数学ⅰ北师大版2.1生活中的变量关系函数的表示法练习

第二章函数§1生活中的变量关系知识点变量关系[填一填]1．世界是变化的．变量及变量之间的依赖关系在生活中随处可见,我们在初中学习过的函数就描述了因变量随自变量的变化而变化的依赖关系．2．并非有依赖关系的两个变量都有函数关系．只有满足对于其中一个变量的每一个值,另一个变量都有唯一确定的值与之对应时,才称它们之间有函数关系．[答一答]1．如何正确理解常量与变量？提示：可结合生活中的实例,用辩证的观点来理解常量与变量,常量是相对于某一过程或另一个变量而言的,绝对的常量是没有的,因为物质的运动是绝对的,静止是相对的,所以物动则变．在我们的生活中容易找出众多的实例,如：(1)匀速直线运动中,速度是常量,时间和路程均为变量,但在实际运动过程中,绝对的匀速是没有的,因为人驾驶汽车在行驶过程中,不可避免地要进行加速、减速或刹车等操作．(2)电影院里,对某一场次和座位类别而言,票价是常量,而售票张数和收入均为变量．但相对于某个较长时间的间隔而言,由于演出的内容、种类、档次的不同,其票价仍是一个变量．由此可以看出,常量具有相对性,而变量是永恒的,是大量存在的．2．如何理解依赖关系和函数关系的联系与区别？提示：函数关系是特殊的依赖关系,具有依赖关系的两个变量有的是函数关系,有的不是函数关系．因此说依赖关系不一定是函数关系,而函数关系一定是依赖关系．1．绝对的常量是不存在的．常量具有相对性．2．函数关系是特殊的依赖关系,但有依赖关系的不一定是函数关系,而函数关系一定为依赖关系.类型一常量、变量、函数关系的判断【例1】某城市出租车收费标准如下：里程不超过3公里按起步价7元收费,超过3公里的按每公里1.5元加收．乘客乘车后出租车行驶的路程为x公里,乘客该付的车费为y元．(1)当0<x≤3时,x与y分别是什么量？x与y之间的关系是否为函数关系？(2)当x>0时,x与y分别是什么量？x与y之间的关系是否为函数关系？【思路探究】根据常量与变量的含义来判断所给的量是常量还是变量．函数关系的判断要根据两个量的对应关系来判断．【解】(1)当0<x≤3时,x可变,y＝7不变,所以x是变量,y是常量．在0<x≤3范围内,对于x的每一个取值,y都有唯一确定的值与之对应,所以x与y之间的关系是函数关系．(2)当x>0时,x与y都是可变的量,所以x与y都是变量,并且对于x的每一个取值,y都有唯一确定的值与之对应,所以x与y之间的关系是函数关系.规律方法常量是在某个范围内不变的量,不变是相对的．变量一般来说是可变的量,有时也把常量视为变量,所以变量是永恒的．这里指的变量是指一般情况下的变量．“对于x的每一个取值,y都有唯一确定的值与之对应”是判断x与y之间存在函数关系的标准,这里特别注意“唯一确定”的含义．下列变量之间的关系是函数关系的是(A)A．已知二次函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0),其中a,c是已知常数,b是自变量,因变量是这个函数的判别式Δ＝b2－4acB．光照时间和果树的亩产量C．降雪量和交通事故发生率D．每亩田的施肥量和粮食亩产量解析：B、C、D都是依赖关系．类型二利用图像反映两个变量之间的关系【例2】如图所示为某市一天24小时内的气温变化图．(1)上午8时的气温是多少？全天的最高、最低气温分别是多少？(2)大约在什么时刻,气温为0℃？(3)大约在什么时刻内,气温在0℃以上？