分析06-平方逼近 数值分析 教学课件 ppt-西南交通大学

它可表示为
Tn ( x) cos( n arccos x),
x 1.
（2.10）
若令 x cos ， 则 Tn ( x) cos n , 0 .
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3.3.1
最佳平方逼近及其计算
对 f ( x) C[a, b] 及 C[a, b] 中的一个子集
span{0 ( x), 1 ( x), , n ( x)}
0
(1 x 2 )dx 0.426d1 0.934d 0 0.0026.
0
1
最大误差 ( x)

max
0 x 1
* 1 x 2 S1 ( x) 0.066.
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3.3.2
用正交函数族作最佳平方逼近
设 f ( x) C[a, b], span{0 ( x), 1 ( x), , n ( x)},
就是在区间 [ , ] 上的正交函数族.
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勒让德多项式 P59-61
P ,P 利用上述递推公式就可推出 0 ( x) 1 1 ( x) x,
2 P ( x ) ( 3 x 1) / 2, 2
3 P ( x ) ( 5 x 3 x) / 2, 3
4 P 30 x 2 3) / 8, 4 ( x) (35 x
det G(0 , 1 ,, n ) 0 ( P56)
* 于是方程组（3.3）有唯一解 ak ak
(k 0,1, , n),
* * S * ( x) a0 0 ( x ) an n ( x).
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若取 k ( x) x k , ( x) 1, f ( x) C[0, 1], 则要在 H n

L1 )

3 2
1 1
t 2
1 tdt 6 15
可知
q1(t)

2 3
L0 (x)

6 15
L1 ( x)

2 3

6 15
t,
1 t 1
把 t =2x-1代人 q1(t) 得 x 在区间[0，1]上的一次最佳平方 逼近多项式
p1(t)

2 3

6 15
(2x
1)

4 15

12 15
m
m
[ * ( xi )
i 1
yi ]2
min ( x )
[ ( xi )
i 1
yi ]2
其中 (x) 为函数类Φ 中任意函数。
因此，用最小二乘法解决实际问题包含 如下2个基本环节：
（1）确定函数类Φ ，即确定 (x) 的形式。 这不是一个单纯的数学问题，还与其

12 15
所求的最佳平方逼近元素为
p(x) 4 12 x, 15 15
0 x 1
二、正交函数系在最佳平方逼近中的应用 对于一般的基底 0 (x),1(x),,n (x)
当 n 较大时，计算法方程中的 (k , j ) 以及求解法方程的计算量都是很大的。 1, x, x2 ,, xn 作基底，当ρ(x)≡1时， 虽然 (k , j ) (xk , x j ) 容易计算，但由此形成 的法方程系数矩阵G在 n稍大时是病态矩阵， 在计算机上求解法方程，其结果不太可靠。
§6 函数的最佳平方逼近 一、最佳平方逼近的概念与解法
用简单函数 p (x)去近似一个给定区间[a， b]上的连续函数 f (x)，是函数逼近要研究的 问题。度量逼近误差标准有许多种，这里 介绍一种称为平方逼近的函数逼近。

(2) 令
n
pn(x)
i0
n
fili(x)
i0
fi
n j0
xxj xi xj
ji
(5.1-8)
则易知(5.1-8)所示的pn(x)为次数不大于n的多项式，且满足
插值条件(5.1-1)
n
pn(xj) fili(xj)fj
i0
(j = 0，1，...，n)
称pn(x)为Lagrange插值多项式。
a0 a1(5)a2 (5)2 a3(5)3 35
解之得：a0 = 10，a1 = 5，a2 = – 5，a3 = 2
即有p3(x) = 10 + 5x – 5x2 +2x3
注：(1) 范德蒙矩阵的条件数很大 —— 误差大计算量大
(2) 选择适当基函数使插值多项式具有特殊形式
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1. Lagrange插值
1 x0
1 Vn(x0,x1,...x,n)
x1
1 xn
x0n
x1n
n
i1
i1
(xi xj)
j0
xnn
(5.1-3)
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(5.1-3)的系数行列式为范德蒙行列式：
1 x0
1 Vn(x0,x1,...x,n)
x1
1 xn
x0n
x1n
n
i1
i1
(xi xj)
j0
xnn
因为x0，x1，…，xn互异，所以Vn ≠ 0 即(5.1-3)存在唯一解，从而存在唯一的pn(x) Pn[x] 满足插 值条件(5.1-1)。
证明：取Pn[x]的一组基{1，x，x2，…，xn }，则pn(x) Pn[x] 表为
由(5.1-1)知

在区间[-1,1]上关于权函数
正交,且
10
事实上,若 于是有
则有
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例 4、 Laguerre 多项式 即多项式
是在
上带权 的n次正交多项式,且
例 5 、Hermite 多项式
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即多项式
是在区间
上带权 的n次正交多项式,且有正交关系式:
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(二)、 正交多项式的性质
设
是在 上带权正交的多项式序列，其中
的方程组为
解之得
故
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三、一般最小二乘逼近问题的提法 1、广义多项式与权系数 2、一般最小二乘逼近问题的提法 3、正规方程组 4、小结
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(一)、广义多项式与权系数
(1) 、广义多项式 设函数系
线性无关，则其有限项线性组合
称为广义多项式。
例如
(2) 、“权系数”的概念 在例6中，如果要研究低温时电阻与温度的关系，显然低温 下测得的电阻值更重要一些，而另外一些电阻值的作用小 些。这在数学上表现为用和
求电阻 和温度 间的关系。
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解决这类问题通常的步骤如下 :
y (1)用一坐标将 ， 值描于图上
(1) (2)凭视觉知，
在一条直线
上的两测附近，于是可设
近
x
，
似的成直线关系。 上面的直线关系称为数学模型。在第 次观测数据中， 与
实测值 有误差
通常称为残差。 23
它是衡量被确定的参数 和 (也就是近似多项式 )好坏的重要标志。
使得 最小。这时
称为函数
在区间 上关于
权函数 的最小二乘逼近多项式。
注意， 可看成 中
且
的极限。通常， “最小”也可说成“最优”或“最佳”；“二乘 可