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第二章 曲面论高斯曲率的计算公式 高斯曲率绝妙定理2122LN MK k k EG F-==- 。
注意(,,)uu r r r L n r =⋅=r r r r r ，(,,)uv r r r M n r =⋅=r r ，(,,)vv r r r N n r =⋅=r r 。
所以22LN M K EG F -=-2221[(,,)(,,)(,,)]()u v uu u v vv u v uv r r r r r r r r r EG F =--r r r r r r r r r ，利用行列式的转置性质和矩阵乘法性质，得2(,,)(,,)(,,)u v uu u v vv u v uv r r r r r r r r r -r r r r r r r r r(,,)(,,)u u v u v vv v u v uv uu uv r r r r r r r r r r r r⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪=- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭r r r r r r r r r r r r u u u v u vv u u u v u uv v uv v v vv v u v v v uv uu uuu vuu vv uv uuv vuv uvr r r r r r r r r r r r r r r r r r r r r r r r r r r r r r r r r r r r ⋅⋅⋅⋅⋅⋅=⋅⋅⋅-⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅r r r r r r r r r r r r r r r r r r r r r r r r r r r r r r r r r r r ru vv u uv v vv v uv uu u uu v uu vv uv uuv v uv uvE F r r E F r r FGr r F Gr r r r r r r r r r r r r r ⋅⋅=⋅-⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅r r r r r rr r r r r r r r r r r r r ru vv u uv v vv v uv uu u uu v uu vv uv uv uv uuv v E F r r E F r r FGr r F Gr r r r r r r r r r r r r r ⋅⋅=⋅-⋅⋅⋅⋅-⋅⋅⋅r r r r r r r r r r r r r r r r r r r r ，（其中用到行列式按第三行展开计算的性质。
曲面上的高斯曲率与高斯-波涅公式邢家省;杨小远;罗秀华【摘要】考虑曲面上高斯曲率计算公式的使用方法问题,给出椭球面上高斯曲率的求法;在曲面正交曲线坐标网下,给出高斯-波涅公式的证明过程,并指出高斯曲率简化公式的来源;由高斯曲率的曲面积分结果,导出曲面积分的一些几何意义.【期刊名称】《吉首大学学报（自然科学版）》【年(卷),期】2016(037)001【总页数】6页(P1-6)【关键词】高斯曲率;测地曲率;正交曲线坐标网;高斯-波涅公式【作者】邢家省;杨小远;罗秀华【作者单位】北京航空航天大学数学与系统科学学院,数学、信息与行为教育部重点实验室,北京100191;北京航空航天大学数学与系统科学学院,数学、信息与行为教育部重点实验室,北京100191;平顶山教育学院,河南平顶山467000【正文语种】中文【中图分类】O186.1曲面上的高斯曲率是经典微分几何学中的重要概念[1-5].高斯曲率的引入方式和计算公式已经成为经典知识[1-12].多种曲面上的高斯曲率已计算出来[1-7]，但有些曲面上的高斯曲率求法复杂，文献中鲜有记载.对椭球面上的高斯曲率，文献[7]中利用椭球面的参数方程给出计算过程，计算量大，笔者发现利用显式曲面上的高斯曲率的计算公式，可以给出简便求法.对正交曲线网下曲面上的高斯曲率的简化公式[1-7]，现有文献都是给出验证办法[1-7]，没有给出是如何导致这个发现的，笔者指出了导致高斯曲率简化公式的来源.利用曲面上高斯曲率的曲面积分结果，给出了一些曲面积分来源的几何动因.设曲面Σ:r=r(u,v)是C3类的正则曲面.曲面Σ上一点P(u,v)处的单位法向量为n.曲面上的第一基本形式为[1-6]曲面上的第二基本形式为[1-6]令矩阵A,B分别称为曲面上的第一基本矩阵和第二基本矩阵[3,5,8].曲面上的单位法向量为.设k2,k1分别为曲面上一点处的法曲率的最大值、最小值.曲面上的高斯曲率和平均曲率分别为[1-6,8]定理1[1-6] 曲面Σ：z=f(x,y)((x,y)∈D)上的高斯曲率和平均曲率分别为容易验证.定理2[7] 椭球面=1上的高斯曲率为证明由椭球面的对称性，只须求出上半椭球面上的高斯曲率.直接求偏导数，计算可得：于是，故得椭球面上的高斯曲率为p4.其中p为点(0,0,0)到椭球面上点(x,y,z)处的切平面的距离，.定理2中的结果在文献[7]中是采用对椭球面的参数方程表示进行的计算，计算量较大.笔者采用显式方法，给出直接的计算过程.利用这个方法可得如下一些曲面上的高斯曲率：例1[7] 单叶双曲面=1上的高斯曲率为.例2[7] 双叶双曲面=-1上的高斯曲率为.定理3[1-7,10] 设曲面Σ:r=r(u,v)上的坐标曲线构成正交网，Γ是曲面Σ上的一条曲线，其参数方程为u=u(s),v=v(s),或r=r(u(s),v(s))=r(s)，这里s是该曲线的自然参数.令曲线的切方向与ru的夹角为θ，则曲线Γ测地曲率为定理4[2-7,11-12] 设曲面Σ：r=r(u,v)上的坐标曲线网是正交网，则有(1)式在文献[2-7]中是有的，在其中都指出了随后的简化记忆公式，但没有说明这个记忆公式是如何发现的.下面笔者将给出导致发现的过程.定理5 设曲面Σ：r=r(u,v)上的第一基本形式为Ⅰ=(du)2+G(u,v)(dv)2，则曲面上曲线r=r(s)=r(u(s),v(s))的测地曲率为，曲面上的高斯曲率为.设曲面S:r=r(u,v)是C3类正则曲面.曲面S上的高斯曲率为K，曲面上的曲线的测地曲率为kg，曲面上的面积微元为dA，曲线的弧长微分为ds.区域D的边界记为∂D.定理6(Gauss￣Bonnet公式)[2-4] 设区域D是曲面S上的一个单连通区域，若∂D是一条光滑曲线，则有证明设曲线C=∂D是曲面Σ上的一条简单光滑封闭曲线,它所包围的区域D是一个单连通区域.而Ω是D对应的(u,v)平面上的区域,记平面区域Ω的边界曲线为∂Ω.选取曲面上正交坐标曲线网作为参数曲线网(u,v).设曲线C的参数方程是u=u(s),v=v(s)，其中s为弧长参数,θ(s)是曲线C在弧长s处的切向量与u-曲线的正向夹角,可以选取θ(s)是s的可微函数.