全国版高考数学必刷题：第十五单元 直线和圆的方程

高考数学直线与圆的方程复习题及参考答案：一、选择题(每小题只有一个选项是正确的，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

)1.(2009•重庆市高三联合诊断性考试)将直线l1：y=2x绕原点逆时针旋转60°得直线l2，则直线l2到直线l3：x+2y-3=0的角为 ( )A.30°B.60°C.120°D.150°答案：A解析：记直线l1的斜率为k1，直线l3的斜率为k3，注意到k1k3=-1，l1⊥l3，依题意画出示意图，结合图形分析可知，直线l2到直线l3的角是30°，选A.2.(2009•湖北荆州质检二)过点P(1,2)，且方向向量v=(-1,1)的直线的方程为( )A.x-y-3=0B.x+y+3=0C.x+y-3=0D.x-y+3=0答案：C解析：方向向量为v=(-1,1)，则直线的斜率为-1，直线方程为y-2=-(x-1)即x+y-3=0，故选C.3.(2009•东城3月)设A、B为x轴上两点，点P的横坐标为2，且|PA|=|PB|，若直线PA的方程x-y+1=0，则直线PB的方程为 ( )A.2x+y-7=0B.2x-y-1=0C.x-2y+4=0D.x+y-5=0答案：D解析：因kPA=1，则kPB=-1，又A(-1,0)，点P的横坐标为2，则B(5,0)，直线PB的方程为x+y-5=0，故选D.4.过两点(-1,1)和(0,3)的直线在x轴上的截距为 ( )A.-32B.32C.3D.-3答案：A解析：由两点式，得y-31-3=x-0-1-0，即2x-y+3=0，令y=0，得x=-32，即在x轴上的截距为-32.5.直线x+a2y+6=0和(a-2)x+3ay+2a=0无公共点，则a的值是 ( )A.3B.0C.-1D.0或-1答案：D解析：当a=0时，两直线方程分别为x+6=0和x=0，显然无公共点;当a≠0时，-1a2=-a-23a，∴a=-1或a=3.而当a=3时，两直线重合，∴a=0或-1.6.两直线2x-my+4=0和2mx+3y-6=0的交点在第二象限，则m的取值范围是( )A.-32≤m≤2B.-32C.-32≤m<2D.-32答案：B解析：由2x-my+4=0，2mx+3y-6=0，解得两直线的交点坐标为(3m-6m2+3，4m+6m2+3)，由交点在第二象限知横坐标为负、纵坐标为正，故3m-6m2+3<0且4m+6m2+3>0⇒-327.(2009•福建，9)在平面直角坐标系中，若不等式组x+y-1≥0，x-1≤0，ax-y+1≥0，(a为常数)所表示的平面区域的面积等于2，则a的值为 ( )A.-5B.1C.2D.3答案：D解析：不等式组x+y-1≥0，x-1≤0，ax-y+1≥0所围成的区域如图所示.∵其面积为2，∴|AC|=4，∴C的坐标为(1,4)，代入ax-y+1=0，得a=3.故选D.8.(2009•陕西，4)过原点且倾斜角为60°的直线被圆x2+y2-4y=0所截得的弦长为( )A.3B.2C.6D.23答案：D解析：∵直线的方程为y=3x，圆心为(0,2)，半径r=2.由点到直线的距离公式得弦心距等于1，从而所求弦长等于222-12=23.故选D.9.(2009•西城4月，6)与直线x-y-4=0和圆x2+y2+2x-2y=0都相切的半径最小的圆的方程是 ( )A.(x+1)2+(y+1)2=2B.(x+1)2+(y+1)2=4C.(x-1)2+(y+1)2=2D.(x-1)2+(y+1)=4答案：C解析：圆x2+y2+2x-2y=0的圆心为(-1,1)，半径为2，过圆心(-1,1)与直线x-y-4=0垂直的直线方程为x+y=0，所求的圆的圆心在此直线上，排除A、B，圆心(-1,1)到直线x-y-4=0的距离为62=32，则所求的圆的半径为2，故选C.10.(2009•安阳，6)已知直线x+y=a与圆x2+y2=4交于A、B两点，且|OA→+OB→|=|OA→-OB→|，其中O为原点，则实数a的值为 ( )A.2B.-2C.2或-2D.6或-6答案：C解析：由|OA→+OB→|=|OA→-OB→|得|OA→+OB→|2=|OA→-OB→|2，OA→•OB→=0，OA→⊥OB→，三角形AOB为等腰直角三角形，圆心到直线的距离为2，即|a|2=2，a=±2，故选C.11.(2009•河南实验中学3月)若直线l：ax+by=1与圆C：x2+y2=1有两个不同交点，则点P(a，b)与圆C的位置关系是 ( )A.点在圆上B.点在圆内C.点在圆外D.不能确定答案：C解析：直线l：ax+by=1与圆C：x2+y2=1有两个不同交点，则1a2+b2<1，a2+b2>1，点P(a，b)在圆C外部，故选C.12.(2010•保定市高三摸底考试)从原点向圆x2+(y-6)2=4作两条切线，则这两条切线夹角的大小为 ( )A.π6B.π2C.arccos79D.arcsin229答案：C解析：如图，sin∠AOB=26=13，cos∠BOC=cos2∠AOB=1-2sin2∠AOB=1-29=79，∴∠BOC=arccos79，故选C.第Ⅱ卷(非选择题共90分)二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分，请将答案填在题中的横线上。

高考数学阶段复习：直线和圆的方程1. 已知12,l l 是曲线C ：1y x =的两条互相平行的切线，则1l 与2l 的距离的最大值为（ ）A. B. 2C. D. 42. 双曲线221916x y -=的顶点到渐近线的距离为（ ） A. 95B. 125C. 165D. 1853. 设椭圆22221(0)x y a b a b +=>>的离心率12e =，右焦点为(,0)F c ，方程20ax bx c +-=的两个实根分别为1x 和2x ，则点12(,)P x x （ ）A. 必在圆222x y +=内B. 必在圆222x y +=上C. 必在圆222x y +=外D. 以上三种情况都有可能4. 若方程2222210x y ax ay a a +++++-=表示圆，则实数a 的取值X 围是（ ）A. (,2)-∞-B. 2(,0)3-C. (2,0)-D. 2(2,)3--5. 已知圆面222:()1C x a y a -+≤-的面积为S ，平面区域:24D x y +≤与圆面C 的公共区域的面积大于12S ，则实数a 的取值X 围是（ ） A. (,2)-∞ B. (,0)(0,)-∞⋃+∞C. (1,1)- D. (,1)(1,2)-∞-⋃6. 若双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>的渐近线与圆22(2)1x y -+=相切，则双曲线的离心率为________． 7. 在平面直角坐标系xOy 中，已知圆22:16O x y +=，点()1,2P ，M 、N 为圆O 上不同的两点，且满足0PM PN ⋅=，若PQ PM PN =+，则||PQ 的最小值为__________．8. 已知F 是抛物线24y x =的焦点，点A 、B 、C 在抛物线上，并且满足0AF BF CF ++=，又||AF 、||BF 、||CF 依次成等差数列，若B 位于抛物线的对称轴的下方，则直线AC 的方程为_______．9. 已知椭圆2214x y +=，过点(,0)M m 作圆221x y +=的切线l 交椭圆于A ，B 两点．若M 为圆外一动点，则AB 的最大值为_________．10. 已知点F 为抛物线2:4C x y =的焦点，过点1(2,)2M -作直线l 交抛物线C 于A ，B 两点，设直线FA ，FM ，FB 的斜率分别为123,,k k k ，若123,,k k k 成公差不为零的等差数列，则直线l 的方程是_________． 试卷答案1. 答案：C 分析：设第一象限的切点坐标为1(,)t t，根据曲线的对称性， 曲线在第三象限的切点坐标为1(,)t t--， 此时两条切线方程分别为212y x t t =-+，212y x t t=--，两直线之间的距离4d ==≤=， 当且仅当1t =时等号成立．2. 答案：B 分析：利用点到直线的距离公式求解．双曲线221916x y -=的一个顶点(3,0)到一条渐近线43y x =，即430x y -=的距离为125，故选B ．3. 答案：A 分析：由已知得 12c e a ==，则 2a c =． 又 12b x x a +=-， 12c x x a =-， 所以 222222221212122222222()22b c b ca b a a x x x x x x a a a a a +++=+-=+==<=， 因此点12(,)P x x 必在圆222x y += 内．4. 答案：D分析：由题意知， 22244(21)0a a a a +-+->，化简得 23440a a +-<，解得 223a -<<． 5. 答案：A6. 分析：因为双曲线的渐近线方程为 b y x a =±，不妨设b k a = ，则 0k >， 因为双曲线的渐近线与圆22(2)1x y -+= 相切，1= ，解得k =，即 b a =，所以3c e a ====7. 答案：分析：设M ，N 及B 的坐标为11(,)M x y ，22(,)N x y ，(,)B x y ， 由0PM PN ⋅=，得12121212()2()50x x y y x x y y +-+-++=，又221116x y +=，222216x y +=，122x x x +=，122y y y +=， 代入得221122x y x y +--=，即22127()(1)221x y -+-=，∴B 的轨迹为一周，故min ||PB =，∴||||2||PQ MN PB ==的最小值=．8. 答案：210x y --=分析：因为0AF BF CF ++=，所以3A B C x x x ++=，且F 为ABC ∆的重心， 又||,||,||AF BF CF 成等差数列，结合抛物线的定义，有2(1)11B A C x x x +=+++，所以2B A C x x x =+，所以1B x =，所以(1,2)B -，所以AC 中点的坐标为(1,1)．因为2244A A C Cy x y x ⎧=⎨=⎩， 所以42A C A C A Cy y x x y y -==-+， 所以直线AC 的方程为210x y --=．9. 答案：2分析：由题意知， ||1m >．设切线l 的方程为()y k x m =-． 由22()14y k x m x y =-⎧⎪⎨+=⎪⎩ 得，22222(14)8440k x k mx k m +-+-= ， 设A ，B 两点的坐标分别为1122(,),(,)x y x y ， 则2122814k m x x k +=+ ， 221224414k m x x k -=+， 又l 与圆 221x y +=相切，1= ， 即 2221m k k =+．所以||2||||AB m m ===≤+ ， 当且仅当m =||AB 的最大值为2．10. 答案：210x y +-=或3440x y +-=分析：抛物线2:4C x y = 的焦点为 (0,1)F ．设直线l 的方程为 1(2)2y k x +=-，1122(,),(,)A x y B x y ， 由21(2)24y k x x y⎧+=-⎪⎨⎪=⎩ ， 得 24820x kx k -++=， 故1212482x x k x x k +=⎧⎨=+⎩ ， 2164(82)0k k ∆=-+>，所以k <或k > ． 又123,,k k k 成公差不为零的等差数列，则 1322k k k +=． 而 1221122113121211y y x y x y x x k k x x x x --+--+=+= 222112211244x x x x x x x x +--= 121212(1)()4x x x x x x -+= 282(1)4448241k k k k k k +-⋅-==++． 21132204k --==--， 所以 243412k k k -=-+，281030k k ++= ， 解得12k =-或34k =-． 所以直线l 的方程为11(2)22y x +=--或13(2)24y x +=--， 即 210x y +-=或3440x y +-=．。

