1.1.1任意角(公开课)[优质PPT]
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高中数学人教版必修四课件：1.1.1任意角 (共20张PPT)
定义 : 所有与角 终边相同的角，连同角 在内，
可构成一个集合：S { | k 360 ，k Z}. 即任一与角 终边相同的角，都可以表示成角
与整数个周角的和。
注意：终边落在坐标轴上的角，不属于任何象限，
称为轴线角.
y
（1）终边在x轴上的角的集合：
{ | n 180 ，n Z}.
解 (1)因为－150°＝－360°＋210°，所以在 0°～360°范围 内，与－150°角终边相同的角是 210°角，它是第三象限角． (2)因为 650°＝360°＋290°，所以在 0°～360°范围内，与 650° 角终边相同的角是 290°角，它是第四象限角． (3)因为－950°15′＝－3×360°＋129°45′，所以在 0°～ 360°范围内，与－950°15′角终边相同的角是 129°45′角， 它是第二象限角． 小结 解答本题可先利用终边相同的角的关系：β＝α＋ k·360°，k∈Z，把所给的角化归到 0°～360°范围内，然后利 用 0°～360°范围内的角分析该角是第几象限角．
故
2
是第三象限的角 .
2
综上可知： 是第一或第三象限的角 .
2
0°
360° x
又 k 120 k 120 30 ，k Z .
3
y
90°
当 k 3n(n Z)时，
n 360 n 360 30 ，k Z ， 180°
故
3 是第一象限的角 .
O
当
3
k
3n 1(n Z)时，
跟踪训练 1 判断下列角的终边落在第几象限内： (1)1 400°； (2)－2 010°.
解 (1)1 400°＝3×360°＋320°，∵320°是第四象限角， ∴1 400°也是第四象限角．
可构成一个集合：S { | k 360 ，k Z}. 即任一与角 终边相同的角，都可以表示成角
与整数个周角的和。
注意：终边落在坐标轴上的角，不属于任何象限，
称为轴线角.
y
（1）终边在x轴上的角的集合：
{ | n 180 ，n Z}.
解 (1)因为－150°＝－360°＋210°，所以在 0°～360°范围 内，与－150°角终边相同的角是 210°角，它是第三象限角． (2)因为 650°＝360°＋290°，所以在 0°～360°范围内，与 650° 角终边相同的角是 290°角，它是第四象限角． (3)因为－950°15′＝－3×360°＋129°45′，所以在 0°～ 360°范围内，与－950°15′角终边相同的角是 129°45′角， 它是第二象限角． 小结 解答本题可先利用终边相同的角的关系：β＝α＋ k·360°，k∈Z，把所给的角化归到 0°～360°范围内，然后利 用 0°～360°范围内的角分析该角是第几象限角．
故
2
是第三象限的角 .
2
综上可知： 是第一或第三象限的角 .
2
0°
360° x
又 k 120 k 120 30 ，k Z .
3
y
90°
当 k 3n(n Z)时，
n 360 n 360 30 ，k Z ， 180°
故
3 是第一象限的角 .
O
当
3
k
3n 1(n Z)时，
跟踪训练 1 判断下列角的终边落在第几象限内： (1)1 400°； (2)－2 010°.
解 (1)1 400°＝3×360°＋320°，∵320°是第四象限角， ∴1 400°也是第四象限角．
任意角公开课PPT课件
（5）-450°
x 轴线角
o -450°
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10
四、轴线角
如果角的终边落在了坐标轴上，就认为这 个角不属于任何象限，也称非象限角.
你能举例说出其它的轴线角吗？
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11
五、终边相同的角
思考： -30°，330°，-390°是第几象限
的角？这些角有什么内在联系？
33 0= 0-300 + 36 0 0 y
12
例题讲解
例1.请判断1305°是第几象限角；
方法一：解：1305°-1080°=225° 因为，1305°与225°终边相同 所以，1305°是第三象限的角
方法二：解：1305°=1080°+225° =3×360°+225°
所以，1305°是第三象限的角 方法三：在坐标系上画出来
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方法二：解：-950°12＇=-1080°+129°48＇ =-3×360°+129°48＇
所以，-950°12＇是第二象限的角
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14
课堂练习
（课本P5第4题） 在0°到360°范围内，找出与下列各角终边相同 的角，并判定它们是第几象限角；
（1）-54°18＇ （2）395°8＇ （3）-1190°30＇
顶 点O
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始边 A
4
一、角的概念
初中
角——一点出发的两条射线所围成
（静止地）
的图形
高中 顶点
终边
角——一条射线绕一个端点从一个位 置旋转到另一个位置所形成的图形
（运动地）始边
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5
二、角的分类
x 轴线角
o -450°
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10
四、轴线角
如果角的终边落在了坐标轴上，就认为这 个角不属于任何象限，也称非象限角.
