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第2章单纯形法的矩阵描述

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1.2.4单纯形法的矩阵表达

1.2.4单纯形法的矩阵表达
这样，标准形式的LP问题便化成：
max z CB X B CN X N s.t. BX B NX N X s b X B 0, X N 0, X s 0
置入单纯形表，得：
B | N | I | 0 | b T CB | CN | 0 | z | 0
2
用B-1左乘上表中第一行各项，并B-用1 行初等变换方式Z0使基变
2.4 单纯形法的矩阵表达
前面讲解单纯形法都是用向量形式和分量形式表达的， 如果用矩阵表达就更加简单，在推导一些结论时也非 常有用。
设LP问题标准型为：
max z =CX AX +Xs= b
X 0
假设我们已经知道了其中一个基，不妨设前m列，则我 们就可以把各矩阵或向量改写成：
1
A (B, N, I ) X ( X B , X N , X s )T C (CB , CN , 0)
规则进行的初等变换，直到σ=CN-CBB-1N≤0得到最优解 为止。
这里需要特别指出的是如何在单纯形表中找到B-1，CBB-1， Z0等，进而可以矩阵运算。 Nhomakorabea3
量检验数为0
I | T CB |
B1N CN
Y=CBB-1单
纯形乘子
| B1 | 0 | B1b
|
0
| Z |
0
I | B1N | B1 | 0 | B1b 这就T是单纯0 形| C法N 的 C矩B阵B表1N达| ，C由BBTa1bIle| 可Z以| 看C出BB，单1b纯
形法的求解过程就是在上面表格的大矩阵中按照一定的

单纯性法的矩阵描述.ppt

单纯性法的矩阵描述.ppt

记为：σN= CN-CBB-1N
基变量XB检验数为0,实质上是σB =CB-CBB-1B=0
XB=B-1b-B-1NXN
Z=CBB-1b+σNXN
令非基变量XN=0，得到如下公式（经过迭代后）：
由于B是可行基，则得到：
基变量的取值：XB =B -1b ≥0 ； 基可行解： X =（XB,XN)T = (B－1b，0)T ； 目标函数值： z =CB B -1b ；
XB 0
I
-Z 1 0
B-1N
B-1b
CN -CBB-1N
-CBB-1b
将增广矩阵左乘B-1并令非基变量XN=0后
得到下列计算公式：
-z XB
XN
RHS
1 CB
CN
0
0
I
B-1N
B-1b
0B
N
b
1
0
CN -CBB-1N
-CBB-1b
1.
X B B1b, XN = 0 , X =(XB ,XN)T = (B-1b ,0)T
=CBXB+CNXN
=CB (B-1b - B-1NXN) +CNXN
=CBB-1b +(CN - CBB-1N)XN =CBB-1b +σNXN 式中：CBB-1b是z的常数项，
σA= C-CBB-1A σj=cj-CBB-1Pj
（当非基变量XN=0时，Z=CBB-1b）
CN-CBB-1N是非基变量XN 的系数，也是XN的检验数.
x5
20
已知可行基
2
B1
此表达式是用非基变量来表达的
注意：两边左乘B-1 ，相当于对增广矩阵(A,b)进行了初等行 变换, 即相当于对原来的单纯形表进行了一次迭代，

单纯形法的矩阵描述

单纯形法的矩阵描述

X=
X X
B N
X1=
B
1b 0
z1= CBB－1b
σN = CN－CBB－1N
σB=CB－CBB－1B=0
σA= C－CBB－1A σj= cj－CBB－1Pj
设初始基变量是松弛变量，占据A的后m列， 可行基B占据前m列，余下各列的子块仍用N表 示。即：A=（B N I），C=（CB CN 0）。把 上述各个公式运用于初始表和以B为基的单纯 形表中：
Cj
CB
CN
0
系数 基变量 解向量 XB
XN
XS
0
XS
b
B
N
I
σj
CB
CN
0
………..
………….
CB
XB
B－1b
I
B－1N
B－1
σj
0
CN－CBB－1N －CBB－1
例12 求下列LP问题
max z x2 3x3 2x5
x1 3x2 x3
2x5 7
2x2 4x3 x4
12
20
00
3 1 0
8 1 = 2 4 0
-2 0
4 3 1
0 x1 10 1 [5/2] 0 1/4 2 0
3 0
-1 3 0
x3 x6 σj x2 x3 x6 σj
3 0 -1/2 1 0 -5/2
0 1/2 4 2/5 1 5 1/5 0 11 1 0
-1/5 0
1 0 0 0 1 0 0
2 1/ 2 1/ 2
1 3
B P4
P1
P2
0
1
0 1
2 -1 1 0 0 0
x1 x2 x3 x4

