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《一元二次方程的根与系数的关系》教案教学目标（一）知识与技能掌握一元二次方程的根与系数的关系并会初步应用．（二）过程与方法培养学生分析、观察、归纳的能力和推理论证的能力．（三）情感、态度与价值观1．渗透由特殊到一般，再由一般到特殊的认识事物的规律；2．培养学生去发现规律的积极性及勇于探索的精神．教学重点、难点、疑点及解决方法1．教学重点：根与系数的关系及其推导．2．教学难点：正确理解根与系数的关系．3．教学疑点：一元二次方程根与系数的关系是指一元二次方程两根的和，两根的积与系数的关系．教学过程（一）明确目标一元二次方程x2-5x+6=0的两个根是x1=2，x2=3，可以发现x1＋x2=5恰是方程一次项系数-5的相反数，x1x2＝6恰是方程的常数项．其它的一元二次方程的两根也有这样的规律吗？这就是本节课所研究的问题，利用一元二次方程的一般式和求根公式去推导两根和及两根积与方程系数的关系——一元二次方程根与系数的关系．（二）整体感知一元二次方程的求根公式是由系数表达的，研究一元二次方程根与系数的关系是指一元二次方程的两根的和，两根的积与系数的关系．它是以一元二次方程的求根公式为基础．学了这部分内容，在处理有关一元二次方程的问题时，就会多一些思想和方法，同时，也为今后进一步学习方程理论打下基础．本节先由发现数字系数的一元二次方程的两根和与两根积与方程系数的关系，到引导学生去推导论证一元二次方程两根和与两根积与系数的关系及其应用．向学生渗透认识事物的规律是由特殊到一般，再由一般到特殊，培养学生勇于探索、积极思维的精神．（三）重点、难点的学习及目标完成过程1．复习提问（1）写出一元二次方程的一般式和求根公式．（2）解方程①x2-5x＋6＝0，②2x2＋x-3＝0．观察、思考两根和、两根积与系数的关系．在教师的引导和点拨下，由学生得出结论，教师提问：所有的一元二次方程的两个根都有这样的规律吗？2．推导一元二次方程两根和与两根积和系数的关系．设x1、x2是方程ax2+bx+c=0（a≠0）的两个根．以上一名学生在板书，其它学生在练习本上推导．由此得出，一元二次方程的根与系数的关系．（一元二次方程两根和与两根积与系数的关系）结论1．如果ax2+bx+c=0（a≠0）的两个根是x1，x2，那么x1我们就可把它写成x2+px+q=0．结论2．如果方程x2+px+q＝0的两个根是x1，x2，那么x1＋x2＝-p，x1·x2=q．结论1具有一般形式，结论2有时给研究问题带来方便．练习1．（口答）下列方程中，两根的和与两根的积各是多少？（1）x2-2x＋1＝0；（2）x2-9x＋10＝0；（3）2x2-9x＋5＝0；（4）4x2-7x＋1＝0；（5）2x2-5x＝0；（6）x2-1＝0此组练习的目的是更加熟练掌握根与系数的关系．3．一元二次方程根与系数关系的应用．（1）验根．（口答）判定下列各方程后面的两个数是不是它的两个根．验根是一元二次方程根与系数关系的简单应用，应用时要注意三个问题：（1）要先把一元二次方程化成标准型，（2）不要漏除二次项系数，（3）还要注意-b/a 的负号。
教学设计一元二次方程的根与系数的关系教学目标：1．理解一元二次方程根与系数的关系，会求与一元二次方程的两根有关代数式的值.2．能根据一元二次方程根与系数的关系，已知一个根，求出方程的另一个根及未知系数. 3．通过一元二次方程根与系数关系的推导，提高学生的推断能力．教学重点：理解一元二次方程根与系数的关系，会求与一元二次方程的两根有关代数式的值.教学难点：能根据一元二次方程根与系数的关系，已知一个根，求出方程的另一个根及未知系数.教学方法：提出问题——合作探究——归纳总结教学法．课前准备：教师准备：精心备课，制作课件，制作讲学案，学生准备：预习本节课.教学过程：一、创设情境明确目标（预设时间5分钟）1.一元二次方程的一般形式？ax2+bx+c=0 (a≠0)（学生默写）2.一元二次方程的求根公式是什么？(△=b2-4ac≥0)（学生默写）【处理方式】学生默写，其余学生补充，教师点拨评价.