小波变换 mallat

mallat分解方法1. 简介mallat分解方法是一种在信号处理中常用的技术，用于将信号分解成不同尺度的频带。

这种方法基于小波变换，通过对信号进行多级分解，可以得到信号在不同频率范围内的表示。

mallat分解方法由Stephane Mallat于1989年提出，是一种基于多尺度分析的信号处理方法。

它在许多领域中得到广泛应用，如图像处理、音频处理、压缩等。

mallat分解方法的核心思想是使用小波函数作为基函数进行信号分解。

小波函数具有时域和频域上的局部性质，可以有效地捕捉信号的局部特征。

mallat分解方法通过对小波函数进行缩放和平移操作，构建了一组具有不同尺度和位置的小波函数族。

2. mallat算法步骤mallat算法主要包括两个步骤：分解和重构。

2.1 分解•将原始信号进行低通滤波和高通滤波得到近似系数和细节系数。

•低通滤波器将原始信号中的低频部分保留下来，并且去除了高频部分。

•高通滤波器将原始信号中的高频部分保留下来，并且去除了低频部分。

•重复上述步骤，将近似系数作为输入，继续进行低通滤波和高通滤波，直到达到设定的分解层数。

2.2 重构•将分解得到的近似系数和细节系数进行逆变换，得到重构信号。

•逆变换过程是对分解过程的逆操作，通过将每一级的近似系数和细节系数进行上采样、滤波和加权求和，得到重构信号。

3. mallat分解方法的应用mallat分解方法在信号处理领域有广泛的应用。

3.1 图像处理mallat分解方法可以用于图像压缩、去噪等方面。

通过对图像进行mallat分解，可以得到不同尺度上的图像信息。

根据不同尺度的重要性，可以选择保留部分系数，从而实现图像压缩。

同时，在mallat分解域中对图像进行去噪处理也是一种常见的应用。

3.2 音频处理mallat分解方法可以用于音频信号降噪、特征提取等方面。

通过对音频信号进行mallat分解，可以得到不同尺度上的音频信息。

在降噪方面，可以根据不同尺度的能量分布来选择保留或去除部分系数，从而实现降噪效果。

⼩波学习之⼀（单层⼀维离散⼩波变换DWT的Mallat算法C++和MATLAB实现）1 Mallat算法离散序列的Mallat算法分解公式如下：其中，H(n)、G(n)分别表⽰所选取的⼩波函数对应的低通和⾼通滤波器的抽头系数序列。

从Mallat算法的分解原理可知，分解后的序列就是原序列与滤波器序列的卷积再进⾏隔点抽取⽽来。

离散序列的Mallat算法重构公式如下：其中，h(n)、g(n)分别表⽰所选取的⼩波函数对应的低通和⾼通滤波器的抽头系数序列。

2 ⼩波变换实现过程(C/C++)2.1 ⼩波变换结果序列长度⼩波的Mallat算法分解后的序列长度由原序列长SoureLen和滤波器长FilterLen决定。

从Mallat算法的分解原理可知，分解后的序列就是原序列与滤波器序列的卷积再进⾏隔点抽取⽽来。

即分解抽取的结果长度为(SoureLen+FilterLen-1)/2。

2.2 获取滤波器组对于⼀些通⽤的⼩波函数，简单起见，可以通过Matlab的wfilters(‘wavename’)获取4个滤波器；特殊的⼩波函数需要⾃⾏构造获得。

下⾯以db1⼩波函数(Haar⼩波)为例，其变换与重构滤波器组的结果如下：//matlab输⼊获取命令>> [Lo_D,Hi_D,Lo_R,Hi_R] = wfilters('db1')//获取的结果Lo_D =0.7071 0.7071Hi_D =-0.7071 0.7071Lo_R =0.7071 0.7071Hi_R =0.7071 -0.70712.3 信号边界延拓在Mallat算法中，假定输⼊序列是⽆限长的，⽽实际应⽤中输⼊的信号是有限的采样序列，这就会出现信号边界处理问题。

