2016年上海市杨浦区中考数学三模试卷附答案解析

上海市杨浦区2016年中考数学三模试卷一、选择题：本大题共6小题，每小题4分，满分24分1．下列分数中，能化为有限小数的是（）A．B．C．D．2．下列运算正确的是（）A．a+a=a2B．a2•a=2a3C．a3÷a2=a D．（a2）3=a53．如果=2a﹣1，那么（）A．a B．a≤C．a D．a≥4．下列一组数据：﹣2、﹣1、0、1、2的平均数和方差分别是（）A．0和2 B．0和C．0和1 D．0和05．下列四个命题中真命题是（）A．矩形的对角线平分对角 B．菱形的对角线互相垂直平分C．梯形的对角线互相垂直 D．平行四边形的对角线相等6．如果圆O是△ABC的外接圆，AC=BC，那么下列四个选项中，直线l必过圆心O的是（）A．l⊥AC B．l平分AB C．l平分∠C D．l平分二、填空题：本大题共12小题，每小题4分，共48分7．用代数式表示实数a（a＞0）的平方根：．8．在实数范围内因式分解：x3﹣2x2y+xy2=．9．已知方程﹣=2，如果设y=，那么原方程转化为关于y的整式方程为．10．一次函数y=kx+b的图象如图所示，则当x的取值范围是时，能使kx+b ＞0．11．某公司承担了制作600个道路交通指引标志的任务，在实际操作时比原计划平均每天多制作了10个，因此提前了5天完成任务，如果设原计划x天完成，那么根据题意，可以列出的方程是：．12．一台组装电脑的成本价是4000元，如果商家以5200元的价格卖给顾客，那么商家的盈利率为．13．掷一枚质地均匀的正方体骰子，骰子的六个面上的点数分别为1到6的整数，那么掷出的点数小于3的概率为．14．已知=，=，那么=（用向量、的式子表示）15．已知，在△ABC中，点D、E分别在边AB、AC上，DE∥BC，AD=2DB，BC=6，那么DE=．16．将某班级全体同学按课外阅读的不同兴趣分成三组，情况如表格所示，则表中a的值应该是．第一组第二组第三组频数12 16 a频率b c 20%17．将等边△ABC沿着射线BC方向平移，点A、B、C分别落在点D、E、F处，如果点E 恰好是BC的中点，那么∠AFE的正切值是．18．如图，在△ABC中，AB=AC=10，BC=12，点P为BC边上一动点，如果以P为圆心，BP为半径的圆P与以AC为直径的圆O相交，那么点P离开点B的距离BP的取值范围是．三、解答题：本大题共7小题，共78分19．先化简，再求值：﹣﹣，其中x=．20．解方程组：．21．已知：在平面直角坐标系xOy中，过点A（﹣5，2）向x轴作垂线，垂足为B，连接AO，点C在线段AO上，且AC：CO=2：3，反比例函数y=的图象经过点C，与边AB交于点D．（1）求反比例函数的解析式；（2）求△BOD的面积．22．如图，A，B两地之间有一座山，汽车原来从A地到B地须经C地沿折线A﹣C﹣B行驶，全长68km．现开通隧道后，汽车直接沿直线AB行驶．已知∠A=30°，∠B=45°，则隧道开通后，汽车从A地到B地比原来少走多少千米？（结果精确到0.1km）（参考数据：≈1.4，≈1.7）23．已知：Rt△ABC中，∠ACB=90°，CP平分∠ACB交边AB于点P，点D在边AC上．（1）如果PD∥BC，求证：AC•CD=AD•BC；（2）如果∠BPD=135°，求证：CP2=CB•CD．24．已知点A（2，﹣2）和点B（﹣4，n）在抛物线y=ax2（a≠0）上．（1）求a的值及点B的坐标；（2）点P在y轴上，且△ABP是以AB为直角边的三角形，求点P的坐标；（3）将抛物线y=ax2（a≠0）向右并向下平移，记平移后点A的对应点为A′，点B的对应点为B′，若四边形ABB′A′为正方形，求此时抛物线的表达式．25．已知，AB=5，tan∠ABM=，点C、D、E为动点，其中点C、D在射线BM上（点C 在点D的左侧），点E和点D分别在射线BA的两侧，且AC=AD，AB=AE，∠CAD=∠BAE．（1）当点C与点B重合时（如图1），联结ED，求ED的长；（2）当EA∥BM时（如图2），求四边形AEBD的面积；（3）联结CE，当△ACE是等腰三角形时，求点B、C间的距离．2016年上海市杨浦区中考数学三模试卷参考答案与试题解析一、选择题：本大题共6小题，每小题4分，满分24分1．下列分数中，能化为有限小数的是（）A．B．C．D．【考点】有理数的除法．【分析】本题需根据有理数的除法法则分别对每一项进行计算，即可求出结果．【解答】解：A∵=0.3…故本选项错误；B、∵=0.2故本选项正确；C、=0.142857…故本选项错误；D、=0.1…故本选项错误．故选B．2．下列运算正确的是（）A．a+a=a2B．a2•a=2a3C．a3÷a2=a D．（a2）3=a5【考点】同底数幂的除法；合并同类项；同底数幂的乘法；幂的乘方与积的乘方．【分析】A、根据合并同类项的法则计算；B、根据同底数幂的乘法法则计算；C、根据同底数幂的除法计算；D、根据幂的乘方计算．【解答】解：A、a+a=2a，此选项错误；B、a2•a=a3，此选项错误；C、a3÷a2=a，此选项正确；D、（a2）3=a6，此选项错误．故选C．3．如果=2a﹣1，那么（）A．a B．a≤C．a D．a≥【考点】二次根式的性质与化简．【分析】由二次根式的化简公式得到1﹣2a为非正数，即可求出a的范围．【解答】解：∵=|1﹣2a|=2a﹣1，∴1﹣2a≤0，解得：a≥．故选D4．下列一组数据：﹣2、﹣1、0、1、2的平均数和方差分别是（）A．0和2 B．0和C．0和1 D．0和0【考点】方差；算术平均数．【分析】先求出这组数据的平均数，再根据方差公式S2=[（x1﹣）2+（x2﹣）2+…+（x n ﹣）2]进行计算即可．【解答】解：这组数据：﹣2、﹣1、0、1、2的平均数是（﹣2﹣1+0+1+2）÷5=0；则方差=[（﹣2﹣0）2+（﹣1﹣0）2+（0﹣0）2+（1﹣0）2+（2﹣0）2]=2；故选A．5．下列四个命题中真命题是（）A．矩形的对角线平分对角 B．菱形的对角线互相垂直平分C．梯形的对角线互相垂直 D．平行四边形的对角线相等【考点】命题与定理．【分析】分析是否为真命题，需要分别分析各题设是否能推出结论，从而利用排除法得出答案．【解答】解：矩形的对角线不能平分对角，A错误；根据菱形的性质，菱形的对角线互相垂直平分，B正确；梯形的对角线不互相垂直，C错误；平行四边形的对角线平分，但不一定相等，D错误．故选B．6．如果圆O是△ABC的外接圆，AC=BC，那么下列四个选项中，直线l必过圆心O的是（）A．l⊥AC B．l平分AB C．l平分∠C D．l平分【考点】三角形的外接圆与外心．【分析】根据等腰三角形三线合一的性质即可得出结论．【解答】解：∵圆O是△ABC的外接圆，∴点O在三边的垂直平分线上．∵AC=BC，∴当l平分∠C时，l也是AB边的垂直平分线．故选C．二、填空题：本大题共12小题，每小题4分，共48分7．用代数式表示实数a（a＞0）的平方根：．【考点】平方根．【分析】根据开方运算，可得一个数的平方根．【解答】解：用代数式表示实数a（a＞0）的平方根为：，故答案为：．8．在实数范围内因式分解：x3﹣2x2y+xy2=x（x﹣y）2．【考点】实数范围内分解因式；提公因式法与公式法的综合运用．【分析】这个多项式含有公因式x，应先提取公因式，然后运用完全平方公式进行二次分解．【解答】解：x3﹣2x2y+xy2，=x（x2﹣2xy+y2）…（提取公因式）=x（x﹣y）2．…（完全平方公式）9．已知方程﹣=2，如果设y=，那么原方程转化为关于y的整式方程为3y2﹣6y﹣1=0．【考点】列代数式．【分析】由设出的y，将方程左边前两项代换后，得到关于y的方程，去分母整理即可得到结果．【解答】解：设y=，方程﹣=2变形为y﹣=2，整理得：3y2﹣6y﹣1=0．故答案为：3y2﹣6y﹣1=010．一次函数y=kx+b的图象如图所示，则当x的取值范围是x＜2时，能使kx+b＞0．【考点】一次函数的图象．【分析】根据函数图象与x轴的交点坐标可直接解答．【解答】解：因为直线y=kx+b与x轴的交点坐标为（2，0），由函数的图象可知x＜2时，y＞0，即kx+b＞0．11．某公司承担了制作600个道路交通指引标志的任务，在实际操作时比原计划平均每天多制作了10个，因此提前了5天完成任务，如果设原计划x天完成，那么根据题意，可以列出的方程是：﹣=5．【考点】由实际问题抽象出一元一次方程．【分析】根据原计划时间﹣实际时间=5，列出方程即可．【解答】解：∵根据原计划时间﹣实际时间=5，∴﹣=5．故答案为﹣=5．12．一台组装电脑的成本价是4000元，如果商家以5200元的价格卖给顾客，那么商家的盈利率为30%．【考点】有理数的混合运算．【分析】根据利润率的公式：利润率=利润÷成本×100%进行计算．【解答】解：÷4000×100%=30%．答：商家的盈利率为30%．13．掷一枚质地均匀的正方体骰子，骰子的六个面上的点数分别为1到6的整数，那么掷出的点数小于3的概率为．【考点】概率公式．【分析】点数小于3的有2种情况，除以总个数6即为向上的一面的点数小于3的概率．【解答】解：∵共有6种情况，点数小于3的有2种，∴P（点数小于3）=．故答案为14．已知=，=，那么=﹣（用向量、的式子表示）【考点】*平面向量．【分析】根据+=，即可解决问题．【解答】解：∵+=，∴=﹣．故答案为﹣．15．已知，在△ABC中，点D、E分别在边AB、AC上，DE∥BC，AD=2DB，BC=6，那么DE=4．【考点】相似三角形的判定与性质；平行线分线段成比例．【分析】根据平行线分线段成比例定理即可解决问题．【解答】解：∵AD=2DB，∴AD：AB=2：3，∵DE∥BC，∴=，∵BC=6，∴=，∴DE=4．故答案为4．16．将某班级全体同学按课外阅读的不同兴趣分成三组，情况如表格所示，则表中a的值应该是7．第一组第二组第三组频数12 16 a频率b c 20%【考点】频数与频率．【分析】首先根据各小组的频率之和等于1得出第一组与第二组的频率和，然后求出数据总数，从而求出a的值．