2017年秋季高二年级期中考试数学试题

北京101中学2017-2018学年高二下学期期中考试试卷（理）本试卷满分120分，考试时间100分钟一、选择题共8小题。

在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项。

1. 下列导数公式正确的是（ ）A. （x n ）'=nx nB. （x 1）'=21xC. （sinx ） '=-cosxD. （e x ） '=e x 2. 下表是离散型随机变量X 的分布列，则常数a 的值为（ ）X 0 123Pa61 31 41 A.41B.31C.21D.61 3. 抛掷一枚质地均匀的骰子两次，记A={两次的点数均为偶数}，B={两次的点数之和为8}，则P （B|A ）=（ ）A. 181B.121C.31D.92 4. 若⎰-axx 1)1(dx=1-21ln3，且a>1，则a 的值为（ ）A. -3B. 1n3C. 3D. 35. 用数学归纳法证明“l+2+3+…+n 3=236n n +，n ∈N*”，则当n=k+1时，应当在n=k 时对应的等式左边加上（ ）A. k 3+1B. （k 3+1）+（k 3+2）+…+（k+1）3C. （k+1）3D. 2)1()1(36+++k k6. 函数y=e x （x 2-3）的大致图象是（ ）A. B.C. D.7. ①已知：p 3+q 3=2，求证：p+q≤2．用反证法证明时，可假设p+q≥2；②设a 为实数，f （x ）=x 2+ax+a ，求证：|f （1）|与|f （2）|中至少有一个不大于21．用反证法证明时可假设|f （1）|>21或|f （2）|>21．以下说法正确的是（ ） A. ①与②的假设都错误B. ①与②的假设都正确C. ①的假设正确，②的假设错误D. ①的假设错误，②的假设正确 8. 若函数y=f （x ）对任意x ∈（-2π，2π）满足f'（x ）cosx-f （x ）sinx>0，则下列不等式成立的是（ ）A.2f （-4π）<f （-3π） B. 2f （-4π）>f （-3π） C. f （-4π）>2f （-3π） D. f （-4π）<2f （-3π） 二、填空题共6小题。

淮北一中2017-2018学年高二下学期期中考试数学试题（文科）命题人：吴瑞瑞 审题人：王爱华一、 选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一个是符合题目要求的．1．已知集合A={﹣1，0，1，2}，，则A ∩B=（D ）A ．{0，1}B ．{1，2}C ．{﹣1，0}D ．{﹣1，2} 2.已知i 是虚数单位，则复数52ii-的虚部为（ D ） A.2i - B.2- C.2i D.2 3．给出如下四个命题：①若“p 且q ”为假命题，则p 、q 均为假命题；②命题“若a b >,则221a b >-”的否命题为“若,a b ≤则221a b ≤-”； ③“2,11x R x ∀∈+≥否定是“2,11x R x ∃∈+<”； ④在ABC ∆中，“A B >”是“sin sin A B >”的充要条件． 其中正确的命题的个数是(C ) A.1 B.2 C.3 D.4 4.若数列{}n a 满足*1112,(),1nn na a a n N a ++==∈-则该数列的前2017项的乘积是（C ） A.-2 B.-3 C.2 D.12-5．在1，2，3，6这组数据中随机取出三个数，则数字2是这三个不同数字的平均数的概率是（ A ）A ．B ．C ．D ．6．执行如图所示的程序框图，如果运行结果为720，那么判断框中应填入（ C ）A. 6?k <B. 7?k <C. 6?k >D. 7?k >7.如图，四棱锥P ABCD -中，所有棱长均为2，O 是底面正方形ABCD 中心，E 为PC 中点，则直线OE 与直线PD 所成角为(B )A.30 B. 60 C.45 D.908.已知一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积是（ D ） A. 362π+B. 322π++4π+342π++（第7题图） （第8题图 ）9.已知函数()f x 是定义在()0,+∞的可导函数，()'f x 为其导函数，当0x >且1x ≠时，()()2'01f x xf x x +>-，若曲线()y f x =在1x =处的切线的斜率为34-，则()1f =（C ） A.0 B.1 C.38 D.1510.设,x y 满足约束条件110,1x y x x y +≤⎧⎪+≥⎨⎪-≤⎩若目标函数2y z x =+的取值范围[],m n 恰好是函数2sin (0)y x ωω=>的一个单调递增区间，则ω的值为（ C）A. B.2π C.4π D.8π 11.已知12,F F 是双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>的左右焦点，过点2F 与双曲线的一条渐近线平行的直线交双曲线另一条渐近线于点M ，若点M 在以线段12,F F 为直径的圆外，则双曲线离心率的取值范围是（A ）A.(2,)+∞B.C.D.12.对于函数()f x 和()g x ，设{}()0,x R f x α∈∈={}()0,x R g x β∈∈=若存在,αβ使得1αβ-≤，则称()f x 与()g x 互为“零点关联函数”．若函数()12x f x ex-=+-与()23g x x ax a =--+互为“零点关联函数”，则实数a 的取值范围为（C ）A.7,33⎡⎤⎢⎥⎣⎦B.72,3⎡⎤⎢⎥⎣⎦C.[]2,3D.[]2,4二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）13.向量(1,1),(1,2),,a x b x a b =+=-⊥则()()a b a b +⋅-= -15 ． 14.若()ln ln x x f x e a e b -=+为奇函数，则12a b+的最小值为 2．15. 为了了解一片经济林的生长情况，随机抽测了其中60株树木的底部周长（单位：cm ），所得数据均在区间[]80,130上，其频率分布直方图如图所示，则在抽测的60株树木中， 有_____24_ 株树木的底部周长小于100cm ．16.设()sin2cos2f x a x b x ＝＋，其中,,0a b R ab ∈≠. 若()6f x f π⎛⎫≤ ⎪⎝⎭对一切x R ∈恒成立，则①11012f π⎛⎫= ⎪⎝⎭； ② 7125f f ππ⎛⎫⎛⎫< ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭； ③ ()f x 既不是奇函数也不是偶函数； ④ ()f x 的单调递增区间是()2,63k k k Z ππππ⎡⎤++∈⎢⎥⎣⎦； ⑤ 经过点(),a b 的所有直线均与函数()f x 的图象相交．以上结论正确的是_____①②③⑤ _____________（写出所有正确结论的编号）三、解答题（本大题共5小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17.（本题满分12分）在ABC ∆中，内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知C B C C B B cos cos 4)cos sin 3)(cos sin 3(=--．（1）求角A 的大小； （2）若C p B sin sin =，且ABC ∆是锐角三角形，求实数p 的取值范围．18.(本题满分12分)已知等差数列{}na的前n 项和为n S ，数列{}n b 是等比数列，满足11225233,1,10,2.a b b S a b a ==+=-=（1）求数列{}n a 和{}n b 的通项公式；（2）令**2,21(),2()n n nn m m N S c b n m m N ⎧=-∈⎪=⎨⎪=∈⎩ ,设数列{}nc 的前n 项和n T ，求n T .19．（本题满分12分）在四棱锥P﹣ABCD中，AD∥BC，平面PAC⊥平面ABCD，AB=AD=DC=1，∠ABC=∠DCB=60°，E是PC上一点．（Ⅰ）证明：平面EAB⊥平面PAC；（Ⅱ）若△PAC是正三角形，且E是PC中点，求三棱锥A﹣EBC的体积．【解答】证明：（Ⅰ）依题意得四边形ABCD是底角为60°的等腰梯形，…（1分）∴∠BAD=∠ADC=120°..…（2分）∵AD=DC，∴∠DAC=∠DCA=30°．…（3分）∴∠BAC=∠BAD﹣∠DAC=120°﹣30°=90°，即AB⊥AC．…（4分）∵平面PAC⊥平面ABCD，平面PAC∩平面ABCD=AC，∴AB⊥平面PAC，…（5分）又平面AB⊂平面EAB，∴平面EAB ⊥平面PAC ．…（6分）解：（Ⅱ）解法一：由（Ⅰ）及已知得，在Rt △ABC 中，∠ABC=60°，AB=1，∴AC=AB∙tan60°=，BC=2AB=2，且AB ⊥平面PAC ，…（7分）∴AB 是三棱锥B ﹣EAC 的高，正△PAC 的边长为…（8分）∵E 是PC 的中点，∴S △EAC =S △PAC =．…（10分）∴三棱锥A ﹣EBC 的体积为…（12分）（Ⅱ）解法二：过P 作PO ⊥AC 于点O ，∵平面PAC ⊥平面ABCD ，平面PAC ∩平面ABCD=AC ， ∴PO ⊥平面ABC ，过E 作EF ⊥AC 于点F ，同理得EF ⊥平面ABC ， ∴EF 是三棱锥E ﹣ABC 的高，且PO ∥EF ，…（7分） 又E 是PC 中点，∴EF 是△POC 的中位线，故．由（Ⅰ）及已知得，在Rt △ABC 中，∠ABC=60°，AB=1，∴BC=2AB=2，AC=AB∙tan60°=，即正△PAC 的边长为，…（8分）∴PO=，故EF=…（9分） 在Rt △ABC 中，S △ABC =．…（10分）∴三棱锥A ﹣EBC 的体积为…（12分）20.(本题满分12分)设函数()ln(1),f x x mx =+-其中.m R ∈（1）若1,m =求函数()f x 的单调递减区间；（2）求函数()f x 的极值；（3）若函数()f x 在区间20,1e ⎡⎤-⎣⎦上恰有两个零点，求m 的取值范围.【答案】（1）；（2）当时，函数无极值，当时，的极大值为，无极小值；（3）.试题解析：（）依题意，函数的定义域为，当时，，，令，得，解得或，又∵，∴函数的单调递减区间是． （），，当时，恒成立，∴在上单调递增，∴无极值，当时，，∴在上单调递增，在上单调递减，∴，无极小值， 综上所述，当时，函数无极值，当时，的极大值为，无极小值． （）由（）可知，当时，在区间上是增函数，显然，在区间不可能恰有两个零点，当时，，又， ∴为的一个零点，∴若在恰有两个零点，则，即，解得．21．（本题满分12分）已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>的焦距为F ，过原点O 的直线l 与椭圆C 交于,A B 两点，线段AF 的中点为M ，线段BF 的中点为N ，且14OM ON ⋅=.（1）求弦AB 的长； （2）当直线l 的斜率12k =，且直线 //l l '时，l '交椭圆于,,P Q 若点A 在第一象限，求证：直线,AP AQ 与x 轴围成一个等腰三角形．解：（1）由题意可知：2c=2，c=，设F （，0），A （x 0，y 0），B （﹣x 0，﹣y 0），则M （，），N （，﹣），由•==，则x 02+y 02=5，则丨AB 丨=2=2，（2）由直线l 的斜率k=时，且 l′∥l ，则l ：y=x ，设 l′：y=x +m ，y 0=x 0，由x 02+y 02=5，则A （2，1），由c=，代入椭圆方程解得：a=2，c=，∴椭圆的方程：，联立，整理得x2+2mx+2m2﹣4=0，设直线AP，AQ的斜率分别为k1，k2，设P（x1，y1），Q（x2，y2），则k1=，k2=．由x2+2mx+2m2﹣4=0，可得x1+x2=﹣2m，x1x2=2m2﹣4，k1+k2=•=====0．即k1+k2=0．直线AP，AQ与x轴围成一个等腰三角形请考生在22、23两题中任选一题作答.注意：如果多做，按所做的第一题记分. 22．（本题满分10分）选修4-4：坐标系与参数方程已知极点与直角坐标系的原点重合，极轴与x轴的正半轴重合，圆C的极坐标方程为4cosρθ=，直线l的参数方程为325(415x tty t⎧=-+⎪⎪⎨⎪=+⎪⎩为参数）．(1)求直线l和圆C的直角坐标方程；(2)设点(2,1)P,直线l与圆C交于,A B两点，求PA PB⋅的值．【解答】（本小题满分10分）【选修4﹣4：坐标系与参数方程】解：（1）∵直线l 的参数方程为（t 为参数）．∴直线l 的直角坐标方程为，∵圆C 的极坐标方程为ρ=4cosθ，即ρ2=4ρcosθ， ∴圆C 的直角坐标方程为x 2+y 2﹣4x=0．（2）将代入x 2+y 2﹣4x=0，整理得：，∴|PA |•|PB |=|t 1|•|t 2|=|t 1•t 2|=3．23．（本题满分10分）选修4-5：不等式选讲.已知函数()2 1.f x x =+ (1)解不等式()5;f x x >+(2)若对于任意,,x y R ∈有1131,21,46x y y --<+<求证：()1f x <．【解答】（Ⅰ）解：f （x ）＞x +5⇒|2x +1|＞x +5 ⇒2x +1＞x +5或2x +1＜﹣x ﹣5， ∴解集为{x |x ＞4或x ＜﹣2}． （Ⅱ）证明：．。

