带电粒子在磁场中运动放缩圆和旋转圆..

磁场中的旋转圆、放缩圆、平移圆、磁聚焦模型1.高考命题中，带电粒子在有界磁场中的运动问题，常常涉及到临界问题或多解问题，粒子运动轨迹和磁场边界相切经常是临界条件。

带电粒子的入射速度大小不变，方向变化，轨迹圆相交与一点形成旋转圆。

带电粒子的入射速度方向不变，大小变化，轨迹圆相切与一点形成放缩圆。

2.圆形边界的磁场，如果带电粒子做圆周运动的半径如果等于磁场圆的半径，经常创设磁聚焦和磁发散模型。

一、分析临界极值问题常用的四个结论(1)刚好穿出磁场边界的条件是带电粒子在磁场中运动的轨迹与边界相切.(2)当速率v 一定时，弧长越长，圆心角越大，则带电粒子在有界磁场中运动的时间越长,(3)当速率v 变化时，圆心角大的，运动时间长，解题时一般要根据受力情况和运动情况画出运动轨迹的草图，找出圆心，再根据几何关系求出半径及圆心角等(4)在圆形匀强磁场中，当运动轨远圆半径大于区域圆半径时，入射点和出射点为磁场直径的两个端点时轨迹对应的偏转角最大(所有的弦长中直径最长)。

二、“放缩圆”模型的应用适用条件速度方向一定，大小不同粒子源发射速度方向一定，大小不同的带电粒子进入匀强磁场时，这些带电粒子在磁场中做匀速圆周运动的轨迹半径随速度的变化而变化轨迹圆圆心共线如图所示(图中只画出粒子带正电的情景)，速度v 越大，运动半径也越大。

可以发现这些带电粒子射入磁场后，它们运动轨迹的圆心在垂直初速度方向的直线PP ′上界定方法以入射点P 为定点，圆心位于PP ′直线上，将半径放缩作轨迹圆，从而探索出临界条件，这种方法称为“放缩圆”法三、“旋转圆”模型的应用适用条件速度大小一定，方向不同粒子源发射速度大小一定、方向不同的带电粒子进入匀强磁场时，它们在磁场中做匀速圆周运动的半径相同，若射入初速度为v 0，则圆周运动半径为R =mv 0qB。

如图所示轨迹圆圆心共圆带电粒子在磁场中做匀速圆周运动的圆心在以入射点P 为圆心、半径R =mv 0qB的圆上界定方法将一半径为R =mv 0qB的圆以入射点为圆心进行旋转，从而探索粒子的临界条件，这种方法称为“旋转圆”法四、“平移圆”模型的应用适用条件速度大小一定，方向一定，但入射点在同一直线上粒子源发射速度大小、方向一定，入射点不同，但在同一直线的带电粒子进入匀强磁场时，它们做匀速圆周运动的半径相同，若入射速度大小为v 0，则半径R =mv 0qB，如图所示轨迹圆圆心共线带电粒子在磁场中做匀速圆周运动的圆心在同一直线上，该直线与入射点的连线平行界定方法将半径为R =mv 0qB的圆进行平移，从而探索粒子的临界条件，这种方法叫“平移圆”法五、“磁聚焦”模型1．带电粒子的会聚如图甲所示，大量的同种带正电的粒子，速度大小相同，平行入射到圆形磁场区域，如果轨迹圆半径与磁场圆半径相等(R =r )，则所有的带电粒子将从磁场圆的最低点B 点射出．(会聚)证明：四边形OAO ′B 为菱形，必是平行四边形，对边平行，OB 必平行于AO ′(即竖直方向)，可知从A 点发出的带电粒子必然经过B 点．2．带电粒子的发散如图乙所示，有界圆形磁场的磁感应强度为B ，圆心为O ，从P 点有大量质量为m 、电荷量为q 的正粒子，以大小相等的速度v 沿不同方向射入有界磁场，不计粒子的重力，如果正粒子轨迹圆半径与有界圆形磁场半径相等，则所有粒子射出磁场的方向平行．(发散)证明：所有粒子运动轨迹的圆心与有界圆圆心O 、入射点、出射点的连线为菱形，也是平行四边形，O 1A (O 2B 、O 3C )均平行于PO ，即出射速度方向相同(即水平方向)．(建议用时：60分钟)一、单选题1地磁场能抵御宇宙射线的侵入，赤道剖面外地磁场可简化为包围地球一定厚度的匀强磁场，方向垂直该部面，如图所示，O为地球球心、R为地球半径，假设地磁场只分布在半径为R和2R的两边界之间的圆环区域内(边界上有磁场)，磷的应强度大小均为B，方向垂直纸面向外。

