一元一次方程教案

第三章一元一次方程§3.1 一元一次方程第一课时从算式到方程知识点一：方程的概念定义：含有未知数的等式叫做方程。

方程必须具备两个条件：⑴是等式。

⑵含有未知数。

说明：方程是等式，但等式不一定是方程，区别是：是否含有未知数。

【例1】1、3x-1是方程吗？ a+b=b+a是方程吗？a-3=-2是方程吗？为什么？知识点二：方程的解与解方程方程的解：使方程等号左右两边相等的未知数的值，叫做方程的解。

解方程：求方程解的过程叫做解方程。

说明：判断一个数是否是方程的解，把这个数代入方程的两边，若方程的两边相等，则该数是方程的解；反之，则不是方程的解。

知识点三：一元一次方程的概念一元一次方程：只含有一个未知数，未知数的指数是1，这样的方程叫做一元一次方程。

列一元一次方程解决实际问题：分析实际问题中的数量关系，利用其中的相等关系列出方程，是用数学解决实际问题的一种方法。

【例2】列方程：1、把一些苹果分给几个小朋友，如果每人分5个，那么还剩2个苹果；如果每人分6个，那么还缺3个苹果。

一共有几个小朋友？2、把1400元奖学金按照两种奖项奖给22名学生。

其中一等奖每人200元，二等奖每人50元。

获一等奖的学生有多少人？§3.1 一元一次方程第二课时 等式的性质知识点一：等式的性质等式的性质1：等式两边加（或减）同一个数（或式子），结果仍相等。

即：如果a=b,那么a ±c=b ±c等式的性质2：等式两边乘同一个数，或除以同一个不为0的数，结果仍相等。

即：如果a=b,那么ac=bc ；如果a=b,那么c a =c b （c ≠0） 【例1】利用等式的性质求x 。

2x －8=3 31x ＋5=8 【例2】已知方程（a －4）x |a|-3＋2=0是一元一次方程，求a 的值，并求出方程的解。

【例3】某地电话拨号入网有两种收费方式，用户可以任选其一。

①计时制：0.05元/分；②包月制：50元/月此外，每一种上网方式都得加收通信费0.02元/分，用户每月上网多少小时，这两种收费方式收费一样？§3.2 解一元一次方程（一）合并同类项与移项知识点一：列方程解决实际问题的基本题型题型一：总量 = 各部分量的和题型二：表示同一个量的两个不同的式子相等。

说明：1、解决这类问题一般是先设其中一部分量为x ，再用x 表示出其它各部分量，然后根据相等关系列出方程，常见题型有数字问题，比例问题，长方形周长问题。

2、在实际问题中，同一量可以用不同形式表示，因而可以用两个不同形式来表示同一个量（至多有一个未知量x ），由这两个式子相等可列出方程。

知识点二：移项把等式一边的某项变号后移到另一边，叫做移项。

移项是解一元一次方程的重要一步。

【例1】解方程 3x －2=5x －6 4x ＋5=3x ＋3－2x【例2】把一些图书分给某班学生阅读，如果每人分3本，则剩余20本；如果每人分4本，则还缺25本，这个班有多少学生？【例3】一次知识竞赛共有30道题，规定答对一道题得4分，答错或不答每道题得-1分，在这次竞赛中，小明得了90分，则小明答对了多少道题？ 综合应用：【例4】如果x=-3是关于x 的方程mx －3=8x ＋6的解，求m 的值。

【例5】已知关于x 的方程4x －1=3x －2a 和3x －1=6x －2a 的解相同，求：1、a 的值.2、代数式(a ＋2)2004·(2a －57)2005的值。

【例6】解方程 |2x －3|=5探索创新：【例7】如右图所示1、填写下表中的表格2、按上面的方法继续分下去，第n 个图形有多少个正方形，有多少个三角形？2、当三角形个数为100时，是第几个图形？§3.3 解一元一次方程（二）去括号与去分母知识点一：去括号法则括号外的因数是正数，去括号后各项的符号与原括号内相应各项的符号相同；括号外的因数是负数，去括号后各项的符号与原括号内相应各项的符号相反。

上述结论的依据是乘法分配律和有理数的乘法法则。

【例1】 去括号，并合并同类项⑴ 2(5x －10)－3(2x ＋5) ⑵ x －(2x ＋3)＋(4x －3)⑶ 31(4y ＋5)－21(3y －2) ⑷ 2(m －4n)－(4m －n) 知识点二：去分母的方法方程各项都乘以所有分母的最小公倍数，依据是等式的性质2.说明：若分子是一个式子，去分母后要把分子作为一个整体括起来，去分母时不要漏掉不含分母的项。

【例2】 31451-=+y y 32221+-=--x x x 知识点三：解一元一次方程的步骤去分母，去括号，移项，合并同类项，系数化为1.这些步骤不固定，有时可以省略某个步骤，有时先去括号或者先合并同类项再去分母，这要根据一元一次方程的特点灵活运用。

