高三黄浦区一模试卷数学
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一、选择题（每题5分，共50分）
1. 已知函数$f(x) = 2^x - 3$，则函数的值域为：
A. $(-\infty, 0)$
B. $(-\infty, -3]$
C. $(-3, +\infty)$
D. $[0, +\infty)$
2. 在三角形ABC中，角A、B、C的对边分别为a、b、c，若$\sin A + \sin B +
\sin C = 2$，则三角形ABC的形状为：
A. 直角三角形
B. 锐角三角形
C. 钝角三角形
D. 等腰三角形
3. 下列命题中正确的是：
A. 若$a > b$，则$a^2 > b^2$
B. 若$a > b$，则$\sqrt{a} > \sqrt{b}$
C. 若$a > b$，则$\log_a b < 1$
D. 若$a > b$，则$a^3 > b^3$
4. 已知数列$\{a_n\}$的通项公式为$a_n = 2n - 1$，则数列的前10项和为：
A. 90
B. 100
C. 110
D. 120
5. 已知向量$\vec{a} = (1, 2)$，$\vec{b} = (2, 3)$，则向量$\vec{a}$与$\vec{b}$的夹角余弦值为： A. $\frac{1}{\sqrt{5}}$
B. $\frac{2}{\sqrt{5}}$
C. $\frac{3}{\sqrt{5}}$
D. $\frac{4}{\sqrt{5}}$
6. 函数$f(x) = x^3 - 3x + 2$在区间$(-\infty, +\infty)$上的极值点为：
A. $x = -1, 1$
B. $x = -1, 2$
C. $x = 1, 2$
D. $x = -2, 1$
7. 已知等差数列$\{a_n\}$的首项为2，公差为3，则第10项与第15项的和为：
A. 80
B. 85
C. 90
D. 95
8. 若$|x - 1| + |x - 2| = 3$，则实数x的取值范围为：
A. $x \leq 1$ 或 $x \geq 2$
B. $1 \leq x \leq 2$
C. $x \geq 1$ 或 $x \leq 2$
D. $x > 1$ 或 $x < 2$
9. 已知函数$f(x) = \frac{x^2 - 4}{x - 2}$，则函数的定义域为：
A. $x \neq 2$
B. $x \neq 0$
C. $x \neq -2$ D. $x \neq 4$
10. 在平面直角坐标系中，点P的坐标为$(2, 3)$，点Q在直线$y = 2x + 1$上，且$PQ^2 = 10$，则点Q的坐标为：
A. $(1, 3)$
B. $(3, 5)$
C. $(1, 5)$
D. $(3, 3)$
二、填空题（每题5分，共25分）
11. 函数$f(x) = \frac{1}{x^2 + 1}$的对称轴方程为__________。
12. 已知等差数列$\{a_n\}$的首项为3，公差为2，则第n项的表达式为__________。
13. 若等比数列$\{a_n\}$的公比为$q$，且$a_1 = 2$，$a_4 = 16$，则$q =
$__________。
14. 在三角形ABC中，若$\sin A : \sin B : \sin C = 1 : 2 : 3$，则角C的大小为__________。
15. 已知向量$\vec{a} = (2, -3)$，$\vec{b} = (4, 6)$，则向量$\vec{a}$与$\vec{b}$的模长分别为__________。
三、解答题（每题15分，共45分）
16. 解下列不等式组：
\[
\begin{cases}
2x - 3y \leq 6 \\
x + 4y \geq 4 \\
x, y \in \mathbb{R}
\end{cases} \]
17. 已知函数$f(x) = x^3 - 6x^2 + 9x + 1$，求：
（1）函数的极值点；
（2）函数的增减区间。
18. 在三角形ABC中，已知角A、B、C的对边分别为a、b、c，且$a^2 + b^2 =
2c^2$，求$\cos A + \cos B + \cos C$的值。
