隔项成等差或等比

隔项成等差或等比引言在数学中，数列是一系列按照特定规律排列的数字。

其中，等差数列和等比数列是两种常见的数列类型。

本文将详细讨论隔项成等差或等比数列的特性、求和公式以及一些应用。

等差数列定义等差数列是指数列中任意两项之间的差值都相等的数列。

数列中每一项都可以通过前一项加上一个常数得到。

等差数列的公差表示了相邻两项之间的差值。

性质•等差数列的通项公式：如果等差数列的首项为a，公差为d，那么第n项（记作an）可以表示为an = a +(n-1)d。

•等差数列的前n项和公式：对于等差数列的前n项和（记作Sn），可以使用公式Sn = (n/2)(a + an)来计算。

•等差数列的性质：等差数列的任意三项可以构成一个等差数列。

隔项成等差数列定义隔项成等差数列是指数列中每隔一项构成的新数列为等差数列的情况。

数列中每一项都可以通过前一项加上一个固定的常数得到。

性质•隔项成等差数列的公差：如果原数列的公差为d，那么隔项成等差数列的公差为2d。

•隔项成等差数列的通项公式：如果原数列的首项为a，公差为d，那么隔项成等差数列的第n项（记作An）可以表示为An = a + (n-1)2d。

•隔项成等差数列的前n项和公式：对于隔项成等差数列的前n项和（记作Sn），可以使用公式Sn = n(a + An)/2来计算。

等比数列定义等比数列是指数列中任意两项之间的比值都相等的数列。

数列中每一项都可以通过前一项乘以一个常数得到。

等比数列的公比表示了相邻两项之间的比值。

性质•等比数列的通项公式：如果等比数列的首项为a，公比为r，那么第n项（记作an）可以表示为an =ar^(n-1)。

•等比数列的前n项和公式：对于等比数列的前n项和（记作Sn），可以使用公式Sn = (a(r^n - 1))/(r - 1)来计算。

•等比数列的性质：等比数列的任意三项可以构成一个等比数列。

隔项成等比数列定义隔项成等比数列是指数列中每隔一项构成的新数列为等比数列的情况。

数字推理的主要是通过加、减、乘、除、平方、开方等方法来寻找数列中各个数字之间的规律，从而得出最后的答案。

在实际解题过程中，根据相邻数之间的关系分为两大类：一、相邻数之间通过加、减、乘、除、平方、开方等方式发生联系，产生规律，主要有以下几种规律：1、相邻两个数加、减、乘、除等于第三数2、相邻两个数加、减、乘、除后再加或者减一个常数等于第三数3、等差数列：数列中各个数字成等差数列4、二级等差：数列中相邻两个数相减后的差值成等差数列5、等比数列：数列中相邻两个数的比值相等6、二级等比：数列中相邻两个数相减后的差值成等比数列7、前一个数的平方等于第二个数8、前一个数的平方再加或者减一个常数等于第二个数;9、前一个数乘一个倍数加减一个常数等于第二个数;10、隔项数列：数列相隔两项呈现一定规律，11、全奇、全偶数列12、排序数列二、数列中每一个数字本身构成特点形成各个数字之间的规律。

1、数列中每一个数字都是n 的平方构成或者是n 的平方加减一个常数构成，或者是n的平方加减n构成2、每一个数字都是n的立方构成或者是n的立方加减一个常数构成，或者是n的立方加减n3、数列中每一个数字都是n的倍数加减一个常数以上是数字推理的一些基本规律，必须掌握。

但掌握这些规律后，怎样运用这些规律以最快的方式来解决问题呢?这就需要在对各种题型认真练习的基础上，应逐步形成自己的一套解题思路和技巧。

第一步，观察数列特点，看是否存是隔项数列，如果是，那么相隔各项按照数列的各种规律来解答第二步，如果不是隔项数列，那么从数字的相邻关系入手，看数列中相邻数字在加减乘除后符合上述的哪种规律，然后得出答案。

