高中数学《对数函数》导学案 北师大版必修1(1)

【必修1】第三章 指数函数和对数函数第四节 对数（2）学时：1学时【学习引导】一、自主学习1. 阅读课本8386P P -练习2止． 2. 回答问题（1）课本内容分成几个层次？每个层次的中心内容是什么？（2）层次间的联系是什么？（3）对数的换底公式是什么？具体如何应用呢？3. 完成86P 练习4. 小结.二、方法指导1.本节内容的重点是换底公式的推导及应用1.阅读本节内容是，同学们应以指数与对数的互化为基础来推导对数的换底公式.【思考引导】一、提问题1.换底公式log log log a b a N N b=中的字母,,a b N 分别有什么要求？2.换底公式是否可以把对数的底换成任意一个实数呢？3.换底公式的推论有哪些？二、变题目1. 计算100lg 20log 25+的结果是 （ ）(A) 5 (B) 10 (C) 2 (D) 42．若3log log 5a b a ⋅= ，则b 等于 ( )(A) 3a (B) 5a (C) 53 (D) 353．试用自然对数表示下列对数：（1）3log 5= . （2）27log 16= .4.设a,b,c 都是正数，且346a b c ==，那么 （ ）（A ）111c a b =+ （B ）221c a b =+ （C ）122c a b =+ （D ）212c a b=+ 5．已知6log 2a =，则3log 6= .6．计算：（1）235log 25log 4log 9⋅⋅= .（2）41log 16912log 274⎛⎫++ ⎪⎝⎭= .7．已知5log 3,54b a ==求25log 12的值.【总结引导】换底公式推论：（1）log log n n a a b b =（2）log log m n a a n b b m= （3）log log 1a b b a ⋅=（4）log log log log a b c a b c d d ⋅⋅=【拓展引导】一、课外作业：83P A 组 5，6 B 组 3，4二、课外思考：1. 求值：2lg 2lg 3111lg 0.36lg823+++.2．若56789log 6log 7log 8log 9log 10y =⋅⋅⋅⋅，则有 （ ）（A ）()0,1y ∈ （B ）()1,2y ∈ （C ）()2,3y ∈ （D ）1y =撰稿：熊秋艳 审稿：宋庆 参考答案【思考引导】二、变题目1.C2. C3. ln 5ln 3 ， 4ln 23ln 34.B5. 11a -6.（1）8 （2）11927. 2a b+【拓展引导】1. 12. B。

普通高中课程标准实验教科书 ［北师版] –必修1第三章 指数函数与对数函数 §3。

5对数函数§3.5.3。

对数函数的图像与性质(第一课时)(学案）［学习目标］ 1、知识与技能（1）由前面学习指数函数的图像和对数函数2y log x 的图像的基础上,画出一般的对数函数的图像．（2）会利用指数函数对数函数的图像研究对数函数的性质． (3）能够理解指数函数的图像和性质与对数函数的图像与性质之间的关系． 2、 过程与方法（1)掌握指数函数的图像与对数函数的图像之间的关系,会利用它们的对称关系，熟练地进行画图．(2）学会类比研究问题,利用数性结合的思想研究函数的性质．3、情感．态度与价值观通过学习对数函数，了解指数函数与对数函数图像和性质之间的关系．在学习的过程中体会类比、转化、数形结合的方法研究问题．直观明了,增强学习对数函数的积极性和自信心．[学习重点]: 对数函数的图像和性质以及与指数函数图像与性质之间的关系．[学习难点］：对数函数图像与性质与指数函数的图像与性质之间的关系．［课时安排]： 2课时[学习方法］：思考、探究．［学习过程]【新课导入】［互动过程1]复习:1．对数函数2y log x =的图像与性质，以及与指数函数xy 2=的图像与性质之间的关系2．练习:画出下列函数的图像x x 121(1)y 2;(2)y log x;(3)y ();(4)y lg x 3====填表:对数函数a y logx(a 0,a 1)=>≠分别就其底数a 1>和0a 1<<这两种情况的图像和性质:例4．求下列函数的定义域：2a a (1)y log x ;(2)y log (4x)==-练习1:求下列函数的定义域1(1)y lg(x 5);(2)y ln 3x=-=-例5．比较下列各题中两个数的大小：22(1)log 5.3,log 4.7;0.20.2(2)log 7,log 9 3(3)log ,log 3;ππa a (4)log 3.1,log 5.2(a 0,a 1)>≠练习2:比较下列各组数中两个值的大小：（1)4.32log ，5.82log （2）8.13.0log ，7.23.0log(3）1.5log a ，9.5log a（a ＞0，且a ≠1） 课堂补充练习：1．求下列函数的定义域：（1）)1(log 3x y -= （2)x y 3log = （3）x y 311log 7-= （4)xy 2log 1=2．比较大小．4log 5log )3(01.0log 31log )2(log 3log )1(5321.05.05.0和和和π课堂小结：对数函数的图像与性质作业:习题3-5A组3,4,5，6。

《对数函数及其性质》本节内容是在学习了指数函数后，通过具体实例了解对数函数模型的实际背景，学习对数的概念进而学习对数函数．教材的编写中反映了指数函数与对数函数的很多对应关系，为反函数的提出作为铺垫．本本节的重难点是对数函数的定义、图像和性质．解决有关对数函数的问题时，一要注意对数函数的定义域，二要注意底数的取值范围的限制，需要分类讨论时一定要分类讨论．1．对数函数的概念，熟悉对数函数的图像与性质规律．掌握对数函数的性质，能初步运用性质解决问题．2．让学生通过观察对数函数的图像，发现并归纳对数函数的性质．学生通过观察和类比函数图像，体会两种函数的单调性差异．3．培养学生数形结合的思想以及分析推理的能力，体会指数函数与对数函数互为反函数，培养学生严谨的科学态度．【教学重点】理解对数函数的定义，掌握对数函数的图像和性质．理解指数函数与对数函数内在联系．【教学难点】底数a对图像的影响及对数函数性质的作用．回顾指数与指数函数的性质和对数与对数的运算，阅读材料《对数的发明》．1．设置情境在2．2．1的例6中，考古学家利用logP 估算出土文物或古遗址的年代，对于每一个C 14含量P ，通过关系式，都有唯一确定的年代t 与之对应．同理，对于每一个对数式log xa y =中的x ，任取一个正的实数值，y 均有唯一的值与之对应，所以log xa y x =关于的函数． 2．探索新知一般地，我们把函数log a y x =（a ＞0且a ≠1）叫做对数函数，其中x 是自变量，函数的定义域是（0，+∞）．提问：（1）在函数的定义中，为什么要限定a ＞0且a ≠1．（2）为什么对数函数log a y x =（a ＞0且a ≠1）的定义域是（0，+∞）．组织学生充分讨论、交流，使学生更加理解对数函数的含义，从而加深对对数函数的理解．答：①根据对数与指数式的关系，知log a y x =可化为ya x =，由指数的概念，要使y a x =有意义，必须规定a ＞0且a ≠1．②因为log a y x =可化为y x a =，不管y 取什么值，由指数函数的性质，ya ＞0，所以(0,)x ∈+∞．下面我们来研究函数的图像，并通过图像来研究函数的性质：先完成P 81表2－3，并根据此表用描点法或用电脑画出函数2log xy =的图象, 再利用xx2log y x =注意到：122log log y x x ==-，若点2(,)log x y y x =在的图像上，则点12(,)log x y y x -=在的图像上． 由于（,x y -）与（,x y -）关于x 轴对称，因此，12log y x=的图像与2log y x =的图像关于x 轴对称． 所以，由此我们可以画出12log y x =的图像．先由学生自己画出12log y x =的图像，再由电脑软件画出2log y x =与12log y x =的图像．探究：选取底数(a a ＞0，且a ≠1）的若干不同的值，在同一平面直角坐标系内作出相应的14x 性质又由上述表格可知，对数函数的性质如下（先由学生仿造指数函数性质完成，教师适当启发、引导）：3．例题讲解例1 求下列函数的定义域（1）2log a y x = （2）log (4)a y x =- （a ＞0且a ≠1） 分析：由对数函数的定义知：2x ＞0；4x -＞0，解出不等式就可求出定义域． 解：（1）因为2x ＞0，即x ≠0，所以函数2log x a y =的定义域为{}|0x x ≠．（2）因为4x -＞0，即x ＜4，所以函数(4)log x a y -=的定义域为{|x x ＜}4．例2 比较下列各组数中的两个值大小（1）22log 3.4,log 8.5（2）0.30.3log 1.8,log 2.7（3）log 5.1,log 5.9a a （a ＞0，且a ≠1）分析：由数形结合的方法或利用函数的单调性来完成：（1）解法1：用图形计算器或多媒体画出对数函数2log y x =的图像．在图像上，横坐标为3、4的点在横坐标为8．5的点的下方：所以，22log 3.4log 8.5<解法2：由函数2log y x R =在+上是单调增函数，且3．4＜8．5，所以22log 3.4log 8.5<． 解法3：直接用计算器计算得：2log 3.4 1.8≈，2log 8.5 3.1≈ （2）第（2）小题类似（3）注：底数是常数，但要分类讨论a 的范围，再由函数单调性判断大小． 解法1：当a ＞1时，log a y x =在（0，＋∞）上是增函数，且5．1＜5．9． 所以，log 5.1a <log 5.9a当a <1时，log a y x =在（0，＋∞）上是减函数，且5．1＜5．9． 所以，log 5.1a >log 5.9a解法2：转化为指数函数，再由指数函数的单调判断大小不一， 令 11log 5.1, 5.1,ba b a ==则 令22log 5.9, 5.9,b a b a==则 则2 5.9b a =则当a ＞1时，xy a =在R 上是增函数，且5．1＜5．9 所以，1b ＜2b ，即log 5.1a ＜log 5.9a当0＜a ＜1时，xy a =在R 上是减函数，且5．1＞5．9 所以，1b ＜2b ，即log 5.1a ＞log 5.9a 说明：先画图像，由数形结合方法解答4．课堂练习：教材对应习题．5．反函数探究：在指数函数2xy =中，x 为自变量，y 为因变量，如果把y 当成自变量，x 当成因变量，那么x 是y 的函数吗？如果是，那么对应关系是什么？如果不是，请说明理由．引导学生通过观察、类比、思考与交流，得出结论．在指数函数2xy =中，x 是自变量， y 是x 的函数（,x R y R +∈∈），而且其在R 上是单调递增函数．过y 轴正半轴上任意一点作x 轴的平行线，与2xy =的图像有且只有一个交点．由指数式与对数式关系，22log xy x y ==得，即对于每一个y ，在关系式2log x y =的作用之下，都有唯一的确定的值x 和它对应，所以，可以把y 作为自变量，x作为y 的函数，我们说2log 2()xx y y x R ==∈是的反函数．从我们的列表中知道，22log xy x y ==与是同一个函数图像． 引出反函数的概念（只让学生理解，加宽学生视野）当一个函数是一一映射时，可以把这个函数的因变量作为一个新的函数自变量，而把这个函数的自变量作为新的函数的因变量，我们称这两个函数为反函数．由反函数的概念可知，同底的指数函数和对数函数互为反函数．如3log 3xx y y ==是的反函数，但习惯上，通常以x 表示自变量，y 表示函数，对调3log x y =中的3,log x y y x =写成，这样3log (0,)y xx =∈+∞是指数函3()x y x R =∈的反函数．以后，我们所说的反函数是,x y 对调后的函数，如2()xy x R =∈的反函数是2log (0,)y xx =∈+∞．同理，(1xy a a =≠且a ＞1）的反函数是log (a y x a =＞0且1)a ≠． 课堂练习：求下列函数的反函数 （1）5xy = （2）0.5log y x = 补充练习1．已知函数(2)xy f =的定义域为[-1，1]，则函数2(log )y f x =的定义域为 ．2．求函数22log (1)y x x =+≥的值域．3．已知log 7m ＜log 7n ＜0，按大小顺序排列m ， n ， 0， 1． 4．已知0＜a ＜1， b ＞1， ab ＞1． 比较1log ,log ,log a a b b b 1的大小b． 6．归纳小结：（1）对数函数的概念必要性与重要性； （2）对数函数的性质，列表展现． （3）反函数． 7．布置作业 教材对应习题．略．。