你能举例说出其它的轴线角吗？
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11
五、终边相同的角
思考： -30°，330°，-390°是第几象限
的角？这些角有什么内在联系？
33 0= 0-300 + 36 0 0 y
12
例题讲解
例1.请判断1305°是第几象限角；
方法一：解：1305°-1080°=225° 因为，1305°与225°终边相同 所以，1305°是第三象限的角
方法二：解：1305°=1080°+225° =3×360°+225°
所以，1305°是第三象限的角 方法三：在坐标系上画出来
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方法二：解：-950°12＇=-1080°+129°48＇ =-3×360°+129°48＇
所以，-950°12＇是第二象限的角
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14
课堂练习
（课本P5第4题） 在0°到360°范围内，找出与下列各角终边相同 的角，并判定它们是第几象限角；
（1）-54°18＇ （2）395°8＇ （3）-1190°30＇
顶 点O
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始边 A
4
一、角的概念
初中
角——一点出发的两条射线所围成
（静止地）
的图形
高中 顶点
终边
角——一条射线绕一个端点从一个位 置旋转到另一个位置所形成的图形
（运动地）始边
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5
二、角的分类
1.1.1 任意角 课件(共31张PPT)
栏目 导引
第一章 三角函数
典题例证技法归纳
题型探究
题型一 任意角的概念 例1 下列命题： ①第二象限角大于第一象限角； ②小于180°的角是钝角、直角或锐角； ③正角大于负角；
栏目 导引
第一章 三角函数
④相差360°整数倍的两个角，其终边不一定相同． 其中真命题的序号为________(把你认为正确的命题的序号都写上)． 【解析】 ①120°角是第二象限角，390°角是第一象限角， 显然390°>120°，所以①不正确． ②0°角小于180°，但它既不是钝角，也不是直角或锐角， 故②不正确． ③正角、负角是用来表示具有相反意义的旋转量，像正数、 负数的规定一样，正角大于负角，③正确． ④终边相同的两个角一定相差360°的整数倍，反之也成立， 故④不正确．
栏目 导引
(3)角的分类 按旋转方向，角可以分为三类：
名称 正角 负角
定义 按__逆__时__针___方向旋转形成的角 按__顺__时__针___方向旋转形成的角
零角 一条射线没有作任何旋转形成的角
第一章 三角函数
图形
栏目 导引
第一章 三角函数
想一想 1.理解角的概念要注意哪几个要素？ 提示：顶点，始边，终边和旋转方向． 做一做 1. 图 中 OA 为 始 边 ， 则 α ＝ ________ ， β ＝ ________.
栏目 导引
3. 如右图，
跟踪训练
第一章 三角函数
(1)终边落在OB位置，且在－360°≤β≤360°内的角β的集合 是________． (2)终边落在阴影部分(含边界)的角的集合是________． (3)终边落在阴影部分(含边界)且在0°≤β≤360°内的角β的 集合是________． (4)终边不落在阴影部分(含边界)的角的集合是________．
第一章 三角函数
典题例证技法归纳
题型探究
题型一 任意角的概念 例1 下列命题： ①第二象限角大于第一象限角； ②小于180°的角是钝角、直角或锐角； ③正角大于负角；
栏目 导引
第一章 三角函数
④相差360°整数倍的两个角，其终边不一定相同． 其中真命题的序号为________(把你认为正确的命题的序号都写上)． 【解析】 ①120°角是第二象限角，390°角是第一象限角， 显然390°>120°，所以①不正确． ②0°角小于180°，但它既不是钝角，也不是直角或锐角， 故②不正确． ③正角、负角是用来表示具有相反意义的旋转量，像正数、 负数的规定一样，正角大于负角，③正确． ④终边相同的两个角一定相差360°的整数倍，反之也成立， 故④不正确．
栏目 导引
(3)角的分类 按旋转方向，角可以分为三类：
名称 正角 负角
定义 按__逆__时__针___方向旋转形成的角 按__顺__时__针___方向旋转形成的角
零角 一条射线没有作任何旋转形成的角
第一章 三角函数
图形
栏目 导引
第一章 三角函数
想一想 1.理解角的概念要注意哪几个要素？ 提示：顶点，始边，终边和旋转方向． 做一做 1. 图 中 OA 为 始 边 ， 则 α ＝ ________ ， β ＝ ________.