磁场中的旋转圆、放缩圆、平移圆、磁聚焦模型特训目标特训内容目标1旋转圆模型(1T-4T)目标2放缩圆模型(5T-8T)目标3平移圆模型(9T-12T)目标4磁聚焦模型(13T-16T)【特训典例】一、旋转圆模型1如图所示，在磁感应强度大小为B、方向垂直纸面向里的匀强磁场中有一粒子源，粒子源从O点在纸面内同时向各个方向均匀地发射带正电的粒子，其速率为v、质量为m、电荷量为q。

PQ是在纸面内垂直磁场放置的厚度不计的挡板，挡板的P端与O点的连线与挡板垂直，距离为8mv5qB。

设打在挡板上的粒子全部被吸收，磁场区域足够大，不计带电粒子间的相互作用及重力，sin37°=0.6，cos37°=0.8。

则()A.若挡板长度为4mv5qB，则打在板上的粒子数最多B.若挡板足够长，则打在板上的粒子在磁场中运动的最短时间为127πm180qBC.若挡板足够长，则打在板上的粒子在磁场中运动的最长时间为πmqBD.若挡板足够长，则打在挡板上的粒子占所有粒子的14【答案】D【详解】A．设带电粒子的质量为m，带电量为q，粒子在磁场中受到的洛伦兹力提供做圆周运动的向心力。

设粒子做圆周运动的半径为r。

则有qvB=m v2r解得r=mvqB能打到挡板上的最远的粒子如图；由几何关系可知，挡板长度L=(2r)2-d2=6mv5qB选项A错误；BC．由以上分析知，当粒子恰好从左侧打在P点时，时间最短，如图轨迹1所示，由几何关系得粒子转过的圆心角为θ1=106°；对应的时间为t min=θ12πT=106°360°2πmqB=53πm90qB当粒子从右侧恰好打在P点时，时间最长，如图轨迹2所示，由几何关系得粒子转过的圆心角为θ2=254°对应的时间为t max=θ22πT=254°360°⋅2πmqB=127πm90qB选项BC 错误；D ．如图所示，能打到屏上的粒子，在发射角在与x 轴成37°到127°范围内90°角的范围内的粒子，则打在挡板上的粒子占所有粒子的14，选项D 正确。

模型/题型：磁场常见模型·集合一、缩放圆和旋转圆模型 1． 缩放圆模型特征：带电粒子从某一点以速度方向不变而大小在改变（或磁感应强度变化）射入匀强磁场，在匀强磁场中做半径不断变化的匀速圆周运动。

把其轨迹连续起来观察，好比一个与入射点相切并在放大或缩小的“动态圆”，如图。

解题时借助圆规多画出几个半径不同的圆，可方便发现粒子轨迹特点，达到快速解题的目的。

2． 环形磁场临界问题临界圆临界半径 221R R r +=2-12R R r =勾股定理(R 2-R 1)2=R 12+r2解得：)R R (R r 1222-=3． 旋转圆模型特征：带电粒子从某一点以大小不变而方向不限定（如0—180°范围内）的速度射入匀强磁场中，这类问题都可以归结为旋转圆问题，把其轨迹连续起来观察可认为是一个半径不变的圆，根据速度方向的变化以出射点为旋转轴在旋转如图。

