用单摆测定重力加速度
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用单摆测定重力加速度
[目的]
1．学会用单摆测定重力加速度的方法。
2．学习累计放大法，提高测量精度。
3．用作图法处理数据。
[原理]
地球上各地区重力加速度 g的大小，与该地区的地理纬度和海拔高度有关，其数值略有差异。
近两极的g值最大，赤道附近的 g值最小，两者相差大约1/300。
重力加速度的测量是一件古老而有趣的事，虽然它是一个早已解决的问题，但是，通过自己动手做实验，你可以学到很多方法和技能，还可以对各种方法得到的测量结果进行分析比较，找出各种方法的优缺点，锻炼自己的实验能力，广泛的获取实验知识。
设单摆的摆长为L，摆球质量为ｍ。
当单摆左右摆动时，摆球所受的合外力f=-mgsinθ，其中θ为摆角，如图2-1所示。
这时，摆球的线加速度 a=-mgsin θ，角加速度：
β=a/L=-g/Lsin
θ
(2-1)
当摆角较小时（一般θ<50），可以认为 sinθ≈θ，这时
β=-gθ/L
(2-2)
即振动的角加速度与角位移成比例，式中负号表示角加速度和角位移的方向总是
相反。
此时单摆的振动近似为简谐振动。
比较简谐振动公式
β=-ω2θ
可得
(2-3)
单摆的振动周期Ｔ为
(2-4)
式中为当地的重力加速度 g，L为摆长，式摆球重心到摆线悬点的距离。
由此也证明了单摆的等时性原理。
不过上式是在假定摆角很小的情况下得到。
由理论分析可严格证明，单摆的振动周期T和摆角θ之间的关系为
(2-5) 由上式可以看出，式(2-4)只是式(2-5)的零级近似。
不过，实际中我们由式(2-4)即可测得较满意的结果。
变换(2-4)式可得
g=4π2L/T2 (2-6)
T2
=4π2
/g·L (2-7) 以上两式即为本实验中所用测量公式。
若采用一固定摆长Ｌ，精密地测出周期Ｔ，
代入(2-6)式即得当地的重力加速度 g。
若测出不同摆长L
i 下的周期T
i
做出T２～
L关系曲线，所得结果为一直线，根据(2-7)式，由直线的斜率可求出 g值。
本实验中，以上两种方法均采用。
在作图法中，我们采用数字计数器计时，而固定摆场时，采用普通秒表计时。
数字计数器是一种比较精密的仪器，二秒表比较简单。
但是，用它同样可以获得精密的测量，方法是采用累计放大法，不是测量一个振动周期T，而是扩大测量范围，测出50次全振动的时间ｔ＝50T，然后得出周期Ｔ值。
[装置]
本次实验的装置如图2-2所示，它可以完成多个实验。
直立的支柱D上固定有标尺R，支柱上端有一个气囊可以系住小铁球，两
个光电转换支架E
１和E
２
可以沿支柱上下移动，其位置可有标尺R读出。
支柱底
座有可以调节铅直的三个螺钉S
１、S
２
、S
３
，以摆球作重锤，调节三个螺丝，使
摆线与支柱平行，可保证支柱D垂直。
做自由落体实验时，给气囊排气，小铁球便吸在Ｒ处，由于缓慢漏气，小铁球便会自由下落。
将单摆固定在O处，即可以进行实验。
例如，当小铁球做自由落体运动时，计时-计数-计频仪的功能选
择K
2置于“计时”档，将信号分配开关K
B
（S
N
）拨至“2”，当小球通过的一个光电
转换支架时，计时-计数-计频仪开始计时，当通过另一个光电转换支架时，计时终止。
这时，计时-计数-计频仪所显示的时间即为两次挡光之间的时间。
[内容]
1．用数字计数器计时，取5个不同摆长L
i ，每个摆长下单摆周期 T
1
重复测
量5次，然后做出T2～L图，用作图法求重力速度 g的值。
测量摆长时，要求用卷尺测出悬线长度，用卡尺测出小球直径。
2．固定摆长L≈100cm，用秒表计时，采用累计放大法，测出单摆50次全振动的时间t＝50T，重复测量4次，计算出
值，求出测量 g的不确定度Δg。
3．把上述两种方法的测量结果分析比较，说明优缺点，求出百分误差。
已
知长沙地区重力加速度的标准值为g
=979.15cm/s2。
[预习思考题]
1．为什么用秒表测单摆周期时，不直接测量往返一次摆动的周期T，而测定50T？试从误差分析说明。
2．若摆长L=100cm，摆角θ=50，试估算摆幅的水平位移有多大？会对周期的测量产生多大影响？对g的测量产生多大影响？θ=100时又怎样？
[思考题]
1．如果实验做出的T２～L曲线为一直线，说明什么问题？如果不为一直线呢？如果直线不通过坐标原点，说明什么？
2．已知长沙地区重力加速度的标准值为g
=979.15cm/s2，若要测量单摆的等值摆长L，即
，要求l/L <![endif]-->≤0.2%，如T≈2ｓ，不考虑系统误差，则用最小分度为0.1s的秒表测量时，应取多少个周期为宜？。
