EDC ∠=︒，6CF =时，求DH 的长度．12．已知，在平面直角坐标系中，(42,0)A ，(0,42)B ，C 为AB 的中点，P 是线段AB 上一动点，D 是线段OA 上一点，且PO PD =，DE AB ⊥于E ．（1）求OAB ∠的度数；（2）当点P 运动时，PE 的值是否变化？若变化，说明理由；若不变，请求PE 的值． （3）若45OPD ∠=︒，求点D 的坐标．【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除一、压轴题1．（1）5y x =+；（2）223）PB 的长为定值52 【解析】【分析】（1）先求出A 、B 两点坐标，求出OA 与OB ，由OA= OB ，求出m 即可；（2）用勾股定理求AB ，再证AMO OBN ∆≅∆，BN=OM ，由勾股定理求OM 即可； （3）先确定答案定值，如图引辅助线EG ⊥y 轴于G ，先证AOB EBG ∆≅∆，求BG 再证BFP GEP ∆≅∆，可确定BP 的定值即可．【详解】（1）对于直线:5L y mx m =+．当0y =时，5x =-．当0x =时，5y m =．()5,0A ∴-，()0,5B m ．OA OB =．55m ∴=．解得1m =．∴直线L 的解析式为5y x =+．（2）5OA =，17AM =．∴由勾股定理，2222OM OA AM =-=．180AOM AOB BON ∠+∠+∠=︒．90AOB ∠=︒．90AOM BON ∴∠+∠=︒．90AOM OAM ∠+∠=︒．BON OAM ∴∠=∠．在AMO ∆与OBN ∆中，90BON OAM AMO BNO OA OB ∠=∠⎧⎪∠=∠=︒⎨⎪=⎩．()AMO OBN AAS ∴∆≅∆．22BN OM ∴==．．（3）如图所示：过点E 作EG y ⊥轴于G 点．AEB ∆为等腰直角三角形，AB EB ∴=90ABO EBG ∠+∠=︒．EG BG ⊥，90GEB EBG ∴∠+∠=︒．ABO GEB ∴∠=∠．AOB EBG ∴∆≅∆．5BG AO ∴==，OB EG =OBF ∆为等腰直角三角形，OB BF ∴=BF EG ∴=．BFP GEP ∴∆≅∆．1522BP GP BG ∴===． 【点睛】本题考查求解析式，线段的长，判断定值问题，关键是掌握求坐标，利用条件OA= OB ，求OM ，用勾股定理求AB ，再证AMO OBN ∆≅∆，构造 AOB EBG ∆≅∆，求BG ，再证BFP GEP ∆≅∆．2．（1）见解析（2）（4，2）（3）（6，0）【解析】【分析】（1）先判断出∠ACB=∠ADC ，再判断出∠CAD=∠BCE ，进而判断出△ACD ≌△CBE ，即可得出结论；（2）先判断出MF=NG ，OF=MG ，进而得出MF=1，OF=3，即可求出FG=MF+MG=1+3=4，即可得出结论；（3）先求出OP=3，由y=0得x=1，进而得出Q （1，0），OQ=1，再判断出PQ=SQ ，即可判断出OH=4，SH=0Q=1，进而求出直线PR 的解析式，即可得出结论.【详解】证明：∵∠ACB ＝90°，AD ⊥l∴∠ACB ＝∠ADC∵∠ACE ＝∠ADC+∠CAD ，∠ACE ＝∠ACB+∠BCE∴∠CAD ＝∠BCE ，∵∠ADC ＝∠CEB ＝90°，AC ＝BC∴△ACD ≌△CBE ，∴AD ＝CE ，CD ＝BE ，（2）解：如图2，过点M 作MF ⊥y 轴，垂足为F ，过点N 作NG ⊥MF ，交FM 的延长线于G ，由已知得OM ＝ON ，且∠OMN ＝90°∴由（1）得MF ＝NG ，OF ＝MG ，∵M （1，3）∴MF ＝1，OF ＝3∴MG ＝3，NG ＝1∴FG ＝MF+MG ＝1+3＝4，∴OF﹣NG＝3﹣1＝2，∴点N的坐标为（4，2），（3）如图3，过点Q作QS⊥PQ，交PR于S，过点S作SH⊥x轴于H，对于直线y＝﹣3x+3，由x＝0得y＝3∴P（0，3），∴OP＝3由y＝0得x＝1，∴Q（1，0），OQ＝1，∵∠QPR＝45°∴∠PSQ＝45°＝∠QPS∴PQ＝SQ∴由（1）得SH＝OQ，QH＝OP∴OH＝OQ+QH＝OQ+OP＝3+1＝4，SH＝OQ＝1∴S（4，1），设直线PR为y＝kx+b，则341bk b=⎧⎨+=⎩，解得1k2b3⎧=-⎪⎨⎪=⎩∴直线PR为y＝﹣12x+3由y＝0得，x＝6∴R（6，0）．【点睛】本题是一次函数综合题，主要考查了待定系数法，全等三角形的判定和性质，构造出全等三角形是解本题的关键.3．（1）见解析；（2）①见解析；②见解析【解析】【分析】（1）由点M是AC中点知AM=CM，结合∠AMD=∠CMB和DM=BM即可得证；（2）①由点M，N分别是AC，BC的中点及AC=BC可得CM=CN，结合∠C=∠C和BC=AC 即可得证；②取AD中点F，连接EF，先证△EAF≌△ANC得∠NAC=∠AEF，∠C=∠AFE=90°，据此知∠AFE=∠DFE=90°，再证△AFE≌△DFE得∠EAD=∠EDA=∠ANC，从而由∠EDB=∠EDA+∠ADB=∠EAD+∠NAC=180°-∠DAM即可得证．【详解】解：（1）∵点M是AC中点，∴AM=CM，在△DAM和△BCM中，∵AM CMAMD CMBDM BM=⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∴△DAM≌△BCM（SAS）；（2）①∵点M是AC中点，点N是BC中点，∴CM=12AC，CN=12BC，∵△ABC是等腰直角三角形，∴AC=BC，∴CM=CN，在△BCM和△ACN中，∵CM CNC CBC AC=⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∴△BCM≌△ACN（SAS）；②证明：取AD中点F，连接EF，则AD=2AF，∵△BCM≌△ACN，∴AN=BM，∠CBM=∠CAN，∵△DAM≌△BCM，∴∠CBM=∠ADM，AD=BC=2CN，∴AF=CN，∴∠DAC=∠C=90°，∠ADM=∠CBM=∠NAC，由（1）知，△DAM≌△BCM，∴∠DBC=∠ADB，∴AD∥BC，∴∠EAF=∠ANC，在△EAF和△ANC中，AE AN EAF ANC AF NC =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∴△EAF ≌△ANC （SAS ），∴∠NAC=∠AEF ，∠C=∠AFE=90°，∴∠AFE=∠DFE=90°，∵F 为AD 中点，∴AF=DF ，在△AFE 和△DFE 中，AF DF AFE DFE EF EF =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∴△AFE ≌△DFE （SAS ），∴∠EAD=∠EDA=∠ANC ，∴∠EDB=∠EDA+∠ADB=∠EAD+∠NAC=180°-∠DAM=180°-90°=90°，∴BD ⊥DE ．【点睛】本题是三角形的综合问题，解题的关键是掌握中点的性质、等腰直角三角形的性质、全等三角形的判定与性质等知识点．4．（1）56°；（2）y=454x +；（3）36°或1807°. 【解析】【分析】（1）根据等边对等角求出等腰△ABC 的底角度数，再根据角平分线的定义得到∠ABE 的度数，再根据高的定义得到∠BDC=90°，从而可得∠BPD ；（2）按照（1）中计算过程，即可得到∠A 与∠EPC 的关系，即可得到结果；（3）分①若EP=EC ，②若PC=PE ，③若CP=CE ，三种情况，利用∠ABC+∠BCD=90°，以及y=454x +解出x 即可. 【详解】 解：（1）∵AB=AC ，∠A=44°，∴∠ABC=∠ACB=（180-44）÷2=68°，∵CD ⊥AB ，∴∠BDC=90°，∵BE 平分∠ABC ，∴∠ABE=∠CBE=34°，∴∠BPD =90-34=56°；（2）∵∠A =x °，∴∠ABC=（180°-x°）÷2=（902x -）°， 由（1）可得：∠ABP=12∠ABC=（454x -）°，∠BDC=90°， ∴∠EPC =y °=∠BPD=90°-（454x -）°=（454x +）°， 即y 与 x 的关系式为y=454x +； （3）①若EP=EC ，则∠ECP=∠EPC=y ， 而∠ABC=∠ACB=902x -，∠ABC+∠BCD=90°， 则有：902x -+（902x --y ）=90°，又y=454x +， ∴902x -+902x --（454x +）=90°， 解得：x=36°；②若PC=PE ，则∠PCE=∠PEC=（180-y ）÷2=902y -， 由①得：∠ABC+∠BCD=90°， ∴902x -+[902x --（902y -）]=90，又y=454x +， 解得：x=1807°； ③若CP=CE ， 则∠EPC=∠PEC=y ，∠PCE=180-2y ，由①得：∠ABC+∠BCD=90°， ∴902x -+902x --（180-2y ）=90，又y=454x +， 解得：x=0，不符合， 综上：当△EPC 是等腰三角形时，∠A 的度数为36°或1807°. 【点睛】本题考查了等腰三角形的性质，二元一次方程组的应用，高与角平分线的定义，有一定难度，关键是找到角之间的等量关系.5．（1）①证明见解析；②DE =14；（2）①8t －10；②t =2；③t =10,211【解析】【分析】（1）①先证明∠DAC＝∠ECB，由AAS即可得出△ADC≌△CEB；②由全等三角形的性质得出AD＝CE＝8，CD＝BE＝6，即可得出DE＝CD＋CE＝14；（2）①当点N在线段CA上时，根据CN＝CN−BC即可得出答案；②点M与点N重合时，CM＝CN，即3t＝8t−10，解得t＝2即可；③分两种情况：当点N在线段BC上时，△PCM≌△QNC，则CM＝CN，得3t＝10−8t，解得t＝1011；当点N在线段CA上时，△PCM≌△QCN，则3t＝8t−10，解得t＝2；即可得出答案．【详解】（1）①证明：∵AD⊥DE，BE⊥DE，∴∠ADC＝∠CEB＝90°，∵∠ACB＝90°，∴∠DAC＋∠DCA＝∠DCA＋∠BCE＝90°，∴∠DAC＝∠ECB，在△ADC和△CEB中ADC CEBDAC ECBAC CB∠∠∠∠⎧⎪⎨⎪⎩＝＝＝，∴△ADC≌△CEB（AAS）；②由①得：△ADC≌△CEB，∴AD＝CE＝8，CD＝BE＝6，∴DE＝CD＋CE＝6＋8＝14；（2）解：①当点N在线段CA上时，如图3所示：CN＝CN−BC＝8t−10；②点M与点N重合时，CM＝CN，即3t＝8t−10，解得：t＝2，∴当t为2秒时，点M与点N重合；③分两种情况：当点N在线段BC上时，△PCM≌△QNC，∴CM＝CN，∴3t＝10−8t，解得：t＝10 11；当点N在线段CA上时，△PCM≌△QCN，点M与N重合，CM＝CN，则3t＝8t−10，解得：t＝2；综上所述，当△PCM与△QCN全等时，则t等于1011s或2s，故答案为：1011s或2s．【点睛】本题是三角形综合题目，考查了全等三角形的判定与性质、等腰直角三角形的性质、直角三角形的性质、分类讨论等知识；本题综合性强，熟练掌握全等三角形的判定与性质是解题的关键．6．（1）8;（2）145°;（3）详见解析．【解析】【分析】（1）作AD⊥ x轴于D,BE⊥x轴于E,由点A,B的坐标可得出AD=OD=2,BE=EO=4,DE=6,由面积公式可求出答案;（2）作CH∥x轴,如图2,由平行线的性质可得出∠AOG=∠ACH,∠DEC=∠HCE,求出∠DEC+∠AOG=∠ACB=90°,可求出∠DEC=35°,则可得出答案;（3）证得∠NEC=∠HEC,则∠NEF=180°-∠NEH=180°-2∠HEC,可得出结论．【详解】解：（1）作AD⊥x轴于D,BE⊥x轴于E,如图1,∵A（﹣2,2）、B（4,4）,∴AD＝OD＝2,BE＝OE＝4,DE＝6,∴S△ABC＝S梯形ABED﹣S△AOD﹣S△AOE＝12×（2+4）×6﹣12×2×2﹣12×4×4＝8;（2）作CH // x轴,如图2,∵D （0,﹣4）,M （4,﹣4）,∴DM // x 轴,∴CH // OG // DM,∴∠AOG ＝∠ACH,∠DEC ＝∠HCE,∴∠DEC+∠AOG ＝∠ACB ＝90°,∴∠DEC ＝90°﹣55°＝35°,∴∠CEF ＝180°﹣∠DEC ＝145°;（3）证明：由（2）得∠AOG+∠HEC ＝∠ACB ＝90°,而∠HEC+∠CEF ＝180°,∠NEC+∠CEF ＝180°,∴∠NEC ＝∠HEC,∴∠NEF ＝180°﹣∠NEH ＝180°﹣2∠HEC,∵∠HEC ＝90°﹣∠AOG,∴∠NEF ＝180°﹣2（90°﹣∠AOG ）＝2∠AOG ．【点睛】本题是三角形综合题,考查了坐标与图形的性质,三角形的面积,平行线的性质,三角形内角和定理,熟练掌握平行的性质及三角形内角和定理是解题的关键．7．（1）见详解，（2）2BD CF =，证明见详解，（3）23． 【解析】【分析】（1）欲证明BF AD =，只要证明BCF ACD ∆≅∆即可；（2）结论：2BD CF =．如图2中，作EH AC ⊥于H ．只要证明ACD EHA ∆≅∆，推出CD AH =，EH AC BC ==，由EHF BCF ∆≅∆，推出CH CF =即可解决问题； （3）利用（2）中结论即可解决问题；【详解】（1）证明：如图1中，BE AD ⊥于E ，90AEF BCF ∴∠=∠=︒，AFE CFB ∠=∠，DAC CBF ∴∠=∠，BC AC =，BCF ACD ∴∆≅∆(AAS )，BF AD ∴=．（2）结论：2BD CF =．理由：如图2中，作EH AC ⊥于H ．90AHE ACD DAE ∠=∠=∠=︒，90DAC ADC ∴∠+∠=︒，90DAC EAH ∠+∠=︒，ADC EAH ∴∠=∠，AD AE =，ACD EHA ∴∆≅∆，CD AH ∴=，EH AC BC ==，CB CA =，BD CH ∴=，90EHF BCF ∠=∠=︒，EFH BFC ∠=∠，EH BC =，EHF BCF ∴∆≅∆，FH FC ∴=，2BD CH CF ∴==．