解题时使用圆规或硬币都可以快捷画出其轨迹，达到快速解答试题的目的。

同时还要注意，粒子在做圆周运动时的绕行方向不随旋转而改变（即同旋性）。

4． 旋转圆五大特征 ①半径相等 R=mv/qB②都过发射点③圆心分布在一圆周上④旋转方向相同（同旋性）⑤同时发射，同时刻在同一圆周上,最大范围π(2R )25． 旋转圆中粒子运动的空间范围问题最近点：A （OA =2Rsinθ） 最远点：B （OB 为直径） 圆中最大的弦长是直径 左边界：相切点A ； 右边界：OB 为直径边界点：相切点B 、C× × × ×× × × × ×× × × ×v 0R 1 R 2× × × ×× × × × ×× × ××v 0 R 1R 2× × × ×× × × × ×× × ××v 0R 1R 2× × × × × × × × × ×× × × × ×v 0A B O ●● θ( ABC6．圆形有界磁场中的旋转圆问题r<R r>R r=R在磁场中运动的最远距离为OA=2r在磁场中运动的最长时间为t max=αrv0=αmqB(sinα2=Rr)离开磁场速度方向垂直于入射点与磁场圆心的连线二、磁聚焦/磁发散模型⭐规律1:磁聚焦：如果磁场圆半径等于粒子的轨迹圆半径,带电粒子从圆形有界磁场边界上的某点射入磁场,则粒子的出射方向与磁场圆上入射点处的切线方向平行。

2023届高三物理一轮复习重点热点难点专题特训专题59 带电粒子在磁场中平移圆、放缩圆、旋转圆、磁聚焦模型特训目标特训内容目标1 带电粒子在磁场中平移圆模型（1T—4T）目标2 带电粒子在磁场中放缩圆模型（5T—8T）目标3 带电粒子在磁场中旋转圆模型（9T—12T）目标4 带电粒子在磁场中磁聚焦模型（13T—16T）【特训典例】一、带电粒子在磁场中平移圆模型1．如图所示，在顶角为23π的等腰三角形BAC内充满着磁感应强度大小为B且垂直纸面向外的匀强磁场（图中未画出）。

一群质量为m、电荷量为＋q、速度为v的带电粒子垂直AB 边射入磁场，已知从AC边射出且在磁场中运动时间最长的粒子，离开磁场时速度垂直于AC边。

不计粒子重力和粒子间相互作用力。

下列判断中正确的是（）A．等腰三角形BAC中AB边的长为2mv qBB．粒子在磁场中运动的最长时间为43m qB πC．从A点射入的粒子离开磁场时的位置与A点的距离为mv qBD．若仅将磁场反向，则从A点射入的粒子在磁场中运动的时间将比改变前缩短【答案】AC【详解】A．由题意可确定运动时间最长的粒子若垂直AC离开，其轨迹圆心必为A点，其轨道必与BC边相切，则由几何关系可知AB边长为半径的两倍，由2mvBqvr=可得mvrqB=则22BA r qB mv==故A 正确； B ．粒子运动时间最长时，圆心角为23πθ=则运动时间为122233m m t T Bq Bq θπππ==⨯=故B 错误； CD ．由几何关系可知，从A 点射入的粒子不论磁场向外还是改为向里，粒子速度的偏转角都是60°，轨迹均为六分之一圆周，则运动时间相同，离开磁场时的位置与A 点的距离为等于半径mvqB，故C 正确，D 错误。

故选AC 。

2．如图所示，在直角三角形ABC 内充满垂直纸面向外的匀强磁场（图中未画出），AB 边长度为d ，∠B=6π．现垂直AB 边射入一群质量均为m 、电荷量均为q 、速度大小均为v 的带正电粒子，已知垂直AC 边射出的粒子在磁场中运动的时间为t ，而运动时间最长的粒子在磁场中的运动时间为43t （不计重力）。

