矩阵的QR分解

《矩阵分析与应用》专题报告QR分解及应用——学生姓名：卢楠、胡河群、朱浩日月年20151125目录1 引言 (3)2 QR分解 (4)2.1QR分解的性质 (4)2.2 QR分解算法 (5)2.2.1 采用修正Gram-Schmidt法的QR分解 (5)2.2.2 Householder QR分解 (6)2.2.3 采用Givens旋转的QR分解 (8)3 QR分解在参数估计中的应用 (9)QR分解的参数估计问题 ................................ 93．1 基于Householder变换的快速时变参数估计 .................... 3. 2基于12Givens旋转的时变参数估计 ............................. 3. 3基于144 QR分解在通信系统中的应用 (16)4.1 基于QR分解的稳健干扰对齐算法 (16)MIMO QR置信传播检测器........................ 14.2基于分解的9总结 (21)参考文献 (22)1 引言矩阵分解是指将一个矩阵表示为结构简单或具有特殊性质的若干矩阵之积或之和，大体上可以分为满秩分解、QR分解和奇异值分解。

矩阵分解在矩阵分析中占有很重要的地位，常用来解决各种复杂的问题。

而QR分解是工程中应用最为广泛的一类矩阵分解。

QR分解是目前求一般矩阵全部特征值的最有效并广泛应用的方法，一般矩阵先经过正交相似变换成为Hessenberg矩阵，然后再应用QR分解求特征值和特征向量。

它是将矩阵分解成一个正交矩阵Q与上三角矩阵R，所以称为QR分解。

参数估计是在已知系统模型结构时，用系统的输入与输出数据计算系统模型参数的过程。

它在系统辨识和无线通信领域有着广泛的应用。

18世纪末德国数学家C.F.高斯首先提出参数估计的方法，他用最小二乘法计算天体运行的轨道。

20世纪60年代，随着电子计算机的普及，参数估计有了迅猛的发展。

2
，且 αxHz 为实数.
α 满足两个特征
证明： 当 x=0时，任取单位向量u，则
H ( E 2uu H )0 0 0 z Hx
当 x= αz ≠ 0 时，取单位向量u满足 uHx=0，则有
Hx ( E 2uu H ) x x 2u(u H x ) x = z
5 2 , s1 计算T13. 取 c1 ，则 3 3
5 3 T13 0 2 3
T T T x x e 3(1, 0, 0) 使得 13 12 . 2 1
0 1 0
2 3 0
5 3
□
6.2.3 矩阵的QR分解
定义：设 A Cnn . 如果存在n阶酉矩阵Q和n阶上三角 矩阵R，使得
1 1 c s p行 1 Tpq 1 s c q行 1 1
p 列
q 列
T n x ( , , , ) C 定理：对任意 定理 对任意 ， 1 1 n
解(1)：取 x
2
(2). x (2i, i, 2)T .
3 ，计算
2 1 x e1 1 1 u 2 1 x e1 2 12 3 2 1 1 2 2 1 H 于是 H E 2uu 2 1 2 , 使得 Hx=3e1. 3 2 2 1
( x z) ( x z) x x x z z x z z
H H H H H
2
x x ( x z ) z x x
H H H H
2 2
2
实数的共轭转置为本身

《矩阵分析与应用》专题报告――QR分解及应用学生姓名：卢楠、胡河群、朱浩2015年11月25日目录1 引言 (3)2 QR 分解 (4)2.1QR分解的性质 (4)2.2 QR分解算法 (5)2.2.1 采用修正Gram-Schmidt法的QR分解 (5)2.2.2 Householder QR 分解 (6)2.2.3 采用Give ns旋转的QR分解 (8)3 QR分解在参数估计中的应用 (9)3．1 基于QR 分解的参数估计问题 (9)3. 2 基于Householder 变换的快速时变参数估计 (12)3. 3基于Give ns旋转的时变参数估计 (14)4 QR分解在通信系统中的应用 (16)4.1基于QR分解的稳健干扰对齐算法 (16)4.2基于QR分解的MIMO置信传播检测器 (19)总结 (21)参考文献 (22)1 引言矩阵分解是指将一个矩阵表示为结构简单或具有特殊性质的若干矩阵之积或之和，大体上可以分为满秩分解、QR 分解和奇异值分解。

矩阵分解在矩阵分析中占有很重要的地位，常用来解决各种复杂的问题。

而QR分解是工程中应用最为广泛的一类矩阵分解。

QF分解是目前求一般矩阵全部特征值的最有效并广泛应用的方法，一般矩阵先经过正交相似变换成为Hessenberg 矩阵，然后再应用QF分解求特征值和特征向量。

它是将矩阵分解成一个正交矩阵Q与上三角矩阵R, 所以称为QR分解。

参数估计是在已知系统模型结构时，用系统的输入与输出数据计算系统模型参数的过程。

它在系统辨识和无线通信领域有着广泛的应用。

18 世纪末德国数学家C.F. 高斯首先提出参数估计的方法，他用最小二乘法计算天体运行的轨道。

20 世纪60 年代，随着电子计算机的普及，参数估计有了迅猛的发展。

参数估计有很多方法，如矩估计、极大似然法、一致最小方差无偏估计、最小风险估计、同变估计、最小二乘法、贝叶斯估计、极小极大熵法等。

其中最基本的是最小二乘法和极大似然法。

qr分解原理QR分解原理。

QR分解是一种常用的矩阵分解方法，它可以将一个矩阵分解为一个正交矩阵和一个上三角矩阵的乘积。

在数值计算和线性代数中，QR分解有着广泛的应用，它不仅可以用于解线性方程组，还可以用于求特征值和特征向量、最小二乘拟合等问题。

本文将介绍QR分解的原理及其应用。

QR分解的原理。

假设我们有一个m×n的矩阵A，其中m≥n。

我们希望将矩阵A分解为一个正交矩阵Q和一个上三角矩阵R的乘积，即A=QR。

其中，Q是一个m×m的正交矩阵，满足Q^TQ=I，R是一个m×n的上三角矩阵。

为了得到这样的分解，我们可以使用Gram-Schmidt正交化方法。

该方法的基本思想是，通过一系列正交化的步骤，将矩阵A的列向量转化为一组正交向量。

具体来说，我们可以按照以下步骤进行QR分解：1. 对矩阵A的第一列向量进行正则化，得到正交矩阵Q的第一列向量q1。

2. 对矩阵A的第二列向量进行正交化，得到正交矩阵Q的第二列向量q2。

需要注意的是，在进行正交化时，需要将第二列向量投影到q1上并将其正交化。

3. 依此类推，对矩阵A的后续列向量进行正交化，得到正交矩阵Q的后续列向量。

4. 最终，得到正交矩阵Q和上三角矩阵R，使得A=QR。

QR分解的应用。

QR分解在数值计算和线性代数中有着广泛的应用。

其中，最为常见的应用包括解线性方程组和求特征值和特征向量。

在解线性方程组时，我们可以利用QR分解将系数矩阵A分解为QR，然后将原方程组Ax=b转化为QRx=b，再利用正交矩阵的性质求解新的方程组。

由于正交矩阵的逆等于其转置，因此可以大大简化方程组的求解过程。

在求特征值和特征向量时，我们可以利用QR分解将矩阵A分解为QR，然后利用上三角矩阵的性质求解特征值和特征向量。

由于上三角矩阵的特征值就是其对角线上的元素，因此可以直接读出特征值，再利用反向代入等方法求解特征向量。

除此之外，QR分解还可以用于最小二乘拟合、矩阵的奇异值分解等问题。