【解答】解：∵1﹣20%=80%，∴（16+12）÷80%=35，∴a=35×20%=7．故答案为：7．17．将等边△ABC沿着射线BC方向平移，点A、B、C分别落在点D、E、F处，如果点E恰好是BC的中点，那么∠AFE的正切值是．【考点】等边三角形的性质；锐角三角函数的定义．【分析】根据题意画出图形，利用等边三角形的性质解答即可．【解答】解：连接AE，如图：，∵将等边△ABC沿着射线BC方向平移，点E恰好是BC的中点，∴设等边三角形的边长为a，∴AE=，AE⊥BF，∴∠AFE的正切值=，故答案为：18．如图，在△ABC中，AB=AC=10，BC=12，点P为BC边上一动点，如果以P为圆心，BP为半径的圆P与以AC为直径的圆O相交，那么点P离开点B的距离BP的取值范围是≤BP≤9．【考点】圆与圆的位置关系．【分析】过点A作AD⊥BC，利用等腰三角形的性质得出CD的长，利用圆与圆的位置关系解答即可．【解答】解：①过点A作AD⊥BC，过O作OH⊥BC，如图∵在△ABC中，AB=AC=10，BC=12，∴CD=BD=6，∴AD=，设BP=r时，两圆相外切，则PO=r+5，PH=BC﹣r﹣CH又易求OH=4，CH=3；则有勾股定理（r+5）2=（9﹣r）2+42，解得r=②当两圆内切时，过点A作AD⊥BC，过O作OH⊥BC，如图易知OP=r﹣5，PH=9﹣r，OH=4同理由勾股定理求得r=9故答案为：≤BP≤9．三、解答题：本大题共7小题，共78分19．先化简，再求值：﹣﹣，其中x=．【考点】分式的化简求值．【分析】原式三项通分并利用同分母分式的加减法则计算得到最简结果，将x的值代入计算即可求出值．【解答】解：原式=﹣﹣====，当x=﹣2时，原式==1+．20．解方程组：．【考点】高次方程．【分析】先将原方程组进行变形，利用代入法和换元法可以解答本题．【解答】解：，由①，得③，将①③代入②，得，设x2=t，则，即t2﹣10t+9=0，解得，t=1或t=9，∴x2=1或x2=9，解得x=±1或x=±3，则或或或，即原方程组的解是：或或或．21．已知：在平面直角坐标系xOy中，过点A（﹣5，2）向x轴作垂线，垂足为B，连接AO，点C在线段AO上，且AC：CO=2：3，反比例函数y=的图象经过点C，与边AB交于点D．（1）求反比例函数的解析式；（2）求△BOD的面积．【考点】待定系数法求反比例函数解析式；反比例函数的性质．【分析】（1）由A点的坐标结合中点的坐标公式可得出点C的坐标，将点C的坐标代入到反比例函数解析式即可求出k值，从而得出反比例函数的解析式；（2）AB⊥x轴于B，于是得到OB=5，根据三角形的面积公式即可得到结论．【解答】解：（1）∵AC：CO=2：3，点A（﹣5，2），∴C点的坐标为（﹣3，），将点C（﹣3，），代入到反比例函数y=中得：=，解得：k=﹣．∴反比例函数的解析式为y=﹣；（2）∵AB⊥x轴于B，∴OB=5，∴△BOD的面积=×5×=3．22．如图，A，B两地之间有一座山，汽车原来从A地到B地须经C地沿折线A﹣C﹣B行驶，全长68km．现开通隧道后，汽车直接沿直线AB行驶．已知∠A=30°，∠B=45°，则隧道开通后，汽车从A地到B地比原来少走多少千米？（结果精确到0.1km）（参考数据：≈1.4，≈1.7）【考点】解直角三角形的应用．【分析】首先过点C作CD⊥AB，垂足为D，设CD=x，即可表示出AC，BC的长，进而求出x的值，再利用锐角三角函数关系得出AD，BD的长，即可得出答案．【解答】解：如图，过点C作CD⊥AB，垂足为D，设CD=x．在Rt△ACD中，sin∠A=，AC==2x，在Rt△BCD中，sin∠B=，BC==x，∵AC+BC=2x+x=68∴x=≈=20．在Rt△ACD中，tan∠A=，AD==20，在Rt△BCD中，tan∠B=，BD==20，AB=20+20≈54，AC+BC﹣AB=68﹣54=14.0（km）．答：隧道开通后，汽车从A地到B地比原来少走14.0千米．23．已知：Rt△ABC中，∠ACB=90°，CP平分∠ACB交边AB于点P，点D在边AC上．（1）如果PD∥BC，求证：AC•CD=AD•BC；（2）如果∠BPD=135°，求证：CP2=CB•CD．【考点】相似三角形的判定与性质．【分析】（1）根据角平分线的性质和平行线的性质证得∠CPD=∠PCA，得出PD=CD，然后证得△APD∽△ABC，根据相似三角形的性质即可证得结论；（2）根据三角形内角和定理求得∠B=∠CPD，即可证得△PCB∽△PDC根据相似三角形的性质即可证得结论．【解答】（1）证明：如图，∵PD∥BC，∴∠PCB=∠CPD，∵∠PCB=∠PCA，∴∠CPD=∠PCA，∴PD=CD，∵PD∥BC，∴△APD∽△ABC，∴=，∴AC•PD=AD•BC，∴AC•CD=AD•BC；（2）证明：∵Rt△ABC中，∠ACB=90°，CP平分∠ACB交边AB于点P，∴∠PCB=∠PCA=45°，∵∠B+45°+∠CPB=180°，∴∠B+∠CPB=135°，∵∠BPD=135°，∴∠CPB+∠CPD=135°，∴∠B=∠CPD，∴△PCB∽△PDC，∴=，∴CP2=CB•CD．24．已知点A（2，﹣2）和点B（﹣4，n）在抛物线y=ax2（a≠0）上．（1）求a的值及点B的坐标；（2）点P在y轴上，且△ABP是以AB为直角边的三角形，求点P的坐标；（3）将抛物线y=ax2（a≠0）向右并向下平移，记平移后点A的对应点为A′，点B的对应点为B′，若四边形ABB′A′为正方形，求此时抛物线的表达式．【考点】二次函数图象上点的坐标特征；坐标与图形变化-平移．【分析】（1）把点A（2，﹣2）代入y=ax2，得到a，再把点B代入抛物线解析式即可解决问题．（2）求出直线AB解析式，再分别求出过点A垂直于AB的直线的解析式，过点B垂直于直线AB的解析式即可解决问题．（3）先求出点A′坐标，确定是如何平移的，再确定抛物线顶点的坐标即可解决问题．【解答】解：（1）把点A（2，﹣2）代入y=ax2，得到a=﹣，∴抛物线为y=﹣x2，∴x=﹣4时，y=﹣8，∴点B坐标（﹣4，﹣8），∴a=﹣，点B坐标（﹣4，﹣8）．（2）设直线AB为y=kx+b，则有，解得，∴直线AB为y=x﹣4，∴过点B垂直AB的直线为y=﹣x﹣12，与y轴交于点P（0，﹣12），过点A垂直AB的直线为y=﹣x，与y轴交于点P′（0，0），∴点P在y轴上，且△ABP是以AB为直角边的三角形时．点P坐标为（0，0），或（0，﹣12）．（3）如图四边形ABB′A′是正方形，过点A作y轴的垂线，过点B、点A′作x轴的垂线得到点E、F．∵直线AB解析式为y=﹣x﹣12，∴△ABF，△AA′E都是等腰直角三角形，∵AB=AA′==6，∴AE=A′E=6，∴点A′坐标为（8，﹣8），∴点A到点A′是向右平移6个单位，向下平移6个单位得到，∴抛物线y=﹣x2的顶点（0，0），向右平移6个单位，向下平移6个单位得到（6，﹣6），∴此时抛物线为y=﹣（x﹣6）2﹣6．25．已知，AB=5，tan∠ABM=，点C、D、E为动点，其中点C、D在射线BM上（点C 在点D的左侧），点E和点D分别在射线BA的两侧，且AC=AD，AB=AE，∠CAD=∠BAE．（1）当点C与点B重合时（如图1），联结ED，求ED的长；（2）当EA∥BM时（如图2），求四边形AEBD的面积；（3）联结CE，当△ACE是等腰三角形时，求点B、C间的距离．【考点】三角形综合题．【分析】（1）如图1中，延长BA交DE于F，作AH⊥BD于H，先证明BF⊥DE，EF=DF，再利用△ABH∽△DBF，得=，求出DF即可解决问题．=BD•AH，计算即可．（2）先证明四边形ADBE是平行四边形，根据S平行四边形ADBE（3）由题意AC≠AE，EC≠AC，只有EA=EC，利用四点共圆先证明四边形ADBE是平行四边形，求出DH、CH即可解决问题．【解答】解：（1）如图1中，延长BA交DE于F，作AH⊥BD于H．在RT△ABH中，∵∠AHB=90°，∴sin∠ABH==，∴AH=3，BH==4，∵AB=AD，AH⊥BD，∴BH=DH=4，在△ABE 和△ABD中，，∴△ABD≌△ABE，∴BE=BD，∠ABE=∠ABD，∴BF⊥DE，EF=DF，∵∠ABH=∠DBF，∠AHB=∠BFD，∴△ABH∽△DBF，∴=，∴DF=，∴DE=2DF=．（2）如图2中，作AH⊥BD于H．∵AC=AD，AB=AE，∠CAD=∠BAE，∴∠AEB=∠ABE=∠ACD=∠ADC，∵AE∥BD，∴∠AEB+∠EBD=180°，∴∠EBD+∠ADC=180°，∴EB∥AD，∵AE∥BD，∴四边形ADBE是平行四边形，∴BD=AE=AB=5，AH=3，∴S=BD•AH=15．平行四边形ADBE（3）由题意AC≠AE，EC≠AC，只有EA=EC．如图3中，∵∠ACD=∠AEB（已证），∴A、C、B、E四点共圆，∵AE=EC=AB，∴=，∴=，∴∠AEC=∠ABC，∴AE∥BD，由（2）可知四边形ADBE是平行四边形，∴AE=BD=AB=5，∵AH=3，BH=4，∴DH=BD﹣BH=1，∵AC=AD，AH⊥CD，∴CH=HD=1，∴BC=BD﹣CD=3．。