2015年高考数学试题分类汇编-----专题十五（直线与圆）答案解析1.（15年安徽文科）直线3x+4y=b 与圆相切，则b=( ) （A ）-2或12 （B ）2或-12 （C ）-2或-12 （D ）2或12 【答案】D 【解析】试题分析：∵直线与圆心为（1,1）,半径为1的圆相切，∴＝1或12,故选D.考点：1.直线与圆的位置关系；2.点到直线的距离公式. 1.（15北京文科）圆心为()1,1且过原点的圆的方程是（ ） A ．()()22111x y -+-=B ．()()22111x y +++= C ．()()22112x y +++=D ．()()22112x y -+-= 【答案】D 【解析】试题分析：由题意可得圆的半径为r =()()22112x y -+-=.考点：圆的标准方程.2.（15年广东理科）平行于直线且与圆相切的直线的方程是A ．或 B.或 C.或 D. 或 【答案】．【考点定位】本题考查直线与圆的位置关系，属于容易题．222210x y x y +--+=b y x =+43224343+-+b ⇒2=b 012=++y x 522=+y x 052=+-y x 052=--y x 052=++y x 052=-+y x 052=+-y x 052=--y x 052=++y x 052=-+y x D3.（15年新课标2文科）已知三点,则△外接圆的圆心到原点的距离为（）【答案】B考点：直线与圆的方程.4.（15年新课标2文科）已知椭圆的离心率为,点在C 上.（I ）求C 的方程；（II ）直线l 不经过原点O ,且不平行于坐标轴,l 与C 有两个交点A ,B ,线段AB 中点为M ,证明：直线OM 的斜率与直线l 的斜率乘积为定值.【答案】（I ）（II ）见试题解析(1,0),A B C ABC 5A.3B.3 C.34D.3()2222:10x y C a b a b+=>>2(2222184x y +=考点：直线与椭圆5.（15年陕西理科）设曲线在点（0,1）处的切线与曲线上点p 处的切线垂直，则p 的坐标 为．【答案】 【解析】试题分析：因为，所以，所以曲线在点处的切线的斜率，设的坐标为（），则，因为，所以，所以曲线在点处的切线的斜率，因为，xy e =1(0)y x x=>()1,1xy e =xy e '=xy e =()0,10101x k y e ='===P ()00,x y 00x >001y x =1y x =21y x'=-1y x =P 02201x x k y x ='==-121k k ⋅=-所以，即，解得，因为，所以，所以，即的坐标是，所以答案应填：．考点：1、导数的几何意义；2、两条直线的位置关系．6.（15年天津理科）如图，在圆O 中，,M N 是弦AB 的三等分点，弦,CD CE 分别经过点,M N .若2,4,3CM MD CN ===，则线段NE 的长为（A ）83（B ）3 （C ）103（D ）52【答案】A 【解析】试题分析：由相交弦定理可知，,AM MB CM MD CN NE AN NB ⋅=⋅⋅=⋅，又因为,M N 是弦AB 的三等分点，所以AM MB AN NB CN NE CM MD ⋅=⋅∴⋅=⋅，所以24833CM MD NE CN ⋅⨯===，故选A.考点：相交弦定理.7.（15年天津文科）如图,在圆O 中,M ,N 是弦AB 的三等分点,弦CD ,CE 分别经过点M ,N ,若CM =2,MD =4,CN =3,则线段NE 的长为（） (A)83 (B) 3 (C) 103(D) 52【答案】A【解析】试题分析：由相交弦定理可18,33CM MD CM MD CN NE AB AB NE CN ⨯⨯=⨯=⨯⇒==故选A. 考点：相交弦定理2011x -=-21x =01x =±00x >01x =01y =P ()1,1()1,1E8.（15年天津文科）已知椭圆22221(a b 0)x y a b 的上顶点为B,左焦点为F ,离心率为5, （I ）求直线BF 的斜率；（II ）设直线BF 与椭圆交于点P （P 异于点B ）,故点B 且垂直于BF 的直线与椭圆交于点Q （Q 异于点B ）直线PQ 与x 轴交于点M ,||=||PM MQ . （i ）求的值；（ii ）若7||sin =9PM BQP ,求椭圆的方程. 【答案】（I ）2；（II ）（i ）78；（ii ）22 1.54x y += 【解析】试题分析：（I ）先由5c a =及222,a b c =+得,2a b c ==,直线BF 的斜率()020b bk c c-===--；（II ）先把直线BF ,BQ 的方程与椭圆方程联立,求出点P ,Q 横坐标,可得PM MQ λ=7.8M P P Q M Q x x x x x x -===-（ii ）先由7||sin =9PM BQP 得=||sin BP PQ BQP =1555||sin 7PM BQP ,由此求出c =1,故椭圆方程为22 1.54x y += 试题解析：（I ）(),0F c- ,由已知c a =及222,ab c =+可得,2a b c == ,又因为()0,B b ,故直线BF 的斜率()020b bk c c-===-- .（II ）设点()()(),,,,,P P Q Q M M P x y Q x y M x y ,（i ）由（I ）可得椭圆方程为22221,54x y c c+=直线BF 的方程为22y x c =+ ,两方程联立消去y 得2350,x cx +=解得53P cx =-.因为BQ BP ⊥,所以直线BQ 方程为122y x c =-+ ,与椭圆方程联立消去y 得221400x cx -= ,解得4021Q cx =.又因为PM MQ λ= ,及0M x =得7.8M P P Q M Q x x x x x x λ-===- （ii ）由（i ）得78PM MQ =,所以777815PM PM MQ ==++,即157PQ PM = ,又因为7||sin =PM BQP ,所以=||sin BP PQ BQP =1555||sin 7PM BQP . 又因为4223P P y x c c =+=-, 所以3BP ==,因此1,33c ==所以椭圆方程为22 1.54x y += 考点：直线与椭圆. 9.（15年湖南理科）10.（15年山东理科）一条光线从点(2,3)--射出，经y 轴反射与圆22(3)(2)1x y ++-=相切，则反射光线所在的直线的斜率为 (A)53-或35- (B)32-或32- (C)54-或45- (D)43-或34- 解析：(2,3)--关于y 轴对称点的坐标为(2,3)-，设反射光线所在直线为3(2),y k x +=-即230kx y k ---=，则1,|55|d k ==+=解得43k =-或34-，答案选(D)11.（15年江苏）在平面直角坐标系xOy 中，以点)0,1(为圆心且与直线)(012R m m y mx ∈=---相切的所有圆中，半径最大的圆的标准方程为【答案】考点：直线与圆位置关系22(1) 2.x y -+=。

专题一、直线和圆的方程测试题【高频考点】本知识涉及直线的倾斜角与斜率，两直线的位置关系，圆的方程，直线与圆的位置关系，弦长计算以及对称问题，直线过定点问题。

【考情分析】本阶段是高考考查重点内容之一，涉及题型主要选择题与填空题,考察两直线的垂直平行关系，以及直线与圆的位置关系以及圆与圆锥曲线的综合交汇，注意利用平面几何的性质求解。

【重点推荐】第22题，涉及证明定值问题以及最值问题，考察综合能力，第8题数学文化题，第20题考察三角函数恒等变换与直线的交汇，命题角度新颖，考察综合解决问题的能力。

一选择题1.直线x+y﹣1=0的倾斜角等于（）A．45° B．60° C．120°D．135°【答案】：D【解析】直线x+y﹣1=0的斜率为﹣1，设其倾斜角为θ（0°≤θ＜135°），∴tanθ=﹣1，则θ=135°．故选：D．2.（资阳模拟）已知直线l1：ax+（a+2）y+2=0与l2：x+ay+1=0平行，则实数a的值为（）A．﹣1或2 B．0或2 C．2 D．﹣1【答案】：D【解析】由a•a﹣（a+2）=0，即a2﹣a﹣2=0，解得a=2或﹣1．经过验证可得：a=2时两条直线重合，舍去．∴a=﹣1．故选：D．3.（北京模拟）直线l：3x+4y+5=0被圆M：（x﹣2）2+（y﹣1）2=16截得的弦长为（）A．B．5 C．D．10【答案】：C【解析】∵圆（x﹣2）2+（y﹣1）2=16，∴圆心（2，1），半径r=4，圆心到直线的距离d==3，∴直线3x+4y+5=0被圆（x﹣2）2+（y﹣1）2=16截得的弦长l=2．故选：C．4.已知点（﹣1，2）和（，0）在直线l：ax﹣y+1=0（a≠0）的同侧，则直线l倾斜角的取值范围是（）A．（，） B．（0，）∪（，π） C．（，）D．（，）【答案】D【解析】：点（﹣1，2），（，0）在直线ax﹣y+1=0的同侧，（﹣a﹣2+1）（a+1）＞0，解不等式可得，﹣＜a＜﹣1∴，故选：D．5（武汉模拟）已知圆C1：，x2+y2=r2，圆C2：（x﹣a）2+（y﹣b）2=r2（r＞0）交于不同的A （x1，y1），B（x2，y2）两点，给出下列结论：①a（x1﹣x2）+b（y1﹣y2）=0；②2ax1+2by1=a2+b2；③x1+x2=a，y1+y2=b．其中正确结论的个数是（）A．0 B．1 C．2 D．3【答案】：D6.（丹东二模）圆心为（2，0）的圆C与圆x2+y2+4x﹣6y+4=0相外切，则C的方程为（）A．x2+y2+4x+2=0 B．x2+y2﹣4x+2=0 C．x2+y2+4x=0 D．x2+y2﹣4x=0【答案】：D【解析】圆x2+y2+4x﹣6y+4=0的圆心为M（﹣2，3），半径为r=3，CM==5，∴圆C的半径为5﹣3=2，∴圆C的标准方程为：（x﹣2）2+y2=4，即x2+y2﹣4x=0．故选：D．7.（房山区一模）圆x2+y2=4被直线y=﹣截得的劣弧所对的圆心角的大小为120°，则b的值（）A．±2 B．C．2 D．【答案】A【解析】：根据题意，圆x2+y2=4的圆心为（0，0），半径r=2，若圆x2+y2=4被直线y=﹣截得的劣弧所对的圆心角的大小为120°，则圆心到直线的距离d==1，即=1，解可得b=±2，故选：A．8.已知点P在直线x+3y﹣2=0上，点Q在直线x+3y+6=0上，线段PQ的中点为M（x0，y0），且y0＜x0+2，则的取值范围是（）A．[﹣，0）B．（﹣，0）C．（﹣，+∞）D．（﹣∞，﹣）∪（0，+∞）【答案】：D【解析】∵点P在直线x+3y﹣2=0上，点Q在直线x+3y+6=0上，线段PQ的中点为M（x0，y0），∴，化为x0+3y0+2=0．又y0＜x0+2，设=k OM，当点位于线段AB（不包括端点）时，则k OM＞0，当点位于射线BM（不包括端点B）时，k OM＜﹣．∴的取值范围是（﹣∞，﹣）∪（0，+∞）．故选：D．9.一条光线从点（﹣2，3）射出，经x轴反射后与圆（x﹣3）2+（y﹣2）2=1相切，则反射光线所在直线的斜率为（）A．或B．或C．或D．或【答案】：D【解析】由题意可知：点（﹣2，﹣3）在反射光线上．设反射光线所在的直线方程为：y+3=k（x+2），即kx﹣y+2k﹣3=0．由相切的性质可得：=1，化为：12k2﹣25k+12=0，解得k=或．故选：D．10.（宜宾模拟）过点P（2，3）并且在两坐标轴上截距相等的直线方程为（）A．2x﹣3y=0 B．3x﹣2y=0或x+y﹣5=0C．x+y﹣5=0 D．2x﹣3y=0或x+y﹣5=0【答案】：B【解析】①当所求的直线与两坐标轴的截距不为0时，设该直线的方程为x+y=a，把（2，3）代入所设的方程得：a=5，则所求直线的方程为x+y=5即x+y﹣5=0；②当所求的直线与两坐标轴的截距为0时，设该直线的方程为y=kx，把（2，3）代入所求的方程得：k=，则所求直线的方程为y=x即3x﹣2y=0．综上，所求直线的方程为：3x﹣2y=0或x+y﹣5=0．故选：B．11.（红河州二模）已知方程kx+3﹣2k=有两个不同的解，则实数k的取值范围是（）A．B．C．D．【答案】：C12.（涪城区校级模拟）若圆x2+y2﹣4x﹣4y﹣10=0上至少有三个不同点到直线l：ax+by=0的距离为2，则直线l的斜率的取值范围是（）A．[2﹣，1] B．[2﹣，2+] C．[，] D．[0，+∞）【答案】：B【解析】圆x2+y2﹣4x﹣4y﹣10=0可化为（x﹣2）2+（y﹣2）2=18，则圆心为（2，2），半径为3；则由圆x2+y2﹣4x﹣4y﹣10=0上至少有三个不同点到直线l：ax+by=0的距离为2可得，圆心到直线l：ax+by=0的距离d≤3﹣2=；即≤，则a2+b2+4ab ≤0，若a=0，则b=0，故不成立，故a≠0，则上式可化为1+（）2+4≤0，由直线l的斜率k=﹣，则上式可化为1+k2﹣4k≤0，则∈[2﹣，2+]，故选：B．二．填空题13.已知两点A（0，1），B（4，3），则线段AB的垂直平分线方程是．【答案】：2x+y﹣6=0【解析】两点A（0，1），B（4，3），中点坐标为：（2，2），直线AB的斜率为：=，AB垂线的斜率为：﹣2，线段AB的垂直平分线方程是：y﹣2=﹣2（x﹣2），即：2x+y﹣6=0，故答案为2x+y﹣6=0．14.（顺义区二模）圆（x﹣2）2+（y﹣1）2=1的圆心到直线y=2x+2的距离为．【答案】：【解析】圆（x﹣2）2+（y﹣1）2=1的圆心为C（2，1），直线y=2x+2化为一般形式是2x﹣y+2=0，则圆心到直线的距离为d==．故答案为：．15.（铜山区三模）已知圆O：x2+y2=r2（r＞0）及圆上的点A（﹣r，0），过点A的直线l 交y轴于点B（0，1），交圆于另一点C，若AB=2BC，则直线l的斜率为．【答案】：或．【解析】由题意直线l的方程为=，即x﹣ry+r=0，联立直线与圆的方程：，得C（，），∵AB=2BC，∴=2，解得r=或r=，∴直线l的斜率k==或k==．故答案为：或．16设m∈R，过定点A的动直线x+my=0和过定点B的直线mx﹣y﹣m+3=0交于点P（x，y），则|PA|+|PB|的最大值是．【答案】：2．【解析】由题意可得动直线x+my=0过定点A（0，0），直线mx﹣y﹣m+3=0可化为（x﹣1）m+3﹣y=0，令可解得，即B（1，3），又1×m+m×（﹣1）=0，故两直线垂直，∴|PA|2+|PB|2=|AB|2=10，由基本不等式可得10=|PA|2+|PB|2=（|PA|+|PB|）2﹣2|PA||PB|≥（|PA|+|PB|）2﹣2（）2=（|PA|+|PB|）2，∴（|PA|+|PB|）2≤20，解得|PA|+|PB|≤2,当且仅当|PA|=|PB|=时取等号．故答案为：2．三.解答题l0l17.（本题10分）直线的倾斜角为45，在x轴上的截距为－2，直线和x轴，y轴分别交于点A，B，在线段AB为边在第二象限内作等边△ABC，如果在第二象限内有一点P(m，1)使得△ABP和△ABC的面积相等，求m的值．（1）求圆的圆心C的坐标和半径长；（2）直线l经过坐标原点且不与y轴重合，l与圆C相交于A（x1，y1）、B（x2，y2）两点，求证：为定值；（3）斜率为1的直线m与圆C相交于D、E两点，求直线m的方程，使△CDE的面积最大．【解析】：（1）圆C：x2+y2+2x﹣3=0，配方得（x+1）2+y2=4，则圆心C的坐标为（﹣1，0），圆的半径长为2；…………3分（2）设直线l的方程为y=kx，联立方程组，消去y得（1+k2）x2+2x﹣3=0，…………5分则有：；所以为定值；…………7分（3）解法一：设直线m的方程为y=kx+b，则圆心C到直线m的距离，所以，≤，…………9分当且仅当，即时，△CDE的面积最大，从而，解之得b=3或b=﹣1，故所求直线方程为x﹣y+3=0或x﹣y﹣1=0．解法二：由（1）知|CD|=|CE|=R=2，所以≤2，当且仅当CD⊥CE时，△CDE的面积最大，此时；设直线m的方程为y=x+b，则圆心C到直线m的距离，由，得，由，得b=3或b=﹣1，故所求直线方程为x﹣y+3=0或x﹣y﹣1=0．…………12分专题二、考前模拟卷一.选择题1．设集合M={x|x2﹣x＞0}，N={x|＜1}，则（）A．M∩N=∅B．M∪N=∅C．M=N D．M∪N=R【答案】C【解析】：M={x|x2﹣x＞0}={x|x＞1或x＜0}，N={x|＜1}={x|x＞1或x＜0}，则M=N，故选：C．2.已知是虚数单位,,且,则( )A. B. C. D.【答案】A【解析】由，得，，即，故选A.3.在区间[0，2]上随机取一个数x，使的概率为（）A．B．C．D．【答案】A【解析】：∵0≤x≤2，∴0≤≤π，∵sin≥，∴≤≤，即≤x≤，∴P==．故选：A．4.（威海二模）已知命题p：“∀a＞b，|a|＞|b|”，命题q：“”，则下列为真命题的是（）A．p∧q B．￢p∧￢q C．p∨q D．p∨￢q【答案】C【解析】：∵命题p：“∀a＞b，|a|＞|b|”是假命题，命题q：“”是真命题，∴p∨q是真命题．故选：C．5.如图1为某省2018年1～4月快递业务量统计图，图2是该省2018年1～4月快递业务收入统计图，下列对统计图理解错误的是A. 2018年1～4月的业务量，3月最高，2月最低，差值接近2000万件B. 2018年1～4月的业务量同比增长率均超过50％，在3月最高C. 从两图来看，2018年1～4月中的同一个月的快递业务量与收入的同比增长率并不完全一致D. 从1～4月来看，该省在2018年快递业务收入同比增长率逐月增长【答案】D6.（泉州期中）已知等差数列{a n}的前n项和为S n，则“S n的最大值是S8”是“”的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件【答案】C【解析】：等差数列{a n}的前n项和为S n，则“S n的最大值是S8”⇔a8＞0，a9＜0．则“”⇔．∴S n的最大值是S8”是“”的充要条件．故选：C．7.已知点P（2，1）是抛物线C：x2=my上一点，A，B是抛物线C上异于P的两点，A，B在x轴上的射影分别为A1，B1，若直线PA与直线PB的斜率之差为1，D是圆（x﹣1）2+（y+4）2=1上一动点，则△A1B1D的面积的最大值为（）（2）若b，a，c成等差数列，△ABC的面积为2，求a．【解析】：（1）∵asinB=bsin（A+）．∴由正弦定理可得：sinAsinB=sinBsin（A+）．∵sinB≠0，∴sinA=sin（A+）．∵A∈（0，π），可得：A+A+=π，∴A=．…………6分（2）∵b，a，c成等差数列，∴b+c=，∵△ABC的面积为2，可得：S△ABC=bcsinA=2，∴=2，解得bc=8，∴由余弦定理可得：a2=b2+c2﹣2bccosA=（b+c）2﹣2bc﹣2bccos=（b+c）2﹣3bc=（a）2﹣24，∴解得：a=2．………………12分18.如图所示，在四棱锥S—ABCD中，SA⊥平面ABCD，底面ABCD为直角梯形，其中AB∥CD，∠ADC＝90°，AD＝AS＝2，AB＝1，CD＝3，点E在棱CS上，且CE＝λCS．（1）若，证明：BE⊥CD；（2）若，求点E到平面SBD的距离．【解析】（1）因为，所以，在线段CD上取一点F使，连接EF，BF，则EF∥SD且DF＝1．因为AB＝1，AB∥CD，∠ADC＝90°，所以四边形ABFD为矩形，所以CD⊥BF．又SA⊥平面ABCD，∠ADC＝90°，所以SA⊥CD，AD⊥CD．因为AD∩SA＝A，所以CD⊥平面SAD，所以CD⊥SD，从而CD⊥EF．因为BF∩EF＝F，所以CD⊥平面BEF．又BE平面BEF，所以CD⊥BE．…………5分（2）解：由题设得，，又因为，，，所以，设点C到平面SBD的距离为h，则由V S—BCD＝V C—SBD得，因为，所以点E到平面SBD的距离为．…………12分19. .我国第十三个全民健身日，其主题是：新时代全民健身动起来．某市为了解全民健身情况，随机从某小区居民中抽取了40人，将他们的年龄分成7段：[10，20），[20，30），[30，40），[40，50），[50，60），[60，70），[70，80]后得到如图所示的频率分布直方图．（1）试求这40人年龄的平均数、中位数的估计值；（2）（ⅰ）若从样本中年龄在[50，70）的居民中任取2人赠送健身卡，求这2人中至少有1人年龄不低于60岁的概率；（ⅱ）已知该小区年龄在[10，80]内的总人数为2000，若18岁以上（含18岁）为成年人，试估计该小区年龄不超过80岁的成年人人数．【解析】（1）平均数．前三组的频率之和为0.15＋0.2＋0.3＝0.65，故中位数落在第3组，设中位数为x，则（x－30）×0.03＋0.15＋0.2＝0.5，解得x＝35，即中位数为35．…………5分（2）（ⅰ）样本中，年龄在[50，70）的人共有40×0.15＝6人，其中年龄在[50，60）的有4人，设为a，b，c，d，年龄在[60，70）的有2人，设为x，y．则从中任选2人共有如下15个基本事件：（a，b），（a，c），（a，d），（a，x），（a，y），（b，c），（b，d），（b，x），（b，y），（c，d），（c，x），（c，y），（d，x），（d，y），（x，y）．至少有1人年龄不低于60岁的共有如下9个基本事件：（a，x），（a，y），（b，x），（b，y），（c，x），（c，y），（d，x），（d，y），（x，y）．记“这2人中至少有1人年龄不低于60岁”为事件A，故所求概率．…………9分（ⅱ）样本中年龄在18岁以上的居民所占频率为1－（18－10）×0.015＝0.88，故可以估计，该小区年龄不超过80岁的成年人人数约为2000×0.88＝1760．……12分20.已知椭圆E：（a＞b＞0）过点P（），其上顶点B（0，b）与左右焦点F1，F2构成等腰三角形，且∠F1BF2=120°．（Ⅰ）求椭圆E的方程；（Ⅱ）以点B（0，b）为焦点的抛物线C：x2=2py（p＞0）上的一动点P（m，y p），抛物线C 在点P处的切线l与椭圆E交于P1P2两点，线段P1P2的中点为D，直线OD（O为坐标原点）与过点P且垂直于x轴的直线交于点M，问：当0＜m≤b时，△POM面积是否存在最大值？若存在，求出最大值，若不存在说明理由．【解析】：（Ⅰ）由已知得：a=2b，+=1，解得b2=1，a2=4．故椭圆E的方程为：+y2=1．………………4分（Ⅱ）抛物线C的焦点B（0，1），则其方程为x2=4y．y′=x．于是抛物线上点P（m，），则在点P处的切线l的斜率为k=y′|x=m=，故切线l的方程为：y﹣=（x﹣m），即y=x﹣．…………6分由方程组，消去y，整理后得（m2+1）x2﹣m3x+﹣4=0．由已知直线l与椭圆交于两点，则△=m6﹣4（m2+1）（﹣4）＞0．解得0≤m2＜8+4，其中m=0是不合题意的．∴﹣＜m＜0，或0＜m＜．设P1（x1，y1），P2（x2，y2），则x D==．…………8分代入l的方程得y D=．故直线OD的方程为：x，即y=﹣x．当x=m时，y=﹣，即点M．△POM面积S=|PM|•m=m=+m．∵S′=m2+＞0，故S关于m单调递增．∵0＜m≤1，∴当m=1时，△POM面积最大值为．…………12分21已知函数．（1）若函数f（x）在[1，＋∞）上是单调递减函数，求a的取值范围；（2）当－2＜a＜0时，证明：对任意x∈（0，＋∞），．【解析】 (1)解：由题意得.即在上恒成立，所以.…………3分(2)证明：由(1)可知，所以在上单调递增，在上单调递减，因为，所以，所以，即，即，所以.…………12分22．（10分）以直角坐标系的原点O为极点，x轴正半轴为极轴，并在两种坐标系中取相同的长度单位，已知直线l的参数方程为，（t为参数，0＜θ＜π），曲线C 的极坐标方程为ρsin2θ﹣2cosθ=0．（1）求曲线C的直角坐标方程；（2）设直线l与曲线C相交于A，B两点，当θ变化时，求|AB|的最小值．【分析】（1）利用极坐标与直角坐标的转化方法，求曲线C的直角坐标方程；（2）将直线l的参数方程代入y2=2x，得t2sin2θ﹣2tcosθ﹣1=0，利用参数的几何意义，求|AB|的最小值．23. 设函数f（x）=|x﹣1|﹣|2x+1|的最大值为m．（Ⅰ）作出函数f（x）的图象；（Ⅱ）若a2+2c2+3b2=m，求ab+2bc的最大值．【解析】：（Ⅰ）函数f（x）=|x﹣1|﹣|2x+1|=，画出图象如图，（Ⅱ）由（Ⅰ）知，当x=﹣时，函数f（x）取得最大值为m=．∵a2+2c2+3b2=m==（a2+b2）+2（c2+b2）≥2ab+4bc，∴ab+2bc≤，当且仅当a=b=c=1时，取等号，故ab+2bc的最大值为．。