2017～2018学年第二学期高二年级期中考试数学（理）试卷一、选择题（本大题共12个小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1.在复平面内，复数ii+310对应的点的坐标为( A )A ．)3,1(B ．)1,3(C ．)3,1(-D ．)1,3(-2.已知随机变量ξ服从正态分布),(2σμN ，若15.0)6()2(=>=<ξξP P ，则=<≤)42(ξP （ B ）A ．0.3B ．0.35C ．0.5D ．0.7 3.设)(x f 在定义域内可导，其图象如图所示，则导函数)('x f 的图象可能是（ B ）4.用反证法证明命题：“若0)1)(1)(1(>---c b a ，则c b a ,,中至少有一个大于1”时，下列假设中正确的是( B )A ．假设c b a ,,都大于1B ．假设c b a ,,都不大于1C ．假设c b a ,,至多有一个大于1D ．假设c b a ,,至多有两个大于15.用数学归纳法证明3)12(12)1()1(2122222222+=+++-++-+++n n n n n 时，从)(*N k k n ∈=到1+=k n 时，等式左边应添加的式子是( B )A ．222)1(k k +- B ．22)1(k k ++ C ．2)1(+k D.]1)1(2)[1(312+++k k6.3名志愿者完成4项工作，每人至少1项，每项由1人完成，则不同的安排方式共有（ D ）A ．12种B ．18种C ．24种D ．36种 7.在62)12(xx -的展开式中，含7x 的项的系数是（ D ） A ．60 B ．160 C ．180 D ．2408.函数xe xf x2)(=的导函数是（ C ）A ．xe xf 2'2)(= B ．x e x f x 2'2)(= C ．22')12()(x e x x f x -= D ．22')1()(x e x x f x -=9.已知函数223)(a bx ax x x f +++=在1=x 处的极值为10，则数对),(b a 为（ C ）A ．)3,3(-B ．)4,11(-C ．)11,4(-D ．)3,3(-或)11,4(-10.若等差数列}{n a 公差为d ，前n 项和为n S ，则数列}{n S n 为等差数列，公差为2d.类似，若各项均为正数的等比数列}{n b 公比为q ，前n 项积为n T ，则等比数列}{n n T 公比为( C )A.2q B ．2q C.q D.n q 11.将3颗骰子各掷一次，记事件A 表示“三个点数都不相同”，事件B 表示“至少出现一个3点”，则概率=)|(B A P ( C )A.21691 B.185 C.9160 D.2112.定义在R 上的偶函数)(x f 的导函数为)('x f ，若对任意实数x ，都有2)()(2'<+x xf x f 恒成立，则使1)1()(22-<-x f x f x 成立的实数x 的取值范围为（ B ）A ．}1|{±≠x xB ．),1()1,(+∞--∞C ．)1,1(-D ．)1,0()0,1( - 二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）13.设),(~p n B ξ，若有4)(,12)(==ξξD E ，则=p 2/3 14.若函数32)1(21)(2'+--=x x f x f ，则=-)1('f -1 15.如图所示，阴影部分的面积是 32/316.已知函数)(x f 的定义域为]5,1[-，部分对应值如下表，)(x f 的导函数)('x f y =的图象如图所示，给出关于)(x f 的下列命题：②函数)(x f 在]1,0[是减函数，在]2,1[是增函数； ③当21<<a 时，函数a x f y -=)(有4个零点；④如果当],1[t x -∈时，)(x f 的最大值是2，那么t 的最小值为0． 其中所有正确命题是 ①③④ （写出正确命题的序号）．三、解答题（本大题共6小题，共70分） 17.（本小题满分10分）设复数i m m m m z )23()32(22+++--=，试求实数m 的取值，使得 （1）z 是纯虚数； （2）z 对应的点位于复平面的第二象限． 解：（1）复数是一个纯虚数，实部等于零而虚部不等于0分5302303222 =∴⎪⎩⎪⎨⎧≠++=--m m m m m （2）当复数对应的点在第二象限时，分103102303222<<-∴⎪⎩⎪⎨⎧>++<--m m m m m 18.（本小题满分12分) 在数列}{n a 中，已知)(13,2*11N n a a a a n nn ∈+==+（1）计算432,,a a a 的值，并猜想出}{n a 的通项公式； （2）请用数学归纳法证明你的猜想． 解：（1）72123213112=+⨯=+=a a a ,19213,132********=+==+=a a a a a a于是猜想出分5562-=n a n （2）①当1=n 时，显然成立；②假设当)(*N k k n ∈=时，猜想成立，即562-=k a k 则当1+=k n 时，5)1(6216215623562131-+=+=+-⨯-=+=+k k k k a a a k k k ， 即当1+=k n 时猜想也成立． 综合①②可知对于一切分12562,*-=∈n a N n n 19.（本小题满分12分)“莞马”活动中的α机器人一度成为新闻热点，为检测其质量，从一生产流水线上抽取20件该产品，其中合格产品有15件，不合格的产品有5件.（1）现从这20件产品中任意抽取2件，记不合格的产品数为X ，求X 的分布列及数学期望； （2）用频率估计概率，现从流水线中任意抽取三个机器人，记ξ为合格机器人与不合格机器人的件数差的绝对值，求ξ的分布列及数学期望． 解：（1）随机变量X 的可能取值为0,1,23821)0(22021505===C C C X P ，3815)1(22011515===C C C X P ， 191)2(22001525===C C C X P , 所以随机变量X 的分布列为：分62192381380 =⨯+⨯+⨯=∴EX（2）合格机器人的件数可能是0,1,2,3，相应的不合格机器人的件数为3,2,1,0.所以ξ的可能取值为1,3，有题意知：1122213331319(1)()()()()444416P C C ξ==+=，3333331317(3)()()()()444416P C C ξ==+= 所以随机变量ξ的分布列为：分128163161)( =⨯+⨯=∴ξE 20.（本小题满分12分)编号为5,4,3,2,1的五位学生随意入座编号为5,4,3,2,1的五个座位，每位学生坐一个座位．设与座位编号相同的学生人数是X .(1)试求恰好有3个学生与座位编号相同的概率)3(=X P ； (2)求随机变量X 的分布列及均值．解：(1)恰好有3个学生与座位编号相同，这时另两个学生与座位编号不同，所以分412112010)3(5525 ====A C X P(2)随机变量X 的一切可能值为0,1,2,3,4,5. 且121)3(,00)4(,120112011)5(5555=========X P A X P A X P ； 83120459)1(,61120202)2(55155525========A C X P A C X P301112044)]5()4()3()2()1([1)0(===+=+=+=+=-==X P X P X P X P X P X P 随机变量X 的分布列为故分1211205041236281300)( =⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=X E 21.（本小题满分12分)已知函数)(ln )(R a x ax x f ∈+=（1）若2=a ，求曲线)(x f y =在1=x 处的切线方程； （2）求)(x f 的单调区间；（3）设22)(2+-=x x x g ，若对任意),0(1+∞∈x ，均存在]1,0[2∈x ，使得)()(21x g x f <，求a 的取值范围． 解：（1）2),0(1)('=>+=a x x a x f )0(12)('>+=∴x xx f ， 3)1('=∴f ， 3=∴k又切点)2,1(，所以切线方程为)1(32-=-x y ，即：013=--y x 故曲线)(x f y =在1=x 处切线的切线方程为分4013 =--y x（2）)0(11)('>+=+=x xax x a x f ①当0≥a 时，0)('>x f ，所以)(x f 的单调递增区间为分6),0( +∞②当0<a 时，由0)('=x f ，得ax 1-= 在区间)1,0(a -上0)('>x f ，在区间),1(+∞-a上，0)('<x f . 所以，函数)(x f 的单调递增区间为)1,0(a -，单调递减区间为分8),1( +∞-a（3）由已知，转化为]1,0[,1)1()(,)()(2max max ∈+-=<x x x g x g x f ，2)(max =∴x g 由（2）知，当0≥a 时，)(x f 在),0(+∞上单调递增，值域为R ，故不符合题意． （或者举出反例：存在23)(33>+=ae e f ，故不符合题意．）当0<a 时，)(x f 在)1,0(a -上单调递增，在),1(+∞-a上单调递减， 故)(x f 的极大值即为最大值，)ln(1)1()(max a af x f ---=-=， 所以2)ln(1<---a ，解得31e a -< 综上：分1213 ea -< 22.（本小题满分12分) 已知函数2()ln(1)f x ax x =++ （1）当14a =-时，求函数()f x 的极值； （2）若函数()f x 在区间[1)+∞，上为减函数，求实数a 的取值范围 （3）当[0)x ∈+∞，时，不等式()f x x ≤恒成立，求实数a 的取值范围. 解：（1）)1()1(2)1)(2(1121)('->+-+-=++-=x x x x x x x f 令0)('>x f 得11<<-x ，令0)('<x f 得1>x .)(x f ∴在)1,1(-上是增函数，在),1(+∞上是减函数. 2ln 41)1()(+-==∴f x f 极大值，)(x f 无极小值分4（2）因为函数)(x f 在区间[1)+∞，上为减函数， 所以0112)('≤++=x ax x f 对任意的),1[+∞∈x 恒成立， 即)1(21+-≤x x a 对任意的),1[+∞∈x 恒成立，4121)211(2121)21(21)1(2122-=-+-≥-+-=+-x x x分841-≤∴a（3）因为当[0)x ∈+∞，时，不等式()f x x ≤恒成立， 即0)1ln(2≤-++x x ax 恒成立，令)0()1ln()(2≥-++=x x x ax x g ， 转化为0)(max ≤x g 即可.1)]12(2[1112)('+-+=-++=x a ax x x ax x g 当0=a 时，1)('+-=x x x g ，0>x ，0)('<∴x g 即)(x g 在),0[+∞上单调递减，故0)0()(=≤g x g 成立. 当0>a 时，令0)('=x g 得，0=x 或121-=ax 若0121≤-a 即21≥a 时，),0(+∞∈x 有0)('>x g ， 则)(x g 在),0[+∞上单调递增，0)0()(=≥g x g ，不满足题设； 若0121>-a 即210<<a 时，)121,0(-∈a x 有0)('<x g ，),121(+∞-∈ax 有0)('>x g ， 则)(x g 在)121,0(-a 上单调递减，在),121(+∞-a上单调递增，无最大值，不满足题设； 当0<a 时，0>x ，0)('<∴x g即)(x g 在),0[+∞上单调递减，故0)0()(=≤g x g 成立. 综上：实数a 的取值范围为分12]0,( -∞。

省市2016-2017学年高二数学下学期期中试题 理一、选择题（每小题5分，共60分，各题均只有一个正确答案）1. 已知随机变量ξ服从正态分布N(1，2σ)，且P(ξ<2)=0.8, 则P(0<ξ<1)=( )A. 0.6B. 0.4C. 0.3D. 0.22. 如图,阴影部分的面积等于( )A. 23B. 23-C.323D.3533. 已知2nx x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭的展开式中只有第四项的二项式系数最大，则展开式中的常数项等于( )A ．15B ．30C ．45D ．604. 曲线sin 1sin cos 2x y x x =-+在点M(,04π)处的切线斜率为( )A. 12B. 22C. 1D.25. 甲、乙两支排球队进行比赛，约定先胜3局者获得比赛的胜利，比赛随即结束.除第五局甲队获胜的概率是12外，其余每局比赛甲队获胜的概率都是23.假设各局比赛结果相互独立.则甲队以3：2获得比赛胜利的概率为 ( )A.281B. 427C. 827D.16816. 某产品近四年的广告费x 万元与销售额y 万元的统计数据如下表，根据此表可得回归方程ˆˆˆy bx a =+中的ˆb=9.4，据此模型预测下一年该产品广告费预算为60万元时，其销售额为( )万元.A. 650B. 655C. 677D. 7207. 随机变量ξ的取值为0，1，2，若1P(0)=5ξ=，=1E()ξ期望，则方差D =( )ξ（） A.15B.25C. 5D. 258. 袋子中装有大小相同的八个小球，其中白球五个，分别编号1、2、3、4、5；红球三个，分别编号1、2、3，现从袋子中任取三个小球，它们的最大编号为随机变量X ，则P (X =3)等于 ( )A.528 B. 17 C. 1556D. 279. 定义在R 上的可导函数()f x ，其导函数为'()f x 满足'()2f x x >恒成立，则不等式x 40203050y 490 260 390 540(4)8()16f x x f x -+<+的解集为（ ）A. (2,)+∞B. (4,)+∞C. (,2)-∞D. (,4)-∞10. 将三颗骰子各掷一次，记事件A ＝“三个点数都不同”，B ＝“至少出现一个６点”，则条件概率()P A B ，()P B A 分别等于( )A.6091，12B.12，6091C.2091，12D.12，209111. 已知函数()(ln )f x x x ax =-有两个极值点，则实数a 的取值围是（ ）A. 1(,)2-∞B. 1(0,)2C. (0,1)D. (,1)-∞12. 已知曲线y ＝x 2+1在点P 200(+1)x ,x 处的切线为l ，若l 也与函数ln ,(0,1)y x x =∈的图象相切，则x 0满足( ) （其中 2.71828...e =）A. 012x <<B. 02x e <<C. 03e x <<D. 032x <<二、填空题 （每小题5分，共20分）13. 已知121(11),a x dx -=+-⎰则93()2a x x π⎛⎫-- ⎪⎝⎭展开式中的各项系数和为14．若322()7f x x ax bx a a =++--在x =1处取得极大值10，则b a的值为 .15. 现需建造一个容积为V 的圆柱形铁桶，它的盖子用铝合金材料，已知单位面积的铝合金的价格是铁的3倍。

衢州四校2017学年第一学期高二年级期中联考数 学 试 题 卷命题人：龙游中学 张飞熊 周兆明 审校：邵志成本试题卷分选择题和非选择题两部分，满分150分，考试时间120分钟。

注意事项：1. 答题前，考生务必将自己的姓名、准考证号用黑色字迹的签字笔或钢笔分别填写在答题纸规定的位置上。

2. 答题时，请按答题纸上的注意事项的要求，在答题纸相应的位置上规范作答，在本试题卷上的作答一律无效。

参考公式：球的表面积公式 锥体的体积公式24S R =π13V Sh =球的体积公式 其中S 表示棱锥的底面面积，h 表示棱锥的高 343V R =π台体的体积公式其中R 表示球的半径 1()3a b V h S S =柱体的体积公式 其中S a ，S b 分别表示台体的上、下底面积 V =Shh 表示台体的高其中S 表示棱柱的底面面积，h 表示棱柱的高选择题部分 共40分一、选择题（本大题共10小题，每小题4分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.）1. 不等式22530x x --<成立的充要条件是（ ） A ．102x -<< B.132x -<< C.132x -<< D.16x -<< 2. 已知直线0(0,0)Ax By C AB BC ++=>>，则直线不经过（ ）A ．第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限3. 已知圆2221:(1)(3)(0)C x y r r -++=>和圆222:16C x y +=，则圆1C 与圆2C 的位置关系中不可能的是（ ）A ．相切 B.相交 C.内含 D.外离4. 已知各顶点都在一个球面上的正四棱柱（底面是正方形且侧棱垂直于底面的四棱柱）高为2，体积为8， 则这个球的体积是（ ） A 3π B.43π C.433D.123π 5. 用一个平行于圆锥底面的平面截圆锥，截得的圆台上、下底面的半径分别为2cm 、5cm ，圆台的母线长 为9cm ，则圆锥的母线长为（ ） A ．15cm B.9cm C.6cm D.185km 6. 已知命题：①若22ac bc >，则a b >；②“若3b =，则29b =”的逆否命题；③“若,a b 是偶数，则a b +是偶数”的逆命题；④“若1x =，则220x x +-=”的否命题.其中真命题的个数有（ ）A ．0 B.1 C.2 D.3 7. 设,αβ是两个不同的平面，l 是空间的一条直线，则下列命题正确的是（ ） A ．若,⊥⊥l ααβ，则//l β B.若//,//l ααβ，则//l β C ．若,//⊥l ααβ，则⊥l β D.若//,⊥l ααβ，则⊥l β8. 在ABC ∆中，5,6,AB AC BC PA ===⊥平面,8ABC PA =，则P 到BC 的距离是（ ） A 52535 D.459. 如图，平面α⊥平面β，,,A B AB αβ∈∈与,αβ所成的 角分别为45,30，过,A B 分别作两平面交线的垂线，垂足 分别为11,A B ，则11:A B AB 等于（ ）A ．1:2 B.1:3 C.2:3 D.3:410.椭圆22221(0)x y a b a b +=>>的两焦点12(,0),(,0)F c F c -，P 为直线2a y c=上一点，1F P 的垂直平分线恰过点2F ，则椭圆的离心率的取值范围是（ ） A ．2[,1)2 B.3[ C.3 D.2(0,2非选择题部分 共110分二、填空题（本大题共7小题，多空题每题6分，单空题每题4分，共36分） 11.在直观图（如图）中，四边形''''O A B C 为菱形且边长为2cm ， 则在xoy 坐标系中，四边形ABCO 周长为 cm ， 面积为 cm 2.12.已知12,F F 是椭圆22143x y +=的左、右焦点，过1F 的直线交椭圆于,A B 两点，则该椭圆的离心率是，2ABF ∆的周长是 . 13.已知三棱锥的三视图如图所示，则该几何体的体积为 ，它的外接球的表面积为 . 14.过点(3,2)P 的直线l 与,x y 的正半轴分别交于,A B 两点，O 为坐标原点，则ΔAOB 面积的最小值为 ，此时两截距之和为 .15.如图，正方体''''-ABCD A B C D 的棱长为a ，连接'',',',,','A C A D A B BD BC C D 得到一个三棱锥， 则三棱锥''-A BC D 的高是 .16.有六根细木棒，其中较长的两根分别为5cm ，4cm ，其余四根均 为3cm ，用它们拼成一个三棱锥，则其中较长的棱所在直线的 夹角的正弦值为 .17.已知(0,1)A ，(1,0)B ，(,0)C t ，点D 在直线AC 上，若 ||2|AD BD ≤恒成立，则t 的取值范围是 .三、解答题（本大题共5小题，共74分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）18.（本题满分14分）已知ABC ∆的顶点(5,1)A ，AB 边上的中线CM 所在直线方程为250x y --=，AC 边上的高BH 所在直线方程为250x y --=.求：（I ）顶点C 的坐标； （II ）直线BC 的方程.19.（本题满分15分）如图，在四棱锥-P ABCD 中，底面ABCD 是正方形，侧面PAD 为正三角形，平面⊥PAD 平面ABCD ，E 为PC 中点，F 为AC 与BD 的交点. （I ）求证：//EF 平面PAD ； （II ）求直线EF 与PB 所成的角.20.（本题满分15分）已知圆C 过点(3,1)A ，(2,2)B 且圆心在直线20x y -=上. （I ）求圆C 的方程；（II ）直线l 过点(4,3)P --且被圆C 截得弦长||8AB =，求直线l 的方程；（III ）过圆C 外一动点M 作圆C 的两条互相垂直的切线，切点为,E F ，求EF 的中点轨迹方程.21.（本题满分15分）如图，正方形123SG G G 的边长为2，,E F 分别为1223,G G G G 的中点，现沿,SE SF及EF 把正方形折成一个四面体，使123,,G G G 三点重合于一点G . （I ）求证：⊥SG 平面EFG ；（II ）求二面角--G EF S 的余弦值；（III ）求直线GE 与平面SEF 所成角的余弦值.22.（本题满分15分）已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b +=>>66)P 在椭圆上.（I ）求椭圆C 的方程； （II ）若圆：2234x y +=的切线l 交椭圆C 于,A B 两点，求||AB 的最大值.衢州四校2017学年第一学期高二年级期中联考数 学 参 考 答 案一、选择题：本大题共10小题，每小题4分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．二、填空题：本题共7小题，多空题每题6分，单空题每题4分， 共36分. 11. 12，8 12.21，8 13. 63，π4 14. 12，1015.a 332 16. 5317. (,0]-∞ 三、解答题：本大题共5小题，共74分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 18．解：（Ⅰ）由题意，得直线AC 的方程为0112=-+y x …………4分解方程组⎩⎨⎧=-+=--0112052y x y x ，得)3,4(C ……… 7分（Ⅱ）设),(00y x B ，则)21,25(00++y x M . 于是有 0521500=-+-+y x ，即01200=--y x 解方程组⎩⎨⎧=--=--0520120000y x y x ，得)3,1(--B ……… 12分直线BC 的方程为：6590x y --=……………………14分 19. 解：（Ⅰ）F E , 分别是AC PC ,的中点 PA EF ||∴PAD EF PAD EF 平面平面⊄⊂, ∴ EF ||平面PAD ……… 7分（Ⅱ）PA EF ||∴ APB ∠是直线EF 与PB 所成的角平面⊥PAD 平面ABCDAD AB ⊥ ⊂AB 平面ABCD ∴ ⊥AB 平面PAD∴ ⊥AB PA侧面PAD 为正三角形，底面ABCD 是正方形∴ PA AB =∴ ︒=∠45APB直线EF 与PB 所成的角为︒45 ……… 15分20. 解：（Ⅰ）设圆心C ),(b a ，半径为r 则⎪⎩⎪⎨⎧=-=-+-=-+-02)1()3()2()2(222222b a r b a r b a 解得 5,2,1=-=-=r b a∴ 圆C 的方程 25)2()1(22=+++y x ……… 5分 （Ⅱ）设直线l 方程 )4(3+=+x k y 即 034=-+-k y kx 由 82||22=-=d r AB 得 3=d则 31|13|2=+-=k k d 得 34-=k直线方程为 02534=++y x若直线l 的斜率不存在，方程为4-=x 也符合条件故 直线l 的方程 02534=++y x 或 4-=x ……… 10分 (III)由已知得 四边形MECF 为正方形，边长为5 EF 的中点为正方形的中心H ，且225||=HC EF 的中点轨迹方程 225)2()1(22=+++y x ……… 15分21. 解：（Ⅰ） G GF GE GF SG GE SG =⊥⊥ ,, ∴ ⊥SG 平面EFG ； ……… 5分 （Ⅱ） F E ,分别3221,G G G G 的中点 ∴ GF GE SF SE ==, 取EF 的中点D ，连接SD,GD ∴ EF GD EF SD ⊥⊥,∴ GDS ∠是二面角S EF G --的平面角正方形321G G SG 的边长为2 ∴ 2,223,22,2====SG SD GD EF 由（Ⅰ）知 SGD ∆是∆Rt ，则31cos ==∠SD GD SDG 故 二面角S EF G --的余弦值为31……… 10分 (III)作SD GO ⊥交于点O ，连接OE 由（Ⅱ）知 ⊥EF 平面SGD ∴ EF GO ⊥ ∴ ⊥GO 平面SEF∴ GEO ∠是直线GE 与平面SEF 所成角在GOD Rt ∆中，31cos ==∠GD OD ODG∴ 3222=-=OD GD OGGOE Rt ∆中，32sin ==∠GE GO GEO ∴ 35cos =∠GEO 故 直线GE 与平面SEF 所成角的余弦值为35……… 15分 22. 解：（Ⅰ）由已知得 ⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧+===+22222361321c b a a cb a 得⎩⎨⎧==1322b a ∴ 椭圆C 的方程为 1322=+y x ……… 6分（Ⅱ）当直线l x ⊥轴时，3||=AB设切线l 方程 m kx y +=，原点到直线l 的距离为23，则231||2=+k m 得 )1(4322+=k m由 ⎩⎨⎧+==+mkx y y x 3322 得 0336)13(222=-+++m kmx x k设),(),,(2211y x B y x A 则 13)1(3,1362221221+-=+-=+k m x x k km x x ∴ ]4))[(1(||2122122x x x x k AB -++=⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡+--⎪⎭⎫ ⎝⎛+-+=13)1(34136)1(22222k m k km k 13)13)(1(122222+-++=k m k k )0(461912322≠≤+++=k kk 当且仅当33±=k 时，2||=AB 当0=k 时，3||=AB故 ||AB 的最大值为2 ……… 15分。

