[推荐学习]高考数学一轮总复习第2章函数的概念与基本初等函数第五节对数与对数函数模拟创新题文1

【大高考】2017版高考数学一轮总复习 第2章 函数的概念与基本初等函数 第五节 对数与对数函数模拟创新题 文 新人教A 版
一、选择题
1.(2016·安徽安庆第二次模拟)已知函数y ＝f (x )是定义在R 上的偶函数，当x ∈ (－∞，0]时，f (x )为减函数，若a ＝f (20.3
)，b ＝f (log 124)，c ＝f (log 25)，则a ，b ，c 的
大小关系是( ) A.a >b >c B.c >b >a C.c >a >b
D.a >c >b
解析 由已知，f (x )在[0，＋∞)上为增函数，b ＝f (－2)＝f (2)，而1<20.3
<2<log 25，故
c >b >a .
答案 B
2.(2015·江西省质检三)若a ＝ln 33，b ＝ln 44，c ＝ln 5
5，则( )
A.a ＜b ＜c
B.c ＜b ＜a
C.c ＜a ＜b
D.b ＜a ＜c
解析 易知a ，b ，c 都是正数，b a ＝3ln 44ln 3＝log 8164＜1，所以b ＜a ；b c ＝5ln 44ln 5＝
ln 1 024
ln 625
＞1.所以b ＞c ，即c ＜b ＜a ，故选B. 答案 B
3.(2015·湖南岳阳质检)设函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪
⎧log 2x ，x ＞0，log 12（－x ），x ＜0.若f (a )＞f (－a )，则实数a
的取值范围是( ) A.(－1，0)∪(0，1) B.(－∞，－1)∪(1，＋∞) C.(－1，0)∪(1，＋∞)
D.(－∞，－1)∪(0，1)
解析 由题意可得⎩
⎪⎨⎪⎧a ＞0，
log 2a ＞－log 2a 或⎩
⎪⎨⎪⎧a ＜0，
log 12
（－a ）＞log 2（－a ）， 解得a ＞1或－1＜a ＜0，因此选C. 答案 C
4.(2014·辽宁五校联考)函数f (x )＝ln(4＋3x －x 2
)的单调递减区间是( )
A.⎝
⎛⎦⎥⎤－∞，32 B.⎣⎢⎡⎭⎪⎫32，＋∞
C.⎝
⎛⎦⎥⎤－1，32 D.⎣⎢⎡⎭
⎪⎫32，4 解析 4＋3x －x 2
＞0，得x ∈(－1，4)，令t ＝4＋3x －x 2
，y ＝ln t 在定义域上为增函数，
t ＝4＋3x －x 2在⎝
⎛⎦
⎥⎤
－1，32上为增函数，在⎣
⎢⎡⎭
⎪⎫32
，4为减函数，由复合函数的单调性可知f (x )
的单调减区间为⎣⎢⎡⎭
⎪⎫32，4. 答案 D 二、填空题
5.(2016·云南统一检测)已知函数f (x )＝⎩
⎪⎨⎪⎧2e x
－3，x <3，
log 3（x 2
－6），x ≥3，则f (f (3))＝________. 解析 由题意得，f (3)＝log 3(9－6)＝1，所以f (f (3))＝f (1)＝2e －3. 答案 2e －3
6.(2016·河南八市重点高中第二次质量检测)已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧log 12x ，x >0，
－x 2－2x ，x ≤0，则不等
式f (x )≤0的解集为________.
解析 当x >0时，由log 12x ≤0得x ≥1；当x ≤0时，由－x 2
－2x ≤0得x ≤－2或x ＝0.