初三数学摸拟试卷（满分150分，100分钟完成）考生注意：1．本试卷含三个大题，共25题．答题时，考生务必按答题要求在答题纸规定的位置上作答，在草稿纸、本调研卷上答题一律无效．2．除第一、二大题外，其余各题如无特别说明，都必须在答题纸的相应位置上写出证明或计算的主要步骤．一、选择题：（本大题共6题，每题4分，满分24分）[每小题只有一个正确选项，在答题纸相应题号的选项上用2B 铅笔正确填涂]1.下列各数中，与112282-相等的是（）A.122B.126C.2D.42.某公司三月份的产值为a 万元，比二月份增长了%m ，那么二月份的产值（单位：万元）为（）A.()1%+a m B.()1%-a m C.1%+a m D.1%-a m 3.下列二次根式里，被开方数中各因式的指数都为1的是（）A.B.C.D.4.如果点C 是线段AB 的中点，那么下列结论正确的是（）A .0AC BC +=uuu r uu u r B.0AC BC -=uuu r uu u r C.0AC BC += D.0AC BC -= 5.某蓄水池的横断面示意图如图所示，分深水区和浅水区，如果以固定的流量把水蓄满蓄水池，下面的图象能大致表示水的深度h 和注水时间t 之间关系的是（）A. B.C. D.6.已知四边形ABCD 中，对角线AC 与BD 相交于点O ，AD BC ∥，下列判断中错误．．的是（）A.如果AB CD =，AC BD =，那么四边形ABCD 是矩形B.如果AB CD ∥，OA OB =，那么四边形ABCD 是矩形C.如果AD BC =，AC BD ⊥，那么四边形ABCD 是菱形D.如果OA OC =，AC BD ⊥，那么四边形ABCD 是菱形二、填空题：（本大题共12题，每题4分，满分48分）[在答题纸相应题号后的空格内直接填写答案]7.当<2x -=________．8.不等式组10260x x -->⎧⎨--≤⎩的整数解是________．9.如果关于x 的方程210ax x -+=有实数根，那么a 的取值范围是________．10.在实数范围内分解因式，2231-+=x y xy ________．11.如果实数x 满足2211210x x x x ⎛⎫+-+-= ⎪⎝⎭，那么1x x +的值是________．12.如果一次函数()211y m x m =-+-的图像一定经过第二、三象限，那么常数m 的取值范围为________．13.某班进行一次班级活动，要在2名男同学和3名女同学中，随机选出2名学生担任主持人，那么选出的2名学生恰好是一男一女的概率是________．14.一斜坡的坡角为α，坡长比坡高多100米，那么斜坡的高为________（用α的锐角三角比表示）．15.在Rt ABC △中，90ACB ∠=︒，点G 是重心，如果3AG =，4BG =，那么CG =________．16.如图，⊙A 和⊙B 的半径分别为5和1，AB ＝3，点O 在直线AB 上，⊙O 与⊙A 、⊙B 都内切，那么⊙O 半径是________．17.如图，在ABC 中，4AB AC ==，1cos 4B =，BD 是中线，将ABC 沿直线BD 翻折后，点A 落在点E ，那么CE 的长为________．18.在一个三角形中，如果一个内角是另一内角的n 倍（n 为整数），那么我们称这个三角形为n 倍三角形．如果一个三角形既是2倍角三角形，又是3倍角三角形，那么这个三角形最小的内角度数为________．三、解答题：（本大题共7题，满分78分）[将下列各题的解答过程，做在答应纸上]19.已知：1-==x y ，求：21122⎛⎫- ⎪⎝⎭x y 值．20.已知点()2,3A m +在双曲线my x=上．（1）求此双曲线的表达式与点A 的坐标；（2）如果点(),5B a a -在此双曲线上，图像经过点A 、B 的一次函数的函数值y 随x 的增大而增大，求此一次函数的解析式．21.已知：如图，在ABC 中，AB AC =，DC BC ⊥，2DC BC ==，90ADB ∠=︒，BD 与AC 相交于点G ．求：（1）AB 的长；（2）AG 的长．22.20个集装箱装满了甲、乙、丙三种商品共120吨，每个集装箱都只装载一种商品，根据下表提供的信息，解答以下问题：商品类型甲乙丙每个集装箱装载量（吨）865每吨价值（万元）121520（1）如果甲种商品装x 个集装箱，乙种商品装y 个集装箱，求y 与x 之间的关系式；（2）如果其中5个集装箱装了甲种商品，求每个集装箱装载商品总价值的中位数．23.已知：如图，在梯形ABCD 中，AD BC ∥，AB CD AD ==，点E 在BA 的延长线上，AE BC =．（1）求证：2BCD AED ∠=∠；（2）当ED 平分BEC ∠时，求证：EBC 是等腰直角三角形．24.如图，抛物线2y ax bx c =++顶点为坐标原点O 、且经过点()3,3A ，直线经过点A 和点()0,6B ．（1）求抛物线与直线的表达式；（2）如果将此抛物线平移，平移后新抛物线的顶点C 在原抛物线上，新抛物线的对称轴与直线AB 在原抛物线的内部相交于点D ，且45COD ∠=︒，求新抛物线的表达式．25.已知：O 的直径8AB B = ，与O 相交于点C 、D ，O 的直径CF 与B 相交于点E ，设B 的半径为x ，OE 的长为y ．（1）如图，当点E 在线段OC 上时，求y 关于x 的函数解析式，并写出定义域；（2）当点E 在直径CF 上时，如果OE 的长为3，求公共弦CD 的长；（3）设B 与AB 相交于G ，试问OEG 能否为等腰三角形？如果能够，请直接写出BC 弧的长度（不必写过程）；如果不能，请简要说明理由初三数学摸拟试卷（满分150分，100分钟完成）一、选择题：（本大题共6题，每题4分，满分24分）[每小题只有一个正确选项，在答题纸相应题号的选项上用2B 铅笔正确填涂]1.下列各数中，与112282-相等的是（）A.122B.126C.2D.4【答案】A【分析】本题考查了幂的乘方逆运算和同底数幂乘法的逆运算，正确运用公式是解题关键．先利用幂的乘方的逆运算将128的底变为2，再通过同底数幂乘法的逆运算变出122，即可计算．【详解】解：()111311111111322222222222822222222222+-=-=-=-=⨯-=，故选：A ．2.某公司三月份的产值为a 万元，比二月份增长了%m ，那么二月份的产值（单位：万元）为（）A.()1%+a mB.()1%-a m C.1%+a m D.1%-a m 【答案】C【分析】本题考查了列代数式，根据“三月份的产值为a 万元，比二月份增长了%m ”，得出答案即可，理解题意、正确列出代数式是解题的关键．【详解】解：∵三月份的产值为a 万元，比二月份增长了%m ，∴二月份的产值()1%1%aa m m =¸+=+，故选：C ．3.下列二次根式里，被开方数中各因式的指数都为1的是（）A.B.C.D.【答案】B【分析】根据二次根式的定义判断即可．【详解】解：A ．x ，y 的指数分别为2，2，此选项错误；B ．22xy +的指数为1，此选项正确；C ．x ＋y 的指数为2，此选项错误；D ．x ，y 的指数分别为1，2．此选项错误；故选：B ．【点睛】本题主要考查了二次根式的定义，分清因数和指数是解答此题的关键．4.如果点C 是线段AB 的中点，那么下列结论正确的是（）A.0AC BC +=uuu r uu u r B.0AC BC -=uuu r uu u r C.0AC BC += D.0AC BC -= 【答案】C【分析】根据点C 是线段AB 的中点，可以判断AC BC =，但它们的方向相反，继而即可得出答案．【详解】解：由题意，∵点C 是线段AB 的中点，∴AC BC= ∵AC 与BC为相反向量，∴0AC BC +=；故选：C ．【点睛】本题考查了平面向量的知识，注意向量包括长度及方向，及0与0的不同．5.某蓄水池的横断面示意图如图所示，分深水区和浅水区，如果以固定的流量把水蓄满蓄水池，下面的图象能大致表示水的深度h 和注水时间t 之间关系的是（）A.B.C. D.【答案】C【分析】首先看图可知，蓄水池的下部分比上部分的体积小，故h 与t 的关系为先快后慢．【详解】根据题意和图形的形状，可知水的最大深度h 与时间t 之间的关系分为两段，每一段h 随t 的增大而增大，增大的速度是先快后慢．故选C ．【点睛】此题考查了函数的图象，根据几何图形的性质确定函数的图象和函数图象的作图能力．要能根据几何图形和图形上的数据分析得出所对应的函数的类型和所需要的条件，结合实际意义画出正确的图象．6.已知四边形ABCD 中，对角线AC 与BD 相交于点O ，AD BC ∥，下列判断中错误．．的是（）A.如果AB CD =，AC BD =，那么四边形ABCD 是矩形B.如果AB CD ∥，OA OB =，那么四边形ABCD 是矩形C.如果AD BC =，AC BD ⊥，那么四边形ABCD 是菱形D.如果OA OC =，AC BD ⊥，那么四边形ABCD 是菱形【答案】A【分析】本题考查了平行四边形、矩形、菱形、正方形的判定，根据平行四边形、矩形、菱形、正方形的判定方法逐项进行分析判定即可得答案．【详解】解：A 、如果AD BC ≠，AD BC ∥，那么四边形ABCD 是梯形，不是平行四边形也就不是矩形，故A 选项错误，符合题意；B 、如果AB CD ∥，AD BC ∥，则四边形ABCD 是平行四边形，则12OA AC =，12OB BD =，因为OA OB =所以AC BD =，那么平行四边形ABCD 是矩形，故B 选项正确，不符合题意；C 、如果AD BC =，AD BC ∥，则四边形ABCD 是平行四边形，又AC BD ⊥，那么平行四边形ABCD 是菱形，故C 选项正确，不符合题意；D 、如果AD BC ∥，OA OC =，则可以证得四边形ABCD 是平行四边形，又AC BD ⊥，那么平行四边形ABCD 是菱形，故D 选项正确，不符合题意，故选A ．二、填空题：（本大题共12题，每题4分，满分48分）[在答题纸相应题号后的空格内直接填写答案]7.当<2x -=________．【答案】12--x【分析】本题考查了二次根式的性质与化简，熟练掌握a =是解题的关键．a =的进行计算即可．12x ==+，∵<2x -，∴11<2022x -++<∴1122x x =+=--．故答案为：12--x ．8.不等式组10260x x -->⎧⎨--≤⎩的整数解是________．【答案】3-，2-【分析】本题考查了解一元一次不等式组，整数解的问题，熟练掌握知识点是解题的关键．写解每一个不等式，再取解集的公共部分，然后即可求解．【详解】解：10260x x -->⎧⎨--≤⎩①②，由①得：1x <-，由②得：3x ≥-，∴原不等式的解集为：31x -≤<-，∴整数解为：3-，2-，故答案为：3-，2-．9.