（3）如图3中，作EH AC ⊥于交AC 延长线于H ．90AHE ACD DAE ∠=∠=∠=︒，90DAC ADC ∴∠+∠=︒，90DAC EAH ∠+∠=︒，ADC EAH ∴∠=∠，AD AE =，ACD EHA ∴∆≅∆，CD AH ∴=，EH AC BC ==，CB CA =，BD CH ∴=，90EHM BCM ∠=∠=︒，EMH BMC ∠=∠，EH BC =，EHM BCM ∴∆≅∆，MH MC ∴=，2BD CH CM ∴==．3AC CM =，设CM a =，则3AC CB a ==，2BD a =，∴2233DB a BC a ==．【点睛】本题考查三角形综合题、全等三角形的判定和性质、等腰直角三角形的性质等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造全等三角形解决问题，属于中考压轴题．另外对于类似连续几步的综合题，一般前一步为后一步提供解题的条件或方法．8．（1）（0，6），（8，0）；（2）存在t=2.4时，使得△ODP 与△ODQ 的面积相等；（3）2∠GOA+∠ACE=∠OHC ，理由见解析．【解析】【分析】（1）根据算术平方根的非负性，绝对值的非负性即可求解；（2）根据运动速度得到OQ=t ，OP=8-2t ，根据△ODP 与△ODQ 的面积相等列方程求解即可；（3）由∠AOC=90°，y 轴平分∠GOD 证得OG ∥AC ，过点H 作HF ∥OG 交x 轴于F ，得到∠FHC=∠ACE ，∠FHO=∠GOD ，从而∠GOD+∠ACE=∠FHO+∠FHC ，即可证得2∠GOA+∠ACE=∠OHC.【详解】（1280a b b -+-=，∴a-b+2=0，b-8=0，∴a=6，b=8，∴A （0，6），C （8，0）；故答案为：（0，6），（8，0）；（2）由（1）知，A （0，6），C （8，0），∴OA=6，OB=8，由运动知，OQ=t ，PC=2t ，∴OP=8-2t ，∵D （4，3），∴114222ODQ DS OQ x t t=⨯=⨯=△，11823123 22ODP DS OP y t t=⨯=-⨯=-△（），∵△ODP与△ODQ的面积相等，∴2t=12-3t，∴t=2.4，∴存在t=2.4时，使得△ODP与△ODQ的面积相等；（3）2∠GOA+∠ACE=∠OHC，理由如下：∵x轴⊥y轴，∴∠AOC=∠DOC+∠AOD=90°，∴∠OAC+∠ACO=90°.又∵∠DOC=∠DCO，∴∠OAC=∠AOD.∵x轴平分∠GOD，∴∠GOA=∠AOD.∴∠GOA=∠OAC.∴OG∥AC，如图，过点H作HF∥OG交x轴于F，∴HF∥AC，∴∠FHC=∠ACE.∵OG∥FH，∴∠GOD=∠FHO，∴∠GOD+∠ACE=∠FHO+∠FHC，即∠GOD+∠ACE=∠OHC，∴2∠GOA+∠ACE=∠OHC．【点睛】此题考查算术平方根的非负性，绝对值的非负性，坐标系中的动点问题，平行线的判定及性质定理，是一道较为综合的题型.9．（1）45度；（2）∠AEC﹣∠AED＝45°，理由见解析；（3）见解析【解析】【分析】（1）由等腰三角形的性质可求∠BAE＝140°，可得∠CAE＝50°，由等腰三角形的性质可得∠AEC＝∠ACE＝65°，即可求解；（2）由等腰三角形的性质可求∠BAE＝180°﹣2α，可得∠CAE＝90°﹣2α，由等腰三角形的性质可得∠AEC＝∠ACE＝45°+α，可得结论；（3）如图，过点C作CG⊥AH于G，由等腰直角三角形的性质可得EH＝2EF，CH＝2CG，由“AAS”可证△AFB≌△CGA，可得AF＝CG，由勾股定理可得结论．【详解】解：（1）∵AB＝AC，AE＝AB，∴AB＝AC＝AE，∴∠ABE＝∠AEB，∠ACE＝∠AEC，∵∠AED＝20°，∴∠ABE＝∠AED＝20°，∴∠BAE＝140°，且∠BAC＝90°∴∠CAE＝50°，∵∠CAE+∠ACE+∠AEC＝180°，且∠ACE＝∠AEC，∴∠AEC＝∠ACE＝65°，∴∠DEC＝∠AEC﹣∠AED＝45°，故答案为：45；（2）猜想：∠AEC﹣∠AED＝45°，理由如下：∵∠AED＝∠ABE＝α，∴∠BAE＝180°﹣2α，∴∠CAE＝∠BAE﹣∠BAC＝90°﹣2α，∵∠CAE+∠ACE+∠AEC＝180°，且∠ACE＝∠AEC，∴∠AEC＝45°+α，∴∠AEC﹣∠AED＝45°；（3）如图，过点C作CG⊥AH于G，∵∠AEC﹣∠AED＝45°，∴∠FEH＝45°，∵AH⊥BE，∴∠FHE＝∠FEH＝45°，∴EF＝FH，且∠EFH＝90°，∴EH2EF，∵∠FHE＝45°，CG⊥FH，∴∠GCH＝∠FHE＝45°，∴GC＝GH，∴CH2CG，∵∠BAC＝∠CGA＝90°，∴∠BAF+∠CAG＝90°，∠CAG+∠ACG＝90°，∴∠BAF＝∠ACG，且AB＝AC，∠AFB＝∠AGC，∴△AFB≌△CGA（AAS）∴AF＝CG，∴CH AF，∵在Rt△AEF中，AE2＝AF2+EF2，AF）2+EF）2＝2AE2，∴EH2+CH2＝2AE2．【点睛】本题是综合了等腰直角三角形的性质，全等三角形的性质与判定的动点问题，三个问题由易到难，在熟练掌握各个相关知识的基础上找到问题之间的内部联系，层层推进去解答是关键.10．（1）P(﹣1，﹣1)；（2）32；（3）T(1，0)或(﹣2，0)．【解析】【分析】（1）解析式联立构成方程组，该方程组的解就是交点坐标；（2）利用三角形的面积公式解答；（3）求得C的坐标，因为S△ATP＝S△APB，S△ATP＝S△ATC+S△PTC＝|x+12|，所以|x+12|＝32，解得即可．【详解】解：（1）由212y xy x=+⎧⎨=--⎩，解得11xy=-⎧⎨=-⎩，所以P（﹣1，﹣1）；（2）令x＝0，得y1＝1，y2＝﹣2∴A（0，1），B（0，﹣2），则S△APB＝12×（1+2）×1＝32；（3）在直线l1：y1＝2x+1中，令y＝0，解得x＝﹣12，∴C（﹣12，0），设T（x，0），∴CT＝|x+12 |，∵S△ATP＝S△APB，S△ATP＝S△ATC+S△PTC＝12•|x+12|•（1+1）＝|x+12|，∴|x +12|＝32， 解得x ＝1或﹣2，∴T (1，0)或(﹣2，0)．【点睛】本题考查一次函数与二元一次方程组，解题的关键是准确将条件转化为二元一次方程组，并求出各点的坐标．11．（1）见解析；（2）见解析；（3）3【解析】【分析】（1）根据等腰三角形的性质和外角的性质即可得到结论；（2）过E 作EF ∥AC 交AB 于F ，根据已知条件得到△ABC 是等边三角形，推出△BEF 是等边三角形，得到BE=EF ，∠BFE=60°，根据全等三角形的性质即可得到结论； （3）连接AF ，证明△ABF ≌△CBF ，得AF=CF ，再证明DH=AH=12CF=3． 【详解】解：（1）∵AB=AC ，∴∠ABC=∠ACB ，∵DE=DC ，∴∠E=∠DCE ，∴∠ABC-∠E=∠ACB-∠DCB ，即∠EDB=∠ACD ；（2）∵△ABC 是等边三角形，∴∠B=60°，∴△BEF 是等边三角形，∴BE=EF ，∠BFE=60°，∴∠DFE=120°，∴∠DFE=∠CAD ，在△DEF 与△CAD 中， EDF DCA DFE CAD DE CD ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∴△DEF ≌△CAD （AAS ），∴EF=AD ，∴AD=BE ；（3）连接AF，如图3所示：∵DE=DC，∠EDC=30°，∴∠DEC=∠DCE=75°，∴∠ACF=75°-60°=15°，∵BF平分∠ABC，∴∠ABF=∠CBF，在△ABF和△CBF中，AB BCABF CBFBF BF=⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，△ABF≌△CBF（SAS），∴AF=CF，∴∠FAC=∠ACF=15°，∴∠AFH=15°+15°=30°，∵AH⊥CD，∴AH=12AF=12CF=3，∵∠DEC=∠ABC+∠BDE，∴∠BDE=75°-60°=15°，∴∠ADH=15°+30°=45°，∴∠DAH=∠ADH=45°，∴DH=AH=3．【点睛】本题考查了全等三角形的判定与性质，等腰三角形和直角三角形的性质，三角形的外角的性质，等边三角形的判定和性质，证明三角形全等是解决问题的关键．12．（1）45°；（2）PE 的值不变，PE=4，理由见详解；（3）D(8-，0)．【解析】【分析】（1）根据A，(0,B ，得△AOB 为等腰直角三角形，根据等腰直角三角形的性质，即可求出∠OAB 的度数；（2）根据等腰直角三角形的性质得到∠AOC=∠BOC=45°，OC ⊥AB ，再证明△POC ≌△DPE ，根据全等三角形的性质得到OC=PE ，即可得到答案；（3）证明△POB ≌△DPA ，得到PA=OB=，DA=PB ，进而得OD 的值，即可求出点D 的坐标．【详解】（1）A，(0,B ，∴OA=OB=∵∠AOB=90°，∴△AOB 为等腰直角三角形，∴∠OAB=45°；（2）PE 的值不变，理由如下：∵△AOB 为等腰直角三角形，C 为AB 的中点，∴∠AOC=∠BOC=45°，OC ⊥AB ，∵PO=PD ，∴∠POD=∠PDO ，∵D 是线段OA 上一点，∴点P 在线段BC 上，∵∠POD=45°+∠POC ，∠PDO=45°+∠DPE ，∴∠POC=∠DPE ，在△POC 和△DPE 中，90POC DPE OCP PED PO PD ∠=∠⎧⎪∠=∠=︒⎨⎪=⎩，∴△POC ≅△DPE(AAS)，∴OC=PE ，∵OC=12AB=12××=4， ∴PE=4；（3）∵OP=PD ，∴∠POD=∠PDO=(180°−45°)÷2=67.5°，∴∠APD=∠PDO−∠A=22.5°，∠BOP=90°−∠POD=22.5°，∴∠APD=∠BOP ，在△POB 和△DPA 中，OBP PAD BOP APD OP PD ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩∴△POB ≌△DPA(AAS)，∴PA=OB=DA=PB ，∴DA=PB=-，∴OD=OA−DA=8-，∴点D 的坐标为(8，0)．【点睛】本题主要考查等腰直角三角形的性质，三角形全等的判定与性质定理，图形与坐标，掌握等腰直角三角形的性质，是解题的关键．。

八年级上册上海数学压轴题 期末复习试卷测试卷（解析版）一、压轴题1．如图，在平面直角坐标系中，一次函数y x =的图象为直线1．（1）观察与探究已知点A 与A '，点B 与B '分别关于直线l 对称，其位置和坐标如图所示．请在图中标出()2,3C -关于线l 的对称点C '的位置，并写出C '的坐标______．（2）归纳与发现观察以上三组对称点的坐标，你会发现：平面直角坐标系中点()P m n ,关于直线l 的对称点P '的坐标为______． （3）运用与拓展已知两点()2,3E -、()1,4F --，试在直线l 上作出点Q ，使点Q 到E 、F 点的距离之和最小，并求出相应的最小值．2．如图，已知A(3，0)，B(0，-1)，连接AB ，过B 点作AB 的垂线段BC ，使BA=BC ，连接AC（1）如图1，求C 点坐标；（2）如图2，若P 点从A 点出发沿x 轴向左平移，连接BP ，作等腰直角BPQ ，连接CQ ，当点P 在线段OA 上，求证：PA=CQ ；（3）在（2）的条件下若C 、P ，Q 三点共线，直接写出此时∠APB 的度数及P 点坐标3．如图①，在ABC ∆中，12AB =cm ，20BC =cm ，过点C 作射线//CD AB ．点M 从点B 出发，以3 cm/s 的速度沿BC 匀速移动；点N 从点C 出发，以a cm/s 的速度沿CD 匀速移动．点M 、N 同时出发，当点M 到达点C 时，点M 、N 同时停止移动．连接AM 、MN ，设移动时间为t (s)．(1)点M 、N 从移动开始到停止，所用时间为 s ； (2)当ABM ∆与MCN ∆全等时，①若点M 、N 的移动速度相同，求t 的值； ②若点M 、N 的移动速度不同，求a 的值；(3)如图②，当点M 、N 开始移动时，点P 同时从点A 出发，以2 cm/s 的速度沿AB 向点B 匀速移动，到达点B 后立刻以原速度沿BA 返回．当点M 到达点C 时，点M 、N 、P 同时停止移动．在移动的过程中，是否存在PBM ∆与MCN ∆全等的情形?若存在，求出t 的值；若不存在，说明理由．4．已知在△ABC 中，AB =AC ，∠BAC =α，直线l 经过点A （不经过点B 或点C ），点C 关于直线l 的对称点为点D ，连接BD ，CD ．（1）如图1，①求证：点B ，C ，D 在以点A 为圆心，AB 为半径的圆上； ②直接写出∠BDC 的度数（用含α的式子表示）为 ；（2）如图2，当α=60°时，过点D 作BD 的垂线与直线l 交于点E ，求证：AE =BD ； （3）如图3，当α=90°时，记直线l 与CD 的交点为F ，连接BF ．将直线l 绕点A 旋转的过程中，在什么情况下线段BF 的长取得最大值？若AC =22a ，试写出此时BF 的值． 5．如图1，矩形OACB 的顶点A 、B 分别在x 轴与y 轴上，且点()6,10C ，点()0,2D ，点P 为矩形AC 、CB 两边上的一个点．（1）当点P 与C 重合时，求直线DP 的函数解析式；（2）如图②，当P 在BC 边上，将矩形沿着OP 折叠，点B 对应点B '恰落在AC 边上，求此时点P 的坐标．（3）是否存P 在使BDP ∆为等腰三角形？若存在，直接写出点P 的坐标；若不存在，请说明理由． 6．