【设计意图】让学生熟悉与本节课有关的知识，做好本节课学习的铺垫.师：同学们可以看出方程的根与方程的二次项系数、一次项系数、常数项有关系，它们有怎样的关系呢？让我们共同研究第二章第五节《一元二次方程根与系数的关系》请看学习目标：【学生齐读】1．理解一元二次方程根与系数的关系，会求与一元二次方程的两根有关代数式的值.2．能根据一元二次方程根与系数的关系，已知一个根，求出方程的另一个根及未知系数.【设计意图】让学生明确本节课的学习任务，看着目标研究、带着问题学习.二、自主学习合作探究（预设时间30分钟）师：目标已经确定，任务等待完成，下面我们以学习小组为单位研究,根据计算填空，并思考下面问题：（1）观察表格中X1+X2与X1X2的值它们与一元二次方程的各项系数之间有什么样的关系？（2）是不是所有的一元二次方程根与系数都有这样的关系呢？【处理方式】学生开始分小组学习，小组长分工，两名同学做第1题，两名同学做第2题，组长和另一名同学做第3题，做完后，组长同学负责指导本组同学校对答案，并进行结论总结.【师】同学们停下研究，让我们共同分享一下集体的智慧，让不同的学习小组发言，得到所做题目的答案，并总结得到自己的结论；最后话锋一转，“请根据以上的观察发现，请猜想：方程ax2+bx+c=0 (a≠0)的根x1，x2，则x1+x2= ________.x1x2= .如何验证你的猜想？【生1】x1+x2= x1x2=【师】能把你推理的过程和大家一起分享吗？【生1】摇头【生2】拿着讲学案到讲台前，展示计算推理过程并作具体的步骤解释，效果很好，学生都很专注的听.【师】满意的点头，我们为苏伟杰同学精彩的推理喝彩，苏同学验证了我们猜想的结论，是我们班未来的伟大、杰出的一名‘数学家’，早在四百多年前，法国的韦达也发现了此结论，并传承至今，请阅读韦达其人其事.生：阅读教师准备的课外拓展：韦达1540年出生在法国，年青时学习法律，当过律师，当过议会议员。
课题：2.5一元二次方法根与系数的关系教学目标：1．了解一元二次方程的根与系数的关系并会简单应用．2．培养学生分析、观察、归纳的能力和推理论证的能力．3．渗透由特殊到一般，再由一般到特殊的认识事物的规律．培养学生去发现规律的积极性及勇于探索的精神和全面辩证地认识事物的能力.教学重点与难点：重点：根与系数的关系的推导、运用.难点：正确归纳、理解、运用根与系数的关系．课前准备：多媒体课件．教学过程:一、创设情境，导入新课活动内容：回答下列问题．1．一元二次方程的一般形式是什么？一元二次方程有实数根的条件是什么？2．一元二次方程的求根公式是什么？处理方式：学生思考代表回答，教师强调并引导：通过一元二次方程的求根公式我们发现“一元二次方程的根可以由它的二次项系数a 、一次项系数b 、常数项c 来确定，求根公式反映了根与系数的一种关系”．除此之外，一元二次方程的根与系数之间还存在什么样的关系呢？这节课我们共同探究2.5一元二次方法根与系数的关系．教师板书课题．设计意图：通过复习公式法解一元二次方程的相关知识，有利于学生衔接前后知识，形成清晰的知识脉络，为后面的学习作好铺垫，同时又自然的引出本节课的课题．二、探究学习，感悟新知活动内容1：我们已经学过用配方法、公式法、因式分解法解一元二次方程方法，你能用合适的方法解下列方程吗？（多媒体出示）1.用合适的方法解下列方程，并填表()()22212+1=0210(3)2310x x x x x ---=-+=2.方程(1)的二次项系数、一次项系数、常数项分别是多少?两根之和、两根之积与它的二次项系数、一次项系数、常数项之间有什么关系？方程(2)和 方程(3)呢？3. 对于任何一个一元二次方程，这种关系都成立吗？举例验证你的猜想．处理方式：留3分钟的时间先让学生独立解方程，三个学生板书解方程的过程并填表，教师巡视指导．填表后让学生思考问题2，找到方程（1）的二次项系数、一次项系数、常数项分别是多少，然后观察表格，发现12x x + 与它的二次项系数和一次项系数有关系；12.x x 与它的二次项系数和常数项有关系．有什么关系？方程（1）和方程（2）不是太明显，分析方程（3）的二次项系数、一次项系数、常数项得出两根之和与它的二次项系数和一次项系数的关系，两根之积与它的二次项系数和常数项的关系．然后教师引导学生举例验证自己的猜想；学生感受对于任何一个一元二次方程这种关系都成立．设计意图：复习巩固了解一元二次方程的方法，并感受可以根据方程的特点选择适当的方法．这一过程注重引导学生分析这三个方程的二次项系数、一次项系数、常数项和两根之和、两根之积的关系。
