1-3 线性规划-单纯形法表、计算步骤与矩阵描述(1)

单纯形法求解过程单纯形法是一种经典的线性规划求解方法，它是由乔治·达竞士等人在1947年提出的。

该方法的基本思想是，通过在单纯形空间内不断移动顶点的位置来寻找最优解。

单纯形法是目前广泛应用的线性规划求解方法之一，它求解线性规划问题可大大地简化计算过程。

单纯形法的求解过程包括以下几个步骤：1. 将线性规划问题转化为标准形式线性规划问题的标准形式为：$ \max_{x} \ \ c^T x $$s.t. \ Ax=b$$x\geq 0$其中，$x$是要求解的向量；$b$是一个常数向量；$A$是一个$m\times n$的矩阵；$c$是一个常数向量。

2. 初始化单纯形表因为单纯形法是通过移动顶点来寻找最优解的方法，因此需要初始化单纯形表。

单纯形表是将原始的约束条件表示为不等式形式时形成的。

例如，对于一个带有3个变量的线性规划问题，其单纯形表的形式如下：CB | X1 | X2 | X3 | X4 | RHS----|-----|-----|-----|-----|----0 | a11| a12| a13| 0 | b10 | a21| a22| a23| 0 | b20 | a31| a32| a33| 0 | b31 | z1 | z2 | z3 | 0 | 0其中，CB代表成本系数，X1、X2、X3、X4分别代表变量。

a11、a12、a13等代表矩阵A中的元素，b1、b2、b3代表矩阵b中的元素。

3. 选择进入变量和离开变量在单纯形表中，规定最后一列为等式右边的常数（RHS），即b。

在单纯形法的求解过程中，首先需要选择一个“进入变量”，即在单纯形表的第一行中，寻找一个系数为正的变量，使得将其加入目标函数后，目标函数值可以上升。

这里以X1为例，X1为进入变量。

接着，需要选择一个“离开变量”，即在单纯形表中，寻找一个使得添加X1变量后，约束条件不改变且取得约束条件中系数最小的一个变量离开。

单纯形法表的解题步骤单纯形法表结构如下：j c →对应变量的价值系数i θB Cb Xb1x 2x 3x " j x基变量的价值系数基变量 资源列θ规则求的值j σ检验数①一般形式若线性规划问题标准形式如下：123451231425max 23000284164120,1,2,5j z x x x x x x x x x x x x x j =++++++=⎧⎪+=⎪⎨+=⎪⎪≥=⎩"取松弛变量345,,x x x 为基变量，它对应的单位矩阵为基。

这样就得到初始可行基解：()()00,0,8,16,12TX =。

将有关数字填入表中，得到初始单纯形表，如表1-1所示：表 1-1 ()()00,0,8,16,12TX =j c →2 3 0 0 0i θB C b X b1x 2x 3x 4x 5x0 3x 8 1 2 1 0 0 4 04x16 4 0 0 1 0 -5x12 0 [4] 0 0 1 3j σ2 3 0 0 0若检验数均未达到小于等于0，则对上表进行调整。

选择上表中检验数最大的列，该列对应的非变量为入基变量；再应用θ规则该列对应的各基变量对应的θ值，选出其中最小的一行，该行对应的基变量为出基变量。

修改单纯形表，对各行进行初等变换，确保基变量组成的矩阵为单为矩阵。

修改后的单纯形表如表1-2所示：表 1-2 ()()10,3,2,16,0TX =检验数12,0σσ>，则进行继续调整，调整后的单纯形法表如表1-3所示：表 1-3 ()()22,3,0,8,0TX =表1-3中， 50σ>，则继续进行调整，调整结果如表1-4所示：表 1-4 ()()34,2,0,0,4TX =检验数0j σ≤，这表示目标函数值已不可能再增大，于是得到最优解：()()3*4,2,0,0,4TX X ==*14z =②带人工变量现有线性规划问题：12312312313123min 321142321,,0z x x x x x x x x x x x x x x =−++−+≤⎧⎪−++≥⎪⎨−+=⎪⎪≥⎩ 将上述线性规划问题用大M 法求解，在约束条件中加入松弛变量4x ，剩余变量5x ，人工变量6x ，7x 得到：1234567123412356137min 300211423210,1,2,,7j z x x x x x Mx Mx x x x x x x x x x x x x x j =−++++++−++=⎧⎪−++−+=⎪⎨−++=⎪⎪≥=⎩"其中，M 是一个任意大的正数。

