§1.3.2函数的极值与导数

识与方法的基础，起着承上启下的作用。
知识与技能：
①了解函数极值的定义，会从几何图形直观理解函
数的极值与其导数的关系，增强学生的数形结合意识，
提升思维水平；
②掌握利用导数求不超过三次的多项式函数极值
教学目标 的一般方法；
③了解函数在某点取得极值的必要条件和充分条
件。
过程与方法：
培养学生观察、分析、探究、归纳得出数学概念和
规律的学习能力。
情感态度与价值观：
①体会导数方法在研究函数性质中的一般性和有
效性；
②培养学生大胆创新、勇于探索、互相合作的精神。
学生已经初步学习了运用导数研究函数，但还不够
深入，因此在学习上还有一定困难。本节课能够进一步
提高学生运用导数研究函数的能力,体会导数的工具作 学生学习能
用。 力分析
通过用导数研究函数的极值，提高了学生的导数应
学生展示：类比极大值，归纳出极小值，极小值点 的定义。
教师点拨：通过教师的点拨，帮助学生完善、深化 知识
典型例题：先让学生做，教师引导学生总结思路方 法技巧。
自主完成：分层设计练习题，让各层面学生都能学 有所获。
求,解方程=0,当=0 时:
（1）如果在 x0 附近的左边＞0,右边＜0,那么
f(x0)是极大值。 （2）如果在 x0 附近的左边＜0,右边＞0,那么
f(x0)是极小值。 通过典型例题巩固学生对新知识的理解。 通过对典型例题的板演，让学生明确求极值的方
法，突出本节课的重点。培养学生规范的表达能力，形 成严谨的科学态度。
学生展示：极小值与极小值点
教学过程
典型例题： 例 1：右图是函数 y=f(x)的函数,试找出函数
y=f(x)的极值点,并指出哪些是极大值点,哪些是极小

3 (a (2) f ( x）＝ ax + 2bx + c ≠ 0)
/ 2
f (1) = a + b + c = 5
{
.
f / (1) = 3a + 2b + c = 0 f / (2) = 12a + 4b + c＝0
a = 2, b = −9, c = 12
注意： 注意：数形结合以及函数与方程思想的应用
1 3 x -4x+4 3
+
-
28 3
o -2
4 − 3
2 + x
求可导函数f(x)极值的 步骤： 极值的 步骤： 求可导函数
(1) 确定函数的定义域； 确定函数的定义域 (2)求导数 ’(x)； 求导数f 求导数 ； (3)求方程 ’(x）=0的根； 求方程f 的根； 求方程 ） 的根 (4)把定义域划分为部分区间，并列成表格 把定义域划分为部分区间 把定义域划分为部分区间， 检查f 在方程根左右的符号—— 检查 ’(x)在方程根左右的符号 在方程根左右的符号 •如果左正右负（+ ~ -）， 如果左正右负 如果左正右负（ ）， 那么f(x)在这个根处取得极大值； 在这个根处取得极大 那么 在这个根处取得极 •如果左负右正（- ~ +）， 如果左负右正 如果左负右正（ ）， 那么f(x)在这个根处取得极小值； 在这个根处取得极小 那么 在这个根处取得极
28 3
(-2,2) ↘
2 0
极小值 − 4
3
(2,+∞) ∞ + ↗
28 因此,当 时有极大值,并且 因此 当x=-2时有极大值 并且 极大值= 3 ; 时有极大值 并且,y 4 时有极小值,并且 而,当x=2时有极小值 并且 极小值= − 3 . 当 时有极小值 并且,y

§1．3．2函数的极值与导数（1课时）【学情分析】：在高一就学习了函数的最大（小）值，这与本小节所要研究的对象——函数极值有着本质区别的，学生容易产生混淆，易把极大值当做最大值，极小值当做最小值。

在认识理解导数大小与函数单调性的关系后，结合函数图像直观地引入函数极值的概念，强化极值是描述函数局部特征的概念，使得学生对极值与最值的概念区分开来，也为下节“函数的最值与导数”做好铺垫。