（1）填空①把一张长方形的纸片按如图①所示的方式折叠，EM ，FM 为折痕，折叠后的C 点落在1B M 或1B M 的延长线上，那么EMF ∠的度数是________；②把一张长方形的纸片按如图②所示的方式折叠，B 点与M 点重合，EM ，FM 为折痕，折叠后的C 点落在1A M 或1A M 的延长线上，那么EMF ∠的度数是_______． （2）解答：①把一张长方形的纸片按如图③所示的方式折叠，EM ，FM 为折痕，折叠后的C 点落在1B M 或1B M 的延长线上左侧，且80EMF ∠=︒，求11C MB ∠的度数； ②把一张长方形的纸片按如图④所示的方式折叠，B 点与M 点重合，EM ，FM 为折痕，折叠后的C 点落在1A M 或1A M 的延长线右侧，且60EMF ∠=︒，求11C MA ∠的度数．（3）探究：把一张四边形的纸片按如图⑤所示的方式折叠，EB ，FB 为折痕，设ABC α∠=︒，EBF β∠=︒，11A BC γ∠=︒，求α，β，γ之间的数量关系．7．定义：在平面直角坐标系中，对于任意两点A （a ，b ），B （c ，d ），若点T （x ，y ）满足x ＝3+a c ，y ＝3+b d，那么称点T 是点A 和B 的融合点．例如：M （﹣1，8），N （4，﹣2），则点T （1，2）是点M 和N 的融合点．如图，已知点D （3，0），点E 是直线y ＝x +2上任意一点，点T （x ，y ）是点D 和E 的融合点．（1）若点E 的纵坐标是6，则点T 的坐标为 ； （2）求点T （x ，y ）的纵坐标y 与横坐标x 的函数关系式：（3）若直线ET 交x 轴于点H ，当△DTH 为直角三角形时，求点E 的坐标．8．如图1，在等边△ABC 中，E 、D 两点分别在边AB 、BC 上，BE =CD ，AD 、CE 相交于点F ．（1）求∠AFE 的度数；（2）过点A 作AH ⊥CE 于H ，求证：2FH +FD =CE ；（3）如图2，延长CE 至点P ，连接BP ，∠BPC =30°，且CF =29CP ，求PFAF的值． （提示：可以过点A 作∠KAF =60°，AK 交PC 于点K ，连接KB ）9．如图，已知直线l 1：y 1＝2x +1与坐标轴交于A 、C 两点，直线l 2：y 2＝﹣x ﹣2与坐标轴交于B 、D 两点，两直线的交点为P 点． (1)求P 点的坐标； (2)求△APB 的面积；(3)x 轴上存在点T ，使得S △ATP ＝S △APB ，求出此时点T 的坐标．10．在ABC 中，AB AC =，D 是直线AB 上一点，E 在直线BC 上，且DE DC =． （1）如图1，当D 在AB 上，E 在CB 延长线上时，求证：EDB ACD ∠=∠； （2）如图2，当ABC 为等边三角形时，D 是BA 的延长线上一点，E 在BC 上时，作//EF AC ，求证：BE AD =；（3）在（2）的条件下，ABC ∠的平分线BF 交CD 于点F ，连AF ，过A 点作AH CD ⊥于点H ，当30EDC ∠=︒，6CF =时，求DH 的长度．11．在《经典几何图形的研究与变式》一课中，庞老师出示了一个问题：“如图1，等腰直角三角形的三个顶点分别落在三条等距的平行线1l ，2l ，3l 上，90BAC ∠=︒，且每两条平行线之间的距离为1，求AB 的长度”.在研究这道题的解法和变式的过程中，同学们提出了很多想法：（1）小明说：我只需要过B 、C 向1l 作垂线，就能利用全等三角形的知识求出AB 的长. （2）小林说：“我们可以改变ABC 的形状.如图2，AB AC =，120BAC ∠=︒，且每两条平行线之间的距离为1，求AB 的长.”（3）小谢说：“我们除了改变ABC 的形状，还能改变平行线之间的距离.如图3，等边三角形ABC 三个顶点分别落在三条平行线1l ，2l ，3l 上，且1l 与2l 之间的距离为1，2l 与3l 之间的距离为2，求AB 的长、”请你根据3位同学的提示，分别求出三种情况下AB 的长度.12．在Rt ABC 中，90ACB ∠=︒，30A ∠=︒，BD 是ABC 的角平分线，DE AB ⊥于点E .（1）如图1，连接EC ，求证：EBC 是等边三角形；（2）如图2，点M 是线段CD 上的一点（不与点,C D 重合），以BM 为一边，在BM 下方作60BMG ∠=︒，MG 交DE 延长线于点G .求证：AD DG MD =+；（3）如图3，点N 是线段AD 上的点，以BN 为一边，在BN 的下方作60BNG ∠=︒，NG 交DE 延长线于点G .直接写出ND ，DG 与AD 数量之间的关系.【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除一、压轴题1．(1) （3，-2）；(2) （n ，m ）；(3)图见解析, 点Q 到E 、F 点的距离之和最小值为10【解析】 【分析】（1）根据题意和图形可以写出C '的坐标；（2）根据图形可以直接写出点P 关于直线l 的对称点的坐标；（3）作点E 关于直线l 的对称点E '，连接E 'F ，根据最短路径问题解答. 【详解】（1）如图，C '的坐标为（3，-2）， 故答案为（3，-2）；（2）平面直角坐标系中点()P m n ,关于直线l 的对称点P '的坐标为（n ，m ）， 故答案为（n ，m ）；（3）点E 关于直线l 的对称点为E '（-3,2），连接E 'F 角直线l 于一点即为点Q ，此时点Q 到E 、F 点的距离之和最小，即为线段E 'F ，∵E 'F ()[]221(3)2(4)210=---+--=⎡⎤⎣⎦， ∴点Q 到E 、F 点的距离之和最小值为210.【点睛】此题考查轴对称的知识，画关于直线的对称点，最短路径问题，勾股定理关键是找到点的对称点，由此解决问题.2．（1）(1，-4)；（2）证明见解析；（3）()135,1,0APB P ︒∠=【解析】 【分析】（1）作CH ⊥y 轴于H ，证明△ABO ≌△BCH ，根据全等三角形的性质得到BH=OA=3，CH=OB=1，求出OH ，得到C 点坐标；（2）证明△PBA ≌△QBC ，根据全等三角形的性质得到PA=CQ ；（3）根据C 、P ，Q 三点共线，得到∠BQC=135°，根据全等三角形的性质得到∠BPA=∠BQC=135°，根据等腰三角形的性质求出OP ，得到P 点坐标． 【详解】解：(1)作CH ⊥y 轴于H ， 则∠BCH+∠CBH=90°， 因为AB BC ⊥， 所以.∠ABO+∠CBH=90°， 所以∠ABO=∠BCH ， 在△ABO 和△BCH 中，ABO BCH AOB BHC AB BC ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩ABO BCH ∴∆≅∆:BH=OA=3，CH=OB=1， :OH=OB+BH=4，所以C 点的坐标为（1，-4）； (2)因为∠PBQ=∠ABC=90°，,PBQ ABQ ABC ABQ PBA QBC ∴∠-=∠-∠∴∠=∠在△PBA 和△QBC 中，BP BQ PBA QBC BA BC =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩PBA QBC ∴∆≅∆:.PA=CQ ；(3) ()135,1,0APB P ︒∠=BPQ ∆是等腰直角三角形，:所以∠BQP=45°，当C 、P ，Q 三点共线时，∠BQC=135°，由（2)可知，PBA QBC∴∆≅∆；所以∠BPA=∠BQC=135°，所以∠OPB=45°，所以.OP=OB=1，所以P点坐标为（1，0) ．【点睛】本题考查的是全等三角形的判定和性质、三角形的外角的性质，掌握全等三角形的判定定理和性质定理是解题的关键．3．（1）203；（2）①t＝83；②a＝185；（3）t＝6.4或t＝103【解析】【分析】（1）根据时间＝路程÷速度即可求得答案；（2）①由题意得：BM＝CN＝3t，则只可以是△CMN≌△BAM，AB＝CM，由此列出方程求解即可；②由题意得：CN≠BM，则只可以是△CMN≌△BMA，AB＝CN＝12，CM＝BM，进而可得3t＝10，求解即可；（3）分情况讨论，当△CMN≌△BPM时，BP＝CM，若此时P由A向B运动，则12－2t＝20－3t，但t＝8不符合实际，舍去，若此时P由B向A运动，则2t－12＝20－3t，求得t＝6.4；当△CMN≌△BMP时，则BP＝CN，CM＝BM，可得3t＝10，t＝103，再将t＝103代入分别求得AP，BP的长及a的值验证即可．【详解】解：（1）20÷3＝203，故答案为：203；（2）∵CD∥AB，∴∠B＝∠DCB，∵△CNM与△ABM全等，∴△CMN≌△BAM或△CMN≌△BMA，①由题意得：BM＝CN＝3t，∴△CMN≌△BAM∴AB＝CM，∴12＝20－3t，解得：t＝83；②由题意得：CN≠BM，∴△CMN≌△BMA，∴AB＝CN＝12，CM＝BM，∴CM＝BM＝12 BC，∴3t＝10，解得：t＝10 3∵CN＝at，∴103a＝12解得：a＝185；（3）存在∵CD∥AB，∴∠B＝∠DCB，∵△CNM与△PBM全等，∴△CMN≌△BPM或△CMN≌△BMP，当△CMN≌△BPM时，则BP＝CM，若此时P由A向B运动，则BP＝12－2t，CM＝20－3t，∵BP＝CM，∴12－2t＝20－3t，解得：t＝8 (舍去)若此时P由B向A运动，则BP＝2t－12，CM＝20－3t，∵BP＝CM，∴2t－12＝20－3t，解得：t＝6.4，当△CMN≌△BMP时，则BP＝CN，CM＝BM，∴CM＝BM＝12 BC∴3t＝10，解得：t＝10 3当t＝103时，点P的路程为AP＝2t＝203，此时BP＝AB－AP＝12－203＝163，则CN＝BP＝16 3即at＝163，∵t＝103，∴a＝1.6符合题意综上所述，满足条件的t的值有：t＝6.4或t＝10 3【点睛】本题考查了全等三角形的判定及性质的综合运用，解决本题的关键就是用方程思想及分类讨论思想解决问题，把实际问题转化为方程是常用的手段．4．（1）①详见解析；②12α；（2）详见解析；（3）当B、O、F三点共线时BF最长，a【解析】【分析】（1）①由线段垂直平分线的性质可得AD=AC=AB，即可证点B，C，D在以点A为圆心，AB为半径的圆上；②由等腰三角形的性质可得∠BAC=2∠BDC，可求∠BDC的度数；（2）连接CE，由题意可证△ABC，△DCE是等边三角形，可得AC=BC，∠DCE=60°=∠ACB，CD=CE，根据“SAS”可证△BCD≌△ACE，可得AE=BD；（3）取AC的中点O，连接OB，OF，BF，由三角形的三边关系可得，当点O，点B，点F三点共线时，BF最长，根据等腰直角三角形的性质和勾股定理可求BO=，OF OC==，即可求得BF【详解】（1）①连接AD，如图1．∵点C与点D关于直线l对称，∴AC = AD．∵AB= AC，∴AB= AC = AD．∴点B，C，D在以A为圆心，AB为半径的圆上．②∵AD=AB=AC，∴∠ADB=∠ABD，∠ADC=∠ACD，∵∠BAM=∠ADB+∠ABD，∠MAC=∠ADC+∠ACD，∴∠BAM=2∠ADB，∠MAC=2∠ADC，∴∠BAC=∠BAM+∠MAC=2∠ADB+2∠ADC=2∠BDC=α∴∠BDC=12α故答案为：12α．（2连接CE，如图2．∵∠BAC=60°，AB=AC，∴△ABC是等边三角形，∴BC=AC，∠ACB=60°，∵∠BDC=12α，∴∠BDC=30°，∵BD⊥DE，∴∠CDE=60°，∵点C关于直线l的对称点为点D，∴DE=CE，且∠CDE=60°∴△CDE是等边三角形，∴CD=CE=DE，∠DCE=60°=∠ACB，∴∠BCD=∠ACE，且AC=BC，CD=CE，∴△BCD≌△ACE（SAS）∴BD=AE ，（3）如图3，取AC 的中点O ，连接OB ，OF ，BF ，，F 是以AC 为直径的圆上一点，设AC 中点为O ，∵在△BOF 中，BO+OF≥BF ，当B 、O 、F 三点共线时BF 最长； 如图，过点O 作OH ⊥BC ，∵∠BAC=90°，2a ，∴24BC AC a ==，∠ACB=45°，且OH ⊥BC ，∴∠COH=∠HCO=45°，∴OH=HC ， ∴2OC HC =， ∵点O 是AC 中点，AC 2a ，∴2OC a =， ∴OH HC a ==，∴BH=3a ，∴10BO a =，∵点C 关于直线l 的对称点为点D ，∴∠AFC=90°，∵点O 是AC 中点， ∴2OF OC a ==，∴102BF a =， ∴当B 、O 、F 三点共线时BF 最长；最大值为102)a ．【点睛】本题是三角形综合题，考查了全等三角形的判定和性质，等腰三角形的性质，勾股定理，三角形的三边关系，灵活运用相关的性质定理、综合运用知识是解题的关键．5．（1）y=43x+2；（2）（103，10）；（3）存在， P 坐标为（6，6）或（6，7+2）或（6，10-27）．【解析】【分析】（1）设直线DP 解析式为y=kx+b ，将D 与C 坐标代入求出k 与b 的值，即可确定出解析式；（2）当点B 的对应点B′恰好落在AC 边上时，根据勾股定理列方程即可求出此时P 坐标； （3）存在，分别以BD ，DP ，BP 为底边三种情况考虑，利用勾股定理及图形与坐标性质求出P 坐标即可．【详解】解：（1）∵C （6，10）,D （0，2），设此时直线DP 解析式为y=kx+b ，把D （0，2），C （6，10）分别代入，得2610b k b =⎧⎨+=⎩， 解得432k b ⎧=⎪⎨⎪=⎩ 则此时直线DP 解析式为y=43x+2； （2）设P （m ，10），则PB=PB′=m ，如图2，∵OB′=OB=10，OA=6，∴AB′=22OB OA '-=8，∴B′C=10-8=2，∵PC=6-m ，∴m 2=22+（6-m ）2，解得m=103 则此时点P 的坐标是（103，10）； （3）存在，理由为：若△BDP 为等腰三角形，分三种情况考虑：如图3，①当BD=BP 1=OB-OD=10-2=8，在Rt △BCP 1中，BP 1=8，BC=6，根据勾股定理得：CP1=∴AP 1P 1（6，）；②当BP 2=DP 2时，此时P 2（6，6）；③当DB=DP 3=8时，在Rt △DEP 3中，DE=6，根据勾股定理得：P3∴AP 3=AE+EP 3，即P 3（6，+2），综上，满足题意的P 坐标为（6，6）或（6，+2）或（6，）．