华东师大版九上数学第24章 解直角三角形检测题及答案解析

2022-2023年华师大版数学九年级上册第24章《解直角三角形》单元检测卷一、选择题（本大题共12小题，每小题3分，共36分）1.在Rt △ABC 中,∠C=90°,BC=3,AB=4,则sinA 的值为（ ） A. B. C. D.2.如图,Rt △ABC 中,∠ACB=90°，CD ⊥AB 于点D ，BC=3,AC=4,则sin ∠1的值为（ ） A.0.6 B.0.8 C.0.75 D.3.在Rt △ABC 中，∠C=90°，BC=4，cosB=23，则AB 的长为( ) A.6 B.2 5 C.181313 D.1213134.如图，已知Rt △ABC 中，∠C=90°，AC=4，tanA=12，则BC 的长是( )A.2B.8C.2 5D.4 55.在△ABC 中，若＋(1-tanB)2＝0，则∠C 的度数是( )A.45°B.60°C.75°D.105°6.如图，在Rt △ABC 中，∠ACB=90°，CD 是斜边AB 上的高，下列线段的比值等于cosA 的值的有（ ）个（1） （2） （3） （4）.A.1B.2C.3D.47.如图，在平面直角坐标系中,点A坐标为（4,3），那么cosa的值是（）A. B. C. D.8.如图，在△ABC中，CA=CB=4，cosC=14，则sinB的值为( )A． B． C． D．9.如图，一辆小车沿倾斜角为α的斜坡向上行驶13米，已知cos α=，则小车上升的高度是( )A.5米B.6米C.6.5米D.12米10.如图，有一轮船在A处测得南偏东30°方向上有一小岛P，轮船沿正南方向航行至B处，测得小岛P在南偏东45°方向上，按原方向再航行10海里至C处，测得小岛P在正东方向上，则A，B之间的距离是( )A.103海里B.(102－10)海里C.10海里D.(103－10)海里11.某简易房示意图如图所示，它是一个轴对称图形，则坡屋顶上弦杆AB的长为( )A．米 B．米 C．米 D．米12.一艘轮船从A港出发，沿着北偏东63°的方向航行，行驶至B处时发现前方有暗礁，所以转向北偏西27°方向航行，到达C后需要把航向恢复到出发时的航向，此时轮船航行的航向向顺时针方向转过的度数为( )A.63°B.27°C.90°D.50°二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分）13.计算：2cos30°﹣﹣（12）﹣2= .14.△ABC中，∠A、∠B都是锐角，且sinA=cosB=12，则△ABC是三角形.15.如图,菱形ABCD的边长为10cm,DE⊥AB,sinA=，则这个菱形的面积= cm2．16.一架梯子AB斜靠在墙上，若梯子底端到墙的距离是AC=3米，且，则梯子AB的长度为米.17.如图，在建筑平台CD的顶部C处，测得大树AB的顶部A的仰角为45°，测得大树AB的底部B的俯角为30°，已知平台CD的高度为5m，则大树的高度为m（结果保留根号）18.如图，在△ABC中，sinB=，tanC=，AB=3，则AC的长为．三、解答题（本大题共8小题，共66分）19.计算：tan30°cos60°+tan45°cos30°．20.计算：21.在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=7，BC=24.(1)求AB的长；(2)求sinA，cosA，tanA的值.22.先化简，再求代数式：（+）÷的值，其中x=sin60°﹣cos45°23.如图，已知在△ABC中，D是AC上一点，联结BD，且∠ABD =∠ACB.（1）求证：△ABD∽△ACB；（2）若AD=5，AB= 7，求AC的长.ADBC24.如图,已知长江路西段与黄河路的夹角为150°,长江路东段与淮河路的夹角为135°，黄河路全长AC=20km,从A地道B地必须先走黄河路经C点后再走淮河路才能到达,城市道路改造后，直接打通长江路（即修建AB路段）．问：打通长江路后从A地道B地可少走多少路程？（参考数据：2≈1.4，3≈1.7）25.芜湖长江大桥采用低塔斜拉桥型(如甲图)，图乙是从图甲引申出的平面图，假设你站在桥上测得拉索AB与水平桥面的夹角是30°，拉索CD与水平桥面的夹角是60°，两拉索顶端的距离BC为2 m，两拉索底端距离AD为20 m，请求出立柱BH的长.(结果精确到0.1 m，3≈1.732)26.按要求解答下列各题：（1）如图①，求作一点P，使点P到∠ABC的两边的距离相等，且在△ABC的边AC 上．（用直尺和圆规作图，保留作图痕迹，不写作法和证明）；（2）如图②，B、C表示两个港口，港口C在港口B的正东方向上．海上有一小岛A 在港口B的北偏东60°方向上，且在港口C的北偏西45°方向上．测得AB=40海里，求小岛A与港口C之间的距离．（结果可保留根号）参考答案1.A2.A3.A4.C5.D6.D.7.A.8.A ；9.D.10.D11.B.12.C.13.答案为：﹣23﹣4， 14.答案为：直角. 15.60． 16.答案为：4；17.答案为：（5+53）．18.答案为： 319.解：原式===． 20.解：原式=3+ 3.21.解：(1)由勾股定理得AB=AC 2＋BC 2=72＋242=25.(2)sinA=BC AB =2425，cosA=AC AB =725，tanA=BC AC =247. 22.解：原式=（﹣）• =• ==，当x=sin60°﹣cos45°=×﹣×=时，原式=﹣17.23.解：24.解：如图所示：过点C作CD⊥AB于点D，在Rt△ACD中，∠CAD=30°，AC=20km，则CD=10km，AD=103km，在Rt△BCD中，∠CBD=45°，CD=10km，故BD=10km，BC=102km，则AC+BC﹣AB=20+102﹣103﹣10≈7（km），答：打通长江路后从A地道B地可少走7km的路程．25.解：设DH=x米，∵∠CDH=60°，∠H=90°，在Rt△CHD中，∴CH=DH·tan 60°=3x，∴BH=BC＋CH=2＋3x，∵∠A=30°，同理，∴AH=3BH=23＋3x，∵AH=AD＋DH，∴23＋3x=20＋x，解得：x=10－3，∴BH=2＋3(10－3)=103－1≈16.3(m).答：立柱BH的长约为16.3 m.26.解：（1）如图，点P即为所求．（2）作AD⊥BC于D．在Rt△ABD中，∵AB=40海里，∠ABD=30°，∴AD=AB=20（海里），∵∠ACD=45°，∴AC=AD=20（海里）．答：小岛A与港口C之间的距离为20海里．。

