考点 简单几何体的表面积和体积

专题9简单几何体的直观图与表面积体积第一讲.基本立体图形知识点一多面体、旋转体的定义多面体：由若干个平面多边形围成的几何体.旋转体:一条平面曲线(包括直线)绕它所在平面内的一条定直线旋转所形成的曲面叫做旋转面，封闭的旋转面围成的几何体叫做旋转体知识点二棱柱的结构特征1.棱柱的概念有两个面互相平行，其余各面都是四边形，并且相邻两个四边形的公共边都互相平行，由这些面所围成的多面体叫做棱柱.棱柱ABCDEF—A′B′C′D′E′F′底面(底)：两个互相平行的面侧面：其余各面侧棱：相邻侧面的公共边顶点：侧面与底面的公共顶点2.棱柱的分类(1)按底面多边形边数来分：三棱柱、四棱柱、五棱柱…(2)按侧棱是否与底面垂直：侧棱垂直于底面的棱柱叫做直棱柱，侧棱不垂直于底面的棱柱叫做斜棱柱.底面是正多边形的直棱柱叫做正棱柱，底面是平行四边形的四棱柱也叫做平行六面体.知识点三棱锥的结构特征1.棱锥的概念有一个面是多边形，其余各面都是有一个公共顶点的三角形，由这些面所围成的多面体叫做棱锥棱锥S—ABCD底面(底)：多边形面侧面：有公共顶点的各个三角形面侧棱：相邻侧面的公共边顶点：各侧面的公共顶点2.棱锥的分类(1)按底面多边形的边数分：三棱锥、四棱锥……(2)底面是正多边形，并且顶点与底面中心的连线垂直于底面的棱锥叫做正棱锥.知识点四棱台的结构特征用一个平行于棱锥底面的平面去截棱锥，底面与截面之间那部分多面体叫做棱台棱台ABCD—A′B′C′D′上底面：平行于棱锥底面的截面下底面：原棱锥的底面侧面：其余各面侧棱：相邻侧面的公共边顶点：侧面与上(下)底面的公共顶点知识点五圆柱的结构特征定义：以矩形的一边所在直线为旋转轴，其余三边旋转一周形成的面所围成的旋转体叫做圆柱圆柱O O'圆柱的轴：旋转轴圆柱的底面：垂直于轴的边旋转而成的圆面圆柱的侧面：平行于轴的边旋转而成的曲面圆柱侧面的母线：无论旋转到什么位置，平行于轴的边知识点六圆锥的结构特征以直角三角形的一条直角边所在直线为旋转轴，其余两边旋转一周形成的面所围成的旋转体圆锥SO圆锥的轴：旋转轴圆锥的底面：垂直于轴的边旋转而成的圆面侧面：直角三角形的斜边旋转而成的曲面母线：无论旋转到什么位置，不垂直于轴的边知识点七圆台的结构特征用平行于圆锥底面的平面去截圆锥，底面与截面之间的部分叫做圆台圆台O O'圆台的轴：旋转轴圆台的底面：垂直于轴的边旋转一周所形成的圆面 圆台的侧面：不垂直于轴的边旋转一周所形成的曲面 母线：无论旋转到什么位置，不垂直于轴的边 知识点八 球的结构特征半圆以它的直径所在直线为旋转轴，旋转一周形成的曲面叫做球面，球面所围成的旋转体叫做球体，简称球球O球心：半圆的圆心半径：连接球心和球面上任意一点的线段 直径：连接球面上两点并经过球心的线段 知识点九 简单组合体的结构特征1.概念：由简单几何体组合而成的，这些几何体叫做简单组合体.2.基本形式：一种是由简单几何体拼接而成，另一种是由简单几何体截去或挖去一部分而成. 知识点十 空间几何体直观图的画法 1.斜二测画法利用平行投影，人们获得了画直观图的斜二测画法.利用这种画法画水平放置的平面图形的直观图，其步骤如下:(1)在已知图形中取互相垂直的x 轴和y 轴，两轴相交干点O.画直观图时，把它们画成对应的x '轴和y '轴，两轴相交于点O '，且使45x O y '''∠=︒(或135︒)，它们确定的平面表示水平面.(2)已知图形中平行于x 轴或y 轴的线段，在直观图中分别画成平行于x '轴或y '轴的线段.(3)已知图形中平行于x 轴的线段，在直观图中保持原长度不变，平行于y 轴的线段，在直观图中长度为原来的一半.注： (1)斜二测画法中，“斜”是指把直角坐标系xOy 变为斜坐标系x O y '''，使45x O y '''∠=︒(或135︒);“二测”是指画直观图时，平行于x 轴的线段长度不变，平行于y 轴的线段长度减半.(2)斜二测画法画图的关键是在原图中找到决定图形位置与形状的点，并在直观图中画出. (3)斜二测画法的度量特征与位置特征简记为:横不变、纵折半，平行位置不改变。