对于边界信号的延拓⼀般有3种⽅法，即零延拓、对称延拓和周期延拓。

3种延拓⽅法⽐较情况如下：对于正交⼩波变换来说，前两种延拓⽅法实现起来⽐较简单，但重建时会产⽣边界效应，⽽且分解的层数越多，产⽣的边界效应越显著。

小波变换发展史传统的信号理论，是建立在Fourier分析基础上的，而Fourier变换作为一种全局性的变化，其有一定的局限性。

在实际应用中人们开始对Fourier变换进行各种改进，小波分析由此产生了。

小波分析是一种新兴的数学分支，它是泛函数、Fourier分析、调和分析、数值分析的最完美的结晶；在应用领域，特别是在信号处理、图像处理、语音处理以及众多非线性科学领域，它被认为是继Fourier分析之后的又一有效的时频分析方法。

小波变换与Fourier变换相比，是一个时间和频域的局域变换因而能有效地从信号中提取信息，通过伸缩和平移等运算功能对函数或信号进行多尺（Multiscale Analysis），解决了Fourier变换不能解决的许多困难问题。

1.从傅立叶分析到小波分析1807年，法国学者Fourier指出任何周期函数都可以用一系列正弦波来表示，开创了傅立分析。

傅立叶分析揭示了时域与频域之间内在的联系，反映了“整个”时间范围内信号的“全部”频谱成分，是研究信号的周期现象不可缺少的工具。

建立在傅立叶分析基础上的采样定理和FFT技术奠定了现代数字化技术的理论基础。

尽管傅立叶变换具有很强的频域局域化能力，但是它明显的缺点，那就是无法反映非平稳信号在局部区域的频域特征及其对应关系，即FT在时域没有任何分辨率，无法确定信号奇异性的位置。

为了研究信号在局部时间范围内的频谱特征，1946年，Gabor提出了短时傅立叶变换（Short Time Fourier Transform，STFT），但是STFT的窗口宽度是固定的（和频率无关），这使得它无法同时兼顾信号的低频和高频特征，在分析时变信号时也有一定的局限性。

另外，STFT的窗口函数或核函数不能提供一组离散正交基，所以给数值计算带来了不便，这也是导致STFT 没有得到广泛应用的重要原因。

从傅立叶分析演变而来的小波分析的优点恰恰可以弥补傅立叶变换中存在的不足之处。

3.2 基于小波变换模极大值去噪方法的研究目前利用小波变换消除噪声的方法很多，但总结起来，比较成熟的是Mallat 提出的一种多尺度小波变换模极大值的去噪方法。

3.2.1 小波变换模极大值的定义定义在尺度s 下，若0x x d " ，()()0,,Wf s x Wf s x £成立，则0x 称为模极大值点，()0,Wf s x 称为模极大值。

小波变换极大模是由信号中奇异点和噪声产生的。

根据理论分析，知道以平滑函数的一阶导数为母小波作小波变换，其小波变换在各个尺度下的模极大值对应于信号突变点的位置。

小波分析尺度越小，平滑函数的平滑区域小，小波系数模极大值点与突变点位置的对应就越准确。

但是小尺度下小波变换随噪声影响非常大，产生许多伪极值点，往往只凭一个尺度不能定位突变点的位置。

相反，在大尺度下对噪声进行了一定的平滑，极值点相对稳定，但由于平滑作用使其定位又产生了偏差。

同时，只有在适当尺度下各突变点引起的小波变换才能避免交迭干扰。

因此，在用小波变换模极大值法判断信号突变点时，需要把多尺度结合起来综合观察。

下面由小波变换模极大值在多尺度上的变化规律来表征信号突变点的性质。

在许多情况下，小波变换并不要求保留所有的连续尺度a ，为了实现快速算法，选择尺度按二进制变化，即二进制变换。

信号的突变点在不同尺度2j 上都会产生对应的模极大值。

在任意尺度2j 上模极大值对应于信号在2j 尺度上平滑后的该点一阶导数大小。

小波理论表明，模极大值的幅值随着尺度的变化规律是由信号在该突变点的局部李氏指数(Lipschitzexponent)决定的。

3.2.2 模极大值随着尺度的变化规律李氏指数的定义为，设函数在0t 附近具有下述特征：()()00,1n x t h p t h A h n n aa +-+?<+ (3-1)则称()x t 在0t 处的李氏指数为a 。