利用正交曲线坐标网下计算曲线测地曲率的Liouville公式[1-5,10]将(3)式两边绕曲线C积分1周，得现在先考察(4)式右端的第2个积分.利用第二类曲线积分中的Gauss￣Green公式[13]，得这里导致出现需要计算v这样的式子的问题.直接求导计算，最后利用(1)式，得故有对(5)式的来源，笔者给出的是自然的导出发现过程，而不是后验证过程.于是，再由结果[1-4]∫Cdθ=2π，因此(4)式就化为∫Ckgds=2π-∬DKdA，即(2)式得证.对(2)式，文献[1]中是用曲面上半测地坐标网下给出的证明过程，给出的推导过程过于繁琐，完全应该改进.直接利用定理5的结果，就可给出简便的证明过程.推论1[1-4] 设区域D是曲面S上的一个单连通区域，若∂D是一条光滑曲线，并且∂D是曲面上的测地线，即曲线∂D上的测地曲率kg=0，则有∬DKdA=2π.推论2[1-4] 设曲面S是一个单连通的封闭曲面，则有∬SKdA=4π.证明用一条光滑的封闭曲线C将曲面S分成2个部分S1和S2.利用定理6，有∂S1和∂S2的定向相反，kg|S1=-kg|S2，将(6)，(7)式相加后，得∬S KdA=4π.例3[1-4] 设S是半径为R的球面，此时有,成立∬SKdA=4π.例4 设S是椭球面，曲面上的高斯曲率为K，求∬SKdA.解因椭球面S是一个封闭地曲面，利用推论2，故有∬SKdA=4π.推论3[1-4] 在高斯曲率非正的单连通曲面上,不存在光滑的封闭测地线.证明设曲面S是一高斯曲率非正的单连通曲面,若其上存在一条光滑的闭测地线C,则C的测地曲率kg=0.设C在曲面S所围的区域为D，由Gauss￣Bonnet公式(1)，可知∬DKdA=2π，这与S上的高斯曲率K≤0矛盾.注1 推论3中必须要求C所围成的区域是单连通的,否则命题不成立.例如在旋转单叶双曲面上(它的高斯曲率K<0)存在着一条光滑封闭测地线,即曲面上的最小纬圆.由例4中椭球面上的高斯曲率的曲面积分结果，导致出椭球面上的高斯曲率的曲面积分的直接计算问题.例5 设p(x,y,z)表示从原点到椭球面(a≥b≥c>0)上点P(x,y,z)处的切平面的距离，求第一型曲面积分S.解显然.记由对称性可知，其中.若，则a=b=c.显然此时是球面的情形，.下设，于是，即p4(x,y,z)dS=4πa2b2c2.因为椭球面上的高斯曲率为p4，所以，即有在文献[13]中给出如下等式的计算过程：这里例5的计算方法引用了文献[13]中对(9)式的计算过程，在此指明了导致(8)式和(9)式的来源及其几何意义.【相关文献】[1] 梅向明，黄敬之.微分几何[M].第4版.北京：高等教育出版社出版，2008：82-84；146-149.[2] 苏步青,胡和生,沈纯理,等.微分几何[M].北京:人民教育出版社,1980：197-203.[3] 陈维桓.微分几何[M].北京:北京大学出版社,2006：139-143；229-241.[4] 王幼宁，刘继志.微分几何讲义[M].北京：北京师范大学出版社,2003：149-153.[5] 陈维桓.微分几何例题详解和习题汇编[M].北京:高等教育出版社出版,2010：171-219.[6] 梅向明，王汇淳.微分几何学习指导与习题选解[M].北京:高等教育出版社,2004：189-190.[7] JOHN OPREA,著.Differential Geometry and Its Applications[M].陈智奇，李君，译.北京：机械工业出版社，2005：223-242.[8] 邢家省.法曲率最值的直接求法[J].吉首大学学报：自然科学版，2012，33(4)：11-15.[9] 邢家省，王拥军.高斯-波涅公式的应用[J].河南科学,2013,31(1)：6-9.[10] 邢家省,张光照.曲面上曲线的测地曲率向量的注记[J].吉首大学学报：自然科学版，2013，34(4)：7-10.[11] 邢家省，高建全，罗秀华.高斯曲率内蕴公式的几种形式的推导方法[J].四川理工学院学报：自然科学版，2014,27(4)：82-89.[12] 邢家省，高建全，罗秀华.曲面论高斯方程公式的几种形式的推导方法[J].吉首大学学报：自然科学版，2015,36(2)：1-7.[13] 黄玉民,李成章.数学分析(下册)[M].第2版.北京:科学出版社,2007：672-673.。
微分⼏何陈维桓第四章讲稿⽬录第四章曲⾯的第⼆基本形式 (50)§ 4.1 第⼆基本形式 (50)§ 4.2 法曲率 (52)§ 4.3 Weingarten映射和主曲率 (55)⼀、Gauss映射和W eingarten变换 (55)⼆、主曲率和主⽅向 (55)§ 4.4 主⽅向和主曲率的计算 (57)⼀、Gauss曲率和平均曲率 (57)⼆、Weingarten变换在⾃然基底下的矩阵 (59)三、第三基本形式 (61)§ 4.5 Dupin标形和曲⾯参数⽅程在⼀点的标准展开 (61)§ 4.6 某些特殊曲⾯ (64)⼀、Gauss曲率K为常数的旋转曲⾯ (65)⼆、旋转极⼩曲⾯ (66)第四章曲⾯的第⼆基本形式本章内容：第⼆基本形式，法曲率，Gauss 映射和Weingarten 变换，主⽅向与主曲率，Dupin 标形，某些特殊曲⾯计划学时：12学时，含习题课3学时. 难点：主⽅向与主曲率§ 4.1 第⼆基本形式设:(,)S r r u v = 为正则曲⾯，(,)n n u v = 是单位法向量. 向量函数(,)r u v的⼀阶微分为u v dr r du r dv =+，⼆阶微分为()222222u v u v uu uv vv d r d r du r dv r d u r d v r du r dudv r dv =+=++++ .由于0dr n ?= ，再微分⼀次，得2d r n dr dn ?=-? .定义⼆次微分式222II 2d r n dr dn Ldu Mdudv Ndv =?=-?=++ (1.6)称为曲⾯S 的第⼆基本形式(second fundamental form)，其中uu u u L r n r n =?=-? ，uv u v v u M r n r n r n =?=-?=-?，vv v v N r n r n =?=-? (1.4-5) 称为曲⾯S 的第⼆类基本量.第⼆基本形式的⼏何意义：刻划了曲⾯偏离切平⾯的程度，也就是曲⾯的弯曲程度.由微分的形式不变性可知第⼆基本形式在保持定向的参数变换下是不变的，⽽在改变定向的参数变换下会相差⼀个符号. 但是，在参数变换下第⼆类基本量,,L M N ⼀般都会改变.第⼆基本形式与空间坐标系的选取⽆关. 对曲⾯:(,)S r r u v =作参数变换(,),(,)u u uv v v uv == (1.7) 在新的参数下，u u v u v r r r u u ??=+?? ，v u v u v r r r v v=+ .因此(,)(,)u v uv uv u vu v u v r r r r r r u v v u u v=-=. (1.10)当(,)0(,)u v uv ?>? 