栏目 导引
3. 如右图，
跟踪训练
第一章 三角函数
(1)终边落在OB位置，且在－360°≤β≤360°内的角β的集合 是________． (2)终边落在阴影部分(含边界)的角的集合是________． (3)终边落在阴影部分(含边界)且在0°≤β≤360°内的角β的 集合是________． (4)终边不落在阴影部分(含边界)的角的集合是________．
1.1.1任意角PPT优秀课件
150的角与210的角终边相同， 是第三象限角
(3) 99015（3） 360 8945
99015的角与8945的角终边相同，
是第一象限角
反思研究： 如何判断一个给定角所在象限？
只需把它们写成:k3 6 0 (0 3 6 0)即可
变题:已知 与2 4 0 角的终边相同,判断 是第几
136030330,03603030
136030390.
（2）S {| k 3 6 0 2 1 ,k Z }
S中适合360 720的元素是：
03602121,136021339
236021699.
（3）S {| k 3 6 0 3 6 3 1 4 ,k Z }
3.象限角
以角的顶点为坐标原点,角的始边为 x
轴的正半轴,建立平面直角坐标系.这样, 角的 终边(除端点外)在第几象限,就说这个角是第 几象限角.
如果角的终边在坐标轴上,该角不属于 任何象限,习惯上称这个角为轴线角.
4.与角 终边相同的角的集合为：
| k 3 6 0 ,k Z
谢谢各位指导!
85.每一年，我都更加相信生命的浪费是在于：我们没有献出爱，我们没有使用力量，我们表现出自私的谨慎，不去冒险，避开痛苦，也失去了快乐。――[约翰·B·塔布] 86.微笑，昂首阔步，作深呼吸，嘴里哼着歌儿。倘使你不会唱歌，吹吹口哨或用鼻子哼一哼也可。如此一来，你想让自己烦恼都不可能。――[戴尔·卡内基]
（4）与角 终边相同的角的集合：
| k3 6 0 ， k Z
课堂作业：P10
习题1.1
(1)(2)
课后研学:
1.下列各命题:
(1)相等的角终边一定相同;
(2)终边相同的角一定相等;
(3) 99015（3） 360 8945
99015的角与8945的角终边相同，
是第一象限角
反思研究： 如何判断一个给定角所在象限？
只需把它们写成:k3 6 0 (0 3 6 0)即可
变题:已知 与2 4 0 角的终边相同,判断 是第几
136030330,03603030
136030390.
（2）S {| k 3 6 0 2 1 ,k Z }
S中适合360 720的元素是：
03602121,136021339
236021699.
（3）S {| k 3 6 0 3 6 3 1 4 ,k Z }
3.象限角
以角的顶点为坐标原点,角的始边为 x
轴的正半轴,建立平面直角坐标系.这样, 角的 终边(除端点外)在第几象限,就说这个角是第 几象限角.
如果角的终边在坐标轴上,该角不属于 任何象限,习惯上称这个角为轴线角.
4.与角 终边相同的角的集合为：
| k 3 6 0 ,k Z
谢谢各位指导!