如果关于x 的方程210ax x -+=有实数根，那么a 的取值范围是________．【答案】14a ≤【分析】本题考查了一元二次方程的判别式，根据关于x 的方程210ax x -+=有实数根，得出240b ac ∆=-≥，代入数值进行计算，即可作答．【详解】解：∵关于x 的方程210ax x -+=有实数根，∴()2Δ1410a =--⨯≥，解得14a ≤，故答案为：14a ≤．10.在实数范围内分解因式，2231-+=x y xy ________．【答案】3322⎛⎫⎛⎫+-- ⎪⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭xy xy 【分析】本题考查因式分解，二次根式的乘法，熟练掌握公式法进行因式分解是解决本题的关键．根据题意，利用十字相乘因式分解．【详解】解：2231x y xy -+()233322xy xy ⎛⎫⎛⎫+-=-+⨯ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭3322xy xy ⎛⎫⎛⎫+-=-- ⎪⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭．11.如果实数x 满足2211210x x x x ⎛⎫+-+-= ⎪⎝⎭，那么1x x +的值是________．【答案】3【分析】本题主要考查了用换元法解一元二次方程、解分式方程，利用完全平方公式把方程变形是解题的关键．利用完全平方公式把方程变形为211230x x x x ⎛⎫⎛⎫+-+-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，利用换元法，设1x m x +=，则2230m m --=，转化为解一元二次方程，求出1x x+可能的值，分别得出分式方程，计算检验是否有解，即可得出答案．【详解】解：∵2211210x x x x ⎛⎫+-+-= ⎪⎝⎭，∴22112230x x xx 骣÷ç++-+-=÷ç÷ç桫，211230x x x x ⎛⎫⎛⎫+-+-= ⎪ ⎝⎭⎝⎭，设1x m x+=，则2230m m --=，因式分解得：()()310m m -+=，∴30m -=或10m +=，解得：3m =或1m =-，当3m =时，则13x x+=，整理得：2310x x -+=，∴439435222b x a -===，解得：1352x +=，2352x -=，经检验，1352x +=，2352x =都是方程13x x +=的解，∴1x x+的值为3；当1m =-时，则11x x+=-，整理得：210x x ++=，241430b ac ∆=-=-=-<，∴11x x+=-时，方程无解．综上所述，1x x+的值为3，故答案为：3．12.如果一次函数()211y m x m =-+-的图像一定经过第二、三象限，那么常数m 的取值范围为________．【答案】1m >-且1m ≠【分析】本题考查一次函数的图像与性质，运用数形结合思想解题是解题的关键，根据“一次函数()211y m x m =-+-的图像一定经过第二、三象限”可知，此图像与x 轴的交点在原点的左边，即与x 轴交点的横坐标小于0，从而得解．【详解】解：∵一次函数()211y m x m =-+-的图像一定经过第二、三象限，∴此图像与x 轴的交点在原点的左边，且10m -≠，即1m ≠，∴此图像与与x 轴交点的横坐标小于0，令()2110y m x m =-+-=，解得：21101m x m m -=-=--<-，解得：1m >-，∴常数m 的取值范围为1m >-且1m ≠，故答案为：1m >-且1m ≠．13.某班进行一次班级活动，要在2名男同学和3名女同学中，随机选出2名学生担任主持人，那么选出的2名学生恰好是一男一女的概率是________．【答案】35##0.6【分析】本题考查的是画树状图法求概率．树状图法适合两步或两步以上完成的事件；用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比．先画出树状图得出所有等可能的情况数，再找出符合条件的情况数，然后根据概率公式即可得到答案．【详解】解：根据题意画图如下：共有20种等可能的情况数，选出的2位同学恰好为一男一女的有12种，则主持人是一男一女的概率为123205=．故答案为：35．14.一斜坡的坡角为α，坡长比坡高多100米，那么斜坡的高为________（用α的锐角三角比表示）．【答案】100sin 1sin -αα【分析】本题考查了正弦函数的应用．利用所给角的正弦函数求解．【详解】解：如图所示．由题意得100AB BC =+，∵90C ∠=︒，sin sin A A BC B α==，∴0s n 10i BC BC α+=，整理得100sin 1sin BC αα=-，∴斜坡的高为100sin 1sin -αα米．故答案为：100sin 1sin -αα．15.在Rt ABC △中，90ACB ∠=︒，点G 是重心，如果3AG =，4BG =，那么CG =________．【答案】【分析】本题考查了重心的定义与性质，结合勾股定理，直角三角形斜边中线的性质，关键是掌握重心性质并运用勾股定理列式求解是解题关键．本题先利用重心求出AD 和BE ，再利用勾股定理列式整体法求出AB ，最后利用直角三角形斜边中线性质和重心性质求出CG ．【详解】解：如图，设AG 延长线交BC 于点D ，BG 延长线交AC 于点E ，CG 延长线交AB 于点F ，∵点G 是重心，3AG =，4BG =，∴3922AD AG ==，362BE BG ==，∵90ACB ∠=︒，∴222AD AC CD =+，222BE CE BC =+，∴22222292262BC AC AC BC ⎧⎛⎫⎛⎫=+⎪ ⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎨⎛⎫⎪=+ ⎪⎪⎝⎭⎩①②，①+②得：22815536444AC BC +=+，化简得：2245AC BC +=，∴22245AB AC BC =+=，∴AB =，∵点G 是重心，90ACB ∠=︒，∴12CF AB ==∴23CG CF ==，．16.如图，⊙A 和⊙B 的半径分别为5和1，AB ＝3，点O 在直线AB 上，⊙O 与⊙A 、⊙B 都内切，那么⊙O 半径是________．【答案】32或92．【分析】根据两圆内切时圆心距=两圆半径之差的绝对值，分两种情况求解即可．【详解】当点O 在点A 左侧时，⊙O 半径r=101922-=,当点O 在点B 右侧时，⊙O 半径r=107322-=.故填92或32.【点睛】此题考查圆与圆之间的位置关系，解题的关键是掌握两圆位置关系与圆心距d ，两圆半径R ，r 的数量之间的联系.17.如图，在ABC 中，4AB AC ==，1cos 4B =，BD 是中线，将ABC 沿直线BD 翻折后，点A 落在点E ，那么CE 的长为________．【答案】6【分析】本题考查三角形的翻折综合计算，涉及三角函数，等腰三角形，平行四边形及勾股定理，能正确进行线段的转换及作辅助线解非直角三角形是解题关键．本题先过点A 作AM BC ⊥于点M ，计算得出AD CD DE BC ===，再证明四边形BCED 是平行四边形，得CE BD =，再在BCD △中求解BD 即可．【详解】解：如图，过点A 作AM BC ⊥于点M ，过点D 作DN BC ⊥于点N ，∵4AB AC ==，∴BM CM =，∵1cos 44BM BM B AB ===，∴1BM CM ==，∴2BC =，∵BD 是中线，∴122CD AD AC ===，由翻折知2AD DE ==，∴AD CD DE BC ===，∴CBD CDB ∠=∠，设DCB α∠=，∴1802CDB α︒-∠=，∴1801809022ADB αα︒-∠=︒-=︒+，由翻折知902EDB ADB α∠=∠=︒+，∴1809022EDC EDB CDB ααα︒-∠=∠-∠=︒+-=，∴EDC DCB ∠=∠，∴DE BC ∥，∴四边形BCED 是平行四边形，∴CE BD =，∵DN BC ⊥，∴1cos cos 24CN CN C B CD ====，∴12CN =，∴13222BN BC CN =-=-=，152DN ==，∴BD ==∴CE BD ==，．18.在一个三角形中，如果一个内角是另一内角的n 倍（n 为整数），那么我们称这个三角形为n 倍三角形．如果一个三角形既是2倍角三角形，又是3倍角三角形，那么这个三角形最小的内角度数为________．【答案】30︒或20︒或18︒或360(11°【分析】根据n 倍三角形的定义结合三角形内角和定理，进行分类讨论计算即可．【详解】设最小的内角为x ︒．分类讨论：①当2倍角为2x ︒，3倍角为3x ︒时，可得：23180x x x ︒+︒+︒=︒，解得30x =．②当2倍角为2x ︒，3倍角为6x ︒时，可得：26180x x x ︒+︒+︒=︒，解得20x =．③当3倍角为3x ︒，2倍角为6x ︒时，可得：36180x x x ︒+︒+︒=︒，解得18x =．④当3x ︒即是2倍角又是三倍角时，即另一个内角为32x ︒，可得：331802x x x ︒+︒+︒=︒，解得36011x =．综上可知，最小的内角为30︒或20︒或18︒或360()11°．【点睛】本题考查三角形内角和定理．理解题干中n 倍三角形的定义以及利用分类讨论的思想是解答本题的关键．三、解答题：（本大题共7题，满分78分）[将下列各题的解答过程，做在答应纸上]19.已知：1-==x y ，求：21122⎛⎫- ⎪⎝⎭x y 值．【答案】2【分析】本题考查了负整数指数幂、分母有理化以及完全平方公式的运算，先整理得出2x =+，2y =-1xy =，再运用完全平方公式展开代入数值，进行计算即可作答．【详解】解：∵1-==x y∴2x =+，2y =1xy=．