时，n n = ，从⽽ I I ,,I Id r d nd r d n =-=-=；当(,)0(,)u v uv ?n =- ，从⽽ II ,,II dr d n dr dn =-==- . 在保持定向的参数变换下，第⼆类基本量有和第⼀类基本量相同的变化规律. 事实上，记参数变换(1.7)的Jacobi 矩阵为u vu uu v vvJ =. 则()()(),,,u vu uu v vvdu dv dudv dudv J== ??. (1.14) 从⽽T II (,)(,)(,)II LM du L M dudu L M du dv du dv J J du dv MN dv M N dv dvMN ==== ?，即有T L M L M J J M N M N = ? ?. (1.13) 例求平⾯(,,0)r u v =和圆柱⾯()cos ,sin ,u u a ar a a v = 的第⼆基本形式. 解. (1) 对平⾯，(1,0,0)(0,1,0)dr du dv =+ ，20d r =，所以II 0=.(2) 对圆柱⾯，()sin ,cos ,0u uu a a r =- ，()0,0,1v r = ，()cos ,sin ,0u u u v a a n r r =?= . 因此 ()11sin ,cos ,0u u u a a a a dn du r du =-= ， ()()211 II u v u a a dr dn r du r dv r du du =-?=-+?=- . □定理1.1 正则曲⾯S 是平⾯(或平⾯的⼀部分)，当且仅当S 的第⼆基本形式II 0≡. 证明 “?”平⾯S 的单位法向量n是常向量，故II 0dr dn =-?=. “?” 由0u n n ?= ，0u u n r L ?=-= ，0u v n r M ?=-= 得0u n = . 同理有0v n =. 所以0n n =是常向量. 于是0()0dr n d r n ?=?=. 故0r n C ?=. □定理 1.2正则曲⾯S 是球⾯(或球⾯的⼀部分)，当且仅当S 的第⼆基本形式是第⼀基本形式的⾮零倍数：II I λ≡，其中(,)u v λλ=是⾮零函数.证明 “?”不妨设球⼼为原点，半径为a . 则22r a = ，0r dr ?= ，1an r =. 从⽽211II I aadr dn dr =-?=-=-.“?”由条件，L E λ=，M F λ=，N G λ=(因为,du dv 是独⽴的变量). 所以()0u u u n r r L E λλ+?=-+= ，()0u u v n r r M F λλ+?=-+=.⼜()0u u n r n λ+?=. 故u u n r λ=-. (1) 同理有v v n r λ=-. (2)因为S 是三次以上连续可微的，uv vu n n =. 于是v u uv uv vu u v vu r r n n r r λλλλ--===--，即有v u u v r r λλ=. 由于,u v r r线性⽆关，0,0u v λλ==. 故λ是⾮零常数. 由(1)和(2)得()0u n r λ+= ，()0v n r λ+=.所以110()n r n r r λλλ+=+=是常向量. 从⽽S 上的点满⾜球⾯⽅程2210()r r λ-= . □课外作业：习题1(1,4,5)，2(3)，3，6§ 4.2 法曲率设:(),()C u u s v v s ==是曲⾯:(,)S r r u v =上过点p 的⼀条正则曲线，s 是C 的弧长参数，00(,)((0),(0))u v u v =为p 点的曲纹坐标. 则C 的单位切向量为du dvu v ds ds dr ds r r r α===+ . (2.3) 根据Frenet 公式，C 的曲率向量22222222()2()d r d u d vdu du dv dv u vuu uv vv ds ds ds ds dsds dsr r r r r κβα===++++ ， (2.4) 其中κ是C 的曲率. 设n 为S 的单位法向量，(,)n θβ=∠，则cos n θβ=? .定义函数000000(,,,):(0)cos (0)(0)(,)(0)(,)n n u v du dv n u v r n u v κκκθκβ===?=?(2.6)22000000(,)()2(,)(,)()du du dvdv ds ds ds dsL u v M u v N u v =++ (2.5) 称为曲⾯S 在p 点沿着切⽅向(,)du dv (即d r)的法曲率(normal curvature).注曲⾯上所有在p 点相切的曲线在p 点有相同的法曲率，并且在p 点这些曲线的曲率中⼼位于垂直于切⽅向的平⾯(C 的法平⾯∏)内的⼀个直径为1/||n κ的圆周上：曲率中⼼为11((0),(0))(0)((0),(0))cos (0)(0)nc r u v r u v βθβκκ=+=+.沿着曲线C ，有dr rds= . 由于s 是弧长参数，因此在p 点成⽴ 22200000(,)2(,)(,)d s d r d r E u v d u F u v d u d v G u vd v=?=++.定义2.1 在曲⾯S 上对应于参数(,)u v 的点p 处，沿着切⽅向(,)du dv 的法曲率为22222II (,,,)2In n Ldu M dudv Ndv u v du dv Edu Fdudv G dvκκ++===++. (2.8)注法曲率除了与点p 有关，还与切⽅向即⽐值:du dv 有关. 但是与切向量d r的⼤⼩⽆关. 上⾯的定义不要求以d r为切向量的曲线C 以弧长s 为参数.定义曲⾯S 上过p 点的⼀个切⽅向(,)d u d v 与p 点的法线确定的平⾯π称为由切⽅向(,)du dv 确定的法截⾯. 法截⾯π与曲⾯S 的交线称为该点的⼀条法截线.定理2.1 曲⾯S 在(,)u v 点，沿切⽅向(,)du dv 的法曲率n κ等于该切⽅向确定的法截线C 在相应的有向法截⾯π(以d r n ?为平⾯π的定向)中的相对曲率，即有n r κκ=.证明设该点是000(,)r r u v =，沿切⽅向(,)du dv 的单位切向量为000(,)()|u v uv r du r dv α=+，在00(,)u v 点的单位法向量为000(,)n n u v =. 则法截⾯的定向是00n α?，从⽽法截线C 的弧长参数⽅程为000()()()r s r x s y s n α=++，其中(0)(0)0x y ==. 因为00(0)(0)(0)r x y n α=+ 是S 的切向量，0(0)(0)0y r n =?= . 从⽽(0)1x = . 因此0(0)r α= 是由(,)du dv 确定的切⽅向. 由定义，沿切⽅向(,)du dv 的法曲率 0000(0)[(0)(0)](0)n r n x y n n y κα=?=+?=.另⼀⽅⾯，法截线C 在该点的相对曲率(0)(0)(0)(0)(0)r x y x y y κ=-= . 所以有n r κκ=. □例 (1) 平⾯的法曲率.