北师大版九年级上册数学教案
课题：第二章 一元二次方程
第5节： 一元二次方程的根与系数的关系
教学目标：
1能说出根与系数的关系；
2会利用根与系数的关系解有关的问题
3、在经历观察、归纳、猜想、验证的这个探索发现过程中，通过尝试与交流，开拓思路，体会应用自己探索成果的喜悦
4、通过观察、实践、讨论等活动，经历发现问01322=--x x 的值
4、设 是方程 的两个 根，不解方程，
求 的值
5、利用根与系数的关系，求方程 的两根之和、两根之积
6、已知方程52-6=0的一个根是2，求它的另一个根及的值。
五、小结
2212442222b b ac b b ac b b x x a a a a -+-----+=+==-22124422b b ac b b ac x x a a -+---⋅=⋅222222--444b b ac b b ac c a a
--+===（）（）22
7033x x --=2、已知方程的一个根是，求它的另一个根。
22420x x m ++=12,x x 22430x x +-=12(1)(1)x x ++3
1)10x x --=（
学完本课后你有哪些收获六、作业
习题1、2、3、4题。
《一元二次方程的根与系数的关系》教学设计【教学目标】1、知识目标 ：掌握一元二次方程的根与系数的关系 2、能力目标：通过学生探索一元二次方程的根与系数的关系，培养学生观察分析和综合判断的能力，提高学生推理论证的能力。
3、情感目标：在探究中得出结论，获取成功的体验，激发学习热情，建立自信心。
激发学生发现规律的积极性，鼓励学生勇于探索的精神。
【教学重点和难点】1.教学重点：一元二次方程根与系数的关系和应用。
2.教学难点：对根与系数的关系的理解和推导。
【教学过程】（一 ）新知提问 教学内容： 已知21,x x ,满足12,72121==+x x x x 则在不解方程的前提下你能判断以21,x x 为根的一元二次方程是 哪一个? 说说你的理由127:,0127:0127:,0127:2222=+-=--=-+=++x x D x x C x x B x x A教师活动：提出问题，激发学生的好奇心和解决困难的斗志 学生活动：极思考回答，进入学习状态。
设计意图：通过学生回答加强其对一元二次方程一的解法的掌握，并认识到用所学知识在该题的情景下无法解决这个问题，从而点燃其对学习新知的热情。
（二）回顾整理教学内容：提问1：一元二次方程的一般形式是什么。
提问2：一元二次方程的根的情况是如何确定的。
提问3：一元二次方程求根公式。
教师活动：提出问题，让学生进一步明确根与系数的概念，为后面的研究作铺垫。
学生活动：极思考回答，进入学习状态。
设计意图：通过学生回答加强一元二次方程一般形式的记忆强化，使学生明确方程的系数决定根的值，引出根与系数之间还有其它联系方式吗？然后顺理成章进入“一元二次方程的根与系数之间的关系”的探究学习。
（三）探索新知问题1：（填表，观察，猜想）你发现了什么结论问题2： 你是如何证明你的发现呢？ ①用语言叙述发现的规律；② 02=++c bx ax 的两根21,x x 用式子表示你发现的规律： .推断证明02=++c bx ax (a ≠0)的两根为21,x x 则:a b x x -=+21 ，a cx x =21教师活动：引导学生观察、分析、归纳；启发学生，求根公式是具有一般性的，利用求根公式进行证明。
2.5一元二次方程根与系数的关系教学设计
【做一做】
解下列方程，看谁能更快速的说出下列一元二次方
程的两根和与两根积.