2017-2018学年第一学期高二数学期中试卷2017.11一、填空题: 本大题共14小题，每小题5分，共计70分. 请把答案直接填写在答题卡相应位置上．．．．．．．．.1． 10y ++=的倾斜角是 ▲ ．2． 在空间，没有公共点的两条直线的位置关系为 ▲ .3． 已知圆锥的母线长为2，高为3，则该圆锥的侧面积是 ▲ ．4． 两平行直线01243=-+y x 与01186=++y x 之间的距离是 ▲ .5． 圆422=+y x 与圆0124422=-+-+y x y x 的公共弦所在的直线方程为 ▲ .6． 设,αβ为互不重合的平面，,m n 是互不重合的直线，给出下列四个命题：①//,,//m n n m αα⊂若则②,,//////m n m n ααββαβ⊂⊂若，，则③//,,//m n m n αβαβ⊂⊂若，则④若,,,,m n n m n αβαβαβ⊥⋂=⊂⊥⊥则；其中正确命题的序号为 ▲ ．7． 若无论a 取何值，直线0)1()2(=++++a y a x a 始终平分半径为2的圆 C ，则圆C 的标准方程为 ▲ .8． 如右图所示，在正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，M ，N 分别是棱AA 1和AB 上的点，若∠B 1MN 是直角，则∠C 1MN 等于 ▲ ．9． 已知三条直线40,235ax y x y ++=+=和23x y -=中任意两条都不平行，且不能构成三角形，则实数a 的值为 ▲ ．10．过点1(,1)2P 的直线l 与圆22:(1)4C x y -+=交于A,B 两点,当ACB ∠最小时,直线l 的方程为 ▲ .11．下列四个正方体图形中，A ，B 为正方体的两个顶点，M ，N ，P 分别为其所在棱的中点， 能得出AB ∥平面MNP 的图形的序号是 ▲ ．12．在平面直角坐标系xOy 中，过点()2,0P-的直线与圆221x y +=相切于点T ，与圆()(223x a y -+=相交于点,R S ，且PT RS =，则正数a 的值为 ▲ ．13．设集合(){}()(){}1,,4,2+-==-==b x k y y x B x y y x A ，若对任意10≤≤k 都有 φ≠B A ，则实数b 的取值范围是 ▲ .14．在平面直角坐标xoy 中，设圆M 的半径为1，圆心在直线2x −y −4=0上，若圆M 上存在点N ，使NO = 12NA ，其中O (0，0)、A (0，3)，则圆心M 的横坐标a 的取值范围为 ▲ ．二、解答题：本大题共6小题，共计90分．请在答题纸指定区域．．．．．．．内作答，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.15．（本小题满分14分）在平面直角坐标系xOy 中，已知点()1,2-A ，直线032:=--y x l .(1) 若直线m 过点A ，且与直线l 垂直，求直线m 的方程；(2) 若直线n 与直线l 平行，且在x 轴、y 轴上的截距之和为3，求直线n 的方程.16．（本小题满分14分）如图，在五面体ABCDEF 中，四边形ABCD 是平行四边形.(1) 若AE AB AE CF ⊥⊥,，求证： ⊥AE EF ；(2) 求证：//EF 平面ABCD .17．（本小题满分14分） F E D C BA如图，四棱锥P −ABCD 中，底面ABCD 为菱形，∠DAB =60°，平面PCD ⊥底面ABCD ， E 是AB 的中点，G 为P A 上的一点．(1) 求证：平面GDE ⊥平面PCD ；(2) 若PC ∥平面DGE ，求PG GA的值．P A BC D E G18．（本小题满分16分）已知关于y x ,的方程04222=+--+m y x y x 表示圆C .(1) 求实数m 的取值范围；(2) 若圆C 上恰有三个点到直线0443:=++y x l 的距离为1，求实数m 的值;(3) 若从点)1,3(P 射出的光线，经x 轴于点)0,53(Q 处反射后与圆相切，求圆的方程.19．（本小题满分16分）已知圆()222:2(0)M x y r r +-=>与曲线()():23430C y x y --+=有三个不同的 交点.(1) 求圆M 的方程；(2) 已知点Q 是x 轴上的动点， QA ， QB 分别切圆M 于A ， B 两点.① 若3AB =，求MQ 及直线MQ 的方程；② 求证：直线AB 恒过定点.20．（本小题满分16分）已知圆08:221=+++F x y x C ，028322:=+++y x l ，若直线l 被圆1C 截得 的弦长为32．(1) 求圆1C 的方程； (2) 设圆1C 和x 轴相交于A 、B 两点，点P 为圆1C 上不同于A 、B 的任意一点，直线PA 、PB 交y 轴于M 、N 点．当点P 变化时，以MN 为直径的圆2C 是否经过圆1C 内一定点？请证明你的结论；(3) 若RST ∆的顶点R 在直线1x =-上，S 、T 在圆1C 上，且直线RS 过圆心1C ，030SRT ∠=，求点R 的纵坐标的范围．高二数学期中试卷参考答案2017.11 1.32π 2.平行或异面 3.π2 4.27 5.02=+-y x 6.④ 7.()()42122=++-y x 8.090 9.718-10.0342=+-y x 11.①④ 12.4 13.[]3,221- 14.⎥⎦⎤⎢⎣⎡512,0 15.解：（1）∵直线m 与直线l 垂直 ∴设直线m 的方程为02=++b y x ………………………………2分 ∵直线m 过点()1,2-A∴0=b∴直线m 的方程为02=+y x ………………………………7分（2）∵直线n 与直线l 平行∴设直线n 的方程为02=+-t y x ………………………………9分 令0=x ，则t y =令0=y ，则2t x -= ………………………………11分 ∴32=-t t ∴6=t∴直线n 的方程为062=+-y x ………………………………14分16.证明：（1）∵四边形ABCD 是平行四边形 ∴AB//CD ，又∵AB ⊥AE ，∴AE ⊥CD ………………………………4分 又∵AE ⊥CF ，CD ∩CF=C ，CD 、CF ⊂平面CDEF ，∴AE ⊥平面CDEF ………………………………6分 又∵EF ⊂平面CDEF ，∴⊥AE EF ………………………………7分（2）∵四边形ABCD 是平行四边形 ∴AB//CD又∵AB ⊄平面CDEF ，CD ⊂平面CDEF ，∴AB//平面CDEF …………………10分 又∵AB ⊂平面ABFE ，平面ABFE ∩平面CDEF=EF ，∴AB//EF …………………12分 又∵EF ⊄平面ABCD ，AB ⊂平面ABCD ，∴EF//平面ABCD. …………………14分17.（1）证明：菱形ABCD 中，∠DAB =60°∴△ADB 是正三角形，又E 是AB 的中点 ∴DE ⊥AB∵AB ∥DC DE CD ∴⊥， …………………2分 平面PCD ⊥底面ABCD ，平面PCD ∩底面ABCD CD =，DE ABCD ⊂，DE ∴⊥平面PCD ， ………………6分 又DE GED ⊂平面,∴平面GDE ⊥平面PCD ； ………………8分（2）解：连接AC ，交DE 于H ，连接GH ，则//PC 平面DGE ，,PC PAC ⊂平面平面PCA ∩平面GDE GH =，//PC GH ∴， ………………12分 2===AEDC HA CH GA PG . ………………14分18.解：（1）若此方程表示圆，由0422>-+F E D 得04164>-+m ，………………………2分 解得5<m ，即5<m 时，此方程表示圆. ………………………4分（2）点)2,1(C 到直线0443:=++y x l 的距离为3169483=+++=d …………7分则圆C 半径为4=r ∴1145-=⇒=-m m ………………10分（3）P 关于x 轴的对称点为)1,3(-'P ，由对称知直线Q P '与圆相切.由)1,3(-'P 与)0,53(Q 得直线Q P '的方程为03125=-+y x …………………12分 圆心)2,1(C 到直线Q P '距离为2125324522=+-+=d …………………14分直线Q P '与圆相切，r d =∴，即m -=52，解得1=m所以圆的方程为4)2()1(22=-+-y x …………………16分19. 解：（1）因为直线3430x y -+=与圆M 相切， ………………………1分 故圆心()0,2到直线的距离为r ，即：835r -+=， 1r =. 所以圆的方程为()2221x y +-=. ………………………4分（2）①设直线MQ ， AB 交于点P，则AP =， 又1AM =，所以13MP ==， 而2AM MP MQ =，所以3MQ =， ………………………7分设()0,0Q x ，而点()0,2M3=，0x =则)Q或()Q ，从而直线MQ 的方程为：20x +-=或20x +=. ………………………10分 ②证明：设点(),0Q q ，由几何性质可以知道， A ， B 在以MQ 为直径的圆上， 此圆的方程为2220x y qx y +--=， AB 为两圆的公共弦，两圆方程相减得230qx y -+=， 即3:22q AB y x =+， ………………………13分 所以过定点30,2⎛⎫ ⎪⎝⎭. ………………………16分20.解：(1)圆F y x C -=++16)4(:221 F -=++-+16)328328(32 ，12=F ∴圆1C 的方程为()4422=++y x …………………4分 (2)设)0)(,(000≠y y x P ，则4)4(2020=++y x ∴600+=x y k PA 则)6(6:00++=x x y y l PA ，M )66,0(00+x y ∴则)2(2:00++=x x y y l PB ，N )22,0(00+x y 圆2C 的方程为20000200002)22266()22266(+-+=+++-+x y x y x y x y y x …………………6分 化简的012)2266(000022=-+++-+y x y x y y x …………………8分 令0=y ，得32±=x 又点()0,32-在圆1C 内 所以当点P 变化时，以MN 为直径的圆2C 经过圆1C 内一定点)0,32(-……………10分(3)设(1,)R t -，作1C H RT ⊥于H ，设1C H d =，由于0130C RH ∠=，12RC d ∴=， …………………12分由题得2d ≤，14RC ∴≤4≤，t ≤≤，∴点A 的纵坐标的范围为⎡⎣ …………………16分。