在平⾯S 上，II 0≡. 所以在任意点p S ∈，沿任意切⽅向(,)du dv ，都有法曲率0n κ=.(2) 圆柱⾯()cos ,sin ,u u a ar a a v =的法曲率. 对圆柱⾯，由上⼀节的例，22I du dv =+，21II adu =-，所以222()dun a du dv κ+=-.(3) 球⾯()2():cos cos ,cos sin ,sin S a r a u v a u v a u = 的法曲率.由定理1.2，1II I a =-. 所以1n aκ=-是⾮零常数. □定理2.2 在曲⾯S 上任意⼀点p 处，法曲率必定在两个彼此正交的切⽅向上分别取到最⼤值和最⼩值.证明在固定点p ，,,,,,E F G L M N 都是常数，法曲率n κ仅与⽐值:du dv 有关. 取p 点邻近的正交参数⽹. 则任意单位切向量p dr T S ∈，可以写成12cos sin u v dr r du r dv e e θθ=+=+，其中12,u v e e ==，1(,)dr e θ=∠即,du dv θθ==.沿着切⽅向:du dv 的法曲率22()cos sin sinn n L N E G κκθθθθθ==++ ()θ∈R是R 上的连续可微周期函数，必定在闭区间[0,2]π上取到最⼤值和最⼩值.如果n κ是常值函数，则n κ在任意两个彼此正交的切⽅向上分别取到最⼤值和最⼩值. 设()n κθ不是常值函数，则它的最⼤值和最⼩值不相等. 通过对曲⾯作参数变换00cos sin u uv θθ=- ，00sin cos v u v θθ=+ ，不妨设在0θ=处()n κθ取到最⼤值(0)/n L E κ=. 由于()sin 22nN L G E κθθθ??'=-+ ?，(0)0n κ'==，并且/(/2)(0)/n n N G L E κπκ=≤=，有222()cos sin cos n L N NL N N E GG E G G κθθθθ??=+=+-≥ ?. 所以()n κθ在/2θπ=±处取到最⼩值/N G . □定义2.2在曲⾯S 上⼀个固定点p 处，法曲率取最⼤值和最⼩值的切⽅向称为曲⾯S 在该点的主⽅向(principal direction)，相应的法曲率称为S 在该点的主曲率(principal curvature).注由上⾯的推导过程可知，如果在p 点n κ不是常值函数，()()sin 2NL nGEκθθ'=-在闭区间[0,2]π上只有4个零点，所以在p 点n κ只有两个主曲率1/L E κ=，2/N G κ=. 于是有下⾯的Euler 公式：2212()cos sin n κθκθκθ=+，其中(,)u dr r θ=∠，12κκ>，并且12()n κκθκ≥≥.定义 2.3 (1) 在曲⾯S 上⼀点，使法曲率为零的切⽅向(,)du dv 称为该点的⼀个渐近⽅向(asymptotic direction).(2) 设C 是曲⾯S 上的⼀条曲线. 若C 上每⼀点的切向量都是曲⾯在该点的渐近⽅向，则称C 是曲⾯S 上的⼀条渐近曲线(asymptotic curve).在⼀点(,)u v 处，渐近⽅向(,)du dv 是⼆次⽅程 2220Ldu Mdudv Ndv ++= (2.5) 的解. 当20LN M-<时，有两个实渐近⽅向::du dv M L N M =-±=-当20LN M -=时，只有⼀个实渐近⽅向:::du dv M L N M =-=-；当20LN M ->时，没有实渐近⽅向.让(,)u v 变动，则(2.5)就是渐近曲线的微分⽅程. 如果在曲⾯上每⼀点，20LN M -<，则曲⾯上存在两个处处线性⽆关的渐近⽅向向量场. 根据第三章定理4.1，在曲⾯上有由渐近曲线构成的参数曲线⽹，称为渐近线⽹.定理2.3 参数曲线⽹是渐近线⽹的充分必要条件是：0L N ==.证明 “?” 在u -曲线上0,0dv du =≠. 由(2.5)得0L =. 同理可得0N =. “?” (2.5)现在成为0M dudv =. 因此u -曲线和v -曲线都是渐近曲线. □定理 2.4 设C 是曲⾯S 上的⼀条曲线. 则C 是渐近线，当且仅当C 是直线，或C 的密切平⾯与曲⾯的切平⾯重合.证明由公式cos (,)n n κκβ=∠可得. □课外作业：习题1，4，7.§ 4.3 Weingarten 映射和主曲率⼀、Gauss 映射和W eingarten 变换设:(,)S r r u v = (2(,)u v ∈Ω? )是⼀个正则曲⾯，(,)n n u v =是它的单位法向量. 向量函数(,)n u v 定义了⼀个映射2::(,)(,)n S u v n u v Ω→，其中2S 是3E 中的单位球⾯. 因为空间3E 中的点与它的位置向量是⼀⼀对应的，映射n诱导了映射12::(,)((,))(,)g n r S S r u v g r u v n u v -=→= . (3.1)这个映射2:g S S →称为Gauss 映射. 注意Gauss 映射的象不⼀定是2S 的⼀个区域.Gauss 映射g 的切映射2():p g p g T S T S *→是⼀个线性映射，满⾜()g dr dn *=，即 ()u v u v g r du r du n du n dv *+=+，p dr T S ?∈，p S ?∈. (3.2)特别有()u u g r n *= ，()v v g r n *=. (3.4)因为(,)n u v同时也是2()g p T S 的法向量，S 在(,)p u v 点的切平⾯与2S 在()g p 点的切平⾯是平⾏的，从⽽在⾃由向量的意义下可将2()g p T S 与p T S 等同.定义线性映射2():p p g p W g T S T S T S *=-→≡称为曲⾯S 在p 点的Weingarten 变换(Weingarten transformation).事实上，因为0u v n n n n ?=?= ，所以,u u p n n T S ∈. 由定义可知， ()()()u v uv p W d r W r d u r d v d n n d un d v T S =+=-=-+∈，p dr T S ?∈. (3.5)⼆、主曲率和主⽅向定理3.1 II ()W dr dr =?. □定理3.2 相对于切空间的内积，Weingarten 变换:p p W T S T S →是⾃共轭(对称)的，即()()W dr r dr W r δδ?=?，,p dr r T S δ?∈ .证明 ()()()u v u v W dr r dn r n du n dv r u r v δδδδ?=-?=-+?+L d u u M d u v M d v u N dδδδδ=+++ ()()()(u v uvr d u r d v n u n v d r n d r W r δδδδ=-+?+=?-=?. □根据线性变换理论，Weingarten 变换W 的2个特征值12,λλ都是实的(这2个特征值可能相等). 设12,p X X T S ∈分别是从属于它们的特征向量，即111()W X X λ= ，222()W X X λ= . 