直线与圆的方程直线方程1、倾斜角：直线与x 轴正半轴所夹的角，【0°，180°）例：y=x 的倾斜角为45°，y=-x 的倾斜角为135°2、截距：直线与x 轴交点的横坐标为横截距、与y 轴交点的纵坐标为纵截距 例：y=x+1的横截距为-1、纵截距为1（注：截距相等→直线斜率=-1或过原点）3、斜率：斜率是否存在必须分类讨论（垂直于x 轴）、斜率为0（平行于x 轴） （斜率公式：k=tanα=1212x -x y -y ，即两点纵坐标之差与横坐标之差的比值） （直线ax+by+c=0的斜率存在时，其斜率k=-b a ）（三点共线：斜率相等） 4、直线方程（1）点斜式：y-y 1=k （x-x 1）（斜率k 不存在时，直线方程为x=x 1）（2）斜截式：y=kx+b （前提是斜率k 存在）（3）一般式：ax+by+c=0（a 、b 不能同时为0：a=0时，k=0/平行于x 轴；b=0时，k 不存在/平行于y 轴；c=0时，直线过原点）（注：两点式、截距式，考的少；主要考一般式，解题主要用点斜式）例：直线过2点（-1，-1）、（1，3），求直线方程，先用斜率公式可求得k=2，再用点斜式，y+1=2（x+1）或y-3=2（x-1），化简为斜截式y=2x+1或一般式2x-y+1=05、点、直线（1）点与点：（x 1，y 1）、（x 2，y 2）两点间距离=221221y -y x -x ）（）（例：求（1，3）、（-1，5）两点间距离，（1-（-1））2+（3-5）2=8，∴22（2）点与直线：点（x 0，y 0）到直线ax+by+c=0的距离为2200b a |c by ax |+++例：求点（-1，-1）到直线y=2x+3的距离 先化为一般式2x-y+3=0，根据公式，221-2|31--1-2|）（）（）（++⨯=552 （点在直线上即坐标满足直线方程，如点（2，1）在y=kx-3上，代入得k=2）（3）直线与直线A 、重合：两直线方程完全相同（如x+y+1=0与2x+2y+2=0，化简后完全相同）B 、相交：求交点坐标（联立两直线方程，解二元一次方程组）C 、平行——k 1=k 2（单独思考斜率不存在、斜率为0）两平行直线间距离：转化为求其中一条直线上的一点到另一条直线的距离例：两平行直线2y=4x-1、y=2x+3间距离，可在直线2y=4x-1上取点（0，-21），将直线y=2x+3化为一般式2x-y+3=0，根据点到距离公式即可D 、垂直——k 1k 2=-1（斜率不存在、斜率为0必须分类讨论）E 、两直线的夹角公式两直线L 1、L 2的斜率分别为k 1、k 2，夹角为θ，则有tan θ=|2112k k 1k -k +|，θ≠90° 6、对称（1）点关于点中点坐标×2=两点坐标和（类于等差中项）例：求点（1，2）关于点（0，-2）的对称点，可以设为（x ，y ），则有1+x=0、2+y=2×（-2），解得x=-1、y=-6（2）点关于直线两点连线与已知直线垂直，斜率积=-1→写出点斜式直线方程→求出与已知直线的交点坐标，再用点关于点对称的方法求对称点坐标例：求点（1，1）关于直线2x+4y+1=0的对称点，已知直线斜率=21-→两点所连直线斜率=2，点斜式方程y-1=2（x-1）→与直线2x+4y+1=0的交点坐标为（103，-52）→设对称点坐标为（x ，y ），则有1+x=2×103、1+y=2×（-52），解得对称点坐标为（-52，-59） （3）直线关于点对称直线与已知直线平行，斜率相等，利用点到两直线距离相等，求出对称直线方程例：求2x+y-1=0关于点（1，1）的对称直线方程，斜率相等，设为2x+y+c=0，求出点（1，1）到直线2x+y-1=0的距离=52，点（1，1）到直线2x+y+c=0的距离=52，求得c=-5，所以对称直线为2x+y-5=0（4）直线关于直线两对称直线与对称轴直线共点，求出交点坐标，设出对称直线的点斜式方程→ 对称轴直线上取一点，该点到两对称直线的距离相等→求出对称直线的斜率 （注：可能直线与对称轴直线平行）例：求直线y=x+1关于直线x-y-1=0的对称直线两直线平行，没有交点，方法与直线关于点对称相同，求得y=x-3（5）反射光线经过x 、y 轴后反射，斜率存在时，入射线与反射线斜率相反（斜率相反即倾斜角互补）（注：关于特殊直线的对称，如x 、y 轴，可以画图、直接写出，如点（1，1）关于x 轴的对称点为（1，-1），直线y=x+1关于y 轴的对称直线为y=-x+1） （注：斜率不存在时的对称，必须分类讨论）圆的方程1、标准方程：圆心（a，b），半径r，（x-a）2+（y-b）2=r2（r>0）2、一般方程：x2+y2+Dx+Ey+F=0（注：题目给定一般方程，配方化为标准方程，求出圆心坐标、半径）（注：设圆的方程时，都用标准方程）例：一般方程x2+y2+2x-4y-3=0化为标准方程，写成x2+2x+y2-4y-3=0，配方得到（x+1）2-1+（y-2）2-4-3=0，化简得（x+1）2+（y-2）2=83、特殊圆的方程（1）圆心在x轴上，设为（x-a）2+y2=r2（2）圆心在y轴上，设为x2+（y-b）2=r2（3）与x轴相切，设为（x-a）2+（y-b）2=b2（4）与y轴相切，设为（x-a）2+（y-b）2=a24、直线与圆的位置关系（1）相离：没有交点，圆心到直线的距离>半径相切：1个交点，圆心到直线的距离=半径（切线与切点、圆心所在直线互相垂直）相交：2个交点，圆心到直线的距离<半径（2）相交：考的多，解题技巧主要有2个：A、直线与垂径互相垂直（斜率存在时，积为-1）B、相交所得弦长——弦心距线段、半弦、半径构成直角三角形，用勾股定理解5、圆与圆（注：考的少，解题技巧参考直线与圆）（1）公共弦所在直线方程：即两圆相交时，两圆方程的差（2）公切线方程：利用圆心到公切线的距离=半径（3）位置关系相离：圆心距>半径之和（2条外公切线、2条内公切线）外切：圆心距=半径之和（2条外公切线、1条内公切线）相交：半径之差<圆心距<半径之和（2条外公切线）内切：圆心距=半径之差（1条外公切线）内含：圆心距<半径之差（无公切线）6、过三点的圆两线段中垂线的交点即圆心→圆心到三点中任一点的距离即半径7、直径所对圆周角为直角（矩形外接圆）（1）斜率存在时，积为-1（2）向量乘积为0（3）勾股定理。