式中h 是一个充分小量，()n p t 是过()0x t 点的n 次多项式()n Z Î。

小波变换1、小波函数的类型及特点目前有大量的小波函数被提出，我们大致可以把它分为三类。

第一类是所谓地“经典小波”，在M ATLAB 中把它们称作“原始（Crude）小波”。

这是一批在小波发展历史上比较有名的小波；第二类是D aubecheis构造的正交小波，第三类是由Cohen，D aubechies构造的双正交小波。

1.1 经典小波1.1.1 Haar小波Haar小波来自于数学家Haar于1910年提出的Haar正交函数集，其定义是：ψt= 1 0≤t<1/2;−1 1/2≤t<1;0 其他;Haar小波有以下优点：（1）Haar小波在时域是紧支撑的，即其非零区间为（0，1）；（2）Haar小波属于正交小波；（3）Haar波是对称的。

我们知道，离统的单位抽样响应若具有对称性，则该系统具有线性相位，这对于去除相位失真是非常有利的。

（4）Haar小波是目前唯一一个既具有对称性又是有限支撑的正交小波；Haar小波仅取＋1和－1，因此计算简单。

但Haar小波是不连续小波，因此ψ（Ω）=0在Ω=0处只有一阶零点，这就使得Haar小波在实际信号处理应用中受到了限制。

但由于Haar小波有上述的多个优点，因此在教科书与论文中常被用作范例来讨论。

1.1.2 Morlet小波Morlet小波定义为：ψt=e−t2/2e jΩt其傅里叶变换为ψΩ=2πe−(Ω−Ω0)2/2它是一个具有高斯包络的单频率复正弦函数。

该小波不是紧支撑的，增大Ω的值可以使小波在频域和时域上都具有很好的集中。

Morlet小波不是正交的，也不是双正交的，可用于连续小波变换。

但该小波是对称的，是应用较为广泛的一种小波。

Morlet的时域波形和频域波形如下图：1.1.3 Mexican hat小波该小波的中文名字为“墨西哥草帽”小波，又称Marr小波。

它定义为:ψt=c1−t2e t2/21/4，其傅里叶变换为式中c=3ψΩ=2πcΩ2e−Ω2/2该小波是由一高斯函数的二阶导数所得到的，它沿着中心轴旋转一周所得到的三维图形犹如一顶草帽，故由此而得名。