当12λλ≠时，12,X X所确定的切⽅向:du dv 和:u v δδ是唯⼀的，且相互正交. 当12λλ=时，p T S 中的任何⾮零向量都是特征向量. 因此仍然有两个相互正交的特征⽅向.定理3.3在曲⾯S 上任意⼀点p 处，W 的2个特征值12,λλ正好是曲⾯S 在p 点的主曲率，对应的特征⽅向是曲⾯S 在p 点的主⽅向.证明取p T S 的由W 的特征向量构成的单位正交基{}12,e e，使得111()W e e λ= ，222()W e e λ=， (3.12)并设12λλ≥.对任意⼀个单位切向量p e T S ∈，可设 12cos sin e e e θθ=+. (3.13)则有121122()cos ()sin ()cos sin W e W e W e e e θθλθλθ=+=+. (3.14)于是沿切⽅向e的法曲率为2211221212II ()()I (cos sin )(cos sin )cos sin .n n W e ee ee e e e κκθλθλθθθλθλθ?===?=+?+=+由12λλ≥可知2222121121()cos ()()sin n λλλλθκθλλλθλ≤+-==--≤，并且()n κθ在0θ=时取最⼤值1λ，在/2θπ=时取最⼩值2λ. 所以12,λλ就是曲⾯S 在p 点的主曲率12,κκ，相应的切⽅向12,e e就是主⽅向. □注1 由定理可知沿特征⽅向:du dv 的法曲率n κ就是对应于特征向量d r的特征值：II()()I nW dr dr dr drdr dr dr dr λκλ??====?? . 注2 曲⾯S 在每⼀点p 有2个主曲率12,κκ. 当12κκ≠时，只有2个主⽅向，它们相互正交. 此时可取2个单位特征向量12,e e. 当12κκ=时，任何⽅向都是主⽅向. 此时可任取2个正交的单位特征向量12,e e.定理3.4(Euler 公式) 设{}12,e e是p 点的2个正交的单位特征向量，对应的主曲率为12,κκ.则对任意单位切向量12cos sin p X e e T S θθ=+∈，沿着X ⽅向的法曲率为2212()cos sin n κθκθκθ=+. (3.15)在曲⾯S 上⼀点p 处，如果12κκλ==，则由Euler 公式可知沿任何切⽅向:du dv ，都有II In κλ==， (3.16)即II I λ=. 这样的点称为脐点(umbilical point). 此时在该点有:::L E M F N G λ===. (3.17)当0λ=时，该点称为平点(planar point)；当0λ≠时，该点称为圆点(circle point).定理1.1和定理1.2的推论曲⾯S 是平⾯(或其⼀部分)，当且仅当S 上的点都是平点；曲⾯S 是球⾯(或其⼀部分)，当且仅当S 上的点都是圆点.定义3.1 设C 是曲⾯S 上的⼀条曲线. 若C 上每⼀点的切向量都是曲⾯在该点的主⽅向，则称C 是曲⾯S 上的⼀条曲率线(curvature line).定理 3.5(Rodriques 定理) 曲⾯:(,)S r r u v =上⼀条正则曲线:(),()C u u t v v t ==是曲率线的充分必要条件是：沿着曲线C ，()//()dn t dr t ，即((),())//((),())dn u t v t dr u t v t. 证明. 由定义，C 是曲率线，当且仅当对所有的t ，()dr t是Weingarten 变换的特征向量，即()()()()W dr t t dr t λ= ，也就是()()()()()dn t W dr t t dr t λ=-=-. □定理3.6 曲⾯S 上⼀条曲线C 是曲率线的充分必要条件是：曲⾯S 的沿着曲线C 的法线构成可展曲⾯.证明. 对曲⾯S 上任意⼀条曲线C ，曲⾯S 的沿着曲线C 的法线构成直纹⾯1:(,)((),())((),())S X X s t r u s v s t n u s v s ==+，其中s 是C 的弧长参数. 由于()()r s s α= 和()n s 是相互正交的单位向量，从⽽是线性⽆关的.1S 是可展曲⾯?()(),(),()0s n s n s α'≡()()()()(n s s s s n s λαµ'=+. 上式两边与()n t作内积可得()0s µ=，从⽽上式等价于 ()()()n s s s λα'=，这正好是曲线C 是曲率线的充分必要条件. □例3.1 求旋转⾯上的曲率线.解设旋转⾯的⽅程为()(,)()cos ,()sin ,()r u v f v u f v u g v =. 其中()0f v >，并且v 是经线的弧长参数，221f g ''+=. 则()sin ,cos ,0u r f u u =- ，()cos ,sin ,v r f u f u g '''=， ()cos ,sin ,u v r r f g u g u f '''?=- ，()cos ,sin ,n g u g u f '''=-. 由于()sin ,cos ,0u n g u u '=- ，()cos ,sin ,v n g u g u f ''''''=-，并且0f fg g ''''''+=，有0v v n r ?= ，0v v n r ?=. 所以u -曲线(纬线圆)和v -曲线(经线)都是曲率线. 当0g '=时，这个旋转⾯是平⾯，任何曲线都是曲率线. 当0g '≠时，1 g g f f -''''''=-. 如果f g f g a ''''''-=是常数，即经线是圆弧，则旋转⾯是球⾯.此时任何曲线都是曲率线. □例3.2 求可展曲⾯上的曲率线.解设可展曲⾯⽅程为(,)()()r u v a u vl u =+ . 已经知道它的单位法向量()n n u =与v ⽆关，沿着v -曲线(直母线)有0//v v n r =. 所以v -曲线是它的⼀族曲率线. 于是v -曲线的正交轨线是它的另⼀族曲率线. 如果可展曲⾯是平⾯，任何曲线都是曲率线. □课外作业：习题1，4，5§ 4.4 主⽅向和主曲率的计算⼀、Gauss 曲率和平均曲率设曲⾯S 的参数⽅程为(,)r r u v =，,,E F G 和,,L M N 分别是S 的第⼀、第⼆类基本量. 引理设λ是(,)p u v 点的主曲率，则λ满⾜0L E M F M FN Gλλλλ--=--， (4.4)即λ是⼆次⽅程222()(2)()0EG F LG M F NE LN M λλ---++-=的根，也就是⽅程220H K λλ-+= (4.8)的根，其中222()LG M F NEH EG F -+=-，22LN MK EG F -=-，分别称为曲⾯S 的平均曲率(或中曲率)(mean curvature)和Gauss 曲率(或总曲率)(Gaussian curvature). 换句话说，H λ= (4.9)证明. 设:du dv 是对应的主⽅向. 则有()W dr dr λ=，即()()u v u u n du n dv r du r dv λ-+=+.