直线与圆一、直线的方程1、直线的倾斜角、斜率与两直线的位置关系(1)直线的倾斜角：当直线l 与x 轴相交时，取x 轴作为基准，x 轴正向与直线l 向上方向之间所成的角叫做直线l 的倾斜角。

直线l 倾斜角的范围是)0[π，。

(2)斜率公式：①定义式：直线l 的倾斜角为2π≠α，则斜率α=tan k 。

②两点式：)(111y x P ，、)(222y x P ，在直线l 上，且21x x ≠，则l 的斜率1212x x y y k --=。

对于上面的斜率公式要注意下面四点：(1)当21x x =时公式右边无意义，直线的斜率不存在，倾斜角 90=α，直线与x 轴垂直；(2)k 与1P 、2P 的顺序无关，即1y 、2y 和1x 、2x 在公式中的前后次序可以同时交换，但分子与分母不能交换； (3)斜率k 可以不通过倾斜角而直接由直线上两点的坐标求得；(4)当21y y =时，斜率0=k ，直线的倾斜角 0=α，直线与x 轴平行或重合。

(3)两条直线平行的判定①对于两条不重合的直线1l 、2l ，若其斜率分别为1k 、2k ，则有21//l l ⇔21k k =。

②当直线1l 、2l 不重合且斜率都不存在时，21//l l 。

(4)两条直线垂直的判定①如果两条直线1l 、2l 的斜率存在，设为1k 、2k ，则有21l l ⊥⇔121-=⋅k k 。

②当其中一条直线的斜率不存在，而另一条直线的斜率为0时，21l l ⊥。

(5)直线都有倾斜角，但不一定都有斜率，二者的关系具体如下：斜率k 0tan >α=k 0=k 0tan <α=k 不存在倾斜角α 锐角 0 钝角 90在分析直线的倾斜角和斜率的关系时，要根据正切函数α=tan k 的单调性，如图所示： 当)20[π∈α，时，由0增大到2π(2π≠α)时，k 由0增大并趋向于正无穷大； 当)2(ππ∈α，时，由2π(2π≠α)增大到π(π≠α)时，k 由负无穷大增大并趋近于0。

直线与圆的方程一、重点知识结构本章以直线和圆为载体，揭示了解析几何的基本概念和方法。

直线的倾斜角、斜率的概念及公式、直线方程的五种形式是本章的重点之一，而点斜式又是其它形式的基础；两条直线平行和垂直的充要条件、直线l1到l2的角以及两直线的夹角、点到直线的距离公式也是重点内容；用不等式（组）表示平面区域和线性规划作为新增内容，需要引起一定的注意；曲线与方程的关系体现了坐标法的基本思想，是解决解析几何两个基本问题的依据；圆的方程、直线（圆）与圆的位置关系、圆的切线问题和弦长问题等，因其易与平面几何知识结合，题目解法灵活，因而是一个不可忽视的要点。

二、高考要求1、掌握两条直线平行和垂直的条件，掌握两条直线所成的角和点到直线的距离公式，能够根据直线的方程判断两条直线的位置关系；3、会用二元一次不等式表示平面区域；4、了解简单的线性规划问题，了解线性规划的意义，并会简单的应用；5、了解解析几何的基本思想，了解用坐标法研究几何问题的方法；6、掌握圆的标准方程和一般方程，了解参数方程的概念，理解圆的参数方程的概念。

三、热点分析在近几年的高考试题中，两点间的距离公式，中点坐标公式，直线方程的点斜式、斜率公式及两条直线的位置关系是考查的热点。

但由于知识的相互渗透，综合考查直线与圆锥曲线的关系一直是高考命题的大热门，应当引起特别注意，本章的线性规划内容是新教材中增加的新内容，在高考中极有可能涉及，但难度不会大。

四、复习建议本章的复习首先要注重基础，对基本知识、基本题型要掌握好；求直线的方程主要用待定系数法，复习时应注意直线方程各种形式的适用条件；研究两条直线的位置关系时，应特别注意斜率存在和不存在的两种情形；曲线与方程的关系体现了坐标法的基本思想，随着高考对知识形成过程的考查逐步加强，对坐标法的要求也进一步加强，因此必须透彻理解。

既要掌握求曲线方程的常用方法和基本步骤，又能根据方程讨论曲线的性质；圆的方程、直线与圆的位置关系，圆的切线问题与弦长问题都是高考中的热点问题；求圆的方程或找圆心坐标和半径的常用方法是待定系数法及配方法，应熟练掌握，还应注意恰当运用平面几何知识以简化计算。

专题15 直线与圆（2）【自主热身，归纳总结】1、 圆心在直线y ＝－4x 上，且与直线x ＋y －1＝0相切于点P (3，－2)的圆的标准方程为________． 【答案】： (x －1)2＋(y ＋4)2＝8解法 1 设圆心为(a ，－4a )，则有r ＝|a －4a －1|2＝a －324a ＋22，解得a ＝1，r ＝22，则圆的方程为(x －1)2＋(y ＋4)2＝8.解法2 过点P (3，－2)且垂直于直线x ＋y －1＝0的直线方程为x －y －5＝0，联立方程组⎩⎪⎨⎪⎧x －y －5＝0，y ＝－4x ，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1，y ＝－4，则圆心坐标为(1，－4)，半径为r ＝1－324＋22＝22，故圆的方程为(x －1)2＋(y ＋4)2＝8.2、 在平面直角坐标系xOy 中，若直线ax ＋y －2＝0与圆心为C 的圆(x －1)2＋(y －a )2＝16相交于A ，B 两点，且△ABC 为直角三角形，则实数a 的值是________．【答案】： －1【解析】：因为△ABC 为直角三角形，所以BC ＝AC ＝r ＝4，所以圆心C 到直线AB 的距离为22，从而有|a ＋a －2|a 2＋1＝22，解得a ＝－1.3、 已知直线l ：x ＋3y －2＝0与圆C ：x 2＋y 2＝4交于A ，B 两点，则弦AB 的长度为________. 【答案】：. 2 3【解析】：圆心C (0,0)到直线l 的距离d ＝|0＋3×0－2|1＋3＝1，由垂径定理得AB ＝2R 2－d 2＝24－1＝23，故弦AB 的长度为2 3. 4、已知过点的直线被圆截得的弦长为4，则直线的方程为 . 【答案】：或【解析】：化成标准式为：.因为截得弦长为4小于直径故该直线必有两条且圆心到直线的距离为.当斜率不存在时， ，显然符合要求。

当斜率存在时，，，截得， 故直线为.5、在平面直角坐标系xOy 中，若动圆C 上的点都在不等式组⎩⎨⎧x ≤3，x －3y ＋3≥0x ＋3y ＋3≥0，表示的平面区域内，则面积最大的圆C 的标准方程为________．【答案】： (x －1)2＋y 2＝4【解析】：首先由线性约束条件作出可行域，面积最大的圆C 即为可行域三角形的内切圆(如图)，由对称性可知，圆C 的圆心在x 轴上，设半径为r ，则圆心C(3－r ，0)，且它与直线x －3y ＋3＝0相切，所以|3－r ＋3|1＋3＝r ，解得r ＝2，所以面积最大的圆C 的标准方程为(x －1)2＋y 2＝4.6、在平面直角坐标系xOy 中，若圆(x －2)2＋(y －2)2＝1上存在点M ，使得点M 关于x 轴的对称点N 在直线kx ＋y ＋3＝0上，则实数k 的最小值为________．7、已知经过点P ⎝ ⎛⎭⎪⎫1，32的两个圆C 1，C 2都与直线l 1：y ＝12x ，l 2：y ＝2x 相切，则这两圆的圆心距C 1C 2＝________. 【答案】 459【解析】：易求直线C 1C 2的方程为y ＝x ，设C 1(x 1，x 1)，C 2(x 2，x 2)， 由题意得C 1(x 1，x 1)到直线2x －y ＝0的距离等于C 1P ，即|2x 1－x 1|5＝x 1－12x 1－322，整理得9x 21－25x 1＋654＝0，同理可得9x 22－25x 2＋654＝0，所以x 1，x 2是方程9x 2－25x ＋654＝0的两个实数根，从而x 1＋x 2＝259，x 1x 2＝6536，所以圆心距C 1C 2＝2|x 1－x 2|＝2·x 1＋x 22－4x 1x 2＝2·⎝ ⎛⎭⎪⎫2592－4×6536＝459. 8、在平面直角坐标系xOy 中，已知圆C ：x 2＋(y －3)2＝2，点A 是x 轴上的一个动点，AP ，AQ 分别切圆C 于P ，Q 两点，则线段PQ 长的取值范围是________． 【答案】 ⎣⎢⎡⎭⎪⎫2143，22 【解析】：设∠PCA ＝θ，所以PQ ＝22sin θ.又cos θ＝2AC，AC ∈[3，＋∞)，所以cos θ∈⎝ ⎛⎦⎥⎤0，23，所以cos 2θ∈⎝ ⎛⎦⎥⎤0，29，sin 2θ＝1－cos 2θ∈⎣⎢⎡⎭⎪⎫79，1，所以sin θ∈⎣⎢⎡⎭⎪⎫73，1，所以PQ ∈⎣⎢⎡⎭⎪⎫2143，22.解后反思 与切线有关的问题，一般都不需要求出切点，而是利用直线与圆相切时所得到的直角三角形转化为点与圆心的距离问题求解． 9、在平面直角坐标系xOy 中，已知点，点，为圆上一动点，则的最大值是 ． 【答案】、2 【解析】1：设，则，，令，即，则动直线与圆必须有公共点，所以，解得，所以，即，的最大值是.（有了上面的解法，也可设，直接通过动直线与圆有公共点来解决） 【解析】2：设，则，令，则，即，因为，所以，则动直线与圆必须有公共点，所以，解得，即，的最大值是. 【解析】3：因为为圆上一动点，故设（），则令，整理为，由，解得，从而，的最大值是.10、在平面直角坐标系xOy 中，圆C 的方程为(x －1)2＋(y －1)2＝9，直线l ：y ＝kx ＋3与圆C 相交于A ，B 两点，M 为弦AB 上一动点，以M 为圆心，2为半径的圆与圆C 总有公共点，则实数k 的取值范围为 ． 【答案】思路分析：根据两个圆的位置关系的判断方法，本题即要求则可，根据图形的对称性， 当点位于的中点时存在公共点，则在其它位置时，一定存在公共点，由点到直线的距离不难得到答案。