85.每一年，我都更加相信生命的浪费是在于：我们没有献出爱，我们没有使用力量，我们表现出自私的谨慎，不去冒险，避开痛苦，也失去了快乐。――[约翰·B·塔布] 86.微笑，昂首阔步，作深呼吸，嘴里哼着歌儿。倘使你不会唱歌，吹吹口哨或用鼻子哼一哼也可。如此一来，你想让自己烦恼都不可能。――[戴尔·卡内基]
（4）与角 终边相同的角的集合：
| k3 6 0 ， k Z
课堂作业：P10
习题1.1
(1)(2)
课后研学:
1.下列各命题:
(1)相等的角终边一定相同;
(2)终边相同的角一定相等;
高中数学必修四：1.1.1《任意角》 PPT课件 图文
精讲领学
例题1 写出与下列各角终边相同的角的集合S，并把S中在 360~720范围的角写出来.
( 1 ) 6 0 ;( 2 ) 2 1 ;( 3 ) 3 6 3 1 4
解: ( 1 ) S {| k 3 6 0 6 0 , k Z }300,60,420
( 2 ) S {| k 3 6 0 2 1 , k Z }21,339,699
2、下列角中终边与330°相同的角是（ ） A．30° B．-30° C．630° D．-630°
3、把－1485°转化为α＋k·360° （0°≤α＜360°, k∈Z）的形式是（ ） A．45°－4×360° B．－45°－4×360° C．－45°－5×360° D．315°－5×360°
反馈固学
1.1.1 任意角
第一课时
（1）推广角的概念；理解并掌握正角、负角、零角的定义； （2）理解任意角以及象限角的概念； （3）掌握所有与角终边相同的角（包括角）的表示方法； （4）树立运动变化观点，深刻理解推广后的角的概念；
思考：那么工人在拧紧或拧松螺丝时，转动的角度 如何表示才比较合适？
逆时 针
4、下列结论中正确的是( ) A.小于90°的角是锐角 B.第二象限的角是钝角 C.相等的角终边一定相同 D.终边相同的角一定相等
5：任意两个角的数量大小可以相加、相减.
例如50°＋80°=130°, 50°－80°=－30°， 你能解释一下这两个式子的几何意义吗？
130°是以50°角的终边为始边，逆时针旋转80°所成的角. －30°是以50°角的终边为始边，顺时针旋转80°所成的角.
注3：(1) 为任意角 (2) k Z这一条件必不可少；
(3) 终边相同的角不一定相等， 终边相等的角有无数多个，它们相差3600的整数倍.
1.1.1任意角赛课获奖课件公开课一等奖课件省赛课获奖课件
注意下列四点：
(1) k Z
(2) 是任意角；
(3) k 3600与之间是“+”号， 如k 3600-30°，应看成 k 3600+(-30°)
(4)终边相似的角不一定相等，但相等 的角，终边一定相似，终边相似的角 有无数多个，它们相差360°的整数倍．
例1. 在0º到360º范畴内，找出与下列各角终边 相似的角，并判断它是哪个象限的角.
例2终边在y轴正半轴上角的集合 ｛β︱β= 900 +k·360°,k∈Z｝
终边在y轴负半轴上角的集合 ｛β︱β= 2700+k·360°,k∈Z｝ 或｛β︱β= -900+k·360°,k∈Z｝
变式训练 写出终边落在y轴上的角的集合。
• 解：终边落在ｙ轴正半轴上的角的集合为
S1={β| β=900+k∙3600,k∈Z}
4.培养学生用运动变化的观点审 视事物;通过与数的类比,理解正 角、负角和零角,让学生感受图 形的对称美、运动美 教学重点: 1.任意角的概念，象限角的概念 2.掌握终边相似的角的表达办法 及鉴定
教学难点: 把终边相似的角用集合和符号语言 对的地表达出来
突破办法：
在平面内建立适宜的坐标系，通过数 形结合来认识角的几何表达和终边相 同的角集合
小结作业
1.角的概念推广后，角的大小能够任意取值. 把角放在直角坐标系中进行研究，对于一种 给定的角，都有唯一的一条终边与之对应， 并使得角含有代数和几何双重意义.
2.终边相似的角有无数个，在0°～360°范畴 内与已知角β终边相似的角有且只有一种. 用 β除以360°，若所得的商为k，余数为α（α 必须是正数），则α即为所找的角.