第3章05单纯形表法同学们大家好，前面我们讲了单纯形法的原理，它的整个过程看似很复杂，但实际上，单纯形法的全部计算过程，可以简单地在一张类似增广矩阵的表格上进行，这种表格我们称为单纯形表，所以，今天我们就来学习线性规划模型的单纯形表法。

给定一个可行基，可以画出一张单纯形表。

单纯形表的行标是n个变量以及右端项b，列标是m个基变量以及检验数行σ。

所以，用矩阵的形式把它表示出来，就如下表所示我们注意到，像B，所以，是与原方程组等价的。

最后一行是检验数C-C B B-1A，右下角是-C B B-1b，它恰好是这个基B所对应的可行解的目标函数值的相反数。

用单纯形表法求解线性规划模型时，有下面的步骤：单纯形表法求解线性规划问题的步骤：Step1.转换一般的线形规划模型为标准型，并写出A，b，C。

Step2找初始基本可行解，写出B，B-1，X B，C B。

Step3计算单纯形表中的各矩阵B-1A，B-1b，C-C B B-1A，-C B B-1b，并构造初始单纯形表。

Step4判断基本最优解。

Step5换基迭代，返回Step4。

第一步是将一般的线性规划模型转化为标准形，并写出约束矩阵A，右端项b，以及价值向量C。

第二步，找初始的基本可行解。

根据上一讲单纯形法的原理，你要注意的是，我们总是从约束矩阵A里面选一个单位阵出来作为初始基，在右端项非负的条件下，这样选出来的单位阵一定是可行基，也就是找到了初始的基本可行解。

而如果约束矩阵A中没有单位阵，我们将会通过引入人工变量构造出一个单位阵，这种构造方法我们将在后面进行详细介绍。

初始基选出来之后，我们就能写出B，B-1，以及基变量X B和基变量所对应的价值向量C B。

第三步，计算B-1A，B-1b，C-C B B-1A，-C B B-1b，这样就可以把初始单纯形表写出来。

第四步，判断当前的基本可行解是不是最优解？按照我们上一讲介绍的单纯形法的原理，如果检验数行中所有的检验数都小于等于0，当前的基本解就是最优解；如果有一个非基变量的检验数是正的，而且它所对应A中的列的项都小于等于0,那么这个时候是无界解。

三、单纯形法的解题步骤第一步：作单纯形表.）（1）把原线性规划问题化为标准形式；）（2）找出初始可行基，通常取约束方程组系数矩阵中的单位矩阵；）（3）目标函数非基化；）（4）作初始单纯形表.第二步：最优解的判定.(1) 若所有检验数都是非正数，即，则此时线性规划问题已取得最优解.(2) 若存在某个检验数是正数，即，而所对应的列向量无正分量，则线性规划问题无最优解.如果以上两条都不满足，则进行下一步.第三步：换基迭代.，并确定所在列的非基变量为进基变量.（1）找到最大正检验数，设为（2）对最大正检验数所在列实施最小比值法，确定出主元，并把主元加上小括号.主元是最大正检验数所在列，用常数项与进基变量所对应的列向量中正分量的比值最小者；替换出基变量，从而得到新的基变量.也就是主元所在（3）换基：用进基变量（4）利用矩阵的行初等变换，将主元变为1，其所在列其他元素都变为零，从此得到新的单纯形表；（5）回到第二步，继续判定最优解是否存在，然后进行新一轮换基迭代，直到问题得到解决为止.例3 求.解（1）化标准型：令，引进松弛变量，其标准型为求（2）作单纯形表：在约束方程组系数矩阵中的系数构成单位矩阵，故取为基变量，目标函数已非基化了，作初始单纯形表并“换基迭代”（见表6.8）.表 6.8（3）最终结果：此时检验数均为非正数，线性规划问题取得最优解，最优解为标函数取得最优值.目性规划问题的最优解为：.原线目标函数的最优值为14，即.例4 用单纯形方法解线性规划问题.求.解此数学模型已是标准型了，其中约束方程含有一个二阶单位矩阵（1、2行，3、4列构成），取为基变量，而目标函数没有非基化.从约束方程找出，,代入目标函数, 经整理后，目标函数非基化了.作单纯形表，并进行换基迭代（见表6.9）.最大检验数，由最小比值法知：为主元，对主元所在列施以行初等变换，基变量出基，非基变量进基.表 6.9目前最大检验数，其所在列没有正分量，所以该线性规划问题没有最优解.例5用单纯形方法解线性规划问题.求解此数学模型已是标准型了，其中约束方程含有一个二阶单位矩阵，取为基变量，而目标函数没有非基化.从约束方程找出，,代入目标函数，经整理得,目标函数已非基化.作单纯形表，并进行换基迭代(见表6.10).最大检验数，由最小比值法知：为主元，对主元所在列施以行初等变换，基变量出基，非基变量x2进基，先将主元化为1，然后再将主元所在列的其他元素化为零.表 6.10至此，检验数均为非正数，故得基础可行解.原问题的最优解为：.最优值为6，即.如果我们再迭代一次，将基变量出基，非基变量进基（见表6.11）.表 6.11可得到另一个基础可行解,原问题的最优解为：，最优值仍为6，说明该线性规划问题有无穷多最优解，其最优解均为6.如何知道线性规划问题有无穷多最优解呢？这主要反映在单纯形表中.如果非基变量所对应的检验数为0，我们可对此列继续进行换基迭代，就可以得到另一个基础可行解.以此作下去，可得到许多基础可行解，即相对应的最优解有无穷多个.（4） 011 0。