【教学目标】：（1）理解极大值、极小值的概念.（2）能够运用判别极大值、极小值的方法来求函数的极值.（3）掌握求可导函数的极值的步骤【教学重点】：极大、极小值的概念和判别方法，以及求可导函数的极值的步骤.【教学难点】：极大、极小值概念的理解，熟悉求可导函数的极值的步骤①观察y=f(x)的图像在x=1点的函数值f(1)与x=1附近的其他点的函数值的特征，并描述在x=1点及其附近导数的正负：f(1)在x=1点及其附近是最小——；'(1)0f =y=f(x)在x=1附近的左侧是单减的——；'()0f x <y=f(x)在x=1附近的右侧是单增的——；'()0f x >提问：y=f(x)在x=1处是否整个函数的最小值？不是，只是y=f(x)在x=1处附近的局部最小值②观察y=f(x)的图像在x=4点的函数值f(4)与x=4附近的其他点的函数值的特征，并描述在x=4点及其附近导数的正负：学生模仿完成课后练习1、函数在一点的导数值为是函数在这点取极值的（）)(x f y =0)(x f y =A 充分条件 B 必要条件 C 充要条件 D 必要非充分条件答案 D 对于不能推出在取极值，反之成立3'2'(),()3,(0)0,f x x f x x f ===()f x 0x =2、函数有（）()323922y x x x x =---<<A 极大值，极小值527-B 极大值，极小值511-C 极大值，无极小值5D 极小值，无极大值27-答案C ，当时，；当时，'23690,1,3y x x x x =--==-=得1x <-'0y >1x >-'0y <当时，；取不到，无极小值1x =-5y =极大值x 33、函数的定义域为开区间，导函数在内的图象如图所示，)(x f ),(b a )(x f '),(b a 则函数在开区间内有极小值点（ ）)(x f ),(b a A 个 B 个 C 个 D 个1234答案A 极小值点应有先减后增的特点，即''()0()0f x f x <→=→4、函数，已知在时取得极值，则a=( )32()39f x x ax x =++-()f x 3x =-A, 2 B.3C.4D.5答案：5、若函数在处有极大值，则常数的值为_________；()()2f x x x c =-2x =c 答案，时取极小值6'22'2()34,(2)8120,2,6f x x cx c f c c c =-+=-+==或2c =6、函数在处取得极值，则m=__________1()cos sin 22f x m x x =+4x π=答案7、已知函数，当时，有极大值；23bx ax y +=1x =3（１）求的值；（2）求函数的极小值,a b y 解：（1）当时，，'232,y ax bx =+1x ='11|320,|3x x y a b y a b ===+==+=即320,6,93a b a b a b +=⎧=-=⎨+=⎩（2），令，得32'269,1818y x x y x x =-+=-+'0y =0,1x x ==或0|0x y y =∴==极小值。

龙江一中“问题导学、探究发现”高二数学学科导学案班级姓名月日制作人：刘丽丽审核人:刘灿君1.3.2函数的极值与导数【学习目标】：1.理解函数的极大值、极小值、极值点的意义；2.掌握函数极值的判别方法.进一步体验导数的作用.【学习重点】求函数的极值【学习难点】严格套用求极值的步骤【学习过程】一．【知识链接】用导数求函数单调区间的步骤：①；②③；④二．预习教材完成下列问题：探究一.极值的概念1、观察下图中的曲线在a、b处的函数值f(a)、f(b)与它附近的函数值比较有什么特点？a点的函数值f(a)比它临近点的函数值都________．b点的函数值f(b)比它临近点的函数值都______．2、极值的概念：一般地，设函数f(x)在点x0附近有定义，如果对x0附近的所有的点，都有f(x)＜f(x0),我们就说x0是函数f(x)的一个____________，f(x0)是函数f(x)的一个________，记作y极大值＝f(x0)；如果对x0附近的所有的点，都有f(x)＞f(x0)，我们就说x0是函数f(x)的一个____________，f(x0)是函数f(x)的一个_____________，记作y极小值＝f(x0)．极大值点与极小值点统称为极值点,极值极大值与极小值统称为极值．注意：在定义中，取得极值的点称为极值点，极值点是自变量的值，极值指的是函数值请注意以下几点：（ⅰ）极值是一个局部概念它只是某个点的函数值与它附近点的函数值比较是最大或最小并不意味着它在函数的整个的定义域内最大或最小（ⅱ）函数的极值不是唯一的即一个函数在某区间上或定义域内极大值或极小值可以不止一个（ⅲ）极大值与极小值之间无确定的大小关系即一个函数的极大值未必大于极小值，（ⅳ）函数的极值点一定出现在区间的内部，区间的端点不能成为极值点探究二、极值的求法3、观察下图中的曲线，曲线在极值点处附近切线的斜率情况．上图中，曲线在极值点处切线的斜率为_______，极大值点左侧导数为_____，右侧为_____；极小值点左侧导数为______，右侧为______．(填正、负)4、利用导数判别函数的极大（小）值：一般地，当函数f(x)在点x0处连续时，判别f(x0)是极大（小）值的方法是：⑴如果在x0附近的左侧f '(x)＞0，右侧f '(x)＜0，那么，f(x0)是______值；⑵如果在x0附近的左侧f '(x)＜0，右侧f '(x)＞0，那么，f(x0)是______值；思考: 导数值为0的点一定为极值点吗？极值点一定导数值为0吗？例1求函数并利用性质画出简图：[总结]:求可导函数f (x)的极值的步骤：(1).(2).(3).(4)巩固练习1、求下列函数的极值（1）f(x)=6x2-x-2 ；(2)f(x)=x3-27x；(3) f(x)=6+12x-x3；(4) f(x)=3x-x3例2.、右图是导函数y=f '(x)的图像，试找出函数y=f(x)的极值点，并指出哪些是极大值点，哪些是极小值点。