第五章 小波变换基本原理问题①小波变换如何实现时频分析？其频率轴刻度如何标定？ —尺度 ②小波发展史③小波变换与短时傅里叶变换比较a ．适用领域不同 b.STFT 任意窗函数 WT （要容许性条件） ④小波相关概念，数值实现算法多分辨率分析（哈尔小波为例） Daubechies 正交小波构造 MRA 的滤波器实现⑤小波的历史地位仍不如FT ，并不是万能的5.1 连续小波变换一．CWT 与时频分析 1.概念：⎰+∞∞--ψ=dt abt t S ab a CWT )(*)(1),( 2.小波变换与STFT 用于时频分析的区别小波 构造？1910 Harr 小波80年代初兴起 Meyer —小波解析形式80年代末 Mallat 多分辨率分析—WT 无须尺度和小波函数—滤波器组实现90年代初 Daubechies 正交小波变换90年代中后期 Sweblews 第二代小波变换3.WT 与STFT 对比举例（Fig 5–6, Fig 5–7） 二．WT 几个注意的问题1.WT 与)(t ψ选择有关 — 应用信号分析还是信号复原2.母小波)(t ψ必须满足容许性条件 ∞<ψ=⎰∞+∞-ψdw ww C 2)(①隐含要求 )(,0)0(t ψ=ψ即具有带通特性 ②利用ψC 可推出反变换表达式⎰⎰+∞∞-+∞∞-ψ-ψ=dadb ab t b a CWT a C t S )(),(11)(23.CWT 高度冗余（与CSTFT 相似）4.二进小波变换（对平移量b 和尺度进行离散化） )2(2)()(1)(2,22,,n t t a b t at n b a m mn m b a mm-ψ=ψ⇒-ψ=⇒•==--ψdt t t S n CWT d n m m m n m )(*)()2,2(,,⎰+∞∞---ψ=•=5.小波变换具有时移不变性),()(),()(00b b a CWT b t S b a CWT t S -↔-↔6.用小波重构信号 ∑∑∑∑+∞-∞=+∞-∞=+∞-∞=+∞-∞=ψψ=m n m n nm nm nm n m t dt d t S )(ˆ)(ˆ)(,,,,正交小波 中心问题：如何构建对偶框架{}n m ,ˆψ如何构建正交小波？5.2 分段逼近P1. =)(t φ逼近函数)2(2)(n t n t -→-φφ)2(2)()()(S ,1,0n t C t S n t C t nn nn -≈⇒-≈∑∑φφ 尺度21=a ⇒一般式：∑-=-≈nm m nm m a n t Ct S 2)2(2)(,2尺度φ)(,0,τS a m 逼近收敛于→∞→ 0,,0→∞→→逼近a m2.两尺度函数间关系 )12()2()(-+=t t t φφφ①张成空间满足10V V ⊂ ②两尺度空间差异在哪？ 3.表征细节的小波变换的引入很显然采样率越高，s T 越小， 逼近误差越小，采样率∞→无误差发现2)()()12(2)()()2(t t t t t t ϕφφϕφφ-=-+=⇒∑-≈⇒nn n t C S )2(2)t (,1φ 12,2+=m m n⎥⎦⎤⎢⎣⎡--+-∑∑+m m m m m t C m t C )122()22(212,12,1φφ⎥⎦⎤⎢⎣⎡---+-+-=∑∑+m m m m m t m t C m t m t C 2)()(2)()(212,12,1ϕφϕφ ∑∑-•-+-•+→++nn n mn n n t C C n t C C n m )(2)(212,12,112,12,1ϕφ001W V V ⊕=⇒ 4.推广⇓⊕⊕⊕⊕⊕=⊕⊕=⊕=⇒----012011011W W W W V W W V W V V m m0121W W W V V ⊕⊕⊕=--∞- ↑⊕⊕⊕=---m W W W V m m m m ,123,lim ,1012=↓↓⊕⊕⊕⊕⊕==↑↑∞---∞→∞V m W W W W V V m m m 逼近精度逼近精度⎭⎬⎫⎩-)2(22n t m m ϕ包含信息量决定 →形成最简单的MRA尺 度2V二．分段逼近与小波变换（哈尔小波） 1.信号的尺度逼近与小波表示 尺度逼近 ∑→-nm nm m t S n t C)()2(2,2φ 小波表示 ∑∑+∞-∞=+∞-∞=-=m n m mnm n t dt S )2(2)(2,ϕ Harr 小波2.Harr 小波特性①同一尺度平移正交性：⎰+∞∞-'-='--)()(*)(n n dt n t n t δϕϕ②尺度，平移均正交 ⎰∞+∞-''''+''='-->=<n n m m m m m m n m n m dt n t n t t t ,,2)(,,)2(*)2(2)(),(δδϕϕϕϕ ⇒⎭⎬⎫⎩⎨⎧-⇒形成正交基)2(22n t mm ϕ⎰∞+∞--=dt n t t S d mm n m )2(*)(22,ϕ影即为小波系数信号在正交基函数上投 分段逼近的推广—MRA 一．