【点睛】此题属于一次函数综合题，待定系数法确定一次函数解析式，坐标与图形性质，等腰三角形的性质，勾股定理，熟练掌握待定系数法是解题的关键．6．90︒，45︒；20︒，30︒；2a γβ+=，2a γβ-=.【解析】【分析】（1）①如图①知1112EMC BMC ∠=∠，1112C MF C MC ∠=∠得 ()1112EMF BMC C MC ∠=∠+∠可求出解. ②由图②知111111,22EBA ABC C BF C BC ∠=∠∠=∠得()1112EBF ABC C BC ∠=∠+∠可求出解.（2）①由图③折叠知11,CMF FMC BME EMB ∠=∠∠=∠，可推出11()BMC EMF EMF C MB ∠-∠-∠=∠，即可求出解.②由图④中折叠知11,CMF C MF ABE A BE ∠=∠∠=∠，可推出()112906090A MC ︒︒︒-+∠=，即可求出解.（3）如图⑤-1、⑤-2中分别由折叠可知，a ββγ-=-、a ββγ-=+，即可求得 2a γβ+=、2a γβ-=.【详解】解：（1）①如图①中，1112EMC BMC ∠=∠，1112C MF C MC ∠=∠， ()1111111800229EMF EMC C MF BMC C MC ︒︒∴∠=∠+∠=∠⨯=+∠=， 故答案为90︒. ②如图②中，111111,22EBA ABC C BF C BC ∠=∠∠=∠，()111111904522EBF EBC C BF ABC C BC ︒︒∴∠=∠+∠=∠+∠=⨯=， 故答案为45︒.（2）①如图③中由折叠可知， 11,CMF FMC BME EMB ∠=∠∠=∠，1111C MF EMB EMF C MB ∠+∠-∠=∠，11CMF BME EMF C MB ∴∠+∠-∠=∠，11()BMC EMF EMF C MB ∴∠-∠-∠=∠，111808020C MB ︒︒︒∴-=∠=；②如图④中根据折叠可知，11,CMF C MF ABE A BE ∠=∠∠=∠，112290CMF ABE A MC ︒∠+∠+∠=，112()90CMF ABE A MC ︒∴∠+∠+∠=，()1129090EMF AMC ︒︒∴-∠+∠=，()112906090AMC ︒︒︒∴-+∠=， 1130A MC ︒∴∠=；（3）如图⑤-1中，由折叠可知，a ββγ-=-，2a γβ∴+=；如图⑤-2中，由折叠可知，a ββγ-=+，2a γβ∴-=.【点睛】本题考查了图形的变换中折叠属全等变换，图形的角度及边长不变及一些角度的计算问题，突出考查学生的观察能力、思维能力以及动手操作能力，本题是代数、几何知识的综合运用典型题目.7．（1）（73，2）；（2）y ＝x ﹣13；（3）E 的坐标为（32，72）或（6，8） 【解析】【分析】（1）把点E 的纵坐标代入直线解析式，求出横坐标，得到点E 的坐标，根据融合点的定义求求解即可；（2）设点E 的坐标为（a ，a+2），根据融合点的定义用a 表示出x 、y ，整理得到答案；（3）分∠THD=90°、∠TDH=90°、∠DTH=90°三种情况，根据融合点的定义解答．【详解】解：（1）∵点E 是直线y ＝x +2上一点，点E 的纵坐标是6，∴x +2＝6，解得，x ＝4，∴点E 的坐标是（4，6），∵点T （x ，y ）是点D 和E 的融合点，∴x ＝343+＝73，y ＝063+＝2， ∴点T 的坐标为（73，2）， 故答案为：（73，2）； （2）设点E 的坐标为（a ，a +2），∵点T （x ，y ）是点D 和E 的融合点，∴x ＝33a +，y ＝023a ++， 解得，a ＝3x ﹣3，a ＝3y ﹣2，∴3x ﹣3＝3y ﹣2， 整理得，y ＝x ﹣13； （3）设点E 的坐标为（a ，a +2）， 则点T 的坐标为（33a +，23a +）， 当∠THD ＝90°时，点E 与点T 的横坐标相同， ∴33a +＝a ， 解得，a ＝32， 此时点E 的坐标为（32，72）， 当∠TDH ＝90°时，点T 与点D 的横坐标相同， ∴33a +＝3， 解得，a ＝6， 此时点E 的坐标为（6，8），当∠DTH ＝90°时，该情况不存在，综上所述，当△DTH 为直角三角形时，点E 的坐标为（32，72）或（6，8） 【点睛】 本题考查了一次函数图象上点的坐标特征、融合点的定义，解题关键是灵活运用分情况讨论思想．8．（1）∠AFE =60°；（2）见解析；（3）75【解析】【分析】（1）通过证明 BCE CAD ≌ 得到对应角相等，等量代换推导出60AFE ∠=︒；（2）由（1）得到60AFE ∠=︒，CE AD = 则在Rt AHF △ 中利用30°所对的直角边等于斜边的一半，等量代换可得；（3）通过在PF 上取一点K 使得KF =AF ，作辅助线证明ABK 和ACF 全等，利用对应边相等，等量代换得到比值.(通过将ACF 顺时针旋转60°也是一种思路.)【详解】（1）解：如图1中．∵ABC 为等边三角形，∴AC =BC ，∠BAC =∠ABC =∠ACB =60°，在BCE 和CAD 中，60BE CD CBE ACD BC CA =⎧⎪∠=∠=︒⎨⎪=⎩，∴ BCE CAD ≌（SAS ），∴∠BCE =∠DAC ，∵∠BCE +∠ACE =60°，∴∠DAC +∠ACE =60°，∴∠AFE =60°．（2）证明：如图1中，∵AH ⊥EC ，∴∠AHF =90°，在Rt △AFH 中，∵∠AFH =60°，∴∠FAH =30°，∴AF =2FH ，∵EBC DCA≌，∴EC=AD，∵AD=AF+DF=2FH+DF，∴2FH +DF=EC．（3）解：在PF上取一点K使得KF=AF，连接AK、BK，∵∠AFK =60°，AF=KF，∴△AFK为等边三角形，∴∠KAF=60°，∴∠KAB=∠FAC，在ABK和ACF中，AB ACKAB ACFAK AF=⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∴ABK ACF≌(SAS)，BK CF=∴∠AKB=∠AFC=120°，∴∠BKE=120°﹣60°=60°，∵∠BPC=30°，∴∠PBK=30°，∴29BK CF PK CP===，∴79PF CP CF CP=-=，∵45()99AF KF CP CF PK CP CP CP==-+=-=∴779559CPPFAF CP== .【点睛】掌握等边三角形、直角三角形的性质，及三角形全等的判定通过一定等量代换为本题的关键.9．（1）P(﹣1，﹣1)；（2）32；（3）T(1，0)或(﹣2，0)．【解析】【分析】（1）解析式联立构成方程组，该方程组的解就是交点坐标；（2）利用三角形的面积公式解答；（3）求得C的坐标，因为S△ATP＝S△APB，S△ATP＝S△ATC+S△PTC＝|x+12|，所以|x+12|＝32，解得即可．【详解】解：（1）由212y xy x=+⎧⎨=--⎩，解得11xy=-⎧⎨=-⎩，所以P（﹣1，﹣1）；（2）令x＝0，得y1＝1，y2＝﹣2∴A（0，1），B（0，﹣2），则S△APB＝12×（1+2）×1＝32；（3）在直线l1：y1＝2x+1中，令y＝0，解得x＝﹣12，∴C（﹣12，0），设T（x，0），∴CT＝|x+12 |，∵S△ATP＝S△APB，S△ATP＝S△ATC+S△PTC＝12•|x+12|•（1+1）＝|x+12|，∴|x+12|＝32，解得x＝1或﹣2，∴T(1，0)或(﹣2，0)．【点睛】本题考查一次函数与二元一次方程组，解题的关键是准确将条件转化为二元一次方程组，并求出各点的坐标．10．（1）见解析；（2）见解析；（3）3【解析】【分析】（1）根据等腰三角形的性质和外角的性质即可得到结论；（2）过E作EF∥AC交AB于F，根据已知条件得到△ABC是等边三角形，推出△BEF是等边三角形，得到BE=EF，∠BFE=60°，根据全等三角形的性质即可得到结论；（3）连接AF ，证明△ABF ≌△CBF ，得AF=CF ，再证明DH=AH=12CF=3． 【详解】解：（1）∵AB=AC ，∴∠ABC=∠ACB ，∵DE=DC ，∴∠E=∠DCE ，∴∠ABC-∠E=∠ACB-∠DCB ，即∠EDB=∠ACD ；（2）∵△ABC 是等边三角形，∴∠B=60°，∴△BEF 是等边三角形，∴BE=EF ，∠BFE=60°，∴∠DFE=120°，∴∠DFE=∠CAD ，在△DEF 与△CAD 中， EDF DCA DFE CAD DE CD ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∴△DEF ≌△CAD （AAS ），∴EF=AD ，∴AD=BE ；（3）连接AF ，如图3所示：∵DE=DC ，∠EDC=30°，∴∠DEC=∠DCE=75°，∴∠ACF=75°-60°=15°，∵BF 平分∠ABC ，∴∠ABF=∠CBF ，在△ABF 和△CBF 中，AB BCABF CBFBF BF=⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，△ABF≌△CBF（SAS），∴AF=CF，∴∠FAC=∠ACF=15°，∴∠AFH=15°+15°=30°，∵AH⊥CD，∴AH=12AF=12CF=3，∵∠DEC=∠ABC+∠BDE，∴∠BDE=75°-60°=15°，∴∠ADH=15°+30°=45°，∴∠DAH=∠ADH=45°，∴DH=AH=3．【点睛】本题考查了全等三角形的判定与性质，等腰三角形和直角三角形的性质，三角形的外角的性质，等边三角形的判定和性质，证明三角形全等是解决问题的关键．11．（1522213221【解析】【分析】（1）分别过点B，C向l1作垂线，交l1于M，N两点，证明△ABM≌△CAN，得到AM=CN，AN=BM，即可得出AB；（2）分别过点B，C向l1作垂线，交l1于点P，Q两点，在l1上取M，N使∠AMB=∠CNA=120°，证明△AMB≌△CAN，得到CN=AM，再通过△PBM和△QCN算出PM和NQ的值，得到AP，最后在△APB中，利用勾股定理算出AB的长；（3）在l3上找M和N，使得∠BNC=∠AMC=60°，过B作l3的垂线，交l3于点P，过A作l3的垂线，交l3于点Q，证明△BCN≌△CAM，得到CN=AM，在△BPN和△AQM中利用勾股定理算出NP和AM，从而得到PC，结合BP算出BC的长，即为AB.【详解】解：（1）如图，分别过点B，C向l1作垂线，交l1于M，N两点，由题意可得：∠BAC=90°，∵∠NAC+∠MAB=90°，∠NAC+∠NCA=90°，∴∠MAB=∠NCA，在△ABM和△CAN中，===AMB CNAMAB NCAAB AC∠∠⎧⎪∠∠⎨⎪⎩，∴△ABM≌△CAN（AAS），∴AM=CN=2，AN=BM=1，∴AB=22251=+；（2）分别过点B，C向l1作垂线，交l1于P，Q两点，在l1上取M，N使∠AMB=∠CNA=120°，∵∠BAC=120°，∴∠MAB+∠NAC=60°，∵∠ABM+∠MAB=60°，∴∠ABM=∠NAC，在△AMB和△CNA中，===AMB CNAABM NACAB AC∠∠⎧⎪∠∠⎨⎪⎩，∴△AMB≌△CNA（AAS），∴CN=AM，∵∠AMB=∠ANC=120°，∴∠PMB=∠QNC=60°，∴PM=12BM，NQ=12NC，∵PB=1，CQ=2，设PM=a，NQ=b，∴2221=4a a+，2222=4b b+，解得：3=3a ，23=3b ， ∴CN=AM=222323⎛⎫+ ⎪ ⎪⎝⎭=43， ∴AB=22AP BP +=()22AM PM BP ++=221；（3）如图，在l 3上找M 和N ，使得∠BNC=∠AMC=60°，过B 作l 3的垂线，交于点P ，过A 作l 3的垂线，交于点Q ，∵△ABC 是等边三角形，∴BC=AC ，∠ACB=60°，∴∠BCN+∠ACM=120°，∵∠BCN+∠NBC=120°，∴∠NBC=∠ACM ，在△BCN 和△CAM 中，BNC CMA NBC MAC BC AC ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∴△BCN ≌△CAM （AAS ），∴CN=AM ，BN=CM ，∵∠PBN=90°-60°=30°，BP=2，∴BN=2NP ，在△BPN 中，222BP NP BN +=，即22224NP NP +=，解得：NP=33， ∵∠AMC=60°，AQ=3，∴∠MAQ=30°，∴AM=2QM ，在△AQM 中，222AQ QM AM +=，即22234QM QM +=，解得：QM=3，∴AM=23=CN ，∴PC=CN-NP=AM-NP=43， 在△BPC 中，BP 2+CP 2=BC 2，即BC=22224322123BP CP ⎛⎫+=+= ⎪ ⎪⎝⎭， ∴AB=BC=2213.【点睛】本题考查了全等三角形的判定和性质，平行线之间的距离，等腰三角形的性质，等边三角形的性质以及勾股定理，解题的关键是利用平行线构造全等三角形，再利用全等三角形的性质以及勾股定理求解.12．（1）证明见解析；（2）证明见解析；（3）结论：AD DG ND =-，证明见解析．【解析】【分析】（1）先根据直角三角形的性质得出60ABC ∠=︒，再根据角平分线的性质可得CD ED =，然后根据三角形的判定定理与性质可得BC BE =，最后根据等边三角形的判定即可得证；（2）如图（见解析），延长ED 使得DF MD =，连接MF ，先根据直角三角形的性质、等边三角形的判定得出MDF ∆是等边三角形，再根据等边三角形的性质、角的和差得出,,F MDB MF MD FMG DMB ∠=∠=∠=∠，然后根据三角形全等的判定与性质、等量代换即可得证；（3）如图（见解析），参照题（2），先证HDN ∆是等边三角形，再根据等边三角形的性质、角的和差得出,,H NDG NH ND HNB DNG ∠=∠=∠=∠，然后根据三角形全等的判定与性质、等量代换即可得证．