第三步，如果上述办法行不通，那么寻找数列中每一个数字在构成上的特点，寻找规律。

当然，也可以先寻找数字构成的规律，在从数字相邻关系上规律。

这里所介绍的是数字推理的一般规律，在对各种基本题型和规律掌握后，很多题是可以直接通过观察和心算得出答案。

1. 256 ，269 ，286 ，302 ，（）A.254B.307C.294D.316解析： 2+5+6=13256+13=2692+6+9=17269+17=2862+8+6=16286+16=302?=302+3+2=3072. 72 , 36 , 24 , 18 , ( )A.12B.16C.14.4D.16.4解析：（方法一）相邻两项相除,72 36 24 18\ / \ / \ /2/1 3/2 4/3(分子与分母相差1 且前一项的分子是后一项的分母)接下来貌似该轮到5/4,而18/14.4=5/4. 选C（方法二）6×12=72，6×6=36，6×4=24，6×3 =18，6×X 现在转化为求X12，6，4，3，X12/6 ，6/4 ， 4/3 ，3/X 化简得2/1，3/2，4/3，3/X，注意前三项有规律，即分子比分母大一，则3/X=5/4可解得：X=12/5再用6×12/5=14.43. 5 ，6 ，19 ，17 ，（），-55A.15B.344C.343D.11解析：前一项的平方减后一项等于第三项5^2 - 6 = 196^2 - 19 = 1719^2 - 17 = 34417^2 - 344 = -554. 3 , 11 , 13 , 29 , 31 ,（）A.52B.53C.54D.55解析：奇偶项分别相差11－3＝8，29－13＝16＝8×2，？－31＝24＝8×3；？=>55,选D5. -2/5，1/5，-8/750，（）。

数列中的奇偶项问题一、新高考Ⅰ卷、全国Ⅰ卷数列考点分布 新高考Ⅰ卷考点分布与考查概况全国Ⅰ卷理科考点分布与考查概况年份 题号 分数 涉及知识点 题号分数 涉及知识点202014 5 两等差数列的公共项问题、 等差数列的前n 项和公式；核心素养：逻辑推理、数学运算 1712等差中项、等比数列的通项公式、 错位相减法求数列的前n 项和； 核心素养：逻辑推理、数学运算18 12 等比数列的通项公式、 数列求和；核心素养：逻辑推理、数学运算202116 5 构建数列模型，归纳通项公式错位相减法求数列的前n 项和； 逻辑推理、数学运算、数学建模 1912等差数列的通项公式、 数列的通项与前n 项和、积之间的关系； 核心素养：逻辑推理、数学运算1710数列的递推公式、 等差数列的定义、等差数列的前n 项和；核心素养：逻辑推理、数学运算二、真题回眸1．(2020·高考数学课标Ⅰ卷)数列{}n a 满足2(1)31nn n a a n ++-=-，前16项和为540，则1a = ______________．2．（2021·全国高考）已知数列满足， （1）记，写出，，并求数列的通项公式； （2）求的前20项和.三、例题分析例1：已知数列)12()1(+-=n a nn ，求数列{}n a 的前n 项和n S .变式1：已知数列12sin )12()1(++-=πn n a nn ，求数列{}n a 的前n 项和=100S .{}n a 11a =11,,2,.n n na n a a n ++⎧=⎨+⎩为奇数为偶数2n n b a =1b 2b {}n b {}n a变式2：已知数列12sin )12()1(++-=πn n a nn ，求数列{}n a 的前n 项和=102S .例2：已知数列{}n a 的前n 项和为2*4().n S n n n N =+∈ （1）求数列{}n a 的通项公式;（2）若数列{}n c 满足,11=c ，1n n n c c a ++=，求数列{c n }的通项公式及前n 项和．拓展：已知数列()，21+=n a n ().114321n n n a a a a a S +-++-+-= 求四、课堂小结：有关数列的奇偶项的问题是高考中经常涉及的问题，解决此类问题的关键在于搞清数列奇数项和偶数项的首项、项数、公差（比）等，涉及求通项公式、求和等。

介绍一些小技巧，助你秒杀资料分析，绝对原创以我反复做真题的感受来看，资料分析难度是相对中等的。

在这里介绍几个技巧给大家：第一，列出式子不要算。

例子，09年真题，外出打工男性为A万人，占总外出打工人数的64%，问女性外出打工为多少人？一般常规解法你是不是需要用A除以64%得出总人数，然后用总人数乘以（100%-64%）。