1.掌握终边相似的角的 表达办法及鉴定 2.注意： 00到900的角； 00～3600的角； 第一象限角；锐角； 不大于900的角的区别
1.1.1任意角 课件(21张)(优秀经典公开课比赛课件)
4. 下列命题：①一个角的终边在第几限， 就说这个角是第几象限的角；
②1400°的角是第四象限的角； ③-300°的角与160°的角的终边相同 ④相等的角的终边一定相同； ⑤终边相同的角一定相等.其中正确命题的
序号是 (1).(2).(4). .
5.在坐标平面内作出下列各角：30°，
390°，-330°;它们是 一 象限的角，
45°＋k·180°<α/2<90°＋k·180°
理论迁移 例1 在0°～360°范围内，找出
与－950°12′角终边相同的角，并判 定它是第几象限角.
129°48′，第二象限角.
例2.写出终边在直线y=x上的角的集合S，并
把S中适合不等式-360°≤ ＜720°的元素
写出来.
S={α|α=45°＋k·180°，k∈Z}. －315°，-135°，45°，225°， 405°，585°.
。 由于月球和太阳的引潮力作用，使水面发生周期性涨落的潮汐现象
伦敦之眼
各种电波
现实世界中的很多运动，变化都有着循环往 复、周而复始的现象。如何用数学的方法来刻画这种 变化规律呢？
本章要学习的三角函数就是刻画这种变化规律的 数学模型。
1.在初中角是如何定义的？
定义1：有公共端点的两条射线00 k 360 240 k 360,k Z} { 160 k 360 120 k 360,k Z}
2、若角、 满足下列条件，
求它们的关系式？
（1）终边关于x轴对称 k 360(k Z) （2）终边关于y轴对称 180 k 360(k Z) （3）终边互为反向延长线 (2k 1)180(k Z)
1.1.1任意角（一）
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因为，-950°12＇与129°48＇终边相同 所以，-950°12＇是第二象限的角
方法二：解：-950°12＇=-1080°+129°48＇ =-3×360°+129°48＇
所以，-950°12＇是第二象限的角
课堂练习
（课本P5第4题） 在0°到360°范围内，找出与下列各角终边相同 的角，并判定它们是第几象限角；
课堂练习
请指出下面的角是第几象限角？
（1）-50° 是第四象限的角 （2）405° 是第一象限的角 （3）210° 是第三象限的角 （4）-200° 是第二象限的角
y
（5）-450°
x 轴线角
o -450°
四、轴线角
如果角的终边落在了坐标轴上，就认为这 个角不属于任何象限，也称非象限角.
你能举例说出其它的轴线角吗？
高中 顶点
终边
角——一条射线绕一个端点从一个位 置旋转到另一个位置所形成的图形
（运动地）始边
二、角的分类
逆时针
顺时针
规定：逆时针转动——正角 顺时针转动——负角 没有转动 ——零角
三、象限角的定义
终边 y o
终边 Ⅰ Ⅱ
Ⅲ Ⅳ
始边 x 其中Ⅰ，Ⅱ，Ⅲ，Ⅳ分别表
示第一，二，三，四象限角
度呢？
一、角的概念
初中
角——一点出发的两条射线所围成
（静止地）
的图形
一、角的概念
新的定义：平面内一条射线绕着端点从一个位置 旋转到另一个位置所成的图形叫做角.
终边
顶 点O
B 始边
A
一、角的概念
初中
角——一点出发的两条射线所围成
（静止地）
的图形
五、终边相同的角
思考： -30°，330°，-390°是第几象限
的角？这些角有什么内在联系？
33 0= 0-300 + 36 0 0 y
-39 0= 0-300 -36 0 0 330°
-300 + k×36 0,k0 ∈ Z
o －32°
x
相差360-3°90°的整-30数° 倍
终思边考相：同与的－角3的0°集角合终：边相同的角有多少个？
所以，1305°是第三象限的角 方法三：在坐标系上画出来
例题讲解
例2.在0°到360°范围内，找出与-950°12＇角终边相同 的角，并判定它是第几象限角；
方法一：解：-950°12＇+360°=-590°12＇ -590°12＇+360°=-230°12＇ -230°12＇+360°=129°48＇
{ } 这些角β β 与= －α 3+ 0k °• 角3 在 数,6 k 量∈ 上Z 0 相差多少？
例题讲解
例1.请判断1305°是第几象限角；
方法一：解：1305°-1080°=225° 因为，1305°与225°终边相同 所以，1305°是第三象限的角
方法二：解：1305°=1080°+225° =3×360°+225°
终边
终边
注意： (1)角的顶点于原点；
(2)始边重合于x轴的非负半轴，
终边落在第几象限就是第几象限角.