【详解】（1）3,090A ACB ∠=︒∠=︒9060ABC A ∴∠=︒-∠=︒BD是ABC∠的角平分线，DE AB⊥CD ED∴=在BCD∆和BED∆中，CD EDBD BD=⎧⎨=⎩()BCD BED HL∴∆≅∆BC BE∴=EBC∴∆是等边三角形；（2）如图，延长ED使得DF MD=，连接MF3,090AACB∠=︒∠=︒，BD是ABC∠的角平分线，DE AB⊥60,ADE BDE AD BD∴∠=∠=︒=60,18060 MDF ADE MDB ADE BDE∴∠=∠=︒∠=︒-∠-∠=︒MDF∴∆是等边三角形,60MF DM F DMF∴=∠=∠=︒60BMG∠=︒DMF DM B MGG DM G∴∠+∠=+∠∠，即FMG DMB∠=∠在FMG∆和DMB∆中，60F MDBMF MDFMG DMB∠=∠=︒⎧⎪=⎨⎪∠=∠⎩()FMG DMB ASA∴∆≅∆GF BD∴=，即DF DG BD+=AD DF DG MD DG∴=+=+即AD DG MD=+；（3）结论：AD DG ND=-，证明过程如下：如图，延长BD使得DH ND=，连接NH由（2）可知，60,18060,ADE HDN ADE BDE AD BD∠=︒∠=︒-∠-∠=︒= HDN∴∆是等边三角形,60NH ND H HND∴=∠=∠=︒60BNG∠=︒HND BND BNDBNG∠+∠=+∠∴∠，即NHNB D G∠=∠在HNB ∆和DNG ∆中，60H NDG NH ND HNB DNG ∠=∠=︒⎧⎪=⎨⎪∠=∠⎩()HNB DNG ASA ∴∆≅∆HB DG ∴=，即DH BD DG +=ND AD DG ∴+=即AD DG ND =-．【点睛】本题考查了直角三角形的性质、等边三角形的判定与性质、三角形全等的判定定理与性质等知识点，较难的是题（2）和（3），通过作辅助线，构造一个等边三角形是解题关键．。

八年级上学期数学期末压轴题训练1．已知,ABC AB AC =．(1)若90BAC ∠=︒，作BCE ，点A 在BCE 内．①如图1，延长CA 交BE 于点D ，若75,2EBC BD DE ∠=︒=，则DCE ∠的度数为 ； ①如图2，DF 垂直平分BE ，点A 在DF 上，3ADAF=ABD AFCS S 的值；(2)如图3，若120BAC ∠=︒，点E 在AC 边上，10EBC ∠=︒，点D 在BC 边上，连接,,40DE AD CAD ∠=︒，求BED ∠的度数． 2．如图，在ABCD 中，过点C 分别向AB ，AD 作垂线，垂足分别为E ，F ，ABC ∠的平分线分别交CE ，CF ，CD 于点M ，N ，P ．(1)求证：CMN 为等腰三角形；(2)若11134AF FD CF === 求线段CM 的长；(3)若AD CF =，试探究线段CM ，FD ，AB 之间的数量关系，并说明理由．3．平面直角坐标系中，O 为坐标原点，点A 、B 分别为x 轴正半轴和y 轴正半轴上的点，点A （0，5），连接AB ，252AOB S =△．(1)如图1，求点B 的坐标；(2)如图2，点C 为AB 中点，点P 为线段BC 上一动点，点P 的纵坐标为m ，连接OC ，若①POC 的面积为S ，用含m 的式子表示S （不要求写出m 的取值范围）；(3)如图3，在（2）条件下，点E 为y 轴点A 上方一点，点F 为y 轴负半轴上一点，AE ＝OF ，连接BE ，若射线OP ①BE4．在ABC 中，BD 平分ABC ∠，CE 平分ACB ∠，BD 和CE 交于点O ，其中令BAC x ∠=，BOC y ∠=．(1)【计算求值】如图1，①如果50x =︒，则y =______；①如果130y =︒，则x =______．(2)【猜想证明】如图2请你根据（1）中【计算求值】的心得猜想写出y 与x 的关系式为y =______，并请你说明你的猜想的正确性．(3)【解决问题】如图3，某校园内有一个如图2所示的三角形的小花园，花园中有两条小路，BD 和CE 为三角形的角平分线，交点为点O ，在O 处建有一个自动浇水器，需要在BC 边取一处接水口F ，经过测量得知120BAC ∠=︒，12000OD OE ⋅=米2，170BC BE CD --=米，请你求出水管OF 至少要多长？（结果取整数）5．在平面直角坐标系中，已知M （0，4），N （3，2），线段MN 平移得到线段PQ ，使点M 的对应点为P ，点N 的对应点为Q ，若点P 的坐标为()2,1--，点Q 的坐标为(),a b ，(1)=a ___________，b =___________；(2)若点E 为x 轴正半轴上的一个动点，探究MNE ∠、NEQ ∠和EQP ∠之间的数量关系并证明；（注：MNE ∠、NEQ ∠和EQP ∠均为大于0︒且小于180︒的角）(3)将线段MN 向下平移得到线段AB ，从使得点N 的对应点B 落在x 轴上，点M 的对应点A 落在y 轴上，动点C 从点B 出发，以每秒钟移动3个单位长度的速度沿x 轴向左运动，动点D 从点A 出发，以每秒钟移动2个单位长度的速度沿y 轴向下运动，直线BD 与直线AC 交于点F ，设点F 的坐标为(),m n ．动点C 和动点D 同时出发且它们的运动时间为t 秒．①在01t <<时，试探究ADF △与BCF △的面积关系，并说明理由； ①若在点C 、D 的运动过程中，ABF △的面积为7，请直接写出m 的值．6．已知，在平面直角坐标系中，AB x ⊥轴于点B ，点(,)A a b |3|0b -=0，平移线段AB 使点A 与原点重合，点B 的对应点为点C ．(1)=a ______，b =______，点C 坐标为__________； (2)图1，点(,)D m n 是线段CB 上一个动点．①连接OD ，利用,,OBC OBD OCD △△△的面积关系，可以得到m 、n 满足一个固定的关系式，请写出这个关系式：________；①过点A 作直线l x ∥轴，在l 上取点M ，使得2MA =，若CDM 的面积为4，请求出点D 的坐标．(3)如图2，以OB 为边作BOG AOB ∠=∠，交线段BC 于点G ，E 是线段OB 上一动点，连接CE 交OG 于点F ，当点E 在线段OB 上运动过程中，OFC FCGOEC∠+∠∠的值是否发生变化？若变化说明理由，若不变，求其值．7．已知：(,0)A a ，(0,)B b ．(1)当a ，b 满足225010()++=+a b a b 时，连接AB ，如图1． ①求：AO BO +的值．①点M 为线段AB 上的一点（点M 不与A ，B 重合，其中BM ＞AM ），以点M 为直角顶点，OM 为腰作等腰直角①MON ，连接BN ，求证：∠=∠BNO BMO ．(2)当3a =-，6b =，连接AB ，若点(9,0)D ，过点D 作DE AB ⊥于点E ，点B 与点C 关于x 轴对称，点F 是线段DE 上的一点（点F 不与点E ，D 重合）且满足DF AB =，连接AF ，试判断线段AC 与AF 之间的位置关系和数量关系，并证明你的结论．8．如图，在平面直角坐标系xOy 中，点A (a ，0)，B (c ，c )，C (0，c )，且满足（a ﹣c +4）22c a -+0，P 点从A 点出发沿x 轴正方向以每秒2个单位长度的速度匀速移动，Q 点从O 点出发沿y 轴负方向以每秒1个单位长度的速度匀速移动．（1）求点B 的坐标及AO 和BC 位置关系；（2）当P 、Q 分别是线段AO ，OC 上时，连接PB ，QB ，使2PAB QBC S S △△＝，求出点P 的坐标； （3）在P 、Q 的运动过程中，当①CBQ ＝30°时，请探究①OPQ 和①PQB 的数量关系，并说明理由．9．直线AB 、CD 相交于点O ，①AOC ＝α，点F 在直线AB 上且在点O 的右侧，点E 在直线CD 上（点E 与点O 不重合），连接EF ，直线EM 、FN 交于点G ．（1）如图1，若点E 在射线OC 上，α＝60°，EM 、FN 分别平分①CEF 和①AFE ，求①EGF 的度数；（2）如图2，点E 在射线OC 上，①MEF ＝m ①CEF ，①NFE ＝（1﹣2m ）①AFE ，若①EGF 的度数与①AFE 的度数无关，求m 的值及①EGF 的度数（用含有α的代数式表示）；（3）如图3，若将（2）中的“点E 在射线OC 上”改为“点E 在射线OD 上”，其他条件不变，直接写出①EGF 的度数（用含有a 的代数式表示）10．问题提出：（1）我们把两个面积相等但不全等的三角形叫做偏等积三角形，如图，ABC 中，7AC =9BC =，10AB =，P 为AC 上一点，当AP =______时，ABP 与CBP 是偏等积三角形；问题探究：（2）如图，ABD △与ACD 是偏等积三角形，2AB =，6AC =，且线段AD 的长度为正整数，过点C 作//CE AB 交AD 的延长线于点E ，求AE 的长度； 问题解决：(090)BCE <∠<︒．①ACD 与BCE 是偏等积三角形吗？请说明理由；①已知60m BE =，ACD 的面积为22100m ．如图，计划修建一条经过点C 的笔直的小路CF ，F 在BE 边上，FC 的延长线经过AD 中点G ．若小路每米造价600元，请计算修建小路的总造价．11．如图①，将长方形纸片沿对角线剪成两个全等的直角三角形ABC 、EDF ，其中8cm AB =，6cm BC ，10cm AC =．现将ABC ∆和EDF ∆按如图①的方式摆放（点A 与点D 、点B 与点E 分别重合）．动点P 从点A 出发，沿AC 以2cm/s 的速度向点C 匀速移动；同时，动点Q 从点E 出发，沿射线ED 以a cm/s （0<<3a ）的速度匀速移动，连接PQ 、CQ 、FQ ，设移动时间为t s （05t ≤≤）．（1）当2t =时，2AQF BQC S S ∆∆=，求a 的值；（2）当以P 、C 、Q 为顶点的三角形与BQC ∆全等时，则=a ___________；（3）如图①，在动点P 、Q 出发的同时，ABC ∆也以3cm/s 的速度沿射线ED 匀速移动，当以A 、P 、Q 为顶点的三角形与EFQ ∆全等时，求a 与t 的值．12．如图1，在平面直角坐标系中，线段AB 与x 轴负半轴交于点A （0α，），与y 轴正半轴交于点B （0b ，），若a 、b 满足224a b b =-- （1）求A 、B 两点的坐标；（2）如图2，C 、D 在坐标轴上，且CD ①AB ，点F 在①ABO 的内部，连F A ，连FC 并延长至点G ，若①BAF =2①F AO ，①AFG =120°，求①DCG ：①GCE 的值； （3）设P （m n ，），且0m n +=，若2ABPOBPSS≥，请直接写出m 的取值范围13．已知：如图四边形ABCD是正方形，①EAF＝45°．（1）如图1，若点E，F分别在边BC、CD上，延长线段CB至G，使得BG＝DF，若BE＝4，BG＝3，求EF的长；（2）如图2，若点E，F分别在边CB、DC延长线上时，求证：EF＝DF﹣BE；（3）如图3，如果四边形ABCD不是正方形，但满足AB＝AD，①BAD＝①BCD＝90°，①EAF＝45°，且BC＝8，DC ＝12，CF＝6，请你直接写出BE的长．14．直线MN与直线PQ垂直相交于点O，点A在直线PQ上运动，点B在直线MN上运动．（1）如图1，已知AE BE 、分别是BAO ∠和ABO ∠角的平分线，点AB 、在运动的过程中，AEB ∠的大小是否会发生变化？若发生变化，请说明变化的情况；若不发生变化，试求出AEB ∠的大小．（2）如图2，已知AB 不平行CD AD BC ，、分别是BAP ∠和ABM ∠的角平分线，又DE CE 、分别是ADC ∠和BCD∠的角平分线，点AB 、在运动的过程中，CED ∠的大小是否会发生变化？若发生变化，请说明理由；若不发生变化，试求出CED ∠的度数．（3）如图3，延长BA 至G ，已知BAO OAG ∠∠、的角平分线与BOQ ∠的角平分线及反向延长线相交于E F 、，在AEF △中，如果有一个角是另一个角的3倍，则ABO ∠的度数为____（直接写答案）15．在平面直角坐标系中，点A 的坐标()0,4，点C 的坐标()6,0， 点P 是x 轴上的一个动点，从点C 出发，沿x 轴的负半轴方向运动，速度为2个单位/秒，运动时间为秒，点B 在x 轴的负半轴上，且AOC 的面积：AOB 的面积3:1=．（1）求点B 的坐标；（2）若点D 在y 轴上，是否存在点P ，使以P D O 、、为顶点的三角形与AOB 全等？若存在，直接写出点D 坐标；若不存在，请说明理由；（3）点Q 是y 轴上的一个动点，从点A 出发，向y 轴的负半轴运动，速度为2个单位/秒．若P 、Q 分别从C 、A 两点同时出发，求：t 为何值时，以P Q O 、、三点构成的三角形与AOB 全等．16．已知，如图①，点D ，E ，F ，G 是ABC 三边上的点，且//FG AC ， （1）若EDC FGC ∠=∠，试判断DE 与BC 是否平行，并说明理由．（2）如图①，点M 、N 分别在边AC 、BC 上，且//MN AB ，连结GM ，若60A ∠=，55C ∠=，4FGM MGC ∠=∠，求GMN ∠的度数．（3）点M 、N 分别在射线AC 、BC 上，且//MN AB ，连结GM ．若A α∠=，ACB β∠=，FGM n MGC ∠=∠，直接写出GMN ∠的度数（用含α，β，n 的代数式表示）17．