高一年级数学导学案（总编号：028）
主备课人：赵媛 审定人：王轶玲
时间：2013.10
§5.1 对数函数的概念
§5.2 对数孙数2log y x =的图像和性质
【学习目标】
1．掌握对数函数的概念．
2．理解并掌握对数函数与指数函数的关系．
3．会画具体的对数函数的图像． 【重难点】
【预习导学】
知识点1 对数函数的概念（重点）
知识点2 反函数的概念和性质（重点）
1
、求反函数的步骤
2、反函数的性质
3、互为反函数图像的对称性
4
、反函数存在的条件
【达标训练】
1、下列函数解析式中是对数函数的有
2、求下列函数的定义域：
3、
4、
5、
6
、
【拓展延伸】
1、函数()f x
=的定义域为
． 2、
3、
4、已知()f x 是R 上的奇函数，且当0x >时，1()12x
f x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭
，
则()f x 的反函数的图像大致是（ ）．
5、对任意不等于1的正数a ，函数()log (3)a f x x =+的反函数的图像都过点P ，则点P 的坐标是
．。

第5课时对数1.理解对数的概念,能够进行指数式与对数式的互化.2.了解常用对数与自然对数的意义.3.熟记对数的运算性质及使用条件,理解对数恒等式.4.能熟练地运用对数的运算性质进行计算,掌握对数的换底公式,并利用它进行恒等变换.实例1:一尺之锤,日取其半,万世不竭.(1)取4次,还有多长?(2)取多少次,还有0.125尺?实例2:假设2008年我国国民生产总值为a亿元,如果每年平均增长8%,那么经过多少年国民生产总值达到翻两番的目标?问题1:根据上述情境,我们由指数函数来了解对数函数的意义:(1)取4次之后,还剩下()4= ,我们设取x次后还剩下0.125尺,那么列出方程()x=0.125⇒x= .(2)设经过x年国民生产总值达到翻两番的目标,那么 (1+8%)x=4,两边取常用对数可得:x lg 1.08=lg 4, 解得x=≈(年).问题2:两种特殊的对数(1)常用对数,以10为底,log10N写成;(2)自然对数,以e为底(e为无理数,e=2.71828…),log e N写成.问题3:对数具有的运算性质:当a>0且a≠1,M>0,N>0时,有:(1)log a(MN)= + ;(2)log a= - ;(3)log a M n= ;(4)= .问题4:对数换底公式:(1)log a b= (a>0且a≠1,c>0且c≠1,b>0).(2)推论: log a b=;lo b m=log a b.1.对数式log a-2(5-a)=b,实数a的取值范围是().A.(-∞,5)B.(2,5)C.(2,3)∪(3,5)D.(2,+∞)2.式子的值为().A. B. C.2 D.33.(log32+log92)(log43+log83)= .4.已知log73=a,log74=b,试用a,b表示log4948.对数的概念及其运算性质求使log64x=-成立的x的值.换底公式的应用(1)若log34·log48·log8m=log416,则m的值为().A. B.9 C.18 D.27(2)已知log189=a,18b=5,求log3645.用指数幂的运算性质求值已知二次函数f(x)=lg a·x2+2x+4lg a的最大值为3,求a的值.已知log2(log3x)=1,求x的值.当m a=n b= 时,+=1.(其中m,n为大于0且不为1的正数,a,b为不等于0的实数)设方程lg2x+(lg 2+lg 3)·lg x+lg 2·lg 3=0的两个根是x1、x2,求x1x2的值.1.25=32化为对数式为().A.log52=32B.log532=2C.log232=5D.log322=52.计算等于().A.B.4 C.3 D.3.lg 50+lg 2·lg 5+lg22= .4.已知方程x2+x·log26+log23=0的两根分别为α和β,求()α·()β的值.(2012年·安徽卷)(log29)·(log34)等于().A.B.C.2 D.4考题变式(我来改编):答案第5课时对数知识体系梳理问题1:(1)3(2)18问题2:(1)lg N (2)ln N问题3:(1)log a M log a N (2)log a M log a N (3)n log a M (4)N 问题4:(1)基础学习交流1.C根据对数式的意义得不等式组∴2<a<5且a≠3.2.A∵log89==log23,∴原式=.3.原式=(log32+log32)(log23+log23)=log32·log23=.4.解:log4948====.重点难点探究探究一:【解析】由对数的定义,可得x=6=(43=4-2=.【小结】指数式a b=N与对数式log a N=b(a>0,且a≠1)是相同三个量的同一种数量关系的两种不同表达形式,这两种形式在同一问题中可以相互等价转化.探究二:【解析】(1)由换底公式可得··==log3m,∴有log3m=log442=2,即m=32=9.(2)(法一)因为18b=5,所以log185=b,于是log3645=====.(法二)因为18b=5,所以log185=b,又log189=a,于是log3645===.(法三)因为log189=a,18b=5,所以lg 9=a lg 18,lg 5=b lg 18.所以log3645=====.【答案】(1)B【小结】(1)利用换底公式时,注意各个字母的取值范围,注意换底公式的正用、逆用、变换用,要灵活掌握.(2)在解题过程中,根据问题的需要将指数式转化为对数式,或者将对数式转化为指数式的运算,这正是数学转化思想的具体体现,转化思想是中学重要的数学思想,要注意学习体会,逐步达到灵活运用的目的.探究三:【解析】f(x)=lg a·(x+)2-+4lg a.由题知:⇒lg a=-,∴a=1.【小结】先通过配方求出最大值,再列出关于lg a的方程,最后转化为指数式求出a.思维拓展应用应用一:∵log2(log3x)=1,∴log3x=21=2,x=32=9.应用二:mn 令m a=n b=k,∴a=log m k,b=log n k,∴+=log k m+log k n=log k(mn).∵+=1,∴log k(mn)=1,∴k=mn.应用三:由题意知lg x1、lg x2是关于lg x的一元二次方程lg2x+(lg 2+lg 3)·lg x+lg 2·lg 3=0的两根,由韦达定理得:lg x1+lg x2=-(lg 2+lg 3)=-lg 6=lg.即lg x1x2=lg,x1x2=.基础智能检测1.C由a b=N⇒log a N=b,知选C.2.A==.3.2∵lg 5=1-lg 2,∴原式=2-lg 2+lg 2(1-lg 2)+lg22=2.4.解:由题意知:α·β=log23,α+β=-log26,∴()α·()β=()α+β=(=(2-2=()-2=()-2=36.全新视角拓展D(log29)·(log34)=×=×=4.思维导图构建log a M+log a N log a M-log a N n·log a M。