多分辨率分析含义①由内空间 ⊂⊂⊂⊂+-110m m m V V V 组成②若0V 空间尺度函数)(t ϕ平移正交：⎰+∞∞-=-)()(*)(n n t t δφφ则)(t ϕ为0V 空间尺度函数,任一函数S(t)可用表示)(t φ③成立当且仅当1)2()(+∈∈m m V t S V t S ④{}00=m mm V V 交集为⑤平方可积空间即为并集逼近m V )(lim 2R L V m m =∞→ 问题：Harr 小波构成最简单MRA⇓同尺度m 也满足⎰+∞∞-''-=)()(*)(,,n n dt t t n m n m δϕϕ 作变量替换即可证明⎰∑∞+∞--=-=dtn t t S C n t C t S n nn )(*)()()(φφ如何构造选其它具体的MRA 体系 二．正交小波函数的系统构造 1.两尺度方程引入 ①低通滤波器与尺度关系Harr 小波满足 ⎥⎦⎤⎢⎣⎡-+=-+=)12(21)2(212)12()2()(t t t t t φφφφφ∑-=⎥⎦⎤⎢⎣⎡=nn t n h th 卷积关系满足)()(2)2(212100φφ②频域反映令 )2(2)2()()()()(00w tw t w H n h φφφφ↔⇒↔↔)()(00w w H h φφ↔*⇒)()()2()()(2)2(200w w H w w w H w φφφφ==⇒即③含义a. LPF n h H 为)(,1)0(00=b ．根据MRA ，∏∞==Φ=Φ100)0()2()2()2()(k k wH w w H w φc.1)0(=Φ 2.QMF 的引入①)(t φ的尺度正交关系的频域反映⎰+∞∞-=-)()(*)(n n t t δφφ⇒↔--)()(w e n t jnw φφ 频域也正交⎰∑+∞∞-=njnw n dw e w w )()(*)(21δφφπ两边对n 求和 ⎰∑+∞∞-=⇒ninw dw e w w 1)(*)(21φφπ利用泊松求和公式∑∑+=-nnjnwn w F en f )2()(π（令)(2)(,1)(w w F n f πδ==则） 有 ∑∑+=-nnjnwn w e)2(2πδπ∑∑-=⇒nnjnwn w e)2(21πδπ⎰∑+∞∞-=-⇒ndw n w w w 1)2()(*)(πδφφ∑⎰+∞∞-=-ndw n w w 1)2()(2πδφ即：∑∑=+⇒=-knk w n w 1)2(1)2(22πφπφ② QMF 正交镜像滤波器组的导出 利用两尺度关系∑=++k k wH k w 1)2()2(20ππφ对k 分奇偶讨论1))12(2())12(2()22()22(2020=+++++++⇒∑∑nn n wn w H n w n w H πφππφπ1))12(2()2()22()2(22220=+++++∑∑nnn ww H n w wH πφππφ 1)2()2(2020=++⇒πwH w H1)2(*)()(*)()()(00002020=+++=++⇒πππw H w H w H w H w H w H ③含义a.镜像为)()(,1)(1)0(0000w H w H H H ππ+=⇒=b.功率互补条件—半带条件 )(*)()(00w H w H w P =20)(π+w H1π20)(w H3.正交小波滤波器满足的条件 ①频域关系根据0)(),(=-k x x φϕ可推出0)(*)()(*)(1010=+++ππw H w H w H w H 上式的解为 )(*)(01π+-=-w H e w H jw ②时域关系 令 ∑-=↔↔njnw e n h w H w H n h w H n h )()()()()()(0011根据)(*)1()1()()(*)1()1()(*)()1()(*)(0010010000πππ+↔--=+↔--+↔--↔-⇒---w H e n h n h w H en h w H n h w H n h jw n jwn n③易证 QMF w H 也为)(1④小波滤波器同样满足两尺度关系∏∑∞==Φ=-=20111)2()2()2()2()()2()(2)(k k kwH w H w w H w k t k h t ϕφϕ4.尺度与小波滤波器频域关系的矩阵表示⎥⎦⎤⎢⎣⎡=⎥⎦⎤⎢⎣⎡++⎥⎦⎤⎢⎣⎡++1001)()()()()(*)()()(11001010ππππw H w H w H w H W H w H w H w H 5.