两个变量有什么特点,它们具有怎样的对应关系？【思路探究】此题是一个通过图像来反映两变量关系的问题,所以回答问题时应充分利用图像所反映出的关系．【解】(1)上午8时气温是0℃,全天最高气温是9℃,在14时达到．全天最低气温是－2℃,在4时达到．(2)大约在0时、8时和22时,气温为0℃.(3)在8时到22时之间,气温在0℃以上,变量0≤t≤24,变量－2≤θ≤9,由于图像是连续的,可知它们之间具有随着时间的增加,气温先降再升再降的变化趋势,所以θ与t具有依赖关系,也具有函数关系．规律方法用图像反映两变量间的关系是一种常用的表示两变量关系的方式．在解此类题时要能从图中找到两个变量,并能判断它们之间的相互依赖关系是如何变化的．小明骑自行车上学,开始以正常速度匀速行驶,但行至中途自行车出了故障,只好停下来修车,车修好后,因怕耽误上课,他比修车前加快了骑车速度继续匀速行驶．则行驶路程s(米)关于时间t(分)的函数图像大致是(C)解析：A表示小明行至中途后一直在停下来修车,而没继续向前走；B表示小明没有停下来修车,速度反而比原来的更快；D表示的不是小明修车,而是向回走了一段路后,又加快速度去学校．C符合要求．类型三通过表格反映两个变量之间的关系【例3】口香糖的生产已有很长的历史,咀嚼口香糖有很多益处,但其残留物也会带来污染,为了研究口香糖的黏附力与温度的关系,一位同学通过实验,测定了不同温度下除去糖分的口香糖与瓷砖地面的黏附力,得到了如下表所示的一组数据：次序12345678 项目温度(℃)1525303537404550黏附力(N) 2.0 3.1 3.3 3.6 4.6 4.0 2.5 1.4(2)根据上述数据以及得到的图像,你能得到怎样的实验结论呢？【思路探究】对表格题目,首先要分清自变量与因变量,把所对应的数据利用坐标系描出对应的点,通过图像分析,得出结论．【解】(1)口香糖黏附力F随温度t变化的图像如下．(2)实验结论：①随着温度的升高,口香糖的黏附力先增大后减少；②当温度在37℃时,口香糖的黏附力最大；当温度在50℃时,黏附力最小,所以可通过加热的方法除去瓷砖上的口香糖残留物．规律方法两变量之间的关系,体现在表格中就是要求我们能从表格中找到因变量和自变量,并能判断因变量与自变量之间的对应关系,从而说明因变量如何随自变量的变化而变化．从市场中了解到,饰用K金的含金量如下表：K数含金量(%)24K99以上22K91.721K87.518K7514K58.512K5010K41.669K37.58K33.346K25饰用K金的K数与含金量之间是函数关系,K数越大含金量越高．解析：通过表格可知,饰用K金的含金量随着K数的减小而减小,对于K数的每一个取值,都有唯一的含金量与之对应,所以含金量是K数的函数,饰用K金的K数与含金量之间是函数关系,且K数越大含金量越高.——变量关系的分析——【例4】如图是某条公共汽车线路收支差额y与乘客量x的图像(收支差额＝车票收入－支出费用),由于目前本条线路亏损,公司有关人员提出了两条建议：建议(Ⅰ)是不改变车票价格,减少支出费用；建议(Ⅱ)是不改变支出费用,提高车票价格．下面给出四个图像：在这些图像中()A．①反映了建议(Ⅱ)；③反映了建议(Ⅰ)B．①反映了建议(Ⅰ)；③反映了建议(Ⅱ)C．②反映了建议(Ⅰ)；④反映了建议(Ⅱ)D．④反映了建议(Ⅰ)；②反映了建议(Ⅱ)【思路点拨】解答本题应从y与x的关系出发,分析出票价与斜率的关系,然后就(Ⅰ),(Ⅱ)两种建议分别描出图像,与题中①、②、③、④对应便可求解．