单纯形表法

单纯形表的简单⽅法。

线性规划常⽤的⽅法是单纯形表法，下⾯⽤⼀个简单的例⼦告诉⼤家如何⽤最简单的⽅法求取⽬标函数Z值。

⽤单纯形⽅法求解线性规划问题：
⾸先引⼊松弛变量，把原问题化为标准形式：
具体步骤如下：第1步，确定初始单纯形表
第2步：
判别检验所有的检验系数（1）如果所有的检验系数
, 则由最优性判定定理知，已获最优解，即此时的基本可⾏解就是最优解。

（2）若检验系数中，有些为正数，但其中某⼀正的检验系数所对应的列向量的各分量均⾮正，则线性规划问题⽆解。

（3）若检验系数中，有些为正数，且它们所对应的列向量中有正的分量，则需要换基、进⾏迭代运算。

⽽在此可以看出b01=2, b02=3，所以b1不是最优基，进⾏换基迭代。

第3步，选主元。

根据选主元法则，⾸先选择检验系数最⼤的是X2列，其次⽤0列即系数列⽐上X2列，数值⼩的即为主元，在这⾥很明显可以知道主元是。

第4步，进⾏初等变换，让主元b12值变为1，主元所在列的其他数值为0。

得到
此时发现b01=1>0,重复上⾯步骤，(此时主元是b21=5/3) :
这时检验系数为负数，
检验各检验数可知得最优解X1=3,X2=3, X3=0, X4=0:⽬标函数最⼤值为 Z=15。