(1)x2–2x+1=0
(2)x2–x–1=0
(3) 2x2–3x+1=0
选择自己喜欢的方法解一元二次方程，
观察上述表格，回答下列问题：
(1)每个方程的两根之和与它的系数a 、b 、c 有什么关系？
12b
x x a
+=-
(2)每个方程的两根之积与它的系数a 、b 、c 有什么关系？
12c x x a =
思考：对于任何一个一元二次方程，这种关系都成立吗？ 证一证：
22124422b b ac b b ac x x a a -+----==
， 2212442222b b ac b b ac
x x a a b b a a
-+----+=+-==- ()
(
)
()22122
2
2
2
222
44224444b b ac b b ac x x a a b b ac
a
b b a
c c a a
-+----=⋅
--
-=--=
=
总结：
如果一元二次方程 ax 2+bx +c =0(a ≠0)，当b 2–4ac ≥ 0 时，有两个根分别为x 1，x 2，那么：
1212.b c
x x x x a a
+=-=，
例 利用根与系数的关系，求下列方程的两根之和、。
课题：一元二次方程的根与系数的关系● 教学目标：一、知识与技能目标：掌握一元二次方程的根与系数的关系并会初步应用． 二、过程与方法目标：培养学生分析、观察、归纳的能力和推理论证的能力． 三、情感态度与价值观目标：1．渗透由特殊到一般，再由一般到特殊的认识事物的规律； 2．培养学生去发现规律的积极性及勇于探索的精神．● 重点：根与系数的关系及其推导.● 难点：正确理解根与系数的关系，灵活运用根与系数的关系.● 教学流程：一、 导入新课1、 一元二次方程的一般形式是什么？2、一元二次方程求根公式是什么？3、指出下列一元二次方程中的一次项系数a ,二次项系数b ，常数项，c 并求出方程的解。
（1）x 2-2x -1=0 (2) （3）x 2+3x +1=0 二、 新课讲解1、探索新知思考：（1）上述方程的两根的和、积与一次项系数及常数项分别有什么关系?（2）已知：如果一元二次方程 的两个根分别是x 1 、x 2. 方程两根1x 、2x 的值两根的和21x x +两根的积21x x1x2xx 2-2x -1=0x 2+3x +1=022310x x --=20(0)ax bx c a ++=≠22310x x --=20(0)ax bx c a ++=≠猜想：用a 、b 、c 的代数式表示。
2、一元二次方程的根与系数的关系推导.已知：如果一元二次方程的两个根分别是x 1 、x 2 . 求证： 证明：3、小结：在应用韦达定理时注意的问题. （1）先将一元二次方程转化成一般形式， （2）准确找到a,b,c ，口算 ∆ （3）记准韦达定理.4、例题精析例1：利用根与系数的关系，求下列方程的两根之和、两根之积 ： （1）x 2+7x +6=0; （2）2x 2-3x -2=0.例2：已知关于x 的方程2x 2-（m -1）x +m +1=0的两根满足关系式x 1-x 2=1，求m 的值及方程的两个根． 三、探究理解判断对错，如果错了，说明理由。
《5 一元二次方程的根与系数的关系》教案
教学目标：
掌握一元二次方程根与系数的关系，能运用它由已知一元二次方程的一个根求出另一个根与未知系数，会求一元二次方程两根的倒数和与平方和．
教学重点：
掌握一元二次方程根与系数的关系．
教学难点：
熟练应用一元二次方程根与系数的关系解决问题． 教学过程：
解下列方程，将得到的解填入下面的表格中，你发现表格中两个解的和与积和原来的方程有什么联系？
(1)x 2－2x ＝0 (2)x 2＋3x －4＝0 (3)x 2－5x ＋6＝0.