6 指数函数、幂函数、对数函数增长的比较1．指数函数、幂函数、对数函数增长的比较(1)指数函数、对数函数、幂函数为增函数的前提条件当a＞1时，指数函数y＝a x是增函数，并且当a越大时，其函数值的增长就越快．当a＞1时，对数函数y＝log a x是增函数，并且当a越小时，其函数值的增长就越快．当x＞0，n＞0时，幂函数y＝x n显然也是增函数，并且当x＞1时，n越大其函数值的增长就越快．(2)具体的指数函数、幂函数、对数函数增长的比较(只考虑x＞0的情况)在同一直角坐标系内利用几何画板软件作出函数y＝2x，y＝x2，y＝log2x的图像(如图)．从图中可以观察出，y＝2x与y＝x2有两个交点：(2,4)和(4,16)，当0＜x＜2时，2x＞x2；当2＜x＜4时，2x＜x2；当x＞4时，2x＞x2恒成立，即y＝2x比y＝x2增长得快；而在(0，＋∞)上，总有x2＞log2x，即y＝x2比y＝log2x增长得快．由此可见，在(0,2)和(4，＋∞)上，总有2x＞x2＞log2x，即y＝2x增长得最快；在(2,4)上，总有x2＞2x＞log2x，即y＝x2增长得最快．(3)一般的指数函数、幂函数、对数函数增长的比较改变指数函数、对数函数的底数和幂函数的指数，重新作图，观察图像会发现这三种函数的增长情况具有一定的规律性．一般地，对于指数函数y＝a x(a＞1)和幂函数y＝x n(n＞0)，通过探索可以发现，在区间(0，＋∞)上，无论a比n小多少，尽管在x的一定范围内，a x会小于x n，但由于a x的增长快于x n 的增长，因此总存在一个x0，当x＞x0时，就会有a x＞x n；同样的，对于对数函数y＝log a x(a＞1)和幂函数y＝x n(n＞0)，随着x的增大，log a x增长得越来越慢，图像就像是渐渐地与x轴平行一样，尽管在x的一定区间内，log a x可能会大于x n，但由于log a x的增长慢于x n的增长，因此总存在一个x0，当x＞x0时，就会有log a x＜x n.综上所述，尽管函数y＝a x(a＞1)，y＝log a x(a＞1)和y＝x n(n＞0)都是增函数，但它们的增长速度不同，而且不在同一个“档次”上，随着x的增大，y＝a(a＞1)的增长速度越来越快，会超过并远远大于y＝x n(x＞0)的增长速度，而y＝log a x(a＞1)的增长速度则会越来越慢，因此，总会存在一个x0，当x＞x0时，就会有log a x＜x＜a.由于指数函数值增长非常快，人们常称这种现象为“指数爆炸”．析规律三种函数模型的性质【例1．解析：根据表格中数据可以看出，四个变量y1，y2，y3，y4均是从5开始变化，其中变量y4的值随变量x的增长越来越小，故变量y4不关于x呈指数函数增长，变量y1，y2，y3的值都随变量x的增长越来越大，其中变量y2的值增长速度最快，所以变量y2关于x呈指数型函数增长．答案：y2析规律函数值的增加量在指数函数、幂函数、对数函数三种增加的函数中，当自变量增加相同的量时，指数函数的函数值增加量最大．【例1－2】在给出的四个函数y＝3x，y＝x3，y＝3x，y＝log3x中，当x∈(3，＋∞)时，其中增长速度最快的函数是()．A．y＝3x B．y＝3xC．y＝x3D．y＝log3x解析：随着x的增大，函数y＝a x(a＞1)的增速会远远超过y＝x n(n＞0)的增速，而函数y ＝log a x(a＞1)的增长速度最慢．故选B.答案：B2．增长型函数模型在实际问题中的应用根据题意，选用合适的增长型函数模型，进行一些简单的应用是本节重点，其选择的标准是：指数函数增长模型适合于描述增长速度快的变化规律；对数函数增长模型适合于描述增长速度平缓的变化规律；而幂函数增长模型介于两者之间，适合于描述增长速度一般的变化规律．我们要熟悉指数函数、对数函数和幂函数的图像及性质，对题目的具体要求进行抽象概括，灵活地选取和建立数学模型．例如，根据统计资料，我国能源生产自1986年以来发展很快，下面是我国能源生产总量(折合亿吨标准煤)的几个统计数据：1986年8.6亿吨，5年后的1991年10.4亿吨，10年后的1996年12.9亿吨．有关专家预测，到2011年我国能源生产总量将达到25.6亿吨，则专家是选择下列哪一种类型函数作为模型进行预测的()．A．一次函数B．二次函数C．指数函数D．对数函数解答：本题不需要写出函数解析式，只需根据函数值的变化规律作出判断即可．从1986年起第一个五年增长了1.8亿吨，第二个五年增长了2.5亿吨，每五年的增长速度不同，故不是一次函数；假设是指数函数，由“指数爆炸”以及前五年的增长速度可知，从1986年到2011年25年的时间，2011年的产值将很大，故不是指数函数；对数函数的增长速度较慢，不符合题意．由以上分析，此函数模型可能是幂函数类型，结合本题的数字特点，可判断是二次函数．故选B.【例2】某公司为了实现1 000万元的利润目标，准备制定一个激励销售人员的奖励方案：在销售利润达到10万元时，按销售利润进行奖励，且奖金y(单位：万元)随销售利润x(单位：万元)的增加而增加，但奖金总数不能超过5万元，同时奖金不能超过利润的25%.现有三个奖励模型：y＝0.25x，y＝log7x＋1，y＝1.002x，其中哪个模型能符合公司的要求？分析：某个奖励模型符合公司要求，即当x∈[10,1 000]时，能够满足y≤5，且yx≤25%，可以先从函数图像得到初步的结论，再通过具体计算，确认结果．解：借助计算器或计算机作出函数y＝5，y＝0. 25x，y＝log7x＋1，y＝1.002x的图像如下图所示：观察图像发现，在区间[10,1 000]上模型y＝0.25x，y＝1.002x的图像都有一部分在y＝5的上方，这说明只有按模型y＝log7x＋1进行奖励才能符合公司要求，下面通过计算确认上述判断．首先计算哪个模型的奖金总数不超过5万元．对于模型y＝0.25x，它在区间[10,1 000]上是单调递增的，当x∈(20,1 000)时，y＞5，因此该模型不符合要求．对于模型y＝1.002x，利用计算器，可知1.002806≈5.005，由于y＝1.002x是增函数，故当x∈(806,1 000]时，y＞5，因此，也不符合题意．对于模型y＝log7x＋1，它在区间[10,1 000]上单调递增且当x＝1 000时，y＝log71 000＋1≈4.55＜5，所以它符合资金总数不超过5万元的要求．再计算按模型y＝log7x＋1奖励时，资金是否超过利润x的25%，即当x∈[10,1 000]时，利用计算器或计算机作f(x)＝log7x＋1－0.25x的图像，由图像可知f(x)是减函数，因此f(x)＜f(10)≈－0.316 7＜0，即log7x＋1＜0.25x.所以当x∈[10,1 000]时，y＜0.25x.这说明，按模型y＝log7x＋1奖励不超过利润的25%.综上所述，模型y＝log7x＋1确实符合公司要求．析规律不同函数类型增长的含义从这个例题我们看到，底数大于1的指数函数模型比一次项系数为正数的一次函数模型增长速度要快得多，而后者又比真数大于1的对数函数模型增长速度要快，从这个实例我们可以体会到对数增长，直线上升，指数爆炸等不同函数类型增长的含义．3．利用三种函数的图像解决与方程和不等式有关的问题利用指数函数、对数函数和幂函数图像的直观性，可解决与方程和不等式有关的问题，如判断方程是否有解、解的个数，方程根的分布情况等．把解方程和不等式问题转化为函数问题，这是函数思想和转化与化归思想的运用．例如，方程log2(x＋4)＝3x解的个数是()．A．0B．1C．2D．3我们可以在同一坐标系中画出对数型函数y ＝log 2(x ＋4)和指数函数y ＝3x 的图像(其中，y ＝log 2(x ＋4)的图像由y ＝log 2x 的图像向左平移4个单位长度得到)，如图所示．由图像可以看出，它们有两个交点A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，即方程log 2(x ＋4)＝3x 的解为x＝x 1或x ＝x 2，因此，方程的解有两个．又如，若x 满足－3＋log 2x ＝－x ，则x 属于区间( )．A ．(0,1)B ．(1,2)C ．[2,3)D ．(3,4)由－3＋log 2x ＝－x ，得log 2x ＝3－x ，在同一坐标系中作出对数函数y ＝log 2x 和一次函数y ＝3－x 的图像，如图所示．观察图像可知，若log 2x ＝3－x ，则x 的取值在1与3之间，又知log 22＝1,3－2＝1，故选C.【例3－1】已知x 1是方程x ＋lg x ＝3的解，x 2是方程x ＋10x ＝3的解，则x 1＋x 2＝( )．A ．6B ．3C ．2D ．1解析：方程x ＋lg x ＝3可化为lg x ＝3－x ，方程x ＋10x ＝3可化为10x ＝3－x .在同一直角坐标系中画出函数y ＝lg x ，y ＝10x 和y ＝3－x 的图像，由于y ＝lg x 与y ＝10x 互为反函数，所以它们的图像关于直线y ＝x 对称．又因为直线y ＝3－x 与y ＝x 垂直，由3,y x y x =-⎧⎨=⎩得，两直线的交点P 的坐标为33,22⎛⎫ ⎪⎝⎭.由题意知，y ＝lg x 与y ＝3－x 交点A 的横坐标为x 1，y ＝10x 与y ＝3－x 交点B 的横坐标为x 2.因为点A ，B 关于P 对称，所以，由线段的中点坐标公式得12322x x +=，即x ＋x 2＝3. 答案：B谈重点 线段AB 的中点坐标公式在平面直角坐标系中，若点A 的坐标为(x 1，y 1)，点B 的坐标为(x 2，y 2)，则线段AB 的中点P 的坐标为⎝⎛⎭⎫x 1＋x 22，y 1＋y 22.【例3－2】若x 2＜log m x 在x ∈10,2⎛⎫ ⎪⎝⎭内恒成立，求实数m 的取值范围． 解：设y 1＝x 2，y 2＝log m x .若x 2＜log m x 在x ∈10,2⎛⎫ ⎪⎝⎭内恒成立，则0＜m ＜1.两个函数的图像如图所示．当12x =时，211124y ⎛⎫== ⎪⎝⎭.若两函数图像在12x =处相交，则214y =， 由11log 24m =得1412m =，即411216m ⎛⎫== ⎪⎝⎭. 又x 2＜log m x 在x ∈10,2⎛⎫ ⎪⎝⎭内恒成立，根据底数m 对函数y ＝log m x 图像的影响可知，实数m 的取值范围为1,116⎡⎫⎪⎢⎣⎭. 【例3－3】方程2x ＝x 2有多少个实数根？解：在同一直角坐标系中画出函数y ＝2x 和y ＝x 2的图像．可以看出，在y 轴左侧，两个函数的图像有一个交点，而在y 轴右侧有两个交点(2,4)和(4,16)．当x ＞4时，指数函数y ＝2x 的增长快于幂函数y ＝x 2的增长，这就是说在x ＞4时，指数函数y＝2x与幂函数y＝x2的图像没有交点，因此方程2x＝x2有3个实数根．。