∴21111122222222212x y x y x y ⎛⎫-=+-=+⨯= ⎪⎝⎭20.已知点()2,3A m +在双曲线m y x=上．（1）求此双曲线的表达式与点A 的坐标；（2）如果点(),5B a a -在此双曲线上，图像经过点A 、B 的一次函数的函数值y 随x 的增大而增大，求此一次函数的解析式．【答案】（1）6y x =-，()2,3A -；（2）1y x 42=-．【分析】（1）把点A （2，m +3）代入m y x =求得m ，即可求出结果；（2）把点B （a ，5-a ）代入m y x =求得a 得到B 点的坐标，根据A 点坐标和函数的增减性排除掉不符合题意的点，再由待定系数法求出一次函数解析式．【详解】解：（1）∵点A （2，m +3）在双曲线m y x=上，∴.32m m +=，解得：m =-6，∴m +3=-3，∴此双曲线的表达式为6y x -=，点A 的坐标为（2，-3）；（2）∵点B （a ，5-a ）在此双曲线6y x -=上，∴6.5a a--=，解得：a =-1或a =6，经检验：1,6a a =-=都是原方程的根，且符合题意，∴点B 的坐标为（-1，6）或（6，-1），∵一次函数的函数值y 随x 的增大而增大，由（1）知A （2，-3），∴点B 的坐标只能为（6，-1），设一次函数的解析式为y =kx +b ，∴3216k b k b -=+⎧⎨-=+⎩，解得：124k b ⎧=⎪⎨⎪=-⎩，∴一次函数的解析式为1y x 42=-．【点睛】本题主要考查了待定系数法求反比例函数解析式和一次函数解析式以及一次函数的性质，熟练掌握待定系数法求解析式是解题的关键．21.已知：如图，在ABC 中，AB AC =，DC BC ⊥，2DC BC ==，90ADB ∠=︒，BD 与AC 相交于点G．求：（1）AB 的长；（2）AG 的长．【答案】（1）AB =（2）AG =【分析】（1）过点A 作AE BC ⊥于E ，交BD 于F ．则45CDB CBD ∠=∠=︒，由勾股定理得，BD =．由AB AC =，AE BC ⊥，可得112BE BC ==，45EFB EBF ∠=︒=∠，则1EF BE ==，45AFD EFB ∠=∠=︒，AD DF =，由勾股定理得，BF =，则AD DF BD BF ==-=，由勾股定理得，AB =，计算求解即可；（2）由题意知，2cos 45DF CD AF ===︒，证明()AAS AGF CGD ≌，则AG CG =，由AG CG +=可求AG ．【小问1详解】解：过点A 作AE BC ⊥于E ，交BD 于F ．∵90BCD ∠=︒，2BC CD ==，∴45CDB CBD ∠=∠=︒，由勾股定理得，BD ==．∵AB AC =，AE BC ⊥，∴112BE BC ==，45EFB EBF ∠=︒=∠，∴1EF BE ==，45AFD EFB ∠=∠=︒，∴45DAF AFD ∠=︒=∠，∴AD DF =，由勾股定理得，BF ==∴AD DF BD BF ==-=由勾股定理得，AB ==∴AB =；【小问2详解】解：由题意知，2cos 45DF CD AF ===︒，又∵45AFG CDG ∠=︒=∠，AGF CGD ∠=∠，∴()AAS AGF CGD ≌，∴AG CG =，∵AG CG +=∴102AG GC ==，∴102AG =．【点睛】本题考查了等腰三角形的判定与性质，勾股定理，余弦，全等三角形的判定与性质等知识．熟练掌握等腰三角形的判定与性质，勾股定理，余弦，全等三角形的判定与性质是解题的关键．22.20个集装箱装满了甲、乙、丙三种商品共120吨，每个集装箱都只装载一种商品，根据下表提供的信息，解答以下问题：商品类型甲乙丙每个集装箱装载量（吨）865每吨价值（万元）121520（1）如果甲种商品装x 个集装箱，乙种商品装y 个集装箱，求y 与x 之间的关系式；（2）如果其中5个集装箱装了甲种商品，求每个集装箱装载商品总价值的中位数．【答案】（1）320y x =-+（2）每个集装箱装载商品总价值的中位数是98万元【分析】本题考查了根据实际问题列函数关系式及中位数，正确认识题中图表及理解题意是解题关键．（1）先列出三种商品装集装箱的个数的式子，再利用三种商品共120吨列式即可；（2）先得出三种商品装载集装箱的个数，再得出20个集装箱装载商品总价值分别是多少，利用中位数定义即可求解．【小问1详解】解：∵甲种商品装x 个集装箱，乙种商品装y 个集装箱，一共20个集装箱，∴丙种商品装()20x y --个集装箱，∴由题意得：()86520120x y x y ++--=，化简得：320y x =-+；【小问2详解】当5x =时，35205y =-⨯+=，20205510x y --=--=，∴甲、乙、丙三种商品装载集装箱个数分别是5、5、10，由表可知每个甲集装箱装载商品总价值为81296⨯=（万元），每个乙集装箱装载商品总价值为61590⨯=（万元），每个丙集装箱装载商品总价值为520100⨯=（万元），∴20个集装箱装载商品总价值有5个90万元，5个96万元，10个100万元，∴这20个数据从小到大排列后第10、11个数据分别是96、100万元，∴每个集装箱装载商品总价值的中位数是96100982+=（万元）．23.已知：如图，在梯形ABCD 中，AD BC ∥，AB CD AD ==，点E 在BA 的延长线上，AE BC =．（1）求证：2BCD AED ∠=∠；（2）当ED 平分BEC ∠时，求证：EBC 是等腰直角三角形．【答案】（1）见解析（2）见解析【分析】（1）连接AC ，由梯形ABCD ，AD BC ∥，可得EAD B ∠=∠，DAC BCA ∠=∠．证明()SAS DEA ACB ≌．则AED BCA ∠=∠．由AD CD =，可得DCA DAC BCA ∠=∠=∠．进而可得22BCD DCA BCA BCA AED ∠=∠+∠==∠．（2）由ED 平分BEC ∠，可得2AEC AED ∠=∠．即AEC BCD ∠=∠，由梯形ABCD ，AD BC ∥，AB CD =，可得EAD B BCD AEC ∠=∠=∠=∠．则CE BC AE ==．证明()SSS AED CED ≌，则ECD EAD B ∠=∠=∠，由180AEC ECD BCD B ∠+∠+∠+∠=︒，可求45AEC ECD BCD B ∠=∠=∠=∠=︒，进而可得90ECB ECD BCD ∠=∠+∠=︒，进而结论得证．【小问1详解】证明：连接AC ，∵梯形ABCD ，AD BC ∥，∴EAD B ∠=∠，DAC BCA ∠=∠．又∵AE BC =，AD AB =，∴()SAS DEA ACB ≌．∴AED BCA ∠=∠．∵AD CD =，∴DCA DAC BCA ∠=∠=∠．∴22BCD DCA BCA BCA AED ∠=∠+∠==∠，∴2BCD AED ∠=∠．【小问2详解】证明：∵ED 平分BEC ∠，∴2AEC AED ∠=∠．∵2BCD AED ∠=∠，∴AEC BCD ∠=∠，∵梯形ABCD ，AD BC ∥，AB CD =，∴EAD B BCD AEC ∠=∠=∠=∠．∴CE BC AE ==．∵AE CE DE DE AD CD ===，，，∴()SSS AED CED ≌，∴ECD EAD B ∠=∠=∠，∵180AEC ECD BCD B ∠+∠+∠+∠=︒，∴45AEC ECD BCD B ∠=∠=∠=∠=︒，∴90ECB ECD BCD ∠=∠+∠=︒，∴EBC 是等腰直角三角形．【点睛】本题考查了等腰梯形的性质，平行线的性质，角平分线，全等三角形的判定与性质，三角形内角和定理，等腰三角形的判定等知识．熟练掌握等腰梯形的性质，平行线的性质，角平分线，全等三角形的判定与性质，三角形内角和定理，等腰三角形的判定是解题的关键．24.如图，抛物线2y ax bx c =++顶点为坐标原点O 、且经过点()3,3A ，直线经过点A 和点()0,6B ．（1）求抛物线与直线的表达式；（2）如果将此抛物线平移，平移后新抛物线的顶点C 在原抛物线上，新抛物线的对称轴与直线AB 在原抛物线的内部相交于点D ，且45COD ∠=︒，求新抛物线的表达式．【答案】（1）抛物线表达式为213y x =，直线的表达式为6y x =-+（2）新抛物线的表达式2133324y x ⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭或21335935322y x ⎛--=-+ ⎝⎭【分析】（1）利用待定系数法求解即可；（2）设直线6y x =-+与x 轴交于点E ，求出()6,0E ，设点D 的坐标为(),6m m -+，则点C 的坐标为21,3m m ⎛⎫ ⎪⎝⎭，分①当点D 在线段AB 上时，②当点D 在AB 延长线上时两种情况讨论即可；本题考查二次函数的图象与性质，相似三角形的判定与性质，熟练掌握知识点的应用是解题的关键．【小问1详解】∵抛物线2y ax bx c =++顶点为坐标原点O ，∴0b =，0c =，∵点()3,3A 在二次函数图象上，∴39a =，∴13a =，∴抛物线表达式为213y x =，设直线的表达式为1y kx b =+，∵直线经过点A 和点()0,6B ，∴113306k b k b =+⎧⎨=+⎩，∴116k b =-⎧⎨=⎩，∴直线的表达式为6y x =-+；【小问2详解】设直线6y x =-+与x 轴交于点E ，∴当0y =时，6x =，∴()6,0E ，∴6OE OB ==，∴45EBO ∠=︒，设点D 的坐标为(),6m m -+，∴点C 的坐标为21,3m m ⎛⎫ ⎪⎝⎭，∵CD y ∥轴，∴∠=∠BOD ODC ，当点D 在线段AB 上时，如图，∵45=︒=∠∠DBO COD ，∴∽△△CDO DOB ，∴=CD DO DO OB，∴2=⋅C D D O OB ，∴()2222621236OD m m m m =+-=-+，2163=-+-CD m m ，∴22121236663m m m m ⎛⎫-+=-+-⎪⎝⎭，∴2460m m -=，∵0m ≠，∴32m =，∴点C 的坐标为33,24⎛⎫ ⎪⎝⎭，∴新拋物线的表达式2133324y x ⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭，当点D 在AB 延长线上时，延长DC 交x 轴于点H ，在DH 的延长线上截取HF HO =，连接FO ，如图，则45==∠∠∠︒=HFO HOF COD ，662=--=-DF m m m ，∵∠=∠ODF CDO ，∴△∽△CDO ODF ，∴=CD DO DO DF，∴2=⋅C D D O DF ，∴()221212366263m m m m m ⎛⎫-+=--+- ⎪⎝⎭，∴32390--=m m m ，∵0m ≠，∴32±=m （正值不符合题意，舍去），∴点C 的坐标为335935,22⎛-- ⎝⎭．