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基于复杂性测度的EEG初步研究
王品;郑小林;彭承琳;董为伟;王永红
【期刊名称】《生物医学工程学杂志》
【年(卷),期】2002(19)2
【摘要】利用两种复杂性测度的方法对正常人和病人不同大脑负荷状态下的 EEG 进行了分析。
一种是 Kaspar和 Schuster定义的复杂度算法 ,一种是新的度量序列复杂度的统计方法 -近似熵。
通过对若干例在四种不同实验状态下的 EEG信号的分析 ,表明可通过两种算法的数值变化有效地分辨大脑的状态 :正常或病理以及不同的负荷状态。
而且两种复杂性测度算法的变化规律相同。
显示出两种复杂性测度的算法在
【总页数】3页(P229-231)
【关键词】复杂性测度;EEG;脑电;近似熵
【作者】王品;郑小林;彭承琳;董为伟;王永红
【作者单位】重庆大学生物工程学院;重庆医科大学
【正文语种】中文
【中图分类】R741.044
【相关文献】
1.基于复杂性测度的复杂产品系统创新模式研究 [J], 王秀红;索晶
2.基于TO视角的项目复杂性测度研究 [J], 何清华;罗岚;陆云波;任俊山
3.基于复杂性测度的高温气冷堆模拟机运行模式识别及诊断研究 [J], 房超;孙俊;赖
宇阳
4.EEG复杂性测度用于大脑负荷状态的研究 [J], 刘建平;贺太纲;郑崇勋;黄远桂
5.基于复杂性测度的帕金森症病人EEG分析 [J], 陈仲永;伍文凯;童勤业;严筱刚因版权原因，仅展示原文概要，查看原文内容请购买。
人体肌电信号识别与应用研究近年来，通过电生理学手段研究人体生理变化已经成为科学界的热门话题。
人体肌电信号识别及其应用研究就是电生理学中的一个重要领域。
肌电信号可获得人体运动的信息，也可以通过肌电信号识别技术实现神经控制的运动，因此在医疗、健身、生物机器人、游戏娱乐等领域有广泛的应用。
一、肌电信号的特性肌电信号是一种由肌肉收缩所产生的电信号，它是肌肉收缩活动的生物电反映。
肌电信号主要有两个方面的特点：时域特性和频域特性。
时域特性是指在时间轴上分析肌电信号的功率、波峰、波谷、波形等特征; 频域特性是指在频域上分析肌电信号的频率、能量、功率谱等特征。
二、肌电信号的识别肌电信号识别的主要目的是判断肌肉的运动状态及其指令，也就是通过肌电信号获取人体运动模式的信息，进而控制机器运动或改善健康状况。
肌电信号识别技术的方法主要包括信号滤波、特征提取、分类、参数设置等方面。
1. 信号滤波：在肌电信号采集之后，需要对信号进行滤波处理。
信号滤波的目的是削弱或消除噪声以便进行后续的处理。
2. 特征提取：肌电信号的特征提取是肌电信号处理的关键步骤，其目的是将原始的肌电信号转换为适合分类或处理的特征向量。
3. 分类：目前的肌电信号识别分类方法主要有决策树算法、朴素贝叶斯算法、支持向量机、神经网络等。
4. 参数设置：识别肌电信号时，参数设置是很重要的。
一个好的参数设定可以使分类的结果更加准确。
三、肌电信号应用研究肌电信号的应用研究主要分为医学、健身训练、生物机器人和游戏娱乐四个领域。