文化视野浅析单纯形法的矩阵计算鄢　丽 重庆师范大学数学科学学院摘要：在运筹学中，求解线性规划问题的单纯形法的矩阵计算中涉及的基矩阵的逆矩阵的求法比较繁琐，学生在这一步的计算上很容易出错。

本文通过寻找每次迭代的新的基矩阵，然后直接利用高等代数中求逆矩阵的方法得出其逆矩阵，结果避免了每次需要计算换入变量的系数列向量，判断主元素，以及换出变量在原基向量中的位置等一系列繁琐的步骤。

关键词：单纯形法；基矩阵；逆矩阵中图分类号：G642 文献识别码：A 文章编号：1001-828X(2018)018-0387-02一、单纯形法的矩阵计算在大学本科课程中有一门《运筹学》，其中求解线性规划问题的一般方法是单纯形法。

下面我们介绍《运筹学》这本教材中关于单纯形的矩阵计算。

设线性规划问题为，目标函数：约束条件：其中目标函数的系数(C B,C N)分别对应于基变量X B和非基变量X N，系数矩阵分为(B,N)两块，B为基矩阵，N为非基矩阵，b为资源系数。

在单纯形法的计算步骤中真正要用的数字只有基变量的值，非基变量的检验数和换入变量列的系数，即和。

可见最关键是矩阵的计算。

以下介绍在《运筹学》一书中关于矩阵的计算方法，其他计算步骤在此省略。

1.计算换入变量x k在本次表中的系数列向量(在此指本次单纯形表中的基矩阵的逆矩阵)；2.将上述列向量变换为；3.将变换后的列向量取代m×m的单位阵的第l列，即；4.于是下个单纯形表中新基的逆矩阵。

笔者在教学过程中发现学生在学习这一节时很容易出错，因为(1)非基变量的列向量在每次迭代后都会发生变化，不能直接用原始的列向量P k，而需要计算；(2)需要观察换入变量的列向量中的主元素，以此进行变换得到；(3)需要观察换出变量在原基向量中的位置以确定取代单位阵中的第几列得到E。