∴新抛物线的表达式2139322y x ⎛--=-+ ⎝⎭．25.已知：O 的直径8AB B = ，与O 相交于点C 、D ，O 的直径CF 与B 相交于点E ，设B 的半径为x ，OE 的长为y ．（1）如图，当点E 在线段OC 上时，求y 关于x 的函数解析式，并写出定义域；（2）当点E 在直径CF 上时，如果OE 的长为3，求公共弦CD 的长；（3）设B 与AB 相交于G ，试问OEG 能否为等腰三角形？如果能够，请直接写出BC 弧的长度（不必写过程）；如果不能，请简要说明理由【答案】（1）()214044y x x =-<≤（21537（3）OEG 能为等腰三角形， BC 的长度为45π或127π【分析】本题主要考查了垂径定理、相似三角形的性质与判定，解直角三角形，圆的基本知识，做题时一定要分析各种情况，不要遗漏．（1）欲求y 关于x 的函数解析式，连接BE ，证明BCE OCB ∽即可；（2）求公共弦CD 的长，作BM CE ⊥，垂足为M ．通过圆的知识得出12BM CD =，转化为求BM 的长；分为两种情况：点E 在线段OC 上时；点E 在线段OF 上时，求出BM 的长；（3）OEG 为等腰三角形，分为两种情况：点E 在线段OC 上时；点E 在线段OF 上时，根据角的关系先求出角的度数，从而求出 BC的长度．【小问1详解】解：连接BE ，∵O 的直径8AB =，∴142OC OB AB ===．∵BC BE OC OB ==，，∴BEC C CBO ∠=∠=∠．∴BCE OCB ∽．∴CE BC CB OC=．∵–4CE OC OE y ==-，∴44y x x -=．∴y 关于x 的函数解析式为()214044y x x =-<≤；【小问2详解】解：如图所所示，当点E 在线段OC 上时，作BM CE ⊥，垂足为M ，∵43OC OE ==，，∴1CE =，∴1122EM CE ==，∴72OM =，∴152B M ===；设两圆的公共弦CD 与AB 相交于H ，则AB 垂直平分CD ．∴sin sin OC COB OB COB B C M H ⋅∠=⋅∠==．∴22CD CH BM ===．当点E 在线段OF 上时，作BM CE ⊥，垂足为M ，∵7OE OC OE =+=，∴1722EM CE ==∴–71322OM EM OE ==-=，∴372B M ==．同理可得2237CD CH BM ===综上所述，CD 1537【小问3详解】解：如图所示，当点E 在线段OC 上时，∵BG BE =，∴BEG BGE ∠=∠，∵180180BEG OEG BGE OGE +≠︒+=︒∠∠，∠∠，∴OEG OGE ≠∠∠，即OE OG ≠；∵180EOB OEB EBG ++=︒∠∠∠，∴180EOB OEG BEG EBG +++=︒∠∠∠∠，又∵180EGO BGE +=︒∠∠，∴EGO EOB OEG EBO =++∠∠∠∠，∴EOG EGO ≠∠∠，即OE GE ≠；当OG EG =时，设2OEG EOG x ==∠∠，∴4BEG BGE OEG EOG x ==+=∠∠∠∠，∴1801808OBE OEB EOB x =︒--=︒-∠∠∠，由（1）得180902BOC BEC OCB CBO x ︒-∠=∠=∠==︒-∠，∴1802CBE BEC BCE x =︒--=∠∠∠，∴1808290x x x ︒-+=︒-，解得18x =︒，∴36BOC ∠=︒，∴ BC 的长为36441805ππ⨯⨯=；如图所示，当点E 在线段OF 上时，同理可证明OG OE OG GE ≠≠，，当OE GE =时，设EOG EGO x ==∠∠，则1802GEO x =︒-∠，∵BG BE =，∴BEG BGE x ==∠∠，∴1801802GBE BGE BEG x =︒--=︒-∠∠∠；∵BC BE =，∴3180BCE BEC BEG GEO x ==-=-︒∠∠∠∠，∴1805406CBE BEC BEC x =︒--=︒-∠∠∠，∵OC OB =，∴3180OBC OCB x ==-︒∠∠，∴318018025406x x x -︒+︒-=︒-，解得5407x ⎛⎫=︒ ⎪⎝⎭，∴ BC 的长为54041271807ππ⨯⨯=；45π或127π．综上所述，OEG能为等腰三角形， BC的长度为。

2022年上海市杨浦区中考数学三模试卷一、选择题（本大题共6小题，共24.0分。

在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）1. 2的倒数是( )A. −2B. −12C. 12D. 22. 在平面直角坐标系中，点(3,2)关于x轴对称的点的坐标为( )A. (−3,2)B. (3,−2)C. (2,−3)D. (−2,3)3. 下列运算中，正确的是( )A. 2a+3a=5a2B. 2a3⋅3a2=6a6C. (−2a2)3=−8a6D. −4a2÷2a=2a4. 如果二次函数y=ax2+bx+c的图象全部在x轴的上方，那么下列判断中一定正确的是( )A. a>0，b>0B. a>0，b<0C. a>0，c<0D. a>0，c>05. 一个事件的概率不可能是( )A. 0B. 0.5C. 1D. 1.56. 如图，已知∠POQ=30°，点A、B在射线OQ上(点A在点O、B之间)，半径长为2的⊙A与直线OP相切，半径长为3的⊙B与⊙A相交，那么OB的取值范围是( )A. 5<OB<9B. 4<OB<9C. 3<OB<7D. 2<OB<7二、填空题（本大题共12小题，共48.0分）7. 用代数式表示：a的5倍与b的27的差：______ ．8. 分解因式：x2−2x−15=______ ．9. 已知函数f(x)=√x+6，那么f(3)=______．10. 计算：11+x +11−x=______．11. 已知△ABC 中，设AB ⃗⃗⃗⃗⃗ =a ⃗ ，BC ⃗⃗⃗⃗⃗ =b ⃗ ，那么AC ⃗⃗⃗⃗⃗ =______.(结果用a ⃗ 、b ⃗ 表示)12. 如果二次函数y =x 2+2x −m +2图象的顶点在x 轴上，那么m 的值是______．13. 已知二次函数图象的对称轴在y 轴右侧，且在对称轴左侧函数y 的值随x 的值增大而增大．请写出一个符合上述条件的二次函数的解析式______.(只需写一个)14. 如果梯形的下底长为7，中位线长为5，那么其上底长为______ ．15. 已知AB 是⊙O 的弦，如果⊙O 的半径长为5，AB 长为4，那么圆心O 到弦AB 的距离是______ ．16. 从一栋二层楼的楼顶点A 处看对面的教学楼，探测器显示，看到教学楼底部点B 处的俯角为45°，看到楼顶部点C 处的仰角为60°，已知两栋楼之间的水平距离为6米，那么教学楼的高CB =______米．(结果保留根号)17. 新定义：如果一个三角形一条边上的高等于这条边，那么这个三角形叫做等高底三角形，这条边叫做等底．如图，△ABC 是等高底三角形，BC 是等底，点A 关于直线BC 的对称点是点A′，联结AA′，如果点B 是△AA′C 的重心，那么ACBC的值是______．18. 如图，已知在△ABC中，∠C=90°，BC=8，cosB=45，点P是斜边AB上一点，过点P作PM⊥AB交边AC于点M，过点P作AC的平行线，与过点M作AB的平行线交于点Q.如果点Q恰好在∠ABC的平分线上，那么AP的长为______．三、计算题（本大题共2小题，共20.0分）19. 计算：|1−√2|+(π−2022)0−2sin45°+(−12)−2．20. 解方程：xx+1−4x2−1=1．四、解答题（本大题共5小题，共58.0分。