所以不等式的解集为{x |x ≤－2或x ≥1或x ＝0}. 答案 {x |x ≤－2或x ≥1或x ＝0}
创新导向题
对数函数的单调性及比较大小问题
7.若x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫1e ，1，设a ＝ln x ，b ＝2ln 1x ，c ＝e ln x
，则a ，b ，c 的大小关系为( )
A.c >b >a
B.b >a >c
C.a >b >c
D.b >c >a
解析 依题意，得－1＝ln 1e <ln x <ln 1＝0，即－1<a <0，1<b ＝2－ln x <2，1
e <c ＝e ln x ＝x <1，
因此有b >c >a ，故选D. 答案 D
专项提升测试
模拟精选题
一、选择题
8.(2016·河北唐山统考)对于函数f (x )＝lg x 定义域中任意x 1，x 2(x 1≠x 2)有如下结论：①f (x 1＋x 2)＝f (x 1)＋f (x 2)；②f (x 1·x 2)＝f (x 1)＋f (x 2)；③f （x 1）－f （x 2）
x 1－x 2
＞0；
④f ⎝
⎛⎭
⎪⎫x 1＋x 22＜f （x 1）＋f （x 2）2.上述结论中正确结论的序号是( )
A.②
B.②③
C.②③④
D.①②③④
解析 由运算律得f (x 1)＋f (x 2)＝lg x 1＋lg x 2＝lg(x 1x 2)＝f (x 1x 2)，所以①错误，②正确；因为f (x )是定义域内的增函数，所以③正确；
f ⎝
⎛⎭
⎪⎫x 1＋x 22＝lg x 1＋x 22，f （x 1）＋f （x 2）2＝lg x 1＋lg x 22＝lg x 1x 2，∵x 2＋x 22≥x 1x 2，且x 1
≠x 2，∴lg x 1＋x 2
2
＞lg x 1x 2，所以④错误.故选B.
答案 B
9.(2015·湖南张家界一模)若log m n ＝－1，则m ＋3n 的最小值是( ) A.2 2 B.2 3 C.2
D.5
2
解析 由log m n ＝－1，得m －1
＝n ，则mn ＝1.由于m ＞0，n ＞0， ∴m ＋3n ≥23mn ＝2 3.故选B. 答案 B 二、填空题
10.(2015·四川广安诊断)已知函数f (x )＝ln x
1－x ，若f (a )＋f (b )＝0，且0＜a ＜b ＜1，
则ab 的取值范围是________.
解析 由题意可知ln a 1－a ＋ln b
1－b ＝0，
即ln ⎝
⎛⎭
⎪⎫a 1－a ×b 1－b ＝0，从而a 1－a ×b 1－b ＝1， 化简得a ＋b ＝1，故ab ＝a (1－a )＝－a 2
＋a ＝－⎝ ⎛⎭⎪⎫a －122
＋1
4
，又0＜a ＜b ＜1，
∴0＜a ＜12，故0＜－⎝ ⎛⎭⎪⎫a －122＋14＜14.
答案 ⎝
⎛⎭
⎪⎫0，14
三、解答题
11.(2014·河北石家庄模拟)已知函数f (x )＝3－2log 2x ，g (x )＝log 2x . (1)当x ∈[1，4]时，求函数h (x )＝[f (x )＋1]·g (x )的值域；
(2)如果对任意的x ∈[1，4]，不等式f (x 2
)·f (x )＞k ·g (x )恒成立，求实数k 的取值范围.
解 (1)h (x )＝(4－2log 2x )·log 2x ＝－2(log 2x －1)2
＋2，因为x ∈[1，4]， 所以log 2x ∈[0，2]，故函数h (x )的值域为[0，2]. (2)由f (x 2
)·f (x )＞k ·g (x )，得 (3－4log 2x )(3－log 2x )＞k ·log 2x ，
令t ＝log 2x ，因为x ∈[1，4]，所以t ＝log 2x ∈[0，2]， 所以(3－4t )(3－t )＞k ·t 对一切t ∈[0，2]恒成立， ①当t ＝0时，k ∈R ；
②当t ∈(0，2]时，k ＜（3－4t ）（3－t ）t 恒成立，即k ＜4t ＋9
t
－15，
因为4t ＋9t ≥12，当且仅当4t ＝9t ，即t ＝3
2时取等号，
所以4t ＋9
t
－15的最小值为－3，综上，k ∈(－∞，－3).
创新导向题
对数函数图象与零点问题
12.已知函数f (x )＝⎩
⎪⎨⎪⎧log 2x ，x >0，
3x ，x ≤0，且函数h (x )＝f (x )＋x －a 有且只有一个零点，则实数a
的取值范围是( ) A.[1，＋∞) B.(1，＋∞) C.(－∞，1)
D.(－∞，1]
解析 在同一坐标系中分别作出y ＝f (x )与y ＝－x ＋a 的图象，其
中a 表示直线在y 轴上的截距；由图可知，当a >1时，直线y ＝－
x ＋a 与y ＝f (x )只有一个交点，故选B.
答案 B。