2014年秋季新版华东师大版九年级数学上学期23.4、中位线教案1
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24.4中位线
教学目标
１、经历三角形中位线的性质定理和梯形中位线的性质定理形成过程，掌握两个定理，并能利用它们解决简单的问题。
２、通过命题的教学了解常用的辅助线的作法,并能灵活运用它们解题。
３、进一步训练说理的能力。
４、通过学习，进一步培养自主探究和合作交流的学习习惯；进一步了解特殊与一般的辩证唯物主义观点；转化的思想。
教学重点
经历三角形中位线的性质定理和梯形中位线的性质定理形成过程，掌握两个定理，并能利用它们解决简单的问题。
教学难点
进一步训练说理的能力。
教学过程
一、三角形的中位线
（一）问题导入
在§24．3中，我们曾解决过如下的问题：
如图24．4．1，△ABC中，DE∥BC，则△ADE∽△ABC。
由此可以进一步推知，当点D是AB的中点时，点E也是AC的中点。
现在换一个角度考虑，
如果点D、E原来就是AB与AC的中点，那么是否可以推出DE∥BC呢？DE与BC之间存在什么样的数量关系呢？
（二）探究过程
1、猜想
从画出的图形看，可以猜想： DE ∥BC ，且DE ＝2
1BC ．
图24.4.2
2、证明：如图24．4．2，△ABC 中，点D 、E 分别是AB 与AC 的中点，
∴ 2
1==AC AE AB AD ． ∵ ∠A ＝∠A ，
∴ △ADE ∽△ABC （如果一个三角形的两条边与另一个三角形的两条边对应成比例，并且夹角相等，那么这两个三角形相似），
∴ ∠ADE ＝∠ABC ，2
1=BC DE （相似三角形的对应角相等，对应边成比例）， ∴ DE ∥BC 且BC DE 2
1= 思考：本题还有其它的解法吗？
已知： 如图所示，在△ABC 中，AD ＝DB ，AE ＝EC 。
求证： DE ∥BC ，DE ＝2
1BC 。
分析: 要证DE ∥BC ，DE ＝21BC ，可延长DE 到F ，使EF ＝DE ，
于是本题就转化为证明DF ＝BC ，DE ∥BC ，
故只要证明四边形BCFD 为平行四边形。
还可以作如下的辅助线作法。
3、概括 我们把连结三角形两边中点的线段叫做三角形的中位线，并且有
三角形的中位线平行于第三边并且等于第三边的一半。
介绍三角形的中位线时，强调指出它与三角形中线的区别。
（三）应用
例1 求证三角形的一条中位线与第三边上的中线互相平分。
图24.4.3
已知： 如图24．4．3所示，在△ABC 中，AD ＝DB ，BE ＝EC ，AF ＝FC 。
求证： AE 、DF 互相平分。
证明 连结DE 、EF ．因为AD ＝DB ，BE ＝EC
所以DE ∥AC （三角形的中位线平行于第三边并且等于第三边的一半）
同理E F ∥AB
所以四边形ADEF 是平行四边形
因此AE 、DF 互相平分（平行四边形的对角线互相平分）
例2 如图24．4．4，△ABC 中，D 、E 分别是边BC 、AB 的中点，AD 、CE 相交于G 。
求证： 3
1==AD GD CE GE
图24.4.4
证明 连结ED
∵ D 、E 分别是边BC 、AB 的中点
∴ DE ∥AC ，2
1=AC DE （三角形的中位线平行于第三边并且等于第三边的一半）
∴ △ACG ∽△DEG
∴
2
1===AC DE AG GD GC GE ∴ 31==AD GD CE GE
图24.4.5
小结：
如果在图24．4．4中，取AC 的中点F ，假设BF 与AD 交于G ′，如图24.4.5，那么我们同理有31='='BF F G AD D G ，所以有3
1='=AD D G AD GD ，即两图中的点G 与G ′是重合的。
于是，我们有以下结论：
三角形三条边上的中线交于一点，这个点就是三角形的重心，重心与一边中点的连线的长是对应中线长的3
1。
［同步训练］ 如图，在△ABC 中，AB ＝AC ，D 、E 、F 分别是AB 、BC 、CA 的中点．求证：四边形ADEF 是菱形。
二、梯形的中位线
由三角形的中位线的有关结论，我们还可以得到
梯形的中位线平行于两底边，并且等于两底和的一半．
已知： 如图24．4．6所示，在梯形ABCD 中，AD ∥BC ，AE ＝BE ，DF ＝CF ．
求证： EF ∥BC ，EF ＝2
1（AD ＋BC ）．
图24.4.6
分析 由于本题结论与三角形中位线的有关结论比较接近，可以连结AF ，并延长AF 交BC 的延长线于G ，证明的关键在于说明EF 为△ABG 的中位线。
于是本题就转化为证明AF ＝GF ，AD ＝CG ，故只要证明△ADF ≌△GCF ．
证明略
思考
图24.4.7
如图24．4．7，你可能记得梯形的面积公式为
h l l S )(2
121+=． 其中1l 、2l 分别为梯形的两底边的长，h 为梯形的高．现在有了梯形中位线，这一公式可以怎样简化呢？它的几何意义是什么？
三、 小结与作业
小结：谈一下你有哪些收获？。