3.5对数函数5．1对数函数的概念5．2对数函数y＝log2x的图像和性质●三维目标1．知识与技能(1)理解对数函数的概念，掌握对数函数的图像，通过观察对数函数的图像，发现并归纳对数函数的性质，提高分析推理的能力，培养数形结合的思想．(2)掌握对数函数的性质，能初步运用性质解决问题．(3)了解反函数的概念，会求指数函数或对数函数的反函数．2．过程与方法经历探究对数函数的图像与性质的过程，培养学生观察、分析、归纳的思维能力以及数学交流能力；渗透类比、数形结合、分类讨论等数学思想方法．3．情感、态度与价值观在活动过程中培养学生的数学应用意识，感受获得成功后的喜悦心情，养成积极合作、大胆交流、虚心学习的良好品质．●重点难点重点：对数函数的图像与性质以及它们的运用．难点：对数函数概念的形成和反函数的概念．本节的重点的突破方法是让学生动手做出函数y＝log2x的图像，调动学生积极主动地参与获得图像和性质的过程；难点的突破方法是借助于信息技术做出指数函数和对数函数的图像，观察他们之间的关系．●教学建议本节课是在前面研究了对数及常用对数、指数函数的基础上，研究的第二类具体初等函数，它有着丰富的内涵，和我们的实际生活联系密切，也是以后学习的基础，鉴于这种情况，安排教学时，采用“从特殊到一般”、“从具体到抽象”的方法，并在教学过程中渗透类比、数形结合、分类讨论等数学思想方法．●教学流程通过教材中提出的细胞分裂问题得出对数函数的概念⇒通过对数函数中真数和底数的要求，完成例1及其变式训练⇒由指数函数和对数函数的关系得出反函数的概念，完成例2及其变式训练⇒作出函数y＝log2x的图像，利用图像研究函数的性质⇒根据函数y＝log2x的图像和性质，完成例3及其变式训练⇒完成当堂双基达标，巩固所学知识并进行反馈矫正⇒归纳整理，进行课堂小结，整体认识本节课所学知识(见学生用书第51页)课标解读1.理解对数函数的概念以及对数函数与指数函数间的关系．2．了解指数函数与对数函数互为反函数，并会求指数函数或对数函数的反函数．(难点，易混点)3．会画具体函数的图像．(重点)对数函数的概念1．对于一般的指数函数y＝a x(a>0，a≠1)，你能用y表示x吗？【提示】根据对数的定义，得x＝log a y(a>0，a≠1)．2．问题1中的关系式中，x是y的函数吗？【提示】x是y的函数．3．在问题1的关系式中，以y代替x，以x代替y得到什么关系？【提示】y＝log a x(a>0，a≠1)．1．定义一般地，我们把函数y＝log a x(a>0，a≠1)叫作对数函数，a叫作对数函数的底数，x是真数，定义域是(0，＋∞)，值域是R.2．两类特殊的对数函数常用对数函数：y＝lg x，其底数为10.自然对数函数：y＝ln x，其底数为无理数e.反函数【问题导思】函数y＝a x的定义域和值域与y＝log a x的定义域和值域有什么关系？【提示】对数函数y＝log a x的定义域是指数函数y＝a x的值域，对数函数y＝log a x的值域是指数函数y＝a x的定义域．指数函数y＝a x(a＞0，a≠1)是对数函数y＝log a x(a＞0，a≠1)的反函数；同时对数函数y ＝log a x(a＞0，a≠1)也是指数函数y＝a x(a＞0，a≠1)的反函数，即指数函数与对数函数互为反函数．函数y＝log 2x的图像和性质1．你能用描点法作出对数函数y＝log2x的图像吗？【提示】先列出x，y的对应值表：x (1)4121248…y＝log2x …－2－10123…再用描点法画出图像：2．如何由函数x＝log2y的图像得到函数y＝log2x图像？【提示】把函数x＝log2y的图像的坐标轴中的x轴、y轴的字母表示互换，但习惯上，x轴在水平位置，y轴在竖直位置，所以再把图像翻转，使x轴在水平位置方向向右，y轴的方向向上，就得到函数y＝log2x图像．如下图所示：画函数y＝log2x的图像时，可以用常规的描点法作图，也可以先画出函数x＝log2y的图像，再变换为y＝log2x的图像．如图所示．观察函数y＝log2x的图像可得：图像特征函数性质过点(1,0)当x＝1时，y＝0在y轴的右侧定义域是(0，＋∞)向上、向下无限延伸值域是R在直线x＝1右侧，图像位于x轴上方；在直线x＝1左侧，图像位于x轴下方若x＞1，则y＞0；若0＜x＜1，则y＜0函数图像从左到右是上升的在(0，＋∞)上是增函数(见学生用书第52页)对数函数的定义域(1)y＝1－x＋lg x；(2)y＝log(3－x)(x－2)．【思路探究】解答此类问题的关键是要考虑使y＝f(x)有意义的所有x所满足的条件，转化成求不等式解集问题．【自我解答】(1)由于⎩⎪⎨⎪⎧1－x≥0，x>0，所以⎩⎪⎨⎪⎧x≤1，x>0，即0<x≤1.所以函数的定义域是(0,1]．(2)由⎩⎪⎨⎪⎧ x －2>0，3－x >0，3－x ≠1，得⎩⎪⎨⎪⎧x >2，x <3，x ≠2，即2<x <3.所以函数的定义域是(2,3)．1．求有关对数函数的定义域时，务必关注对数的真数和底数的约束条件． 2．函数定义域的结果一定要写成集合或区间的形式．函数f (x )＝11－x ＋lg (1＋x )的定义域是( )A ．(－∞，－1)B ．(1，＋∞)C ．(－1,1)∪(1，＋∞)D ．(－∞，＋∞)【解析】 若函数f (x )有意义，需满足⎩⎪⎨⎪⎧1－x ≠0，1＋x >0，解得x >－1且x ≠1，故定义域为(－1,1)∪(1，＋∞)．【答案】 C求反函数求下列函数的反函数． (1)y ＝10x ；(2)y ＝(45)x ；(3)y ＝log 13x ；(4)y ＝log 7x .【思路探究】 根据指数式与对数式的互化写出．【自主解答】 (1)指数函数y ＝10x ，它的底数是10，它的反函数是对数函数y ＝lg x . (2)指数函数y ＝(45)x ，它的底数是45，它的反函数是对数函数y ＝log 45x .(3)对数函数y ＝log 13x ，它的底数是13，它的反函数是指数函数y ＝(13)x .(4)对数函数y ＝log 7x ，它的底数是7，它的反函数是指数函数y ＝7x .反函数的求法：1．由y ＝a x (或y ＝log a x )解得x ＝log a y (或x ＝a y )．2．将x ＝log a y (或x ＝a y )中的x 与y 互换位置，得y ＝log a x (或y ＝a x )． 3．由y ＝a x (或y ＝log a x )的值域，写出y ＝log a x (或y ＝a x )的定义域．求下列函数的反函数： (1)y ＝log 0.13(2x )； (2)y ＝πx .【解】 (1)由y ＝log 0.13(2x )， 得2x ＝0.13y ， ∴x ＝12·0.13yx ，y 互换得y ＝12·0.13x ，∴y ＝log 0.132x 的反函数为y ＝12·0.13x (x ∈R)．(2)y ＝πx 的反函数为y ＝log πx (x >0)．函数y ＝log 2x 的图像与性质2(1)若f (a )>f (2)，求a 的取值范围； (2)求y ＝log 2(2x －1)在x ∈上的最值．【思路探究】 可先作出y ＝log 2x 的图像，利用图像考查单调性解决问题． 【自主解答】 函数y ＝log 2x 的图像如图．(1)因为y ＝log 2x 是增函数，若f (a )>f (2)，即log 2a >log 22，则a >2.所以a 的取值范围为(2，＋∞)．(2)∵2≤x ≤14， ∴3≤2x －1≤27，∴log 23≤log 2(2x －1)≤log 227.∴函数y ＝log 2(2x －1)在x ∈上的最小值为log 23，最大值为log 227.函数f (x )＝log 2x 是最基本的对数函数．它在(0，＋∞)上是单调递增的．利用单调性可以解不等式，求函数值域，比较对数值的大小．(1)比较log 245与log 234的大小；(2)若log 2(2－x )>0，求x 的取值范围．【解】 (1)函数f (x )＝log 2x 在(0，＋∞)上为增函数， 又∵45>34，∴log 245>log 234.(2)log 2(2－x )>0即log 2(2－x )>log 21， ∵函数y ＝log 2x 为增函数， ∴2－x >1，即x <1. ∴x 的取值范围为(－∞，1).5.3 对数函数的图像和性质●三维目标1．知识与技能(1)理解对数函数的概念，熟悉对数函数的图像与性质． (2)能初步运用对数的性质解决问题． 2．过程与方法让学生通过观察对数函数的图像，发现并归纳对数函数的性质． 3．情感、态度与价值观(1)培养学生数形结合的思想以及分析推理的能力； (2)培养学生严谨的科学态度．●重点难点重点：掌握对数函数的图像和性质． 难点：利用对数函数的图像和性质解决问题．本节课重点的突破方法是让学生认识底数对函数值变化的影响，借助于信息技术，调动学生积极主动地参与获得性质的过程；在利用图像和性质解决问题时，尤其是比较大小时，对于学生以小组为单位自主探究有一定的挑战性，教师应调整角色，让学生成为学习的主人，教师在其中起引导作用即可．●教学建议新课程强调教师要调整自己的角色，改变传统的教育方式，在教育方式上，以学生为中心，让学生成为学习的主人，教师在其中起引导作用即可．基于此，本节课重点采用问题探究和启发引导式的教学方法．从预习交流心得出发，到探索新问题，再到题后的回顾总结，一切以学生为中心，处处体现学生的主体地位，让学生多讨论、多分析、多思考、多总结，引导学生运用自己的语言阐述观点，加强理解，在生生合作、师生互动中解决问题，为提高学生分析问题、解决问题的能力打下基础．本节课采用多媒体辅助教学，节省时间，加快课程进度，增强了直观形象性．●教学流程复习函数y＝log2x和y＝log12x的图像和性质，引出底数为a时函数图像问题⇒通过几何画板作出函数的图像，当底数变化时，直观感受图像的变化情况⇒归纳出对数函数的性质，借助性质解决比较大小问题，完成例1及其变式训练⇒根据函数的单调性解决解不等式问题，尤其对于底数含参数的情况进行分类讨论问题，完成例2及其变式训练⇒结合对数函数的性质，研究和对数函数有关的奇偶性和单调性问题，完成例3及其变式训练⇒归纳整理，进行课堂小结，整体认识本节课所学知识⇒完成当堂双基达标，巩固所学知识并进行反馈矫正(见学生用书第54页)课标解读1.掌握对数函数的图像和性质．(重点)2．掌握对数函数的图像和性质的应用．(难点)3．体会数形结合的思想方法.对数函数的图像和性质作出函数y＝log2x和y＝log12x的图像如下：1．函数y＝log2x的定义域、值域、函数值的情况及单调性如何？【提示】定义域：(0，＋∞)，值域：(－∞，＋∞)．函数值变化情况：x>1时，y>0；x＝1时，y＝0；0<x<1时，y<0.单调性：在(0，＋∞)上是增函数．2．函数y＝log12x的定义域、值域、函数值的情况及单调性如何？【提示】定义域：(0，＋∞)，值域：(－∞，＋∞)，函数值变化情况：x>1时，y<0；x＝1时，y＝0；0<x<1时，y>0.单调性：在(0，＋∞)上是减函数．3．它们的图像有什么关系？【提示】关于x轴对称．a＞10＜a＜1 图像性质定义域：(0，＋∞)值域：R图像过定点(1,0)当x＞1时，y＞0；当0＜x＜1时，y＜0当x＞1时，y＜0；当0＜x＜1时，y＞0增区间：(0，＋∞)减区间：(0，＋∞)奇偶性：非奇非偶函数(见学生用书第54页)比较大小(1)log 2π与log 20.9；(2)log 20.3与log 0.20.3； (3)log 0.76,0.76与60.7.【思路探究】 (1)利用对数函数的单调性； (2)寻求中间量或利用函数图像； (3)一般先看正负，再利用中间量．【自主解答】 (1)∵函数y ＝log 2x 在(0，＋∞)上是增函数，π>0.9，∴log 2π>log 20.9. (2)∵log 20.3<log 21＝0，log 0.20.3>log 0.21＝0， ∴log 20.3<log 0.20.3.(3)∵60.7>60＝1,0<0.76<0.70＝1， log 0.76<log 0.71＝0， ∴60.7>0.76>log 0.76.1．比较两个对数值大小的方法：(1)单调性法：当底数相同时，构造对数函数利用其单调性来比较大小，如本题(1)； (2)中间量法：当底数和真数都不相同时，通常借助常数(常用－1,0,1)为媒介间接比较大小，如本题(2)；(3)分组法：当三个(或以上)数式比较大小时，可先据其正、负，大于1或小于1分为两组，然后再用单调性或图像或中间差法比较大小，如本题(3)．2．必要时，还可通过作差法、作商法对两式进行大小比较．(1)已知a ＝log 23.6，b ＝log 43.2，c ＝log 43.6，则( ) A ．a >b >c B ．a >c >b C ．b >a >c D ．c >a >b (2)如果log 12x <log 12y <0，那么( )A ．y <x <1B ．x <y <1C ．1<x <yD ．1<y <x【解析】 (1)a ＝log 23.6＝log 43.62，函数y ＝log 4x 在(0，＋∞)上为增函数，且3.62>3.6>3.2，故选B.(2)∵log 12x <log 12y <log 121，且y ＝log 12x 在(0，＋∞)上为减函数，∴x >y >1.故选D.【答案】 (1)B (2)D解对数不等式(1)已知log a 12>1，求a 的取值范围； (2)已知log 0.72x <log 0.7(x －1)，求x 的取值范围．【思路探究】 (1)把1变为对数的形式，利用对数的单调性求解；(2)求解过程中注意真数的范围．【自主解答】 (1)由log a 12>1得log a 12>log a a . ①当a >1时，有a <12，此时无解． ②当0<a <1时，有12<a ，从而12<a <1. ∴a 的取值范围是(12，1)． (2)∵函数y ＝log 0.7x 在(0，＋∞)上为减函数，∴由log 0.72x <log 0.7(x －1)得⎩⎪⎨⎪⎧ 2x >0，x －1>0，2x >x －1，解得x >1.解对数不等式应把握以下几点：1．方法：利用对数函数的单调性，将问题转化为一般不等式(组)求解．2．要遵循“定义域”优先的原则．解对数不等式要注意防止定义域的扩大．解题有两个途径，一是在变形过程中定义域发生变化，最后一定要验根；二是解的过程中加上限制条件，使定义域保持不变，即进行同解变形，最后不用验根．3．当底数是字母时，需要分类讨论底数的取值范围(1)满足不等式log 3x <1的x 的取值集合为________．(2)若log a 25<1，则a 的取值范围为________． 【解析】 (1)因为log 3x <1＝log 33，所以0<x <3，因此x 的取值集合为{x |0<x <3}．(2)log a 25<1，即log a 25<log a a ， 当a >1时，y ＝log a x 在(0，＋∞)上是增函数，所以a >25，即a >1时，原不等式总成立； 当0<a <1时，函数y ＝log a x 在(0，＋∞)上是减函数，由log a 25<log a a 得，a <25，即0<a <25. 因此，a >1或0<a <25. 【答案】 (1){x |0<x <3}(2){a |a >1或0<a <25} 对数函数性质的综合应用已知函数f (x )＝log a x ＋1x －1(a >0，且a ≠1)， (1)求f (x )的定义域；(2)判断函数的奇偶性和单调性．【思路探究】 先求函数的定义域，再利用有关定义去讨论其他性质．【自主解答】 (1)要使此函数有意义，则有⎩⎪⎨⎪⎧ x ＋1>0，x －1>0或⎩⎪⎨⎪⎧x ＋1<0，x －1<0，解得x >1或x <－1，此函数的定义域为(－∞，－1)∪(1，＋∞)，关于原点对称．(2)∵f (－x )＝log a －x ＋1－x －1＝log a x －1x ＋1＝－log a x ＋1x －1＝－f (x ) ∴f (x )为奇函数．任设x 1<x 2∈(1，＋∞)，则x 2－x 1>0.令t 1＝x 1＋1x 1－1，t 2＝x 2＋1x 2－1. 则t 2－t 1＝x 2＋1x 2－1－x 1＋1x 1－1＝2x 1－x 2x 2－1x 1－1. ∵x 2－1>0，x 1－1>0，x 1－x 2<0，∴t 2－t 1<0，即t 2<t 1.当0<a <1时，log a t 2>log a t 1，即f (x 2)>f (x 1)，∴f (x )在(1，＋∞)单调递增．当a >1时，log a t 2<log a t 1，即f (x 2)<f (x 1)，∴f (x )在(1，＋∞)单调递减．∵奇函数在关于原点对称的区间上单调性相同，∴当0<a <1时，f (x )在(－∞，－1)，(1，＋∞)上单调递增．当a >1时，f (x )在(－∞，－1)，(1，＋∞)上单调递减．1．判断函数的奇偶性，首先应求出定义域，看是否关于原点对称．对于类似于f (x )＝log a g (x )的函数，利用f (－x )±f (x )＝0来判断奇偶性较简便．2．判断函数的单调性利用单调性的定义．3．奇函数在关于原点对称的区间上若有单调性，则单调性相同；偶函数在关于原点对称的区间上若有单调性，则单调性相反．求函数y ＝log 12(6＋x ＋2x 2)的单调增区间． 【解】 由6＋x ＋2x 2>0得2(x ＋14)2＋478>0，即函数定义域是R. 令u (x )＝2x 2＋x ＋6，则函数u (x )＝2x 2＋x ＋6的单调增区间为(－14，＋∞)，单调减区间为(－∞，－14]． 又∵y ＝log 12u 在(0，＋∞)上是减函数， ∴函数y ＝log 12(6＋x ＋2x 2)的单调增区间为(－∞，－14).。