华师大版九年级上册数学第24章解直角三角形含答案一、单选题(共15题，共计45分)1、如图，在正方形中，是等边三角形，，的延长线分别交于点，，连接，，与相交于点.有下列结论：① ；② ；③ ；④.其中正确的个数是（）A.1B.2C.3D.42、如图，一艘船由港沿北偏东65°方向航行至港，然后再沿北偏西40°方向航行至港，港在港北偏东20°方向，则，两港之间的距离为（）.A. B. C. D.3、如图，中，，，，若，则的长为（）A.6B.C.7.5D.104、如图，⊙O直径CD＝5cm，AB是⊙O的弦，AB⊥CD，垂足M，OM：OD＝3：5，则AB 的长是（）A. cmB. cmC. cmD. cm5、等腰三角形两边长分别为4和8，则这个等腰三角形的周长为( )A.16B.18C.20D.16或206、△ABC中，∠B=90°，AC=，tan∠C=，则BC边的长为（）A.2B.2C.D.47、以长为8cm、6cm、10cm、4cm的四条线段中的三条线段为边，可以画出三角形的个数为（）A.1个B.2个C.3个D.4个8、如图，小明站在某广场一看台C处，测得广场中心F的俯角为21°，若小明身高CD＝1.7米，BC＝1.9米，BC平行于地面FA，台阶AB的坡度为i＝3：4，坡长AB＝10.5米，则看台底端A点距离广场中心F点的距离约为（）米．（参考数据：sin21°≈0.36，cos21°≈0.93，tan21°≈0.38）A.8.9B.9.7C.10.8D.11.99、如图，在直角坐标系中，四边形 OABC 为菱形，对角线 OB、AC 相交于 D 点，已知 A点的坐标为（10，0），双曲线 y= （ x＞0 ）经过 D 点，交BC 的延长线于 E 点，且OB•AC=120（OB＞AC），有下列四个结论：①双曲线的解析式为y=（x＞0）；②E 点的坐标是（4，6）；③sin∠CO A= ；④EC= ；⑤AC+OB=8 ．其中正确的结论有（）A.4 个B.3 个C.2 个D.1 个10、如图，在下列网格中，小正方形的边长均为1，点A、B、O都在格点上，则∠AOB的正弦值是（）A. B. C. D.11、如图，在△ABC中，∠ACB=90°，∠CAD=30°，AC=BC=AD，CE⊥CD，且CE=CD，连接BD、DE、BE,则下列结论：①∠ECA=165°，②BE=BC；③AD=BE；④CD=BD.其中正确的是（）A.①②③B.①②④C.①③④D.①②③④12、两根木棒分别长5cm、7cm，第三根木棒与这两根木棒首尾依次相接构成三角形．如果第三根木棒的长是偶数（单位：cm），则一共可以构成不同的三角形有（）A.4个B.5个C.8个D.10个13、三角形两条边分别为3和7，则第三边可以为（）A.9B.3C.2D.1014、下列长度的各组线段中可组成三角形的是( )A.1，2，3B.2，3，5C.3，3，6D. ，，15、以长为3cm，5cm，7cm，10cm的四条线段中的三条线段为边可以画出三角形的个数为( )A.1B.2C.3D.4二、填空题(共10题，共计30分)16、如图，直线y=﹣x+4与两坐标轴交A、B两点，点P为线段OA上的动点，连接BP，过点A作AM垂直于直线BP，垂足为M，当点P从点O运动到点A 时，则点M运动路径的长为________．17、如图，在平面直角坐标系中，点A的坐标（﹣2，0），△ABO是直角三角形，∠AOB=60°．现将Rt△ABO绕原点O按顺时针方向旋转到Rt△A′B′O的位置，则此时边OB扫过的面积为________．18、如图，水库大坝的横截面是梯形，坝顶AD宽5米，坝高10米，斜坡CD的坡角为45°，斜坡AB的坡度i=1：1.5，那么坝底BC的长度为________米．19、如图，身高1.6米的小丽在阳光下的影长为2米，在同一时刻，一棵大树的影长为8米，则这棵树的高度为________米.20、如图△ABC中，∠C=90°，AC=8cm，AB的垂直平分线MN交AC于D，连接BD，若cos∠BDC= ，则BC的长为________．21、已知三角形的两边长是3和4，周长是偶数，则这样的三角形的第三边是________．22、如图，当太阳光与地面成角时，直立于地面的玲玲测得自己的影长为1.25m，则玲玲的身高约为________ m．（精确到0. 01m）（参考数据：sin55°≈0.8192，cos55°≈0.5736，tan55°≈1.428）.23、将一张长方形纸片ABCD如图所示折叠，使顶点C落在点，已知，，则折痕DE的长为________（用含a的式子表示）．24、如图，在河对岸有一矩形场地ABCD，为了估测场地大小，在笔直的河岸l上依次取点E，F，N，使AE⊥l，BF⊥l，点N，A，B在同一直线上。

华师大版九年级上册数学第24章解直角三角形含答案一、单选题(共15题，共计45分)1、下列各组长度的线段能构成三角形的是（）A.1,2,4B.4,5,9C.4,6,8D.5,5,112、如图，在2×2正方形网格中，以格点为顶点的△ABC的面积等于，则sin∠CAB=（）A. B. C. D.3、如图，已知菱形ABCD，DF1BC交AC于点，交C于点F，若tan∠BDF= ，AB=30，则CE的长是（）A. B. C. D.4、在△ABC中，AB=6，AC=8，则BC边上中线AD的取值范围为（）（提示：可以构造平行四边形）A.2＜AD＜14B.1＜AD＜7C.6＜AD＜8D.12＜AD＜165、在Rt△ABC中，∠C=90°，∠B=30°，斜边AB的长为2，则AC长为（）A.4B.2C.1D.6、如图，矩形ABCD的对角线AC、BD相交于点O，AB：BC＝2：1，且BE∥AC，CE∥DB，连接DE，则tan∠EDC＝（）A. B. C. D.7、如图，小颖身高为160cm，在阳光下影长AB=240cm，当她走到距离墙角（点D）150cm处时，她的部分影子投射到墙上，则投射在墙上的影子DE的长度为（）A.50B.60C.70D.808、将下列长度的三根木棒首尾顺次连接，能组成直角三角形的一组是（）A.2、4、6B.4、6、8C.8、10、12D.6、8、109、如图，在4×4的正方形方格中，△ABC和△DEF的顶点都在边长为1的小正方形顶点上，则tan∠ACB的值为（）A. B. C. D.310、如图（1）所示，E为矩形ABCD的边AD上一点，动点P，Q同时从点B出发，点P沿折线BE﹣ED﹣DC运动到点C时停止，点Q沿BC运动到点C时停止，它们运动的速度都是1cm/秒．