如图1，在ABC 中，ACB ∠为锐角，点D 为射线BC 上一点，连接AD ，以AD 为一边且在AD 的右侧作等腰直角ADF △，90DAF ∠=︒，AD AF =． （1）如果AB AC =，90BAC ∠=︒，①当点D 在线段BC 上时（与点B 不重合），如图2，线段CF ，BD 所在直线的位置关系为______，线段CF ，BD 的数量关系为______；①当点D 在线段BC 的延长线上时，如图3，①中的结论是否仍然成立，并说明理由；（2）如果AB AC ≠，BAC ∠是锐角，点D 在线段BC 上，CF BC ⊥能成立吗？若不能，说明理由，若能，直接写出ACB ∠的度数．18．已知点C 是①MAN 平分线上一点，①BCD 的两边CB 、CD 分别与射线AM 、AN 相交于B ，D 两点，且①ABC +①ADC ＝180°．过点C 作CE ①AB ，垂足为E ．（1）如图1，当点E 在线段AB 上时，求证：BC ＝DC ；（2）如图2，当点E 在线段AB 的延长线上时，探究线段AB 、AD 与BE 之间的等量关系；（3）如图3，在（2）的条件下，若①MAN ＝60°，连接BD ，作①ABD 的平分线BF 交AD 于点F ，交AC 于点O ，连接DO 并延长交AB 于点G ．若BG ＝1，DF ＝2，求线段DB 的长．参考答案：1．(1)①15︒；①ABD AFCSS的值为13(2)30BED ∠=︒【分析】（1）①连接AE ，由已知易得30DBA ∠=︒，继而可知2BD AD =，则有AD AE =，30AED DAE ︒∠=∠=，所以AB AE AC ==，得ACE △是等腰三角形，再由三角形外角的性质即可求解．①过C 点作CH FD ⊥交延长线于H ，构造K 字形全等ABD CAH ≌，得CHAD ，AH BD =，再由AB AC AE ==可得45BEC ∠=︒，进而可得ED DF =，而BD DE =，即有BD AF AD =+，再由三角形面积公式可求比值．（2）以AB 为边作等边三角形，由ABC 是顶角为120︒的等腰三角形，易得BC 垂直平分,AN AD ND =，由40DAC ∠=︒可知20NAD DNA ︒∠=∠=，再在BE 上取M 点，使20MAB ABM ︒∠=∠=，由ASA 即可判定ABM AND △≌△，所以AM AD =，再由已有条件易得AM AE =，所以ADE 是等腰三角形，进而求出,AED BED ∠∠度数即可． 【解析】（1）解：①连接AE ，①,90AB AC BAC =∠=︒， ①=45ABC ∠︒， ①75EBC ∠=︒， ①30ABD ∠=︒，①在Rt △ABD 中，2,60BD AD BDA ︒=∠=， 又①2BD DE =， ①DE DA =，①30DEA DAE ︒∠=∠=， ①30ABD DEA ︒∠=∠=， ①AB AE =，①AE AC =， ①AEC ACE ∠=∠，又①30AEC ACE EAD ∠︒+∠=∠=， ①15DCE ∠=︒， 故答案为：15︒．①解：连接AE ，过C 点作CH FD ⊥交延长线于H ，①DF 垂直平分BE ，即90,ADE ADB DE DB ∠=∠=︒=， ①AB AE =，①90ABD BAD ∠+∠=︒， 又①90BAC ∠=︒， ①90CAH BAD ︒∠+∠=， ①ABD CAH ∠=∠， 在ABD △和CAH 中， ADB CHA ABD CAH AB CA ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩， ①(AAS)ABD CAH ≌， ①,CH AD AH BD ==， ①AB AC AE ==，又①BAC ABE AEB ACE AEC ∠=∠+∠+∠+∠， ①290BEC BAC ∠=∠=︒， ①45BEC ∠=︒，①Rt FDE △是等腰直角三角形， ①DF DE =， ①DB DF =，①3ADAF=3AD =， ①3BD AD AF AF =+=+， ①111,222ABDAFC S BD AD S AF CH AF AD ∆=⋅=⋅=⋅， ①313ABD AFCS BD AF AFS AF +== 故ABD AFCS S的值为13（2）解：以AB 为边作等边ABN ，连接DN ，①120,BAC AB AC ∠=︒=， ①30ABD ∠=︒， ①BD 垂直平分AN ， ①AD ND =， ①40DAC ∠=︒， ①20NAD DNA ︒∠=∠=，在BE 上取M 点，使20MAB ∠=︒， ①10EBC ∠=︒， ①20EBA MAB ︒∠=∠=， 在ABM 和ADN △中，BAM NADABM AND AB AN ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩， ①(AAS)ABM AND ≌， ①AM AD =，①20,10,30EBA MAB EBC C ︒∠=∠=∠∠=︒︒=，①40,40AME AEM ︒︒∠=∠=，①AM AE =， ①AD AE =， ①40DAC ∠=︒， ①70AED ∠=︒，①704030BED AED AEB ∠=∠-∠=︒-︒=︒．【点评】此题是三角形综合题，主要考查了全等三角形的判定和性质，等腰三角形的性质，等腰直角三角形的性质，解本题的关键是作出辅助线构造K 字形全等和旋转全等，找出图形中等腰三角形．这也是本题的难点． 2．(1)见解析; (2)2;(3)CM FD AB +=，见解析【分析】()1由平行四边形的性质及角平分线的定义证出CMN CNM ∠=∠ ，则可得出结论；()2过点M 作MH BC ⊥于H ，由平行四边形的面积求出CE 的长，由勾股定理求出BE 的长，设CM x =，165MH ME x ==- 证明M BEM BH ∆∆≌，由全等三角形的性质求出125BH BE ==，由勾股定理可求出答案； ()3在射线FA 上截取FQ CM =，连接CQ ，证明N CFQ BC ∆∆≌，由全等三角形的性质证出,CQF CNB FCQ CBN ∠=∠∠=∠ ，由平行四边形的性质及角平分线的定义证出DQ DC =，则可得出结论．（1）证明：四边形ABCD 是平行四边形，AD //BC CF AD ⊥，CF BC ∴⊥90°BCF ∴∠= 90°CBN CNB ∴∠+∠=CE AB ⊥，°90EBC ∴∠=90°EBM EMB ∴∠+∠=BP 平分ABC ∠ABP CBP ∴∠=∠ EMB CNB ∴∠=∠ EMB CMN∠=∠CMN CNM ∴∠=∠ CMN ∴∆为等腰三角形；（2）过点M 作MH BC ⊥于H11134AF DF CF ===3,4FD CF ∴== ∴ 134AD AF FD =+=+= 90°CFD ∠= ，根据勾股定理5CD AB ∴==,CE AB CF AD ⊥⊥ 在ABCD 中，由面积相等，有：AB CE AD CF ⋅=⋅ 即544CE =⨯516CE = 165CE ∴=90°CEB ∠= 165CE =，4BC =22216121655BE BC CE ∴=-=-=（） BP 平分ABC ∠，MH BC ⊥，ME AB ⊥MH ME ∴=设CM x =，165MH ME x ==-,,BEM BHM EBM HBM BM BM ∠=∠∠=∠= 125BH BE ==85CH ∴= 90°MHC ∠=22216855x x ∴-+=（）（） 2x ∴=2CM ∴=；（3）线段CM ，FD ，AB 之间的数量关系为CM FD AB +=理由如下：在射线FA 上截取FQ CM = 连接CQ ，,CM CN FQ CM==FQ CN ∴=AD CF =∵，AD BC =，①BC CF =90°CFQ BCN ∠=∠= ∴NCFQ BC ∆∆≌CQF CNB FCQ CBN ∴∠=∠∠=∠，四边形ABCD 是平行四边形，//AB CD∴ABP CPB ∴∠=∠BP 平分ABC ∠ ABP CBN ∴∠=∠CBN CPN ∴∠=∠FCQ CPN ∴∠=∠CPN PCN FCQ PCN ∴∠+∠=∠+∠ BNC PCQ ∴∠=∠ PCQ FQC ∴∠=∠ DQ DC ∴=CM FD CD ∴+= CD AB = CM FD AB ∴+=【点评】本题是四边形综合题，考查了平行四边形的判定与性质，全等三角形的判定与性质，角平分线的定义，等腰三角形的性质，熟练掌握全等三角形的判定与性质是解题的关键． 3．(1)B （5，0）； (2)S △POC ＝254－52m ； (3)E （0，7）．【分析】（1）根据三角形面积252AOB S =△，即可求出B （5，0）； （2）证明①AOC ①①BOC （SSS ），根据S △AOC +S △BOC ＝S △AOB ＝252，可得S △BOC ＝254，过点P 作PH ①OB 于点H ，表示出yP ＝m ，PH ＝m ．所以S △OPB ＝12OB ·PH ＝12×5m ＝52m ，进一步可求出S △POC ＝S △BOC －S △BOP ＝254－52m ； （3）延长OC 交BE 于点G ，过点C 作CK ①OA 于点K ．证明①CAK ①①COK （AA S ），①BCG ①①OCP （A S A ），①P AF ①①GOE （S A S ），可得：BG ：GE ＝OP ：PF ＝5：7．过点G 分别作GM ①OA 于点M ，GN ①OB 于点N ．证明GM ＝GN ．根据S △EOG ＝12OE ·GM ＝12GE ·OD ，S △BOG ＝12OB ·GN ＝12BG ·OD ，可得OE ：OB ＝GE ：GB ＝7：5，进一步可求出OE ＝7，即E （0，7）．【解析】（1）解：①A （0，5）， ①OA ＝5．①S △AOB ＝12OA ·OB ＝52OB ＝252，①OB ＝5， ①B （5，0），（2）解：①点C 为AB 中点， ①AC ＝B C ．在①AOC 和①BOC 中， OA OBAC BC OC OC =⎧⎪=⎨⎪=⎩①①AOC ①①BOC （SSS ）， ①S △AOC ＝S △BOC ，又①S △AOC +S △BOC ＝S △AOB ＝252， ①S △BOC ＝254． 过点P 作PH ①OB 于点H ，如图2，①yP＝m，①PH＝m．①S△OPB＝12OB·PH＝12×5m＝52m，①S△POC＝S△BOC－S△BOP＝254－52m．（3）解：如图3，延长OC交BE于点G，过点C作CK①OA于点K．①①AKC＝①BKC＝90°，①①AOC①①BOC，①①AOC＝①BOC，又①①AOC+①BOC＝90°，①①COK＝45°．同理，①CAK＝45°，①①CAK＝①COK，在①CAK和①COK中，CK CKCKA CKO ⎪=⎨⎪∠=∠⎩①①CAK ①①COK （AA S ）， ①CA ＝CO ， 又①CA ＝CB ， ①CO ＝C B ． ①①AOC ①①BOC ， ①①ACO ＝①BCO ， 又①①ACO +①BCO ＝180°， ①①OCP ＝90°，①①BCG ＝180°－①OCP ＝180°－90°＝90°． ①①BCG ＝①OCP ． ①OP ①BE 于点D ， ①①BDP ＝90°．在Rt ①OCP 中，①COP ＝90°－①OPC ； 在Rt ①BDP 中，①CBG ＝90°－①BPD ， 又①①OPC ＝①BPD ， ①①COP ＝①CBG ． 在①BCG 和①OCP 中， CBG COP BCG OCP CB CO ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩①①BCG ①①OCP （A S A ）， ①CG ＝CP ，BG ＝OP①AP ＝AC +CP ＝OC +CG ＝OG ， ①AE ＝OF ，①AE +OA ＝OF +OA ，即OE ＝AF ， 在①P AF 和①GOE 中，AF OEAP OG ⎪=⎨⎪=⎩①①P AF ①①GOE （S A S ）， ①PF ＝GE ．①BG ：GE ＝OP ：PF ＝5：7．过点G 分别作GM ①OA 于点M ，GN ①OB 于点N ． ①①AOG ＝①BOG ， ①OG 平分①AOB ， 又①GM ①OE ，GN ①OB ， ①GM ＝GN ．①S △EOG ＝12OE ·GM ＝12GE ·OD ，S △BOG ＝12OB ·GN ＝12BG ·OD ， ①OE ：OB ＝GE ：GB ＝7：5 又①OB ＝5， ①OE ＝7， ①E （0，7）【点评】本题考查直角坐标系与三角形的综合，难度较大，解题的关键是掌握全等三角形的判定及性质，角平分线的性质定理，并能够熟练运用． 4．(1)①115°；①80°； (2)y =90°+12x ；理由见解析；(3)OF 至少要71米．【分析】（1）如图1，根据三角形的内角和定理由①BAC =50°可求得①ABC +①ACB = 130°，再根据角平分线的定义得①DBC =12①ABC ，①ECB =12①ACB ，从而可求得∠DBC +①ECB = 1130=652⨯︒︒，于是可求得y 的值，①先由三角形的内角和定理求得①OBC +①OCB =50°，再由BD 平分①ABC ， CE 平分①ACB ，求得①ABC +①ACB =2①OBC +2①OCB =100°，从而即可求得x ；（2）如图2，用三角形的内角和求得①ABC +①ACB = 180°-x ，再角平分线求得①DBC =12①ABC ，①ECB=12①ACB，于是可得①DBC+①ECB=12( 180°-x ) =90°-12x，最后利用三角形的内角和即可得y=90°+12x，（3）如图3，在BC_上取点M和N，使BM=BE，CN=DC，先证明①BEO①①BMO，①ODC①①ONC，得①BOM=①BOE，①NOC=①DOC，OM=OE，ON=OD，从而由①BAC= 120°，得①OBC+①OCB=180302A︒-∠=︒，于是有①BOM=①NOC=30°，计算①MON=90°，从而得S△OMN=6000（米2），于是即可利用面积求得OF的最小值．