2.2 换底公式[情境导入]计算器上，只有常用对数键“log ”和自然对数键“ln ”，要计算log a b 必须将它转换成常用对数或自然对数．[问题] 你知道如何转换吗？[新知初探]知识点 换底公式一般地，若a >0，b >0，c >0，且a ≠1，c ≠1，则log a b ＝ ．这个结论称为对数的换底公式．[点一点] 换底公式的推论[想一想]1．对数的换底公式用常用对数、自然对数表示是什么形式？2．你能用换底公式和对数的运算性质推导出结论log N n M m ＝mnlog N M 吗？[做一做]1．log 6432的值为( ) A ．12B ．2C ．56D ．652．若log 23＝a ，则log 49＝( ) A ．a B ．a C ．2aD ．a 23．若log 34·log 48·log 8m ＝log 416，则m ＝________．——研教材·典例精析——题型一 对数换底公式的应用 [例1] 计算：(1)log 29·log 34； (2)log 52×log 79log 5 13×log 734.[通性通法]利用换底公式求值的思想与注意点[跟踪训练]1．计算(log 32＋log 23)2－log 32log 23－log 23log 32的值为( )A ．log 26B ．log 36C ．2D ．12．若log 2x ·log 34·log 59＝8，则x ＝( ) A ．8 B ．25 C ．16D ．4题型二 用已知对数式表示求值问题[例2] 已知log 189＝a ，18b ＝5，求log 3645.(用a ，b 表示)[母题探究]1．(变设问)若本例条件不变，如何求log 1845(用a ，b 表示)?2．(变条件)若将本例条件“log 189＝a ，18b ＝5”改为“log 94＝a ，9b ＝5”，则又如何求解呢？[通性通法]求解与对数有关的各种求值问题应注意如下三点 (1)利用对数的定义可以将对数式转化为指数式； (2)两边同时取对数是将指数式化成对数式的常用方法；(3)对数的换底公式在解题中起着重要的作用，能够将不同底的问题转化为同底问题，从而使我们能够利用对数的运算性质解题．[跟踪训练]设a ＝log 36，b ＝log 520，则log 215＝( ) A.a ＋b －3（a －1）（b －1） B.a ＋b －2（a －1）（b －1） C.a ＋2b －3（a －1）（b －1）D.2a ＋b －3（a －1）（b －1）题型三 有附加条件的对数式求值问题[例3] (1)已知a ，b ，c 是不等于1的正数，且a x ＝b y ＝c z ，1x ＋1y ＋1z ＝0，则abc 的值为________；(2)已知5x ＝2y ＝(10)z ，且x ，y ，z ≠0，则z x ＋zy的值为________．[通性通法]与对数有关的带有附加条件的代数式求值问题，需要对已知条件和所求式子进行化简转化，原则是化为同底的对数，以便利用对数的运算性质．要整体把握对数式的结构特征，灵活运用指数式与对数式的互化．[跟踪训练]已知实数a ，b ，c ，d 满足5a ＝4，4b ＝3，3c ＝2，2d ＝5，则(abcd )2 022＝________．[随堂检测]1．式子log 32·log 227的值为( ) A ．2 B ．3 C ．13D ．－32．在1log b a ，lg alg b ，log b a ，log a n b n (a ，b 均为不等于1的正数)中，与log a b 一定相等的有( ) A ．4个 B ．3个 C ．2个D ．1个3．计算：1＋lg 2·lg 5－lg 2·lg 50－log 35·log 259·lg 5＝( ) A ．1 B ．0 C ．2D ．44．若实数a ，b ，c 满足25a ＝404b ＝2 020c ＝2 019，则下列式子正确的是( ) A ．1a ＋2b ＝2cB ．2a ＋2b ＝1cC ．1a ＋1b ＝2cD ．2a ＋1b ＝2c5．方程log 2x ＋1log （x ＋1）2＝1的解是________．参考答案——读教材·知识梳理——[新知初探]知识点 换底公式 log c blog c a[想一想]1．提示：log a b ＝lg b lg a ，log a b ＝ln bln a.2．提示：log N nM m＝lg M m lg N n ＝m lg M n lg N ＝m n ·lg M lg N ＝mn log NM .[做一做]1．【答案】C【解析】log 6432＝lg 32lg 64＝lg 25lg 26＝5lg 26lg 2＝56.2．【答案】B【解析】log 49＝lg 9lg 4＝2lg 32lg 2＝log 23＝a .故选B.3．【答案】9【解析】利用换底公式，得lg 4lg 3·lg 8lg 4·lg mlg 8＝2， ∴lg m ＝2lg 3＝lg 9，于是m ＝9.——研教材·典例精析——题型一 对数换底公式的应用 [例1] 解：(1)由换底公式可得， log 29·log 34＝lg 9lg 2·lg 4lg 3＝2lg 3lg 2·2lg 2lg 3＝4.(2)原式＝log 52log 513×log 79log 734＝log 132×log 349＝lg 2lg 13×lg 9lg 413＝12lg 2－lg 3×2lg 323lg 2＝－32. [跟踪训练]1．【答案】C【解析】原式＝(log 32)2＋2log 32×log 23＋(log 23)2－(log 32)2－(log 23)2＝2log 32×log 23 ＝2×lg 2lg 3×lg 3lg 2＝2.2．【答案】B【解析】∵log 2x ·log 34×log 59＝lg x lg 2·lg 4lg 3·lg 9lg 5＝lg x lg 2×2lg 2lg 3×2lg 3lg 5＝8，∴lg x ＝2lg 5＝lg 25，∴x ＝25. 题型二 用已知对数式表示求值问题 [例2] 解：因为18b ＝5，所以b ＝log 185. 所以log 3645＝log 1845log 1836＝log 18（5×9）log 18（2×18）＝log 185＋log 189log 182＋log 1818＝a ＋b 1＋log 182 ＝a ＋b 1＋log 18189＝a ＋b 2－log 189＝a ＋b 2－a. [母题探究]1．解：因为18b ＝5，所以log 185＝b ，所以log 1845＝log 189＋log 185＝a ＋b . 2．解：因为9b ＝5，所以log 95＝b . 所以log 3645＝log 945log 936＝log 9（5×9）log 9（4×9）＝log 95＋log 99log 94＋log 99＝b ＋1a ＋1. [跟踪训练]【答案】D【解析】∵a ＝log 36＝log 26log 23＝1＋log 23log 23，∴log 23＝1a －1.∵b ＝log 520＝log 220log 25＝2＋log 25log 25，∴log 25＝2b －1.∴log 215＝log 23＋log 25＝1a －1＋2b －1＝2a ＋b －3（a －1）（b －1）.题型三 有附加条件的对数式求值问题 [例3] 【答案】(1)1 (2)2【解析】(1)法一：设a x ＝b y ＝c z ＝t ，则x ＝log a t ，y ＝log b t ，z ＝log c t ，∴1x ＋1y ＋1z ＝1log a t ＋1log b t ＋1log c t ＝log t a ＋log t b ＋log t c ＝log t (abc )＝0，∴abc ＝t 0＝1. 法二：∵a ，b ，c 是不等于1的正数，且a x ＝b y ＝c z ，∴令a x ＝b y ＝c z ＝t >0，∴x ＝lg t lg a ，y ＝lg t lg b ，z ＝lg t lg c， ∴1x ＋1y ＋1z ＝lg a lg t ＋lg b lg t ＋lg c lg t ＝lg a ＋lg b ＋lg clg t . ∵1x ＋1y ＋1z＝0，且lg t ≠0， ∴lg a ＋lg b ＋lg c ＝lg(abc )＝0，∴abc ＝1.(2)令5x ＝2y ＝(10)z ＝k ，则x ＝log 5k ，y ＝log 2k ，12z ＝lg k ，z ＝2lg k ，∴z x ＋z y ＝2lg k log 5k ＋2lg k log 2k＝2lg k (log k 5＋log k 2)＝2lg k ·log k 10＝2·log 10k ·log k 10＝2. [跟踪训练]【答案】1【解析】将5a ＝4，4b ＝3，3c ＝2，2d ＝5转化为对数式， 得a ＝log 54＝ln 4ln 5，b ＝ln 3ln 4，c ＝ln 2ln 3，d ＝ln 5ln 2，所以(abcd )2 022＝⎝⎛⎭⎫ln 4ln 5×ln 3ln 4×ln 2ln 3×ln 5ln 22 022＝12 022＝1.[随堂检测]1．【答案】B【解析】log 32·log 227＝lg 2lg 3·lg 27lg 2＝lg 27lg 3＝log 327＝3，故选B.2．【答案】C【解析】1log b a ＝log a b ，lg a lg b ＝log b a ，log b a ＝log b a ，log a n b n ＝log a b ，故选C.3．【答案】B【解析】原式＝1＋lg 2·lg 5－lg 2(1＋lg 5)－lg 5 lg 3·2lg 32lg 5·lg 5＝1＋lg 2·lg 5－lg 2－lg 2·lg 5－lg 5＝1－(lg 2＋lg 5)＝1－lg 10＝1－1＝0. 4．【答案】A【解析】由已知，得52a ＝404b ＝2 020c ＝2 019，得2a ＝log 52 019，b ＝log 4042 019， c ＝log 2 0202 019，所以12a ＝log 2 0195，1b ＝log 2 019404，1c ＝log 2 0192 020，而5×404＝2 020，所以12a ＋1b ＝1c ，即1a ＋2b ＝2c ，故选A.5．【答案】1【解析】原方程可变为log 2x ＋log 2(x ＋1)＝1，即log 2[x (x ＋1)]＝1， ∴x (x ＋1)＝2，解得x ＝1或x ＝－2.又⎩⎪⎨⎪⎧x >0，x ＋1>0，x ＋1≠1.即x >0，∴x ＝1.。

高中数学 3.5.1《对数函数的概念》精品学案北师大版必修1一、说教材1、教材的地位、作用《对数函数的概念》是北师大版高中数学必修一第三章第5节的内容。

在此之前我们学习了指数函数与对数等内容，它为过渡到本节起着铺垫作用。

“对数函数”这节教材，是在没学习反函数的基础上研究的指数函数和对数函数的自变量与因变量之间的关系，同时对数函数作为常用数学模型在解决社会生活中的实例有广泛的应用，本节课为学生进一步学习、参加生产和实际生活提供了必要的基础知识. 2、教育教学目标根据上述教材分析，考虑到学生已有的认知结构心理特征，制定如下教学目标：（1）知识目标：①理解对数函数的概念；②理解对数函数与指数函数的关系。

（2）能力目标：①注重思考方法的渗透，培养学生以已知探求未知的能力②通过实例培养学生抽象概括能力、类比联想能力。

（3）情感目标：通过对《对数函数的概念》的教学，引导学生从现实生活的经历与体验出发，激发学生对数学问题的兴趣，使学生了解数学知识的功能与价值，形成主动学习的态度。

3、教学重点、难点及关键重点：对数函数的概念。

在教学中只有突出这个重点，才能使教材脉络分明，才能有利于学生联系旧知识，学习新知识。

难点：指数函数与对数函数的关系。

关键：指数函数与对数函数的类比教学。

由指数函数过渡到对数函数，通过类比分析，达到深刻地了解对数函数的概念，是掌握重点和突破难点的关键。

在教学中一定要使学生的思考紧紧围绕指数函数与对数函数的关系，同时在例题的讲解中，重视加强题组的设计和变形，使教学真正体现出由浅入深，由易到难，由具体到抽象的特点，从而突出重点、突破难点。