缩放圆和旋转圆缩放圆和旋转圆缩放圆和旋转圆是物理学中的基本概念。

缩放圆是指带电粒子在匀强磁场中做半径不断变化的匀速圆周运动，轨迹连续起来形成一个与入射点相切并在放大或缩小的“动态圆”。

解题时可以使用圆规画出几个半径不同的圆，方便发现粒子轨迹特点，达到快速解题的目的。

旋转圆是指带电粒子在匀强磁场中做半径不变的圆周运动，但速度方向不限定，可以在-180°范围内变化。

解题时可以使用圆规或硬币画出其轨迹，达到快速解答试题的目的。

同时，粒子在做圆周运动时的绕行方向不随旋转而改变，即同旋性。

缩放圆和旋转圆都有一些特征。

缩放圆的特征是带电粒子做半径不断变化的匀速圆周运动，轨迹连续起来形成一个动态圆。

旋转圆的特征是带电粒子在匀强磁场中做半径不变的圆周运动，但速度方向不限定，可以在-180°范围内变化。

旋转圆的五大特征包括半径相等、都过发射点、圆心分布在一圆周上、旋转方向相同（同旋性）、同时发射、同时刻在同一圆周上，最大范围是π(2R)2.在圆形有界磁场中的旋转圆问题中，左边界是相切点A，右边界是OB为直径，边界点是相切点B、C。

在磁场中运动的最远距离为OA=2r。

最近点是A（OA=2Rsinθ），最远点是B（OB为直径）。

圆中最大的弦长是直径。

在选择题中，磁场中运动的最长时间取决于离开磁场速度方向是否垂直于入射点与磁场圆心的连线，答案为m。

7.一块长为l的水平极板间有垂直纸面向里的匀强磁场，磁感应强度为B，板间距离也为l。

极板不带电。

现有质量为m、电荷量为q的带正电粒子(不计重力)，从左边极板间中点处垂直磁感线以速度v水平射入磁场，欲使粒子不打在极板上，可采用的办法是使粒子的速度v＞Bq/m或者v＜Bq/m。

8.一束电子以大小不同的速率沿图示方向飞入横截面是一正方形的匀强磁场。

正确的判断是：B.电子在磁场中运动时间越长，其轨迹线所对应的圆心角越大。

9.边长为l的正六边形abcdef中，存在垂直该平面向里的匀强磁场，磁感应强度大小为B。

动态圆的原理带电粒子垂直进入磁场，不计重力，带电粒子将在磁场中做圆周运动，如果是一个有界磁场，带电粒子将做部分圆周圆周运动，关于入射速度变化时，有以下三种常用的动态圆模型。

一、放缩圆法，粒子源发射出的粒子速度方向一定，大小不同，由于圆周运动速度越大，轨迹半径越大，从入射点放大或者缩小圆的半径，画出轨迹，寻找临界条件来解决问题。

二、旋转圆法，粒子源发射的粒子，速度大小一定，方向不同，那么带电粒子运动的圆心将在以入射点为圆心，圆周运动为半径为半径的圆周上，即就是轨迹圆圆心共圆，以入射点为定点，对这个等圆进行旋转，从而找到临界条件。

三、平移圆法，粒子入射点在同一直线上，并且速度大小一定，方向一定，故这点带电粒子轨迹圆圆心是共线的，半径也是相同的，通过平移入射点，从而找到临界条件。

总之，动态圆是磁场章节难点，只有通过一定量代表性题目训练，去感知三种方法的应用，才可以达到融会贯通的效果。

地球磁场起源之谜：1. 谜题重重的地磁场地球是一个天然的大磁体，无论在陆地、海洋，还是天空，都能够感受到地磁场的存在。

我国古人很早以前就对地磁现象有所认识，中国古代四大发明之一的指南针，就是利用磁针在地磁场中的指极性制成的。

现在科学家们已基本掌握了地磁场的分布与变化规律，但是，对于地磁场的起源问题，学术界却一直没有找到一个令人满意的答案。

目前，关于地磁场起源的假说归纳起来可分为两大类，第一类假说是以现有的物理学理论为依据；第二类假说则独辟蹊径，认为对于地球这样一个宇宙物体，存在着不同于现有已知理论的特殊规律。

属于第一类假说的有旋转电荷假说。

它假定地球上存在着等量的异性电荷，一种分布在地球内部，另一种分布在地球表面，电荷随地球旋转，因而产生了磁场。

这一假说能够很自然地通过电与磁的关系解释地磁场的成因。

但是，这个假说却有一个致命缺点，首先它不能解释地球内外的电荷是如何分离的；其次，地球负载的电荷并不多，由它产生的磁场是很微弱的，根据计算，如果要想得到地磁场这样的磁场强度，地球的电荷储量需要扩大1亿倍才行，理论计算和实际情况出入很大。

