Lecture-08

10.能量时间不确定关系
由
()
()
22
2
4
x p ∆∆≥=， 有 2
x p ∆⋅∆≥
=
，
A ∆≡
由狭义相对论 (), x t x µ=，(), p E p µ=， 类比得 22
x p t E ∆⋅∆≥→∆⋅∆≥==， 即为能量时间不确定关系。

但是，在坐标表象的Schroedinger 方程，
()()()222
,V 2i x t x x t m x ψψ⎛⎞∂
∂=−+⎜⎟∂∂⎝⎠
==,t ， t 与不同权，t 只是一阶微分，而是二阶微分；x x ,,x p E 是力学量，t 不是。

在非相对论量子力学中，t 仍然是一个经典量。

那么，是什么意思？t ∆()
(
)
2
2
ˆE H
E ∆=
−，()
2
?t ∆=
对于力学量，由 ˆO
()()()ˆO O
t t ψψ=t ， 得 ()
()()()()()ˆO ˆˆO O O d t t t t t t dt t t t ψψψψψψ∂
∂⎛⎞⎛⎞=++⎜⎟⎜⎟
∂∂⎝⎠⎝⎠
∂∂ 由 ()()ˆ i t H
t
ψψ∂=∂=
t ， H t t t
i ˆ)()(ψψ=∂∂−=
， 有 ()()()()()()ˆ1O 1ˆˆˆˆO d t HO t t t t OH
t dt i t
i ψψψψψψ∂=−++∂== ˆ1O ˆˆ,O H i t ∂⎡⎤
+⎣
⎦∂== 若力学量不显含时间， ˆO
1ˆˆO ,d O H dt i ⎡⎤
⎣⎦=
=， 那么，的不确定关系为 ˆˆ, O
H
()
()
22
22
2
1ˆˆ,24d O E O H O i d ⎛⎞⎛⎡⎤∆∆≥=⎜⎟⎜⎣⎦⎝⎠⎝=t ⎞
⎟⎠
， 2d
O E O dt
∆⋅∆≥
= ， 与 2
t E ∆⋅∆≥= 比较，有 =/
d
t O O dt
∆∆。

t ∆的物理意义是力学量O 的平均值变化一个标准方差O ∆所需的时间。

显然，与力学量O 有关。

t ∆ˆ例： 在能量本征态()t ψ，
()()ˆt H
E t ψψ=， 0E ∆=()()()ˆi t H
t E t
ψψψ∂==∂=
t ， ()()- e
0i E t t ψψ==
，
任意力学量平均值
()()()ˆO O
t t ψψ=t ， 若不显含时间， ˆO
()()()ˆO 0O
0t O ψψ==(0)， 说明在能量本征态，任意不含时间的力学量的平均值与时间无关，
O d
dt
=0， =O/O d t dt ∆∆→∞。

11.两个力学量同时有确定值的条件
由不确定关系，只说明当量力学量算符对易时，可能在某一个态两个力学量同时有确定值。

那么同时取确定值的条件是什么呢？
定理：若ˆA
，ˆB 有完备的共同本征函数系，则ˆA ，ˆB 对易。

证明：设完备的共同本征函数系为n 由 ˆn A n a n =， ˆn
B n b n =，
在由n 构成的Hilbert 空间，任意态n
n n ψψ=∑，
()()()()ˆˆˆˆˆˆˆˆˆˆ 0
n
n
n
n
n n n n n
AB
BA AB BA n n b A
a B n n
b a a b n n ψψψψ
−−=−=−=∑∑∑=
ψ是任意态，故ˆˆ,0A B ⎢⎥=⎣⎦。

逆定理：若ˆA
，ˆB 对易，则ˆA ，ˆB 可以有完备的共同本征函数系。

证明： 设 ˆn
A n a n =， 由 ，
ˆˆ,0A B ⎡⎤=⎣⎦有 ˆˆˆˆˆn
AB n BA n a B n ==。

说明ˆB n 也是ˆA 的属于本征值的本征态。

若n
a ˆA 无简并，则ˆB n 与n 是同一个态，只能相差一个常数：
ˆ=n
B n b n 故n 也是ˆB
的本征态，即ˆA ，ˆB 有共同的完备本征函数系。