这一系列的过程使学生觉得过程太过繁琐，还没有直接在单纯形表上计算思路更清晰。

为了解决这一问题，关键还在于寻求一种简洁的求基矩阵的逆矩阵的方法。

第一章线性规划及单纯形法6.6单纯形法小结Drawingontheexampl,thetwoaxisinterceptsareplotted.2、求初始基可行解并进行最优性检验Cj比值CBXBb 检验数?jx1x2x3x4x53500081010012020103634001x3x4x5000035000令非基变量x1=0，x2=0，找到一个初始基可行解：x1=0，x2=0，x3=8，x4=12，x5=36，σj＞0，此解不是最优（因为z=3x1+5x2+0x3+0x4+0x5)即X0=(0,0,8,12,36)T，此时利润Z=03、寻找另一基可行解Cj比值CBXBb检验数?jx1x2x3x4x53500081010012020103634001x3x4x5000035000-12/2=636/4=9主元首先确定入基变量再确定出基变量检验数?j81010060101/2012300-21x3x2x5050-30300-5/20Cj比值CBXBb检验数?jx1x2x3x4x53500081010012020103634001x3x4x5000035000-12/2=636/4=9令x1=0，x4=0，得x2=6，x3=8，x5=12，即得基可行解X1=(0,6,8,0,12)T此时Z＝30σ1=3＞0，此解不是最优迭代4、寻找下一基可行解Cj比值CBXBb检验数?jx1x2x3x4x53500081010060101/2012300-21x3x2x5050-30300-5/208-4检验数?j40012/3-1/360101/204100-2/31/3x3x2x1053-42000-1/2-1令x4=0，x5=0，得x1=4，x2=6，x3=4，即X0=(4,6,4,0,0)T?j＜0最优解:X=(4,6,4,0,0)T最优值:Z=42小结：单纯形表格法的计算步骤①将线性规划问题化成标准型。

②找出或构造一个m阶单位矩阵作为初始可行基，建立初始单纯形表。

单纯形法求解线性规划的步骤1>初始化将给定的线性规划问题化成标准形式,并建立一个初始表格,它最右边的单元格都是非负的(否则无解),接下来的m列组成一个m*m的单元矩阵(目标行的单元格则不必满足这一条件),这m列确定了初始的基本可行解的基本变量,而表格中行用基本变量来表示2>最优化测试如果目标行的所有单元格都是非负的(除了最右列中代表目标函数值的那个单元格),就可以停止了,该表格代表了一个最优解,它的基本变量的值在最右列中,而剩下的非基本变量都为03>确定输入变量从目标行的前n个单元格中选择一个负的单元格(选择绝对值最大的那个)该单元格所在的列确定的输入变量及主元列4>确定分离变量对于主元列的每个正单元格,求出θ比率(如果主元格的单元格为负或为0,说明该问题是无解的,算法终止),找出θ比率最小的列,改行确定了分离变量和主元行5>建立下一张表格将主元行的所有单元格除以主元得到新的主元行,包括主元行在内的每一行,要减去改行主元列单元格和新主元行的成绩(除主元行为1外,这一步将主元列的所有单元格变成0).把主元列的变量名进行代换,得到新的单纯形表,返回第一步为求简单在本程序中,需要自己建立标准矩阵(比如加入松弛变量等工作需要用户自己完成),程序的输入有两种方式:1:指定行和列,由用户自行输入每一个元素SimpleMatrix(introw=0,int col=0);2:直接在主程序中初始化一个二维数组,然后利用构造函数SimpleMatrix(introw,int col,double **M) 来初始化和处理(本程序所用的实例用的是这种方法)程序中主要的函数以及说明~SimpleMatrix();销毁动态分配的数组.用于很难预先估计矩阵的行和列,所以在程序中才了动态的内存分配.需要重载析构函数bool Is_objectLine_All_Positive();其中row2为主元所在的行,col为主元所在的列,row1为要处理的行void PrintAnswer();数不合法"<<endl;}SimpleMatrix::SimpleMatrix(int row,int col){init(row,col);for(int i=0;i<rowLen;i++)cout<<"请输入矩阵中第"<<i+1<<"行的系数"<<endl; for(int j=0;j<colLen;j++)cin>>data[i][j];}？}SimpleMatrix::SimpleMatrix(int row,int col,double **M) {rowLen=row;colLen=col;init(row,col);for (int i=0;i<row;i++)for(int j=0;j<col;j++){data[i][j]=*((double*)M+col*i+j); ;}}SimpleMatrix::~SimpleMatrix(){if(colLen*rowLen != 0 ){for(int i=rowLen-1;i>=0;i--){if (data[i]!=NULL)delete[] data[i];}if (data!=NULL)delete[] data;}？}bool SimpleMatrix::Is_objectLine_All_Positive(){for(int i=0;i<colLen-1;i++)if(data[rowLen-1][i]<0)return false;return true;}bool SimpleMatrix::Is_MainCol_All_Negative(int col) {for(int i=0;i<rowLen;i++)if(data[i][col]>0)return false;return true;}bool SimpleMatrix::Is_column_all_Positive(int col){for(int i=0;i<rowLen-1;i++){return false;}return true;}int SimpleMatrix::InColumn(){int count=0;for(int i=0;i<colLen-1;i++){int temp=GetItem(rowLen-1,i);if(temp>=0){count++;}elsebreak;}double maxItem=fabs(GetItem(rowLen-1,count));int index_col;for(i=0;i<colLen-1;i++){double temp=GetItem(rowLen-1,i);if(temp<0){if(maxItem<=fabs(temp)){maxItem=fabs(temp);index_col=i;}}}return index_col;}int SimpleMatrix::DepartRow(int col){int index_row;int count=0;for(int i=0;i<rowLen;i++){if(data[i][col]<0)count++;elsebreak;}double minItem=data[count][colLen-1]/data[count][col]; index_row=count;double temp;for(i=0;i<rowLen-1;i++)temp=data[i][col];if(temp>0){temp=data[i][colLen-1]/temp;if(temp<minItem){minItem=temp;index_row=i;}}}return index_row;}void SimpleMatrix::MainItem_To_1(int row,int col){double temp=GetItem(row,col);pp#include <iostream>#include ""using namespace std;int main(){double M[4][7]={{5,3,1,1,0,0,9},{-5,6,15,0,1,0,15},{2,-1,1,0,0,-1,5},{-10,-15,-12,0,0,0,}}; SimpleMatrix Matrix(4,7,(double **)M);if(5))//判断是否存在最优解{bool p=();//判断主元列是否全部为正,确定是否已经取得最优解while(!p){int col=();//确定主元所在的行if(col))//确定线性规划的解是否为无解的{cout<<"线性规划问题是无界的,没有最优解"<<endl;exit(EXIT_FAILURE);}else{int mainRow=(col);//确定主元所在的行(mainRow,col);//将主元所在的行做变换,使主元变成1int i=0;while(i<()){if(i!=mainRow){(i,mainRow,col);//处理矩阵中其他的行,使主元列的元素为0i++;}elsei++;}}}for(int i=0;i<();i++)//输出变换以后的矩阵,判断是否正确处理{for (int j=0;j<();j++){cout<<(i,j)<<" ";}cout<<endl;}p=();}();}elsecout<<"线性规划无解"<<endl;return0;}。