最少要50秒吧。

那如何秒杀此题呢？男占64%，那女应该占36%，大约是男性人数的一半多一点，直接A除以2。

很多很多列出式子不用算的情况，要自己琢磨。

找出不用算的办法！第二，正误判断看选项。

正误判断时有些选项计算量非常之大，一般要连续做5 -6个乘除，如果你一开始看到需要计算就开始计算，那你真的是在耽误时间，因为往往计算量大的选项一般不需要计算，你只需要找出其他正确或者错误的选项即可，而其他选项很直观一眼就能看出是对是错。

第三，实在要算只取三位数。

特别是除法，取多无益。

李永新的题我也做过N 多，选项差距没有那么小，只要你正确取舍，答案还是会水落石出的。

答案差距比较小的行测题有：浙江、山东的真题，这个需要硬算了，但是也不是没有技巧。

除法看着答案去商，如果答案的第二位出现分歧，那你只需要商到第二位即可无需多除。

第四，比较大小找基准。

从资料中找出几个项目叫你比较大小是常出的题型，而且需要经过计算。

先列式子，别算，然后找基准点，有些项可能大于四分之一，有些项小于四分之一，一眼观去，大小一目了然，何必算呢。

第五，加减互换乘除互换，灵活掌握。

例如：选项指标A占指标B的三分之一强，一般思维用指标B除以3。

但是如果用指标A乘以三是不是要快得多呢？指标A 与指标B的差距超过900，一般思维指标B减去指标A得出结果与900相比较，那用900加指标A是不是更快呢？08，09年国考真题很多这样的例子，表面上看需要大量计算，实际上一些小技巧即可秒杀。

第六，大家是不是常常碰到这样的题：整体指标N年度增长A%，构成整体指标的局部指标N年度增长B%，已知N年度的整体指标与局部指标，求N-1年度的局部指标占整体指标的比重？或者已知N年度的局部指标占整体指标的比重，求N年度这个比重比N-1年度的比重上升（下降）多少个百分点？呵呵，这个暂且不说，交由大家自己思考吧，不过可以告诉大家，这样的题是可以秒杀的。

数字推理最新题库180道及详解1、5，10，17，26，()A、30；B、43；C、37；D、41解答：相邻两数之差为5、7、9、11，构成等差数列2、，3，，，()A、2；B、；C、4；D、3解答：把四个数全部化为根号，则根号里新的数是2、9、28、65、（），这明显是1、2、3、4、5的立方加1，所以括号中应为5的立方加1，即126的开方，故选D。

3、1，13，45，97，()A、169；B、125；C、137；D、189解答：相邻两数之差构成12、32、52这样的等差数列，故下一个数就应该是97+72=169，选A。

4、1，01，2，002，3，0003，()…A、40003；B、4003；C、400004；D、40004解答：隔项为自然数列和等比数列，故选D。

5、2，3，6，36，()A、48；B、54；C、72；D、1296解答：从第三项开始，每一项都是前几项的乘积。

故选D6、3，6，9，()A、12；B、14；C、16；D、24解答：等比数列。

7、1，312，623，()A、718；B、934；C、819；D、518解答：个位数分别是1、2、3、4，十位数分别是0、1、2、3，百位数分别是0、3、6、9，所以选B。

8、8，7，15，22，()A、37；B、25；C、44；D、39解答：从第三项开始，后一项是前两项的和。

故选A。

9、3，5，9，17，()A、25；B、33；C、29；D、37解答：相邻两项的差构成等比数列。

故选B。

10、20，31，43，56，()A、68；B、72；C、80；D、70解答：相邻两项的差构成等差数列。

故选D。

11、+1，-1，1，-1，()A、+1；B、1；C、-1；D、-1解答：从第三项开始，后一项是前两项的乘积。

12、+1，4，3+1，()A、10；B、4+1；C、11；D、解答：选A13、144，72，18，3，()A、1；B、1/3；C、3/8；D、2解答：相邻两数的商构成2、4、6、（），是等差数列。