若ˆA
有简并，则可以用施密特方法来证明有同样的结果。

结论：多个力学量相互对易时，它们可以有共同的本征函数系。

当体系处于这些共同本征态时，它们同时有确定的值。

例如：若2
ˆˆ2p H m =，⎡⎣，p 与ˆˆ,0p H ⎤=⎦ˆˆH 有共同的本征函数系p 。

在共同的本征函数系p ，与ˆp
ˆH 同时有确定值2
, 2p p E m
=。

注意，，，只说明A ，B 可以同时有确定值，B ，C 可以同时有确定值。

但A ，C 不一定同时有确定值。

例如：对于轨道角动量，ˆˆ,0A B ⎢⎥=⎣⎦ˆˆ,B C ⎢⎥=⎣⎦0L r p =×G G G ，2ˆˆ,=x L L 0⎡⎤⎢⎥⎣⎦G ，2ˆˆ,=y L L ⎡⎤⎢⎥⎣⎦
0G ，。

说明ˆˆ,x y L L ⎡⎤≠⎣⎦
02ˆL G ，可以同时有确定值，ˆx L 2ˆL G ，可以同时有确定值，但，不可能同时有确定值（=0时除外）。

ˆy L ˆx L ˆy L ˆz
L
第三章 坐标表象的Schrödinger 方程
一维Schrödinger 方程
),,(ˆ),(t x H t x t i ψψ=∂∂= ),(2ˆ2
22t x V x
m H +∂∂−== 三维Schrödinger 方程
),,(ˆ),(t r H
t r t
i G G =ψψ=∂∂ ),(2ˆ22t r V m H G G =+∇−= 1.定态Schrödinger 方程
若ˆH 不显含时间t ，即 ，
)(r V G 尝试将态函数分离变量：
()()(,r t r f t )ψϕ=G G
， 则 ()()()()ˆi r f t H r f t t
ϕϕ∂=∂G G =
两边同除以()()r f t ϕG
11ˆ
df i H f dt ϕϕ
==
要使左右两边相等，只能等于一个不依赖于r G
和的常数E ：
t ˆ, df i Ef H dt
E ϕϕ===
故Schrödinger 方程的特解为
()()()ˆ(,)()(), , i Et r t r f t H
r E r f t Ce ψϕϕϕ−====G G G G 。

常数E 就是能量本征值，特解就是能量有确定值的态，称为定态，称为定态Schroedinger 方程，即能量本征方程。

()()ˆ H r E r ϕϕ=G G 注意：ˆH
不显含时间t 的Schrödinger 方程的通解是定态的线性叠加： ()()(),,n i
E t n n n n n
n
r t C r t C r e ψψϕ−==∑∑=
G G G ，
已不再是定态，不再是能量的本征态。

2.定态的性质
1）几率密度 ()()()(22,,r t r t r r ρψϕρ===G G G G
),0与时间无关，
几率流密度 ()(,),0j r t j r =G G G G
（请自己证明）与时间无关。

任意不显含时间的力学量的平均值
t O ()()()(*ˆˆ,,O t O t dx x t O x i x x ψψψψ∂⎛⎞==−⎜⎟∂⎝
⎠∫=),t ()()*ˆ,dx x O x i x x ϕϕ∂⎛⎞=−⎜⎟
∂⎝
⎠∫= 与时间无关。

这也是为什么称能量本征态为定态的原因。

2）若势具有空间反演不变形()V r G ()()V r V r −=G G
，则
()()()()()()2222
,22V r r E r m V r r E r m ϕϕϕϕ⎛⎞−∇+=⎜⎟
⎝⎠
⎛⎞−∇+−=−⎜⎟
⎝⎠
G G G G
=G G G G = 说明和是定态方程属于同一能量()r ϕG (r ϕ−G
)E 的两个解。

若定态不简并，
()(r C r ϕϕ−=G G )r G
，
将，得到
r →−G G
()()2()r C r C r ϕϕϕ=−=G G ， 21C =，1C =±。

当 ，系统处于偶宇称态，
()()r ϕϕ=−G G
r r )()()r ϕϕ=−−G G
，系统处于奇宇称态。

说明：当时，无简并定态具有确定的宇称，或为偶宇称态，或为奇宇称态。

()(V r V r −=G G。