【解析】由题可知直线与y轴交点的纵坐标的相反数表示支出,斜率表示票价,建议(Ⅰ)中票价不变,即直线的斜率不变；减少支出即直线与y轴交点纵坐标变大,对应①.建议(Ⅱ)中,直线与y轴交点的纵坐标不变,斜率变大,对应③.【答案】 B【小结】(1)解答此类题目的关键在于借助变量间的图像分析实际问题中所隐含的东西,然后结合已学知识加以综合分析,从而把问题解决．(2)判断两变量之间是否为函数关系,关键是看变量之间的关系是否为确定的关系,如③中收入与消费支出的关系是一种趋势而非确定关系,而其余均为确定关系．下列各组中两个变量之间是否存在依赖关系？其中哪些是函数关系？①球的体积和它的半径；②速度不变的情况下,汽车行驶的路程与行驶时间；③家庭收入愈多,其消费支出也有增长的趋势；④正三角形的面积和它的边长．解：①②③④中两个变量间都存在依赖关系,其中①②④是函数关系．一、选择题1．有以下说法：①商店里某段时间内某种商品的标价是常量②马路上飞驰的汽车行驶的路程是变量③一天内的气温是常量④公历非闰年一年的天数是常量⑤2010年世博会期间每天游客的数量是常量其中正确的个数是(C)A．1B．2C．3D．4解析：①②④是正确的,一天内的气温是变化的,2010年世博会期间每天游客的数量也是变化的,都是变量,故③⑤不正确．2．下列两个变量之间的关系不是函数关系的是(D)A．实数和它的平方B．正方形的边长和面积C．正n边形的边数和各内角角度之和D．人的年龄和体重解析：在一定年龄段,人的体重随年龄的增加而增加,是有一定的依赖关系,但不是函数关系．3．张大明种植了10亩小麦,每亩施肥x千克,小麦总产量y千克,则(A)A．x,y之间有依赖关系B．x,y之间有函数关系C．y是x的函数D．x是y的函数解析：虽然小麦总产量y与每亩施肥量x之间存在依赖关系,但小麦总产量y还受气候、管理等其他因素的影响,所以x,y之间无函数关系．二、填空题4．有下列关系：①人的年龄与他(她)拥有的财富之间的关系；②立方体的棱长与它的体积之间的关系；③苹果的产量与气温之间的关系；④森林中的同一种树木,其断面直径与高度之间的关系；⑤学生与他(她)的学号之间的关系．其中有函数关系的是(填代号)②⑤.解析：①③④中的两个变量之间有一定的依赖关系,但不是确定性关系,所以不是函数关系．②⑤中两个变量之间的关系具备函数关系．5．一辆汽车由南京驶往相距300千米的上海,它的平均速度是100千米/时,则汽车距上海的路程s(千米)与行驶时间t(时)的关系是s＝300－100t,在这里,常量是300,－100,变量是s,t.解析：判断常量与变量的关键是看它是否发生了变化,在这里,常量是南京与上海的距离300千米和汽车行驶的平均速度100千米/时,变量是汽车在行驶过程中距上海的路程s和行驶时间t.三、解答题6．向平静的湖面投一块石子,便会形成以落水点为圆心的一系列同心圆．(1)在这个变化过程中,有哪些变量？(2)若圆的面积用S表示,半径用R表示,则S和R的关系是什么？它们是常量还是变量？(3)若圆的周长用C表示,半径用R表示,则C与R的关系式是什么？解：(1)形成的一系列同心圆的半径、周长、面积都是变量．(2)圆的面积S与半径R存在着依赖关系,对于半径R的每一个取值,都有唯一的面积S与之对应,所以圆的面积S是半径R的函数,其函数关系式是S＝πR2.圆的面积S、半径R都是变量．(3)C＝2πR.。