设P、Q同时出发t秒时，△BPQ的面积为ycm2．已知y与t的函数关系图象如图（2）（曲线OM为抛物线的一部分），则下列结论：①AD=BE=5；② ；③当0＜t≤5时，；④当秒时，△ABE∽△QBP；其中正确的结论是（）A.①②③B.②③C.①③④D.②④11、在下面四根木棒中，选一根能与长为4cm，9cm的两根木棒首尾依次相接钉成一个三角形的是（）A.4cmB.5cmC.9cmD.13cm12、下列是无理数的是（）A. B. C.0.202002000… D.13、已知三角形两边长分别为2和9，第三边的长为二次方程x2-14x+48=0的一根，则这个三角形的周长为( )A.11B.17C.17或19D.1914、在△ABC中，∠C=90°，cosA=， AC=6，则AB的长度为（）A.8B.10C.12D.1415、如图，⊙O的直径AB=2，点C在⊙O上，弦AC=1，则∠D的度数是（）A.30°B.60°C.45°D.75°二、填空题(共10题，共计30分)16、如图，在△ABC中，AB=AC=5，BC=8．若∠BPC= ∠BAC，则tan∠BPC=________．17、如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，，CM是斜边AB的中线，将△ACM沿直线CM折叠，点A落在点D处，如果CD恰好与AB垂直，那么∠A=________.18、点P是菱形ABCD的对角线AC上的一个动点，已知AB=1，∠ADC=120°, 点M，N分别是AB，BC边上的中点，则△MPN的周长最小值是________.19、一个直角三角形斜边上的高与中线分别是5㎝和6㎝，则它的面积是________ .20、等腰三角形的两边长为3 和，那么它的周长为________．21、如图，已知，P为线段AB上的一个动点，分别以AP，PB为边在AB的同侧作菱形APCD和菱形PBFE.点P，C，E在一条直线上，，M、N分别是对角线AC、BE的中点.当点P在线段AB上移动时，点M、N之间的距离最短为________.22、在扇形纸片AOB中，∠AOB=90°，OA=4，将扇形纸片AOB按如图所示折叠，使对折后点A与点O重合，折痕为DE，则的长度为________．23、如图，Rt△ACB中，∠ACB=90°，AC=2BC=4，点P为AB边中点，点D为AC 边上不与端点重合的一动点，将△ADP沿着直线PD折叠得△PDE，若DE⊥AB，则AD的长度为________。

华东师大版 九上数学 24章 《解直角三角形》单元测试卷（含解析）一. 选择题：（每小题2分，共20分）1. 在△EFG 中，∠G=90°，EG=6，EF=10，则cotE=（ ） A.43 B.34 C. 53 D.35 2. 在△ABC 中，∠A=105°，∠B=45°，tanC 的值是（ ） A. 21B.33 C. 1 D. 3 3. 在△ABC 中，若22cos =A ，3tan =B ，则那个三角形一定是（ ）A. 锐角三角形B. 直角三角形C. 钝角三角形D. 等腰三角形4. 如图18，在△EFG 中，∠EFG=90°，FH ⊥EG ，下面等式中，错误的是（ ） A.EG EF G =sin B. EF EHG =sinC. FGGH G =sinD. FGFH G =sin5. sin65°与cos26°之间的关系为（ ）A. sin65°<cos26°B. sin65°>cos26°C. sin65°=cos26°D. sin65°+cos26°=16. 已知30°<α<60°，下列各式正确的是（ ）A. B. C. D.7. 在△ABC 中，∠C=90°，52sin A ，则sinB 的值是（ ）A.32B.52 C.54 D. 521 8. 若平行四边形相邻两边的长分别为10和15，它们的夹角为60°，则平行四边形的面积是（ ）米2A. 150B.375 C. 9 D. 79. 如图19，铁路路基横断面为一个等腰梯形，若腰的坡度为i=2∶3，顶宽是3米，路基高是4米，则路基的下底宽是（ ）A. 7米B. 9米 C. 12米 D. 15米10. 如图20，两条宽度都为1的纸条，交叉重叠放在一起，且它们的交角为α，则它们重叠部分（图中阻影部分）的面积为（ ）A. αsin 1B. αcos 1C. αsinD. 1二. 填空题：（每小题2分，共10分）11. 已知0°<α<90°，当α=__________时，21sin =α，当α=__________时，Cota=3.12. 若，则锐角α=__________。

第24章 解直角三角形检测题（本检测题满分:120分，时间：120分钟）一、选择题（每小题2分，共24分） 1.计算:tan 45° + Sin 30° =（ ）2. 在直角三角形ABC 中，已知ZC = 9O% ZA = 40o, BC = 3,则AC = （） A. 3sin 40oB. 3sin 50oC. 3taιι 40oD. 3tail 50°3. （2013 <江温州中考）如图，在ZMBC 中，ZC=903AB = 5,3C = 3,则Sin A 的値是（）c∙l4•如图•四边形個S 是梯形，AD//BC. Ci 是Z 万C 的平分线，且ABLAa ZIg1, Q6,则 tan B≡（ ） 5.如图.Rt △遊中，ΛB = 9,BC = 6,ZB = 90o,将△磁折叠，使月点与庞的中点Q 重合. 折痕为MV,则线段Ey 的长为（）7.已知AD//BC^ AB 丄AP ，点E,点尸分别在射线初，射线兀上，若点E 与点B 关于AC 对称，点E 与点F 关于对称，AC 与3D 相交于点G •则（） A. 1+ tan ZADB = V∑C. ZAEB+22? = ZDEFA-2C. 一l + √3 2β∙iA. 2y 3B. 2vr2c∙τ第3題图C.4D. 56.在△/!