1. 医学方面：肌电信号应用于肌无力、截肢者康复、膀胱控制、神经假体控制和面部重建等方面。
2. 健身训练方面：肌电信号可以被用来检测肌肉活动，可以帮助基于动作的效果，协调系统的训练。
肌电信号的应用可以辅助运动员提高姿势的正确性和力量输出的效率。
3. 生物机器人方面：生物机器人在复杂环境下能够完成一些人类难以完成的任务。
使用肌电信号可实现神经控制的动作，能够提供高效的机器人控制方式。
表面肌电信号分析评价肌肉疲劳的有效性和敏感性陈胜利;张立【摘要】目的:测定和分析应用表面肌电信号分析指标评价肌肉疲劳的有效性和敏感性,方法:选取健康无专业运动男、女大学生各10名,进行3个膝关节角度(90°、60°和30°)×3个运动负荷(40％MVC、60％MVC和80％ MVC)共9次静力性等长疲劳实验,同步记录sEMG信号并进行线性和非线性信号处理.结果:sEMG信号分析指标表现出单调性变化,且采样序列线性拟合具有显著性.膝关节角度、运动负荷和性别对各指标的变化率有显著影响.结论:应用非线性分析指标评价肌肉疲劳具有很好的敏感性.【期刊名称】《武汉体育学院学报》【年(卷),期】2011(045)012【总页数】7页(P71-77)【关键词】表面肌电信号;非线性;肌肉疲劳;敏感性【作者】陈胜利;张立【作者单位】郑州大学体育学院,河南郑州450044;武汉体育学院健康科学学院,湖北武汉430079【正文语种】中文【中图分类】G804.2肌肉持续收缩导致的肌肉疲劳发生和发展过程中表现的sEMG信号特有变化活动规律就其机制而言，取决于中枢神经系统控制与外周肌肉活动代谢的共同作用，并且与肌肉收缩做功能力密切相关。
因此，研究运动性肌肉疲劳过程中sEMG信号变化特征，对于了解肌肉疲劳发生机制和客观评价肌肉疲劳程度，对运动能力的影响具有重要理论和应用价值。
以往大量研究表明无论是上下肢还是躯干肌肉，静力性或是动力性运动所导致肌肉疲劳，sEMG信号活动均表现出相对一致的变化规律，即频谱曲线左移（频域分析指标随时间序列持续减小）；而时域分析指标目前还没有统一认可的变化规律，大部分研究结果认为在次最大随意收缩的实验中表现为先增加后减少，而在最大随意收缩的实验中表现为持续下降［1，2］。
肌电信号来源于大脑皮层运动区及皮层下不同部位，中枢运动性神经元兴奋冲动时的依时性序列信号，是测试电极部位许多运动单元发放的动作电位的总和。
生物医学信号的特征提取与分类一、引言生物医学信号包括脑电、心电、心肌电信号、皮肤电信号、肌电信号、眼动信号、血氧信号、磁共振信号等多种形式。
这些信号通过纪录脑、心、肌肉、神经等器官或部位的电、磁、光或声等物理量，反映人体内部的活动和状态。
这些信号在医学诊断、生理学研究、神经科学、康复医学、认知神经科学等领域有着广泛的应用。
然而，由于生物医学信号的复杂性、不确定性，信号处理中如何从原始信号中提取并分类有用的特征信息，是生物医学信号处理领域一直存在的难题。
因此，本文将着重探讨生物医学信号特征提取与分类这一重要问题，从特征提取方法和分类器两个方面进行系统综述，为相关领域的研究者提供参考。