二、说教法在引入课题时，我采用多媒体、实物演示法；在新课探究中采用问题启导、活动探究、类比发现法；在形成技能时以训练法、探究研讨发为主。

这组教学方法的特点是：教师通过创设问题情境，引导学生逐步发现知识的形成过程，使教学活动真正建立在学生自主活动和探索的基础上，着力培养学生的创新能力。

对数函数一．教学目标1．知识技能①对数函数的概念，熟悉2log xy =的图象,②了解对数函数的反函数. 2．过程与方法让学生通过类比思想由指数函数的概念得出对数函数的概念 3．情感、态度与价值观①培养学生数形结合的思想以及分析推理的能力； ②培养学生严谨的科学态度. 二．学法与教学用具1．学法：通过让学生观察、思考、交流、讨论、发现函数的性质； 2．教学手段：多媒体计算机辅助教学． 三．教学重点、难点1、重点：理解对数函数的定义，掌握对数函数2log xy =的图象,2、难点：用对称性画2log xy =的图象,.四．教学过程 1．设置情境在科学上，考古学家利用logP 估算出土文物或古遗址的年代，对于每一个C 14含量P ，通过关系式，都有唯一确定的年代t 与之对应．同理，对于每一个对数式log xa y =中的x ，任取一个正的实数值，y 均有唯一的值与之对应，所以log xa y x =关于的函数．2．探索新知一般地，我们把函数log a y x =（a ＞0且a ≠1）叫做对数函数，其中x 是自变量，函数的定义域是（0，+∞）．提问：（1）．在函数的定义中，为什么要限定a ＞0且a ≠1．（2）．为什么对数函数log a y x =（a ＞0且a ≠1）的定义域是（0，+∞）组织学生充分讨论、交流，使学生更加理解对数函数的含义，从而加深对对数函数的理解.答：①根据对数与指数式的关系，知log a y x =可化为ya x =，由指数的概念，要使y a x =有意义，必须规定a ＞0且a ≠1．②因为log a y x =可化为y x a =，不管y 取什么值，由指数函数的性质，ya ＞0，所以(0,)x ∈+∞．3、研究对数函数的反函数提问：指数函数y=a x(a>0且≠1)和对数函数y=log a x(a>0且a ≠1)有什么关系? 答：指数函数y=a x和对数函数y=log a x 刻画的是同一对变量 x, y 之间的关系， 但是，在指数函数y=a x中,x 是自变量, y 是x 的函数, 其定义域是R,值域是 (0,+ ∞)；在对数函数x=log a y 中, y 是自变量, x 是y 的函数,其定义域是 (0,+ ∞),值域是R 。

4.3.2对数函数y =log 2x 的图象和性质(1分钟)1.通过训练，进一步理解掌握函数y =log 2x 的图象和性质，提升数学抽象和直观想象素养.2.能较熟练地应用函数y =log 2x 的图象和性质解决有关问题.3.通过综合运用函数、指数函数等知识解决一些较简单的综合问题，提升逻辑推理素养.基础巩固练习(必做题，约25~30分钟)1.某地为了抑制一种有害昆虫的繁殖，引入了一种以该昆虫为食物的特殊动物，已知该动物的繁殖数量y (只)与引入时间x (年)的关系为y =a log 2(x +1)，若该动物在引入一年后的数量为100只，则第7年它们发展到(). A.300只B.400只C.600只D.700只2.函数y =log 2x 在[1，2]上的值域是(). A.RB.[0，+∞)C.(-∞，1]D.[0，1]3.函数f (x )=log 2(3x +3-x )是(). A.奇函数B.偶函数C.奇函数且是偶函数D.非奇非偶函数4.函数f (x )=log 2(x 2-6x +8)的单调递增区间为(). A.(4，+∞)B.(-∞，2)C.(3，+∞)D.(3，4)5.已知函数f (x )={(-x )12，x ≤0，log 2x ，x >0，则f (f (116))的值为().A.1B.2C.3D.46.集合A ={1，log 2x }中的实数x 的取值范围为.7.(本题为多项选择题)若函数y =log 2(kx 2+4kx +5)的定义域为R ，则k 的取值可以是(). A.0B.1C.54D.28.函数f (x )=-(log 2x )2+log 2x (x ∈[12，2])的值域为(). A.[0，+∞)B.[-1，14]C.[14，+∞) D.[-2，14]9.已知函数f (x )=log 2x 的值域是[1，2]，则它的定义域可用区间表示为. 10.已知函数f (x )=log 2(x +3)-1. (1)求函数的定义域；(2)若f (a )>f (1)，求a 的取值范围.一星级★素养提升练习(选做题，约4~6分钟)11.设函数f (x )={2x ，x >4，f (x +2)，x <4，则f (log 23)=.12.已知2x ≤256且log 2x ≥12，求函数f (x )=log 2x2·lo g √2√x2的最大值和最小值. 二星级★★培优练习(选做题，约6~9分钟)13.已知函数f (x )=log 21+ax x -1(a 为常数)是奇函数.(1)求a 的值与函数f (x )的定义域；(2)若当x ∈(1，+∞)时，f (x )+log 2(x -1)>m 恒成立，求实数m 的取值范围.(1分钟)做错题目的题号原因分析： 知识□ 方法□技能□ 题意理解□ 本课时的疑惑是否解决，解决的途径和程度如何？疑问情况： 解决□ 未解决□ 解决途径：与同学讨论交流□ 询问老师□ 解决程度： 一般□ 良好□其他参考答案1.【答案】A【解析】将x =1，y =100代入y =a log 2(x +1)， 得100=a log 2(1+1)，解得a =100. 所以当x =7时，y =100log 2(7+1)=300. 2.【答案】D【解析】∵1≤x ≤2，∴log 21≤log 2x ≤log 22，即0≤y ≤1，故选D. 3.【答案】B【解析】∵3x +3-x >0恒成立，∴f (x )的定义域为R.又∵f (-x )=log 2(3-x +3x )=f (x )，∴f (x )为偶函数，故选B. 4.【答案】A【解析】由题意得函数f (x )的定义域为(-∞，2)∪(4，+∞)，∵函数u =x 2-6x +8(x >4或x <2)的单调递增区间为(4，+∞)，且函数v =log 2u 在定义域内是增函数，∴由复合函数的单调性得f (x )的单调递增区间为(4，+∞). 5.【答案】B【解析】∵当x >0时，f (x )=log 2x ，∴f (116)=log 2116=log 22-4=-4.又当x ≤0时，f (x )=(-x )12，∴f (-4)=412=2. ∴f (f (116))=f (-4)=2.6.【答案】(0，2)∪(2，+∞) 【解析】∵集合A ={1，log 2x }， ∴{log 2x ≠1，x >0，解得x ∈(0，2)∪(2，+∞).7.【答案】AB【解析】由题意得，kx 2+4kx +5>0在R 上恒成立. 当k =0时，显然成立；当k ≠0时，k >0，Δ=16k 2-20k <0，解得0<k <54. 综上，k ∈[0，54)，故选AB.8.【答案】D【解析】设t =log 2x ，由x ∈[12，2]，可得t ∈[-1，1]，则有g (t )=-t 2+t =-(t -12)2+14，可得当t =12时，函数g (t )取得最大值，最大值为g (12)=14，当t =-1时，函数g (t )取得最小值，最小值为g (-1)=-2，因此f (x )的值域为[-2，14]. 9.【答案】[2，4]【解析】因为1≤log 2x ≤2，所以log 22≤log 2x ≤log 24. 又f (x )=log 2x 是区间(0，+∞)上的增函数，所以2≤x ≤4，所以f (x )的定义域为[2，4]. 10.【解析】(1)由题意知x +3>0，即x >-3， ∴函数的定义域为(-3，+∞).(2)f (a )=log 2(a +3)-1，f (1)=log 2(1+3)-1=1. ∵f (x )为增函数，∴{a +3>0，log 2(a +3)-1>1，即{a +3>0，a +3>4，∴a >1，即a 的取值范围是(1，+∞). 11.【答案】48【解析】因为log 23<4，log 23+2=log 23+log 24=log 212<4，log 212+2=log 212+log 24=log 248>4， 所以f (log 23)=f (log 248)=2log 248=48.12.【解析】由2x ≤256，得x ≤8，所以log 2x ≤3，即12≤log 2x ≤3.f (x )=(log 2x -1)×(log 2x -2)=(log 2x )2-3log 2x +2=(log 2x -32)2−14.当log 2x =32，即x =2√2时，f (x )min =-14，当log 2x =3，即x =23=8时，f (x )max =2. 13.【解析】(1)因为函数f (x )=log 21+ax x -1(a 为常数)是奇函数，所以f (-x )=-f (x )，所以log 21-ax -x -1=-log 21+ax x -1，即log 2ax -1x+1=log 2x -11+ax，所以a =1.令1+x x -1>0，解得x <-1或x >1，所以函数f (x )的定义域为{x |x <-1或x >1}. (2)f (x )+log 2(x -1)=log 2(1+x )， 当x >1时，x +1>2， 所以log 2(1+x )>log 22=1.因为当x ∈(1，+∞)时，f (x )+log 2(x -1)>m 恒成立， 所以m ≤1，故实数m 的取值范围是(-∞，1].。