第二章函数§1生活中的变量关系知识点函数关系与依赖关系1.☉%@62@8*4@%☉(2020·山西省实验中学高一月考)谚语“瑞雪兆丰年”说明()。

A.来年的丰收与下雪具有依赖关系B.来年的丰收与下雪具有函数关系C.下雪是丰收的函数D.丰收是下雪的函数答案：A解析：积雪层对越冬作物具有防冻保暖的作用,大雪既可防止土壤中的热量向外散发,又可阻止外界冷空气的侵入,具有增肥田地的作用,因此来年的丰收与下雪具有依赖关系,但不是函数关系。

故选A。

2.☉%080#￥9@#%☉(2020·陕西西安中学二月月考)下列变量之间是依赖关系而不是函数关系的是()。

A.儿童的年龄与智力B.某匀速行驶的轿车的行驶距离与行驶速度C.正方体的体积与棱长D.邮局邮寄包裹的质量与邮费答案：A解析：儿童的年龄与智力有依赖关系但没有函数关系。

故选A。

3.☉%@4￥1*2*2%☉(2020·湖南师大附中高三月考)下列两个变量之间的关系,不是函数关系的是()。

A.多边形的边数和它的内角和B.正方形的边长和面积C.球的体积和半径D.人的体重和身高答案：D解析：人的体重和身高的关系不是确定的,因此不是函数关系。

故选D。

4.☉%4666**#@%☉(2020·陕西咸阳高一期末)下列变量之间的关系是函数关系的是()。

A.水稻的亩产量与施肥量B.某人的体重与饮食状况C.匀速行驶的火车行驶的路程与时间D.蔬菜的价格与供应量答案：C解析：火车匀速行驶,故s=υ·t。

故选C。

5.☉%@#85@0@6%☉(2020·广东广州二中高一月考)某项运动的运动速度曲线如图2-1-1。

从以下运动中选出一种,其速度变化最符合图中的曲线的是()。

图2-1-1A.钓鱼B.掷标枪C.100m短跑D.10000m长跑答案：C解析： 100m短跑中,起跑后速度有较快的提高,随后进入途中跑阶段、冲刺阶段,速度仍有提高,但提高幅度明显下降,并一直持续到达到终点,随后速度则较快地降下来。

§1生活中的变量关系课后训练巩固提升1.下列变量间的关系是函数关系的是( ).A.匀速航行的轮船在2 h内航行的路程B.某地蔬菜的价格与蔬菜的供应量的关系C.正方形的周长C与其边长a之间的关系D.光照时间和苹果的产量是常量,B是依赖关系,C是函数关系,D是依赖关系.2.我们知道,溶液的酸碱度由pH确定,当pH>7时,溶液呈碱性;当pH<7时,溶液呈酸性.若将给定的HCl的溶液加水稀释,那么在下列图象中,能反映HCl溶液的pH与所加水的体积V的变化关系的图象是( ).,随着所加水的体积V的增大,HCl溶液的pH增大的速度先快后慢,但不会超过7.3.给出下列关系:①圆的半径与其周长之间的关系;②一个人的寿命与这个人做好事的次数之间的关系;③正整数和它的正约数的个数之间的关系.其中是函数关系的是.(填序号);②中的“寿命”与这个人做好事的“次数”之间没有因果关系,所以不是函数关系;③中正整数和它的正约数的个数之间不具有函数关系.4.下表给出的是y与x的关系,则y与x是关系.(填“函数”或“非函数”),y与x是一种确定的依赖关系,故为函数关系.5.咀嚼口香糖有很多益处,但其残留物也会带来污染.为了研究口香糖的黏附力与温度的关系,一位同学通过实验,测定了不同温度下除去糖分的口香糖与瓷砖地面的黏附力,得到了如下表所示的一组数据:(1)请根据上述数据,绘制出口香糖黏附力F随温度t变化的图象;(2)根据上述数据以及得到的图象,你能得到怎样的实验结论呢?口香糖黏附力F随温度t变化的图象,如图.(第5题答图)(2)实验结论:①随着温度的升高,口香糖的黏附力先增大后减小;②当温度在37℃时,口香糖的黏附力最大.1.张某种植了6 000 m2小麦,每100 m2施肥x kg,小麦总产量y kg,则( ).A.x,y之间有依赖关系B.x,y之间有函数关系C.y是x的函数D.2施肥量x之间存在依赖关系,但小麦总产量y还受气候、管理等其他因素的影响,所以x,y之间无函数关系.2.星期天,小明从家出发,出去散步,图中描述了他散步过程中离家的距离s(单位:m)与散步所用的时间t(单位:min)之间的函数关系,根据图象,下面的描述符合小明散步情况的是( ).A.从家出发,到一个公共阅报栏,看了一会儿报,就回家了B.从家出发,到一个公共阅报栏,看了一会儿报后,继续向前走了一段,然后回家了C.从家出发,散了一会儿步(没有停留),然后回家了D.从家出发,散了一会儿步,就找同学去了,18 min后才回家300m,然后经过一段时间离家距离达到最大的500m,与小明从家出发后,到一个公共阅报栏,看了一会儿报后,继续向前走了一段,然后回家了的情况相符.3.(多选题)如图是一份统计图,根据此图得到的以下说法,正确的有( ).A.这几年人民生活水平逐年提高B.人民生活消费增长最快的一年是C.生活价格指数上涨速度最快的一年是D.虽然生活消费增长是缓慢的,但由于生活价格指数有较大降低,因而人民生活有较大的改善逐年增大的,故A正确;“生活消费指数”在~最陡,故B正确;“生活价格指数”在~最平缓,故C不正确;D显然正确.4.心理学家发现,学生对概念的接受能力y与提出概念所用的时间x(单位:min)之间有如下关系.(其中0≤x≤20)提出概念所用的时 2 5 7 10 12 13 14 17 20(1)上表中反映了哪两个变量之间的关系?哪个是自变量?哪个是因变量?(2)当提出概念所用的时间是10 min时,学生的接受能力是多少?(3)根据表格中的数据,你认为提出概念多长时间,学生的接受能力最强?(4)由表格可知,当时间x在什么范围内时,学生的接受能力逐步增强?当时间x在什么范围内时,学生的接受能力逐步降低?题表中反映了提出概念所用的时间x和对概念的接受能力y两个变量之间的关系;其中提出概念所用时间x是自变量,对概念的接受能力y 是因变量.(2)由题中表格可知,当提出概念所用的时间为10min时,学生对概念的接受能力是59.(3)由题表知,提出概念所用的时间为13min时,学生的接受能力最强.(4)当时间in的范围内时,学生的接受能力逐步增强;当in的范围内时,学生的接受能力逐步降低.。