2024年上海市静安区中考三模数学试题（总分：150分，时间：100分钟）一、选择题：（本大题共6题，每题4分，满分24分）【下列各题的四个选项中，有且只有一个是正确的，选择正确项的代号并填涂在答题纸的相应位置上】1.下列实数中，不是有理数的是（）A.27B.0.32C.32D.cos60︒【答案】C【详解】解：A 、27是有理数，故本选项不符合题意；B 、0.32为循环小数，是有理数，故本选项不符合题意；C 、32是无理数，故本选项符合题意；D 、1cos602︒=是有理数，故本选项不符合题意；故选：C ．2.下列四个选项中所表示的x 的取值范围与图中表示的x 的取值范围相同的是（）A.满足128x x ≥⎧⎨<⎩的xB.中的xC.ABC 的三边长分别为1.52.5、和xD.到2.5所表示的点的距离不大于1.5的点所表示的x 【答案】D【详解】解：由数轴可知，解集为14x ≤≤，A 中128x x ≥⎧⎨<⎩的解集为14x ≤<，故不符合要求；B 中10x -≥，30x -≥，解得：13x ≤≤，故不符合要求；C 中第三边长的取值范围为2.5 1.5 1.5 2.5x -<<+，即14x <<，故不符合要求；D 中 2.5 1.5x -≤，解得：14x ≤≤，故符合要求；故选：D ．3.下列计算正确的是（）A.236333⨯=B.111362333÷=C.336236⨯= D.()23533=【答案】B【详解】解：A 、235333⨯=，原式计算错误，不符合题意；B 、11162231313333-=÷=，原式计算正确，符合题意；C 、()333322363=⨯⨯=，原式计算错误，不符合题意；D 、()62333=，原式计算错误，不符合题意；故选：B ．4.下列函数中，当0x >时，y 随x 增大而增大的是（）A.1y x=-B.1y x =-+C.22y x x =-D.1y =-【答案】A【详解】解：由题意知，A 中1y x=-，当0x >时，y 随x 增大而增大，故符合要求；B 中1y x =-+，当0x >时，y 随x 增大而减小，故不符合要求；C 中()22211y x x x =-=--，当1x >时，y 随x 增大而增大，故不符合要求；D 中1y =-是一条平行于x 轴的直线，故不符合要求；故选：A ．5.关于x 的方程2210ax x ++=有实数根，则a 的取值范围是（）A.1a ≤B.1a ≤0a ≠ C.a 取一切实数D.1a <【答案】A【详解】解：∵方程有实根，∴分为两种情况：①当0a =时，210x +=，解得：12x =-；②当0a ≠时，∵关于x 的方程2210ax x ++=有实数根，∴2Δ241440a a =-⨯⨯=-≥，解得：1a ≤，故选：A ．6.某同学对“对角线垂直的四边形”进行了探究：如图，在四边形ABCD 中，AB CD =，AC BD ⊥，AD a =，BC b =，由上述条件，得到了两个结论：①()22AC a b =+，②CD =说法正确的是（）A.①正确、②错误B.①错误、②正确C.①、②正确D.①、②都错误【答案】B【详解】如图，过A 作AE BD 交CB 的延长线于点E ，∵AC BD ⊥，∴AE AC ⊥即90EAC ∠=︒，当45ACB E ∠=∠=︒时，∴AE AC =，222AE AC CE +=则22AC AE CE ==，如图，过点B 作BF AD 交AE 于点F ，∴四形ADBF 为平行四边形，∴BF AD a ==，如图，在EBF 中，∵BFE E ∠>∠∴BE BF >即BE a >，∴CE CB BE b BE b a =+=+>+，∴()22AC AE CE a b ==≠+，故①错误；如图，设AC ，BD 交于点O ，∵AC BD ⊥，∴222AB AO BO =+，222CD DO CO =+，222AD AO DO =+，222BC BO CO =+，∵AB CD =，AD a =，BC b =，∴22222222AB CD CD AO BO DO CO +==+++，22222222AD BC a b AO DO BO CO +=+=+++，∴2222CD a b =+，∴CD =，故②正确，故选：B ．二、填空题（本大题共12题，每题4分，满分48分）7.9的平方根是_________．【答案】±3【详解】解：∵（±3）2=9，∴9的平方根是±3．故答案为±3．8.分解因式：3a a -=________．【答案】(1)(1)a a a +-首先用提公因式法，再用平方差公式即可求解．【详解】原式：()21a a =-()()11a a a =+-，故答案为(1)(1)a a a +-．9.x =-的解是_____．【答案】x ＝﹣1．【详解】把方程两边平方得x +2＝x 2，整理得（x ﹣2）（x +1）＝0，解得：x ＝2或﹣1，经检验，x ＝﹣1是原方程的解．故本题答案为：x ＝﹣1．10.已知直线()12y k x =-+不经过第四象限，则k 的取值范围是______．【答案】1k ≥【详解】解：当10k -=，即1k =时，直线2y =，此时直线经过一、二象限，与x 轴平行；当10k -≠，直线为一次函数，∵直线()12y k x =-+不经过第四象限，∴直线经过一、二、三象限，∴10k ->，∴1k >；综上，k 的取值范围为1k ≥，故答案为：1k ≥．11.从分别标有1至10（十个自然数）的十张（除数字外其他完全相同）卡片中任意抽取一张，恰好为素数的概率是______．【答案】25【详解】依题意，从分别标有1至10（十个自然数）的十张（除数字外其他完全相同）卡片中任意抽取一张，∵1至10（十个自然数）中的素数有2、3、5、7∴恰好为素数的概率42105==．故答案为：25．12.二元一次方程49x y +=的正整数解为______．【答案】12x y =⎧⎨=⎩，51x y =⎧⎨=⎩【详解】解：∵49x y +=，∴94x y =-，当1y =时，5x =；当2y =时，1x =，∴二元一次方程49x y +=的正整数解为12x y =⎧⎨=⎩，51x y =⎧⎨=⎩，故答案为：12x y =⎧⎨=⎩，51x y =⎧⎨=⎩．13.化简：()123933a b a b +--=______．【答案】4a b-+【详解】解：()123933a b a b +-- 233a b a b +-+= 4a b =-+ ，故答案为：4a b -+ ．14.为了解全区5000名初中毕业生的体重情况，随机抽测了400名学生的体重，频率分布如图所示（每小组数据可含最小值，不含最大值），其中从左至右前四个小长方形的高依次为0.02、0.03、0.04、0.05，由此可估计全区初中毕业生的体重不小于60千克的学生人数约为_____人．【答案】1500【详解】解∶由图可知：体重不小于60千克的学生人数占总人数的1-(0.02+0.03+0.04+0.05)×5=0.3，所以全区初中毕业生的体重不小于60千克的学生人数为5000×0.3=1500（人），故答案为∶1500．15.已知：ABC 中，2ACB B ∠=∠，CD 平分ACB ∠，2AD =，3CD =，B ∠的余弦值为______．【答案】104【详解】解：如图所示，过点D 作DE AC ⊥，CD 平分ACB ∠，12ACD BCD ACB ∴∠=∠=∠，又2ACB B ∠=∠ ，ACD B ∴∠=∠，∠ACD=∠B ，A A ∠=∠，ADC ACB ∴∽△△，AD ACAC AB∴=即2AC AD AB =⋅，又23AD BD == ，5AB AD BD ∴=+=，210AC AD AB ∴=⋅=，∴AC =，负值舍去，设CE x =，则AE AC EC x =-=∵22222AD AE CD CE DE -=-=∴)222223x x -=-，解得x =∴4CE =∴10cos cos 4CE B ACD CD ∠=∠==．故答案为：104．16.已知A B 、为半径为1的O 上两点，P 在线段AB 上，3PA PB =，若,AB x OP y ==，则y 关于x 的数量关系式为______．【答案】()163024y x =<≤【详解】解：如图，过O 作OC AB ⊥于C ，连接OA ，则1122AC BC AB x ===，∵3PA PB =，∴1144PB AB x ==，则14PC x =，在Rt AOC 中，1OA =，则2222114OC OA AC x =-=-，在Rt POC △中，22222116OC OP PC y x =-=-，∴222111416x y x -=-，则22231631616x y x -=-=，∴4y =±，∵0y >，∴1634y =，由题意，02x <≤，∴y 关于x 的数量关系式为()163024y x =<≤，故答案为：()163024y x =<≤．17.如图，平行四边形ABCD 的顶点C D 、在双曲线()0ky x x=>上，()1,0A -，()0,2B -，AD 与y 轴交于点E ，若ABE 与四边形BCDE 的面积比为1:5，则k 的值为______．【答案】12【详解】解：如图，作DG x ⊥轴，垂足为G ，CF x ⊥轴，垂足为F ，CQ DG ⊥，垂足为Q ，∵四边形ABCD 是平行四边形，∴ABC CDA ∠=∠，又∵GBE HED EDG ∠=∠=∠，∴ABO QDC ∠=∠，在ABO 和CDQ 中，90ABO QDC AOB CQD AB CD ∠=∠⎧⎪∠=∠︒⎨⎪=⎩＝，∴()AAS ABO CDQ ≌，∴12AO CQ OB DQ ====，∵ABE 与四边形BCDE 的面积比为15：，∴12ABE BDE S AE S ED== ，∵DH AG ∥，∴AEO DEH ∽ ，∴12AO DH =，∴2DH =，设()2,D m ，则()3,2C m -，∵D 、C 在反比例函数图象上，∴()232m m =-，解得6m =，∴()26D ，，∵点D 在反比例函数图象上，∴12k =．故答案为：12．18.折纸能够制作广泛的几何图形，解决数学问题．下面是解决某个数学问题的折纸过程：（1）长方形纸片ABCD 沿某直线折叠，使点A 与点D 重合，折痕交BC 于点E ；（2）展开后，沿过点E 的直线EF 折叠，使点C 落在AD 边上点G 处．连结GB ，用量角器测得30GBC ∠=︒，则长方形纸片中ABBC的值为______．【答案】4【详解】解：由折叠的性质可得，E 是BC 中点，ECF EGF ≌，∴BE EG =，EC EG =，∴BE GE=如图，过点E 作EH BG ⊥于点H ，设AB a =，BC b =，则122b BE BC ==，30GBC ∠=︒ ，∴在Rt BEH △中，30EBH ∠=︒，33cos30224b BH BE b ∴=⋅︒=⨯=， 在等腰三角形BEG 中，EH BG ⊥，BH GH ∴=，22BG BH b ∴==，AD BC ，30GBC AGB ∴∠=∠=︒，在Rt ABG △中，30AGB ∠=︒，∴22BG AB a ==，∴322a b =，即34a b =，344b AB a BC b b ∴===．故答案为：34．三、解答题：（本大题共7题，满分78分）19.1212π--．【答案】2【详解】解：原式1)1=-+-11=++2=．20.解方程组：22449(1)6(2)x xy y x y ⎧++=⎨-=⎩．