恭中, 若三边 BU CA,曲满足 BC ： CA ： AB=5 : 12 : 13,则 COS 庆（12 13 D.Z13B. 2BC = 5CF D. 4cosZAGB = >∕62第5题图B第8题图第9题图8•河堤横断面如图所示，堤高於6 m,迎水坡曲的坡比为1 : v J,则曲的长为（A. 12 InB. 4√3 mC. 5√3 mD. 6√3 m9•如图∙ 一个小球由地而沿着坡度/=1：2的坡面向上前进了 10 m,此时小球距离地面的髙 度为（ ）•310.如图，在菱形ABCD 中，DE 丄ΛB ∙ cosA = - , BE=2,贝IJtanZDBE 的值是（）第17题图16. 已知等腰三角形的腰长为2,腰上的A. 5 mB. 2A /5 mA. 1B-2 c∙T11.已知直角三角形两直角边长之和为7,而积为6,则斜边长为（A. 5B- √37C. 712•如图•已知：45o<ZJ<90o,则下列各式成立的是（ ）A. Sin A=COS AB. Sin A>cos AC. Sin Λ>tan A->填空题（每小题3分，共18分）D. Sin A<cos A13•比较大小：8cos 31° _______ 届.（填“>—二”或 “V”）14. 如图，在△月氏中，Z 血¢30° , AB^Aa 肋是證边上的中线，Z M 决丄ZBAC 9CE 交朋于点E …交AD 于点氏若Be=‰则前的长 2 为 ___________ ・ 15. 如图，小兰想测量南塔的髙度，她在A 处仰望塔顶，测得仰角为 30° ,再往塔的方向前进50 m 至B 处，测得仰角为60° ,那么塔髙约为 ____________ 血（小兰身髙忽略不计，≈ 1.732）第Iel 题)高为1,则它的底角等于 ___________ ・17.图①是我国古代著名的“赵爽弦图”的示意图，它是由四个全等的宜角三角形围成的，^AC =6, SC = 5,将四个直角三角形中边长为6的直角边分别向外延长一倍，得到图②所示的“数学风车”，则这个风车的外围周长是 ________________________________ •18•在Rt△遊中，ZC二90° , AB^2BG现给出下列结论：①Sin A=—:②COS 5=1 ：③tan A=—:④tan 5=75 ,2 2 3苴中正确的结论是 ____________ •（只需填上正确结论的序号）三、解答题（共78分）19 （8分）计算下列各题:ω√2(2cos45β-s in60β)+^; (2) (-2)° -3tan30β+1√3 - 24 I21.（10分）如图.在一笔直的海岸线2上有乩万两个观测站，月在万的正东方向，AB-2 （单位：加）・有一艘小船在点P处，从E测得小船在北偏西60°的方向，从万测得小船在北偏东45°的方向・（1）求点P到海岸线』的距离：（2）小船从点尸处沿射线汕的方向航行一段时间后，到达点Q处，此时，从万测得小船在北偏西15°的方向•求点Q与点万之间的距离.（上述2小题的结果都保留根号）22.（10分）如图，为了测量某建筑物切的髙度，先在地面上用测角仪自月处测得建筑物顶部的仰角是30° ,然后在水平地而上向建筑物前进了 IoOllb此时自万处测得建筑物顶部的仰角是45°・已知测角仪的高度是1. 5 m,请你计算出该建筑物的髙度•（取√323.（8 分）如图，在梯形ABCD中，AD//BC. AB = CD = AD. BDLCD.（1）求SinZDBC的值：（2）若BC长度为4 cm,求梯形ABCD的而积.24.（10分）如图，在一次数学课外实践活动中，小文在点Q处测得树的顶端川的仰角为37° ,Q20 m,求树的高度月3（参考数据：Sin 37 ≈0.60, COS 37 ≈0.80, tan 37 ≈0.75 ）25.（10分）如图，在小山的东侧A处有一热气球，以每分钟30 m的速度沿着仰角为60。

华师大版九年级上册数学第24章解直角三角形含答案一、单选题(共15题，共计45分)1、如图，△ABC内接于⊙O，AB=BC，∠ABC=120°，AD为⊙O的直径，AD=6，那么AB的值为（）A.3B.C.D.22、课外活动小组测量学校旗杆的高度．如图，当太阳光线与地面成30°角时，测得旗杆AB在地面上的影长BC为24米，那么旗杆AB的高度约是（）A.12米B. 米C.24米D. 米3、已知a、b、c是△ABC的三条边长，化简|a＋b－c|－|c－a－b|的结果为( )A.2a＋2b－2cB.2a＋2bC.2cD.04、三角形两边的长是3和4，第三边的长是方程x2﹣12x+35=0的根，则该三角形的周长为（）A.12B.14C.12或14D.以上都不对5、在△ABC中，∠C＝90°，BC＝2，AB＝3，则cosB的值为A. B. C. D.6、如图，在矩形纸片ABCD中，已知AB＝，BC＝1，点E在边CD上移动，连接AE，将多边形ABCE沿直线AE折叠，得到多边形AFGE，点B，C的对应点分别为点F、G.在点E从点C移动到点D的过程中，则点F运动的路径长为（）A.πB. πC. πD. π7、在Rt△ABC中，∠C=90°，AB=13，AC=12，则sinB的值是（）A. B. C. D.8、已知锐角α，且sinα=cos38°，则α=（）A.38°B.62°C.52°D.72°9、已知sinA= ，那么锐角等于（）A.15°B.30°C.45°D.60°10、已知两条线段的长度分别为２cm、８cm，下列能与它们构成三角形的线段长度为（）A.４cmB.６cmC.８cmD.１０cm11、在△ABC中，若，则∠C的度数为( )A.30°B.60°C.90°D.120°12、下列长度的三条线段能组成三角形的是（）A.1，2，3B.3，4，5C.3，1，1D.3，4，713、如图，是屋架设计图的一部分，立柱BC垂直于横梁AC，AB＝12m，∠A＝30°，则立柱BC的长度为（）A.4 mB.6 mC.8 mD.12 m14、平行四边形的对角线分别为x、y，一边长为 12，则x、y 的值可能是（）A.8 与 14B.10 与 14C.18 与 20D.4 与 2815、如图是某河坝横断面示意图，迎水坡，为背水坡，过点A作水平面的垂线,设斜坡的坡度为，坡角为，斜坡的坡度为，坡角为，则下列结论正确的是( )A. B. C. D.二、填空题(共10题，共计30分)16、将一副三角尺如图所示叠放在一起，若 AB=4 cm，则阴影部分的面积是________cm217、如图，将矩形绕点旋转至矩形位置，此时的中点恰好与点重合，交于点.若=1，则矩形的面积为________.18、纸片中，，将它折叠使与重合，折痕交于点，则线段的长为________．