下载文档原格式
【知识梳理】本讲主要通过求一些不规则图形的面积，体会一种转化思想，重点在于把不规则图形转化为规则图形的方法，包括平移、旋转、割补、差不变原理，通过这些方法的学习，让学生体会求面积的技巧，提高学生的观察能力、动手操作能力、综合运用能力。
1、面积公式：长方形的面积=长⨯宽正方形的面积=边长⨯边长2、把不规则图形转化为规则图形的几种方法。
分割：把不规则图形分割成一些可求面积的规则图形。
添补：添上一个规则图形或者与所求图形有数量关系的图形，使原图形变为可求面积的规则图形。
平移、旋转:主要通过移动的方法把分散的块集中到一个规则的图形中。
【例题讲解】例1、你有什么好的方法计算所给图形的面积呢？(单位：厘米)4993例2、这是一个楼梯的截面图，高280厘米，每级台阶的宽和高都是20 厘米．问，此楼梯截面的面积是多少？例3、有一块菜地长16米，宽8米，菜地中间留了宽2米的路，把菜地平均分成四块，每一块地的面积是多少？例4、下图(单位：厘米)是两个相同的直角梯形重叠在一起，求阴影部分的面积.例5、一块长方形铁板，长15分米，宽12分米，如果长和宽各减少2分米，面积比原来减少多少平方分米？例6、一个边长为20厘米的正方形，依次连接四边中点得到第二个正方形，这样继续下去可得到第三个、第四个、第五个正方形．求第五个正方形的面积？【课堂巩固】1、求图中五边形的面积。
64532、如图是一个楼梯的截面图，每级台阶的宽和高都是20厘米．这楼梯的截面积是多少平方厘米？3、两个相同的直角三角形如下图所示(单位：厘米)重叠在一起，求阴影部分的面积.FBA4、 一个正方形，如果把它的相邻两边都增加6厘米，就可以得到一个新正方形，新正方形 的面积比原正方形大120平方厘米．求原正方形的面积？65、 如图是由5个大小不同的正方形叠放而成的，如果最小的正方形(阴影部分)的周长是8，那么最大的正方形的边长是 ．第6题【课后练习】1、 如图是学校操场一角，请计算它的面积(单位：米)302030402、 如右图所示，图中的ABEFGD 是由一个长方形ABCD 及一个正方形CEFG 拼成的，线段的长度如图所示(单位：厘米)，求ABEFGD 的周长和面积．3、四个完全相同的长方形拼成右图，大正方形的面积是l00平方分米，小正方形的面积是l6平方分米，求每个长方形的面积是多少？长方形的短边是多少分米？164、有一个边长为16厘米的正方形，连接每边的中点构成第二个正方形，再连接每边的中点构成第三个正方形，第四个正方形．求图中阴影部分的面积？。
第一讲：巧求面积一、相加法：这种方法是将不规则图形分解转化成几个基本规则图形，分别计算它们的面积，然后相加求出整个图形的面积.例如，右图中，要求整个图形的面积，只要先求出上面半圆的面积，再求出下面正方形的面积，然后把它们相加就可以了（如图）。
二、相减法：这种方法是将所求的不规则图形的面积看成是若干个基本规则图形的面积之差.例如，右图，若求阴影部分的面积，只需先求出正方形面积再减去里面圆的面积即可（如图）。
例.一个正方形，如果把它的相邻两边都增加6厘米，就可以得到一个新正方形，新正方形的面积比原正方形大120平方厘米．求原正方形的面积？三、直接求法：这种方法是根据已知条件，从整体出发直接求出不规则图形面积.如下页右上图，欲求阴影部分的面积，通过分析发现它是一个底2，高4的三角形，就可以直接求面积了（如图）。
例.如下图，长方形AFEB和长方形FDCE拼成了长方形ABCD ，长方形 ABCD的长是20，宽是12，则它内部阴影部分的面积是．四、重新组合法：这种方法是将不规则图形拆开，根据具体情况和计算上的需要，重新组合成一个新的图形，设法求出这个新图形面积即可.例如，欲求右图中阴影部分面积，可以把它拆开使阴影部分分布在正方形的4个角处，这时采用相减法就可求出其面积了（如图）。