山东省济宁市微山一中、邹城一中20172018学年高二下学期期中考试数学（理）试第Ⅰ卷（共60分）一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.若复数()2zi i =+，则其虚部为（ ）A ．1B ．2C ．2D ．2i 2.设函数()()2017ln f x x x =+（e 为自然对数的底数）.若()0'2018f x =，则0x =（ ）A ．eB ．2e C ．ln 2 D ．13.已知①正方形的对角线相等；②平行四边形的对角线相等；③正方形是平行四边形. ①、②、③组合成“三段论”.根据“三段论”推理出一个结论，则这个结论是（ ） A ．正方形是平行四边形 B ．平行四边形的对角线相等 C ．正方形的对角线相等 D ．以上均不正确4.函数()f x 的定义域为开区间(),a b ，其导函数()'f x 在(),a b 内的图象如图所示，则函数()f x 在开区间(),a b 内有极小值点（ ）A ．1个B ．2个 C. 3个 D ．4个 5.利用数学归纳法证明不等式()()*1111112,23421n f n n n N -+++++<≥∈+的过程中，由n k =变到1n k =+时，左边增加了（ ） A ．1项 B ．k 项 C.12k -项 D ．2k项6.给出下列两个论断：①已知：332p q +=，求证：2p q +≤；用反证法证明时，可假设2p q +>.②设a 为实数，()2f x x ax a =++，求证：()1f 与()2f 中至少有一个不小于12；用反证法证明时可假设()112f ≥且()122f ≥.以下说法正确的是（ ） A ．①与②的假设都错误 B ．①与②的假设都正确 C. ①的假设正确，②的假设错误 D ．①的假设错误，②的假设正确 7.下列类比推理中，得到的结论正确的是（ ）A ．把长方体与正方体类比，则有长方体的对角线平方等于长、宽、高的平方和B ．把()log ax y +与()a b c +类比，则有()log log log a a a x y x y +=+C. 向量a ，b 的数量积运算与实数a ，b 的运算性质ab a b=类比，则有a b a b =D ．把()na b +与()nab 类比，则有()nn n a b a b +=+8.函数()()21x f x x e =-（e 为自然对数的底数）的递增区间为（ ）A ．(),-∞+∞ B ．1,2⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭ C.1,2⎛⎫-∞- ⎪⎝⎭ D ．1,2⎛⎫-+∞ ⎪⎝⎭9.如图所示，阴影部分的面积为（ ）A ．76 B ．1 C.23 D ．1210.函数()321343f x x x x =+--在[]0,2上的最小值是（ ） A ．173-B ．103- C.4- D ．1- 11.2018年4月我市事业编招考笔试成绩公布后，甲、乙、丙、丁四位同学同时报考了教育类的高中数学职位，他们的成绩有如下关系：甲、乙的成绩之和与丙、丁成绩之和相同，乙、丁成绩之和大于甲、丙成绩之和，甲的成绩大于乙、丙成绩之和.那么四人的成绩最高的是（ ）A ．甲B ．乙 C. 丙 D ．丁 12.已知()f x 是定义在R 上的函数，其导函数()'f x 满足()()'f x f x <（x R ∈，e 为自然对数的底数），则（ ） A ．()()220f e f >，()()201820180f e f > B ．()()220f e f <，()()201820180f e f >C.()()220f e f <，()()201820180f e f < D ．()()220f e f >，()()201820180f e f <第Ⅱ卷（共90分）二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）13.设复数z 满足()1234i z i +=-（i 为虚数单位），则z 的值为 ． 14.已知力()1x Fx e =+（e 为自然对数的底数）且和x 轴正方向相同.若力()F x 作用在质点P 上，并从点10x =处运动到21x =处，则()F x 对质点P 所做的功是 ．15.设函数()()21ln 22f x x b x =-+在[)1,-+∞上是增函数，则实数b 的取值范围是 ．16. 分形几何学是美籍法国数学家伯努瓦B 曼德尔布罗特（BenoitB Mandelbrot ）在20世纪70年代创立的一门新学科，它的创立为解决传统众多领域的难题提供了全新的思路.下图是按照分型的规律生长成的一个树形图，则第10行的空心圆的个数是 ．三、解答题 （本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17. 已知复数()()()121z m m m i =-++-.（m R ∈，i 为虚数单位）.（Ⅰ）若z 是纯虚数,求实数m 的值； （Ⅱ）若2m =，设(),z ia bi ab R z i+=+∈-，试求a b +. 18. 已知0a >，0b >.（Ⅰ）求证：22a b a b b a+≥+； （Ⅱ）利用（Ⅰ）的结论，试求函数()()221011x x y x xx-=+<<-的最小值. 19. 我市大学生创业孵化基地某公司生产一种“儒风邹城”特色的旅游商品.该公司年固定成本为10万元，每生产千件需另投入2.7万元；设该公司年内共生产该旅游商品x 千件并全部销售完，每千件的销售收入为()Rx 万元，且满足函数关系：()2210.8,010*********,103x x R x x xx ⎧-<≤⎪⎪=⎨⎪->⎪⎩. （Ⅰ）写出年利润W （万元）关于该旅游商品x （千件）的函数解析式； （Ⅱ）年产量为多少千件时，该公司在该旅游商品的生产中所获年利润最大？20. 已知数列{}n a 满足：132a =，()()121141431n n n n a a n n a n n +-=++--+. （Ⅰ）试求数列2a ，3a ，4a 的值； （Ⅱ）请猜想{}n a 的通项公式n a ，并运用数学归纳法证明之.21. 已知：0b a e <<<，其中e 为自然对数的底数，,a b R ∈. （Ⅰ）试猜想ba 与ab 的大小关系； （Ⅱ）请对你得出的结论写出证明过程.22. 已知函数()ln af x x x=+，()x g x e bx -=+，,a b R ∈，e 为自然对数的底数.（Ⅰ）若函数()yg x =在R 上存在零点，求实数b 的取值范围； （Ⅱ）若函数()yf x =在1x e=处的切线方程为20ex y +-=.求证：对任意的()0,x ∈+∞，总有()()f x g x >.试卷答案一、选择题15:BDCAC 610:CADBA 11、12：DC二、填空题13.5 14．e 15. (],1-∞- 16.三、解答题17. 解：（Ⅰ）若z 是纯虚数，则()()12010m m m ⎧-+=⎨-≠⎩，解得2m =-. （Ⅱ）若2m =，则4z i =+.∴()()()()423442714133355i i i i i a bi i i i i i +-++++====++-++-，∴75a =，15b =，∴85a b +=. 18.（Ⅰ）证明：【法一】∵0a >，0b >，∴222222a b a b a b b a a b b a b a ⎛⎫⎛⎫+++=+++≥+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭， 当且仅当ab =时等号成立．∴22a b a b b a +≥+（当且仅当a b =时等号成立）. 【法二】∵0a >，0b >，∴要证22a b a b b a+≥+， 只需证3322ab a b ab +≥+，只需证()()()22a b a ab b ab a b +-+≥+，只需证22a ab b ab -+≥，即证2220a ab b -+≥，即证()20a b -≥，显然，对于0a >，0b >总成立.∴22a b a b b a+≥+成立. （Ⅱ）解：由于01x <<，可将1x -看作（Ⅰ）中的a ，x 看作（Ⅰ）中的b .依据（Ⅰ）的结论，则有()221111x x y x x xx-=+≥-+=-， 当且仅当1x x -=，即12x =时，等号成立. 所以，所求函数()2211x x y xx-=+-的最小值为． 19.解：（Ⅰ）依题意，知当010x <≤时，()()310 2.78.11030x W xR x x x =-+=--，当10x >时，()()100010 2.798 2.73WxR x x x x=-+=--， ∴38.110,01030100098 2.7,103x x x W x x x ⎧--<≤⎪⎪=⎨⎪-->⎪⎩.（Ⅱ）①当010x <≤时，由（Ⅰ）得()()299'8.11010x x x W +-=-=， 令'0W =，得9x =. ∴当()0,9x ∈时，'0W >；当()9,10x ∈时，'0W <，∴当9x =时，有3max98.191038.630W =⨯--=.②当10x >时，1000100098 2.7982 2.73833Wx x x x ⎛⎫=-+≤-⨯= ⎪⎝⎭，当且仅当1000 2.73x x =，即1009x =时，38W =. 综合①、②知，当9x =时，W 取得最大值.即当年产量为千件时，该公司在该旅游商品生产中获得的年利润最大. 20.解：（Ⅰ）由题意，得21312a =，33130a =，45756a =. （Ⅱ）依据（Ⅰ），得213111212a ==+，331113030a ==+，457115656a ==+， 由此猜想()11221na n n =+-.下面用数学归纳法证明之： 当1n =时，1311221a ==+⨯，结论成立； 假设n k =时，结论成立，即有()11221k a k k =+-，则对于1n k =+时，()()121141431k k k k a a k k a k k +-=++--+()()()2122111411431221k k k k k k k k k ⨯-=+⎛⎫++--+ ⎪-⎝⎭()()()()212211842141121k k k k k k k k -=+-++⨯--+-()()()21221184214121k k k k k k k -=+⎡⎤-++--⎢⎥-⎣⎦ ()()()()11221221112212112121k k k k k k k k --=+=++++++--()()()()()111122221212121k k k k k =+=++++-++. ∴当1n k =+时，结论成立.综上，可得对*n N ∈，有()11221na n n =+-成立.21.解：（Ⅰ）依题意，取2a =，1b =，得21>，即有ba ab >；取1a=，12b =时，有112>，∴b aa b >；取12a =，13b =时，131226⎛⎫=== ⎪⎝⎭，121336⎛⎫=== ⎪⎝⎭.又(6631611664=⨯=，(662271728=⨯=，∴11321123⎛⎫⎛⎫> ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，此时有ba ab >.由此猜测ba ab >对一切0b a e <<<成立.（Ⅱ）证明：要证ba ab >对一切0b a e <<<成立，只需证ln ln ba ab >，即证ln ln a ba b >. 设函数()ln xf x x=，()0,x e ∈. ∴()21ln 'xf x x -=，当()0,x e ∈时，()'0f x >恒成立， ∴函数()ln xf x x=在()0,e 上单调递增， 又0b a e <<<，∴()()f a f b >，即ln ln a ba b>， 故有ba ab >.22.（Ⅰ）解：易得()1'xxg x e b b e -=-+=-. 若0b =，有()()10,x g x e=∈+∞，不合题意； 若0b <，有()010g =>，1110bg e b ⎛⎫-=-< ⎪⎝⎭，满足题设；若0b >，令()'0x g x e b -=-+=，得ln x b =-.∴()g x 在(),ln b -∞-上单调递减；在()ln ,b -+∞单调递增，则()()ln min ln ln ln 0b g x g b e b b b b b =-=-=-≤，∴b e ≥.又()010g=>满足题设，综上所述，所求实数()[),0,b e ∈-∞+∞.（Ⅱ）证明：易得，()21'a f x x x=-， 则由题意，得21'f e ae e e ⎛⎫=-=- ⎪⎝⎭，解得2a e =.∴()2ln f x x ex=+，从而11f e ⎛⎫= ⎪⎝⎭，即切点为1,1e ⎛⎫ ⎪⎝⎭. 将切点坐标代入20ex y b +-+=中，解得0b =. ∴()x g x e -=.要证()()f x g x >，即证2ln x x e ex-+>（()0,x ∈+∞）， 只需证2ln x x x xe e-+>（()0,x ∈+∞）. 令()2ln u x x x e=+，()xv x xe -=，()0,x ∈+∞. 则由()'ln 10u x x =+=，得1x e =，∴()ux 在10,e ⎛⎫ ⎪⎝⎭上单调递减；在1,e ⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭上单调递增， ∴()min 11ux u e e⎛⎫==⎪⎝⎭. 又由()()'10x x x v x e xe e x ---=-=-=，得1x =，∴()vx 在()0,1上单调递增；在()1,+∞上单调递减，∴()()max 11v x v e==.∴()()()()min max ux u x v x v x ≥≥≥，显然，上式的等号不能同时取到. 故对任意的()0,x ∈+∞，总有()()f x g x >.高二数学（理）试题参考答案2018.05一、选择题：(本大题共12个小题，每小题5分，共60分)题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12答案 B D C A C C A D B A D C二、填空题：(本大题共4个小题，每小题5分，共20分)13. 14． 15. 16.三、解答题：（本大题共6个小题，共70分）17. 解：（Ⅰ）若是纯虚数，则解得. ………………………………………………………………4分（Ⅱ）若，则. …………………………………………………5分∴， (8)分∴，∴. …………………………………………………10分18.（Ⅰ）证明：【法一】∵，∴，…………………………4分当且仅当时等号成立．……………………………………………………5分∴（当且仅当时等号成立）. ……………………………6分【法二】∵，∴要证，………………………………2分只需证，……………………………………………………3分只需证，只需证，即证，即证，显然，对于总成立. …………………………5分∴成立. ……………………………………………………………6分【说明】本小题若考生运用作差法等它方法证明（略述），只要步骤合理、正确，请参照标准赋分.）（Ⅱ）解：由于，可将看作（Ⅰ）中的，看作（Ⅰ）中的.依据（Ⅰ）的结论，则有，…………………10分当且仅当，即时，等号成立.…………………………………11分所以，所求函数的最小值为．………………………………12分19.解：（Ⅰ）依题意，知当时，，当时，，…………………3分∴. ……………………………………………4分（Ⅱ）①当时，由（Ⅰ）得，令，得.………………………………………………………………5分∴当时，；当时，，∴当时，有. …………………………7分②当时，，当且仅当，即时，.………………………………10分综合①、②知，当时，取得最大值.……………………………………11分即当年产量为千件时，该公司在该旅游商品生产中获得的年利润最大.……12分20.解：（Ⅰ）由题意，得，，. ………………………………3分（Ⅱ）依据（Ⅰ），得，，，由此猜想. ………………………………………………………5分下面用数学归纳法证明之：当时，，结论成立；………………………………………6分假设时，结论成立，即有，……………………………7分则对于时，…………8分.………………………10分∴当时，结论成立. ……………………………………………………11分综上，可得对，有成立.………………………………12分21.解：（Ⅰ）依题意，取，得，即有；取时，有，∴；取时，，.又，，∴，此时有. …………………………………………………………………3分由此猜测对一切成立.……………………………………4分（Ⅱ）证明：要证对一切成立，只需证，………………………………………………………………5分即证.……………………………………………………………………6分设函数，. …………………………………………………8分∴，当时，恒成立，∴函数在上单调递增，…………………………………………10分又，∴，即，………………………………11分故有. ……………………………………………………………………12分22.（Ⅰ）解：易得. ………………………………………1分若，有，不合题意；若，有，满足题设；…………………2分若，令，得.∴在上单调递减；在单调递增，则，∴.又满足题设，……………………………………………………4分综上所述，所求实数. …………………………………5分（Ⅱ）证明：易得，，则由题意，得，解得.∴，从而，即切点为. …………………………6分将切点坐标代入中，解得. ∴. …………7分要证，即证（），只需证（）.令，，. ……………………………8分则由，得，∴在上单调递减；在上单调递增，∴. …………………………………………………………9分又由，得，∴在上单调递增；在上单调递减，∴. …………………………………………………………10分∴，显然，上式的等号不能同时取到. ……………………………………………11分故对任意的，总有.…………………………………12分。

2017年秋季高二年级期中考试数学试题本试卷满分150分，考试时间120分钟一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，只有一项是符合题目要求的.） 1、已知命题p ：∀x∈R，2x ＞0，那么命题⌝p 为（ ）A.∃x∈R，2x ＜0B.∀x∈R，2x ＜0C.∃x∈R，2x≤0D.∀x∈R，2x≤02、椭圆1422=+y m x 的焦距为22，则m 的值等于（） A.5或-3B.2或6C.5或3D.5或33、在空间直角坐标系O-xyz 中，已知A(1,2,-1)，B(1,2,1)，则|AB|=（） A.2B.2C.5D.254、已知向量，，且与互相垂直，则K 的值是（ ）A.1B.51C.53D.3115 5、方程2(28)0x y y x y -++-=表示的曲线为（） A ．一条直线和一个圆B ．一条线段与半圆 C ．一条射线与一段劣弧D ．一条线段与一段劣弧6、已知椭圆122=+y m x 和双曲线1222=-y ax 有共同的焦点21,F F ，点P 是它们的一个公共点，则21F PF ∆的面积是（） A ．1B ．2C ．3D ．27、已知条件p ：2|1|>+x ，条件q ：a x >，且p ⌝是q ⌝的充分不必要条件，则a 的取值范围可以是（）A ．1≥aB ．1≤aC ．1-≥aD ．3-≤a8、双曲线()222104x y a a -=>的一个焦点与抛物线25y x =的焦点重合，则双曲线的渐近线方程是A.14y x =±B.12y x =± C.2y x =± D.4y x =± 9、已知()()2,,,1,21,0,a t t b t t ==--则b a -的最小值是 A.2B.3C.5D.610、以O 为中心，1F ，2F 为两个焦点的椭圆上存在一点M ，满足1222MF MO MF ==，则该椭圆的离心率为（） A.22 B.33 C.63 D.2411、双曲线()222210,0x y a b a b -=>>上任意一点P 可向圆2222b x y ⎛⎫+= ⎪⎝⎭作切线,PA PB ，若存在点P 使得·0PA PB =，则双曲线的离心率的取值范围是（） A.)3,⎡+∞⎣B.(1,3⎤⎦C.)3,5⎡⎣D.()1,512、如图，正方形ABCD 与正方形BCEF 所成角的二面角的平面角的大小是4π，PQ 是正方形BDEF 所在平面内的一条动直线，则直线BD 与PQ 所成角的取值范围是（ ）A ．[，]B ．[，]C ．[，]D ．[，]二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）13、已知，，，则向量→AB 与→AC 的夹角等于_____．14、椭圆221259x y +=上的点到直线45400x y -+=的最小距离为_____________. 15、在区间[]1,5和[]2,6内分别取一个数，记为a 和b ，则方程22221()x y a b a b-=<表示离心率小5的双曲线的概率为16、在正方体1111ABCD A B C D -中，33AB =,E F 在线段1DB 上，且1DE EF FB ==，点M 是正方体表面上的一动点，点,P Q 是空间两动点，若||||2||||PE QE PF QF ==且||4PQ =，则MP MQ•的最小值为 .三.解答题(本大题共6道题，共70分)17.（本题满分10分）把一颗骰子抛掷2次，观察出现的点数，并记第一次出现的点数为a ，第二次出现的点数为b ． 试就方程组322ax by x y +=⎧⎨+=⎩解答下列各题：（1）求方程组只有一个解的概率； （2）求方程组只有正数解的概率．18.（本题满分10分）给定命题p ：对任意实数x 都有012>++ax ax 成立；q ：关于x 的方程02=+-a x x 有实数根．如果q p ∨为真命题，q p ∧为假命题，求实数a 的取值范围．19、（本小题满分12分）四棱锥P-ABCD 中，底面ABCD 为矩形，，E 为PD 的中点． (1)证明：；(2)设，三棱锥的体积，求二面角D-AE-C 的大小20、（本小题满分12分）如图4，在正三棱柱111ABC A B C -中，12AB =，点D 是11A B 的中点，点E 在11A C 上，且DE AE ⊥（I ）证明：平面ADE ⊥平面11ACC A ； （II ）求直线AD 和平面ABC 1所成角的正弦值。