2023年高三物理二轮常见模型与方法强化专训专练专题20 磁场中的旋转圆、放缩圆、平移圆、磁聚焦模型一、旋转圆模型1．如图所示，空间存在垂直纸面向外的匀强磁场（图中未画出），一放射源P 位于足够大的绝缘板AB 上方，放射性物质为23892U ，发生α衰变后，放出α射线，23490Th 留在放射源中，P到AB 的距离为d ，在纸面内向各个方向发射速率均为v 的α粒子，不考虑粒子间的相互作用和α粒子的重力。

已知α粒子做圆周运动的半径也为d ，则（ ）A ．核反应方程为23892U→23490Th ＋42HeB ．板上能被α粒子打到的区域长度是2dC ．α粒子到达板上的最长时间为32dv π D ．α粒子到达板上的最短时间为2dvπ【答案】AC【详解】A ．根据质量数守恒和电荷数守恒可知，核反应方程为238234492902U Th He →+，A 正确；B ．打在极板上粒子轨迹的临界状态如上图所示根据几何关系知，带电粒子能到达板上的长度1)l d d ==，B 错误；CD ．由题意如画出所示由几何关系知最长时间为1轨迹经过的时间，即竖直向上射出的α粒子到达板上的时间最长，其轨迹对应的圆心角为270°，故最长时间为3323442d dt T v v ==⨯=长ππ而最短时间为轨迹2，其轨迹对应的弦长为d ，故对应的圆心角为60°，最短时间为112663d dt T v v==⨯=短ππ，D错误C 正确。

故选AC 。

2．如图所示，在边长为L 的等边三角形区域ABC 内存在着垂直纸面的匀强磁场（未画出），磁感应强度大小为03B qL=，大量质量为m 、带电荷量为q 的粒子从BC 边中点O 沿不同的方向垂直于磁场以速率v 0射入该磁场区域，不计粒子重力，则下列说法正确的是（ ）ABC ．对于从AB 和ACD ．对于从AB 和AC边射出的粒子，在磁场中运动的最短时间为012Lv 【答案】BC【详解】A．所有粒子的初速度大小相等，它们在磁场中做匀速圆周运动的轨迹半径为0mv r qB ==故A 错误；B．粒子做圆周运动的周期为002r LT v v π==故B 正确； C ．当粒子运动轨迹对应的弦最长时，圆心角最大，粒子运动时间最长，当粒子运动轨迹对应的弦长最短时，对应的圆心角最小，粒子运动时间最短。