19、如图，热气球的探测器显示，从热气球A看一栋楼顶部B的仰角为30°，看这栋楼底部的俯角为60°，热气球A与楼的水平距离为120 m，这栋楼的高度BC是________m（≈1.732，结果取整数）.20、如图，在△ABC中，已知BC=5，，∠C=30°，EF 垂直平分BC，点 P 为直线EF上一动点，则 AP+BP 的最小值是________.21、在等腰△ABC中，AB＝AC，如果cosC＝，那么tanA＝________．22、如图，Rt△ABC中，∠ACB＝90°，CD⊥AB于D，若AC＝4，BC＝3，则∠DCB的正切值为________.23、如图，在△ABC中，∠C＝90°，DE是AB的垂直平分线，AD恰好平分∠BAC.若DE＝1，则BC的长是________.24、在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=5，BC=12，则sinA=________25、如图一张长方形纸片ABCD，其长AD为a，宽AB为b（a＞b），在BC边上选取一点M，将△ABM沿AM翻折后B至B′的位置，若B′为长方形纸片ABCD的对称中心，则的值为________．三、解答题(共5题，共计25分)26、计算：.27、为缓解“停车难”问题，某单位拟建造地下停车库，建筑设计师提供了该地下停车库的设计示意图.按规定，地下停车库坡道口上方要张贴限高标志，以便告知停车人车辆能否安全驶入.(其中AB=9m，BC=0.5m)为标明限高，请你根据该图计算CE.(精确到0.1m)（参考数值，，）28、在Rt△ABC中，∠C=90°，∠A，∠B，∠C所对的边分别为a，b，c，且a= ，b= ，求这个直角三角形的其他元素。

第24章解直角三角形单元测试一、单选题（共10题；共30分）1.在△ABC中，∠C=90°，a，b，c分别是∠A，∠B，∠C的对边，下列等式：①b=ccosB；②b=atanB；③a=csinA；④a=ccosB；⑤a=btanA；⑤a=bcotA，其中正确的有（）A.1 个B.2 个C.3个D.4个2.Rt△ABC中，∠C=90°，已知cosA=，那么tanA等于( )A. B. C. D.3.在平面直角坐标系中，已知点A（3，0），点B（0，－4），则tan∠OAB的值为（）．A. B. C. D.4.cos30o=（）A. B. C. D.5.如图，一艘海轮位于灯塔P的北偏东30°方向，距离灯塔60海里的A处，它沿正南方向航行一段时间后，到达位于灯塔P的南偏东45°方向上的B处，这时，海轮所在的B处与灯塔P的距离为（）A.302海里B.303海里C.60海里D.306海里6.每周一学校都要举行庄严的升国旗仪式，让我们感受到了国旗的神圣．某同学站在离国旗旗杆12米远的地方，当国旗升起到旗杆顶时，他测得视线的仰角为30°，若这位同学的目高1.6米，则旗杆的高度为（）A. 米B.米C.米D.米7.周末，小明和小华来滨湖新区渡江纪念馆游玩，看到高雄挺拔的“胜利之塔”，萌发了用所学知识测量塔高的想法，如图，他俩在塔AB前的平地上选择一点C，树立测角仪CE，测出看塔顶的仰角约为30°，从C点向塔底B走70米到达D点，测出看塔顶的仰角约为45°，已知测角仪器高为1米，则塔AB的高大约为（3≈1.7）（）A、141米B、101米C、91米D、86米8.如图，小明在大楼30米高（即PH=30米）的窗口P处进行观测，测得山坡顶A处的俯角为15°，山脚处B的俯角为60°，已知该山坡的坡度i=1： 3 ，点P、H、B、C、A在同一个平面上，点HBC在同一条直线上，且PH⊥BC，则A到BC的距离为（）A.10 3 米B.15米C.20 3 米D.30米9.下列是张悦、王强和赵涵的对话，张悦：“从学校向西直走500米，再向北直走100米就到医院了”．王强：“从学校向南直走300米，再向西直走200米就到电影院了．”赵涵：“火车站在电影院正北方向的200米处．”，则医院与火车站相距（）A、100 米B、200米C、300米D、500米10.小明在测量楼高时，先测出楼房落在地面上的影长BA为15米（如图），然后在A处树立一根高2米的标杆，测得标杆的影长AC为3米，则楼高为（）A.10米B.12米C.15米D.22.5米二、填空题（共8题；共25分）11.如图，三角尺在灯泡O的照射下在墙上形成影子，现测得OA=20cm，=50cm，则这个三角尺的面积与它在墙上所形成影子图形的面积之比是________。

九年级数学上学期：第24章检测题(时间：100分钟 满分：120分)一、选择题(每小题3分，共30分)1．在平面直角坐标系内有一点P(3，4)，若OP 与x 轴正半轴的夹角为α，下列结论正确的是( A )A ．tan α＝43B ．tan α＝45C ．sin α＝35D ．cos α＝542．(三明中考)如图，在Rt △ABC 中，斜边AB 的长为m ，∠A ＝35°，则直角边BC 的长是( A )A ．m sin35°B ．m cos35° C.m sin35° D.mcos35° ,第2题图) ,第5题图),第7题图)3．计算6tan 45°－2cos 60°的结果是( D )A ．4 3B ．4C ．5 3D ．54．在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，sin A ＝513，则tan B 的值为( D ) A.1213 B.512 C.1312 D.1255．如图，网格中的小正方形的边长均为1，点A ，B ，O 都在格点上，则∠A 的正弦值是( D )A.3510B.12C.255D.556．如果∠A，∠B 均为锐角，且2sin A －1＋(3tan B －3)2＝0，那么△ABC 是( B )A ．锐角三角形B ．直角三角形C ．等边三角形D ．钝角三角形 7．如图，河堤横断面迎水坡AB 的坡比是1∶3，堤高BC ＝10 m ，则坡面AB 的长度是( C )A ．15 mB ．20 3 mC ．20 mD ．10 3 m8．如图，CD 是平面镜，光线从A 点射出，经CD 上点E 反射后照射到B 点，若入射角为α，AC ⊥CD ，BD ⊥CD ，垂足分别为C ，D ，且AC ＝3，BD ＝6，CD ＝11，则tan α的值为( D )A.113B.311C.911D.119,第8题图) ,第9题图),第10题图)9．