§3.5 对数函数问题导学一、对数函数的概念及对数函数与指数函数的关系活动与探究1(1)下列函数是对数函数的是( )． A ．y ＝log 2(3x ) B ．y ＝log 2x 3C ．14log y x =D ．121log y x= (2)写出下列函数的反函数：①y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12x；②y ＝ln x.迁移与应用1．若对数函数f (x )的图像经过点(16，－2)，那么f (x )的解析式为__________．2．若函数y ＝f (x )是函数y ＝a x(a ＞0，且a ≠1)的反函数，其图像经过点(a ，a )，则f (x )等于( )．A ．log 2xB ．12log x C ．12x D ．x 2(1)判断一个函数是否是对数函数，主要根据解析式的特征来判定，求对数函数解析式时，主要利用待定系数法求出底数a 的值．(2)函数y ＝log a x 的反函数是y ＝a x (a ＞0，且a ≠1)；函数y ＝a x的反函数是y ＝log a x (a ＞0，且a ≠1)．二、求与对数函数有关的函数的定义域活动与探究2求下列函数的定义域：(1)f (x )＝lg(4－x )x －3；(2)y ＝log 0.1(4x －3).迁移与应用求下列函数的定义域：(1)y ＝1lg(x ＋1)－3；(2)y ＝log 3x －1.求与对数函数有关的函数定义域时，除遵循前面已学习过的求函数定义域的方法外，还要注意对数函数自身的要求：真数大于零．三、对数函数的图像活动与探究3作出函数f (x )＝|log 3x |的图像，并求出其值域和单调区间．迁移与应用函数f (x )＝log 41x的大致图像为( )．1．作函数的图像通常采用描点法和图像变换法，可灵活选用； 2．一般地，函数y ＝－f (x )与y ＝f (x )的图像关于x 轴对称，函数y ＝f (－x )与y ＝f (x )的图像关于y 轴对称，函数y ＝－f (－x )与y ＝f (x )的图像关于原点对称．四、对数函数单调性的应用活动与探究4(1)比较下列各组数的大小：①124log 5与log 1267；②12log 3与15log 3；③log a 2与log a 3.(2)若log a (1－2x )＞log a (1＋2x )，求实数x 的取值范围．迁移与应用1．设a ＝log 2π，b ＝log 23，c ＝log 32，则( )． A ．a ＞b ＞c B ．a ＞c ＞b C ．b ＞a ＞c D ．b ＞c ＞a2．若log a 3＜1，求a 的取值范围．(1)比较两个对数值的大小，常用方法有：①底数相同，真数不同时，用对数函数的单调性来比较；②底数不同，而真数相同时，常借助图像比较，也可用换底公式转化为同底数的对数后比较；③底数与真数都不同，需寻求中间值比较．④分类讨论：当底数与1的大小关系不确定时，要对底数与1比较，分类讨论．(2)解与对数有关的取值范围问题通常转化为不等式(组)求解，其依据是对数函数的单调性．(3)解决与对数函数相关的问题时，要遵循“定义域优先”的原则，切勿忘记真数大于0这一条件．当堂检测1．若函数f (x )＝⎝ ⎛⎭⎪⎫13x的反函数是y ＝g (x )，则g (3)＝( )．A ．127B ．27C ．－1D ．12．若log 5x ＜－1，则x 的取值范围是( )．A ．x ＜15B ．0＜x ＜15C ．x ＞15 D ．x ＞53．下列不等式成立的是( )． A ．log 32＜log 23＜log 25 B ．log 32＜log 25＜log 23 C ．log 23＜log 32＜log 25 D ．log 23＜log 25＜log 324．函数y =__________．5．画出下列函数的图像，并根据图像写出函数的定义域、值域以及单调区间： (1)y ＝log 3(x －2)； (2)y ＝|12log x |.答案：课前预习导学 【预习导引】1．y ＝log a x 底数 10 e预习交流1 提示：根据对数函数的定义，只有严格符合y ＝log a x (a ＞0，a ≠1，x ＞0)形式的函数才是对数函数．例如y ＝log 3x (x ＞0)，12log y x =(x ＞0)是对数函数，而y ＝2log 2x ，212log y x =等都不是对数函数．2．反函数 互换 y ＝x3．(1)描点法 先画函数x ＝log 2y 的图像，再变换为y ＝log 2x 的图像． (2)(1,0) y 轴右边 x 轴上方 x 轴下方 (0，＋∞)4．(0，＋∞) (－∞，＋∞) (－∞，0) (0，＋∞)预习交流2 提示：不论a (a ＞0，且a ≠1)取何值，总有log a 1＝0，因此对数函数图像过定点(1,0)，对于函数y ＝log a f (x )，若令f (x )＝1解得x ＝x 0，那么其图像经过定点(x 0,0)．预习交流3 提示：当a ＞1时，a 值越大，图像越靠近x 轴； 当0＜a ＜1时，a 值越大，图像越远离x 轴．课堂合作探究 【问题导学】活动与探究1 思路分析：(1)根据对数函数的定义进行判断；(2)根据指数函数y ＝a x与对数函数y ＝log a x 的关系直接写出函数的反函数．(1)C 解析：由对数函数的定义知，只有函数14log y x =是对数函数，其余选项中的函数均不是对数函数，故选C.(2)解：①指数函数y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12x，它的底数是12，它的反函数是对数函数12log y x =.②对数函数y ＝ln x ，它的底数是e ，它的反函数是指数函数y ＝e x.迁移与应用 1．()14log f x x = 解析：设f (x )＝log a x (a ＞0，且a ≠1)，由已知得log a 16＝－2，因此a －2＝16，解得a ＝14，故()14log f x x =.2．B 解析：由题意，知f (x )＝log a x . ∵其图像过(a ，a )，∴a ＝log a a .∴a ＝12.∴()12log f x x =.活动与探究2 思路分析：(1)x 取值需使分母不等于零且真数为正实数； (2)x 取值需使被开方数为非负数且真数为正实数．解：(1)要使函数有意义，需有⎩⎪⎨⎪⎧4－x >0，x －3≠0，解得x ＜4，且x ≠3，所以函数的定义域为(－∞，3)∪(3,4)．(2)要使函数有意义，需有⎩⎪⎨⎪⎧4x －3>0，log 0.1(4x －3)≥0，即⎩⎪⎨⎪⎧4x －3>0，4x －3≤1，解得34＜x ≤1.所以函数的定义域为⎝ ⎛⎦⎥⎤34，1. 迁移与应用 解：(1)∵由⎩⎪⎨⎪⎧lg(x ＋1)－3≠0，x ＋1>0，得⎩⎪⎨⎪⎧x ＋1≠103，x >－1，∴x ＞－1，且x ≠999，∴函数的定义域为{x |x ＞－1，且x ≠999}． (2)要使函数有意义，应有log 3x －1≥0， 即log 3x ≥1，所以x ≥3， 即函数的定义域为{x |x ≥3}． 活动与探究3 思路分析：将函数f (x )化为分段函数，结合对数函数及图像变换可作出函数图像，然后通过图像求出值域和单调区间．解：f (x )＝|log 3x |＝⎩⎪⎨⎪⎧log 3x ，x ≥1，－log 3x ，0<x <1，所以f (x )的图像在[1，＋∞)上与y ＝log 3x 的图像相同，在(0,1)上的图像与y ＝log 3x的图像关于x 轴对称，据此可画出其图像如下：从图像可知：函数f (x )的值域为[0，＋∞)，递增区间是[1，＋∞)，递减区间是(0,1)．迁移与应用 D 解析：由于f (x )＝log 41x＝－log 4x ，其图像与y ＝log 4x 的图像关于x轴对称，故选D.活动与探究 4 思路分析：(1)①中两数同底不同真，可利用对数函数的单调性；②中同真不同底，可结合图像判断；③中底数中含有字母，需分类讨论．(2)对底数a 进行讨论，结合对数函数的单调性求解． 解：(1)①12log y x =在(0，＋∞)上递减，又因为45＜67，所以112246log >log 57.②因为在x ∈(1，＋∞)上，15log y x =的图像在12log y x =图像的上方，所以1125log 3<log 3.③当a ＞1时，y ＝log a x 为增函数，所以log a 2＜log a 3.当0＜a ＜1时，y ＝log a x 为减函数， 所以log a 2＞log a 3.(2)当a ＞1时，依题意有⎩⎪⎨⎪⎧ 1－2x >0，1＋2x >0，1－2x >1＋2x ，解得－12＜x ＜0；当0＜a ＜1时，依题意有⎩⎪⎨⎪⎧1－2x >0，1＋2x >0，1－2x <1＋2x ，解得0＜x ＜12.因此当a ＞1时，x 的取值范围是⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，0，当0＜a ＜1时，x 的取值范围是⎝ ⎛⎭⎪⎫0，12. 迁移与应用 1．A 解析：∵函数y ＝log 2x 在(0，＋∞)上是增函数，∴log 2π＞log 23，即a ＞b .又∵b ＝12log 23＞12，c ＝12log 32＜12，∴b ＞c .∴a ＞b ＞c .2．解：当a ＞1时，原不等式可化为log a 3＜log a a ， ∴a ＞3.当0＜a ＜1时，原不等式可化为log a 3＜log a a ， ∴a ＜3.又∵0＜a ＜1，∴0＜a ＜1.综上知，所求a 的取值范围是(0,1)∪(3，＋∞)． 【当堂检测】1．C 解析：依题意g (x )＝13log x ，所以g (3)＝13log 3＝－1.2．B 解析：由log 5x ＜－1可得log 5x ＜log 515，所以0＜x ＜15.3．A 解析：∵y ＝log 2x 在(0，＋∞)上是增函数，∴log 25＞log 23＞log 22＝1.又y ＝log 3x 在(0，＋∞)上为增函数， ∴log 32＜log 33＝1. ∴log 32＜log 23＜log 25.4．[0,1) 解析：∵由12log (1)x -≥0，得0＜1－x ≤1，∴0≤x ＜1.5．解：(1)函数y ＝log 3(x －2)的图像可看作把函数y ＝log 3x 的图像向右平移2个单位长度得到的，如图①.其定义域为(2，＋∞)，值域为R ，在区间(2，＋∞)上是增函数．(2)y ＝|12log x |＝122log ,01,log ,1,x x x x <≤⎧⎪⎨⎪>⎩其图像如图②.其定义域为(0，＋∞)，值域为[0，＋∞)，在(0,1]上是减少的，在(1，＋∞)上是增加的．。

对数函数 学案【教学目标】1.使学生理解对数函数的概念。

2.掌握对数函表的图象和性质。

3.培养学生数形结合的意识。

【教学重点】对数函数的图象和性质。

【教学难点】对数函数与指数的关系。

【教学过程】一、复习回顾(引入)(1)指数式与对数式的互化:__________________(2)指数函数:2xy =(,0)x R y ∈>的反函数为__________________ (3)指函数:(,0)x y a x R y =∈>的反函数为_____________________ 二、新授讲授1.对数函数的定义:一般地,当0a >且1a ≠时,函数log a y x=叫做对数函数,定义域____,值域为判断下列函数哪些对数函数:( ) A.2()log (1)f x x =+ B.2()log f x x= C.2()2log f x x= D.2()log x f x x+=2.对数函数的图象和性质:(1)画出函数2log y x =，12log y x=的图象方法有:①描点法；②利用对数函数与同底的指数互为反函数.其图象关于直线y x =对称采用描点法作图: 12、描点作图:y12xx观察左边的图象，回答下列问题: 1、函数的图象经过的哪些象限？ 答:___________________2、函数的增减性与底数a 的关系？ 答:______________________________________________ 3、图象中有哪些特殊的点？ 答:_______________ :3、底数对对数函数的图象的影响:231123log ,log ,log ,log y x y x y x y x====图象。