福州文博中学2016-2017学年第二学期高二年级期中考数学科考试（文）（题目卷）命题人:林海莺 审核人：邱建萍 （完卷时间：120分钟，总分：150分）一 、选择题：（本大题共12小题，每小题5分，共60分。

在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的。

) 1．若复数z 满足iz 8610-=，（i 为虚数单位），则z 的虚部为( ) A 。

4B. 45 C 。

4- D 。

45-2．物体运动的方程为s ＝错误!t 4－3，则t ＝5时的瞬时速度为 ( )A ．5B ．25C ．125D ．625 3。

设x R ∈,则“12x <<”是“21x -<”的 ( ）A ．充分而不必要条件B 。

必要而不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件4。

函数y ＝3x －x 3的单调递增区间是 （ )A ．（0，＋∞）B ．（－∞，－1)C ．（－1，1)D ．(1,＋∞)5. 已知等比数列{}na 的前三项依次为1a -，1a +,4a +,则na =( ）A ．342n⎛⎫⋅ ⎪⎝⎭B ．243n⎛⎫⋅ ⎪⎝⎭C ．1342n -⎛⎫⋅ ⎪⎝⎭D ．1243n -⎛⎫⋅ ⎪⎝⎭6. 函数y ＝x 2cos x 的导数为 （ )A ．y ′＝2x cos x －x 2sin xB ．y ′＝2x cos x ＋x 2sin xC ．y ′＝x 2cos x －2x sin xD ．y ′＝x cos x －x 2sin x7. 为研究语文成绩和英语成绩之间是否具有线性相关关系,统计两科成绩得到如图所示的散点图(两轴单位长度相同），用回归直线ˆy＝bx ＋a 近似的刻画其相关关系,根 据图形，以下结论最有可能成立的是（ ）A ．线性相关关系较强，b 的值为2．25B ．线性相关关系较强，b 的值为0．83C ．线性相关关系较强,b 的值为－0．87D ．线性相关关系太弱，无研究价值8.在ABC △中，角 A B C ，，的对边分别是 a b c ，，，若52a A B ==，，则cos B =（ ）A ．5B ．5 C ．5D 59。

考试答案一、 填空题：w W w .x K b 1.c o M1、 异面、平行；2、1i --；3、24y x =；4、52；5、垂直；6、43y x =±；7、4i -；8、38；9、1(,1)2；10、③④；1112、取1BB 中点R ，P 的轨迹即为线段RC 。

二、选择题：13、A ；14、D ；15、A ；16、A ；17、A ；18、C 三、解答题：19、<1）由(2i)i 5ib c -=-252,5c i bi b c ⇒+=+⇒==………3分故：2250x x ++=两根为1,224122ix i -±==-± 所以：225(12)(12)x x x i x i ++=+++-………6分新 课 标 第 一 网W2WB3qbx5G <2）证明:假设直线AB 与11A B 共面，设该平面为α。

………2分 可知直线AB 与11A B 在平面α上，所以11,,,A B A B α∈……………4分 即11,AA BB αα≠≠⊂⊂即直线,a b 为共面直线，与已知,a b 为异面直线矛盾。

故原假设不成立，则直线AB 与11A B 为异面直线。

……………6分 20、解：<1）12||10F F =………3分 <2）12||||32PF PF ⋅=………4分2221212(||||)36||||100PF PF PF PF -=⇒+=22212121212||||||cos 02||||PF PF F F F PF PF PF +-∠==⋅。

6分122F PF π⇒∠=………8分21、解：(1>222212x y c a a =⇒+=-,将代入，得2224142x y a =⇒+=。

3分<2）设1122(,),(,)A x y B x y ，AB 中点(,).M x y221112121222122224()()2()024x y y y x x y y x x x y ⎧+=-⇒+++=⎨-+=⎩。

2017高二数学期中考试试卷数学理科试题时间：120分钟主命题教师：宜城一中分值：150分副命题教师：襄州一中★祝考试顺利★第Ⅰ卷一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1、命题“”的否定是（）A、 B、 C、 D、 2、若两个不同平面、的法向量分别为，则（）A、、相交但不垂直 B、⊥ C、∥ D、以上均不正确 3、双曲线的右焦点坐标为，则该双曲线的渐近线方程为（） A、 B、 C、D、 4、已知向量分别是直线和平面的方向向量和法向量，若与夹角的余弦等于，则与所成的角为（） A、 B、 C、 D、 5、下列命题中正确的是（） A、“”是“”的必要不充分条件 B、“P且Q”为假，则P假且 Q假 C、命题“恒成立”是真命题，则实数的取值范围是 D、命题“若，则”的否命题为“若，则” 6、已知椭圆以及椭圆内一点，则以P为中点的弦所在直线斜率为（） A、 B、C、 D、 7、已知空间四边形OABC，其对角线为OB、AC，M、N分别是OA、CB的中点，点G在线段MN上，且使MG=3GN，用向量表示向量，则（） A、 B、 C、 D、 8、过椭圆的右焦点作椭圆长轴的垂线交椭圆于两点，为椭圆的左焦点，若为正三角形，则椭圆的离心率为（） A、 B、 C、 D、 9、分别是双曲线的左、右焦点，过的直线与双曲线的左右两支分别交于A,B两点，若是等边三角形，则该双曲线的虚轴长为（） A、 B、 C、 D、 10、在三棱柱中，底面为正三角形，侧棱垂直底面，。

若分别是棱上的点，且，则异面直线与所成角的余弦值为（） A、 B、 C、D、 11、已知抛物线的焦点是F，过点F的直线与抛物线C相交于P、Q两点，且点Q在第一象限，若，则直线PQ的斜率是（） A、B、1 C、 D、 12、已知椭圆的左、右焦点分别为，直线过点且垂直于椭圆的长轴，动直线垂直于直线于点，线段的垂直平分线与的交点的轨迹为曲线，若点是上任意的一点，定点，，则的最小值为（） A、 6 B、 C、 4 D、 5第Ⅱ卷二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分，把答案填在答题纸上） 13、抛物线的焦点坐标为。

详解：将 ．转化为用 表示得
，即 。
解得 ，
由等差数列通项公式得，
。
令 ，
解得 ，
因为 ，数列的前20项取正值，故前20项的和最大，
此时 。
点睛：（1）求等差数列的通项公式，应先把条件转化成关于 的方程，解方程组可求 ，再根据通项公式可写出 。
（2）递减的等差数列，前面所有非负项的和最大；递增的等差数列，前面所有非正
8.把函数 的图像向右平移 个单位长度后与原图像重合，则当 取最小值时， 的单调递减区间是（）
A. B.
C. D.
【答案】C
【解析】分析：写出平移后的图像对应的解析式，并整理可得 ，由平移后的图像与原图像重合可得 求出 ，求其最小值为3，得到函数解析式 ，进而根据余弦函数的单调减区间可求函数的减区间。
对于选项D，若 ，由平面与平面垂直的判定定理可知D正确。
故选D。
点睛：判断直线与平面的位置关系，应熟练掌握直线与直线、平面与平面、直线与平面的
位置关系，以及判定定理、性质定理。
5.等比数列 中， ，则“ ”是“ ”的（）
A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分又不必要条件
【答案】B
因为 ，所以 ， 。
因为点 在双曲线右支上，由双曲线定义可得
，
所以 ，
所以 。
故选A。
点睛：离心率两大考点：求值、求取值范围。解题过程注意 的关系。
（1）直接根据题意建立 的等式或不等式求解；
（2）借助平面几何关系建立 的等式或不等式求解；
（3）利用圆锥曲线的相关细则建立 的等式或不等式求解；
（3）运用数形结合建立 的等式或不等式求解；
集的定义可求。
详解：因为 ，

普宁二中2016--2017学年度第二学期期中考高二级理科数学试卷命题人：陈木茂 审题人：舒有汉祝考试顺利！一.选择题（本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.）1.已知集合2{|(2)},{|1}00A x x x B x x Z =-≤=∈-≤，则A B =（ ）. A.[0,]1B.(,)01C.{,}01D.{1,0}-2.已知a ，b 是实数，则“a ＞2且b ＞2”是“a+b ＞4且ab ＞4”的（ ）. A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件 D ．既不充分也不必要条件3. 曲线()x f x e -=在0x =处的切线斜率为（ ）. A ．1 B. 2- C ．2D ．1-4. 已知函数()21,4xf x x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭则函数()f x 的零点所在区间为（ ）.A. 10,2⎛⎫ ⎪⎝⎭B. 1,12⎛⎫ ⎪⎝⎭ C ．31,2⎛⎫ ⎪⎝⎭D ．3,22⎛⎫⎪⎝⎭5. 已知等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，且322315S S -=,则数列{}n a 的公差为（ ）. A.3 B.4 C.5 D.66. 已知向量()()1,2cos ,2sin ,1,a x b x →→==若//,a b →→则sin 2x =( ). A ．1- B ．12- C ． 12D ．17. 阅读右边程序框图，则输出结果s 的值为（ ）A ．21B ． 23 C. 0 D.38. 已知变量x y ，满足约束条件20701x y x y x -+⎧⎪+-⎨⎪⎩≤，≤，≥，则y x 的取值范围是（ ）.A.[36]，B.[)965⎛⎤-∞+∞ ⎥⎝⎦，，C.(][)36-∞+∞，，D. 965⎡⎤⎢⎥⎣⎦，9．函数()31cos 31x xf x x +=⋅-的图象大致是（ ）.10.等腰直角三角形ABC 中，∠C=90°，AC=BC=1，点M ，N 分别是AB ，BC 中点，点P 是△ABC （含边界）内任意一点，则AN MP ⋅的取值范围是（ ）.A ．33[,]44-B ．13[,]44-C ．31[,]44-D ．13[,]4411.已知函数()()y f x x R =∈的图像过点(1,0)，'()f x 为函数()f x 的导函数，e 为自然对数的底数，若0x >，'()1xf x >下恒成立，则不等式()ln f x x ≤的解集为（ ）.A ．1(0,]eB ．(0,1]C ．(0,]eD ．(1,]e12．如图,网格纸上正方形小格的边长为1,图中粗线画出的是某几何体的三视图,则该几何体的体积为（ ）.A.23 B. 43 C. 83D. 4二.填空题（本大题共4个小题，每小题5分，共20分.） 13.观察下列各式：35=125，45=625，55=3125，…，则20175的末三位数字为 ．14.已知复数z 满足(12)43z i i +=+，则z = ．15.已知数列{}n a 的前n 项和21nn S =-，()321n x dx =-⎰，则2logn a = ．16.公元前3世纪，古希腊欧几里得在《几何原本》里提出：“球的体积（V ）与它的直径（d ）的立方成正比”，此即3V kd =（6k π=）.与此类似，我们可以得到：(1)正四面体（所有棱长都相等的四面体）的体积（V ）与它的棱长（a ）的立方成正比， 即3V ma =；(2)正方体（正六面体）的体积（V ）与它的棱长（a ）的立方成正比，即3V a =； (3)正八面体（所有棱长都相等的八面体）的体积（V ）与它的棱长（a ）的立方成正比， 即3V na =，那么:m n = ．三、解答题（本大题共6小题，共70分，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤.) 17．（本小题满分12分）设函数x x x x f cos sin 32cos 2)(2+=. （1）求函数()f x 的单调递减区间；(6分)（2）在△ABC 中，a ,b ,c 分别为内角A ,B ,C 的对边,32A f ⎛⎫= ⎪⎝⎭,6a =,8b c +=,求△ABC 的面积.(6分)18.（本小题满分12分）2017年元旦假期期间，调查公司在高速公路某服务区从七座以下小型汽车中按进服务区的先后每间隔50辆就抽取一辆的抽样方法抽取了40名驾驶员进行询问调查，将他们在某段高速公路的车速（km/t ）分成六段：[60,65),[65,70),[70,75),[75,80),[80,85),[85,90)后得到如图的频率分布直方图．（1）该调查公司在采样中，用到的是什么抽样方法？(2分) （2）求这40辆小型车辆车速的众数和中位数的估计值；(4分) （3）若从车速在[60,70)的车辆中任意抽取2辆， 求车速在[65,70)的车辆至少有一辆的概率.(6分)19.（本题满分12分）已知四棱锥S －ABCD 的底面ABCD 是边长为1正方形， SA ⊥底面ABCD ，E 是SC 上的任意一点． (1)求证：平面EBD ⊥平面SAC ；(5分)(2) 当SA 的值为多少时，二面角B －SC －D 的大小为120°？(7分)20.（本小题满分12分）设抛物线)0(2:2>=p px y C 过点)22,2(-M .（1）求抛物线C 的方程；(3分) （2）过点)0,1(F 作相互垂直的两条直线1l ，2l ， 曲线C 与1l 交于点1P ,2P ,与2l 交于点1Q ,2Q .证明：12121114PP Q Q +=；(6分) （3）在（2）中，我们得到关于抛物线的一个优美结论.请你写出关于椭圆22:143x y Γ+=的一个相类似的结论（不需证明）. (3分)21.（本小题满分12分）已知函数2()ln (0,1).x f x a x x a a a =+->≠ (1)求函数()f x 在点(0,(0))f 处的切线方程；(3分) (2)求函数()f x 单调增区间；(3分) (3)若存在12,[1,1]x x ∈-，使得)12()()1(,f x f x e e -≥-是自然对数的底数求实数a 的取值范围.(6分)22.（本题满分10分）选修4-5: 不等式选讲 设函数()|1||2|f x x x =--+. （1）解不等式0)(>x f ；(5分)（2）若R x ∈∃0，使得20()27f x m m +>，求实数m 的取值范围.(5分)2016-2017年高二下学期期中考理科数学参考答案一、选择题二、填空题13、125 14、5 16. 11:44或三、解答题17.解：（1）∵⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛++=++=x x x x x f 2sin 232cos 21212sin 32cos 1)( …3分 1)62sin(2++=πx ……………4分由 2326222πππππ+≤+≤+k x k ，∈k Z 知326ππππ+≤≤+k x k ，∈k Z ……5分所以()f x 的单调递减区间为⎥⎦⎤⎢⎣⎡++32,6ππππk k （∈k Z ） ……………6分 （2）2sin()1326A f A π⎛⎫=++=⎪⎝⎭即sin()16A π+= 又(0,)A π∈，所以7(,)666A πππ+∈，故62A ππ+=，从而3A π= ……8分 由余弦定理2222cos a b c bc A =+-，得2236b c bc +-=， …………9分 又8b c +=，所以283bc =…………10分 由△ABC 的面积公式1128sin 223S bc A ==⨯=. …12分 18. 解：（1）系统抽样 ……………………2分（2）众数的估计值为最高的矩形的中点，即众数的估计值等于77.5 …4分 设图中虚线所对应的车速为x ，则中位数的估计值为：0.0150.0250.0450.06(75)0.5x ⨯+⨯+⨯+⨯-=，解得77.5x =即中位数的估计值为77.5 …………………6分(3) 从图中可知，车速在[60,65)的车辆数为：10.015402m =⨯⨯=（辆）………7分 车速在[65,70)的车辆数为：20.025404m =⨯⨯=（辆）…………………8分设“车速在[65,70)的车辆至少有一辆”为事件A,这是一个古典概型，记车速在[60,65)的车 辆设为1,2，车速在[65,70)的车辆为d c b a ,,,，则所有基本事件有：()()()()()()()()()1,2,1,,1,,1,,1,,2,,2,,2,,2,,a b c d a b c d ()()()()()(),,,,,,,,,,,a b a c a d b c b d c d 共15种 …………………10分其中两辆车的车速均不在[65,70)的事件仅有()1,2一种，即车速在[65,70)的车辆至少有一辆的共14种，所以车速在的[65,70)车辆至少有一辆的概率为1514)(=A p .故从车速在[60,70)的车辆中任意抽取2辆， 车速在[65,70)的车辆至少有一辆的概率为1514.……12分 19. 证明：(1)∵SA ⊥平面ABCD ，BD ⊂平面ABCD ，∴SA ⊥BD ， …1分 ∵四边形ABCD 是正方形， …2分 ∴AC ⊥BD ，,SAAC A = …3分∴BD ⊥ 平面SAC ， …4分 ∵BD ⊂平面EBD ，∴平面EBD ⊥平面SAC . …5分 解：(2)设SA ＝a ，以A 为原点，AB 、AD 、AS 所在直线分别为x 、y 、z 轴建立空间直角坐标系，……6分 ∵AB ＝1，则C (1,1,0)，S (0,0，a )，B (1,0,0)，D (0,1,0)，∴SC ＝(1,1，－a )，SB ＝(1,0，－a )，SD ＝(0,1，－a )，…………7分 设平面SBC 、平面SCD 的法向量分别为n 1＝(x 1，y 1，z 1)，n 2＝(x 2，y 2，z 2)，则111111100n SC x y az n SB x az ⎧=++=⎪⎨=-=⎪⎩∴y 1＝0，从而可取x 1＝a ，则z 1＝1，∴n 1＝(a,0,1)， ……8分22222220n SC x y az n SB x az ⎧=++=⎪⎨=-=⎪⎩ ∴x 2＝0，从而可取y 2＝a ，则z 2＝1，∴n 2＝(0，a,1)，…………9分∴cos 〈n 1，n 2〉＝1a 2＋1，要使二面角B －SC －D 为120°，则1a 2＋1＝12，即a ＝1. …11分即当SA ＝1时，二面角B －SC －D 的大小为120°. …………12分 20.解：（1）把点)22,2(-M 代入抛物线方程得2=p所以曲线C 的方程为x y 42=. ……………3分（2）显然直线1l ，2l 的斜率存在且不等于0，不妨设1l 的方程为()1y k x =-()0k ≠，()111,P x y ，()222,P x y ，由()241y x y k x ⎧=⎪⎨=-⎪⎩得()2222240k x k x k -++=， 由韦达定理得：212224k x x k ++=，121x x =， ……………5分因为曲线C 与1l 交于点1P ,2P 且1l 过焦点()1,0F ，所以12122PP x x =++ 22242k k +=+2244k k+=， ……………7分 同理可得21221441k Q Q k ⎛⎫-+ ⎪⎝⎭=⎛⎫- ⎪⎝⎭244k =+， ……………8分 所以2221212111144444k PP Q Q k k +=+=++. ……………9分（3）若1l ，2l 是过椭圆22:143x y Γ+=的焦点且相互垂直的两条直线，其中椭圆Γ与1l 交于点1P ,2P ,与2l 交于点1Q ,2Q ，则121211712PP Q Q +=. ……………………12分 说明:（只写出121211PP Q Q +为定值，没有指出定值为712扣1分） 21.解：⑴因为函数2()ln (0,1)x f x a x x a a a =->≠+，所以()ln 2ln x f x a a x a '=-+，(0)0f '=， …………2分 又因为(0)1f =，所以函数()f x 在点(0,(0))f 处的切线方程为1y =． ………3分 ⑵由⑴，()ln 2ln 2(1)ln x x f x a a x a x a a '=-=-++．因为当0,1a a >≠时，总有()f x '在R 上是增函数， …………4分 又(0)0f '=，所以不等式()0f x '>的解集为(0,)∞+， …………5分 故函数()f x 的单调增区间为(0,)∞+． …………6分⑶因为存在12,[1,1]x x ∈-，使得12()()e 1f x f x --≥成立， 而当[1,1]x ∈-时，12max min ()()()()f x f x f x f x --≤，所以只要max min ()()e 1f x f x --≥即可． …………7分 又因为，()f x '，()f x 的变化情况如下表所示：所以()f x 在[1,0]-上是减函数，在[0,1]上是增函数，所以当[1,1]x ∈-时，()f x 的最小值()()min 01f x f ==， …………8分()f x 的最大值()max f x 为(1)(0)e 1f f --≥()1f -和()1f 中的最大值．……9分因为x 11(1)(1)(1ln )(1ln )2ln f f a a a a a aa--=--=--+++， 令1()2ln g a a a a =--，因为22121()1(1)0g a a a a '=-=->+，所以1()2ln g a a a a=--在()0,a ∈+∞上是增函数． …………10分而(1)0g =，故当1a >时，()0g a >，即(1)(1)f f >-；当01a <<时，()0g a <，即(1)(1)f f <-． …………11分所以，当1a >时，，即ln e 1a a --≥，函数ln y a a =-在(1,)a ∈+∞上是增函数，解得e a ≥； 当01a <<时，(1)(0)e 1f f ---≥，即1ln e 1a a +-≥，函数1ln y a a=+在(0,1)a ∈上是减函数，解得10ea <≤．综上可知，所求a 的取值范围为1(0,][e,)ea ∈∞+． …………12分22.解：（1）当2-<x 时，()|1||2|123f x x x x x =--+=-++=，0)(>x f ，即30>，∴2-<x ；当21x -≤≤时，()|1||2|1221f x x x x x x =--+=---=--，0)(>x f ，即210x -->，解得12x <-，又21x -≤≤，∴122x -≤<-；当1x >时，()|1||2|123f x x x x x =--+=---=-， 0)(>x f ，即30->，不成立，∴x ∈∅.综上，不等式0)(>x f 的解集为1,2⎛⎫-∞- ⎪⎝⎭. --------5分（2）3,2()|1||2|21,213,1x f x x x x x x <-⎧⎪=--+=---≤≤⎨⎪->⎩，∴()max ()23f x f =-=.∵R x ∈∃0，使得20()27f x m m +>，∴2max 72()3m m f x -<=，整理得：22730m m -+>，解得：132m m ><或，因此m 的取值范围是()1,3,2⎛⎫-∞+∞ ⎪⎝⎭.--------10分。