二、生物医学信号特征提取方法特征提取方法是一种将原始信号中有用信息提取出来以方便后续分类或识别的数据处理方式。
在生物医学信号处理中，常用的特征提取方法包括时间域、频域、时频域和非线性分析等多种方法。
下面分别就这几种方法进行综述。
1.时间域分析时间域特征是指从原始时间序列中提取的一组描述信号时域变化的特征，例如幅值、均方根、斜率等。
时间域特征提取方法简单、易于理解，计算速度快，因此是生物医学信号处理中比较常用的一种特征提取方式。
2.频域分析频域特征是指通过对时间信号采用傅里叶变换以得到时域信号对应频率域的特征，例如谱质心、频带能量比等。
频域特征提取方法主要用于特征提取和频率分析，对信号中的周期性信息和谐波信息进行分析，能够反映信号的基本频率、谐波频率和能量分布情况。
3.时频域分析时频域特征是指对时间域和频域性质都进行考虑并联合分析的特征，例如小波分析、峭度、熵等。
时频域特征提取方法相当于是将时间域和频域的分析方法相互结合，提取出来的特征信息较为全面。
4.非线性分析非线性分析是指通过对信号采用复杂性测度等方法，对信号中的混沌、复杂性等非线性性质进行分析，例如分形维数、样本熵、逼近熵等。
非线性分析能够反映信号中的混沌、非周期性和共振等特征，对于异常信号的检测和诊断有重要作用。
基于多尺度最大李雅普诺夫指数的表面肌电信号模式识别邹晓阳;雷敏【摘要】为了提高动作表面肌电信号的识别率,提出一种将最大李雅普诺夫指数和多尺度分析结合的方法.从非线性和非平稳的角度出发,引入多尺度最大李雅普诺夫指数特征,并应用到人体前臂6类动作表面肌电信号的模式识别中.首先利用希尔伯特-黄变换,对原始信号进行经验模态分解,即多尺度分解；然后利用非线性时间序列分析方法,计算多尺度最大李雅普诺夫指数；最后将多尺度最大李雅普诺夫指数作为特征向量,输入支持向量机进行识别.平均识别率达到97.5％,比利用原始信号的最大李雅普诺夫指数进行识别时提高了3.9％.结果表明,利用多尺度最大李雅普诺夫指数对动作表面肌电信号进行模式识别效果良好.%To increase the recognition accuracy of action surface electromyography (SEMG) signal, a method combining the maximal Lyapunov exponent and multi-scale analysis was proposed. Considering the nonlinear and non-stationary characteristic of SEMG, a multi-scale maximal Lyapunov exponent ( MSMLE ) feature was introduced and applied to the pattern recognition of six types forearm action SEMG signals. First