分别⽤,u v r r与上式两边作内积，得()Ldu M dv Edu Fdv λ+=+，()M du Ndv Fdu Gdv λ+=+.所以主⽅向:du dv 满⾜ ()()0,()()0.L E d u M F d v M F d uN G d v λλλλ-+-=??-+-=? (4.3)由于,du dv 不全为零，可得(4.4)式. □设12,κκ是(,)p u v 点的两个主曲率. 由根与系数的关系可得12222L G M F N EH E G Fκκ-++==-，2122LN M K EG Fκκ-==-. (4.6-7)因此1H κ=+，2H κ=-(4.9)p 点是脐点的充分必要条件是在p 点成⽴20H K ==.注⽅程(4.4)即(4.8)是Weingarten 变换的特征⽅程，在保持定向的参数变换下保持不变. 事实上，主曲率在保持定向的参数变换下不变，在反转定向的参数变换下相差⼀个符号. 因此平均曲率12()/2H κκ=+在保持定向的参数变换下不变，在反转定向的参数变换下相差⼀个符号. ⽽Gauss 曲率12K κκ=在参数变换下保持不变.定理4.1 假定曲⾯S 是3r ≥次连续可微的. 则主曲率函数12,κκ是连续的，且在⾮脐点邻近是2r -次连续可微的. □在脐点，20K H=≥，12H κκ==. 从⽽由II I H =可知L H E =，M HF =，N H G =，(4.3)中的两个⽅程成为恒等式. 此时，任何⽅向都是主⽅向.在⾮脐点，分别⽤1λκ=和2λκ=代⼊(4.3)，得到相应的主⽅向1111:():()():()d u d vM F L E N G M F κκκκ=---=--- (4.10) 和2222:():()():()u v M F L E N G M F δδκκκκ=---=---. (4.11)将(4.3)改写成()()0,()()0.L d u M d v E d u F d v M d u N d v F d uG d v λλ+-+=??+-+=? (4.12)由于1,λ-不全为零，有 0Ldu M dv E du F dv M du N dv F du G dv++=++， (4.14)即22()()()0FL EM du G L EN dudv G M FN dv -+-+-=. (4.15) 上式可写成220dv dudv du E F G LMN-=. (4.16)(4.14)或(4.15)或(4.16)就是曲⾯上曲率线的微分⽅程.定理4.2 设p 是曲⾯:(,)S r r u v =上⼀个固定点，它的曲纹坐标为00(,)u v . 则在该点参数曲线的切⽅向是相互正交的主⽅向，当且仅当在该点有00(,)0F u v =，00(,)0M u v =. 此时，曲⾯S 在该点的两个主曲率分别为00100(,)(,)L u v E u v κ=，00200(,)(,)N u v G u v κ=.证明必要性. 在00(,)p u v 点，u -曲线和v -曲线相互正交，故000000(,)(,)(,)0u v F u vr u v r u v =?=. (1) ⼜00(,)u r u v ，00(,)v r u v是W 的特征向量，故()0000100(,)(,)(,)u u un u v W r u v r u v κ-==， ()0000200(,)(,)(,)v v vn u v W r u v r u v κ-==. 分别⽤,u v r r与上⾯两式作内积得00(,)0M u v =，并且00100(,)(,)L u v E u v κ=，00200(,)(,)N u v G u v κ=. (4.17)充分性. 由条件，0000(,)(,)0u v r u v r u v ?= ，即00(,)u r u v ，00(,)v r u v相互正交. ⼜00000000(,)(,)(,)(,)0u v v u n u v r u v n u v r u v ?=?=.因此()000000(,)(,)//(,)u u u n u v W r u v r u v -= ，()000000(,)(,)//(,)v v vn u v W r u v r u v -=，即00(,)u r u v ，00(,)v r u v是W 的特征向量. □下⾯的两个定理是定理4.2的直接推论.定理4.3 参数曲线⽹是正交的曲率线⽹的充分必要条件是0F M ==，此时222212I ,II Edu G dv Edu G dv κκ=+=+. (4.18) 定理4.4 在⾮脐点，定理4.3中的参数曲线⽹局部总是存在的. □注若曲⾯S 上没有脐点，则可取正交的曲率线⽹作为参数曲线⽹. 事实上，此时由(4.10)和(4.11)可确定两个相互正交的主⽅向:du dv 和:u v δδ. 从⽽有两个相互正交的⾮零向量场u v dr r du r dv =+ 和u v r r u r v δδδ=+，它们是连续可微的. 根据第三章定理4.1，这样的参数曲线⽹是存在的.若曲⾯S 上的点都是脐点，则曲⾯上任意曲线都是曲率线，此时任何正交参数曲线⽹都是曲率线⽹. 但是在孤⽴脐点邻近，未必有正交的曲率线⽹作为参数曲线⽹.⼆、W eingarten 变换在⾃然基底下的矩阵我们知道{},u v r r是切空间p T S 的基，称为p T S 的⾃然基. 在这组基下，设Weingarten 变换的矩阵为11211222a a A a a ??=，即()()()11211222,(),(),u v u v u v a a n n W r W r r r a a ??--==， (4.19) 也就是11122122(),().u u u v v v u v n W r a r a r n W r a r a r -==+??-==+? 分别⽤,u v r r与上⾯⼆式作内积得11211222a a L M E F a a MN FG ??= ? ? ???. 因此11121212221a aE F LM G F LM A a a F G MN FE MN EG F --===--21G L F M G M F NE MF L E NF ME GF --??=---. (4.21) 代⼊(4.19)得()()1,,u v u v E F L M W r r r r F G MN -=()21,u v G L FM G M FN r r EM FL EN FM EG F --?=---. (4.22)我们知道Weingarten 变换W 的特征多项式 ()10()d e t 0EF L M f I A FG M N λλλλ-=-=- ?121E F E L F M E L F MF GF MG NF MG NEG F λλλλλλλλ-----==-----.