（1）解①如图1，①①x=50°即①BAC=50°，①BAC+①ABC+①ACB=180°，①①ABC+①ACB= 130°，①BD平分①ABC，CE平分①ACB，①①DBC=12①ABC，①ECB=1 2①ACB，∠∠DBC+①ECB= 12(①ABC+①ACB ) =1130=652⨯︒︒，①①BOC+∠DBC+①ECB=180°，①y=①BOC=180°-65°=115°，故答案为① 115°；①①y=130°即①BOC=130°，①BOC+①OBC+①OCB=180°，①①OBC+①OCB=50°，①BD平分①ABC，CE平分①ACB，①①ABC=2①OBC，①ACB=2①OCB，①①ABC+①ACB=2①OBC+2①OCB=100°，①①BAC+①ABC+①ACB=180°，①x=①BAC=180°- 100°=80°，故答案为① 80°；（2）解：如图2，y=90°+12x，理由如下：①①BAC=x，①BAC+①ABC+①ACB= 180°，①①ABC+①ACB= 180°-x，①BD平分①ABC，CE平分①ACB，①①DBC=12①ABC，①ECB=12①ACB，①①DBC+①ECB=12(①ABC+①ACB) =12( 180°-x ) =90°-1 2x，①①BOC+①DBC+①ECB=180°，①y=①BOC=180°- ( 90°-12x ) =90°+12x，故答案为①y =90°+12x ；（3）解：如图3，在BC _上取点M 和N ，使BM =BE ， CN =DC ，①BD ， CE 分别是①ABC 、①ACB 的角平分线，①①EBO =①MBO ，①DCO =①NCO ，①BO =BO ， CO =CO ，BM =BE ， CN =DC ，①①BEO ①①BMO ，①ODC ①①ONC ，①①BOM =①BOE ，①NOC =①DOC ， OM =OE ，ON =OD ， ①①BAC = 120°，①①OBC +①OCB =180302A︒-∠=︒，①①BOE =①OBC +①OCB =30°=①DOC ，①BOC =150°，①①BOM =①NOC =30°，①①MON =①BOC -①BOM -①NOC =150°-30°-30°=90°，①S △OMN =11200060002OM ON OE OD ==⨯=（米2），①BC - BE -CD = 170米， ①MN = BC -BM -CN = BC - BE -CD = 170米，①①OMN 的底边MN 上的高为：260001200017071MN ⨯÷=÷≈（米）①OF 至上要71米，答①出水管OF 至少要71米．【点评】本题考查全等三角形的判定和性质，角平分线的定义，三角形面积等知识，作辅助线，利用角平分线构造全等三角形是解题的关键． 5．(1)1,3a b ==- (2)NEQEQPMNE 或360MNENEQEQP 或PQFMNENEQ(3)①ADF BCF S S =△△；①m 的值为2-或5.【分析】（1）由由()0,4M 平移到()2,1P --确定平移的方式，从而可得答案；（2）分三种情况讨论：如图，当E 在NQ 的左边时，连接NQ ，如图，当E 在NQ 的右边，直线MN 的左边时，（包括E 在这两条直线上），如图，当E 在直线MN 的右边时，记直线MN 与EQ 的交点为F ，再根据平行线的性质，三角形的内角和定理与三角形的外角的性质可得答案；（3）①当01t <<时，如图，由题意可得：0,2,3,0,A B2,3,22,33,AD t BC t OD t OC t 记四边形OCFD 的面积为m ，再分别表示两个三角形的面积即可得到答案；①由7,ABFS可得,C D 都在负半轴上，再分两种情况讨论：交点F 在第三象限，如图，证明2,3nm 即2,,3F m m 作A ，F 作x 轴的平行线，过F ，B 作y轴的平行线，交点分别即为L ，P ，Q ，则四边形LFQP 为矩形，再利用面积列方程，如图，当交点F 在第一象限，同理利用面积列方程即可． (1)解：由()0,4M 平移到2,1,P 而()3,2N 平移到,,Q a b ①321,253,a b(2)如图，当E 在NQ 的左边时，连接NQ ，由平移可得：,MN PQ ∥180,MNQ PQN EQPMNEENQEQN180,NEQ ENQ EQN ,NEQEQPMNE如图，当E 在NQ 的右边，直线MN 的左边时，（包括E 在这两条直线上），MNQ PQN QNE NEQ NQE同理可得：180,180, MNE NEQ EQP360,如图，当E在直线MN的右边时，记直线MN与EQ的交点为F，PQF NFE同理：,NFE MNE NEQ,①PQF MNE NEQ(3)①当01t<<时，如图，由题意可得：0,2,3,0,A B 2,3,22,33,AD t BC t OD t OC t记四边形OCFD 的面积为m ， 123333,2ADF AOC SS m t m t m 132233,2BCF BOD S S mt m t m ①.ADF BCF SS ①7,ABF S 则,C D 都在负半轴上，交点F 在第三象限，如图，同理可得：,ADF BCF S S 而,,F m n 1123,22t m t n解得：2,3n m即2,,3F m m7,ABFS作A，F作x轴的平行线，过F，B作y轴的平行线，交点分别即为L，P，Q，则四边形LFQP为矩形，2112123223237,322323m m m m m m解得：2,m=-如图，当交点F在第一象限，同理可得：21211222337, 323223m m m m m m解得：5,m=综上：m的值为2-或5.【点评】本题考查的是坐标与图形，坐标系内图形的平移，平行线的性质，三角形的内角和定理的应用，三角形的外角的性质，利用割补法求解图形的面积，一元一次方程的应用，整式的乘法运算，本题的综合程度高，清晰的分类讨论是解本题的关键．6．(1)6，3，(0,3)-(2)①26m n-=；①(2,2)-或(4,)1-(3)OFC FCGOEC∠+∠∠的值为2，证明见解析【分析】（1）利用非负数的性质求解即可；（2）①如图1，过点D 分别作DM x ⊥轴于点M ，DN y ⊥轴于点N ，连接OD ，利用面积法求解即可；①如图11-中，设直线AM 交y 轴于T ，连接DT ，CM ，CM '．分两种情形：当点M 在点A 的左侧时，设(,3)2m D m -，根据4CDM CTD DTM CTM S S S S ∆∆∆∆=+-=，构建方程求解，当点M '在点A 的右侧时，同法可得；（3）OFC FCG OEC∠+∠∠的值不变，值为2．利用平行线的性质，三角形的外角的性质证明即可．（1）解：|3|0b -=0,30b ≥-≥， 60a ∴-=，30b -=，6a ∴=，3b =，3AB OC ==，且C 在y 轴负半轴上，(0,3)C ∴-，故答案为：6，3，(0,3)-；（2）①过点D 分别作DM x ⊥轴于点M ，DN y ⊥轴于点N ，连接OD ，如图所示：AB x ⊥轴于点B ，且点A (6,3)，D (,)m n ，C (0,3)-，6OB ∴=，3OC =，MD n =-，ND m =，Δ192BOC S OB OC ∴=⨯=， 又ΔΔΔBOC BOD COD S S S =+1122OB MD OC ND =⨯+⨯116()322n m =⨯⨯-+⨯⨯ 332m n =-， ∴3392m n -=，26m n ∴-=， m ∴、n 满足的关系式为26m n -=，故答案为：26m n -=；①设直线AM 交y 轴于T ，连接DT ，CM ，CM '，如图所示：当点M 在点A 的左侧时，设(,3)2m D m -， 4CDM CTD DTM CTM S S S S ∆∆∆∆=+-=， ∴11164(33)4642222m m ⨯⨯+⨯⨯-+-⨯⨯=， 解得2m =，(2,2)D ∴-，当点M '在点A 的右侧时，设(,3)2m D m -， 4CDM CTD DTM CTM S S S S '''∆∆∆∆=+-=，11168338642222m m ⎛⎫∴⨯⨯+⨯⨯-+-⨯⨯= ⎪⎝⎭， 解得4m =，∴(4,1)D -，综上所述，满足条件的点D 的坐标为(2,2)-或(4,)1-，故答案为：(2,2)-或(4,)1-；（3）OFC FCG OEC∠+∠∠的值不变，值为2． 理由如下：线段OC 是由线段AB 平移得到，//BC OA ∴，AOB OBC ∴∠=∠，又BOG AOB ∠=∠，BOG OBC ∴∠=∠，根据三角形外角性质，可得2OGC OBC ∠=∠，OFC FCG OGC ∠=∠+∠，22OFC FCG FCG OBC ∴∠+∠=∠+∠2()FCG OBC =∠+∠2OEC =∠， ∴22OFC FCG OEC OEC OEC∠+∠∠==∠∠． 【点评】本题属于几何变换综合题，主要考查了非负数，坐标与图形，平行线的性质以及平移的性质，解决问题的关键是作辅助线，运用面积法，角的和差关系以及平行线的性质进行求解．7．(1)10；证明见解析；(2)AC AF ⊥，AC AF =，理由见解析；【分析】（1）①利用225010()++=+a b a b 可求出5a =，5b =，即可求出=10+AO BO ；①作NC AB ⊥交AB 与点C ，OF AB ⊥交AB 与点F ，证明()△≌△CNM DMO AAS ，再证明45=∠=︒∠BNC ENM ，利用∠+∠=∠CNE ENM DMO ，∠+∠=∠CNE BNC DMO 即可证明∠=∠BNO BMO ；（2）证明()△≌△ABC FDA SAS ，得到AC AF =，=∠∠FDA BCA ，再利用等量代换证明AC AF ⊥；【解析】（1）解：①由图可知=++AO BO a b ，①225010()++=+a b a b①22010251025+-+-=+a b a b ，即()()2255=0-+-a b ，①5a =，5b =，①=10+AO BO ；①作NC AB ⊥交AB 与点C ，OF AB ⊥交AB 与点F ，如图，①90∠+∠=︒NMC BMO ，90∠+∠=︒DOM BMO ，①∠=∠NMC DOM ，在CNM 和DMO 中，NMC DOM NCM MDO MN OM ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩①()△≌△CNM DMO AAS ，①∠=∠CNM DMO ，CN DM =，CM DO =，①OA OB =90BOA ∠=︒，①==OD BD DA ，①CM BD =，①-=-CM CD BD CD ，即DM BC =，①DM CN =，①BC CN =，①45=∠=︒∠BNC ENM ，①∠+∠=∠CNE ENM DMO ，①∠+∠=∠CNE BNC DMO ，即∠=∠BNO BMO ，（2）解：AC AF ⊥，AC AF =，理由如下：假设DE 交BC 于点G ，有已知可知：()30A -,，()0,6B ，()0,6C -，()9,0D ， ①AD BC =，①DE AB ⊥①90BED ∠=︒①90∠+∠=︒EBG EGB ，90∠+∠=︒GDO OGD 且∠=∠EGB OGD ，①=∠∠EBG GDO ，在ABC 和FDA △中，=DF AB EBG GDO AD BC =⎧⎪∠∠⎨⎪=⎩①()△≌△ABC FDA SAS ，①AC AF =，=∠∠FDA BCA ，①90∠+∠=︒OAC BCA ，①90∠+∠=︒OAC FDA ，①AC AF ⊥，【点评】本题考查三角形全等的判定，等量代换，绝对值非负性的应用，直角坐标系中的图形，（1）的关键是证明()△≌△CNM DMO AAS ，（2）的关键证明()△≌△ABC FDA SAS ． 8．（1）B (﹣4，﹣4)，BC //AO ；（2）P (﹣4，0)；（3）①PQB ＝①OPQ +30°或①BQP +①OPQ ＝150°，见解析【分析】（1）根据非负数的性质分别求出a 、c ，得到点B 的坐标，根据坐标与图形性质判断AO 和BC 位置关系；（2）过B 点作BE AO ⊥于E ，根据三角形的面积公式求出AP ，得到点P 的坐标；（3）分点Q 在点C 的上方、点Q 在点C 的下方两种情况，根据平行线的性质解答即可．【解析】解：（1）2(4)20a c c a -++-+，又2(4)0a c -+20c a -+，40a c ∴-+=，20c a -+=，解得，8a =-，4c =-，则点B 的坐标为(4,4)--，点B 的坐标为(4,4)--，点C 的坐标为(0,4)-，//BC AO ．（2）过B 点作BE AO ⊥于E ，设时间经过t 秒，2PAB QBC S S ∆∆=，则2AP t =，OQ t =，4CQ t ∴=-， 4BE =，4BC =，111244222APB S AP BE AP BE t t ∆∴=⋅⋅=⋅⋅=⨯⨯=， 11(4)48222BCQ S CQ BC t t ∆=⋅⋅=⨯-⨯=-， 2APB BCQ S S ∆∆=，42(82)t t ∴=-，解得：2t =，24AP t ∴==，4OP OA AP ∴=-=，∴点P 的坐标为(4,0)-．（3）30PQB OPQ ∠=∠+︒或150BQP OPQ ∠+∠=︒．理由如下：①当点Q 在点C 的上方时，过Q 点作//QH AO ，如图2所示，OPQ PQH ∴∠=∠，//BC AO ，//QH AO ，//QH BC ∴，30HQB CBQ ∴∠=∠=︒，OPQ CBQ PQH BQH ∴∠+∠=∠+∠，PQB OPQ CBQ ∴∠=∠+∠，即30PQB OPQ ∠=∠+︒；①当点Q 在点C 的下方时；过Q 点作//HJ AO 如图3所示，OPQ PQJ ∴∠=∠，//BC AO ，//QH AO ，//QH BC ∴，//QH BC ∴，30HQB CBQ ∴∠=∠=︒，180HQB BQP PQJ ∴∠+∠+∠=︒，30180BQP OPQ ∴︒+∠+∠=︒，即150BQP OPQ ∠+∠=︒，综上所述，30PQB OPQ ∠=∠+︒或150BQP OPQ ∠+∠=︒． 【点评】本题考查了三角形综合题，考查的是三角形的面积计算、坐标与图形性质、平行线的性质、三角形内角和定理，掌握非负数的性质、灵活运用分情况讨论思想是解题的关键．