专题十七 “几何圆模型”在磁场中的应用放缩圆:入射点相同,粒子速度大小不等、方向相同1.(多选)如图所示,在矩形的区域内存在一个垂直纸面向外的匀强磁场, 已知磁感应强度大小为B ,Oa ab =√3,一个质量为m 、电荷量为q 的带正电粒子(重力忽略不计),从O 点沿着Ob 方向垂直磁场入射,下列关于带电粒子在磁场中的运动说法正确的是 ( AB )A .带电粒子在磁场中运动的最长时间为πm 3qBB .带电粒子的入射速度越大,在磁场中运动的位移越大C .带电粒子的入射速度越大,在磁场中运动的时间越长D .带电粒子可以从bc 边界离开磁场[解析] 由Oa ab =√3可知,Ob 与Oa 的夹角θ=30°.粒子运动轨迹如图,由几何关系可知,粒子运动轨迹对应的最大圆心角α=2θ=60°,粒子在磁场中做圆周运动的周期T=2πm qB ,则粒子在磁场中运动的最长时间t m =α2πT=πm 3qB ,故A 正确;带电粒子的入射速度越大,在磁场中运动的弧所对的弦长越长,故在磁场中运动的位移越大,但是粒子在磁场中运动的圆弧所对的圆心角可能不变或者减小,则运动时间不变或者减小,故B 正确,C 错误;带电粒子沿着Ob 方向垂直射入磁场,受到的洛伦兹力斜向下,故粒子不可能从bc 边界离开磁场,故D 错误.旋转圆:入射点相同,粒子速度大小相等、方向不同2.如图所示,圆形区域有一匀强磁场,磁感应强度为B ,方向垂直纸面向里,边界跟y 轴相切于坐标原点O.O 点处有一放射源,沿纸面向各方向射出速率均为v 的某种带电粒子,带电粒子在磁场中做圆周运动的半径是圆形磁场区域半径的两倍.已知该带电粒子的质量为m 、电荷量为q ,不考虑带电粒子的重力.(1)推导带电粒子在磁场空间做圆周运动的轨迹半径;(2)求带电粒子通过磁场空间的最大偏转角.[答案] (1)mv qB (2)60°[解析] (1)带电粒子进入磁场后,受洛伦兹力作用,由牛顿第二定律得Bqv=m v 2r ,解得r=mv Bq . (2)粒子的速率均相同,因此粒子轨迹圆的半径均相同,但粒子射入磁场的速度方向不确定,故可以保持圆的大小不变,只改变圆的位置,画出“动态圆”,如图甲所示,通过“动态圆”可以观察到粒子运动轨迹均为劣弧,对于劣弧而言,弧越长,弧所对应的圆心角越大,偏转角越大,则运动时间越长,当粒子的轨迹圆的弦长等于磁场区域的直径时,粒子在磁场空间的偏转角最大,如图乙所示,则sin φmax 2=R r =12,即φmax =60°.平移圆:粒子速度大小相等、方向相同,但入射点在一条直线上移动 3.如图所示,长方形abcd 长ad=0.6 m,宽ab=0.3 m,O 、e 分别是ad 、bc 的中点,以ad 为直径的半圆内有垂直纸面向里的匀强磁场(边界上无磁场),磁感应强度B=0.25 T .一群不计重力、质量m=3×10-7 kg 、电荷量q=+2×10-3 C 的带电粒子以速度v=5×102 m/s,沿垂直ad 方向且垂直于磁场射入磁场区域,则 ( D )A .从Od 边射入的粒子,出射点全部分布在Oa 边B .从aO 边射入的粒子,出射点全部分布在ab 边C .从Od 边射入的粒子,出射点分布在Oa 边和ab 边D .从aO 边射入的粒子,出射点分布在ab 边和be 边[解析] 由r=mv qB 得带电粒子在匀强磁场中运动的半径r=0.3 m,从O 点射入的粒子,出射点在be 上,所以从Od 边射入的粒子,出射点分布在be 边;从aO 边射入的粒子,出射点分布在ab 边和be 边,选项D 正确. 磁聚焦与磁发散问题4.(多选)如图所示,半径为R 、磁感应强度为B 的圆形匀强磁场,MN 是一竖直放置的足够长的感光板.大量相同的带正电粒子从圆形磁场最高点P 以速率v 沿不同方向垂直磁场方向射入,不考虑速度沿圆形磁场切线方向入射的粒子.粒子质量为m ,电荷量为q ,不考虑粒子间的相互作用和粒子的重力.关于这些粒子的运动,以下说法正确的是 ( ACD )A .对着圆心入射的粒子,速度越大在磁场中通过的时间越短B .对着圆心入射的粒子,速度越大在磁场中通过的时间越长C .若粒子速度大小均为v=qBR m ,出射后均可垂直打在MN 上D .若粒子速度大小均为v=qBR m ,则粒子在磁场中的运动时间一定小于πm qB[解析] 对着圆心入射的粒子,速度越大在磁场中做圆周运动的轨迹半径越大,弧长越长,轨迹对应的圆心角越小,由t=θ2πT=θm qB 可知,运动时间越短,故选项A 正确,B 错误.粒子速度大小均为v=qBR m 时,根据洛伦兹力提供向心力可得粒子的轨迹半径为r=mv qB =R ,根据几何关系可知,入射点P 、O 、出射点与轨迹圆的圆心的连线构成菱形,射出磁场时的轨迹半径与PO 平行,故粒子射出磁场时的速度方向与MN 垂直,出射后均可垂直打在MN 上;根据几何关系可知,轨迹对应的圆心角小于180°,粒子在磁场中的运动时间t<12T=πm qB ,故选项C 、D 正确.。