其中I 是单位矩阵. W 的特征值12,κκ是特征多项式()f λ的根，与基的取法⽆关，从⽽Gauss 曲率2122det LN M K A EG Fκκ-===-和平均曲率12212trace 222()LG M F NE H A EG F κκ+-+===-与参数取法⽆关，是曲⾯的⼏何不变量.Gauss 曲率K 的⼏何意义：从(4.19)可得1112212211221221()()()u v u v u v u v u v n n a r a r a r a r a a a a r r K r r ?=+?+=-?=? .因此曲⾯S 上⼀个区域D 在Gauss 映射g 下的像()g D 的⾯积元素 0||||||||u v u v d n n dudv K r r dudv K d σσ=?=?= . (4.23)所以()g D 的⾯积()0()||()g D DA d K d g D σσ==.根据积分中值定理，存在pD ∈使得 ()|()|||()()()DA K pd K p A D g D σ==? .让区域D 收缩到⼀点p D ∈，取极限得到(())|()|lim()D pA g D K p A D →=. (4.25)这个公式是曲线论中||()limlim||s s s s sθθκ?→?→??==??的⼀个推⼴,其中θ?是曲线上⼀段由s 到s ?的弧在切线像α下的弧长.三、第三基本形式定义设(,)n u v 是曲⾯:(,)S r r u v =的单位法向量. ⼆次微分式22III 2dn dn e du f dudv g dv =?=++ (4.27)称为曲⾯S 的第三基本形式，其中()()22,,u u v v e n f n n g n ==?= . (4.28)注利⽤Gauss 映射，第三基本形式0III I g *=，其中0I 是单位球⾯2S 的第⼀基本形式. 定理4.5 曲⾯:(,)S r r u v =上的三个基本形式满⾜III 2II I 0H K -+=. 证明因为Weingarten 变换W 的特征多项式为2()2f H K λλλ=-+，所以 220W H W K I -+=.其中::p pI T S T S X X →是单位变换. 于是有 ()()()()()2()()()(2)()22.u u u u u u u uu u u e n n W r W r W r r H W K I r r H n K r r H L K E =?=?=?=-?=--?=-同理可得2u v f n n HM KF =?=- ，2u v g n n HN KG =?=-课外作业：习题2，4，6§ 4.5 Dupin 标形和曲⾯参数⽅程在⼀点的标准展开设(,)p u v 是曲⾯:(,)S r r u v = 上⼀个固定点，12,e e是p 点的两个相互正交的单位主向量 (即Weingarten 变换的特征向量)，对应的主曲率为12,κκ. 对单位切向量12cos sin e e e θθ=+([0,2]θπ∈)，沿该⽅向的法曲率为2212()cos sin n κθκθκθ=+. 当()0n κθ≠时，在p 点的切平⾯π中取⼀点q 使得)1211cos sin pq e e θθ==+. (5.3)p 点切平⾯π中这样的点q 的轨迹称为曲⾯S 在p 点的Dupin 标形(或标线indicatrix ).在平⾯π中取直⾓标架{}12;,p e e, 现在来导出Dupin 标线的⽅程.设轨迹上的点q 在此坐标系中的坐标为(,)x y . 则)1212cos sin xe ye pq e e θθ+==+.因此1x θ=，1y θ=. (5.4)由Euler 公式得到2212sgn(())n x y κκκθ+=. (5.5)这就是Dupin 标线的直⾓坐标⽅程，它是平⾯π中的⼆次曲线. 如果在平⾯π中取极坐标系，那么Dupin 标线的极坐标⽅程可由(5.3)⽴即得到：()ρρθ==当p 点的Gauss 曲率120K κκ=>时，()n κθ，1κ，2κ同号，Dupin 标线(5.5)是⼀个椭圆2212||||1x y κκ+=. (5.6) 当120K κκ=<时，1κ，2κ异号，Dupin 标线(5.5)是两对共轭双曲线2212||||1x y κκ-=±. (5.7)它们的公共渐近线的⽅向正是曲⾯S 在p 点的渐近⽅向00:cos :sin du dv θθ=.当120K κκ==时，若1κ，2κ不全为零，Dupin 标线(5.5)是两条平⾏直线x =±(20κ=) 或y =±(10κ=). (5.8)当p 点为平点，即120κκ==时，Dupin 标线不存在.定义. 设p S ∈，若()0K p >，则称p 点为曲⾯S 上的椭圆点；若()0K p <，则称p 点为曲⾯S 上的双曲点；若()0K p =，则称p 点为曲⾯S 上的抛物点.下⾯考察曲⾯S 在⼀点p 邻近的形状. 在p 点邻近取正交参数曲线⽹(,)u v ，使得p 点对应的参数为(0,0)，且(0,0)u r，(0,0)v r是p 点的两个单位主向量. 则(0,0)(0,0)(0,0)u v n r r =?，且在p 点有(0,0)(0,0)E G ==，(0,0)(0,0)0F M ==，1(0,0)L κ=，2(0,0)N κ=. (5.9)以标架{}123;(0,0),(0,0),(0,0)u v p e r e r e n === 建⽴3E 的坐标系. 根据Taylor 公式，(,)(0,0)(0,0)(0uvr u v r r u r v =++22212(0,0)2(0,0)(0,0)()u u u v v v r u r u v r v o ρ??+ +++?, (5.10)其中ρ=. 由于(0,0)0r p p == ，31(0,0)(0,0)uu r e L κ?==， 3(0,0)(0,0)0uv r e M ?==，32(0,0)(0,0)vv r e N κ?==， (5.11)(5.10)可化为()()()2221121232(,)()()()r u v u o e v o e u v oe ρρκκρ=++++++. (5.12)(5.12)称为曲⾯S 在p 点的标准展开.当ρ=我们得到S 的近似曲⾯S *，在标架{}123;,,p e e e 下，S *的参数⽅程为()221122(,),,()r u v u v u v κκ*=+ ，显式⽅程为 221122()z x y κκ=+. (5.14)直接计算可知近似曲⾯S *与原曲⾯S 在p 点相切(即它们的切平⾯相同). 并且沿着p 点切空间的任何相同的切⽅向，两者有相同的法曲率，即在p 点具有公共切⽅向的法截线有相同的曲率和相同的弯曲⽅向.在椭圆点p ，近似曲⾯S *是椭圆抛物⾯. S *在p 点是凸的.在双曲点p ，S *是双曲抛物⾯. S *在p 点不是凸的，且p 点的切平⾯与S *相交成两条直线，它们是S *上过p 点的两条渐近曲线.在⾮平点的抛物点p ，S *是抛物柱⾯，p 点的切平⾯与S *相交成⼀条直线，是S *上过p 点的渐近曲线.在平点p ，S *是平⾯. 此时，要考察曲⾯S 的近似形状，需要将Taylor 展式(5.10)展开到更⾼阶的项. 见例5.2.⽤平⾯12z =±去截近似曲⾯S *，再投影到p 点的切平⾯上，就得到p 点的Dupin 标线.