行政职业能力测验数字推理口诀整体观察分AB，线性趋势明走A，增幅一般做加减，做差不会超三级，减幅同样此道理，典型数列熟记心。

增幅较大做乘除，做商同样不超三。

增幅很大想幂次，常用幂数要熟悉。

线性趋势弱走B，要找视觉冲击点，何为此点如何找，特殊数字勿放过。

列长项多６以上，考虑分组或隔项。

摇摆数列忽大小，基本思路是隔项，若要见到双括号，一定隔项成规律。

摇摆双括同时出，义无反顾找隔项。

整数分数混着搭，提示要做乘除法。

全是分数先约分，能划一时先划一，突破口在固定数，分子、母与项有关。

正负交叠要做商，肯定没错不夸张。

根数整数混搭时，先将整数化根数，号外数字移号里，此为一定是药方。

遇到根数加减式，平方差公式帮忙。

递推数列很难做，五则运算和乘方。

看到纯小数数列，整、小部分分开想。

似连续而不连贯，考虑质数或合数。

数字很大３位上，考虑微观是抓手。

数列如有公约数，约去公因是正法。

相邻项有公约数，因式分解可办好。

以上方法皆受挫，除3 除5看余数。

如若还是想不出，蒙猜办法可帮忙。

选项整数小数混，小数多半是答案。

数项负数选项同，负数多半是选择。

另外直猜接近值，肯定八九不离十。

原来数列题也有套路可循！咱不怕了！公务员考试行政能力测验解题心得数列篇第一步：整体观察，若有线性趋势则走思路A，若没有线性趋势或线性趋势不明显则走思路B。

注：线性趋势是指数列总体上往一个方向发展，即数值越来越大，或越来越小，且直观上数值的大小变化跟项数本身有直接关联（别觉得太玄乎，其实大家做过一些题后都能有这个直觉）第二步思路A：分析趋势1，增幅（包括减幅）一般做加减。

基本方法是做差，但如果做差超过三级仍找不到规律，立即转换思路，因为公考没有考过三级以上的等差数列及其变式。

例1：-8，15，39，65，94，128，170，（）A．180 B.210 C. 225 D 256解：观察呈线性规律，数值逐渐增大，且增幅一般，考虑做差，得出差23,24,26,29,34,42，再度形成一个增幅很小的线性数列，再做差得出1，2，3，5，8，很明显的一个和递推数列，下一项是5+8=13，因而二级差数列的下一项是42+13=55，因此一级数列的下一项是170+55=225，选C。

数字找规律类型总结在实际解题过程中，根据相邻数之间的关系分为两大类：一、相邻数之间通过加、减、乘、除、平方、开方等方式发生联系，产生规律，主要有以下几种规律：1、相邻两个数加、减、乘、除等于第三数2、相邻两个数加、减、乘、除后再加或者减一个常数等于第三数3、等差数列：数列中各个数字成等差数列4、二级等差：数列中相邻两个数相减后的差值成等差数列5、等比数列：数列中相邻两个数的比值相等6、二级等比：数列中相邻两个数相减后的差值成等比数列7、前一个数的平方等于第二个数8、前一个数的平方再加或者减一个常数等于第二个数;9、前一个数乘一个倍数加减一个常数等于第二个数;10、隔项数列：数列相隔两项呈现一定规律，11、全奇、全偶数列12、排序数列二、数列中每一个数字本身构成特点形成各个数字之间的规律。

1、数列中每一个数字都是n 的平方构成或者是n 的平方加减一个常数构成，或者是n的平方加减n构成2、每一个数字都是n的立方构成或者是n的立方加减一个常数构成，或者是n的立方加减n3、数列中每一个数字都是n的倍数加减一个常数以上是数字推理的一些基本规律，必须掌握。

但掌握这些规律后，怎样运用这些规律以最快的方式来解决问题呢?这就需要在对各种题型认真练习的基础上，应逐步形成自己的一套解题思路和技巧。

第一步，观察数列特点，看是否存是隔项数列，如果是，那么相隔各项按照数列的各种规律来解答第二步，如果不是隔项数列，那么从数字的相邻关系入手，看数列中相邻数字在加减乘除后符合上述的哪种规律，然后得出答案。