{}{}解释的与MRA t t n m n m )()(,,φϕ{}{}m nm mnm V t W t →→)()(,,φϕ 正交补 112+-⊕⊕⊕=⇒m m m W W W L⎰∑∑∞+∞-+∞-∞=+∞-∞===dtt t S d t dt S n m n m m n m n nm )(*)()()(,,,,ϕϕ例：求Harr 小波的频域尺度函数和小波函数⎥⎦⎤⎢⎣⎡-=⎥⎦⎤⎢⎣⎡=2121212110h h 解： 2)2()2()2()(11210w w Sin e w Cos e w H w k k w j k w j k •===Φ∏∏∞=∞=-+- ∑⋅⋅=-==---nwj jwjnww Sin e j e e n h w H )2()1(21)()(211 4)4()()2()2()(21w w Sin w w w H w =⇒=Φ=ϕϕ 其频域幅值图如Fig 5–13所示可发现其缺陷在于波纹太大 （原因—时域紧支撑） 例：理想LPF 也构成正交小波⎪⎩⎪⎨⎧≤=其它021)(0πw w H解：[]())1()1(2)()(00n n Sin w H IFT n h --==ππ 小波函数Sinc Sinc →•)( 三．有关小波函数的一些概念 1.小波消失矩 （vanishing moment ） 满足 阶消失矩具有则称N t N k dt t t k m k )(1,1,0,0)()(1ϕϕ-===⎰+∞∞-①母小波)(t ϕ平滑度由消失矩决定，消失矩越大，则)(w ϕ频域衰减越快)(t ϕ越平滑②消失矩越大，小波振荡程度越高 2.小波正则度（regularity ） ①定义：小波)(t ϕ的连续可导次数②正则度为n 的小波)(t ϕ具有（n +1）阶消失矩（必要条件） 四．问题讨论1.根据MRA 理论①小波和尺度函数均可由无穷频域次乘积得出，最终由)(0n h 决定 ②不关心其解析表达式2.MRA 理论 离散小波的数值实现5.4 小波变换与数字滤波器组一．时间离散小波变换的实现途径 1.不能直接对定义式离散化实现)2(2),()(),(2,,n t t S t t S d m mn m n m -==ϕϕ 令 )(采样周期→=T kT l 当m 较小时，n t m -2不为整数2.第一代小波变换：根据MRA 理论，由数字滤波器组实现3.第二代小波变换：Swelden 算法 由预测和更新滤波器进行交替提升实现 二．Mallat 算法 1.两个近似假设①∑∑∑-=+=nn m k nkn nk n m n m t dt C t S t S 1,000)()()()(ϕφ似由某一尺度空间函数近②n m C ,由采样数据直接近似 ⎰∞+∞--=dt n t t S C m m n m )2(*)(22,φm m w jnm jnw w e n t w e n t w t m----•↔-⇒↔-⇒↔2)2()2()()()()(2φφφφφφ滤波器组（Mallat 算法） （根据尺度函数和小波函数）)2(2)2(2222w en t m wjn m mm m -⋅⋅---↔-⇒φφ⎰∞+∞---⋅=⇒dw e w w S C w nj m mnm m 22,)2(*)(221φπ当分辨率m 足够高时 0)2(*→-w m φnt m m m nwj mn m m mt S n S dwe w S C --=---∞+∞--==⋅≈⇒⎰22222,)(2)2(2)(212π故可直接用样本数据取代 2.Mallat 算法 ①分解算法 a.推导⎰⎰⎰∞+∞--∞+∞-∞+∞-----=-==-dtn t t S dtn t t S dt t t S C m m m m n m n m )222(*)(2)2(*)(2)()(1121*,1,1φφφ两尺度关系 ⎰∑∞+∞--+-⋅im m dt i n t i h t S ))2(2(*)(2)(2021φ∑∑∑⎰++∞+∞->=<⋅=+-=iiin m i n m im m C i h t t S i h dti n t t S i h 2,02,020)(2)(),()(2))2(2(*2)()(φφ∑-+='i i m C n i h in i ,0)2(22同理-=-i m n m C n i h d ,1,1)2(2②重构算法a.推导（由两尺度关系，正交关系，及奇偶讨论可导出）⎪⎭⎫⎝⎛-+-=∑∑--i i i m i m n m d i n h C i n h C ,11,10,)2()2(2b.滤波器组实现（上采样+滤波）5.5 小波变换的应用一．小波地位小波曾火热一时，但小波不是万能的，在某些应用场合特别适用 小波无法求解微分方程纯数字和物理地位不如FT 二．信号检测方面应用 发动机声音中的撞击声检测傅里叶分析：时间平均作用模糊了信号局部特性 Gabor 变换 ：仍需长窗去包含振荡波形 小波变换 ： 小波基可任意窄 三．降噪应用 1.适用场合经典滤波：要求信号与噪声频率足够窄且不重合 高斯类噪声和脉冲噪声 → 宽带噪声 → 小波去噪 2.滤波效果①经典滤波：丢失波形尖锐处信息②小波降噪：基本保留波形尖锐处信息（与小波基选择有关） 3.滤波手段①传统方法：Prony 参数建模法②小波降噪b.可证明其统计最优性c.阈值比较（阈值T 可基于信号标准差得出） 硬阈值：比较n m d ,软阈值：考虑n m d ,符号，及其其它系数相关性 4.小波基选择：小波基应与主体信号量相近相似度越高，主小波系数越大，噪声系数则越小 NI 信号处理工具箱分解重构。