9．（1）①EGF＝60°；（2）m＝13，①EGF＝60°﹣13α；（3）①EGF＝120°+13α，见解析．【分析】（1）利用三角形外角的性质以及角平分线的性质求解；（2）（3）利用三角形外角的性质，得出①EGF与①AFE的关系式，进而求解．【解析】（1）①EM、FN分别平分①CEF和①AFE，①①MEF＝12①CEF，①EFG＝12①AFE，①①EGF＝①MEF﹣①EFG，①①EGF＝12①CEF﹣12①AFE＝12（①CEF﹣①AFE）＝12①COF，而①AOC＝α＝60°，①①COF＝180°﹣60°＝120°，①①EGF＝60°；（2）①①CEF﹣①AFE＝①COF＝180°﹣α，①①CEF＝180°﹣α+①AFE，①①MEF＝m①CEF，①①MEF＝m（180°﹣α+①AFE），①①EGF＝①MEF﹣①NFE，①①EGF＝m（180°﹣α+①AFE）﹣（1﹣2m）①AFE＝m（180°﹣α）+（3m﹣1）①AFE，①①EGF的度数与①AFE的度数无关，①3m﹣1＝0，即m＝13，①①EGF＝13（180°﹣α）＝60°﹣13α；（3）①①BOC＝①CEF+①AFE＝180°﹣α，①①CEF＝180°﹣α﹣①AFE，①①MEF＝m①CEF＝m（180°﹣α﹣①AFE），而①NFE＝（1﹣2m）①AFE，①①EGF＝180°﹣①MEF﹣①NFE＝180°﹣m（180°﹣α﹣①AFE）﹣（1﹣2m）①AFE＝180°﹣m（180°﹣α）+（3m﹣1）①AFE，①①EGF的度数与①AFE的度数无关，①3m ﹣1＝0，即m ＝13，①①EGF ＝180°﹣13（180°﹣α）＝120°+13α．【点评】本题重点考察三角形外角的性质，熟练掌握是解决问题的关键．10．（1）72；（2）6；（3）①是偏等积三角形，理由见解析；①42000元【分析】（1）当AP CP =时，则72AP =，证ABP CBP S S ∆∆=，再证ABP ∆与CBP ∆不全等，即可得出结论；（2）由偏等积三角形的定义得ABD ACD S S ∆∆=，则BD CD =，再证()CDE BDA AAS ∆≅∆，则2CE AB ==，ED AD =，得2AE ED AD AD =+=，然后由三角形的三边关系求解即可；（3）①过A 作AM DC ⊥于M ，过B 作BN CE ⊥于N ，证()ACM BCN AAS ∆≅∆，得AM BN =，则ACD BCE S S ∆∆=，再证ACD ∆与BCE ∆不全等，即可得出结论；①过点A 作//AN CD ，交CG 的延长线于N ，证得()AGN DGC AAS ∆≅∆，得到AN CD =，再证()ACN CBE SAS ∆≅∆，得ACN CBE ∠=∠，由余角的性质可证CF BE ⊥，然后由三角形面积和偏等积三角形的定义得12BCE S BE CF ∆=⋅，2100BCE ACD S S ∆∆==，求出70()CF m =，即可求解． 【解析】解：（1）当72AP CP ==时，ABP ∆与CBP ∆是偏等积三角形，理由如下： 设点B 到AC 的距离为h ，则12ABP S AP h ∆=⋅，12CBP S CP h ∆=⋅，ABP CBP S S ∆∆∴=，10AB =，7BC =，AB BC ∴≠，AP CP =，PB PB =， ABP ∴∆与CBP ∆不全等， ABP ∴∆与CBP ∆是偏等积三角形，故答案为：72；（2）设点A 到BC 的距离为n ，则12ABD S BD n ∆=⋅，12ACD S CD n ∆=⋅，ABD ∆与ACD ∆是偏等积三角形，ABD ACD S S ∆∆∴=，BD CD ∴=，//CE AB ，ECD B ∴∠=∠，E BAD ∠=∠，在CDE ∆和BDA ∆中，ECD B E BAD CD BD ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩， ()CDE BDA AAS ∴∆≅∆，2CE AB ∴==，ED AD =，2AE ED AD AD ∴=+=，线段AD 的长度为正整数，AE ∴的长度为偶数，在ACE ∆中，6AC =，2CE =，6262AE ∴-<<+，即：48AE <<，6AE ∴=；（3）①ACD ∆与BCE ∆是偏等积三角形，理由如下： 过A 作AM DC ⊥于M ，过B 作BN CE ⊥于N ，如图3所示：则90AMC BNC ∠=∠=︒，ACB ∆、DCE ∆是等腰直角三角形，90ACB DCE ∴∠=∠=︒，AC BC =，CD CE =，3603609090180BCN ACD ACB DCE ∴∠+∠=︒-∠-∠=︒-︒-︒=︒，180ACM ACD ∠+∠=︒， ACM BCN ∴∠=∠，在ACM ∆和BCN ∆中，AMC BNC ACM BCN AC BC ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩， ()ACM BCN AAS ∴∆≅∆，AM BN ∴=，12ACD S CD AM ∆=⋅，12BCE S CE BN ∆=⋅，ACD BCE S S ∆∆∴=，180BCE ACD ∠+∠=︒，090BCE ︒<∠<︒， ACD BCE ∴∠≠∠，CD CE =，AC BC =，ACD ∴∆与BCE ∆不全等， ACD ∴∆与BCE ∆是偏等积三角形；①如图4，过点A 作//AN CD ，交CG 的延长线于N ，则N GCD ∠=∠，G 点为AD 的中点，AG GD ∴=，在AGN ∆和DGC ∆中，N GCDAGN DGC AG DG ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩， ()AGN DGC AAS ∴∆≅∆，AN CD ∴=，CD CE =，AN CE ∴=， //AN CD ，180CAN ACD ∴∠+∠=︒，90ACB DCE ∠=∠=︒，3609090180ACD BCE ∴∠+∠=︒-︒-︒=︒， BCE CAN ∴∠=∠，在ACN ∆和CBE ∆中，AN CE CAN BCE AC CB =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩， ()ACN CBE SAS ∴∆≅∆，ACN CBE ∴∠=∠，1809090ACN BCF ∠+∠=︒-︒=︒， 90CBE BCF ∴∠+∠=︒，90BFC ∴∠=︒，CF BE ∴⊥．由①得：ACD ∆与BCE ∆是偏等积三角形，12BCE S BE CF ∆∴=⋅，2100BCE ACD S S ∆∆==， 22210070()60BCE S CF m BE ∆⨯∴===， ∴修建小路CF 的总造价为：6007042000⨯=（元）．【点评】本题考查了新定义“偏等积三角形”的定义、全等三角形的判定与性质、等腰直角三角形的性质、三角形面积等知识；本题综合性强，熟练掌握“偏等积三角形”的定义，证明①A CM①①BCN 和①ACN ①①CBE 是解题的关键，属于中考常考题型． 11．（1）83；（2）32；（3）2a =时，2t =或 2.3a =时，5t =．【分析】（1）由题意得①BAF =①ABC =90°，BQ =at =2a ，AF =BC ，由三角形面积得2AQ =BQ ，则AB =32BQ =8,，得BQ =163=2a ，即可求得a 的值；（2）由题意得点P 与B 为对应顶点，PQ =BQ =at ，PC =BC =6，①CPQ =①ABC =90°，则AP =AC -PC =4，PQ ①AC ，得t =2，则PQ =BQ -2a ，最后根据三角形面积关系即可解答； （3）分两种情况：①AP 与EQ 为对应边，AQ 与EF 为对应边，则AP =EQ ，AQ =EF =10，求出a =2，BQ =BE -EQ =t ，则AQ =AB +BQ =8+t =10，解得t =2；①AP 与EF 为对应边，AQ 与EQ 为对应边，则AP =EF =10，AQ =EQ ，求出t -5，则AQ =EQ =5a ，得BQ =15-5a 或BQ =5a -15，最后求出a的值即可．【解析】解：（1）由题意得①BAF=①ABC=90°，BQ=at=2a，AF=BC，①112,,,22 AQF BQC AQF BQCS S S AF AQ S BC BQ ∆∆∆∆==⨯=⨯①2AQ=BQ,AQ=12BQ①AB=AQ+BQ=32BQ=8,即BQ=163①BQ=163=2a，即a=83；（2）①以P、C、Q为顶点的三角形与①BQC全等，CQ是公共边，①点P与B为对应顶点，PQ=BQ=at，PC=BC=6，①CPQ=①ABC=90°①AP=AC-PC= 10-6=4，PQ①AC，①AP=2t=4，即t=2①PQ=BQ=2a①①ABC的面积=①ACQ的面积+①BCQ的面积①1118610226222a a⨯⨯=⨯⨯+⨯⨯，解得a=32；（3）由题意得：①A=①E，则①A与①E为对应角，分两种情况：①AP与EQ为对应边，AQ与EF为对应边，则AP=EQ，AQ=EF=10，①EQ=at①at=2t，即a=2①EQ=2t①BE=3t①BQ=BE-EQ=t，①AQ= AB+BO=8+t=10解得：t=2；①AP与EF为对应边，AQ与EQ为对应边，则AP=EF=10，AQ=EQ，①2t=10①t=5，①AQ=EQ=5a，①BE=3t= 15①BQ=15-5a或BQ=5a-15当BQ =15-5a 时，AQ =15-5a +8=23-5a 或AQ =8-（15-5a ）=5a -7， ①5a =23-5a 或5a =5a -7（无意义），解得a =2.3；当BQ =5a -15时，AQ =5a -15+8=5a -7或AQ =8-（5a -15）=23-5a ①5a =5a -7（无意义）或5a =7-5a 解得：a =0.7，不合题意舍去； 综上所述，a =2时，t =2或a =2.3时，t =5．【点评】本题主要考查全等三角形的综合问题及动点问题，根据题意找到动点之间的联系以及掌握分类讨论思想成为解答本题的关键．12．（1）点(4,0)A -，点(0,2)B ；（2）2；（3）4m ≤-或405m -≤<或0m > 【分析】（1）由非负数的性质可求2b =，4a =-，即可求解；（2）设FAO α∠=，则2BAO α∠=，用α分别表示DCG ∠和GCE ∠，即可求解； （3）分三种情况讨论，利用面积的和差关系可求解． 【解析】解：（1）224a b b =--，20b ∴-≥，20b -≥，2b ∴=，4a ∴=-，∴点(4,0)A -，点(0,2)B ；（2）设FC 与AD 交于点T ，设FAO α∠=，则2BAO α∠=，//AB CD ，3ODC BAO α∴∠=∠=，18012060FTA αα∴∠=︒-︒-=︒-，60OTC FTA α∴∠=∠=︒-，90(60)30OCT αα∴∠=︒-︒-=︒+，30GCE OCT α∴∠=∠=︒+， 903DCE DOC ODC α∠=∠+∠=︒+， 602DCG DCE GCE α∴∠=∠-∠=︒+， :2DCG GCE ∴∠∠=；（3）如图21-，当点P 在AB 的上方时，0m n +=，m n ∴=-，点(4,0)A -，点(0,2)B ；4∴=OA ，2OB =，2ABP OBP S S ∆∆≥，∴11114()2()4222()2222m m m ⨯⨯-+⨯⨯--⨯⨯⨯⨯⨯-，4m ∴≤-，当点P '在AB 的下方，且在x 轴的上方时，即0m <，2ABP OBP S S ∆∆≥，∴1111424()2()22()2222m m m ⨯⨯-⨯⨯--⨯⨯-⨯⨯⨯-，45m ∴≥-，405m ∴-≤<， 当点P ''在x 轴的下方时，即0m >，2ABP OBP S S ∆∆≥，∴11114242222222m m m ⨯⨯+⨯⨯+⨯⨯≥⨯⨯⨯，4m ∴≥-， 0m ∴>，综上所述：4m ≤-或405m -≤<或0m >．【点评】本题是三角形综合题，考查了平行线的性质，非负性，三角形内角和定理，三角形的外角性质，利用分类讨论思想解决问题是解题的关键． 13．（1）EF ＝7；（2）见解析；（3）BE ＝5613【分析】（1）由“SAS ”可证①ABG ①①ADF ，可得AG ＝AF ，①DAF ＝①BAG ，由“SAS ”可证①GAE ①①F AE ，可得EF ＝GE ＝BE +BG ＝7；（2）在DF 上截取DM ＝BE ，由“SAS ”可证①ABE ①①ADM ，可得AE ＝AM ，①EAB ＝①DAM ，由“SAS ”可证①AEF ①①AMF ，可得EF ＝FM ，可得结论；（3）同（2）可证EF ＝DF ﹣BE ，可得BE +EF ＝18，由勾股定理可得EF 2＝CF 2+CE 2，可求BE 的长．【解析】证明：（1）①四边形ABCD 是正方形， ①AB ＝AD ＝BC ＝CD ，①D ＝①ABC ＝90°， ①AB ＝AD ，①D ＝①ABG ，BG ＝DF ， ①①ABG ①①ADF （SAS ）， ①AG ＝AF ，①DAF ＝①BAG ， ①①EAF ＝45°， ①①DAF +①BAE ＝45°， ①①BAG +①BAE ＝45°＝①GAE ， ①①GAE ＝①EAF ， 又①AG ＝AF ，AE ＝AE ， ①①GAE ①①F AE （SAS ）， ①EF ＝GE ，①EF ＝GE ＝BE +BG ＝4+3＝7； （2）如图2，在DF 上截取DM ＝BE ，①AD＝AB，①ABE＝①ADM＝90°，DM＝BE，①①ABE①①ADM（SAS），①AE＝AM，①EAB＝①DAM，①①EAF＝45°，且①EAB＝①DAM，①①BAF+①DAM＝45°，①①MAF＝45°＝①EAF，又①AE＝AM，AF＝AF，①①AEF①①AMF（SAS），①EF＝FM，①DF＝DM+FM，①DF＝BE+EF，①EF＝DF﹣BE；（3）如图，在DF上截取DM＝BE，同（2）可证EF＝DF﹣BE，①DF＝BE+EF＝CF+DC＝18，。