深圳市福田中学2017届高二上学期期中考试数学（理科）一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，满分60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，请将正确答案的代号填在答题卷相应的位置上）1．设命题p：∀x∈R，x2+1＞0，则￢p为（）A．∃x0∈R，x02+1＞0 B．∃x0∈R，x02+1≤0C．∃x0∈R，x02+1＜0 D．∀x0∈R，x02+1≤02．已知命题p：x＞y；则﹣x＜﹣y；命题q：若x＜y；则x2＜y2；在命题①p∧q，②p∨q，③p∧（￢q），④（￢p）∨q中，真命题是（）A．①③ B．①④ C．②③ D．②④3．下列有关命题的叙述，错误的个数为（）①若p∨q为真命题，则p∧q为真命题②“x＞5”是“x2﹣4x﹣5＞0”的充分不必要条件③命题p：∃x∈R，使得x2+x﹣1＜0，则￢p：∀x∈R，使得x2+x﹣1≥0④命题“若x2﹣3x+2=0，则x=1或x=2”的逆否命题为“若x≠1或x≠2，则x2﹣3x+2≠0”A．1 B．2 C．3 D．44．设{a n}是公比为q的等比数列，则“q＞1”是“{a n}为递增数列”的（）A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件5．方程的图象是双曲线，则k取值范围是（）A．k＜1 B．k＞2 C．k＜1或k＞2 D．1＜k＜26．已知椭圆C：+=1（a＞b＞0）的左、右焦点为F1、F2，离心率为，过F2的直线l交C于A、B两点，若△AF1B的周长为4，则C的方程为（）A．+=1 B．+y2=1 C．+=1 D．+=17．已知F为双曲线C：x2﹣my2=3m（m＞0）的一个焦点，则点F到C的一条渐近线的距离为（）A．B．3 C．m D．3m8．若实数k满足0＜k＜9，则曲线﹣=1与曲线﹣=1的（）A．焦距相等 B．实半轴长相等 C．虚半轴长相等 D．离心率相等9．设F为抛物线C：y2=3x的焦点，过F且倾斜角为30°的直线交C于A，B两点，O为坐标原点，则△OAB的面积为（）A．B．C．D．10．已知双曲线C的离心率为2，焦点为F1、F2，点A在C上，若|F1A|=2|F2A|，则cos∠AF2F1=（）A．B．C．D．11．如图，在平行六面体ABCD﹣A1B1C1D1中，M为AC与BD的交点，若=，=，=．则下列向量中与相等的向量是（）A．﹣++ B．C． D．﹣﹣+12．已知双曲线﹣=1（b∈N*）的两个焦点F1，F2，点P是双曲线上一点，|OP|＜5，|PF1|，|F1F2|，|PF2|成等比数列，则双曲线的离心率为（）A．2 B．3 C．D．二、填空题：本大题4小题，每小题5分，满分20分13．在平面直角坐标系xOy中，有一定点A（2，1），若线段OA的垂直平分线过抛物线y2=2px （p＞0）的焦点，则该抛物线的准线方程是．14．已知p：“∀x∈[1，2]，x2﹣a≥0”，q：“∃x0∈R，使x02+2ax0+2﹣a=0”．若命题“p且q”是真命题，则实数a的取值范围是．15．已知P（4，﹣1），F为抛物线y2=8x的焦点，M为此抛物线上的点，且使|MP|+|MF|的值最小，则M点的坐标为．16．过点M（1，1）作斜率为﹣的直线与椭圆C：+=1（a＞b＞0）相交于A，B两点，若M是线段AB的中点，则椭圆C的离心率等于．三、解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．17．已知抛物线的顶点在原点，它的准线过双曲线的右焦点，而且与x轴垂直．又抛物线与此双曲线交于点，求抛物线和双曲线的方程．18．已知命题p：关于x的方程x2﹣ax+4=0有实根；命题q：关于x的函数y=2x2+ax+4在[3，+∞）上是增函数，若“p或q”是真命题，“p且q”是假命题，求实数a的取值范围．19．已知动点P与双曲线﹣=1的两个焦点F1，F2所连线段的和为6，（1）求动点P的轨迹方程；（2）若•=0，求点P的坐标；（3）求角∠F1PF2余弦值的最小值．20．如图，在四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD是边长为1的正方形，侧棱PA的长为2，且PA与AB、AD的夹角都等于60°，M是PC的中点，设=，=，=．（1）试用，，表示出向量；（2）求BM的长．21．已知，椭圆C过点A，两个焦点为（﹣1，0），（1，0）．（1）求椭圆C的方程；（2）E，F是椭圆C上的两个动点，如果直线AE的斜率与AF的斜率互为相反数，证明直线EF的斜率为定值，并求出这个定值．22．已知菱形ABCD的顶点A，C在椭圆x2+3y2=4上，对角线BD所在直线的斜率为1．（Ⅰ）当直线BD过点（0，1）时，求直线AC的方程；（Ⅱ）当∠ABC=60°时，求菱形ABCD面积的最大值．数学（理科）参考答案一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，满分60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，请将正确答案的代号填在答题卷相应的位置上）1．设命题p：∀x∈R，x2+1＞0，则￢p为（）A．∃x0∈R，x02+1＞0 B．∃x0∈R，x02+1≤0C．∃x0∈R，x02+1＜0 D．∀x0∈R，x02+1≤0【考点】命题的否定．【分析】题设中的命题是一个特称命题，按命题否定的规则写出其否定即可找出正确选项【解答】解∵命题p：∀x∈R，x2+1＞0，是一个特称命题．∴￢p：∃x0∈R，x02+1≤0．故选B．2．已知命题p：x＞y；则﹣x＜﹣y；命题q：若x＜y；则x2＜y2；在命题①p∧q，②p∨q，③p∧（￢q），④（￢p）∨q中，真命题是（）A．①③ B．①④ C．②③ D．②④【考点】复合命题的真假．【分析】根据不等式的性质分别判定命题p，q的真假，利用复合命题之间的关系即可得到结论【解答】解：根据不等式的性质可知，若x＞y，则﹣x＜﹣y成立，即p为真命题，当x=1，y=﹣1时，满足x＞y，但x2＞y2不成立，即命题q为假命题，则①p∧q为假命题；②p∨q为真命题；③p∧（￢q）为真命题；④（￢p）∨q为假命题，故选：C3．下列有关命题的叙述，错误的个数为（）①若p∨q为真命题，则p∧q为真命题②“x＞5”是“x2﹣4x﹣5＞0”的充分不必要条件③命题p：∃x∈R，使得x2+x﹣1＜0，则￢p：∀x∈R，使得x2+x﹣1≥0④命题“若x2﹣3x+2=0，则x=1或x=2”的逆否命题为“若x≠1或x≠2，则x2﹣3x+2≠0”A．1 B．2 C．3 D．4【考点】特称命题；全称命题．【分析】直接利用复合命题的真假判断①的正误；利用充要条件判断②的正误；特称命题的否定判断③的正误；四种命题的逆否关系判断④的正误．【解答】解：①若p∨q为真命题，p或q一真命题就真，而P∧Q为真命题，必须两个命题都是真命题，所以①不正确．②“x＞5”是“x2﹣4x﹣5＞0”的充分不必要条件，满足前者推出后者，对数后者推不出前者，所以②正确．③命题p：∃x∈R，使得x2+x﹣1＜0，则﹣p：∀x∈R，使得x2+x﹣1≥0；满足特称命题的否定形式，所以③正确．④命题“若x2﹣3x+2=0，则x=1或x=2”的逆否命题为“若x≠1或x≠2，则x2﹣3x+2≠0”不满足逆否命题的形式，正确应为“若x≠1且x≠2，则x2﹣3x+2≠0”．所以只有②③正确．故选B．4．设{a n}是公比为q的等比数列，则“q＞1”是“{a n}为递增数列”的（）A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件【考点】必要条件、充分条件与充要条件的判断；等比数列．【分析】根据等比数列的性质，结合充分条件和必要条件的定义进行判断即可得到结论．【解答】解：等比数列﹣1，﹣2，﹣4，…，满足公比q=2＞1，但{a n}不是递增数列，充分性不成立．若a n=﹣1为递增数列，但q=＞1不成立，即必要性不成立，故“q＞1”是“{a n}为递增数列”的既不充分也不必要条件，故选：D．5．方程的图象是双曲线，则k取值范围是（）A．k＜1 B．k＞2 C．k＜1或k＞2 D．1＜k＜2【考点】双曲线的标准方程．【分析】根据题意，轨迹双曲线的标准方程可得（2﹣k）（k﹣1）＜0，求出范围即可得到答案．【解答】解：由题意可得：方程的图象是双曲线，所以（2﹣k）（k﹣1）＜0，解得：k＜1或k＞2，故选C．6．已知椭圆C：+=1（a＞b＞0）的左、右焦点为F1、F2，离心率为，过F2的直线l交C于A、B两点，若△AF1B的周长为4，则C的方程为（）A．+=1 B．+y2=1 C．+=1 D．+=1【考点】椭圆的简单性质．【分析】利用△AF1B的周长为4，求出a=，根据离心率为，可得c=1，求出b，即可得出椭圆的方程．【解答】解：∵△AF1B的周长为4，∵△AF1B的周长=|AF1|+|AF2|+|BF1|+|BF2|=2a+2a=4a，∴4a=4，∴a=，∵离心率为，∴，c=1，∴b==，∴椭圆C的方程为+=1．故选：A．7．已知F为双曲线C：x2﹣my2=3m（m＞0）的一个焦点，则点F到C的一条渐近线的距离为（）A．B．3 C．m D．3m【考点】双曲线的简单性质．【分析】双曲线方程化为标准方程，求出焦点坐标，一条渐近线方程，利用点到直线的距离公式，可得结论．【解答】解：双曲线C：x2﹣my2=3m（m＞0）可化为，∴一个焦点为（，0），一条渐近线方程为=0，∴点F到C的一条渐近线的距离为=．故选：A．8．若实数k满足0＜k＜9，则曲线﹣=1与曲线﹣=1的（）A．焦距相等 B．实半轴长相等 C．虚半轴长相等 D．离心率相等【考点】双曲线的简单性质．【分析】根据k的取值范围，判断曲线为对应的双曲线，以及a，b，c的大小关系即可得到结论．【解答】解：当0＜k＜9，则0＜9﹣k＜9，16＜25﹣k＜25，即曲线﹣=1表示焦点在x轴上的双曲线，其中a2=25，b2=9﹣k，c2=34﹣k，曲线﹣=1表示焦点在x轴上的双曲线，其中a2=25﹣k，b2=9，c2=34﹣k，即两个双曲线的焦距相等，故选：A．9．设F为抛物线C：y2=3x的焦点，过F且倾斜角为30°的直线交C于A，B两点，O为坐标原点，则△OAB的面积为（）A．B．C．D．【考点】抛物线的简单性质．【分析】由抛物线方程求出焦点坐标，由直线的倾斜角求出斜率，写出过A ，B 两点的直线方程，和抛物线方程联立后化为关于y 的一元二次方程，由根与系数关系得到A ，B 两点纵坐标的和与积，把△OAB 的面积表示为两个小三角形AOF 与BOF 的面积和得答案．【解答】解：由y 2=2px ，得2p=3，p=，则F （，0）．∴过A ，B 的直线方程为y=（x ﹣），即x=y+．联立，得4y 2﹣12y ﹣9=0．设A （x 1，y 1），B （x 2，y 2），则y 1+y 2=3，y 1y 2=﹣．∴S △OAB =S △OAF +S △OFB =×|y 1﹣y 2|==×=．故选：D ． 10．已知双曲线C 的离心率为2，焦点为F 1、F 2，点A 在C 上，若|F 1A|=2|F 2A|，则cos ∠AF 2F 1=（ ）A ．B ．C ．D ．【考点】双曲线的简单性质．【分析】根据双曲线的定义，以及余弦定理建立方程关系即可得到结论． 【解答】解：∵双曲线C 的离心率为2，∴e=，即c=2a ，点A 在双曲线上， 则|F 1A|﹣|F 2A|=2a ， 又|F 1A|=2|F 2A|，∴解得|F 1A|=4a ，|F 2A|=2a ，||F 1F 2|=2c ，则由余弦定理得cos ∠AF 2F 1===．故选：A ．11．如图，在平行六面体ABCD﹣A1B1C1D1中，M为AC与BD的交点，若=，=，=．则下列向量中与相等的向量是（）A．﹣++ B．C． D．﹣﹣+【考点】相等向量与相反向量．【分析】由题意可得=+=+=+[﹣]，化简得到结果．【解答】解：由题意可得=+=+=+=+（﹣）=+（﹣）=﹣++，故选A．12．已知双曲线﹣=1（b∈N*）的两个焦点F1，F2，点P是双曲线上一点，|OP|＜5，|PF1|，|F1F2|，|PF2|成等比数列，则双曲线的离心率为（）A．2 B．3 C．D．【考点】双曲线的简单性质．【分析】通过等比数列的性质和双曲线的定义，余弦定理推出：|OP|2=20+3b2．利用|OP|＜5，b∈N，求出b的值，求出c，再由离心率公式计算即可得到．【解答】解：由题意，|PF1|、|F1F2|、|PF2|成等比数列，可知，|F1F2|2=|PF1||PF2|，即4c2=|PF1||PF2|，由双曲线的定义可知|PF1|﹣|PF2|=4，即|PF1|2+|PF2|2﹣2|PF1||PF2|=16，可得|PF1|2+|PF2|2﹣8c2=16…①设∠POF1=θ，则∠POF2=π﹣θ，由余弦定理可得：|PF2|2=c2+|OP|2﹣2|OF2||OP|cos（π﹣θ），|PF1|2=c2+|OP|2﹣2|OF1||OP|cosθ，|PF2|2+PF1|2=2c2+2|OP|2，…②，由①②化简得：|OP|2=8+3c2=20+3b2．因为|OP|＜5，b∈N，所以20+3b2＜25．所以b=1．c==，即有e==．故选：D．二、填空题：本大题4小题，每小题5分，满分20分13．在平面直角坐标系xOy中，有一定点A（2，1），若线段OA的垂直平分线过抛物线y2=2px（p＞0）的焦点，则该抛物线的准线方程是x=﹣．【考点】抛物线的简单性质．【分析】先求出线段OA的垂直平分线方程，然后表示出抛物线的焦点坐标并代入到所求方程中，进而可求得p的值，即可得到准线方程．【解答】解：依题意我们容易求得直线的方程为4x+2y﹣5=0，把焦点坐标（，0）代入可求得焦参数p=，从而得到准线方程x=﹣．故答案为：x=﹣．14．已知p：“∀x∈[1，2]，x2﹣a≥0”，q：“∃x0∈R，使x02+2ax0+2﹣a=0”．若命题“p且q”是真命题，则实数a的取值范围是a≤﹣1，或a=1．【考点】复合命题的真假．【分析】p真：可得a≤（x2）min．q真：△≥0．由命题“p且q”是真命题，可得p与q都为真命题．【解答】解：p：“∀x∈[1，2]，x2﹣a≥0”，∴a≤（x2）min=1，∴a≤1．q：“∃x0∈R，使x02+2ax0+2﹣a=0”，∴△=4a2﹣4（2﹣a）≥0，解得a≥1或a≤﹣2．∵命题“p且q”是真命题，∴p与q都为真命题．∴，解得a≤﹣1或a=1．则实数a的取值范围是a≤﹣1，或a=1．故答案为：a≤﹣1，或a=1．15．已知P（4，﹣1），F为抛物线y2=8x的焦点，M为此抛物线上的点，且使|MP|+|MF|的值最小，则M点的坐标为（，﹣1）．【考点】抛物线的简单性质．【分析】根据抛物线的方程算出焦点为F（2，0），准线l的方程为：x=﹣2．利用抛物线的定义与平面几何知识，可知当且仅当点M，N，P共线时，|MP|+|MF|有最小值，进而可求出M的坐标．【解答】解：∵抛物线为y2=8x，∴2p=8，得=2，可得焦点为F（2，0），准线l的方程为：x=﹣2．过点M作MN⊥l，垂足为N，则根据抛物线的定义，可得|MN|=|MF|．由平面几何知识，当且仅当点M，N，P共线时，|MP|+|MF|取得最小值，此时M（，﹣1）故答案为：（，﹣1）16．过点M（1，1）作斜率为﹣的直线与椭圆C：+=1（a＞b＞0）相交于A，B两点，若M是线段AB的中点，则椭圆C的离心率等于．【考点】椭圆的简单性质．【分析】利用点差法，结合M是线段AB的中点，斜率为﹣，即可求出椭圆C的离心率．【解答】解：设A（x1，y1），B（x2，y2），则①，②，∵M是线段AB的中点，∴=1，=1，∵直线AB的方程是y=﹣（x﹣1）+1，∴y1﹣y2=﹣（x1﹣x2），∵过点M（1，1）作斜率为﹣的直线与椭圆C：+=1（a＞b＞0）相交于A，B两点，M是线段AB的中点，∴①②两式相减可得，即，∴a=b，∴=b，∴e==．故答案为：．三、解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．17．已知抛物线的顶点在原点，它的准线过双曲线的右焦点，而且与x轴垂直．又抛物线与此双曲线交于点，求抛物线和双曲线的方程．【考点】双曲线的标准方程；抛物线的标准方程．【分析】根据题中的点在抛物线上，列式解出抛物线方程为y2=﹣2x，从而算出双曲线右焦点坐标为（1，0），可得c2=a2+b2=1．再由点在双曲线上建立关于a、b的方程，联解得到a、b的值，即可得到双曲线的方程．【解答】解：由题意，设抛物线方程为y2=﹣2px（p＞0）∵抛物线图象过点，∴，解之得p=2．所以抛物线方程为y2=﹣4x，准线方程为x=1．∵双曲线的右焦点经过抛物线的准线，∴双曲线右焦点坐标为（1，0），c=1∵双曲线经过点，∴结合c2=a2+b2=1，联解得或a2=9，b2=﹣8（舍去）∴双曲线方程为．综上所述，抛物线方程为y2=﹣4x，双曲线方程为．18．已知命题p：关于x的方程x2﹣ax+4=0有实根；命题q：关于x的函数y=2x2+ax+4在[3，+∞）上是增函数，若“p或q”是真命题，“p且q”是假命题，求实数a的取值范围．【考点】命题的真假判断与应用．【分析】由已知中，命题p：关于x的方程x2﹣ax+4=0有实根；命题q：关于x的函数y=2x2+ax+4在[3，+∞）上是增函数，我们可以求出命题p与命题q为真或假时，实数a的取值范围，又由“p或q”为真，“p且q”为假，构造关于a的不等式组，解不等式组即可得到实数a的取值范围．【解答】解：若p真：则△=a2﹣4×4≥0∴a≤﹣4或a≥4若q真：，∴a≥﹣12由“p或q”是真命题，“p且q”是假命题得：p、q两命题一真一假当p真q假时：a＜﹣12；当p假q真时：﹣4＜a＜4综上，a的取值范围为（﹣∞，﹣12）∪（﹣4，4）19．已知动点P与双曲线﹣=1的两个焦点F1，F2所连线段的和为6，（1）求动点P的轨迹方程；（2）若•=0，求点P的坐标；（3）求角∠F1PF2余弦值的最小值．【考点】直线与圆锥曲线的关系；轨迹方程．【分析】（1）直接利用椭圆的定义，动点到两定点的距离等于2a（a＞c）；（2）直接利用向量坐标乘积，求出P的坐标；（3）利用解三角形余弦定理公式与不等式关系可求出最小值；【解答】解：双曲线的两个焦点为F1（0，5），F2（0，﹣5）；（1）PF1+PF2=故动点P的轨迹是椭圆；轨迹方程是；（2）由得：PF1⊥PF2；设P（x，y），则；又；解得：P（4，3），P（4，﹣3），P（﹣4，3），P（﹣4，﹣3）；（3）△PF1F2中，cos∠F1PF2=；PF1+PF2=，F1F2=10，又；∴20．如图，在四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD是边长为1的正方形，侧棱PA的长为2，且PA与AB、AD的夹角都等于60°，M是PC的中点，设=，=，=．（1）试用，，表示出向量；（2）求BM的长．【考点】向量在几何中的应用．【分析】（1）根据向量加法法则，得，再根据正方形ABCD中，结合代入化简即得用，，表示向量的式子；（2）由题意得、、的模长分别为1、1、2，利用数量积公式结合题中角度算出，，代入的表示式算出，从而得到BM的长等于．【解答】解：（1）∵M是PC的中点，∴∵，，∴结合，得═（2）∵AB=AD=1，PA=2，∴，∵AB⊥AD，∠PAB=∠PAD=60°∴，∵∴===∴=，即BM的长等于．21．已知，椭圆C过点A，两个焦点为（﹣1，0），（1，0）．（1）求椭圆C的方程；（2）E，F是椭圆C上的两个动点，如果直线AE的斜率与AF的斜率互为相反数，证明直线EF的斜率为定值，并求出这个定值．【考点】椭圆的应用；椭圆的标准方程；直线与圆锥曲线的综合问题．【分析】（Ⅰ）由题意，c=1，可设椭圆方程代入已知条件得，求出b，由此能够求出椭圆方程．（Ⅱ）设直线AE方程为：，代入得，再点在椭圆上，结合直线的位置关系进行求解．【解答】解：（Ⅰ）由题意，c=1，可设椭圆方程为，解得b2=3，（舍去）所以椭圆方程为．（Ⅱ）设直线AE方程为：，代入得设E（x E，y E），F（x F，y F），因为点在椭圆上，所以由韦达定理得：，，所以，．又直线AF的斜率与AE的斜率互为相反数，在上式中以﹣K代K，可得，所以直线EF的斜率即直线EF的斜率为定值，其值为．22．已知菱形ABCD的顶点A，C在椭圆x2+3y2=4上，对角线BD所在直线的斜率为1．（Ⅰ）当直线BD过点（0，1）时，求直线AC的方程；（Ⅱ）当∠ABC=60°时，求菱形ABCD面积的最大值．【考点】椭圆的应用．【分析】（Ⅰ）由题意得直线BD的方程，根据四边形ABCD为菱形，判断出AC⊥BD．于是可设出直线AC的方程与椭圆的方程联立，根据判别式大于0求得n的范围，设A，C两点坐标分别为（x1，y1），（x2，y2），根据韦达定理求得x1+x2和x1x2，代入直线方程可表示出y1+y2，进而可得AC中点的坐标，把中点代入直线y=x+1求得n，进而可得直线AC的方程．（Ⅱ）根据四边形ABCD为菱形判断出∠ABC=60°且|AB|=|BC|=|CA|．进而可得菱形ABCD 的面积根据n的范围确定面积的最大值．【解答】解：（Ⅰ）由题意得直线BD的方程为y=x+1．因为四边形ABCD为菱形，所以AC⊥BD．于是可设直线AC的方程为y=﹣x+n．由得4x2﹣6nx+3n2﹣4=0．因为A，C在椭圆上，所以△=﹣12n2+64＞0，解得．设A，C两点坐标分别为（x1，y1），（x2，y2），则，，y1=﹣x1+n，y2=﹣x2+n．所以．所以AC的中点坐标为．由四边形ABCD为菱形可知，点在直线y=x+1上，所以，解得n=﹣2．所以直线AC的方程为y=﹣x﹣2，即x+y+2=0．（Ⅱ）因为四边形ABCD为菱形，且∠ABC=60°，所以|AB|=|BC|=|CA|．所以菱形ABCD的面积．由（Ⅰ）可得，所以．所以当n=0时，菱形ABCD的面积取得最大值．。