第三步，如果上述办法行不通，那么寻找数列中每一个数字在构成上的特点，寻找规律。

当然，也可以先寻找数字构成的规律，在从数字相邻关系上规律。

这里所介绍的是数字推理的一般规律，在对各种基本题型和规律掌握后，很多题是可以直接通过观察和心算得出答案。

数字推理题的一些经验1)等差，等比这种最简单的不用多说，深一点就是在等差，等比上再加、减一个数列，如24,70,208,622，规律为a*3-2=b2)深一点模式，各数之间的差有规律，如 1、2、5、10、17。

认识隔项等差数列一、升降维法引例：已知数列{}n a 满足：∀n ＞2，222-++=n n n a a a ①，以及∀n ＞3，332-++=n n n a a a ②.试问：数列{}n a 是否是等差数列？（注意：为叙述方便，本专题将222-++=n n n a a a 称为隔两项等差，将332-++=n n n a a a 称为隔三项等差，n a 称为中心.）解：不难发现，①式中右侧两项“距离”中心较近，而②式中右侧两项“距离”中心较远，所以应使“距离”中心较远的项不断接近中心.套路如下：由①式可得222-+-=n n n a a a 和222+--=n n n a a a ，所以有1132-++-=n n n a a a (n ＞1)和1132+---=n n n a a a (n ＞3)，代入②式，有112-++=n n n a a a (n ＞3)，即数列{}n a 从第三项起成等差数列.下证明数列{}n a 从第一项起成等差数列.设x a =3，公差d ，则令①式中n=3，变形得d x a a a 22531-=-=，同理有d x a -=2，所以3122a a a +=，4232a a a +=，所以数列{}n a 是等差数列.例：设数列}{n a 、}{n b 、}{n c 满足：2+-=n n n a a b ，2132++++=n n n n a a a c （n =1,2,3,…），证明}{n a 为等差数列的充分必要条件是}{n c 为等差数列且1+≤n n b b （n =1,2,3,…）. 证明：必要性. 设}{n a 是公差为d 1的等差数列，则0)()()()(112312311=-=---=---=-+++++++d d a a a a a a a a b b n n n n n n n n n n 所以 ,3,2,1(1=≤+n b b n n ）成立.又)(3)(2)(231211++++++-+-+-=-n n n n n n n n a a a a a a c c1111632d d d d =++=（常数）（n =1，2，3，…），所以数列}{n c 为等差数列.充分性.设数列}{n c 是公差d 2的等差数列，且1b b n ≤（n =1，2，3，…）..32,32432221++++++++=∴++=n n n n n n n n a a a c a a a c ①－②得)(3)(2)(423122++++++-+-+-=-n n n n n n n n a a a a a a c c ,3221++++=n n n b b b ，221122)()(d c c c c c c n n n n n n -=-+-=-++++ 221232d b b b n n n -=++∴++， ③从而有.2322321d b b b n n n -=+++++ ④④－③得.0)(3)(2)(23121=-+-+-+++++n n n n n n b b b b b b ⑤ 0,0,023121≥-≥-≥-+++++n n n n n n b b b b b b ， ∴由⑤得).,3,2,1(01 ==-+n b b n n由此不妨设323),,3,2,1(d a a n d b n n n =-==+则 （常数）. 由此312132432d a a a a a c n n n n n n -+=++=+++， 从而313211524324d a a d a a c n n n n n -+=-+=++++， 两式相减得3112)(2d a a c a n n n n --=-++， 因此),3,2,1)((21)(2132311 =+==-=-++n d d d c c a a n n n n 常数， 所以数列}{n a 是等差数列.二、分组拼凑法（利用n a 的双重身份）再看引例：已知数列{}n a 满足：∀n ＞2，222-++=n n n a a a ①，以及∀n ＞3，332-++=n n n a a a ②.试问：数列{}n a 是否是等差数列？解：①②由表一，1173d a a +=，由表二，1172D a a +=，所以113D d =.（利用1a ，7a 的双重身份）同理，利用4a ，10a 的双重身份，有1232D d =，所以21d d =，设d d d ==21. 下只需证212d a a =-. 由表二，12141a d a a a D -+=-=，所以d d d d D a a 2123112=-=-=-， 所以数列{}n a 是以2d 为公差的等差数列，证毕. 练习：（2017江苏T19）对于给定的正整数k ，若数列{}n a 满足：1111n k n k n n n k n k a a a a a a --+-++-++++++++2n ka =对任意正整数()n n k >总成立，则称数列{}n a 是“()P k 数列”．（1）证明：等差数列{}n a 是“(3)P 数列”；（2）若数列{}n a 既是“(2)P 数列”，又是“(3)P 数列”，证明：{}n a 是等差数列． 解：（1）略（2）数列{}n a 既是“()P 2数列”，又是“()3P 数列”，因此， 当3n ≥时，n n n n n a a a a a --+++++=21124，①当4n ≥时，n n n n n n n a a a a a a a ---++++++++=3211236.② 由①知，n n n a a a ---+=-32141()n n a a ++，③n n n a a a ++++=-23141()n n a a -+，④ 将③④代入②，得n n n a a a -++=112，其中4n ≥， 所以345,,,a a a 是等差数列，设其公差为d'. 在①中，取4n =，则235644a a a a a +++=，所以23a a d'=-， 在①中，取3n =，则124534a a a a a +++=，所以122a a d'=-， 所以数列{}n a 是等差数列.。