空间⼏何体的表⾯积及体积公式⼤全空间⼏何体的表⾯积与体积公式⼤全⼀、全（表）⾯积（含侧⾯积） 1、柱体①棱柱②圆柱 2、锥体①棱锥：h c S ‘底棱锥侧21=②圆锥：l c S 底圆锥侧213、台体①棱台：h c c S )(21‘下底上底棱台侧+=②圆台：l c c S )(21下底上底棱台侧+=4、球体①球：r S 24π=球②球冠：略③球缺：略⼆、体积 1、柱体①棱柱②圆柱 2、①棱锥②圆锥3、①棱台②圆台 4、球体①球：rV 334π=球②球冠：略③球缺：略说明：棱锥、棱台计算侧⾯积时使⽤侧⾯的斜⾼h '计算；⽽圆锥、圆台的侧⾯积计算时使⽤母线l 计算。

三、拓展提⾼ 1、祖暅原理：（祖暅：祖冲之的⼉⼦）夹在两个平⾏平⾯间的两个⼏何体，如果它们在任意⾼度上的平⾏截⾯⾯积都相等，那么这两个⼏何体的体积相等。

最早推导出球体体积的祖冲之⽗⼦便是运⽤这个原理实现的。

2、阿基⽶德原理：（圆柱容球）圆柱容球原理：在⼀个⾼和底⾯直径都是r 2的圆柱形容器内装⼀个最⼤的球体，则该球体的全⾯积等于圆柱的侧⾯积，体积等于圆柱体积的32。

分析：圆柱体积：r r h S V r 3222)(ππ=?==圆柱圆柱侧⾯积：r h cS r r 242)2(ππ=?==圆柱侧因此：球体体积：r r V 3334232ππ=?=球球体表⾯积：r S 24π=球通过上述分析，我们可以得到⼀个很重要的关系（如图）+ =即底⾯直径和⾼相等的圆柱体积等于与它等底等⾼的圆锥与同直径的球体积之和 3、台体体积公式公式： )(31S SS S h V 下下上上台++=证明：如图过台体的上下两底⾯中⼼连线的纵切⾯为梯形ABCD 。

延长两侧棱相交于⼀点P 。

设台体上底⾯积为S 上，下底⾯积为S 下⾼为h 。

易知：PDC ?∽PAB ?，设h PE 1=，则h h PF +=1由相似三⾓形的性质得：PFPEAB CD =即：hh hSS +=11下上(相似⽐等于⾯积⽐的算术平⽅根)整理得：SS h S h 上下上-=1⼜因为台体的体积=⼤锥体体积—⼩锥体体积∴h S S S h h S h h S V 下上下上下台）（31)(313131111+-=-+=代⼊：SS h S h 上下上-=1得：h S S S SS h S V 下上下上下上台31)(31+--=即：)(3131)(31S SS S h h S S S hS V 下下上上下上下上台++=++=∴)(3S S h V 下下上上台++=4、球体体积公式推导分析：将半球平⾏分成相同⾼度的若⼲层（层n ），n 越⼤，每⼀层越近似于圆柱，+∞→n 时，每⼀层都可以看作是⼀个圆柱。