盐城师范学院运筹学期末论文题目: 用单纯形法解决线性规划问题**: **二级学院: 数学科学学院专业: 数学与应用数学班级: 111 班学号: ********成绩评定:前言线性规划问题是数学以及日常生活中最基本的问题之一，如何快速有效的解决线性规划问题是数学家也在努力研究的科目之一。

以前中学时我们解决线性规划问题一般采用的是图解法，即画出所给条件的可行域，找出目标函数的最优解。

这种方法的优点是直观性强，计算方便，但缺点是只适用于问题中有两个变量的情况。

下面我们介绍另外一种方法—单纯形法，来解决图解法不能解决的问题。

1 单纯形法1.1 单纯形法的基本思路利用求线性规划问题基本可行解的方法求解较大规模的问题是不可行的。

有选择地取基本可行解，即从可行域的一个极点出发，沿着可行域的边界移动到另一个相邻的极点，要求新极点的目标函数值不比原目标函数值差。

在线性规划的可行域中先找出一个可行解，检验它是否为最优解，如果是最优解，计算停止；如果不是最优解，那么可以判断线性规划无有限最优解，或者根据一定步骤得出使目标函数值接近最优值的另一个基本可行解。

由于基本可行解的个数有限，所以总可以通过有限次迭代，得到线性规划的最优基本可行解或判定线性规划无有限最优解。

1.2 单纯形法的基本步骤第1步求初始基可行解，列出初始单纯形表。

对非标准型的线性规划问题首先要化成标准形式。

由于总可以设法使约束方程的系数矩阵中包含一个单位矩阵（P1,P2，…，Pm），以此作为基求出问题的一个初始基可行解。

为检验一个基可行解是否最优，需要将其目标函数值与相邻基可行解的目标函数值进行比较。

为了书写规范和便于计算，对单纯形法的计算设计了一种专门表格，称为单纯形表（见表1—1）。

迭代计算中每找出一个新的基可行解时，就重画一张单纯形表。

含初始基可行解的单纯形表称初始单纯形表，含最优解的单纯形表称最终单纯形表。

第2步：最优性检验如表中所有检验数c j−z j≤0，且基变量中不含有人工变量时，表中的基可行解即为最优解，计算结束。