例.已知大正方形边长是7厘米，小正方形边长5厘米，求阴影部分的面积。
五、辅助线法：这种方法是根据具体情况在图形中添一条或若干条辅助线，使不规则图形转化成若干个基本规则图形，然后再采用相加、相减法解决即可.如右图，求两个正方形中阴影部分的面积.此题虽然可以用相减法解决，但不如添加一条辅助线后用直接法作更简便（如图）。
六、割补法：这种方法是把原图形的一部分切割下来补在图形中的另一部分使之成为基本规则图形，从而使问题得到解决.例如，如右图，欲求阴影部分的面积，只需把右边弓形切割下来补在左边，这样整个阴影部分面积恰是正方形面积的一半（如图）.例.求阴影部分的面积。
第十三讲巧求面积知识点睛：长方形的面积＝长×宽，正方形的面积＝边长×边长。
但是，在平时的学习过程中，我们常常会遇到一些已知条件比较隐蔽、图形比较复杂、不能简单地用公式直接求出所求面积的题目，这就需要我们切实掌握有关概念，利用“割补”“平移”“旋转”等方法，使复杂的问题转化为普通的长方形、正方形面积的问题，从而正确解答。
例1:下图是一个养禽专业户用一段16米的篱笆围成的一个长方形养鸡场，求它的占地面积。
练习1：1、右图是某个养禽专业户用一段长13米的篱笆围成的一个长方形养鸡场，求养鸡场的占地面积。
2、用56米长的木栏围成长或宽是20米的长方形，其中一边利用围墙，怎样才能使围成的面积最大？例2:下图是一块水稻田，请计算它的面积（单位：米）练习2：1、求下图的面积。
（单位：分米）2、求下面图形的面积（单位：米）8471040302020151020155020例3：一个长方形，如果宽不变，长增加6米，那么它的面积增加54平方米；如果长不变，宽减少3米，那么它的面积减少36平方米。
这个长方形原来的面积是多少平方米？练习3：1、一个长方形，如果宽不变，长减少3米，那么它的面积减少24平方米；如果长不变，宽增加4米，那么它的面积增加60平方米。
这个长方形原来的面积是多少平方米？2、一个长方形，如果宽不变，长增加5米，那么它的面积增加30平方米；如果长不变，宽增加3米，那么它的面积增加48平方米。
这个长方形原来的面积是多少平方米？例4：如图所示，一块长方形草地。
长方形长16米，宽10米，中间有两条宽2米的道路，一条是长方形，另一条是平行四边形。
求有草部分（阴影部分）的周长。
练习4：1、求下图阴影部分的面积（单位：厘米）。
2、如图所示，公园里有一个长方形湖泊，湖上有一座景观桥（桥墩忽略不计）。
已知湖泊长30米，宽20米，桥面的宽度为2米，这座桥的面积是多少？210例5：街心花园有一个正方形花坛，四周有一条宽1米的通道（如图），如果通道的面积是12平方米，那么中间花坛的面积是多少平方米？练习5：1、有一个正方形水池，在它的周围修一条宽4米的路，这条路的面积是240平方米，这个水池的面积是多少？2、下图中阴影部分是边长为5厘米的正方形，四块完全一样的长方形的宽是8厘米，求这个图形的面积。
师：这确实是一种方法，老师刚刚在下面还看到有同学有不同做法，请你来说下你的思路。
生2：我是用大长方形的面积减去蓝色正方形的面积，再减去绿色正方形的面积，剩下的就是红色长方形的面积。
师：非常好，这也是一种很好的方法，你能具体说说具体的算法吗？生2: 大长方形的面积是6×10=60（平方厘米），蓝色正方形的面积是6×6=36 （平方厘米），绿色正方形的面积是4×4=16（平方厘米）师：那红色长方形的面积是多少呢？生2：60-36-16=8（平方厘米）。
师：这样求出来的答案也是8平方厘米。
这样做的同学举手示意一下。
师：看来也有很多同学是这么想的。