三、例题讲解 例1.比较大小 (1)2log 3.4____2log 8.5(2)0.3log 1.8____0.3log 2.7小结:利用函数单调性比较大小。

(3)6log 7____7log 6(4)3log 2____2log 0.7小结:利用中间量“0”“1”比较大小。

对数函数教学目标1．使学生掌握对数函数的定义，会画对数函数的图象，掌握对数函数的性质．2．通过对数函数与指数函数互为反函数的教学，学生进一步加深对反函数概念及函数和反函数图象间的关系的认识与理解．3．通过比较、对照的方法，学生更好地掌握两个函数的定义、图象及性质，认识两个函数的内在联系，提高学生对函数思想方法的认识和应用意识．教学重点与难点教学重点是对数函数的定义、图象及性质．难点是由对数函数与指数函数互为反函数这一关系，利用指数函数图象及性质得到对数函数的图象及性质．教学过程设计师：在新课开始前，我们先复习一些有关概念．什么叫对数？生：若a b=N，则数b叫做以a为底N的对数，记作log a N=b．其中a为底数，N是真数．师：各个字母的取值范围呢？生：a＞0巳a≠1；N＞0；b∈R，师：这个定义也为我们提供了指数式化对数式，对数式化指数式的方法．请将b p=M化成对数式．生：b p=M化为对数式是log b M=p．师：请将log c a=q化为指数式．生：log c a=q化为指数式是c q=a．师；什么是指数函数？它有哪些性质？（生回答指数函数定义及性质．）师：请大家回忆如何求一个函数的反函数？生：（1）先求原来函数的定义域和值域；（2）把函数式y=f （x）x与之对应，此反函数可记作x=f-1（y）；（3）把x=f-1（y）改写成y=f-1（x），并写出反函数的定义域．师：好．为什么求一个函数的反函数时，要先求出这个函数的定义域和值域呢？生：求原来函数的定义域是为了求原来函数的值域，而原来函数的值域就是其反函数的定义域．师：很好．原来函数的定义域和值域，就是其反函数的值域和定义域．根据前面复习的求反函数的方法，请同学们求函数y=a x （a＞0，a≠1）的反函数．生：函数y=a x（a＞0，a≠1）的定义域x∈R，值域y∈（0，+∞）．将指数式y=a x化为对数式x=log a y，所以函数y=a x（a＞0，a ≠1）的反函数为y=log a x（x＞0）．师：今天这节课我们介绍一下新的函数——对数函数，它是指数函数的反函数．定义函数y=log a x（a＞0，a≠1）叫做对数函数．因为对数函数y=log a x是指数函数y=a x的反函数，所以要说明以下两点：（1）对于底数a，同样必须满足a＞0且a≠1的条件．（2）指数函数的定义域为R，值域为R+．根据反函数性质可知：对数函数的定义域为R+，值域为R．同指数函数一样，在学习了函数定义之后，我们要画函数的图象．应该如何画对数函数的图象呢？生：用描点法画图．师：对．我们每学习一种新的函数都可以根据函数的解析式，列表、描点画图．再考虑一下，我们还可以用什么方法画出对数函数的图象呢？生：因为对数函数是指数函数的反函数，所以它们的图象关于直线y=x对称．因此，只要画出指数函数的图象，就可利用图象的对称性画出对数函数的图象．师：非常好．我们画对数函数图象，即可用描点法，也可用图象变换法．下边我们就利用这两种方法画对数函数图象．方法一（描点法）首先列出x，y值的对应表．因为对数函数的定义域为x＞0，因此可取x=1，2，3，4，…，请计算对应的y值．生：y=log21=0，y=log22=1，y=log23=1.59，y=log24=2．师：我们在分析对数函数值域时知y∈R．由上面所说的x值计算x … 1 2 3 4 …x …-3 -2 -1 0 1 1.59 2 …y=log2x … 1 2 3 10 …y=lgx …-1 -0.70 0 0.30 0.48 1 …x … 1 2 3 4 …… 3 2 1 0 -1 -1.59 -2 …方法二（图象变换法）师：我们讲函数与其反函数的图象关系时，说明了点（a，b）关于直线y=x的对称点的坐标是什么？生：是点（b，a）．关于直线y=x的对称点为（b，a）的方法描点，即可画出y=log2x，y=lgx，师：由于对数函数是指数函数的反函数，指数函数图象分a＞1和0＜a＜1两类，因此对数函数图象也分a＞1和0＜a＜1两类．现在我们观察对数函数图象，并对照指数函数性质来分析对数函数的性质．生：对数函数的图象都在y轴右侧，说明x＞0．生：函数图象都过（1，0）点，说明x=1时，y=0．师：对．这从直观上体现了对数式的真数大于0且1的对数是0的事实．请继续分析．生：当底数是2和10时，若x＞1，则y＞0，若x＜1，则y＜师：对．由此可归纳得到：当底数a＞1时，若x＞1，则y＞0；若0＜x＜1，则y＜0，反之亦然．当底数0＜a＜1时，看x＞1，则y＜0；若0＜x＜1，则y＞0，反之亦然．这体现了真数的取值范围与对数的正负性之间的紧密联系．再继续分析．生：当底数a＞1时，对数函数在（0，+∞）上递增；当底数0＜a＜1时，对数函数在（0，+∞）上递减．师：好．下边我们看一下指数函数与对数函数性质对照表．定义域（-∞，+∞）（0，+∞）值域（0，+∞）（-∞，+∞）函数值变化情况当a＞1时，当a＞1时，当0＜a＜1时，当0＜a＜1时，单调性当a＞1时，a x是增函数；当a＞1时，logax是增函数；当0＜a＜1时，a x是减函数当0＜a＜1时，logax是减函数．图象y=a x的图象与y=logax的图象关于直线y=x对称进一步巩固理解这些概念．例2求下列函数的定义域：生：（1）因为x2＞0，所以x≠0，即y=log a x2的定义域是（-∞，0）∪（0，+∞）．生：（2）因为4-x＞0，所以x＜4，即y=log a（4-x）的定义域是（-∞，4）．师：在这个函数的解析式中，不仅有对数式，还有二次根式，因此要求定义域，既要真数大于0，还要被开方数大于或等于0，从而得到不等式组，这个不等式组如何解，问题出在log0.5（3x-1）≥0上，怎么办？生：把0看作log0.51，即log0.5（3x-1）≥log0.51，因为0＜0.5＜1，所以此函数是减函数，所以3x-1≤1．师：对．他是利用了对数函数的单调性．还有别的说法吗？生：因为底数0＜0.5＜1，而log0.5（3x-1）≥0，所以3x-1≤1．师：对．他是利用了对数函数的第三条性质，根据函数值的范围，判断了真数的范围，因此只要解0＜3x-1≤1，即可得出函数定义域．例3 比较下列各组中两个数的大小：（1）log23和log23.5；（2）log0.71.6和log0.71.8．师：请同学们观察这两组数中两个数的特征，想一想应如何比较这两个数的大小．生：这两组数都是对数．每组中的对数式的底数相同，而真数不同，因此可根据函数y=log2x是增函数的性质来比较它们的大小．师：对．针对（1）中两个数的底数都是2，我们构造函数y=log2x，利用这个函数在（0，+∞）是单调递增的，通过比较真数的大小来决定对数的大小．请一名同学写出解题过程．生：（板书）解：因为函数y=log2x在（0，+∞）上是增函数，又因0＜3＜3.5，所以log23＜log23.5．师：好．请同学简答（2）中两个数的比较过程．并说明理由．生：因为函数y=log0.7x在（0，+∞）上是减函数，又因0＜1.6＜1.8，所以log0.71.6＞log0.71.8．师：对．上述方法仍是采用“函数法”比较两个数的大小．当两个对数式的底数相同时，我们构造对数函数．对于a＞1的对数函数在定义域内是增函数；对于0＜a＜1的对数函数在定义域内是减函数．只要比较真数的大小，即可得到函数值的大小．例4 比较下列各组中两个数的大小：（1）log0.34和log0.20.7；（2）log23和log32．师：这两组数都是对数，但它们的底数与真数都不相同，不便于利用对数函数的单调性比较它们的大小．请大家仔细观察各组中两个数的特点，判断出它们的大小．生：在log0.34中，因为底数0＜0.3＜1，且4＞1，所以log0.34＜0；在log0.20.7中，因为0＜0.2＜1，且0.7＜1，所以log0.20.7＞0，故log0.34＜log0.20.7．师：很好．根据对数函数性质，当底数0＜a＜1时，若x＞1，则y＜0；若0＜x＜1，则y＞0．由此可以判定这两个数中，一个比零大，另一个比零小，从而比较出两个数的大小，这是采用了“中间量法”．请比较第（2）组两个数的大小．生：在log23中，底数2＞1，真数3＞1，所以log23＞0；在log32中，底数3＞1，真数2＞1，所以log32＞0，…师：根据对数性质可判断：log23和log32都比零大．怎么办？生：因为log23＞1，log32＜1，所以log23＞log32．师：很好．这是根据对数函数的单调性得到的，事实上，log23＞log22=1，log32＜log33=1，这里利用了底数的对数为1，即log22=log33=1，从而判断出一个数大于1，而另一个数小于1，由此比较出两个数的大小．请同学们口答下列问题：练习1求下列函数的反函数：（1）y=3x（x∈R）；（2）y=0.7x（x∈R）；（3）y=log5x（x＞0）；（4）y=log0.6x（x＞0）．生：y=3x（x∈R）的反函数是y=log3x（x＞0）．生：y=0.7x（x∈R）的反函数是y=log0.7x（x＞0）．生：y=log5x（x＞0）的反函数是y=5x（x∈R）．生：y=log0.6x（x＞0）的反函数是y=0.6x（x∈R）．练习2指出下列各对数中，哪个大于零？哪个小于零？哪个等于零？并简述理由．生：在log50.1中，因为5＞1，0.1＜1，所以log50.1＜0．生：在log27中，因为2＞1，7＞1，所以log27＞0．生：在log0.60.1中，因为0.6＜1，0.1＜1，所以log0.60.1＞0．生：在log0.43中，因为0.4＜1，3＞1，所以log0.43＜0．练习3用“＜”号连接下列各数：0.32，log20.3，20.3．生：由指数函数性质可知0＜0.32＜1，20.3＞1，由对数函数性质可知log20.3＜0，所以log20.3＜0.32＜20.3．师：现在我们将这节课的内容小结一下，本节课我们介绍了对数函数的定义、图象及性质，请同学回答对数函数的定义及性质．生：（复述）……师：对数函数的定义，我们是通过求指数函数的反函数而得到的，从而揭示了指数函数与对数函数之间的内在联系，对于对数函数的图象及性质，都可以利用指数函数的图象及性质得到．对于对数函数的性质，可以利用对数函数图象记忆，也可以对照指数函数的性质记忆．对于函数的定义域，除了原来要求的分母不能为0及偶次根式中被开方式大于或等于0以外，还应要求对数式中真数大于零，底数大于零且不等于1．如果函数中同时出现几种情况，就要全部考虑进去，求它们共同作用的结果．例3、例4都是利用对数函数的性质，通过“函数法”和“中间量法”比较两个数大小的典型例子．补充题1．求下列函数的定义域：（x-1）2．2．比较下列各题中两个数值的大小：（1）log30.7和log0.20.5；（2）log0.64和log7.11.2；（3）log0.50.6和log0.60.5；（4）log25和log34．（答案：1．（1）（-∞，-2）∪（3，+∞）；（2）[2，+∞）；（3）（-1，0）∪（0，1）∪（1，+∞）．2．（1）＜；（2）＜；（3）＜，提示：两个数与1比较；（4）＞，提示：两个数与2比较．）3．（选作）已知函数f（x）=log2（kx2-2x+k）的定义域是一切正实数，求k的取值范围．课堂教学设计说明1．本节新课的开始是由求指数函数的反函数引入对数函数的，因此在讲授对数函数的定义、图象及性质时，要处处与指数函数对照着讲解，既可揭示指数函数与对数函数之间的内在联系．又可以旧带新，便于学生记忆掌握．2．课本是根据互为反函数的两个函数图象关于直线y=x对称的性用这种对称变换的方法画函数图象，可以加深和巩固学生对互为反函数的两个函数之间的关系的认识，便于将对数函数的图象和性质与指数函数的图象和性质对照．但使用描点法画函数图象更为方便．两种画法可同时进行．分析画法之后，可以让学生自由选择画法，也可以安排某几行同学用描点法，另外几行同学用图象的对称变换画图．在黑板上让两名学生同时各用一种方法画出图象，或让学生用投影片用不同的方法画出图来，在投影仪上展示给大家看．总之，根据时间，能够把两种画法展示给学生更好．3．为了加大课堂密度，提高45分钟课堂效率，可采用投影仪或电脑等现代化教学手段，充分利用时间，但不能用它代替学生的思维过程，要让学生有动脑、动口、动手的机会，突出学生参与过程．4．要了解自己学生的程度，根据不同层次的教学对象制定教学方案，选择不同程度的例题和习题，注意不要让学生吃不饱，也不要太撑，要适量．。

2．2．2对数函数及其性质学案课前预习学案一、预习目标记住对数函数的定义;初步把握对数函数的图象与性质. 二、预习内容1、对数函数的定义_______________________________________.2、对数函数y = logax (a ＞0,且a ≠ 1)的图像和性质 研究函数 和 的图象；请同学们完成x ，y 对应值表，并用描点法分别画出函数 和 的图象:x y 21log =x y 2log =x y 2log =x y 21log =观察发现:认真观察函数 的图象填写下表： （表二）对数函数y = logax (a ＞0,且a ≠ 1)的图像和性质： （表三）三、提出疑惑课内探究学案一、学习目标1理解对数函数的概念，熟悉对数函数的图象与性质规律. 2掌握对数函数的性质.xy 21log =学习重难点对数函数的图象与性质二、学习过程探究点一例1：求下列函数的定义域:（1） ; (2) .练习：求下列函数的定义域:（1） ; （2） .解析 : 直接利用对数函数的定义域求解，而不能先化简．解：略点评：本题主要考查了对数函数的定义域极其求法．探究点二例2：比较下列各组数中两个值的大小:(1) (2)（3）loga5.1，loga5.9 (a＞0,且a≠ 1).（1） ____ ;（2） ____ ;(3) 若 < ，则m____n;（4）若 > ，则m____n.三、反思总结四、当堂检测1、求下列函数的定义域（1）2logay x=（2）log(4)ay x=-)4(log xy a-=2log xy a=7.2log,8.1log3.03.06log5.04log5.06.1log5.14.1log5.1m3log n3logm3.0logn3.0log)1(log5xy-=xy2log1=5.8log,4.3log222、比较下列各组数中两个值的大小 （1）22log 3.4,log 8.50.30.3log 1.8,log 2.7课后练习与提高１.函数f(x)=lg(x x -+12)是 （奇、偶）函数。

陕西省延长县中学高中数学 对数函数导学案 北师大版必修1
学习 目标
1、由前面学习指数函数x
y a =的基础上,根据函数的定义引入对数函数 2、能够理解指数函数与对数函数的关系,理解反函数的定义 3、会求指数函数与对数函数的反函数.
学习 重点 对数函数的定义的理解以及对数函数与指数函数的关系.
学习 难点 对数函数与指数函数之间的关系.
学法 指导
学生思考、探究.
学 习 过 程
学习笔记 （教学设计）
【自主学习（预习案）】阅读教材89—91页内容，完成下列问题：
我们研究指数函数时，曾讨论过细胞分裂问题：某种细胞分裂时得到的细胞的个数y 是分裂次数x 的函数，这个函数可以用指数函数 来表示。

现在我们来研究相反的问题，如果要求这种细胞经过多次分裂大约可以得到13个，103个…细胞，那么分裂次数x 就是要得到的细胞个数y 的函数，根据对数定义，可以写成 y x 2log =
我们习惯上用x 表示自变量，y 表示函数，则有 x y 2log =
【合作学习（探究案）】小组合作完成下列问题
1、函数 叫做对数函数，对数函数的定义域 值域 .
常用对数： 自然对数：
完成课本90页例1题：
2、指数函数x
a y =和对数函数)1,0(log ≠>=a a x y a 有什么关系？
相同点： 不同点：
结论：反函数： 完成课本90—91页例2，例3： 【当堂检测】
课本91页练习1,2,3,4 【当堂小结】
【课后巩固（布置作业）】 课本97页习题3—5A 组1,2 【纠错反思（教学反思）】。