例5.1 考察圆环⾯()(cos )cos ,(cos )sin ,sin r a r u v a r u v r u =++，2(,)u v ∈R上各种类型点的分布，其中常数,a r 满⾜0a r >>.解 ()sin cos ,sin sin ,cos u r r u v u v u =-- ，()(cos )sin ,cos ,0v r a r u v v =+-， ()(cos )cos cos ,cos sin ,sin u v r r r a r u u v u v u ?=-+ ，()cos cos ,cos sin ,sin n u v u v u =-.()1sin cos ,sin sin ,cos u u n u v u v u r r =-=- ，()cos cos sin ,cos ,0cos v v u n u v v r a r u=-=-+.所以两个主曲率为121cos ,cos u r a r uκκ=-=-+.Gauss 曲率和平均曲率分别为其中0a ≥. 它的母线是xO z 平⾯上的曲线：()z f x =. 则由()cos ,sin ,()u r v v f u '= ，()sin ,cos ,0v r u v u v =-.)()cos ,()sin ,1n f u v f u v ''=-- ，()0,0,()uu r f u ''= ，()sin ,cos ,0uv r v v =-，()cos ,sin ,0vv r u v u v =--.可得()21E f '=+，0F =，2G u =， (6.2)L ''=，0M =，N '=. (6.3)因此参数曲线⽹是正交的曲率线⽹. 由定理4.2，主曲率为()13/221L f E f κ''=='+， ()21/221N f Gu f κ'=='+.于是Gauss 曲率和平均曲率分别为 ()221f f K u f '''='+， ()23/22(1)21f f uf H u f ''''++='+. (6.4)⼀、Gauss 曲率K 为常数的旋转曲⾯如果K 是常数，则函数()f u 应满⾜()2211K u f ''=-??'+??. (6.5) 积分得到2211C K u f =-'+， (6.6)其中C 为积分常数. 即有2221C Ku f C Ku-+'=-.于是()f u =±?. (6.7)1.若0K =，则()f u Au B =+，其中A =，B 为积分常数. 当0A =时，S 是平⾯；当0A ≠时，S 是圆锥⾯. 另⼀个0K =的旋转曲⾯是圆柱⾯()cos ,sin ,r a v a v u =，它不能写成(6.1)的形式.2.若0K >，令21a K =(0a >). 则由(6.6)可知0C >. 设2C b =(0b >). (6.7)化为()f u =±?. (6.9)若21b =，则()f u c =±=+?. (6.10)于是S 是由xO z 平⾯上的半圆弧222()x z c a +-=(0x u =>)绕z 轴旋转⽽成的球⾯.当21b >或201b <<时，由(6.9)定义的函数()f u 仍然存在，但旋转曲⾯S 不是球⾯，虽然S 的Gauss 曲率也是常数21a K =.3.若0K <，令21aK =-(0a >).则由(6.6)可知1C <.设21C b =-(0b >). (6.7)可化为()f u =±?. (6.11)若21b =，则[]()ln(sec tan )sin f u a c u=±=±+-+?，其中arccosu a=. 不妨设积分常数0c =. 则旋转曲⾯S 的母线是xO z 平⾯上的两条曳物线[]c o s ,l n (s ec t a n )s i n .x u az a ==??=±+-? (6.13)其中0z >的⼀⽀绕z 轴旋转⽽得的旋转曲⾯S 称为伪球⾯，它的参数⽅程为[]()c o s c o s ,c o s s i n ,l n (s e c t a n )s i n r a a a ?θ?θ=+-， (,)(0,/2)(0,?θππ∈?. (6.14)当21b >或201b <<时，由(6.11)定义的函数()f u 给出Gauss 曲率为负常数的旋转曲⾯的其他例⼦.⼆、旋转极⼩曲⾯平均曲率0H ≡的曲⾯称为极⼩曲⾯. 现在我们来研究有哪些旋转极⼩曲⾯. 由(6.4)可知函数()f u 应满⾜2(1)0f f uf ''''++=. (6.16)也就是()211f uf f ''=-''+.则()()222222ln()ln(1)2ln 1f f f f u uf f '''''''??-+==-=-??'+.积分得2221f Cf u'='+， (6.17)其中积分常数0C ≥.如果0C =，则()f u A =是常数，从⽽S 是平⾯z A =.如果2C a =，0a >. 则22211u C f u-='+，即f '=±故(()ln f u a u c ??=±=±++. (6.19)不妨设积分常数ln c a =-. 令(ln ua. 则cosh u a t =，S 的参数⽅程可改写为()cosh cos ,cosh sin ,r a t v a t v at =，(,)(0,2)t v π∈? .这个旋转极⼩曲⾯S 称为悬链⾯.⽤变分法可以证明，如果在所有以给定曲线C 为边界的曲⾯中，S 的⾯积达到最⼩值，则S ⼀定是极⼩曲⾯.极⼩曲⾯是微分⼏何研究的重要课题之⼀. ⼀百多年来，数学家们在关于以已知曲线为边界的极⼩曲⾯的存在性的Plateau 问题，⼤范围极⼩曲⾯的性质，极⼩曲⾯在⾼维的推⼴⽅⾯作了⼤量的⼯作，取得了丰富的成果.在极⼩曲⾯上，Gauss 曲率21210K κκκ==-≤，只有平点或双曲点. 在双曲点，2个渐进⽅向是正交的. 事实上，根据Euler 公式，渐近⽅向与主⽅向的夹⾓θ满⾜cos 20θ=.著名的Bernstein 定理是说：极⼩图只能是平⾯，即习题6中的⼆阶偏微分⽅程22(1)2(1)0y xx x y xy x yy f f f f f f f +-++=的定义在全平⾯上的解只能是线性函数.平均曲率H 为⾮零常数的曲⾯，即常平均曲率曲⾯，也是微分⼏何研究的⼀个重要课题. 课外作业：习题2，4，6。
高斯曲率（Gaussian curvature）是微分几何中的一个重要概念，用于描述曲面在某一点附近的弯曲程度。
高斯曲率的值可以是正、负或零，分别对应着曲面在该点处的不同几何特性。
当高斯曲率为正时，意味着曲面在该点附近呈现出一个“凸起”的形状；当高斯曲率为负时，则意味着曲面在该点附近呈现出一个“凹陷”的形状；而当高斯曲率为零时，则意味着曲面在该点附近是平坦的。
对于给定的高斯曲率值0.2，这是一个正数，因此可以推断出曲面在该点附近具有一个“凸起”的形状。
具体的凸起程度则取决于曲率值的大小，值越大，凸起程度越明显。
需要注意的是，高斯曲率仅仅描述了曲面在单一点附近的弯曲程度，并不能完全确定整个曲面的形状。
因此，在实际应用中，通常需要结合其他几何信息和上下文来进行综合分析和判断。