2017-2018学年河南省南阳市高二下学期期中考试数学（理）试题一、单选题1．已知为虚数单位，复数，则以下为真命题的是（）A. 的共轭复数为B. 的虚部为C. D. 在复平面内对应的点在第一象限【答案】D【解析】,的共轭复数为,的虚部为, ,在复平面内对应的点为,故选D.2．设，，都是正数，则三个数，，（）A. 都大于2B. 至少有一个大于2C. 至少有一个不小于2D. 至少有一个不大于2【答案】C【解析】分析：利用均值不等式，求解，即可得到结论．详解：由题意都是正数，则，当且仅当时，等号是成立的，所以中至少有一个不小于，故选C．点睛：本题主要考查了均值不等式的应用，其中解答中构造均值不等式的条件是解答的关键，着重考查了学生的推理与运算能力．3．当在上变化时，导函数的符号变化如下表：14-则函数的图像大致形状为（）A. B. C. D.【答案】C【解析】分析：根据上表中导函数的取值，得到函数的单调性，即可选出图象．详解：由上表可知，当时，，所以函数在单调递减；当时，，所以函数在单调递增，所以函数如选项C所示，故选C．点睛：本题主要考查了函数的导数与函数图象的关系，正确理解导函数与原函数的关系是解答的关键，着重考查了分析问题和解答问题的能力．4．直线与曲线相切于点，则的值为（）A. -1B. 0C. 1D. 2【答案】A【解析】由直线与曲线相切于点，则点满足直线的方程，即，即由，则，则，解得，故选A．5．已知函数在处取得极大值10，则的值为（）A. B. C. -2或 D. -2【答案】B【解析】分析：由函数，求得，根据函数在处取得极大值，得方程组，即可求解的值，进而得到的值．详解：由函数，可得，因为函数在处取得极大值，则，即，解得或，经验证，当时，时取得极小值，不符合题意（舍去）所以，故选B．点睛：本题主要考查了利用导数研究函数的单调性与极值的应用，其中利用题设条件，列出方程组是解答的关键，其中对的值进行验证是解答的一个易错点，着重考查了分析问题和解答问题的能力，以及推理与运算能力．6．利用数学归纳法证明不等式（，）的过程中，由变到时，左边增加了（）A. 1项B. 项C. 项D. 项【答案】D【解析】试题分析：时左面为，时左面为，所以增加的项数为【考点】数学归纳法7．若曲线与曲线在交点处由公切线，则（）A. -1B. 0C. 2D. 1【答案】D【解析】分析：由曲线与曲线在交点出有公切线，根据斜率相等，求解，根据点在曲线上，求得，进而求得的值，即可求解．详解：由曲线，得，则，由曲线，得，则，因为曲线与曲线在交点出有公切线，所以，解得，又由，即交点为，将代入曲线，得，所以，故选D．点睛：本题主要考查了导数的几何意义的应用，其中解答中根据在点处的公切线，建立方程求解是解答的关键，，着重考查了分析问题和解答问题的能力，以及推理与运算能力．8．若函数（）有最大值-4，则的值是（）A. 1B. -1C. 4D. -4【答案】B【解析】分析：由函数，得，要使得函数有最大值，则，进而得函数的单调性，得当时，函数取得最大值，即可求解．详解：由函数，则，要使得函数有最大值，则，则当时，，函数在上单调递增，当时，，函数在上单调递减，所以当时，函数取得最大值，即，解得，故选B．点睛：本题主要考查了导数在函数问题中的应用，其中解答中涉及到利用导数研究函数的单调性，利用导数求解函数的最值等知识点的综合运用，着重考查了分析问题和解答问题的能力，以及推理与运算能力．9．函数在上有最小值，则实数的范围是（）A. B. C. D.【答案】C【解析】分析：由函数，得，得到函数的单调性，再由，令，解得或，结合函数的图象，即可求解实数的取值范围；详解：由函数，得，当时，，所以在区间单调递增，当时，，所以在区间单调递减，又由，令，即，解得或，要使得函数在上有最小值，结合函数的图象可得，实数的取值范围是，故选C．点睛：本题主要考查了导数在函数中的应用，其中解答中利用导数研究函数的单调性和极值是解答的关键，着重考查了分析问题和解答问题的能力，以及推理与运算能力．10．将正奇数1,3,5,7，…排成五列（如下表），按此表的排列规律，2019所在的位置是（）A. 第一列B. 第二列C. 第三列D. 第四列【答案】C【解析】分析：由题意，得数字是第个奇数，又由数表可知，每行个数字，得第个奇数位于第行的第2个数，即可判定，得到结论．详解：由题意，令，解得，即数字是第个奇数，又由数表可知，每行个数字，则，则第个奇数位于第行的第2个数，所以位于第三列，故选C．点睛：本题主要考查了归纳推理和数列知识的应用，其中认真审题，读懂题意是解答的关键，着重考查了分析问题和解答问题的能力，以及推理与运算能力．11．设定义在上的函数的导函数满足，则（）A. B.C. D.【答案】A【解析】分析：由题意的，设，则，所以函数在上为单调递增函数，由，即可得到结果．详解：由定义在上的函数的导函数满足，则，即，设，则，所以函数在上为单调递增函数，则，即，所以，故选A．点睛：本题主要考查了函数值的比较大小问题，其中解答中根据题意构造新函数，利用导数得到新函数的单调性，利用单调性比较是解答的关键，着重考查了分析问题和解答问题的能力，以及推理与运算能力．12．一个机器人每一秒钟前进一步或后退一步，程序设计师设计的程序是让机器人以先前进3步，然后再后退2步的规律移动.如果将机器人放在数轴的原点，面向正的方向在数轴上移动(1步的距离为1个单位长度).令表示第秒时机器人所在位置的坐标，且记,则下列结论中错误的是（）A. B.C. D.【答案】D【解析】分析：由题意，按“前进步，然后再后退步”的步骤，发现机器人每秒为周期的移动方式，解出相应的数值，根据规律推导，即可得到结果．详解：由题意可知，程序设计师设计的程序是让机器人以先前进步，然后再后退步的规律移动，所以机器人的移动方式具有以秒为周期的移动方式，且每秒前进个单位，所以是正确的；由，，所以是正确的；由，，所以是不正确，故选D．点睛：本题主要考查了数列的实际应用问题，其中解答中得到机器人的移动方式具有以秒为周期，且每秒前进个单位的移动规律是解答的关键，同时注意数轴上点的移动规律“左减右加”，着重考查了分析问题和解答问题的能力，以及推理与运算能力．二、填空题13．__________．【答案】【解析】分析：先根据定积分的几何意义求出，再根据定积分计算出的值，即可求解结果．详解：因为表示以为圆心，以为半径的圆的四分之一，所以，所以．点睛：本题主要考查了定积分的几何意义及微积分基本定理的应用，其中熟记定积分的几何意义和微积分基本定理是解答的关键，着重考查了推理与运算能力．14．我们知道，在边长为的正三角形内任一点到三边的距离之和为定值，类比上述结论，在棱长为的正四面体内任一点到其四个面的距离之和为定值__________．【答案】【解析】类比在边长为a的正三角形内任一点到三边的距离之和为定值，得棱长为a的正四面体内任一点到其四个面的距离之和为定值，如图，不妨设O为正四面体ABCD外接球球心，F为CD中点，E为A在平面BCD上的射影，由棱长为a可以得到BF＝a，BO＝AO＝a－OE，在直角三角形中，根据勾股定理可以得到BO2＝BE2＋OE2，把数据代入得到OE＝a，所以棱长为a的正四面体内任一点到各个面的距离之和为4×a＝a15．已知函数（），若函数在上为单调函数，则的取值范围是__________．【答案】∪[1，＋∞)【解析】分析：求出原函数的导数，由函数在上为单调函数，得到时，或恒成立，分类参数引入新函数，即可求解．详解：由函数，得，因为函数在上为单调函数，所以时，或恒成立，即或在上恒成立，且，设，因为函数在上单调递增，所以或，解得或，即实数的取值范围是．点睛：本题主要考查了导数在函数中的应用，以及函数的恒成立问题的求解，着重考查了转化与化归思想、逻辑推理能力与计算能力，对导数的应用的考查主要从以下几个角度进行：(1)考查导数的几何意义，求解曲线在某点处的切线方程；(2)利用导数求函数的单调区间，判断单调性；已知单调性，求参数；(3)利用导数求函数的最值(极值)，解决函数的恒成立与有解问题，同时注意数形结合思想的应用．16．定义：如果函数在区间上存在，（），满足，，则称函数在区间上市一个双中值函数，已知函数是区间上的双中值函数，则实数的取值范围是__________．【答案】【解析】分析：根据题意得到，即方程在区间上有两个解，利用二次函数的性质即可求出的取值范围．详解：因为，所以，因为函数是区间上的双中值函数，所以区间上存在满足，所以方程在区间上有两个不相等的解，令，则，解得，所以实数的取值范围是．点睛：本题主要考查了函数的解得个数问题的应用，考查了导数在函数中的综合应用，把函数是区间上的双中值函数，方程在区间上有两个不相等的解是解答关键，着重考查了转化与化归思想，及函数与方程思想与推理与论证能力，试题有一定难度，属于中档试题．三、解答题17．已知是虚数单位，复数满足.（1）求；（2）若复数的虚部为2，且是实数，求.【答案】(1)；(2).【解析】分析：（1）根据题意，利用复数的除法运算，求解复数，进而求得复数的模；（2）设,由是实数，求解的值，即可求解复数．详解：（1）．（2）设,则,是实数∴．∴．点睛：本题主要考查了复数的四则运算及复数相等、复数的模等问题，其中熟记复数的基本概念和复数的四则运算是解答的关键，着重考查了推理与运算能力．18．设点在曲线上，从原点向移动，如果直线，曲线及直线所围成的两个阴影部分的面积分别记为，，如图所示.（1）当时，求点的坐标；（2）当有最小值时，求点的坐标.【答案】(1)；(2).【解析】分析：（1）设点的横坐标为，得点的坐标，利用定积分求解，利用，求得的值，即可求得点的坐标．（2）由（1）可求当，化简后，为的函数，再利用导数求得的最小值．详解：（1）设点P的横坐标为t（0＜t＜2），则P点的坐标为（t，t2），直线OP的方程为y=txS1=∫0t（tx﹣x2）dx=，S2=∫t2（x2﹣tx）dx=，因为S1=S2，，所以，点P的坐标为（2）S=S1+S2=S′=t2﹣2，令S'=0得t2﹣2=0，t=因为0＜t＜时，S'＜0；＜t＜2时，S'＞0所以，当t=时，S1＋S2有最小值，P点的坐标为．点睛：本题主要考查了定积分的应用及利用导数求解函数的最值问题，着重考查了分析问题和解答问题的能力，以及推理与运算能力．19．已知函数在与时都取得极值.（1）求，的值与函数的单调区间；（2）若对，不等式恒成立，求的取值范围.【答案】(1)答案见解析；(2).【解析】分析：（1）由，求得，由，求得的值，得到函数的解析式，利用导数即可求解函数的单调区间．（2）由题意，设，分和两种情况分类讨论，即可求解实数的取值范围．详解：（1）由，得，随着变化时，的变化情况如下表：↑所以函数的递增区间是与,递减区间是；（2），当时，由（1）知在上的最大值为所以只需要，得当时，由（1）知在上的最大值为所以只需要，解得所以综上所述，的取值范围为点睛：本题主要考查导数在函数中的应用，以及恒成立问题的奇迹诶，着重考查了转化与化归思想、逻辑推理能力与计算能力，对导数的应用的考查主要从以下几个角度进行：(1)考查导数的几何意义，求解曲线在某点处的切线方程；(2)利用导数求函数的单调区间，判断单调性；已知单调性，求参数；(3)利用导数求函数的最值(极值)，解决函数的恒成立与有解问题，同时注意数形结合思想的应用．20．已知数列，，…，，为该数列的前项和.（1）计算，，，；（2）根据计算结果，猜想的表达式，并用数学归纳法证明.【答案】(1)；(2)答案见解析.【解析】试题分析：(1)由题中所给的条件计算可得：；(2)由题意归纳推理猜想，然后利用数学归纳法证得该结论成立即可.试题解析：（1）．（2）猜想，用数学归纳法证明如下：①当时，，猜想成立；② 假设当时，猜想成立，即，当时，故当时，猜想成立．由①②可知，对于任意的，都成立．21．已知函数.（1）证明；（2）如果对恒成立，求的范围.【答案】(1)证明见解析；(2).【解析】分析：（1）由题意，求得，又由，即可证得；由题意知恒成立，设，求得，可分和两种情况分类讨论，即可求解的取值范围．详解：（1）证明：故由题意知恒成立，设，则，符合题意，即，单调递减，不合题意，综上，的取值范围为．点睛：本题主要考查导数在函数中的应用，以及恒成立问题的求解，着重考查了转化与化归思想、逻辑推理能力与计算能力，其中利用导数求函数的单调性与最值(极值)，是解决函数的恒成立与有解问题常考点，同时注意数形结合思想的应用．22．已知函数（为自然对数的底数）.（1）求函数的单调区间；（2）设函数，存在实数，，使得成立，求实数的取值范围.【答案】(1)f(x)在(－∞，0)上单调递增，在(0，＋∞)上单调递减；(2).【解析】分析：（1）确定函数的定义域，求到数，利用导数的正负，即可求解函数的单调区间；（2）假设存在，使得成立，则，分类讨论求最值，即可求实数的取值范围．详解：(1)∵函数的定义域为R，f′(x)＝－，∴当x<0时，f′(x)>0，当x>0时，f′(x)<0，∴f(x)在(－∞，0)上单调递增，在(0，＋∞)上单调递减．(2)存在x1，x2∈[0,1]，使得2φ(x1)<φ(x2)成立，则2[φ(x)]min<[φ(x)]max.∵φ(x)＝xf(x)＋tf′(x)＋e－x＝，∴.①当t≥1时，φ′(x)≤0，φ(x)在[0,1]上单调递减，∴2φ(1)<φ(0)，即t>3－>1；②当t≤0时，φ′(x)>0，φ(x)在[0,1]上单调递增，∴2φ(0)<φ(1)，即t<3－2e<0；③当0<t<1时，若x∈[0，t)，φ′(x)<0，φ(x)在[0，t)上单调递减，若t∈(t,1]，φ′(x)>0，φ(x)在(t,1)上单调递增，∴2φ(t)<max{φ(0)，φ(1)}，即2·<max{1，}．()由(1)知，g(t)＝2·在[0,1]上单调递减，故≤2·≤2，而≤≤，∴不等式()无解．综上所述，存在t∈(－∞，3－2e)∪(3－，＋∞)，使得命题成立．点睛：本题主要考查了导数在函数中的综合应用，其中解答中涉及到利用导数求解函数的单调区间，利用导数求解函数的最值及其应用，本题解答中把使得成立，转化为是解答的难点，着重考查了分类讨论的数学思想，及分析问题和解答问题的能力，属于中档试题．。