其实两种方法都是可以的。
同学们的思维真是活跃啊。
我们一起看下答案算对了吗。
板书：方法一：（10-6）×（6-4）=8（平方厘米）方法二：6×10-6×6-4×4=8（平方厘米）答：红色部分面积是8平方厘米。
师：刚刚我们解决了例题3，两种方法大家都会了吗？生：会了。
师：很好，很多题目我们可以从不同角度去思考。
我相信下面的练习3肯定也难不倒同学们。
大家自己动手做一做吧。
练习3：（5分）由两个完全相同的图形组成的图形（如图），计算下列图的面积。
分析：将图形进行平移、剪拼后可以发现这个图形的面积是一个边长为6厘米的大正方形减去一个边长为2厘米的小正方形的面积。
板书：6×6-2×2=32（平方厘米）答：这个图的面积是32平方厘米。
（二）例题4：（12分）一块长方形草地，长是38米，宽是28米，中间有两条宽2米的小路可以通过，这块草地的绿化面积是多少平方米？讲解重点：这个题目有2中方法，一个是用平移法，将两条小路移到一边，求空白小长方形的面积，就是绿化面积；或者可以求出两条小路的面积之和，要注意的是中间有一块2×2的地被重复计算了一次，要减掉。
再用草地面积减去小路面积，师：题目中要我们求这块草地的绿化面积是多少平方米，你们会怎么思考？生1：像上一个题目一样，我们可以用平移法把两条小路移到一边，中间就是绿化面积。
1、 巩固三四年级学习的几何图形并深化构造思想2、 将等量代换等解题方法用到解题中本讲主要通过求一些不规则图形的面积，体会一种转化思想，重点在于把不规则图形转化为规则图形的方法，包括平移、旋转、割补、差不变原理，通过这些方法的学习，让学生体会求面积的技巧，提高学生的观察能力、动手操作能力、综合运用能力．模块一、旋转平移变换【例 1】 在一个正方形中放入一个四个顶点与大正方形相接的一个小正方形(如图)，如果两个正方形的周长相差16厘米，面积相差96平方厘米，求小正方形的面积是多少平方厘米？(1) (2)【解析】 方法一：本题就此图来看计算起来比较麻烦，但是我们可以把图⑴经过旋转后变成图⑵这样我们就可以根据我们学过的知识来解决这道题了．八条虚线的长度正好是大小两个正方形的周长差，空白处即为两个正方形的面积差，所以虚线长为：1682÷=(厘米)从图中可以看出上、下、左、右四个长方形的面积相等为：(96224-⨯⨯)420÷=(平方厘米)，所以小正方的边长为：20210÷=(厘米)，即小正方形的面积为：1010100⨯=(平方厘米)方法二：本题还可以将里面的正方形移到一角上来计算，由右图可知虚线长度为：1644÷=(厘米)所以小正方形的面积为：4416⨯=(平方厘米)白色长方形的面积为：(9616-)240÷=(平方厘米)，所以小正方形的边长为：40410÷=(厘米)，正方形的面积为：1010100⨯=(平方厘米)．【巩固】 有一大一小两块正方形试验田，他们的周长相差40米，面积相差220平方米，那么小正方形试验田的面积是多少平方米？知识点拨教学目标例题精讲第二讲：巧求周长与面积c b ca图a图b【解析】 根据已知条件，我们将两个正方形试验田的一个顶点对齐，画出示意图(如图a )，将大正方形在小正方形外的部分分割成两个直角梯形，再拼成一个长方形(如图b )．由于两个正方形的周长相差40米，从而它们的每边相差40410÷=米，即图b 中的长方形的宽是10米．又因为长方形的面积是两个正方形的面积之差，即为220平方米，从而长方形的长为：2201022÷=(米)．由图可知，长方形的长是大正方形与小正方形的边长之和，长方形的宽为大正方形与小正方形的边长之差，从而小正方形的边长为：(2210)26-÷=(米)．所以小正方形的面积为：6636⨯=(平方米)．