step was to decomposite original signal using Hilbert-Huang transform (HHT) , known as multi-scale decomposition. Then, MSMLE was calculated by nonlinear time series analysis method. At last, eigenvector MSMLE was input into support vector machine ( SVM ) for recognition. The mean recognition accuracy reached 97.5% , which was 3. 9% greater than that obtained from maximal Lyapunov exponent of original signal. Results showed that the proposed method was effective and precise in the pattern recognition of action SEMG signals.【期刊名称】《中国生物医学工程学报》【年(卷),期】2012(031)001【总页数】6页(P7-12)【关键词】表面肌电信号;最大李雅普诺夫指数;希尔伯特-黄变换;支持向量机;模式识别【作者】邹晓阳;雷敏【作者单位】上海交通大学振动冲击噪声研究所,上海200240;上海交通大学振动冲击噪声研究所,上海200240【正文语种】中文【中图分类】R318.04引言表面肌电信号与肌肉活动情况和功能特性之间存在着不同程度的关联性，在一定程度上反映了神经肌肉的状况和活动情况。
复杂性测度在肌电信号模式识别中的应用崔建国１李忠海１张大千１王旭２韩志仁１曲学军１１（沈阳航空工业学院自动控制系，沈阳１１００３４）２（东北大学信息科学与工程学院，沈阳１１０００４）Ｅ－ｍａｉｌ：ｇｏｒｄｏｎ＿ｃｊｇ＠１６３．ｃｏｍ摘要针对表面肌电信号（ＳＥＭＧ）的非平稳特性，提出了一种以复杂性测度和支持向量机（ＳＶＭ）相结合的肌电信号模式识别新方法。
肌电信号的复杂度作为一种新的肌电信号特征，算法简单。
支持向量机是一种新的机器学习机制。
通过对采集的四通道表面肌电信号进行分析，提取其复杂性测度信息构建特征矢量，利用“一对一”分类策略和二叉树构建的多类支持向量机分类器，很好地实现了对前臂的八种动作表面肌电信号的模式分类。
实验表明，由支持向量机对肌电信号的复杂度特征进行分类，具有很好的稳定性和准确率，为肌电信号及其它非平稳生理电信号的模式分类提供了一种新思路。