【答案】33x y =⎧⎨=-⎩或51x y =⎧⎨=-⎩【详解】解：224496x xy y x y ⎧++=⎨-=⎩①②，由方程①可得x +2y ＝﹣3或x +2y ＝3，则方程组可变为236x y x y +=-⎧⎨-=⎩或236x y x y +=⎧⎨-=⎩，解得33x y =⎧⎨=-⎩或51x y =⎧⎨=-⎩．21.已知：如图，第一象限内的点A B 、在反比例函数的图像上，点C 在y 轴上，BC x ∥轴，点A 的坐标为()2,4，且2cot 3ACB ∠=．求：（1）反比例函数的解析式；（2）点C 的坐标；（3）ABC ∠的余弦值．【答案】（1）8y x=（2）()0,1C （3）cos 5ABC ∠=【小问1详解】解：设反比例函数的解析式为k y x=，∵第一象限内的点A 在反比例函数的图像上，点A 的坐标为()2,4，∴248k =⨯=，∴反比例函数的解析式为8yx=；【小问2详解】解：过A 作AD BC ⊥于D ，则2cot 3CD ACB AD ∠==，设()0,C t ，∵BC x ∥轴，∴4AD t =-，2CD =，∴2243t =-，解得1t =，经检验，符合所列方程，故点C 坐标为()0,1；【小问3详解】解：∵BC x ∥轴，∴点B 的纵坐标为1，将1y =代入8y x=中，得8x =，则()8,1B ，∴826BD =-=，又3AD =，90ADB ∠=︒，∴AB ===∴25cos5BD ABC AB ∠==．22.如图1所示，某种汽车转子发动机的平面图，其中的转子形状接近于图2所示的曲边三角形，其中等边ABC的边长为20cm ，分别以、、A B C 为圆心，AB 为半径作 BC AC AB、、，M 为ABC的中心．（1）若Q 为 BC上任意一点，则MQ 的最小值为______cm ，最大值为______cm ．（2）转子沿圆P 转动时，始终保持M 与P 相切，M 的半径为8cm ，P 的半径为5cm ，当圆心P 在线段AM 的延长线上时，求B P 、两点间的距离的平方．【答案】（1）203⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭，3（2）4273-【小问1详解】解：如图所示，过点M 作MD BC ⊥交BC 于点D ，交 BC于点E ，∵等边ABC 的边长为20cm ，M 为ABC 的中心．∴30MBD ∠=︒，1102BD BC ==，∴203cos30332BD BM ===︒，又∵,20MB MA AE AB ===，∴当Q 点在E 点时，MQ 取得最小值，最小值为203203ME AE AM =-=-当Q 点在B 或C 点时，MQ 取的最大值，最大值为2033MB =【小问2详解】解：如图所示，由（1）可得10BD =，则110323DM BM ==∴853PM =-=∴10333DP DM PM =-=-∴222BP BD DP =+210310033⎛⎫=+- ⎪ ⎪⎝⎭4273=-．23.已知：如图，四边形ABCD 的对角线AC BD 、相交于点O ，AC AB ⊥，OA OC OB OD ⋅=⋅；（1）求证：DB DC ⊥．（2）过点B 作BE AD ⊥交DA 延长线于点E ，延长BE 、CD 交于点F ，分别取BC CF 、的中点P Q 、，连结PQ AQ 、，求证：QP 平分AQD ∠．【答案】（1）见解析（2）见解析【小问1详解】证明：∵OA OC OB OD ⋅=⋅，∴OA OB OD OC=，∵AOB DOC∠=∠∴AOB DOC ∽△△，∴90CDO BAO ︒∠=∠=，∴DB DC ⊥；【小问2详解】证明：如图，连结PA PD ，，记PQ AD 、的交点为H ，∵P 为BC 的中点，∴12PA BC =，12PD BC =，∴PA PD =，∵P Q ，为BC CF ，中点，∴PQ BF ∥，∴90PHD BED ∠=∠=︒，即PH AD ⊥，又∵PA PD =，∴PQ 垂直平分AD ，∴QA QD =，∵QA QD =，PA PD =，PQ PQ =，∴()SSS AQP DQP ≌，∴AQP DQP ∠=∠，即QP 平分AQD ∠．24.己知直角坐标平面xOy 中，O 为原点，抛物线()20y ax bx a =+<经过点()1,A m 、()3,B m ，点P 为抛物线顶点．（1）当1m =时，求抛物线解析式及顶点P 坐标．（2）若点P 在直线12y x =上，且1tan 2PAB ∠=，求抛物线的解析式．（3）联结OP 交AB 于点Q ，当PQB △为等腰三角形时，求m 的值．【答案】（1）21433y x x =-+，顶点42,3P ⎛⎫ ⎪⎝⎭（2）214y x x =-+（3）352m =或【小问1详解】解；当1m =时，抛物线()20y ax bx a =+<经过点()1,1A 、()3,1B ，把()1,1A 、()3,1B 代入得，1193a b a b=+⎧⎨=+⎩解得1343a b ⎧=-⎪⎪⎨⎪=⎪⎩∴21433y x x =-+，∵()22141423333y x x x =-+=--+∴顶点42,3P ⎛⎫ ⎪⎝⎭【小问2详解】∵抛物线()20y ax bx a =+<经过点()1,A m 、()3,B m ，点P 为抛物线顶点．∴1322P x +==，把2P x =代入12y x =得到1P y =，()2,1P ∴把()()1,,3,A m B m 代入2y ax bx =+中得到93m a bm a b =+⎧⎨=+⎩343m a b m ⎧=-⎪⎪⎨⎪=⎪⎩()2244443333m m y x mx x x m ∴=-+=--++，即()24233m y x m =--+，42,3P m ⎛⎫∴ ⎪⎝⎭，413m ∴=，∴34m =，141a b ⎧=-⎪∴⎨⎪=⎩214y x x ∴=-+【小问3详解】由题意可知PQ PB ≠，∴仅有BP BQ =和QP QB =两种情况，由（2）可知，42,3P m ⎛⎫ ⎪⎝⎭，设直线OP 的解析式为y tx =，把42,3P m ⎛⎫ ⎪⎝⎭代入得到，423m t =，∴23t m =，∴23y mx =，当y m =时，23m mx =，解得32x =，3,2Q m ⎛⎫∴ ⎪⎝⎭①BP BQ =时，22BP BQ ∴=，22131332m ⎛⎫⎛⎫∴+=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭21951944m =-=，2454m =，352m ∴=（负舍）②QP QB =，22QP QB ∴=22234323232m m ⎛⎫⎛⎫⎛⎫-+-=- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭21912344m ⎛⎫=-= ⎪⎝⎭，218m =，m ∴=（负舍）综上所述，352m =或25.四边形ABCD 中，AB AD DC ==，B BCD ∠=∠，EF 分别为AB AD 、中点，、DE CF 相交于点G ．（1）如图，如果AD BC <，求证：EGC A ∠=∠．（2）当120A ∠=︒，1FG =时，求BC 的长；（3）当CGD △为直角三角形时，线段AD 与BC 之间有怎样的数量关系？并说明理由．【答案】（1）见解析（2）BC =（3）3AD BC =或AD BC =，理由见解析【小问1详解】过D 作DH AB ∥交BC 于H ，∴ABH DHC ∠=∠，∵B BCD ∠=∠，∴ABH DHC BCD ∠=∠=∠，DH DC ∴=，AB AD DC == ，DH AB∴=DH AB ∥，∴四边形ABHD 为平四边形，AD BC ∴∥，AD BC < ，∴四边形ABCD 为梯形，AB DC = ，∴四边形ABCD 为等腰梯形，A ADC ∴∠=∠，又E ，F 分别为,AB AD 中点，12AE AB ∴=，12DF AD =，AE DF ∴=又AD DC =，()SAS AED DFC ∴ ≌，ADE DCF ∴∠=∠，EGC DCF GDC ADE GDC ADC ∠=∠+∠=∠+∠=∠ ，∴EGC A ∠=∠，【小问2详解】120A ∠=︒ ，AD BC ∥，∴180********ABC A DCB ∠=︒-∠=︒-︒=︒=∠，∵AB DH DC ==，∴DCH 为正三角形，∴222BC BH CH AD CD AD CD AB =+=+===延长DE ．CB 交于M ，设AF FD a ==，∴2BC a =，∵E 为AB 的中点，AD BC ∥，∴AE BE =，DAE MBE ∠=∠，ADM BME ∠=∠，∴()AAS AED BEM ≌，∴AD BM =，∴2BM AD a==∴426CM a a a=+=∵AD BC ∥，∴FDG CMG ∽，∴166DF FG a DGMC CG a GM====1FG = ，6GC ∴=，6GM DG =，7DM DG =，7FC DE EM ∴===，∴2714DM =⨯=，又 ADE M DCF ∠=∠=∠，MDC GDC ∠=∠，DCG DMC ∴∽△△，∴DC DGDM DC =，2DC DG DM ∴=⋅，()222112142877a DM ∴==⨯=27a ∴=，∴a =，4BC a ∴=，∴BC =【小问3详解】12DF CD = ，DF CD ∴<，DFC FCD ∴∠>∠，90FCD ∴∠≠︒，∴仅两种分类，①90EDC ∠=︒，延长,DE CB 交于M ，过D 作DN BC ⊥于N ，设AD AB CD BM x ====BC y =，∵四边形ABCD 为等腰梯形，∴22BC ADy xCN --===，∵90CDM CND ∠=∠=︒，DCN DCM ∠=∠，∴DCN MCD ∽，∴DC CNMC DC =，∴2CD CN MC =⋅，()22y xx x y -∴=+，2222x y x ∴=-，∴223y x =，∵0x >，0y >，y ∴=，即3AD BC=②90DGC ∠=︒，则90EGC A ∠=︒=∠，∴四边形ABCD 为正方形，AD BC∴=。