单纯形法的矩阵描述

单纯形法的矩阵描述
1
当前检验数
其中
B Pj
1
当前 x j 对应的系数列
线性规划问题可以等价写成： 单纯形乘子
对 偶 问 题
max z CB B b (CN CB B N ) X N s.t. X B B NX N B b X B 0, X N 0
此形式为线性规划对应于基B的
1 1
1
1
上页 下页 返回
典则形式（典式）。
7
单纯形表
对 偶 问 题
-Z x1 基变量 x2 ... x X Bm 0 1 1B 0 基矩阵 ....... 1 0 1 c c ... c 1 C 2B m 0
xm 非基变量 X 1 .... x nN a1m 1 ...a1n a2 m 1 ...a2 n N
令
1 1 1
XN 0
得
1
当前基可行解
XB B b
单纯形法的矩阵描述
对 偶 问 题
目标函数
XB z (CB CN ) CB X B CN X N XN 1 1 CB B b (CN CB B N ) X N
令
XN 0
得
非基变量的 检验数
列初始单纯形表
11
上页 下页 返回
初始单纯形表
对 偶 问 题
价值系数
基变量 的价值 系数 基变量 等式 右边 RHS
CB
CN
0
I
0
上页 下页 返回
XB XN XS
B
CB
12
0
XS
检验数
b
N
CN
初始单纯形表
对 偶 问 题
迭代成基变量

单纯形法

单纯形法

四、单纯形法的实现——单纯形表
例1：煤电油例 Max Z=7 x1 +12x2 9 x1 +4x2≤360 化为标准型 s.t. 4x1 +5x2 ≤200 3 x1 +10x2 ≤300 x1 , x2≥0 s.t. Max Z=7 x1 +12x2 9 x1 +4x2 +x3 4x1 +5x2 3 x1 +10x2 x1 ,…,x5≥0 +x4 =360 = 200
•
“≥”型约束，减松弛变量；
练习1.3 请将例1.1的约束化为标准型
Maxz = 7 x1 + 12 x 2 ⎧9 x1 + 4 x 2 ≤ 360 ⎪4 x1 + 5 x 2 ≤ 200 s.t.⎨ 3x1 + 10 x 2 ≤ 300 ⎪x , x ≥ 0 ⎩ 1 2
则约束化为
= 360 ⎧9 x1 + 4 x 2 + x3 ⎪4 x + 5 x 2 + x4 = 200 s.t.⎨ 1 3 x1 + 10 x 2 + x5 = 300 ⎪x , x , x , x , x ≥ 0 ⎩ 1 2 3 4 5
例4 下面为某线性规划的约束
=1 ⎧ x1 + 2 x2 + x3 ⎪ + x4 = 3 ⎨2 x1 − x2 ⎪ x1 , , x4 ≥ 0 ⎩ 请例举出其基矩阵和相应的基向量、基变量。
解：
本例中， A = ⎡1 2 1 0⎤，A中的2阶可逆子阵有 ⎢ 2 − 1 0 1⎥ ⎦ ⎣
问题：本例的A中一共有几个基？—— 6个。
易见，增加的松弛变量的系数恰构成一个单位阵I。
一般地，记松弛变量的向量为 X s，则

3.1单纯形法的矩阵描述

3.1单纯形法的矩阵描述
故所有检验数可表示 C C B B1 A与 C B B1
§3.1 单纯形法的矩阵描述
• (2)单纯形表与矩阵表示的关系
Page 8
由（ 3 - 5)、（ 3 - 6)式知 X B +B 1 NX N B 1b - z (C N C B B N ) X N -C B B b
Page 5
由(3 - 3)式知 BX B b NX N X B B 1b B 1 NX N 上式代入 (3 - 2)式得 z C B (B 1b B 1 NX N ) C N X N =C B B 1 b ( C N C B B 1 N ) X N (3 6 ) (3 5)
因为，不满足最优性条件，所以不是最优解
小结
学习要点：
Page 14
1. 掌握矩阵的运算； 2.理解基矩阵的作用； 3.了解矩阵运算与单纯表的关系。
The end,thank yoቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ!
运筹学
( Operations Research )
Chapter3 对偶理论和灵敏度分析
本章主要内容：
§3.1 单纯形法的矩阵描述 §3.2 单纯形法的矩阵计算
§3.3 对偶问题的提出
§3.4 线性规划的对偶理论
§3.5 影子价格
§3.6 对偶单纯形法
§3.7 灵敏度分析
( Duality Theory )
量是基变量， 从而确定基矩 阵； b.求基矩阵的 逆矩阵； c.求检验数。
N 1 3
1 / 2 0 2 1 1 4 1 3 0 4 0 1 1 1 2 0
1 3 0 4 2 2 3 1 2
2 由最终表反推出初始表 例2：设用单纯形法求解某个线性规划问题的最终表如下（目标max， 约束 Page 12 为≤形式，x3,x4,x5为松弛变量），试写出原始线性规划模型。