课堂练习
请指出下面的角是第几象限角？
（1）-50° （2）405° （3）210° （4）-200°
课堂练习
y
x o
-50°
第四象限角 y
210° x
o
第三象限角
y
x o
405° 第一象限角
y
x o -200° 第二象限角
（1）-54°18＇ （2）395°8＇ （3）-1190°30＇
布置作业
1、预习下一个内容《弧度制》（准备好圆规）； 2、作业本：课本P9习题1.1A组第1题； 3、做在书上：课本P5练习3、5
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方法二：解：-950°12＇=-1080°+129°48＇ =-3×360°+129°48＇
所以，-950°12＇是第二象限的角
课堂练习
（课本P5第4题） 在0°到360°范围内，找出与下列各角终边相同 的角，并判定它们是第几象限角；
课堂练习
请指出下面的角是第几象限角？
（1）-50° 是第四象限的角 （2）405° 是第一象限的角 （3）210° 是第三象限的角 （4）-200° 是第二象限的角
y
（5）-450°
x 轴线角
o -450°
四、轴线角
如果角的终边落在了坐标轴上，就认为这 个角不属于任何象限，也称非象限角.
你能举例说出其它的轴线角吗？
高中 顶点
终边
角——一条射线绕一个端点从一个位 置旋转到另一个位置所形成的图形
（运动地）始边
二、角的分类
逆时针
顺时针
规定：逆时针转动——正角 顺时针转动——负角 没有转动 ——零角
三、象限角的定义
终边 y o
终边 Ⅰ Ⅱ
Ⅲ Ⅳ
始边 x 其中Ⅰ，Ⅱ，Ⅲ，Ⅳ分别表
示第一，二，三，四象限角
度呢？
一、角的概念
初中
角——一点出发的两条射线所围成
（静止地）
的图形
一、角的概念
新的定义：平面内一条射线绕着端点从一个位置 旋转到另一个位置所成的图形叫做角.
终边
顶 点O
B 始边
A
一、角的概念
初中
角——一点出发的两条射线所围成
（静止地）
的图形
五、终边相同的角
思考： -30°，330°，-390°是第几象限
的角？这些角有什么内在联系？
33 0= 0-300 + 36 0 0 y
-39 0= 0-300 -36 0 0 330°
-300 + k×36 0,k0 ∈ Z
o －32°
x
相差360-3°90°的整-30数° 倍
终思边考相：同与的－角3的0°集角合终：边相同的角有多少个？
所以，1305°是第三象限的角 方法三：在坐标系上画出来
例题讲解
例2.在0°到360°范围内，找出与-950°12＇角终边相同 的角，并判定它是第几象限角；
方法一：解：-950°12＇+360°=-590°12＇ -590°12＇+360°=-230°12＇ -230°12＇+360°=129°48＇
{ } 这些角β β 与= －α 3+ 0k °• 角3 在 数,6 k 量∈ 上Z 0 相差多少？
例题讲解
例1.请判断1305°是第几象限角；
方法一：解：1305°-1080°=225° 因为，1305°与225°终边相同 所以，1305°是第三象限的角
方法二：解：1305°=1080°+225° =3×360°+225°
终边
终边
注意： (1)角的顶点于原点；
(2)始边重合于x轴的非负半轴，
终边落在第几象限就是第几象限角.
课堂练习
请指出下面的角是第几象限角？
（1）-50° （2）405° （3）210° （4）-200°
课堂练习
y
x o
-50°
第四象限角 y
210° x
o
第三象限角
y
x o
405° 第一象限角
y
x o -200° 第二象限角
（1）-54°18＇ （2）395°8＇ （3）-1190°30＇
布置作业
1、预习下一个内容《弧度制》（准备好圆规）； 2、作业本：课本P9习题1.1A组第1题； 3、做在书上：课本P5练习3、5
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