单纯形表法详细讲解
单纯形法是一种求解线性规划问题的数学方法。

以下是其详细步骤：
1. 确定初始基可行解：一般采用取松弛变量的方法来获得初始基可行解，从而得到对应的单位矩阵作为基。

2. 判断是否满足最优解条件：单纯形法从可行域中的一个点开始，判断该顶点是否为最优解。

如果不是，就寻找另一个目标函数值更优的顶点。

3. 迭代优化：通过单纯形表判断出顶点是否为最优解，如果线性规划问题没有最优解，则继续迭代优化，直到找到最优解或确定问题无解。

4. 确定最优解：在单纯形表中，理解其系数矩阵、基、基向量、非基向量和基变量等基本概念，从而确定最优解。

5. 确定换入变量和换出变量：在单纯形表中，如果发现非基变量的系数大于零，则可以通过增加这些变量的值来使目标函数增加。

由于每个变量都大于零，对于某个变量增加是有所限制的，如果该变量过大，由于其他限制条件，会导致其他变量小于零。

因此，应该让该变量一直增大，直到有一个其他变量刚好等于0为止，那么这个变量就被换出基。

6. 进行高斯行变换：使用第4行对各行进行高斯行变换，使得二列第四行中的每个x都变成零，也包括c2。

如需更多关于单纯形法的信息，可以咨询数学专家或查阅相关文献资料。

单纯形法原理单纯形表单纯形法原理与单纯形表的详实解析在数学领域中，特别是在线性规划问题的研究中，单纯形法是一种十分重要的求解方法。

它是由美国数学家乔治·丹齐格在1947年提出的一种迭代算法，用于解决具有多个变量和约束条件的优化问题。

本文将围绕单纯形法的原理和单纯形表这两个核心概念进行详细的解析。

一、单纯形法原理单纯形法的基本思想是通过一系列可行解逐步逼近目标函数的最大值或最小值。

这些可行解形成一个点集，称为单纯形。

每次迭代过程中，算法都会选择一个新的顶点作为下一个单纯形的顶点，这个新的顶点应该使目标函数有所改进。

重复这一过程，直到达到最优解或者满足停止准则为止。

单纯形法的步骤如下：1. 构造初始单纯形：首先，需要找到一个包含至少两个可行解的多边形，这就是初始单纯形。

2. 判断是否达到最优解：如果当前顶点的目标函数值已经是全局最优解，那么算法结束。

3. 选择换入变量：如果当前顶点不是最优解，那么需要选择一个非基变量来替换基变量。

这个被选中的非基变量应该是能够使目标函数最大化的变量。

4. 计算换出变量：确定了换入变量后，需要计算相应的换出变量。

这可以通过解一个线性方程组来实现。

5. 更新单纯形：用新选出的变量替换旧的变量，得到新的单纯形。

6. 回到第二步，继续判断是否达到最优解。

二、单纯形表单纯形表是单纯形法的重要工具，它记录了单纯形法每一步的详细信息。

每个列代表一个基变量，而每个行则代表一个约束条件。

表中还包括目标函数的系数、常数项以及松弛变量和剩余变量的系数。

在单纯形表中，每一行代表一个约束条件，包括它的系数、常数项以及松弛变量和剩余变量的系数。

每一列则代表一个基变量，包括它的系数和该变量对应的值。

在每一步迭代过程中，单纯形表都会被更新以反映当前的解状态。

通过观察单纯形表的变化，我们可以清楚地看到迭代过程是如何进行的，以及如何通过调整基变量来改进目标函数的值。

总结来说，单纯形法是一种有效的解决线性规划问题的方法，其核心在于构造并不断更新单纯形表，通过迭代寻找最优解。

单纯形法（Simplex Method）是线性规划问题的一种求解方法。

下面我将以一个简单的线性规划问题为例，详细解释如何使用单纯形法求解。

例题：假设我们有一个简单的线性规划问题，目标是最小化目标函数 z = 3x + 2y，约束条件是 x + y <= 10, x >= 0, y >= 0。

首先，我们需要构建问题的数学模型。

数学模型可以表示为以下形式：z = 3x + 2yx + y <= 10x >= 0y >= 0然后，我们可以将这个线性规划问题表示为一个单纯形表。

单纯形表的形式如下：| c | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | ||---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---||x | y | z | u | v | w | x1 | x2 | x3 | ... | xn | s.x | s.y | s.z | c.val | b.x | b.y | b.z | dual.val | dual.x1 | dual.x2 | ... | dual.xn ||在这个表中，c 是目标函数的系数，b 是约束条件的系数，s 是松弛变量的系数，dual 是对偶问题的系数，c.val 是当前解的目标函数值，b.x, b.y, b.z 是约束条件的边界值，s.x, s.y, s.z 是松弛变量的值。

现在，我们可以将例题中的数据填入单纯形表：c = [3, 2, 1]b = [1, 0, -10]s = [1, 1, 0]dual = []然后，我们可以开始迭代求解。

在每一次迭代中，我们首先找到进入变量和离开变量，然后更新单纯形表中的数据。

运筹学单纯形表法详细步骤概述运筹学是一门研究最优决策问题的学科，它通过数学建模和优化方法，寻找最佳解决方案。

运筹学的单纯形表法是一种常用的线性规划求解方法，通过构造单纯形表，逐步迭代求解最优解。

本文将详细介绍运筹学单纯形表法的步骤和算法原理。

单纯形表法步骤单纯形表法的基本思想是通过构造单纯形表，逐步迭代优化目标函数的值，直到找到最优解。

第一步：标准化线性规划问题将线性规划问题转化为标准型，使得约束条件为等式形式，目标函数为最小化形式。

标准型的形式如下：Minimize C1x1+C2x2+⋯+C n x nSubject to A11x1+A12x2+⋯+A1n x n=b1A21x1+A22x2+⋯+A2n x n=b2…A m1x1+A m2x2+⋯+A mn x n=b mx1,x2,…,x n≥0第二步：构造初始单纯形表根据线性规划问题的标准型，构造初始单纯形表。

初始单纯形表由约束系数矩阵、目标系数向量、约束条件向量和松弛变量构成。

约束系数矩阵的形式为：A=[A11A12...A1n100 0A21A22...A2n010 0⋮⋮⋱⋮⋮⋮⋮⋱⋮A m1A m2...A mn000 (1)]目标系数向量的形式为：C=[C1C2…C n000…0]约束条件向量的形式为：B=[b1b2…b m]第三步：确定初始解和基变量根据初始单纯形表，确定初始解和基变量。