一、单选题1. 下列各图中,可表示函数的图象是().A．B．C．D．2. 设函数，则当时，的值应是（）A．B．C．、中较小者D．、中较大者3. 一辆汽车在公路上正常行驶，其中有这样一些量：①行驶的速度；②汽车的重量；③车上乘坐的人数；④行驶的时间. 其中有函数的对应关系的两个量是A．与B．与C．与D．与4. 已知定义在上的函数满足，则（）A．B．C．D．5. 以下形式中，不能表示“是的函数”的是（）A．B．C．D．6. 有一个盛水的容器，由悬在它的上空的一条水管均匀地注水，最后把容器注满，在注水过程中时刻t与水面高度y关系图像如图，图中为一线段，与之对应的容器形状是如下四个图中的（）A．B．D．C．二、多选题7. 将水注入不同形状的玻璃容器中，从空瓶到注满为止，如图所示（设单位时间内进水量相同），在每个容器下方给出的图像中，能正确反映该容器中水面的高度随时间变化规律的是（）.A．B．C．D．8. 一辆赛车在一个周长为的封闭跑道上行驶，跑道由几段直道和弯道组成，图1反应了赛车在“计时赛”整个第二圈的行驶速度与行驶路程之间的关系．根据图1，以下四个说法中正确的是（）A．在这第二圈的到之间，赛车速度逐渐增加B．在整个跑道，最长的直线路程不超过C．大约在这第二圈的到之间，赛车开始了那段最长直线路程的行驶D．在图2的四条曲线（注：为初始记录数据位置）中，曲线最能符合赛车的运动轨迹三、填空题9. 已知两个实数，满足，则的最大值为__________ .10. 已知分段函数，当时，函数值__________；11. 在一次实验中，马达同学把一根弹簧的上端固定、在其下端悬挂物体，下面是测得的弹簧的长度y与所挂物体质量x的一组对应值．所挂物体质量x/kg 0 1 2 3 4 5弹簧长度y/cm 18 20 22 24 26 28（1）上表反映了哪两个变量之间的关系，_____是自变量，_____是因变量．（2）当所挂物体重量为3千克时，弹簧长_____；不挂重物时弹簧长_____．（3）弹簧长度y与所挂物体质量x之间的关系可以用式子表示为：_____．12. 若函数是增函数，则实数a的取值范围是____________.四、解答题13. 圆柱的底面半径是2cm，当圆柱的高h（cm）由大到小变化时，圆柱的体积V （cm3）随之发生变化．（1）在这个变化过程中，自变量和因变量各是什么？（2）在这个变化过程中，写出圆柱的体积V与高h之间的关系式．14. 已知函数.（1）求函数的定义域和值域；（2）分别求，，15. （1）已知函数的定义域为，求的定义域；（2）若函数的定义域为，求函数的定义域；（3）已知函数的定义域为，求的定义域．16. 小芳以200米/分的速度起跑后，先匀加速跑5分钟，每分提高速度15米/分，又匀速跑10分钟．试写出这段时间里她跑步速度y（米/分）随跑步时间x（分）变化的函数关系式，并画出图象．。