基本量法求数列的通项公式11.复习 等差数列(1)定义: 如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的差等于同一个常．数．，那么这个数列就叫等差数列, 1(2)n n a a d n --=≥d a a n n =1--d a a n n =2-1--（由定义，累加法推得通项公式）…… d a a =12-(2)通项公式1(1)n a a n d =+-(3)性质: 在等差数列{}n a 中，若m ，n ，p ，q N +∈且m n p q +=+，则m n p q a a a a +=+；(4)前项和公式d n n na a a n S n n 2)1(2)(11-+=+=等比数列(1)定义 : 如果一个数列从第二项起．．．．，每一项与它的前一项的比等于同一个常数．．，那么这个数列就叫做等比数列，1n a +：(0)n a q q =≠ (2)通项公式11-⋅=n n q a a(3)性质:在等比数列{}n a 中，q p n m a a a a q p n m ⋅=⋅+=+，则若),,,(*∈N q p n m 其中(4)前项和公式)1(11)1()1(111≠⎪⎩⎪⎨⎧--=--==q q qa a qq a q na S n nn例1（2015年全国卷I ） n S 为数列{}n a 的前n 项和.已知20,243n n n n a a a S >+=+，（1）求{}n a 的通项公式：变式1：（湖北省武汉部分重点中学2020届高三起点考试）已知数列{a n }是等比数列，S n 为数列{a n }的前n 项和，且a 3＝3，S 3＝9 （1）求数列{a n }的通项公式；变式2：已知等差数列{}n a 的公差0d ≠，其前n 项和为n S ，若2822a a +=，且4712,,a a a 成等比数列．（1）求数列{}n a 的通项公式；例2已知数列{a n }的前n 项和为S n ，且2n n S a n =-.（1） 证明数列{1n a +}是等比数列,并求数列{}n a 的通项公式；变式1：（湖北省黄冈中学2019届高三数学模拟试题1）已知各项均为正数的等比数列{a n }的前n 项和为S n ，a 1＝14，a 3＋a 5＝564.(1)求数列{a n }的通项公式；变式3：已知数列{}n a ，{}n b ，其中1,511-==b a ，且满足)3(2111---=n n n b a a ，)3(2111----=n n n b a b ，2*,≥∈n N n .（1）求证：数列{}n n b a -为等比数列，并求数列{a n }、{b n }的通项公式；例3 .已知等差数列{a n }的公差为2，前n 项和为S n ，且S 1，S 2，S 4成等比数列．（1）求数列{a n }的通项公式； 变式（浙江省名校联盟2020届高三第一次联考试题）已知等比数列{}n a 的公比1q >，且13542a a a ++=，39a +是1a ，5a 的等差中项．数列{}n b的通项公式nn b =Νn *∈．（1）求数列{}n a 的通项公式；数列（等差、等比）知识点清单一、数列的概念1.数列定义：按一定次序排列的一列数叫做数列；数列中的每个数都叫这个数列的项。