说明：有些方程只需要上面程序中的几个步骤。

【例3】 13.03.02.05.09.04.0++=+x x 综合应用：1、当m 为何值时，代数式532-m 和332-m 的值相等。

2、化循环小数0.2·3·为分数。

3、一个两位数，十位上的数字比个位上的数字小4，如果把十位与个位上的数对调，那么，所得的两位数比原两位数的2倍少12，求原两位数。

4、讨论关于x 的方程ax=b 的解的情况。

5、解方程 342||3-=-x x §3.4 实际问题与一元一次方程知识点一：如何找等量关系1、牢记计算公式，善于根据公式来找等量关系。

（几何应用题）2、熟记数量关系，善于根据数量关系找等量关系。

（工程问题、路程问题、价格问题）3、抓住关键字词，善于根据字词的提示找等量关系。

（相当于、比、是等）4、要善于分析问题中的不变量，并利用不变量列出方程。

5、要善于利用总量等于各个分量之和列方程。

6、要善于用不同的方式表示同一个量，由此得到等量关系，从而列出方程。

知识点二：列方程解应用题的一般步骤1、审：主要是仔细阅题，弄清题意。

在此步骤中，要在草稿纸上把帮助理解题意的相关图形画出来，认真分析，出题意中的已知数量和未知数量。

此步骤在解决问题中是比较重要的，但常常被忽略。

2、设：设立未知数。

在此步骤中，要根据列代数式的方法把各个数量用代数式表示出来。

3、列：根据相等关系列出方程。

在此步骤中，找出各代数式所包含的数量关系，列出一个能表达全部题意的含有未知数的相等关系，即得所列方程。

4、解：根据解相应方程的方法求出方程的解。

5、答：检验所求的解，写出答案。

检验分两个方面：第一是检验所求得的解是不是原方程的解，第二是检验该解是否符合题意。

□注“设”与“答”必须写清单位名称。

知识点三：正确设元1、直接设元法：即在题目里求什么，就设什么做未知数。

这样设元后，只要能求出所列方程的解，就可以直接示得题目所求。

在多数情况下，都可以用直接设元法来解元。

2、间接设元法：有些问题中，若采用直接设元法，则不易列出方程。

这里可考虑采取间接设元法，即通过间接的桥梁作用，来达到求解的目的。

间接设元法可使问题得到简化。

例如，按比例分配问题、和、差、倍、分问题，整数的组成问题等均可用间接设元法来解元。

说明：有些问题既可以采用间接设元法，又可采用直接设元法，从而形成一个问题的多种解法。

【例1】学校组织同学旅游，旅游车出发后刘洁同学因故迟到，他拦截了一辆“的士”追赶，“的士”司机告诉刘洁，若每小时走80公里，则需要1个半小时才能追上，若每小时走90公里，则需要40分钟就可追上，问“的士”司机估计旅游车的时速是多少？【例2】一个三位数，十位上的数字是0，其余两位上的数字的和为12，如果个位数字减2，百位数字加1，所得到的三位数比原来三位数的百位数字与个位数字对调所得的三位数还小100，求原来三位数。

【例3】某果品公司急需将一批不易存放的水果从A市运到B市销售，现有三家运输公司可供选择，信息如下：回答下列问题1、若乙丙两家公司的包装与装卸及运输费用的总和恰好是甲公司的2倍，求A、B两市的距离。

2、在1的条件下，若这批水果在包装与装卸以及运输的过程中的损耗为300元/时，那么要使果品公司支付的总费用（包装与装卸费用、运输费用、损耗三项之和）最少，应选择哪家运输公司？§3.5 章末总结知识点一：知识网络图示知识点二：解一元一次方程的注意事项1、分母是小数时，把分母化为整数，根据的是分数的基本性质，不要与去分母混淆。

2、去分母时，方程两边各项都乘以各分母的最小公倍数，此时不含分母的项切勿漏乘，分数线相当于括号，去分母后分子各项应加括号。

3、去括号时，不要漏乘括号内的项，要依据法则，不要弄错符号。

4、移项时，切记要变号，不要丢项。

合并同类项和移项要灵活运用，有时可先合并再移项。

5、系数化为1时不要弄错符号，分子分母不要颠倒。

6、解方程的各步骤要灵活运用，以便找到最简便的解法。

知识点三：专题总结及应用一、用一元一次方程的定义解有关问题【例1】已知a x －3=2x －5不是关于x 的一元一次方程，求a 的值。

二、用一元一次方程的解的定义解有关问题【例2】已知x=21是方程6(2x ＋m)=3m ＋2的解，求关于y 的方程m y ＋2=m(1－2y)的解。

三、解含有绝对值的方程在方程中，含有未知数的项带有绝对值，这样的方程不是一元一次方程，但是根据绝对值的意义，去掉绝对值后，这个方程就转化为一元一次方程；也可以利用数轴解含有绝对值的方程。

【例3】利用数轴解含有绝对值的方程：|x －2|=3 |x ＋1|+|x －1|=6四、列一元一次方程解应用题主要题型：和差倍分问题：有比较明显的等量关系。

等积变形问题：以变形前和变形后体积相等为等量关系。

数字问题：利用各数字的十进制关系，正确设元。

调配问题：找准题中的等量关系，准确列出各情况的代数式。

工作量问题：利用工作总量=工效×工作时间列出方程。

行程问题：利用路程=速度×时间列出方程。

利息问题：利用税后利息=本金×利率×时间×（1-利息税）列出方程。

五、一元一次方程解的三种情况【例5】已知关于x 的方程a x ＋2x －1=a 无解，试求a 的值。

【例6】已知关于x 的方程a x －3x=2b ＋4有无数多个解，求（a+b ）2003的值。