历年高三数学高考考点之<直线与圆>必会题型及答案体验高考1.平行于直线2x ＋y ＋1＝0且与圆x 2＋y 2＝5相切的直线的方程是( ) A.2x ＋y ＋5＝0或2x ＋y －5＝0 B.2x ＋y ＋5＝0或2x ＋y －5＝0 C.2x －y ＋5＝0或2x －y －5＝0 D.2x －y ＋5＝0或2x －y －5＝0 答案 A解析 设所求直线方程为2x ＋y ＋c ＝0，依题意有|0＋0＋c |22＋12＝5，解得c ＝±5，所以所求直线方程为2x ＋y ＋5＝0或2x ＋y －5＝0，故选A.2.过三点A (1，3)，B (4，2)，C (1，－7)的圆交y 轴于M 、N 两点，则|MN |等于( ) A.26B.8C.46D.10 答案 C解析 由已知，得AB →＝(3，－1)，BC →＝(－3，－9)，则AB →·BC →＝3×(－3)＋(－1)×(－9)＝0，所以AB →⊥BC →，即AB ⊥BC ，故过三点A ，B ，C 的圆以AC 为直径，得其方程为(x －1)2＋(y ＋2)2＝25，令x ＝0得(y ＋2)2＝24，解得y 1＝－2－26，y 2＝－2＋26，所以|MN |＝|y 1－y 2|＝46，选C.3.一条光线从点(－2，－3)射出，经y 轴反射后与圆(x ＋3)2＋(y －2)2＝1相切，则反射光线所在直线的斜率为( )A.－53或－35B.－32或－23C.－54或－45D.－43或－34答案 D解析 由已知，得点(－2，－3)关于y 轴的对称点为(2，－3)，由入射光线与反射光线的对称性，知反射光线一定过点(2，－3).设反射光线所在直线的斜率为k ， 则反射光线所在直线的方程为y ＋3＝k (x －2)， 即kx －y －2k －3＝0.由反射光线与圆相切，则有d ＝|－3k －2－2k －3|k 2＋1＝1，解得k ＝－43或k ＝－34，故选D.4.已知平行直线l 1：2x ＋y －1＝0，l 2：2x ＋y ＋1＝0，则l 1，l 2的距离为______. 答案255解析 d ＝|1＋1|22＋12＝255. 5.已知直线l ：mx ＋y ＋3m －3＝0与圆x 2＋y 2＝12交于A ，B 两点，过A ，B 分别做l 的垂线与x 轴交于C ，D 两点，若|AB |＝23，则|CD |＝________. 答案 4解析 设AB 的中点为M ，由题意知， 圆的半径R ＝23，|AB |＝23， 所以|OM |＝3，解得m ＝－33， 由⎩⎨⎧x －3y ＋6＝0，x 2＋y 2＝12解得A (－3，3)，B (0，23)，则AC 的直线方程为y －3＝－3(x ＋3)，BD 的直线方程为y －23＝－3x ，令y ＝0，解得C (－2，0)，D (2，0)， 所以|CD |＝4.高考必会题型题型一 直线方程的求法与应用例1 (1)若点P (1，1)为圆(x －3)2＋y 2＝9的弦MN 的中点，则弦MN 所在直线的方程为( ) A.2x ＋y －3＝0 B.x －2y ＋1＝0 C.x ＋2y －3＝0 D.2x －y －1＝0答案 D解析 由题意知圆心C (3，0)，k CP ＝－12.由k CP ·k MN ＝－1，得k MN ＝2，所以弦MN 所在直线的方程是2x －y －1＝0.(2)已知△ABC 的顶点A (3，－1)，AB 边上的中线所在直线方程为6x ＋10y －59＝0，∠B 的平分线所在直线方程为x －4y ＋10＝0，求BC 边所在直线的方程. 解 设B (4y 1－10，y 1)，由AB 中点在6x ＋10y －59＝0上，可得：6·4y 1－72＋10·y 1－12－59＝0，y 1＝5，∴B (10，5).设A 点关于x －4y ＋10＝0的对称点为A ′(x ′，y ′)，则有⎩⎪⎨⎪⎧x ′＋32－4·y ′－12＋10＝0，y ′＋1x ′－3·14＝－1⇒A ′(1，7)，∵点A ′(1，7)，B (10，5)在直线BC 上，∴y －57－5＝x －101－10，故BC 边所在直线的方程是2x ＋9y －65＝0. 点评 (1)两条直线平行与垂直的判定①若两条不重合的直线l 1，l 2的斜率k 1，k 2存在，则l 1∥l 2⇔k 1＝k 2，l 1⊥l 2⇔k 1k 2＝－1； ②判定两直线平行与垂直的关系时，如果给出的直线方程中存在字母系数，不仅要考虑斜率存在的情况，还要考虑斜率不存在的情况. (2)求直线方程的常用方法①直接法：直接选用恰当的直线方程的形式，写出结果；②待定系数法：先由直线满足的一个条件设出直线方程，使方程中含有一个待定系数，再由题给的另一条件求出待定系数.变式训练1 已知直线l 经过直线3x ＋4y －2＝0与直线2x ＋y ＋2＝0的交点P ，且垂直于直线x －2y －1＝0. (1)求直线l 的方程；(2)求直线l 关于原点O 对称的直线方程.解 (1)由⎩⎪⎨⎪⎧3x ＋4y －2＝0，2x ＋y ＋2＝0解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－2，y ＝2.所以点P 的坐标是(－2，2)，又因为直线x －2y －1＝0， 即y ＝12x －12的斜率为k ′＝12，由直线l 与x －2y －1＝0垂直可得k l ＝－1k ′＝－2， 故直线l 的方程为：y －2＝－2(x ＋2)，即2x ＋y ＋2＝0.(2)直线l 的方程2x ＋y ＋2＝0在x 轴、y 轴上的截距分别是－1与－2，则直线l 关于原点对称的直线在x 轴、y 轴上的截距分别是1与2， 所求直线方程为x 1＋y2＝1，即2x ＋y －2＝0.题型二 圆的方程例2 (1)如图，已知圆C 与x 轴相切于点T (1，0)，与y 轴正半轴交于两点A ，B (B 在A 的上方)，且|AB |＝2.①圆C 的标准方程为________________.②圆C 在点B 处的切线在x 轴上的截距为________.答案 ①(x －1)2＋(y －2)2＝2 ②－2－1解析 ①由题意，设圆心C (1，r )(r 为圆C 的半径)，则r 2＝⎝ ⎛⎭⎪⎫|AB |22＋12＝2，解得r ＝ 2.所以圆C 的方程为(x －1)2＋(y －2)2＝2.②方法一 令x ＝0，得y ＝2±1，所以点B (0，2＋1).又点C (1，2)，所以直线BC 的斜率为k BC ＝－1，所以过点B 的切线方程为y －(2＋1)＝x －0，即y ＝x ＋(2＋1). 令y ＝0，得切线在x 轴上的截距为－2－1.方法二 令x ＝0，得y ＝2±1，所以点B (0，2＋1).又点C (1，2)，设过点B 的切线方程为y －(2＋1)＝kx ，即kx －y ＋(2＋1)＝0.由题意，得圆心C (1，2)到直线kx －y ＋(2＋1)＝0的距离d ＝|k －2＋2＋1|k 2＋1＝r ＝2，解得k ＝1.故切线方程为x －y ＋(2＋1)＝0.令y ＝0，得切线在x 轴上的截距为－2－1.(2)已知圆C 经过点A (2，－1)，并且圆心在直线l 1：y ＝－2x 上，且该圆与直线l 2：y ＝－x ＋1相切. ①求圆C 的方程；②求以圆C 内一点B ⎝ ⎛⎭⎪⎫2，－52为中点的弦所在直线l 3的方程. 解 ①设圆的标准方程为(x －a )2＋(y －b )2＝r 2，则⎩⎪⎨⎪⎧(2－a )2＋(－1－b )2＝r 2，b ＝－2a ，|a ＋b －1|2＝r ，解得⎩⎨⎧a ＝1，b ＝－2，r ＝ 2.故圆C 的方程为(x －1)2＋(y ＋2)2＝2. ②由①知圆心C 的坐标为(1，－2)， 则k CB ＝－52－(－2)2－1＝－12.设直线l 3的斜率为k 3，由k 3·k CB ＝－1，可得k 3＝2. 故直线l 3的方程为y ＋52＝2(x －2)，即4x －2y －13＝0.点评 求圆的方程的两种方法(1)几何法：通过研究圆的性质、直线和圆、圆与圆的位置关系，进而求得圆的基本量和方程.(2)代数法：用待定系数法先设出圆的方程，再由条件求得各系数.变式训练2 已知圆x 2＋y 2＝4上一定点A (2，0)，B (1，1)为圆内一点，P ，Q 为圆上的动点. (1)求线段AP 中点的轨迹方程；(2)若∠PBQ ＝90°，求线段PQ 中点的轨迹方程.解 (1)设AP 的中点为M (x ，y )，由中点坐标公式可知，P 点坐标为(2x －2，2y ). 因为P 点在圆x 2＋y 2＝4上， 所以(2x －2)2＋(2y )2＝4，故线段AP 中点的轨迹方程为(x －1)2＋y 2＝1. (2)设PQ 的中点为N (x ，y )，连接BN . 在Rt △PBQ 中，|PN |＝|BN |.设O 为坐标原点，连接ON ，则ON ⊥PQ ， 所以|OP |2＝|ON |2＋|PN |2＝|ON |2＋|BN |2， 所以x 2＋y 2＋(x －1)2＋(y －1)2＝4.故线段PQ 中点的轨迹方程为x 2＋y 2－x －y －1＝0. 题型三 直线与圆的位置关系、弦长问题例3 (1)(2015·重庆)已知直线l ：x ＋ay －1＝0(a ∈R )是圆C ：x 2＋y 2－4x －2y ＋1＝0的对称轴，过点A (－4，a )作圆C 的一条切线，切点为B ，则|AB |等于( ) A.2B.42C.6D.210 答案 C解析 根据直线与圆的位置关系求解.由于直线x ＋ay －1＝0是圆C ：x 2＋y 2－4x －2y ＋1＝0的对称轴，∴圆心C (2，1)在直线x ＋ay －1＝0上，∴2＋a －1＝0，∴a ＝－1，∴A (－4，－1). ∴|AC |2＝36＋4＝40.又r ＝2，∴|AB |2＝40－4＝36. ∴|AB |＝6.(2)已知圆C ：x 2＋y 2－2x ＋4y －4＝0.①写出圆C 的标准方程，并指出圆心坐标和半径大小；②是否存在斜率为1的直线m ，使m 被圆C 截得的弦为AB ，且OA ⊥OB (O 为坐标原点).若存在，求出直线m 的方程；若不存在，请说明理由. 解 ①圆C 的标准方程为(x －1)2＋(y ＋2)2＝9， 则圆心C 的坐标为(1，－2)，半径为3. ②假设存在这样的直线m ， 根据题意可设直线m ：y ＝x ＋b .联立直线与圆的方程⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋y 2－2x ＋4y －4＝0，y ＝x ＋b得2x 2＋2(b ＋1)x ＋b 2＋4b －4＝0， 因为直线与圆相交，所以Δ>0， 即b 2＋6b －9<0，且满足x 1＋x 2＝－b －1，x 1x 2＝b 2＋4b －42，设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)， 则y 1＝x 1＋b ，y 2＝x 2＋b ，由OA ⊥OB 得OA →·OB →＝x 1x 2＋y 1y 2＝0，所以x 1x 2＋(x 1＋b )(x 2＋b )＝2x 1x 2＋b (x 1＋x 2)＋b 2＝0， 即b 2＋3b －4＝0得b ＝－4或b ＝1， 且均满足b 2＋6b －9<0，故所求的直线m 存在，方程为y ＝x －4或y ＝x ＋1. 点评 研究直线与圆位置关系的方法(1)研究直线与圆的位置关系的最基本的解题方法为代数法，将几何问题代数化，利用函数与方程思想解题.(2)与弦长有关的问题常用几何法，即利用圆的半径r ，圆心到直线的距离d 及半弦长l2，构成直角三角形的三边，利用其关系来处理.变式训练3 已知以点C (t ，2t)(t ∈R ，t ≠0)为圆心的圆与x 轴交于点O ，A ，与y 轴交于点O ，B ，其中O 为原点.(1)求证：△OAB 的面积为定值；(2)设直线y ＝－2x ＋4与圆C 交于点M ，N ，若|OM |＝|ON |，求圆C 的方程. (1)证明 ∵圆C 过原点O ，且|OC |2＝t 2＋4t2.∴圆C 的方程是(x －t )2＋(y －2t )2＝t 2＋4t2，令x ＝0，得y 1＝0，y 2＝4t；令y ＝0，得x 1＝0，x 2＝2t ，∴S △OAB ＝12|OA |·|OB |＝12×|4t |×|2t |＝4，即△OAB 的面积为定值.(2)解 ∵|OM |＝|ON |，|CM |＝|CN |， ∴OC 垂直平分线段MN . ∵k MN ＝－2，∴k OC ＝12.∴2t ＝12t ，解得t ＝2或t ＝－2. 当t ＝2时，圆心C 的坐标为(2，1)，|OC |＝5， 此时C 到直线y ＝－2x ＋4的距离d ＝15<5，圆C 与直线y ＝－2x ＋4相交于两点.当t ＝－2时，圆心C 的坐标为(－2，－1)，|OC |＝5， 此时C 到直线y ＝－2x ＋4的距离d ＝95> 5.圆C 与直线y ＝－2x ＋4不相交， ∴t ＝－2不符合题意，舍去. ∴圆C 的方程为(x －2)2＋(y －1)2＝5.高考题型精练1.已知x ，y 满足x ＋2y －5＝0，则(x －1)2＋(y －1)2的最小值为( ) A.45B.25C.255 D.105 答案 A解析 (x －1)2＋(y －1)2表示点P (x ，y )到点Q (1，1)的距离的平方.由已知可得点P 在直线l ：x ＋2y －5＝0上，所以|PQ |的最小值为点Q 到直线l 的距离，即d ＝|1＋2×1－5|1＋22＝255， 所以(x －1)2＋(y －1)2的最小值为d 2＝45.故选A.2.“m ＝3”是“直线l 1：2(m ＋1)x ＋(m －3)y ＋7－5m ＝0与直线l 2：(m －3)x ＋2y －5＝0垂直”的( ) A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件答案 A解析 由l 1⊥l 2得2(m ＋1)(m －3)＋2(m －3)＝0， ∴m ＝3或m ＝－2.∴m ＝3是l 1⊥l 2的充分不必要条件.3.若动点A ，B 分别在直线l 1：x ＋y －7＝0和l 2：x ＋y －5＝0上移动，则AB 的中点M 到原点的距离的最小值为( ) A.32B.22C.33D.4 2 答案 A解析 依题意知AB 的中点M 的集合是与直线l 1：x ＋y －7＝0和l 2：x ＋y －5＝0的距离都相等的直线，则M 到原点的距离的最小值为原点到该直线的距离， 设点M 所在直线的方程为l ：x ＋y ＋m ＝0， 根据平行线间的距离公式得|m ＋7|2＝|m ＋5|2⇒|m ＋7|＝|m ＋5|⇒m ＝－6，即l ：x ＋y －6＝0，根据点到直线的距离公式，得M 到原点的距离的最小值为|－6|2＝3 2.4.(2016·山东)已知圆M ：x 2＋y 2－2ay ＝0(a ＞0)截直线x ＋y ＝0所得线段的长度是22，则圆M 与圆N ：(x －1)2＋(y －1)2＝1的位置关系是( ) A.内切B.相交C.外切D.相离 答案 B解析 ∵圆M ：x 2＋(y －a )2＝a 2， ∴圆心坐标为M (0，a )，半径r 1＝a ， 圆心M 到直线x ＋y ＝0的距离d ＝|a |2，由几何知识得⎝⎛⎭⎪⎫|a |22＋(2)2＝a 2，解得a ＝2. ∴M (0，2)，r 1＝2.又圆N 的圆心坐标N (1，1)，半径r 2＝1，∴|MN |＝(1－0)2＋(1－2)2＝2，r 1＋r 2＝3，r 1－r 2＝1.∴r 1－r 2＜|MN |＜r 1＋r 2，∴两圆相交，故选B.5.与圆x 2＋y 2＝1和圆x 2＋y 2－8x ＋7＝0都相切的圆的圆心轨迹是( ) A.椭圆B.椭圆和双曲线的一支C.双曲线和一条直线(去掉几个点)D.双曲线的一支和一条直线(去掉几个点) 答案 D解析 设所求圆圆心为M (x ，y )，半径为r ， 圆x 2＋y 2－8x ＋7＝0⇒(x －4)2＋y 2＝9，圆心设为C (4，0)，由题意得当动圆与两定圆外切时， 即|MO |＝r ＋1，|MC |＝r ＋3，从而|MC |－|MO |＝2<|OC |， 因此为双曲线的一支，当动圆与两定圆一个外切一个内切时， 必切于两定圆切点，即M 必在x 轴上， 但需去掉O ，C 及两定圆切点，因此选D.6.(2015·课标全国Ⅱ)已知三点A (1，0)，B (0，3)，C (2，3)，则△ABC 外接圆的圆心到原点的距离为( ) A.53B.213 C.253 D.43 答案 B解析 由点B (0，3)，C (2，3)，得线段BC 的垂直平分线方程为x ＝1，① 由点A (1，0)，B (0，3)，得线段AB 的垂直平分线方程为y －32＝33⎝⎛⎭⎪⎫x －12，②联立①②，解得△ABC 外接圆的圆心坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫1，233，其到原点的距离为12＋⎝ ⎛⎭⎪⎫2332＝213.故选B.7.(2016·山东)在[－1，1]上随机地取一个数k ，则事件“直线y ＝kx 与圆(x －5)2＋y 2＝9相交”发生的概率为________. 答案 34解析 由已知得，圆心(5，0)到直线y ＝kx 的距离小于半径，∴|5k |k 2＋1<3，解得－34<k <34，由几何概型得P ＝34－⎝ ⎛⎭⎪⎫－341－(－1)＝34.8.在平面直角坐标系xOy 中，圆C 的方程为x 2＋y 2－8x ＋15＝0，若直线y ＝kx －2上至少存在一点，使得以该点为圆心，1为半径的圆与圆C 有公共点，则k 的最大值是________. 答案 43解析 圆C 的标准方程为(x －4)2＋y 2＝1，圆心为(4，0). 由题意知(4，0)到kx －y －2＝0的距离应不大于2， 即|4k －2|k 2＋1≤2.整理，得3k 2－4k ≤0.解得0≤k ≤43.故k 的最大值是43.9.在平面直角坐标系xOy 中，已知圆x 2＋y 2＝4上有且仅有三个点到直线12x －5y ＋c ＝0的距离为1，则实数c 的值为________. 答案 ±13解析 因为圆心到直线12x －5y ＋c ＝0的距离为|c |13，所以由题意得|c |13＝1，c ＝±13.10.已知直线l 过点(－2，0)，当直线l 与圆x 2＋y 2＝2x 有两个交点时，其斜率k 的取值范围是________________. 答案 (－24，24) 解析 因为已知直线过点(－2，0)，那么圆的方程x 2＋y 2＝2x 配方为(x －1)2＋y 2＝1，表示的是圆心为(1，0)，半径为1的圆， 设过点(－2，0)的直线的斜率为k ， 则直线方程为y ＝k (x ＋2)， 则点到直线距离等于圆的半径1， 有d ＝|k －0＋2k |k 2＋1＝1，化简得8k 2＝1， 所以k ＝±24， 然后可知此时有一个交点，那么当满足题意的时候， 可知斜率的取值范围是(－24，24)，故答案为(－24，24). 11.已知过点A (0，1)，且方向向量为a ＝(1，k )的直线l 与圆C ：(x －2)2＋(y －3)2＝1相交于M ，N 两点.(1)求实数k 的取值范围；(2)若O 为坐标原点，且OM →·ON →＝12，求k 的值.解 (1)∵直线l 过点A (0，1)且方向向量为a ＝(1，k )，∴直线l 的方程为y ＝kx ＋1. 由|2k －3＋1|k 2＋1＜1，得4－73＜k ＜4＋73.(2)设M (x 1，y 1)，N (x 2，y 2)，将y ＝kx ＋1代入方程(x －2)2＋(y －3)2＝1，得(1＋k 2)x 2－4(1＋k )x ＋7＝0，∴x 1＋x 2＝4(1＋k )1＋k 2，x 1x 2＝71＋k 2，∴OM →·ON →＝x 1x 2＋y 1y 2＝(1＋k 2)x 1x 2＋k (x 1＋x 2)＋1＝4k (1＋k )1＋k 2＋8＝12，∴4k (1＋k )1＋k 2＝4，解得k ＝1.12.已知圆M ∶x 2＋(y －2)2＝1，Q 是x 轴上的动点，QA ，QB 分别切圆M 于A ，B 两点.(1)若Q (1，0)，求切线QA ，QB 的方程；(2)求四边形QAMB 面积的最小值；(3)若|AB |＝423，求直线MQ 的方程.解 (1)设过点Q 的圆M 的切线方程为x ＝my ＋1，则圆心M 到切线的距离为1，∴|2m ＋1|m 2＋1＝1，∴m ＝－43或0，∴切线QA ，QB 的方程分别为3x ＋4y －3＝0和x ＝1.(2)∵MA ⊥AQ ，∴S 四边形MAQB ＝|MA |·|QA |＝|QA | ＝|MQ |2－|MA |2＝|MQ |2－1 ≥|MO |2－1＝ 3.∴四边形QAMB 面积的最小值为 3.(3)设AB 与MQ 交于点P ，则MP ⊥AB .∵MB ⊥BQ ，∴|MP |＝1－⎝ ⎛⎭⎪⎫2232＝13.在Rt △MBQ 中，|MB |2＝|MP |·|MQ |，即1＝13|MQ |，∴|MQ |＝3.设Q (x ，0)，则x 2＋22＝9，∴x ＝±5，∴Q (±5，0)，∴直线MQ 的方程为2x ＋5y －25＝0或2x －5y ＋25＝0.。