探索
一般地，对于关于x 的一元二次方程ax 2＋bx ＋c ＝0(a ≠0) 用求根公式求出它的两个根x 1、x 2，由一元二次方程ax 2＋b x ＋c ＝0的求根公式知
x 1=a ac b b 242-+-，x 2=a ac b b 242---
能得出以下结果：
x 1＋x 2= 即：两根之和等于
x 1•x 2= 即：两根之积等于
12x x +=a ac b b 242-+-+a ac b b 242--- =a
ac b b ac b b 24422----+-= 12.x x =a ac b b 242-+-×a ac b b 242--- =2224)4)(4(a ac b b ac b b ----+-=2224)(
)(a -=
由此得出，一元二次方程的根与系数之间存在得关系为 x 1+x 2=a b -，x 1x 2=a c
如果把方程ax 2＋bx ＋c ＝0(a ≠0)的二次项系数化为1，则方程变形为
x 2＋ x ＋a c ＝0(a ≠0)，
则以x 1，x 2为根的一元二次方程(二次项系数为1)是： x 2-( )x ＋x 1x 2＝0(a ≠0)
例1：已知方程5x 2＋k x -6＝0的一个根为2，求它的另一个根及k 的值；
解：设方程的另一个根是x 1，那么56
21-=x (为什么？)∴x 1=
又x 1+2=5k -(为什么？)∴k=
想一想，还有没有别的做法？
例2：利用根与系数的关系，求一元二次方程2x 2＋3x -1＝0的两个根的
(1)平方和 (2)倒数和
解：设方程的两个根分别为x 1，x 2，那么x 1+x 2= ，x 1x 2=
(1)∵(x 1+x 2)2= x 12+2 +x 22
∴x 12+x 22=(x 1+x 2)2-2 = (2)==
+212111x x x x
例3：求一个一元二次方程，使它的两个根是2
12313，- 解：所求的方程是x
2-(212313+-)x ＋(313-)212⋅＝0 (为什
么？) 即x 2+ x- ＝0或6x 2+ x- ＝0 例4：已知两个数的和等于8，积等于9，求这两个数． 解：根据根与系数的关系可知，这两个数是方程x 2-8x ＋9＝0的两个根
解这个方程，得x 1= ，x 2=
因此，这两个数是 ， ．
练习：
1、下列方程两根的和与两根的积各是多少？
(1)y 2-3y+1=0 (2)3x 2-2x=2 (3)2x 2+3x=0
(4)3x 2+5x-2=0 (5)2y 2-5=6y (6)4p(p-1)-3=0
2、已知方程3x 2-19x+m=0的一个根是1，求它的另一个根及m 的值．
3、设x 1，x 2是方程2x 2+4x-3=0的两个根，利用根与系数的关系，求下列各式的值．
(1)(x 1+1)(x 2+1) (2)2112x x x x
4、求一个一元二次方程，使它的两个根分别为4，-7．
5、已知两个数的和等于-6，积等于2，求这两个数．。