(3)台体的侧面积 台体的侧面积 棱台的上底面、 ①正棱台：设正n棱台的上底面、下底面周 正棱台：设正 棱台的上底面 长分别为c′、c，斜高为 ，则正 棱台的侧面积 长分别为 、 ，斜高为h′，则正n棱台的侧面积 1 ＋ 公式S 公式 正棱台侧＝ 2 (c＋c′)h′ . 圆台：如果圆台的上、 ②圆台：如果圆台的上、下底面半径分别 为r′、r，母线长为 ，则S圆台侧＝ πl(r′＋r) ． 、 ，母线长为l， ＋ 表面积＝侧面积＋底面积． 注：表面积＝侧面积＋底面积．
基础知识梳理
(3)锥体 圆锥和棱锥 的体积 锥体(圆锥和棱锥 锥体 圆锥和棱锥)的体积
1 V锥体＝ Sh. 3
1 其中V圆锥＝ 3 πr2h ，r为底面半径． 其中 为底面半径． 为底面半径
基础知识梳理
(4)台体的体积公式 台体的体积公式 V台＝h(S＋＋ ． ＋＋S′)． ＋＋ 为台体的高， 和 分别为上下 注：h为台体的高，S′和S分别为上下 为台体的高 两个底面的面积． 两个底面的面积． 1 ＋ 其中V 其中 圆台＝ 3 πh(r2＋rr′＋r′2) ． 为台体的高， 、 分别为上 分别为上、 注：h为台体的高，r′、r分别为上、 为台体的高 下两底的半径． 下两底的半径． (5)球的体积 球的体积 4 3 V球＝ 3 πR .
课堂互动讲练
跟踪训练
(2)由(1)知 AB⊥BD.∵CD∥AB， 由 知 ⊥ ∵ ∥ ， ∴CD⊥BD，从而 DE⊥BD. ⊥ ， ⊥ 在 Rt△DBE 中，∵DB＝2 3， △ ＝ ， DE＝DC＝AB＝2， ＝ ＝ ＝ ， 1 ∴S△DBE＝2DBDE＝2 3. ＝ 又∵AB⊥平面 EBD，BE平面 ⊥ ， EBD，∴AB⊥BE. ， ⊥ ∵BE＝BC＝AD＝4，∴S△ABE＝ ＝ ＝ ＝ ， 1 ABBE＝4. ＝ 2

几何体的体积与表面积知识点总结几何体是指在三维空间中有一定形状的物体。

了解几何体的体积和表面积是数学中的重要知识点，它们与实际生活中的量度、测量和建模都有着密切的关系。

本文将对几何体的体积与表面积的概念、计算方法及其应用进行总结。

一、体积的概念和计算方法1. 体积的概念：体积是指几何体所占据的空间大小。

它是一个三维量，通常用单位立方米（m³）表示。

2. 常见几何体的体积计算：a. 直方体的体积计算公式：体积 = 长 ×宽 ×高。

b. 正方体的体积计算公式：体积 = 边长³。

c. 圆柱体的体积计算公式：体积 = 底面积 ×高。

d. 圆锥体的体积计算公式：体积 = 1/3 ×底面积 ×高。

e. 球体的体积计算公式：体积= 4/3 × π × 半径³。

3. 组合体的体积计算：组合体是由多个几何体组合而成的复合体，计算其体积时需将每个几何体的体积计算出来，再进行合并。

二、表面积的概念和计算方法1. 表面积的概念：表面积是指几何体表面的总面积。

它是一个二维量，通常用单位平方米（m²）表示。

2. 常见几何体的表面积计算：a. 直方体的表面积计算公式：表面积 = 2 × (长 ×宽 + 长 ×高 + 宽×高)。

b. 正方体的表面积计算公式：表面积 = 6 ×边长²。

c. 圆柱体的表面积计算公式：表面积 = 2 ×圆底面积 + 圆周长 ×高。

d. 圆锥体的表面积计算公式：表面积 = 圆底面积 + 圆底面积到尖顶的侧面积。

e. 球体的表面积计算公式：表面积= 4 × π × 半径²。

3. 组合体的表面积计算：同样，对于组合体的表面积计算，需将每个几何体的表面积计算出来，再进行合并。

三、体积和表面积的应用1. 应用于物体量度和测量：了解几何体的体积和表面积可以帮助我们测量实际物体的容量和表面大小，例如房屋的体积和墙壁的面积。