20XX年高中测试高中试题试卷科目：年级：考点：监考老师：日期：20XX 年高考数学高频考点7、直线和圆的方程命题动向直线在高考中的考查热点之一是与直线有关的基本概念（如直线的倾斜角、斜率、截距、夹角、到角、两直线平行与垂直的条件等）与基本公式（如过两点的斜率公式、两点间的距离公式等），二是求不同条件下的直线方程．近几年高考对圆的考查有以下几种形式：考查位置关系，重点是直线与圆的位置关系；考查求解圆的方程；利用圆的参数方程求最值或范围问题．在以解析几何问题为主的大题中圆与直线及圆锥曲线的综合问题也占有一定的比重．这类试题所考查的数学思想与方法有：分类讨论思想、数形结合思想、转化与化归思想、函数与方程思想及换元法、待定系数法等．线性规划的考查特点：一是以选择题、填空题形式将直线方程、不等式、最值等内容融为一体，考查线性规划的基础知识与基本应用；二是将线性规划与实际生活或其他知识结合而命制试题，考查考生的综合素质.押猜题12若直线1+=kx y 与圆0422=-+++my kx y x 交于M 、N 两点，且M 、N 关于直线0=-y x 对称，动点),(b a P 在不等式组⎪⎩⎪⎨⎧≥≤-≥+-0002y my kx y kx 所表示的平面区域的内部及边界上运动，则12--=a b ω的取值范围是（ ） A ．),2[]2,(+∞--∞ B ．),2()2,(+∞--∞C ．]2,2[-D ．)2,2(-解析由题意可知直线1+=kx y 与直线0=-y x 垂直，所以1-=k ，由题意知圆心)2,2(m k C --在直线0=-y x 上，可求得1-=m .则不等式组即为⎪⎩⎪⎨⎧≥≤+-≥+--.0,0,02y y x y x 其所表示的平面区域如图中阴影部分所示，12--=a b ω的几何意义是点)2,1(Q 与平面区域上的点),(b a P 的连线的斜率.而,2=OQ k ,2-=AQ k 所以ω的取值范围为：).,2[]2,(+∞--∞ 故选A.点评本题考查了直线与圆的位置关系，两直线垂直时其斜率关系的应用，线性规划的运用.运用“等价转化”的数学思想，将位置关系转化为求斜率范围的问题.。

专题15 直线与圆（2）【自主热身，归纳总结】1、 圆心在直线y ＝－4x 上，且与直线x ＋y －1＝0相切于点P (3，－2)的圆的标准方程为________． 【答案】： (x －1)2＋(y ＋4)2＝8解法1 设圆心为(a ，－4a )，则有r ＝|a －4a －1|2＝a －2＋－4a ＋2，解得a ＝1，r ＝22，则圆的方程为(x －1)2＋(y ＋4)2＝8.解法2 过点P (3，－2)且垂直于直线x ＋y －1＝0的直线方程为x －y －5＝0，联立方程组⎩⎪⎨⎪⎧x －y －5＝0，y ＝－4x ，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1，y ＝－4，则圆心坐标为(1，－4)，半径为r ＝－2＋－4＋2＝22，故圆的方程为(x－1)2＋(y ＋4)2＝8.2、 在平面直角坐标系xOy 中，若直线ax ＋y －2＝0与圆心为C 的圆(x －1)2＋(y －a )2＝16相交于A ，B 两点，且△ABC 为直角三角形，则实数a 的值是________． 【答案】： －1【解析】：因为△ABC 为直角三角形，所以BC ＝AC ＝r ＝4，所以圆心C 到直线AB 的距离为22，从而有|a ＋a －2|a 2＋1＝22，解得a ＝－1. 3、 已知直线l ：x ＋3y －2＝0与圆C ：x 2＋y 2＝4交于A ，B 两点，则弦AB 的长度为________. 【答案】：. 2 3【解析】：圆心C (0,0)到直线l 的距离d ＝|0＋3×0－2|1＋3＝1，由垂径定理得AB ＝2R 2－d 2＝24－1＝23，故弦AB 的长度为2 3. 4、已知过点(25)，的直线l 被圆截得的弦长为4，则直线l的方程为 . 【答案】：20x -=或【解析】：化成标准式为：.因为截得弦长为4小于直径故该直线必有两条且圆心到直线的距离为.当斜率不存在时，:2l x =，显然符合要求。

当斜率存在时，，，截得43k =， 故直线l 为.5、在平面直角坐标系xOy 中，若动圆C 上的点都在不等式组⎩⎨⎧x ≤3，x －3y ＋3≥0x ＋3y ＋3≥0，表示的平面区域内，则面积最大的圆C 的标准方程为________． 【答案】： (x －1)2＋y 2＝4【解析】：首先由线性约束条件作出可行域，面积最大的圆C 即为可行域三角形的内切圆(如图)，由对称性可知，圆C 的圆心在x 轴上，设半径为r ，则圆心C(3－r ，0)，且它与直线x －3y ＋3＝0相切，所以|3－r ＋3|1＋3＝r ，解得r ＝2，所以面积最大的圆C 的标准方程为(x －1)2＋y 2＝4.6、在平面直角坐标系xOy 中，若圆(x －2)2＋(y －2)2＝1上存在点M ，使得点M 关于x 轴的对称点N 在直线kx ＋y ＋3＝0上，则实数k 的最小值为________．7、已知经过点P ⎝ ⎛⎭⎪⎫1，32的两个圆C 1，C 2都与直线l 1：y ＝12x ，l 2：y ＝2x 相切，则这两圆的圆心距C 1C 2＝________. 【答案】 459【解析】：易求直线C 1C 2的方程为y ＝x ，设C 1(x 1，x 1)，C 2(x 2，x 2)， 由题意得C 1(x 1，x 1)到直线2x －y ＝0的距离等于C 1P ，即|2x 1－x 1|5＝x 1－2＋x 1－322，整理得9x 21－25x 1＋654＝0，同理可得9x 22－25x 2＋654＝0，所以x 1，x 2是方程9x 2－25x ＋654＝0的两个实数根，从而x 1＋x 2＝259，x 1x 2＝6536，所以圆心距C 1C 2＝2|x 1－x 2|＝2·x 1＋x 22－4x 1x 2＝2·⎝ ⎛⎭⎪⎫2592－4×6536＝459. 8、在平面直角坐标系xOy 中，已知圆C ：x 2＋(y －3)2＝2，点A 是x 轴上的一个动点，AP ，AQ 分别切圆C 于P ，Q 两点，则线段PQ 长的取值范围是________． 【答案】 ⎣⎢⎡⎭⎪⎫2143，22 【解析】：设∠PCA ＝θ，所以PQ ＝22sin θ.又cos θ＝2AC，AC ∈[3，＋∞)，所以cos θ∈⎝ ⎛⎦⎥⎤0，23，所以cos 2θ∈⎝ ⎛⎦⎥⎤0，29，sin 2θ＝1－cos 2θ∈⎣⎢⎡⎭⎪⎫79，1，所以sin θ∈⎣⎢⎡⎭⎪⎫73，1，所以PQ ∈⎣⎢⎡⎭⎪⎫2143，22.解后反思 与切线有关的问题，一般都不需要求出切点，而是利用直线与圆相切时所得到的直角三角形转化为点与圆心的距离问题求解．9、在平面直角坐标系xOy 中，已知点(02)A -，，点(11)B -，，P 为圆222x y +=上一动点，则PBPA 的最大值是 ． 【答案】、2【解析】1：设(,)P x y ，则222x y +=，，令1232x t y -=+，即，则动直线与圆222x y +=必须有公共点，所以，解得71t -≤≤，所以，即[0,2]PB PA ∈，PBPA的最大值是2. （有了上面的解法，也可设，直接通过动直线与圆222x y +=有公共点来解决）【解析】2：设(,)P x y ，则222x y +=，令，则，即，因为222x y +=，所以，则动直线与圆222x y +=必须有公共点，所以，解得04λ≤≤，即[0,2]PB PA ∈，PB PA的最大值是2. 【解析】3：因为P 为圆222x y +=上一动点，故设（R θ∈），则令，整理为，由，解得04λ≤≤，从而[0,2]PB PA ∈，PBPA的最大值是2. 10、在平面直角坐标系xOy 中，圆C 的方程为(x －1)2＋(y －1)2＝9，直线l ：y ＝kx ＋3与圆C 相交于A ，B 两点，M 为弦AB 上一动点，以M 为圆心，2为半径的圆与圆C 总有公共点，则实数k 的取值范围为 ． 【答案】3,4⎡⎫-+∞⎪⎢⎣⎭思路分析：根据两个圆的位置关系的判断方法，本题即要求则可，根据图形的对称性， 当点M 位于AB 的中点时存在公共点，则在其它位置时，一定存在公共点，由点到直线的距离不难得到答案。