江津四面山是国家5A 级风景区，里面有一个景点被誉为亚洲第一岩——土地神岩，土地神岩壁画高度从石岩F 处开始一直竖直到山顶E 处，为了测量土地神岩上壁画的高度，小明从山脚A 处，沿坡度i ＝0.75的斜坡上行65米到达C 处，在C 处测得山顶E 处仰角为26.5°，再往正前方水平走15米到达D 处，在D 处测得壁画底端F 处的俯角为42°，壁画底端F 处距离山脚B 处的距离是12米，A ，B ，C ，D ，E ，F 在同一平面内，A ，B 在同一水平线上，EB ⊥AB ，根据小明的测量数据，则壁画的高度EF 为(精确到0.1米，参考数据：sin 26.5°≈0.45，cos 26.5°≈0.9，tan 26.5°≈0.5，sin 42°≈0.67，cos 42°≈0.74，tan 42°≈0.9)(A)A ．49.5米B ．68.7米C ．69.7米D ．70.2米10．如图，从点A 处观测一山坡上的电线杆PQ ，测得电线杆顶端P 的仰角是45°，向前走6 m 到达B 点，测得电线杆顶端P 和底端Q 的仰角分别是60°和30°，则该电线杆PQ 的高度(A) A ．6＋2 3 B ．6＋ 3 C ．10－ 3 D ．8＋ 3二、填空题(每小题3分，共24分)11．计算：tan 45°－13(3－1)0＝__23__． 12．如图，某山坡的坡面AB ＝200米，坡角∠BAC＝30°，则该山坡的高BC 的长为__100__米．13．如图，∠B ＝∠C，DE ⊥BC 于E ，EF ⊥AB 于F ，∠ADE 等于140°，∠FED ＝__50°__．,第12题图) ,第13题图),第14题图)14．如图，在菱形ABCD 中，DE ⊥AB ，垂足为E ，DE ＝6 cm ，sin A ＝35，则菱形ABCD 的面积是__60__cm 2.15．将一副三角尺按如图所示叠放在一起，则BE EC 的值是__33__． 16．如图，△ABC 的顶点A ，C 的坐标分别是(0，4)，(3，0)，且∠ACB＝90°，∠B ＝30°，则顶点B 的坐标是__(3＋43，33)__．,第15题图) ,第16题图),第18题图)17．在△ABC 中，AB ＝4，BC ＝3，∠BAC ＝30°，则△ABC 的面积为__23＋5或23－5__．18．为解决停车难的问题，在如图一段长56米的路段开辟停车位，每个车位是长5 米，宽2.2米的矩形，矩形的边与路的边缘成45°角，那么这个路段最多可以划出__17__个这样的停车位．(2≈1.4)三、解答题(共66分)19．(8分)计算：(1)(－12)0＋(13)－1·23－|tan 45°－3|； (2)24sin 45°＋cos 230°－12·tan 60°＋2sin 60°.解：2＋3 解：1＋53620．(8分)如图，△ABC 中，AD ⊥BC ，垂足是D ，若BC ＝14，AD ＝12，tan ∠BAD ＝34，求sin C 的值．解：121321．(8分)(2018·岳阳)图1是某小区入口实景图，图2是该小区入口抽象成的平面示意图．已知入口BC 宽3.9米，门卫室外墙AB 上的O 点处装有一盏路灯，点O 与地面BC 的距离为3.3米，灯臂OM 长为1.2米(灯罩长度忽略不计)，∠AOM ＝60°.(1)求点M 到地面的距离；(2)某搬家公司一辆总宽2.55米，总高3.5米的货车从该入口进入时，货车需与护栏CD 保持0.65米的安全距离，此时，货车能否安全通过？若能，请通过计算说明；若不能，请说明理由．(参考数据：3≈1.73，结果精确到0.01米)解：(1)如图，过M 作MN⊥AB 于N ，交BA 的延长线于N ，在Rt △OMN 中，∠NOM ＝60°，OM＝1.2，∴∠M＝30°，∴ON＝12OM＝0.6，∴NB＝ON＋OB＝3.3＋0.6＝3.9，即点M到地面的距离是3.9米．(2)取CE＝0.65，EH＝2.55，∴HB＝3.9－2.55－0.65＝0.7，过H作GH⊥BC，交OM于G，过O作OP⊥GH于P.∵∠GOP＝30°，∴tan30°＝GPOP＝33，∴GP＝33OP＝1.73×0.73≈0.404，∴GH＝3.3＋0.404＝3.704≈3.70＞3.5，∴货车能安全通过．22．(10分)(2018·铁岭)如图，某地质公园中有两座相邻小山．游客需从左侧小山山脚E处乘坐竖直观光电梯上行100米到达山顶C处，然后既可以沿水平观光桥步行到景点P 处，也可以通过滑行索道到达景点Q处，在山顶C处观测坡底A的俯角为75°，观测Q处的俯角为30°，已知右侧小山的坡角为30°.(图中的点C，E，A，B，P，Q均在同一平面内，点A，Q，P在同一直线上)(1)求∠CAP的度数及CP的长度；(2)求P，Q两点之间的距离．(结果保留根号)解：(1)∵PC∥AB，∴∠APC＝∠PAB＝30°，∴∠CAP＝180°－75°－30°＝75°，∴∠CAP＝∠PCA，∴PC＝AP，过P作PF⊥AB于F，则PF＝CE＝100，∴PA＝2PF＝200米，∴PC＝PA＝200米．(2)∵∠PCQ＝∠QPC＝30°，∴CQ＝PQ.过Q作QH⊥PC于H，∴PH＝12PC＝100，∴PQ＝PHcos30°＝20033米．答：P，Q两点之间的距离是20033米．23．(8分)(2018·镇江)如图，校园内有两幢高度相同的教学楼AB，CD，大楼的底部B，D在同一平面上，两幢楼之间的距离BD长为24米，小明在点E(B，E，D在一条直线上)处测得教学楼AB顶部的仰角为45°，然后沿EB方向前进8米到达点G处，测得教学楼CD顶部的仰角为30°.已知小明的两个观测点F，H距离地面的高度均为1.6米，求教学楼AB的高度．(精确到0.1米，参考值：2≈1.41，3≈1.73)解：延长HF交CD于点N，延长FH交AB于点M，如右图所示，由题意可得，MB＝HG＝FE＝ND＝1.6 m，HF＝GE＝8 m，MF＝BE，HN＝GD，MN＝BD＝24 m，设AM＝x m，则CN＝x m，在Rt△AFM中，MF＝AMtan45°＝x1＝x，在Rt△CNH中，HN＝CNtan30°＝x33＝3x，∴HF＝MF＋HN－MN＝x＋3x－24，即8＝x＋3x－24，解得x≈11.7，∴AB＝11.7＋1.6＝13.3 m，答：教学楼AB的高度AB长13.3 m.24.