考试答案一、填空题：w W w .x K b 1.c o M1、异面、平行；2、；3、；4、；5、垂直；6、；7、；8、；9、；10、③④；11、；12、取中点R，P地轨迹即为线段RC.二、选择题：13、A；14、D；15、A；16、A；17、A；18、C三、解答题：19、<1）由………3分故：两根为所以：………6分新课标第一网<2）证明:假设直线与共面，设该平面为.………2分可知直线与在平面上，所以……………4分即即直线为共面直线，与已知为异面直线矛盾.故原假设不成立，则直线与为异面直线.……………6分20、解：<1）………3分<2）………4分..........6分………8分21、解：(1>,将代入，得....3分<2）设，中点..........6分新课标第一网将代入得：AB中点轨迹为8分22、<1）延长DB与交于点P，P即为所求点.<图略）……………4分<2）过N点作交AB于点E，连结CN,CE.可知即为异面直线AM、CN所成角.......6分.，可求得.......9分则……………………10分X k B 1 . c o m23、<1）结论：上述直线上所有地点都是“点”………2分由题意得：直线……………3分设，由A为BP中点，可知由A、B两点在抛物线上，则：w W w .x K b 1.c o M化简得关于地方程:<*）…………5分其判别式恒成立，可知对方程<*）恒有解.即对直线上所有地点P，存在过P点地直线交抛物线于A、B两点，使得A为BP中点.…………8分<2）设直线地斜率为，直线，直线与抛物线地交点，…………2分斜率和为定值0……………4分如存在满足条件地点M，使得为定值仅当，即时，……………8分申明：所有资料为本人收集整理，仅限个人学习使用，勿做商业用途.。

试卷类型 A2016-2017学年高二下学期期中考试数学（理）试题一．选择题（5分×12=60分）在每小题给出的四个选项只有一个正确。

1．下列求导运算正确的是（ ） A. 233'1x x x ⎛⎫+=+ ⎪⎝⎭ B. ()21log 'ln2x x = C. ()33'3log x x e = D. ()2cos '2sin x x x x =-2．曲线34y x x =-在点（－1，－3）处的切线方程是（ ） A.74y x =+ B.72y x =+ C.2y x =- D.4y x =- 3．由“若b a>，则c b c a +>+”推理到“若b a >，则bc ac >”是（ ）A.归纳推理B.类比推理C.演绎推理D.不是推理4．已知三棱锥O ABC -，点,M N 分别为,AB OC 的中点，且,,OA a OB b OC c === ，用a ， b ， c表示MN ，则MN等于( )A. ()12b c a +-B.()12a b c +- C. ()12a b c -+ D. ()12c a b -- 5．若'0()3f x =-，则000()(3)limh f x h f x h h→+--=（ ） A ．-3 B ． -6 C ．-9 D ．-126．若2(sin cos )2x a x dx π-=⎰，则实数a 等于（ ）A ．1-B ．1C ．7．如图，函数()y f x =的图象在点P 处的切线方程是8y x =-+，则()()55f f '+=( )A ．12B ．1C ．2D ．0 8．函数32()23f x x x a =-+的极大值为6，那么a 的值是（ ） A ．5 B ．0 C ．6 D ．19.函数f （x ）在x=x 0处导数存在，若p ：f′（x 0）=0：q ：x=x 0是f （x ）的极值点，则（ ） A ．p 是q 的充分必要条件B ．p 是q 的充分条件，但不是q 的必要条件C ．p 是q 的必要条件，但不是q 的充分条件D ．p 既不是q 的充分条件，也不是q 的必要条件 10．若2()2'(1)f x xf x =+，则'(0)f 等于 （ ） A. －2 B. －4 C. 2 D. 0 11．由曲线x y =，直线2-=x y 及y 轴所围成的封闭图形的面积为（ ）A ．316 B ．310C ．4D ．6 12．函数()f x 在实数集R 上连续可导，且()()20f x f x '->在R 上恒成立，则以下不等式一定成立的是（ ） A. ()()221f f e >B. ()()221f f e <C. ()()321f e f -> D. ()()321f e f -<二．填空题。