九种直线和圆的方程的解题方法题型一：直接法求直线方程 一、单选题 1．（2022·全国·高三专题练习）直线l 经过两条直线10x y -+=和2320x y ++=的交点，且平行于直线240x y -+=，则直线l 的方程为（ ） A ．210x y --= B ．210x y -+= C ．220x y -+=D ．220x y +-=2．（2022·全国·高三专题练习（文））若经过点(1,2)P --的直线与圆225x y +=相切，则该直线在y 轴上的截距为( ) A ．52B ．5C ．52-D ．5-3．（2022·浙江·高三专题练习）如图，圆1C 、2C 在第一象限，且与x 轴，直线:l y =均相切，则圆心1C 、2C 所在直线的方程为（ ）A ．y =B ．y x =C ．y =D ．y x =4．（2022·重庆·高三开学考试）若直线l 交圆22:420C x y x y +-+=于A 、B 两点，且弦AB 的中点为()1,0M ，则l 方程为（ ） A ．10x y --= B ．10x y -+=C ．10x y +-=D ．10x y ++=二、多选题5．（2022·全国·高三专题练习）过点()2,3A 且在两坐标轴上截距相等的直线方程为（ ） A ．320x y -=B ．230x y -=C ．5x y +=D ．1x y -=-6．（2022·全国·高三专题练习）已知(1,2)A ，(3,4)B -，(2,0)C -，则（ ） A ．直线0x y -=与线段AB 有公共点 B ．直线AB 的倾斜角大于135︒C ．ABC 的边BC 上的中线所在直线的方程为2y =D ．ABC 的边BC 上的高所在直线的方程为470x y -+=7．（2022·全国·高三专题练习）已知直线l 过点P （－1，1），且与直线1:230l x y -+=以及x 轴围成一个底边在x 轴上的等腰三角形，则下列结论正确的是（ ） A ．直线l 与直线l 1的斜率互为相反数B ．所围成的等腰三角形面积为1C ．直线l 关于原点的对称直线方程为210x y +-=D ．原点到直线l 8．（2021·全国·模拟预测）已知平面上的线段l 及点P ，任取l 上一点Q ，称线段PQ 长度的最小值为点P 到线段l 的距离，记作(,)d P l .已知线段1:(122)l x y =--≤≤，21:()20l x y =-≤≤，点P 为平面上一点，且满足12(,)(,)d P l d P l =，若点P 的轨迹为曲线C ，A ，B 是第一象限内曲线C 上两点，点(10)F ，且54AF =，BF = ） A ．曲线C 关于x 轴对称 B ．点A 的坐标为1,14⎛⎫ ⎪⎝⎭C ．点B 的坐标为35,22⎛⎫⎪⎝⎭D ．FAB 的面积为1916题型二：待定系数法求直线方程一、单选题 1．（2022·内蒙古·满洲里市教研培训中心模拟预测（理））已知抛物线C ：22y px =的焦点F 的坐标为()20，，准线与x 轴交于点A ，点M 在第一象限且在抛物线C 上，则当MAMF取得最大值时，直线M A 的方程为（ ） A ．24y x =+ B ．24y x =-- C ．y =x +2D ．2y x =--2．（2022·全国·高三专题练习）若直线1:2330l x y --=与2l 互相平行，且2l 过点(2,1)，则直线2l 的方程为（ ） A ．3270x y +-= B ．3240x y -+= C ．2330x y -+=D ．2310x y --=3．（2022·全国·高三专题练习）已知直线:20l ax y a +-+=在x 轴与y 轴上的截距相等，则实数a 的值是（ ） A ．1B ．﹣1C ．﹣2或1D ．2或14．（2022·全国·高三专题练习）过点()1,2作直线l ，满足在两坐标轴上截距的绝对值相等的直线l 有（ ）条. A ．1 B ．2C ．3D ．4二、多选题5．（2021·重庆梁平·高三阶段练习）已知直线l 10y -+=，则下列结论正确的是（ ）A ．直线l 的倾斜角是3πB ．若直线m ：10x +=，则l m ⊥ C．点到直线l 的距离是2D ．过2)与直线l 40y --= 6．（2022·全国·高三专题练习）下列命题正确的是（ ）A ．已知点3(2,)A -，(3,2)B --，若直线(1)1y k x =-+与线段AB 有交点，则34k ≥或4k ≤-B ．1m =是直线1l ：10mx y +-=与直线2l ：()220m x my -+-=垂直的充分不必要条件C ．经过点()1,1且在x 轴和y 轴上的截距都相等的直线的方程为20x y +-=D ．已知直线1l ：10ax y -+=，2l ：10x ay ++=，R a ∈，和两点(0,1)A ，(1,0)B -，如果1l 与2l 交于点M ，则MA MB ⋅的最大值是1.7．（2022·全国·高三专题练习）下列说法错误．．的是（ ） A ．若直线210a x y -+=与直线20x ay --=互相垂直，则1a =- B ．直线sin 20x y α++=的倾斜角的取值范围是30,,)44[πππ⎡⎤⋃⎢⎥⎣⎦C ．()()()()0,1,2,1,3,4,1,2A B CD -四点不在同一个圆上D ．经过点()1,1且在x 轴和y 轴上截距都相等的直线方程为20x y +-=8．（2021·全国·高三专题练习）直线l 与圆22(2)2x y -+=相切，且l 在x 轴、y 轴上的截距相等，则直线l 的方程可能是A ．0x y +=B ．20x y +-=C ．0x y -=D ．40x y +-=三、填空题9．（2022·全国·高三专题练习（理））已知抛物线2:4C y x =的焦点为F ，过焦点F 的直线C 交于11(,)A x y ，22(,)B x y 两点，若21154x x -=，则直线AB 的方程为______． 10．（2020·黑龙江·哈师大附中高三期末（理））若过点()1,1A 的直线l 将圆()()22:324C x y -+-=的周长分为2:1两部分，则直线l 的斜率为___________.四、解答题11．（2022·全国·高三专题练习）已知圆C ：()()22214x y -+-=，直线l ：()()423360m x m y m ----=.(1)过点()4,2P -，作圆C 的切线1l ，求切线1l 的方程；(2)判断直线l 与圆C 是否相交，若相交，求出直线l 被圆截得的弦长最短时m 的值及最短弦长；若不相交，请说明理由.12．（2022·全国·高三专题练习）已知椭圆C 的中心在原点，焦点在x 轴上，左右焦点分别为1F ，2F ，且12||2F F ，点3(1,)2在椭圆C 上.（1）求椭圆C 的方程；（2）过1F 的直线l 与椭圆C 相交于,A B 两点，且2AF B ∆，求以2F 为圆心且与直线l 相切的圆的方程.题型三：已知两直线位置关系求参数值或范围一、单选题 1．（2022·四川凉山·三模（理））已知直线1:210l x y -+=，2:10l x ay +-=，且12l l ⊥，点()1,2P 到直线2l 的距离d =（ ）A BC D 2．（2022·辽宁·二模）己知直线:0l ax y a ++=，直线:0m x ay a ++=，则l m ∥的充要条件是（ ） A ．1a =- B ．1a = C ．1a =± D ．0a =二、多选题3．（2021·重庆一中高三阶段练习）下列说法正确的有（ ）A ．若m ∈R ，则“1m =”是“1l ：330x my m -+=与2l ：()20m x y m +--=平行”的充要条件B ．当圆222110x y x +--=截直线l ：()1y kx k =+∈R 所得的弦长最短时，1k =-C ．若圆1C ：222x y t +=+与圆2C ：()()22349x y -++=有且仅有两条公切线，则()2,6t ∈D ．直线l ：tan 412022y x =-︒⋅+的倾斜角为139°4．（2021·广东·高三阶段练习）已知直线l 过点()1,2M 且与圆C ：()2225x y -+=相切，直线l 与x 轴交于点N ，点P 是圆C 上的动点，则下列结论中正确的有（ ） A ．点N 的坐标为()3,0- B ．MNP △面积的最大值为10C ．当直线l 与直线10ax y -+=垂直时，2a =D ．tan MNP ∠的最大值为43三、填空题5．（2022·陕西·安康市高新中学三模（理））若双曲线()2222:10,0x y C a b a b-=>>的一条渐近线l 与直线:20g ax by a ++=平行，则直线l ，g 间的距离为______． 6．（2022·天津·二模）在平面直角坐标系xOy 中，已知圆222:(62)4560C x y m x my m m +---+-=，直线l 经过点(1,2)-，若对任意的实数m ，直线l 被圆C 截得的弦长都是定值，则直线l 的方程为___________.四、解答题7．（2022·全国·高三专题练习）已知曲线32y x x =+-在点0P 处的切线1l 平行于直线410x y --=，且点0P 在第三象限．(1)求0P 的坐标；(2)若直线1l l ⊥，且l 也过切点0P ，求直线l 的方程．8．（2020·江苏·南京师大附中模拟预测）如图，在平面直角坐标系xOy 中，已知圆221:(4)1C x y ++=，圆222:(4)4C x y -+=，A 是第一象限内的一点，其坐标为(,)t t ．（1）若1212AC AC →→⋅=-，求t 的值； （2）过A 点作斜率为k 的直线l ，①若直线l 和圆1C ，圆2C 均相切，求k 的值；①若直线l 和圆2C ，圆2C 分别相交于,A B 和,C D ，且AB CD =，求t 的最小值．题型四：求解直线的定点 一、单选题1．（2022·山东滨州·二模）已知直线()22:1(32)250l m m x m y m +++---=，圆22:20C x y x +-=，则直线l 与圆C 的位置关系是（ ）A ．相离B ．相切C ．相交D ．不确定2．（2022·陕西·榆林市教育科学研究所模拟预测（理））在平面直角坐标系xOy 中，已知圆22:1O x y +=，若曲线12y k x =-+上存在四个点()1,2,3,4i P i =，过动点Pi 作圆O 的两条切线，A ，B 为切点，满足32i iP A PB ⋅=，则k 的取值范围为（ ） A ．4,3∞⎛⎫-- ⎪⎝⎭B ．4,03⎛⎫- ⎪⎝⎭C ．(,7)(4,13)--∞--D ．4(7,)1)30(,---二、多选题3．（2022·湖南·长沙市明德中学二模）已知O 为坐标原点，点()P a b ，在直线()40l kx y k --=∈R ：上，PA PB ，是圆222x y +=的两条切线，A B ，为切点，则（ ） A ．直线l 恒过定点()04，B ．当PAB △为正三角形时，OP =C ．当PA PB ⊥时，k 的取值范围为()7⎡-∞+∞⎣，，D．当14PO PA ⋅=时，a b +的最大值为4．（2022·江苏盐城·三模）设直线l ：()220mx y m m R --+=∈，交圆C ：()()22349x y -+-=于A ，B 两点，则下列说法正确的有（ ）A ．直线l 恒过定点()1,2B ．弦AB 长的最小值为4C ．当1m =时，圆C 关于直线l 对称的圆的方程为：()()22439x y -+-=D ．过坐标原点O 作直线l 的垂线，垂足为点M ，则线段MC 5．（2022·重庆·高三阶段练习）在平面直角坐标系xOy 中，圆22:1O x y +=，若曲线12y k x =-+上存在四个点()1,2,3,4=i P i ，过动点i P 作圆O 的两条切线，A ，B 为切点，满足32i iP A PB ⋅=，则k 的值可能为（ ） A ．-7 B ．-5 C ．-2 D ．–1三、双空题6．（2022·北京房山·二模）已知圆()()22:121C x y -+-=和直线():1l y k x =+，则圆心坐标为___________；若点P 在圆C 上运动，P 到直线l 的距离记为()d k ，则()d k 的最大值为___________. 四、填空题7．（2022·河南焦作·三模（文））已知()f x 是定义在R 上的奇函数，其图象关于点(2,0)对称，当[0,2]x ∈时，()f x =()(2)0f x k x --=的所有根的和为6，则实数k 的取值范围是______． 五、解答题8．（2022·全国·高三专题练习）O 为坐标原点，动点M 在椭圆22:12x C y +=上，过M 作x 轴的垂线，垂足为N ，点P 满足2NP NM =. (1)求点P 的轨迹方程；(2)设点Q 在直线3x =-上，且1OP PQ =，直线l 过点P 且垂直于OQ ，求证：直线过定点.9．（2022·全国·高三专题练习）在平面直角坐标系xoy 中，如图，已知椭圆22195x y +=的左、右顶点为A 、B ，右焦点为F ，设过点(,)T t m 的直线TA 、TB 与此椭圆分别交于点1(M x ，1)y 、2(N x ，2)y ，其中0m >，10y >，20y <(1)设动点P 满足()()13PF PB PF PB +-=，求点P 的轨迹方程；(2)设12x =，213x =，求点T 的坐标；(3)若点T 在点P 的轨迹上运动，问直线MN 是否经过x 轴上的一定点，若是，求出定点的坐标；若不是，说明理由.题型五：直线相关的对称问题一、单选题 1．（2022·全国·高三专题练习（理））集合M 在平面直角坐标系中表示线段的长度之和记为M .若集合(){}22,925A x y xy =≤+≤，(){},B x y y x m ==+，(){},2C x y y kx k ==+-则下列说法中不正确的有（ ）A ．若AB ⋂≠∅，则实数m 的取值范围为{m m -≤ B ．存在k ∈R ，使A C ⋂≠∅C ．无论k 取何值，都有A C ⋂≠∅D ．A C 的最大值为42．（2022·全国·高三专题练习）已知平面向量12312312,,,1,,60e e e e e e e e ︒====.