单纯形法的矩阵描述

单纯形法的矩阵描述
考虑将单纯形法的求解过程⽤矩阵进⾏描述，对于已经引⼊松弛变量的 LP 问题，其约束条件
BX B+NX N=b
⽬标函数
C B X B+C N X N=z
联⽴消去X B得
z=C B B−1b+(C N−C B B−1N)X N
其中C N−C B B−1N就是所谓的检验数σ。

因此，单纯形表可以描述为
基变量X B⾮基变量X N右侧 RHS
系数矩阵I B−1N B−1b
检验数0C N−C B B−1N−C B B−1b
任意时刻各个部分的核⼼是某个已知矩阵的部分左乘⼀个B−1，因此求解的核⼼在于快速地维护B−1。

以下我们设P k是x k对应的原始系数矩阵的那⼀列。

我们有递推式
B−1i=E i B−1i−1
其中E i是把⼀个单位矩阵中，第j列替换为ξi后的结果，其中j表⽰本次新换⼊的基在B i中对应第j列，ξi由本次换⼊变量在换⼊前B−1i−1N i−1中对应的列 (a1,a2,...,a m) 变换得到，设l是换出变量对应的⾏，则
ξi=(−a1
a l
,...,
1
a l
,...,−
a m
a l
)
于是，
B−1i=(e1,...,e j−1,ξi,e j+1,...,e m)B−1i−1换⼊变量求解根据检验数
σi=C N
i −C B
i
B−1i N i
中找最⼩值下标即可得到，换出变量根据θ法则求θ=min
即可得到。

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2.1 单纯形法的矩阵描述


（1）目标函数中非基变量的系数表示为：
目标函数 z = CB B −1b + (CN1 − CB B −1 N1 ) X N1 + (CS2 − CB B −1 I ) X S 2
1 . ( C N 1 − C B B − 1 N 1 ), 对 应 已 用 的 检 验 数 符 号 c j − z j j = N 1中 列 的 编 号 和 对 应 的 非 基 变 量 的 下 标 2 . ( C S 2 − C B B − 1 I ), 对 应 非 基 变 量 中 松 弛 变 量 在 目 标 函 数 中 系 数 ， 即 检 验 数 ;I为 单 位 矩 阵 或 单 位 列 3 . 因 为 C B − C B B − 1 B = 0, 基 变 量 X B 的 系 数 为 0， 即检验数为0 4 . 因 此 ， 检 验 数 也 可 统 一 表 示 为 ： C -C B B − 1 A 因 此 ， 其 检 验 数 可 表 示 为 -C B B − 1
对偶理论和灵敏度分析
2.1 单纯形法的矩阵描述
设有线性规划问题 : 目标函数 max z=CX; 约束条件 AX≤b; 非负条件 X≥0
C 是1×n的行向量；X是n×1的列向量； A是m×n维的系数矩阵；b是m×1的列向量
给这线性规划问题的约约束条件加入松 弛变量以后，得到标准型：
max z=CX+0Xs; AX+IXs=b; X，X s≥0 这里I 是m×m单位矩阵。
⎡ B −1b ⎤ =⎢ −1 ⎥ ⎣ −C B B b ⎦
单纯形表中的数据
基变量 非基变量 等式右边
XB
系数矩阵 检验数
−1
XN
−1
Xs
−1
RHS

单纯形法的矩阵描述


σj
7 0 0 0 -15
45
0 x3 0 0 1 -1 1 1
B-1b
7 x1 1 0 0 1 -2 2
15 x2 0 1 0 0 1 3
σj
0 0 0 -7 -1
59
最优基矩阵旳逆矩阵B-1
Page 11
基矩阵：
1 1 1
B p3
p1
p2
0 0
1 0
2 1
基矩阵旳逆矩阵：
1 1 1
0 1 -1 00 1 10 0 0 0 -7
1 1 1 1 1 1 2 0 1 0 1 0 0
11 -2 2 13 -1
1 2
p3
p1
1
松弛变量旳价值系数为0 x1、x2旳价值系数设为c1、c2
p2
0 − c1 = −7
0 +2c1−c2 = −1
c1 = 7 c2 = 15
1 1 1 1 1 0 0
量旳系数矩阵,则
(
X
,
X
S
)
X X
B N
，(C
,
CS
)
(CB
,
CN
);
§3.1 单纯形法旳矩阵描述 Page 5
目标函数
约束条件 非负条件
max
z
CX
(CB ,CN
)
XB XN
CB XB CN XN
(3 2)
( B,
N
)
XB XN
BX B
NX N
b
(3 3)
X B，X N 0
Page 13
例3：试验证X=(0,2,0,0,2)T是否是下列线性规划问题旳最优解。