(12分)为了维护海洋权益，新组建的国家海洋局加大了在南海的巡逻力度，一天，我两艘海监船刚好在我某岛东西海岸线上的A ，B 两处巡逻，同时发现一艘不明国籍的船只停在C 处海域．如图所示，AB ＝60(6＋2)海里，在B 处测得C 在北偏东45°的方向上，A 处测得C 在北偏西30°的方向上，在海岸线AB 上有一灯塔D ，测得AD ＝120(6－2)海里．(1)分别求出A 与C 及B 与C 的距离AC ，BC ；(结果保留根号)(2)已知在灯塔D 周围100海里范围内有暗礁群，我在A 处海监船沿AC 前往C 处盘查，途中有无触礁的危险？(参考数据：2≈1.41，3≈1.73，6≈2.45)解：(1)过点C 作CE⊥AB 于点E ，可得∠CBD ＝45°，∠CAD ＝60°，设CE ＝x ，在Rt△CAE 中，AE ＝CE·tan30°＝33x ，在Rt △BCE 中，BE ＝CE ＝x ，∵AB ＝60(6＋2)海里，∴x ＋33x ＝60(6＋2)，解得x ＝606，则AC ＝233x ＝1202，BC ＝2x ＝1203，答：A 与C 的距离为1202海里，B 与C 的距离为1203海里．(2)过点D 作DF⊥AC 于点F ，在△AD F 中，∵AD ＝120(6－2)，∠CAD ＝60°，∴DF ＝ADsin60°＝1802－606≈106.8＞100，故海监船沿AC 前往C 处盘查，无触礁的危险．25．(12分)如图，已知斜坡AB 长602米，坡角(即∠BAC)为45°，BC ⊥AC ，现计划在斜坡中点D 处挖去部分斜坡，修建一个平行于水平线CA 的休闲平台DE 和一条新的斜坡BE.(1)若修建的斜坡BE 的坡比为3∶1，求休闲平台DE 的长是多少米？(2)一座建筑物GH 距离A 点33米远(即AG ＝33米)，小亮在D 点测得建筑物顶部H 的仰角(即∠HDM)为30°，点B ，C ，A ，G ，H 在同一个平面内，点C ，A ，G 在同一条直线上，且HG⊥CG，问建筑物GH 高为多少米？解：(1)∵FM∥CG ，∴∠BDF ＝∠BAC ＝45°.∵斜坡AB 长602，D 是AB 的中点，∴BD ＝30 2.在△BDF 中，DF ＝BD ·cos ∠BDF ＝30，BF ＝DF ＝30.∵斜坡BE 的坡比为3∶1，∴BF EF ＝31，∴EF ＝103，∴DE ＝DF －EF ＝30－103，即休闲平台DE 的长是(30－103)米． (2)设GH ＝x 米，则MH ＝GH －GM ＝x －30，DM ＝AG ＋AP ＝33＋30＝63.在Rt △DMH 中，tan30°＝MH DM ，即x －3063＝33，解得x ＝30＋213，则建筑物GH 的高为(30＋213)米．。

第24章检测题(时间：100分钟 满分：120分)一、精心选一选(每小题3分，共30分)1．如图，在平面直角坐标系中，直线OA 过点(2，1)，则tan α的值是( C ) A.55 B. 5 C.12D ．2(第1题图) (第2题图) (第3题图) (第4题图)2．河堤横断面如图所示，堤高BC ＝5米，迎水坡AB 的坡比为1∶3(坡比是坡面的铅直高度BC 与水平宽度AC 之比)，则AC 的长是( A )A ．53米B ．102米C ．15米D ．10米3．如图，正方形ABCD 中，对角线AC ，BD 交于点O ，点M ，N 分别为OB ，OC 的中点，则cos ∠OMN 的值为( B ) A.12 B.22 C.32D ．1 4．如图，在矩形ABCD 中，DE ⊥AC 于E ，设∠ADE ＝α，且cos α＝35，AB ＝4，则AC 的长为( C )A ．3 B.165 C.203 D.1635．如图，在四边形ABCD 中，∠A ＝60°，∠B ＝∠D ＝90°，BC ＝2，CD ＝3，则AB ＝( D )A ．4B ．5C ．2 3 D.833(第5题图) (第6题图) (第9题图) (第10题图)6．如图，cos B ＝22，sin C ＝35，AC ＝5，则△ABC 的面积是( A ) A.212B ．12C ．14D ．21 7．式子2cos 30°－tan 45°－（1－tan 60°）2的值是( B )A ．23－2B ．0C ．2 3D ．28．李红同学遇到了这样一道题：3tan (α＋20°)＝1，你认为锐角α的度数应是( D )A ．40°B ．30°C ．20°D ．10°9．为了测量被池塘隔开的A ，B 两点之间的距离，根据实际情况，作出如图图形，其中AB ⊥BE ，EF ⊥BE ，AF 交BE 于D ，C 在BD 上．有四位同学分别测量出以下四组数据：①BC ，∠ACB ；②CD ，∠ACB ，∠ADB ；③EF ，DE ，BD ；④DE ，DC ，BC.能根据所测数据，求出A ，B 间距离的有( C )A ．1组B ．2组C ．3组D ．4组10．如图，某人在大楼30米高(即PH ＝30米)的窗口P 处进行观测，测得山坡上A 处的俯角为15°，山脚B 处的俯角为60°，已知该山坡的坡角i 为1∶3，点P ，H ，B ，C ，A 在同一个平面上，点H ，B ，C 在同一条直线上，且PH ⊥HC.则A ，B 两点间的距离是( B )A ．15米B ．203米C ．202米D ．103米二、细心填一填(每小题3分，共24分)11．若α为锐角，cos α＝35，则sin α＝__45__，tan α＝__43__． 12．在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，tan A ＝512，△ABC 的周长为18，则S △ABC ＝__545__． 13．小志同学书桌上有一个电子相框，将其侧面抽象如图所示的几何图，已知AB ＝AC ＝15 cm ，∠BAC ＝40°，则点A 到BC 的距离为__14.1__cm.(参考数据：sin20°≈0.342，cos20°≈0.940，sin40°≈0.643，cos40°≈0.766.结果精确到0.1 cm ，可用科学计算器)(第13题图) (第15题图) (第16题图) (第17题图)14．在△ABC 中，若|2cos A －1|＋(3－tan B)2＝0，则∠C ＝__60°__．15．如图，在顶角为30°的等腰三角形ABC 中，AB ＝AC ，若过点C作CD ⊥AB 于点D ，则∠BCD ＝15°，根据图形计算tan 15°＝．16．