关键词复杂性测度表面肌电信号支持向量机模式识别文章编号１００２－８３３１－（２００６）１１－０１９５－０３文献标识码Ａ中图分类号Ｆ４０６．２ＴｈｅＡｐｐｌｉｃａｔｉｏｎｏｆＣｏｍｐｌｅｘｉｔｙｉｎＳＥＭＧＰａｔｔｅｒｎＲｅｃｏｇｎｉｔｉｏｎＣｕｉＪｉａｎｇｕｏ１ＬｉＺｈｏｎｇｈａｉ１ＺｈａｎｇＤａｑｉａｎ１ＷａｎｇＸｕ２ＨａｎＺｈｉｒｅｎ１ＱｖＸｕｅｊｕｎ１１（ＤｅｐａｒｔｍｅｎｔｏｆＡｕｔｏｍａｔｉｏｎＣｏｎｔｒｏｌ，ＳｈｅｎｙａｎｇＩｎｓｔｉｔｕｔｅｏｆＡｅｒｏｎａｕｔｉｃａｌＥｎｇｉｎｅｅｒｉｎｇ，Ｓｈｅｎｙａｎｇ１１００３４）２（ＳｃｈｏｏｌｏｆＩｎｆｏｒｍａｔｉｏｎＳｃｉｅｎｃｅ＆Ｅｎｇｉｎｅｅｒｉｎｇ，ＮｏｒｔｈｅａｓｔｅｒｎＵｎｉｖｅｒｓｉｔｙ，Ｓｈｅｎｙａｎｇ１１０００４）Ａｂｓｔｒａｃｔ：ＴｏｏｖｅｒｃｏｍｅｔｈｅｏｂｓｔａｃｌｅｏｆＳｕｒｆａｃｅＥｌｅｃｔｒｏｍｙｏｇｒａｐｈｙ（ＳＥＭＧ）ｎｏｎｓｔａｔｉｏｎａｒｙｃｈａｒａｃｔｅｒｉｓｔｉｃ，ａｎｏｖｅｌＳＥＭＧｐａｔｔｅｒｎｃｌａｓｓｉｆｉｃａｔｉｏｎｍｅｔｈｏｄ，ｗｈｉｃｈｉｓｂａｓｅｄｏｎｔｈｅｃｏｍｐｌｅｘｉｔｙａｎｄｔｈｅＳｕｐｐｏｒｔＶｅｃｔｏｒＭａｃｈｉｎｅ（ＳＶＭ），ｉｓｐｒｏｐｏｓｅｄ．ＴｈｅｃｏｍｐｌｅｘｉｔｙｏｆＳＥＭＧｉｓａｎｅｗｃｈａｒａｃｔｅｒｉｓｔｉｃａｎｄｉｔｓａｌｇｏｒｉｔｈｍｉｓｓｉｍｐｌｅ，ｗｈｉｌｅＳＶＭｉｓａｎｅｗｍｅｃｈａｎｉｓｍｏｆｍａｃｈｉｎｅｌｅａｒｎｉｎｇ．ＦｒｏｍｒａｗｆｏｕｒｃｈａｎｎｅｌＳＥＭＧｓｉｇｎａｌｓｏｆｃｏｒｒｅｓｐｏｎｄｉｎｇｍｕｓｃｌｅｓ，ｔｈｅｉｒｃｏｍｐｌｅｘｉｔｙａｒｅｅｘｔｒａｃｔｅｄａｎｄｓｉｇｎａｌｃｈａｒａｃｔｅｒｉｓｔｉｃｓａｒｅｃｏｎｓｔｒｕｃｔｅｄ．Ａｎｅｗｍｕｌｔｉ－ｃｌａｓｓｓｕｐｐｏｒｔｖｅｃｔｏｒｍａｃｈｉｎｅｃｌａｓｓｉｆｉｅｒｉｓｄｅｓｉｇｎｅｄｉｎ“ｏｎｅｖｅｒｓｕｓｏｎｅ”ｃｌａｓｓｉｆｉｃａｔｉｏｎｓｔｒａｔｅｇｙａｎｄｂｉｎａｒｙｔｒｅｅ．Ｅｉｇｈｔｆｏｒｅａｒｍｍｏｖｅｍｅｎｔｐａｔｔｅｒｎｓａｒｅｓｕｃｃｅｓｓｆｕｌｌｙｉｄｅｎｔｉｆｉｅｄ．ＥｘｐｅｒｉｍｅｎｔｓｓｈｏｗｔｈａｔｔｈｅＳＶＭｃａｎａｃｃｕｒａｔｅｌｙｓｏｒｔｏｕｔｅｉｇｈｔｍｏｖｅｍｅｎｔｐａｔｔｅｒｎｓａｎｄｔｈｅｒｅｃｏｇｎｉｔｉｏｎｒｅｓｕｌｔｉｓｒｏｂｕｓｔ．ＩｔｏｆｆｅｒｓａｎａｌｔｅｒｎａｔｅｍｅｔｈｏｄｆｏｒＳＥＭＧｐａｔｔｅｒｎｃｌａｓｓｉｆｉｃａｔｉｏｎ，ｗｈｉｃｈｃａｎｂｅｓｔｒａｉｇｈｔｆｏｒｗａｒｄｌｙｅｘｐａｎｄｅｄｔｏｏｔｈｅｒｎｏｎｓｔａｔｉｏｎａｒｙｂｉｏｅｌｅｃｔｒｉｃｓｉｇｎａｌｓｐａｔｔｅｒｎｃｌａｓｓｉｆｉｃａｔｉｏｎｓｔｕｄｙ．Ｋｅｙｗｏｒｄｓ：ｃｏｍｐｌｅｘｉｔｙ，ＳｕｒｆａｃｅＥｌｅｃｔｒｏｍｙｏｇｒａｐｈｙ（ＳＥＭＧ），ＳｕｐｐｏｒｔＶｅｃｔｏｒＭａｃｈｉｎｅ（ＳＶＭ），ｐａｔｔｅｒｎｒｅｃｏｇｎｉｔｉｏｎ１引言表面肌电信号（ＳｕｒｆａｃｅＥｌｅｃｔｒｏｍｙｏｇｒａｐｈｙ，简称ＳＥＭＧ信号）是从人体骨骼肌表面通过电极记录下来的神经肌肉系统活动时发放的生物电信号，是电极所接触到的许多运动单元发放的动作电位的总和。
它反映了神经、肌肉的功能状态。
在临床上广泛应用于诊断神经肌肉的功能等；在运动医学上用于肌肉疲劳强度的判定等；在康复医学上可以通过表面肌电的某些特征对其进行分类，从而可以驱动假肢，实现生物反馈调节。