第一节单纯形法的矩阵描述及改进单纯形法介绍-精品文档


矩阵单纯形法计算的描述
当基变量为 X B 时，新的单纯形表
基变量 非基变量
C B
X Bb B cj zj
1
X B I 0
X X N s 1 BN B 1 1 C C B N C N B BB
当前基解
当前检验数
单 大 纯 规 形 对 模 法 偶 线 矩 问 性 题 阵 规 描 划 述
上页 下页 返回
修正单纯形法简介
原因：
单纯形法的目的是要求问题的最优解， 而在迭代过程中，单纯形表中的某些列与 求最优解关系不大。因此，对单纯形法进 行修正。
思路：
~ ~ , P b , P , , 每次迭代关键求出 B k k j i
1
需要换入的变量对应的列
单 大 纯 规 形 对 模 法 偶 线 矩 问 性 题 阵 规 描 划 述
特点：
1. 2.
具有一定的输入和输出 在将输入转换成输出的过程中，努力实现自身的决策 目标。
单 大 纯 规 形 对 模 法 偶 线 矩 问 性 题 阵 规 描 划 述
上页 下页 返回
重要概念
决策单元的相对有效性
评价的依据是决策单元的“输入”和“ 输出”数据，根据输入和输出数据来评价决 策单元的优劣。 决策单元的相对有效性（即决策单元的优劣 ）被称为DEA有效，它用数学规划模型计 算比较决策单元之间的相对效率，为评价对 象作出评价。
第一节 单纯形法的矩阵描述 及改进单纯形法介绍
单纯形法的矩阵描述
继续
改进单纯形法介绍
返回
单 大 纯 规 形 对 模 法 偶 线 矩 问 性 题 阵 规 描 划 述
上页 下页 返回
单纯形法的矩阵描述
设线性规划问题
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单纯形法的矩阵描述
初始单纯形表的矩阵表示为
决策变量 X 系数矩阵 检验数 A C 松弛变量 XS I 0 等式右端 RHS b 0
终表为
决策Байду номын сангаас量 松弛变量
X
系数矩阵 检验数 B-1A C－CBB-1A
XS
B-1I=B-1 －CBB-1
等式右端 RHS B-1b －z=－CBB-1b
单纯形法的矩阵描述
的对偶问题。
注：由于Y是无上界，且b≥0，故目标函数无上界，只能求其最 小值。
运筹学
( Operations Research )
运 筹 帷 幄 之 中
第二章
对偶理论
Duality Theory
决 胜 千 里 之 外
单纯形法的矩阵描述
LP : max z CX AX b X 0
加入松弛变量XS，则原问题化为
max z CX 0 X S AX IX S b X, XS 0
单纯形法的矩阵描述
令非基变量等于零，得
1 X B b B 1 X B B b， X , 0 0
z C B B 1b.
若B是最优基，则检验数满足最优条件，即
C C B B 1 A 0 s C B B 1 I 0 记 Y CB B1 ，则上式不等式变为
其最优基为B，记系数矩阵 ( A, I ) ( B, N )
X XB 记决策变量 X X S N
单纯形法的矩阵描述
于是原问题继续化为：
max z C B X B C N X N BX B NX N b XB, XN 0
约束等式两端左乘B-1，得
C YA 0, s Y 0, 即
YA C Y 0
最优值为 z* Yb
单纯形法的矩阵描述
一般地，令 Y ( y1 , y2 , , ym ) ，作如下线性规划 DP : min w Yb
YA C Y 0
称为原线性规划
LP :
max z CX AX b X 0
B1 BX B B1 NX N B1b, 即 X B B1b B1 NX N ,
代人目标函数得，
z C B X B C N X N C B B 1b (C N C B B 1 N ) X N 0 C B B 1b (C N C B B 1 N ) X N (C B C B B 1 B ) X B C B B 1b (C C B B 1 A) X ( C B B 1 I ) X S
或将初始单纯形表示为
基变量 XB 系数矩阵 检验数 B CB XN N CN XS I 0 等式右端 RHS b 0
终表为
基变量 非基变量 松弛变量
XB
系数矩阵 检验数 B-1B=I 0
XN
B-1N CN－CBB-1N
XS
B-1I=B-1 －CBB-1
等式右端 RHS B-1b －z=－CBB-1b