如图所示，某河堤的横断面是梯形ABCD ，BC ∥AD ，迎水坡AB长13米，且tan ∠BAE ＝125，则河堤的高BE 为__12__米． 17．如图，四边形ABCD 的对角线AC ，BD 相交于点O ，且BD 平分AC.若BD ＝8，AC ＝6，∠BOC ＝120°，则四边形ABCD 的面积为__．(结果保留根号)18．如图，在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，AC ＝3，tan A ＝43.点D ，E 分别是边BC ，AC 上的点，且∠EDC ＝∠A.将△ABC 沿DE 所在直线对折，若点C 恰好落在边AB 上，则DE 的长为__12548__． 三、用心做一做(共66分)19．(10分)解下列各题：(1)先化简，再求代数式(1x ＋x ＋1x )÷x ＋2x 2＋x 的值，其中x ＝3cos 30°＋12； 解：原式＝x ＋1，当x ＝2时，原式＝3(2)已知α是锐角，且sin(α＋15°)＝32.计算8－4cos α－(π－3.14)0＋tan α＋(13)－1的值． 解：α＝45°，原式＝320．(8分)解下列各题：(1)已知∠A ，∠B ，∠C 是锐角三角形ABC 的三个内角，且满足(2sin A －3)2＋tan B －1＝0，求∠C 的度数；解：75°(2)(原创题)已知tan α的值是方程x 2－x －2＝0的一个根，求式子3sin α－cos α2cos α＋sin α的值． 解：∵方程的根为x 1＝2，x 2＝－1.又∵tan α＞0，∴tan α＝2，∴原式＝3tan α－12＋tan α＝3×2－12＋2＝5421．(10分)如图，在△ABC 中，AD 是BC 上的高，tan B ＝cos ∠DAC.(1)求证：AC ＝BD ；(2)若sin C ＝1213，BC ＝12，求AD 的长．解：(1)∵AD 是BC 上的高，∴AD ⊥BC ，∴∠ADB ＝90°，∠ADC ＝90°，在Rt △ABD 和Rt △ADC 中，∵tanB ＝AD BD ，cos ∠DAC ＝AD AC，又tanB ＝cos ∠DAC ，∴AD BD ＝AD AC ，∴AC ＝BD (2)在Rt △ADC 中，sinC ＝1213，故可设AD ＝12k ，AC ＝13k ，∴CD ＝AC 2－AD 2＝5k.∵BC ＝BD ＋CD ，AC＝BD ，∴BC ＝13k ＋5k ＝18k ，∴18k ＝12，∴k ＝23，∴AD ＝12k ＝12×23＝822．(8分)如图，某数学活动小组选定测量小河对岸大树BC 的高度，他们在斜坡上D 处测得大树顶端B 的仰角是30°，朝大树方向下坡走6米到达坡底A 处，在A 处测得大树顶端B 的仰角是48°.若坡角∠FAE ＝30°，求大树的高度．(结果保留整数．参考数据：sin 48°≈0.74，cos 48°≈0.67，tan 48°≈1.11，3≈1.73)解：延长BD 交AE 于点G ，过点D 作DH ⊥AE 于点H.由题意知∠DAE ＝∠BGA ＝30°，DA ＝6，∴GD ＝DA ＝6，∴GH ＝AH ＝DA ·cos30°＝33，∴GA ＝6 3.设BC 的长为x 米．在Rt △GBC 中，GC ＝BC tan ∠BGC＝x tan30°＝3x.在Rt △ABC 中，AC ＝BC tan ∠BAC ＝x tan48°∵GC －AC ＝GA ，∴3x －x tan48°＝63，∴x ≈13，即大树的高度约为13米23．(8分)如图，登山缆车从点A 出发，途经点B 后到达终点C.其中AB 段与BC 段的运行路程均为200 m ，且AB 段的运行路线与水平面的夹角为30°，BC 段的运行路线与水平面的夹角为42°，求缆车从点A 运行到点C 的垂直上升的距离．(参考数据：sin 42°≈0.67，cos 42°≈0.74，tan 42°≈0.90)解：根据题意可知∠BAD ＝30°，∠CBE ＝42°，AB ＝BC ＝200 m ．在Rt △ABD 中，BD ＝AB ·sin30°＝200×12＝100(m )．在Rt △BCE 中，CE ＝BC ·sin42°≈200×0.67＝134(m )，∴BD ＋CE ≈100＋134＝234(m )，因此，缆车从点A 运行到点C 的垂直上升的距离约为234 m24．(10分)如图是我国某海域内的一个小岛，其平面图如图甲所示，小明据此构造出该岛的一个数学模型如图乙所示，其中∠B ＝∠D ＝90°，AB ＝BC ＝15千米，CD ＝32千米，请据此解答如下问题：(1)求该岛的周长和面积；(结果保留整数，参考数据：2≈1.414，3≈1.732，6≈2.449)(2)求∠ACD 的余弦值．解：连结AC ，∵AB ＝BC ＝15千米，∠B ＝90°，∴∠BAC ＝∠ACB ＝45°，AC ＝152千米，又∵∠D ＝90°，∴AD ＝AC 2－CD 2＝（152）2－（32）2＝123(千米)，∴周长＝AB ＋BC ＋CD ＋DA ≈55(千米)，面积＝S △ABC ＋S △ADC ≈157(平方千米)(2)cos ∠ACD ＝CD AC ＝32152＝1525．(12分)如图，甲、乙只捕捞船同时从A 港出海捕鱼，甲船以每小时15 2 km 的速度沿北偏西60°方向前进，乙船以每小时15 km 的速度沿东北方向前进．甲船航行2 h 到达C 处，此时甲船发现渔具丢在了乙船上，于是甲船快速(匀速)沿北偏东75°的方向追赶乙船，结果两船在B 处相遇．问： (1)甲船从C 处出发追赶上乙船用了多少时间？(2)甲船追赶乙船的速度是每小时多少千米？解：过点A 作AM ⊥BC 于点M ，如图，(1)设甲船从C 处出发追赶上乙船用了x h ，则乙船从A 到B 用了(x ＋2)h.在Rt △ACM 中，AC ＝152×2＝302(km )，∴MC ＝AM ＝AC ·sin ∠ACB ＝302×22＝30(km )．在Rt △ABM 中，AM ＝12AB ，∴30＝12×15×(x ＋2)，解得x ＝2，答：甲船从C 处出发追赶上乙船用了2 h (2)在Rt △ABM 中，AM ＝30 km ，AB ＝60 km ，∴BM ＝AB 2－AM 2＝602－302＝303(km )，∴BC ＝MC ＋BM ＝30(1＋3)(km )，∴甲船追赶乙船的速度是30（1＋3）2＝15(1＋3)km/h.答：甲船追赶乙船的速度是每小时15(1＋3)千米。