如ＷｉｌｌｉａｍＰｕｔｎａｍ［１］等人１９９３年分别利用单层感知器和多层感知器对屈臂和伸臂两种动作进行识别，识别率均可达９５％；Ｅ．Ｚａｈｅｄｉ［２］等人１９９５年利用模糊Ｋ－均值策略进行了３个自由度的动作识别。
２００３年罗志增等利用ＡＲ模型和ＢＰ神经网络实现了对前臂２种不同动作肌电信号的模式分类［３］。
２００５年Ｋ．Ｎａｚａｒｐｏｕｒ等利用高阶统计学方法实现了对前臂４种不同动作肌电信号的模式分类［４］，平均识别率接近９１％。
电生理研究表明，每一运动神经元都具有本身的发放阈值和募集等级，在肌肉关节和脊髓细胞之间存在本体感觉纤维，即存在反馈通道。
运动神经系统本质上是一个高度非线性的动力学系统［５］。
为有效可靠地提取表面肌电信号的特征，对其进行分类，本文尝试利用信号中所蕴含的非线性动力学信息———复杂度指标作为描述肌电信号的一类新特征，并由支持向量机完成对肌电信号的模式识别，这一新方法很好地实现了对前臂８种不同动作肌电信号的模式分类。
２肌电信号复杂度定义及其提取方法按照动力学观点，稳态、周期或准周期运动都是有序的，并不复杂，而当动力系统的运动进入混沌时就变得复杂了。
研究表明，当肌肉处于收缩运动和肌肉疲劳等不同状态时，参加肌肉过程的神经运动单元的数量、每个运动单元放电的频率、动作电位的神经传导速度都会有所不同，由此将会导致运动神经基金项目：国家自然科学基金资助项目（编号：５０４７７０１５）作者简介：崔建国（１９６３－），男，东北大学博士研究生，沈阳航空工业学院副教授，专业：检测技术与自动化装置，研究方向：生物信息的检测与研究。
王旭，男，东北大学信息科学与工程学院教授，博士生导师，专业：检测技术与自动化装置，研究方向：生物信息的检测与研究等。
２２２４５７７１２３４５６７８图１“一对一”策略二叉树分类器结构图系统的动力学运动复杂性程度出现差异。
这种复杂程度的定量刻划就是复杂度分析。
本文采用Ｌｅｍｐｅｌ－Ｚｉｖ的复杂度定义［６］，通过复制和添加操作来描述一个给定的序列，并将所需的添加操作次数作为序列的复杂性度量即复杂度。
通过Ｋａｓｐａｒ－Ｓｃｈｕｓｔｅｒ算法求取序列的复杂度Ｃ（ｎ）［７］，并将其作为描述肌电信号的一种特征。
具体算法如下：设给定序列为Ａ１Ａ２…Ａｎ，该序列是通过对原始信号进行符号化操作后得到的，即为原信号的符号化序列。
从空串（不含任何符号的符号串）出发开始添加Ａ１。
设已生成的前缀序列为Ａ１Ａ２…Ａｒ－１，ｒ＜ｎ，并且下一个符号Ａｒ是用添加操作完成的，记为：Ａ１Ａ２…Ａｒ－１→Ａ１◆Ａ２…Ａｒ－１◆Ａｒ◆（１）这里在Ａｒ后的记号“◆”反映了Ａｒ的生成过程（添加）。
其具体操作法则为：先令Ａ＝Ａ１Ａ２…Ａｒ，Ｂ＝Ａｒ＋１。
用ＡＢ表示把Ａ，Ｂ两个符号串拼接而成的字符串，ＡＢπ表示把ＡＢ中最后一个字符删去所得的字符串（π表示去掉它前面的字符串的最后一个字符的操作），观察Ｂ是否可以从ＡＢπ中用复制的方法得到。
此处：ＡＢπ＝Ａ１Ａ２…Ａｒ（２）如果Ｂ不能从ＡＢπ中某个子串复制得到，就用添加操作加上Ａｒ＋１，并在Ａｒ＋１后面加上一个记号“◆”，又回到刚才的情况。