基变量是与单位矩阵的列向量对应的变量，它们的取值为约束条件向量的值。

第四步：计算单纯形表中的各项值根据初始解和基变量，计算单纯形表中的各项值。

包括各变量的价值系数、约束条件的值，以及各松弛变量的值。

第五步：检查最优解检查单纯形表中目标系数行是否存在负数。

如果存在负数，则继续迭代；如果都为非负数，则找到最优解。

第六步：确定入基变量在目标系数行中选择最小的负数，确定进入基变量。

第七步：计算离基变量根据进入基变量，计算离开基变量。

离开基变量是通过计算变量的约束条件值除以进入基变量的列中对应的非零元素，找到最小的非负数所在行，确定离开基变量。

单纯形法表的解题步骤单纯形法表结构如下：j c →对应变量的价值系数i θB Cb Xb1x 2x 3x " j x基变量的价值系数基变量 资源列θ规则求的值j σ检验数①一般形式若线性规划问题标准形式如下：123451231425max 23000284164120,1,2,5j z x x x x x x x x x x x x x j =++++++=⎧⎪+=⎪⎨+=⎪⎪≥=⎩"取松弛变量345,,x x x 为基变量，它对应的单位矩阵为基。

这样就得到初始可行基解：()()00,0,8,16,12TX =。

将有关数字填入表中，得到初始单纯形表，如表1-1所示：表 1-1 ()()00,0,8,16,12TX =j c →2 3 0 0 0i θB C b X b1x 2x 3x 4x 5x0 3x 8 1 2 1 0 0 4 04x16 4 0 0 1 0 -5x12 0 [4] 0 0 1 3j σ2 3 0 0 0若检验数均未达到小于等于0，则对上表进行调整。

选择上表中检验数最大的列，该列对应的非变量为入基变量；再应用θ规则该列对应的各基变量对应的θ值，选出其中最小的一行，该行对应的基变量为出基变量。

修改单纯形表，对各行进行初等变换，确保基变量组成的矩阵为单为矩阵。

修改后的单纯形表如表1-2所示：表 1-2 ()()10,3,2,16,0TX =检验数12,0σσ>，则进行继续调整，调整后的单纯形法表如表1-3所示：表 1-3 ()()22,3,0,8,0TX =表1-3中， 50σ>，则继续进行调整，调整结果如表1-4所示：表 1-4 ()()34,2,0,0,4TX =检验数0j σ≤，这表示目标函数值已不可能再增大，于是得到最优解：()()3*4,2,0,0,4TX X ==*14z =②带人工变量现有线性规划问题：12312312313123min 321142321,,0z x x x x x x x x x x x x x x =−++−+≤⎧⎪−++≥⎪⎨−+=⎪⎪≥⎩ 将上述线性规划问题用大M 法求解，在约束条件中加入松弛变量4x ，剩余变量5x ，人工变量6x ，7x 得到：1234567123412356137min 300211423210,1,2,,7j z x x x x x Mx Mx x x x x x x x x x x x x x j =−++++++−++=⎧⎪−++−+=⎪⎨−++=⎪⎪≥=⎩"其中，M 是一个任意大的正数。

第3章05单纯形表法同学们大家好，前面我们讲了单纯形法的原理，它的整个过程看似很复杂，但实际上，单纯形法的全部计算过程，可以简单地在一张类似增广矩阵的表格上进行，这种表格我们称为单纯形表，所以，今天我们就来学习线性规划模型的单纯形表法。

给定一个可行基，可以画出一张单纯形表。

单纯形表的行标是n个变量以及右端项b，列标是m个基变量以及检验数行σ。

所以，用矩阵的形式把它表示出来，就如下表所示我们注意到，像B，所以，是与原方程组等价的。

最后一行是检验数C-C B B-1A，右下角是-C B B-1b，它恰好是这个基B所对应的可行解的目标函数值的相反数。

用单纯形表法求解线性规划模型时，有下面的步骤：单纯形表法求解线性规划问题的步骤：Step1.转换一般的线形规划模型为标准型，并写出A，b，C。

Step2找初始基本可行解，写出B，B-1，X B，C B。

Step3计算单纯形表中的各矩阵B-1A，B-1b，C-C B B-1A，-C B B-1b，并构造初始单纯形表。

Step4判断基本最优解。

Step5换基迭代，返回Step4。

第一步是将一般的线性规划模型转化为标准形，并写出约束矩阵A，右端项b，以及价值向量C。

第二步，找初始的基本可行解。

根据上一讲单纯形法的原理，你要注意的是，我们总是从约束矩阵A里面选一个单位阵出来作为初始基，在右端项非负的条件下，这样选出来的单位阵一定是可行基，也就是找到了初始的基本可行解。