mallat算法原理Mallat算法，又称Wavelet Transform，是一种基于小波函数的数据分析和处理方法，它将信号或图像分解成一系列小波频带，然后进行变换和重构以完成特定的分析或处理任务。

这种算法的优点在于具有时间和频率上的局部性、多分辨率分析和灵活的压缩性能等。

Mallat算法基于小波函数的变换，这些小波函数是一系列的正交函数(如Haar、Daubechies、Coiflet等)，它们具有时频局部性质，可以捕捉信号的局部特征，如短暂的信号脉冲和边缘等。

这些小波函数都是由一个母小波函数通过平移、缩放、反转等操作得到的。

Mallat算法的基本过程分为分解、重构和逆变换三个步骤。

1. 分解：将原始信号或图像分解成一系列小波频带。

这个过程是由多层的低通和高通滤波器完成的，其中低通滤波器用于提取信号的低频成分，高通滤波器则用于提取信号的高频成分。

在每一层分解过程中，低频部分进一步分解，高频部分则用作下一层分解的输入。

这样就得到了一系列不同频段的小波系数，代表了原始信号或图像的局部特征。

2. 重构：将得到的小波系数重构成原始信号或图像。

这个过程是由多个逆滤波器和逆上采样操作完成的，逆滤波器用于将小波系数进行逆变换，同时逆上采样操作将分辨率恢复到原来的大小。

通过这种方式，可以从分解后的小波系数重构出与原始信号或图像相似的结果。

Mallat算法的应用范围很广，可以应用到信号和图像处理、数据压缩、模式识别、图像分割等领域。

其核心在于通过小波分析将信号和图像分解成不同频段的小波系数，通过对这些小波系数的变换和重构完成特定的分析或处理任务。

论文题目：图像小波变换实现及EZW编码理论研究专业班级：学号：学生：签名：指导教师：签名：摘要21世纪，人类已进入信息化时代，其中图像信息是人类获得外界信息的主要来源，因此对图像的处理变得更为重要。

而小波变换以其良好的空间——频域局部特性，能对图像进行有效的处理。

本文研究的是小波变换在数字图像处理中的应用，文中介绍了数字图像处理的基本概念和小波变换的基本理论。

基于图像小波理论，对图像小波变换的实现技术——Mallat算法进行了分析，并根据Mallat算法应用VC++编程实现了图像小波变换。

Mallat算法是将计算小波系数与信号处理中滤波器相结合，构成塔式分解算法，大大简化了小波系数的计算。

嵌入式小波零树系数编码（EZW）是将小波变换的各子带系数表示为零树结构。

EZW是一种简单而有效的图像编码算法。

使用这种算法，编码者可在任一点结束编码，所以允许精确达到一个目标比率，而这时仍能产生同样的图像。

【关键词】图像处理、小波变换、压缩编码、EZW【论文类型】软件设计与理论研究Title:The Realization of Image Wavelet Transformation and The Coding Theory Research of EZW Major: Electronic information of science and technology Name: Signature:Name: Signature:ABSTRACTIn the 21st, man being steps into an era of information.In which image information become the main origin of obtain information from outside. So processing image information become more important. Wavelet transform has wonderful space and frequency, so it can deal with the image effectively.The main topic article discuss is wavelet transform the application of image processing. In the article introduces the basic conception of data image processing and the basic theory of wavelet transform. Based on the image wavelet transform theory, the realize of the image wavelet transform technology——analysis on Mallat algorithm, and basis on Mallat algorithm that use the software of VC++ realize of the image wavelet transform. Mallat algorithm is using the wavelet coefficients and the filter of signal processing, so it greatly simplified the computing of wavelet coefficients algorithm. EZW code is the structure which is a simple and effective image coding algorithm with which an encoder can terminate the encoding at any point ther eby allowing a target rate or distortion metric to be met exactly.【Key words】image process, wavelet transform,image compression, EZW【Type of Thesis】software design and theory research前言现在人类已经进入信息化时代，而人类从自然界获取信息中，其中图像信息是人类获得外界信息的主要来源，因为大约有70％的信息是通过人眼获得的，而人眼获得的都是图像信息。