【例 2】 长方形ABCD 的周长是30厘米，以这个长方形的每一条边为边长向外画正方形．已知这四个正方形的面积之和为290平方厘米，那么长方形ABCD 的面积是多少平方厘米？C 1D 1E 1A 1EBC DA【解析】 从图形我们可以看出，1A B 的长度恰好为长方形的长与宽之和，即为长方形ABCD 周长的一半，可以看出若以1A B 和1BC 为边能构成大正方形111A BC E (如右下图所示)，其中包含两个长方形和两个正方形，而且两个长方形的面积是相等的，两个正方形的面积刚好是290平方厘米的一半．这样我们容易求出：大正方形111A BC E 的边长为30215÷=厘米，面积为：1515225⨯=平方厘米，正方形11CDD C 与正方形1ADEA 的面积之和为：2902145÷=(平方厘米)．长方形ABCD 与长方形11EDD E 的面积相等．所以，长方形ABCD 的面积为：(225145)240-÷=(平方厘米)．【例 3】 一条白色的正方形手帕，它的边长是18厘米，手帕上横竖各有二道黑条，黑条宽都是2厘米，这条手帕白色部分的面积是多少？【解析】 方法一：由于手帕边长是18厘米，所以手帕的面积是1818324⨯=(平方厘米)．要求白色部分的面积，只需减去红色部分的面积就可以了．红色部分是四个长为18厘米，宽为2厘米的红色长条，所以这四个红色长条面积是：4182144⨯⨯=(平方厘米)，但每个横红条与每个竖红条在交叉处重叠一个边长为2厘米的正方形，即多计算了224⨯=(平方厘米)，因此两个横红条与两个竖红条共重叠4416⨯=(平方厘米)，所以两个横红条与两个竖红条覆盖的面积为14416128-=(平方厘米)，所以这块白手帕白色部分的面积是324128196-=(平方厘米)方法二：换个方式思考：把竖的两个红条平行移动一下，使它们紧贴在一起，再移到紧贴正方形的左端边上，把横的两个红条也做同样的位置平移，使它们紧贴在正方形下端的边上，如图所示．这样通过平移横、竖红条后使原来分散的白色部分集中起来了，而且所得图形的白色部分的面积不变．这时白色部分面积一目了然，它等于变成为14厘米的正方形面积，即1414196⨯=(平方厘米)【例 4】 7个完全相同的长方形拼成了图中阴影部分，图中空白部分的面积是多少平方厘米？【解析】 由图可知，长方形的长是宽的4倍，宽的6倍是24厘米，则长方形的宽是4厘米，故图中空白部分的面积是44232⨯⨯=(平方厘米)．【巩固】 (第五届”祖冲之杯”数学邀请赛)如右图所示，在长方形ABCD 中，放入六个形状大小相同的长方形(尺寸如图)，图中阴影部分的面积是__________．B【解析】 由图中可以看出小长方形的长3+⨯小长方形的宽14=，小长方形的长-小长方形的宽6=． 第二式乘以3再与第一式相加得 4⨯小长方形的长146332=+⨯=．所以小长方形的长8=，小长方形的宽2=，小长方形的面积8216⨯=，大长方形的面积14(622)140=⨯+⨯=， 阴影面积14061644=-⨯=．模块二、完美长方形【例 5】 （第十二届“迎春杯”刊赛试题）如图，边长是整数的四边形AFED 的面积是48平方厘米，FB为8厘米．那么，正方形ABCD 的面积是 平方厘米．A BCDE F 488【解析】 根据题意，有48AD AF ⨯=且8AF AD +=，又AD 、AF 都是整数，于是根据尝试可得，12AD =厘米，4AF =厘米．所以1212144ABCDS=⨯=（平方厘米）．【例 6】 如图，一个正方形被分成4个小长方形，它们的面积分别是110平方米、15平方米、310平方米和25平方米．已知图中的阴影部分是正方形，那么它的面积是多少平方米？【解析】 为了方便叙述，将某些点标上字母，如右上图。