如果Ｂ＝Ａｒ＋１可以从ＡＢπ中某个符号复制得到，则继续观察Ｂ＝Ａｒ＋１Ａｒ＋２能否从ＡＢπ中的某个子串复制得到，这时：ＡＢπ＝Ａ１Ａ２…ＡｒＡｒ＋１（３）如果Ｂ能够从ＡＢπ中复制得到，则再考虑Ｂ＝Ａｒ＋１Ａｒ＋２Ａｒ＋３，以此类推。
如此下去有两种可能，一种是Ｂ已包含了原来给定序列的最后一个符号Ａｎ，则分析到此结束；另一种是对某个Ｂ，它不再能从ＡＢπ的任何一个子串复制得到，这时就进行添加操作，将这个Ｂ的最后一个符号添上，并在它后面添加记号“◆”。
如此操作，实际上记号“◆”的个数就反映了添加操作的次数。
这样，原给定符号串被“◆”分成段的数目就定义为“复杂度”Ｃ（ｎ）。
理论上已经证明，只要按上述算法，就可以得到关于符号序列的最短描述，即添加操作次数尽可能少的描述［７］。
Ｋａｓｐａｒ－Ｓｃｈｕｓｔｅｒ所定义的复杂度测度Ｃ（ｎ）算法仅包含比较和添加两种操作，因此该算法简单、操作方便，容易实现。
３支持向量机的分类算法３．１支持向量机的理论支持向量机（ＳＶＭ）是在统计学习理论基础上发展起来的一种新的通用学习方法，根据结构风险最小化原则，在使训练样本分类误差极小化的前提下，尽量提高分类器的泛化推广能力。
ＳＶＭ分类方法是从线性可分情况下的最优分类面提出的。
设线性可分样本集为（ｘｉ，ｙｉ），ｉ＝１，２，…，ｎ，ｘｉ∈Ｒｄ，ｙｉ∈｛－１，＋１｝是类别标号。
ｄ维空间中线性判别函数的一般形式为ｇ（ｘ）＝ｗ・ｘ＋ｂ，分类面方程为：ｗ・ｘ＋ｂ＝０（４）对判别函数进行归一化，使离分类面最近的样本的｜ｇ（ｘ）｜＝１，可得到分类间隔２／｜｜ｗ｜｜，因此要求分类间隔最大等价于使｜｜ｗ｜｜最小，而要求分类面将所有样本正确分类，则需满足：ｙｉ［（ｗ・ｘｉ）＋ｂ］－１≥０ｉ＝１，２，…，ｎ（５）因此，满足上述条件且使｜｜ｗ｜｜最小的分类面就是最优分类面。
其中使式（５）中等号成立的那些样本称作支持向量。
因为它们支撑了最优分类面，这样求最优分类面就成为在条件（５）约束下，求函数!（ｗ）＝１２｜｜ｗ｜｜２＝１２（ｗ・ｗ）（６）的最小值。
在此引入Ｌａｇｒａｎｇｅ函数：Ｌ（ｗ，ｂ，α）＝１２（ｗ・ｗ）－ｎｉ＝１%αｉ｛ｙｉ［（ｗ・ｘｉ）＋ｂ］－１｝（７）其中αｉ≥０为Ｌａｇｒａｎｇｅ系数，通过分别对ｗ和ｂ求偏微分并令它们等于０，可得最优解：ｗ＊＝ｎｉ＝１%αｉ＊ｙｉｘｉ（８）即最优分类面的权系数向量是训练样本向量的线性组合。
根据Ｋｕｈｎ－Ｔｕｃｋｅｒ条件，这个优化问题的解须满足：αｉ（ｙｉ（ｗ・ｘｉ＋ｂ）－１）＝０ｉ＝１，２，…，ｎ（９）求解后得到最优分类函数为：ｆ（ｘ）＝ｓｇｎ｛ｎｉ＝１%αｉ＊ｙｉ（ｘｉ・ｘ）＋ｂ＊｝（１０）用内积Ｋ（ｘｉ，ｘ）替代最优分类面中的点积，就相当于将原特征空间变换到了另一新的特征空间，此时相应的判别函数式（１０）变为：ｆ（ｘ）＝ｓｇｎ｛ｎｉ＝１%αｉ＊ｙｉＫ（ｘｉ，ｘ）＋ｂ＊｝（１１）这就是支持向量机，此时的最优分类算法就成了支持向量机分类算法。
采用不同的内积函数，将导致不同的支持向量机算法。