而如果约束矩阵A中没有单位阵，我们将会通过引入人工变量构造出一个单位阵，这种构造方法我们将在后面进行详细介绍。

初始基选出来之后，我们就能写出B，B-1，以及基变量X B和基变量所对应的价值向量C B。

第三步，计算B-1A，B-1b，C-C B B-1A，-C B B-1b，这样就可以把初始单纯形表写出来。

第四步，判断当前的基本可行解是不是最优解？按照我们上一讲介绍的单纯形法的原理，如果检验数行中所有的检验数都小于等于0，当前的基本解就是最优解；如果有一个非基变量的检验数是正的，而且它所对应A中的列的项都小于等于0,那么这个时候是无界解。

单纯形表法
单纯形表法是一种解决线性规划问题的常用方法。

线性规划是指在一定的约束条件下，求解最大（或最小）值的问题。

单纯形表法通过构造一个表格，逐步迭代，找到最优解。

单纯形表法的基本思路是，首先将线性规划问题转化为标准形式，即将目标函数与约束条件都转化为“≤”形式。

然后，构造一个初始的单纯形表格，其中包含目标函数、约束条件和松弛变量等信息。

接着，通过一系列的操作，逐步迭代表格，直到找到最优解。

单纯形表法的操作包括：选择入基变量、选择出基变量、计算新的基变量、更新单纯形表格等。

选择入基变量和选择出基变量的方法有多种，例如最小比值法、Bland法等。

计算新的基变量则涉及到对表格进行一系列的运算和变换，从而得到新的基变量和目标函数值。

更新单纯形表格则是在计算新的基变量后，将表格中的系数、约束条件、基变量等信息进行更新，以便继续下一轮迭代。

单纯形表法是一种迭代算法，它的收敛性和效率都与初始表格的选取有关。

当初始表格选取不合适时，可能会导致算法无法收敛或收敛速度过慢。

因此，对于复杂的线性规划问题，需要结合实际情况，选择合适的初始表格和算法，以达到最优解的目标。

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由最优单纯形表求原问题最优单纯形法（Simplex Method）是线性规划的一种非常重要的求解方法，它通过不断地在可行域内搜索到达最优解。

简单来说，最优单纯形法通过迭代交替改进基变量与非基变量的取值，直到找到使目标函数值最小（或最大）的解。

最优单纯形法的核心思想是从一个可行解出发，通过选择合适的基变量与非基变量来构建一个相对更优的解。

具体步骤如下：1.约束条件转化：将线性规划问题的约束条件转化为标准形式，即转化为等式约束形式，并引入人工变量。

这样，问题就可以表示为一个线性规划问题的标准数学模型。

2.初始可行解的选择：对于标准形式的线性规划问题，我们需要先找到一个可行解作为初始解。

这个可行解可以选择为人工变量的值为非负的最小值，即人工基变量为初始基变量。

3.检查可行性：检查初始可行解是否满足所有约束条件。

如果不满足，则进行下一步。

4.选择入基变量与出基变量：选择一个入基变量和出基变量，使得目标函数值有所改进。

入基变量一般选择使目标函数下降最快的变量，而出基变量选择使新的基变量取值非负且与约束条件保持一致的变量。

5.计算新的基变量：根据选择的入基变量和出基变量，计算新的基变量取值，并更新目标函数的值。

6.判断最优解：如果所有非基变量的系数均为非负，并且目标函数的值没有更进一步的改进，则当前解为最优解。

否则，返回第4步。

通过以上步骤的迭代，最终可以得到线性规划问题的最优解。

最优单纯形法的有效性得益于以下两个关键性质：1.最优性：对于标准形式的线性规划问题，如果存在一个可行解使得目标函数值有下界，并且目标函数的下界是有限的，则一定存在一个可以取到该下界的最优解。

2.可行性：通过交替选择入基变量和出基变量，最终可以找到一个满足所有约束条件的可行解。

这是因为每次迭代都会使基变量的取值变得更合理，同时保持非基变量的取值为非负。

需要注意的是，最优单纯形法的求解过程中会涉及到很多计算，特别是矩阵运算，因此在实际应用中，需要借助计算机或线性规划求解软件来完成。