若对区间1,12⎡⎤⎢⎥⎣⎦内的三个任意的实数123,,λλλ,都有11223312312e e e e e e λλλ++++,则向量1e 与3e 夹角的最大值的余弦值为（ ）A ．B ．C ．D ．二、多选题3．（2022·全国·模拟预测）已知直线:50l x y -+=，过直线上任意一点M 作圆()22:34C x y -+=的两条切线，切点分别为A ，B ，则有（ ）A ．四边形MACB 面积的最小值为B ．AMB ∠最大度数为60°C ．直线AB 过定点15,22⎛⎫ ⎪⎝⎭D ．AB 4．（2022·福建三明·模拟预测）已知直线l ：10kx y k --+=与圆C ：()()222216x y -++=相交于A ，B 两点，O 为坐标原点，下列说法正确的是（ ）A ．AB 的最小值为B ．若圆C 关于直线l 对称，则3k =C ．若2ACB CAB ∠=∠，则1k =或17k =-D ．若A ，B ，C ，O 四点共圆，则13k =-三、填空题5．（2022·全国·模拟预测）已知平面内点,05n n A ⎛⎫- ⎪⎝⎭，,05n n B ⎛⎫⎪⎝⎭()*n ∈N ，点n C 满足n n n n A C B C ⊥．设n C 到直线()3410x y n n +++=的距离的最大值为n a ，若数列1n a ⎧⎫⎨⎬⎩⎭的前n项和n S m <恒成立，则实数m 能取的最小值是______．6．（2022·天津·南开中学模拟预测）已知圆221:(1)(2)4C x y -+-=和圆222:(2)(1)2C x y -+-=交于,A B 两点，直线l 与直线AB 平行，且与圆2C 相切，与圆1C 交于点,M N ，则MN =__________．7．（2022·广东佛山·模拟预测）已知点1,0A ，()3,0B ，若2PA PB ⋅=，则点P 到直线l ：340x y -+=的距离的最小值为____________．四、解答题8．（2022·安徽·蚌埠二中模拟预测（理））在直角坐标系xOy 中，曲线C 的参数方程为22224x t ty t ⎧=-⎨=+⎩(t 为参数)． (1)求C 与坐标轴交点的直角坐标；(2)以坐标原点O 为极点，x 轴非负半轴为极轴建立极坐标系，曲线C 与坐标轴的交点是否共圆，若共圆，求出该圆的极坐标方程；若不共圆，请说明理由.9．（2022·安徽·寿县第一中学高三阶段练习（理））已知直线:sin cos 0l x y a θθ++=，圆()()221:324C x y a +--=，圆2222:340C x y a a +-+=(1)若4θ=，求直线l 的倾斜角；(2)设直线l 截两圆的弦长分别为12,d d ，当23πθ=时，求12d d ⋅的最大值并求此时a 的值.10．（2022·江西南昌·一模（理））已知面积为ABO （O 是坐标原点）的三个顶点都在抛物线()2:20E y px p =>上，过点(),2P p -作抛物线E 的两条切线分别交y 轴于M ，N 两点.(1)求p 的值；(2)求PMN 的外接圆的方程.题型六：几何法求圆的方程一、多选题 1．（2022·广东·模拟预测）三角形的外心、重心、垂心所在的直线称为欧拉线．已知圆O '的圆心在OAB 的欧拉线l 上，O 为坐标原点，点()4,1B 与点()1,4A 在圆O '上，且满足O A O B '⊥'，则下列说法正确的是（ ）A ．圆O '的方程为224430x y x y +--+=B ．l 的方程为0x y -=C ．圆O '上的点到l 的最大距离为3D ．若点(),x y 在圆O '上，则x y -的取值范围是⎡-⎣二、填空题2．（2022·河北·模拟预测）圆心为(1,2)C -，且截直线350x y ++=所得弦长为方程为___________.3．（2022·河南·高三阶段练习（文））已知㮋圆1C ：()2221024x y b b+=<<的离心率为12，1F 和2F 是1C 的左右焦点，M 是1C 上的动点，点N 在线段1F M 的延长线上，2MN MF =，线段2F N 的中点为P ，则1F P 的最大值为______．4．（2022·天津·高三专题练习）已知圆C 过点(0,1)(2,1)P Q 、两点，且圆心C 在x 轴上，经过点(1,0)M -且倾斜角为钝角的直线l 交圆C 于A ，B 两点，若0CA CB ⋅=(C 为圆心)，则该直线l 的斜率为________．5．（2022·全国·高三专题练习）已知圆C ：(x －2)2＋y 2＝2，直线l ：y ＝k (x ＋2)与x 轴交于点A ，过l 上一点P 作圆C 的切线，切点为T ，若|P A ||PT |，则实数k 的取值范围是______________． 三、解答题6．（2022·内蒙古呼和浩特·二模（理））拋物线C 的顶点为坐标原点O ，焦点在x 轴上，直线l ：2x =交C 于P ，Q 两点，且OP OQ ⊥．已知点M 的坐标为()4,0，M 与直线l 相切．(1)求抛物线C 和M 的标准方程；(2)已知点()8,4N ，点1A ，2A 是C 上的两个点，且直线1NA ，2NA 均与M 相切．判断直线12A A 与M 的位置关系，并说明理由．7．（2022·江苏·南京市第五高级中学一模）已知O 为坐标原点，抛物线E ：22x py =（p ＞0），过点C （0，2）作直线l 交抛物线E 于点A 、B （其中点A 在第一象限），4OA OB ⋅=-且AC CB λ=（λ＞0）. (1)求抛物线E 的方程；(2)当λ=2时，过点A 、B 的圆与抛物线E 在点A 处有共同的切线，求该圆的方程8．（2022·全国·高三专题练习）已知平面直角坐标系上一动点(),P x y 到点()2,0A -的距离是点P 到点()10B ,的距离的2倍． （1）求点P 的轨迹方程：（2）若点P 与点Q 关于点()1,4-对称，求P 、Q 两点间距离的最大值；（3）若过点A 的直线l 与点P 的轨迹C 相交于E 、F 两点，()2,0M ，则是否存在直线l ，使BFM S △取得最大值，若存在，求出此时的方程，若不存在，请说明理由．题型七：待定系数法求圆的方程一、单选题 1．（2016·天津市红桥区教师发展中心高三学业考试）已知圆M 的半径为1，若此圆同时与 x轴和直线y = 相切，则圆M 的标准方程可能是（ ）A ．22((1)1x y +-=B ．22(1)(1x y -+-=C ．22(1)(1x y -+=D ．22((1)1x y ++=二、填空题2．（2022·四川眉山·三模（文））已知函数()()()2112819f x x x x =+--.过点()() 1,1A f --作曲线()y f x =两条切线，两切线与曲线()y f x =另外的公共点分别为B 、C ，则ABC 外接圆的方程为___________.3．（2022·安徽·高三阶段练习（文））已知抛物线2:8C x y =，过点(2,2)N -作抛物线C 的两条切线NA ，NB ，切点分别为点A ，B ，以AB 为直径的圆交x 轴于P ，Q 两点，则PQ =_______．4．（2022·天津·高三专题练习）已知抛物线C ：24y x =的焦点为F ，抛物线C 上一点A 位于第一象限，且满足3AF =，则以点A 为圆心，AF 为半径的圆的方程为______. 三、解答题5．（2022·全国·高三专题练习）已知圆C 经过点A (0，2)，B (2，0)，圆C 的圆心在圆x 2＋y 2＝2的内部，且直线3x ＋4y ＋5＝0被圆C 所截得的弦长为点P 为圆C 上异于A ，B 的任意一点，直线P A 与x 轴交于点M ，直线PB 与y 轴交于点N . (1)求圆C 的方程；(2)若直线y ＝x ＋1与圆C 交于A 1，A 2两点，求12BA BA →→； (3)求证：|AN |·|BM |为定值.6．（2021·江西·高三阶段练习（理））已知圆C 过点(2,1)-，(6,3)，(2,3)-． (1)求C 的标准方程；(2)若点(,)P x y 在C 上运动，求34x y -的取值范围．7．（2021·全国·模拟预测）已知点()1,1P 在抛物线C ：()220y px p =>上，过点P 作圆E ：()()22220y x r r +=->的两条切线，切点为A ，B ，延长PA ，PB 交抛物线于C ，D .（1）当直线AB 抛物线焦点时，求抛物线C 的方程与圆E 的方程； （2）证明：对于任意()0,1r ∈，直线CD 恒过定点.8．（2019·云南·二模（理））已知O 是坐标原点，抛物线C ：2x y =的焦点为F ，过F 且斜率为1的直线l 交抛物线C 于A 、B 两点，Q 为抛物线C 的准线上一点，且2AQB π∠=.（1）求Q 点的坐标；（2）设与直线l 垂直的直线与抛物线C 交于M 、N 两点，过点M 、N 分别作抛物线C 的切线1l 、2l ，设直线1l 与2l 交于点P ，若OP OQ ⊥，求MON ∆外接圆的标准方程.题型八：几何法求弦长 一、单选题1．（2022·全国·模拟预测）已知直线 l 过点(A ，则直线 l 被圆O ：2212x y +=截得的弦长的最小值为（ ）A ．3B ．6C ．D ．2．（2022·全国·模拟预测）过点()2,2A ，作倾斜角为π3的直线l ，则直线l 被圆22:16O x y +=- ）A ．1B ．2C ．3D ．6-二、多选题3．（2022·广东·模拟预测）已知圆221:(1)1C x y ++=和圆222:(4)4C x y -+=，过圆2C 上任意一点P 作圆1C 的两条切线，设两切点分别为,A B ，则（ ）A ．线段ABB ．线段ABC ．当直线AP 与圆2C 相切时，原点O 到直线AP 的距离为65D ．当直线AP 平分圆2C 的周长时，原点O 到直线AP 的距离为45三、填空题4．（2022·河北唐山·三模）直线:0+-=l x m 与圆22:480+--=C x y x 交于A 、B 两点，且6⋅=-CA CB ，则实数m =_______． 四、解答题5．（2022·全国·高三专题练习）已知点()()1,0M m m ->，不垂直于x 轴的直线l 与椭圆22:143x y C +=相交于()11,A x y ，()22,B x y 两点.(1)若M 为线段AB 的中点，证明：212112y y x x ->-； (2)设C 的左焦点为F ，若M 在①AFB 的角平分线所在直线上，且l 被圆224x y +=截得的弦长为l 的方程.6．（2021·湖北·武汉市第六中学高三阶段练习）已知圆O ：x 2＋y 2=2，过点A （1，1）的直线交圆O，且与x 轴的交点为双曲线E ：2222x y a b-=1的右焦点F （c ，0）（c ＞2），双曲线E 的离心率为32．(1)求双曲线E 的方程； (2)若直线y =kx ＋m （k ＜0，k ≠m ＞0）交y 轴于点P ，交x 轴于点Q ，交双曲线右支于点M ，N 两点，当满足关系111||||||PM PN PQ +=时，求实数m 的值．7．（2022·全国·高三专题练习）已知椭圆()2222:10x y E a b a b+=>>0y -=过E 的上顶点A 和左焦点1F .(1)求E 的方程；(2)设直线l 与椭圆E 相切，又与圆22:4O x y +=交于M ，N 两点（O 为坐标原点），求OMN 面积的最大值，并求出此时直线l 的方程.题型九：利用点到直线的距离解决圆上点与直线上点的距离问题一、单选题 1．（2022·江苏扬州·模拟预测）已知直线():130l a x y -+-=，圆22:(1)5C x y -+=.则“32a =”是“l 与C 相切”的（ ） A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件2．（2022·重庆南开中学模拟预测）已知圆2220x y x a +-+=上仅存在一个点到直线30x +=的距离为1，则实数a 的值为（ ）A ．-2B ．C ．-1D ．03．（2022·全国·高三专题练习（文））圆O ：222x y +=上点P 到直线l ：3410x y +=距离的最小值为（ ）A 1B ．2C ．2D ．04．（2022·安徽·寿县第一中学高三阶段练习（理））过直线34110x y -+=上一动点P 作圆22:2210C x y x y +--+=的两条切线，切点分别为,A B ，则四边形PACB 的面积的最小值为（ ）AB C ．3D二、多选题5．（2022·湖南·长郡中学高三阶段练习）已知点P 在圆22:4O x y +=上，点()3,0A ，()0,4B ，则（ ）A ．点P 到直线AB 的距离最大值为225B ．满足AP BP ⊥的点P 有2个C ．过点B 作圆O 的两切线，切点分别为M ､N ，则直线MN 的方程为1y =D ．2PA PB +的最小值是6．（2022·重庆·二模）已知点(),P x y 是圆()22:14C x y -+=上的任意一点，直线()):1130l m x y m ++-=，则下列结论正确的是（ ）A ．直线l 与圆C 的位置关系只有相交和相切两种B ．圆C 的圆心到直线l C ．点P 到直线43160++=x y 距离的最小值为2D ．点P 可能在圆221x y +=上 三、填空题7．（2022·四川省泸县第二中学模拟预测（理））过直线0x y m --=上动点P 作圆2:(2)(3)1M x y -+-=的一条切线，切点为A ，若使得1PA =的点P 有两个，则实数m 的取值范围为___________．8．（2022·贵州遵义·三模（理））圆22:2O x y +=上点P 到直线3410:x y l +=距离的最小值为__________． 四、解答题9．（2022·广东茂名·模拟预测）已知抛物线2:4C y x =的焦点为F ，直线2y x =-与抛物线C 交于A ，B 两点. （1）求FAB 的面积；（2）过抛物线C 上一点Р作圆()22:34M x y -+=的两条斜率都存在的切线，分别与抛物线C 交于异于点P 的两点D ，E .证明：直线DE 与圆M 相切.。

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直线与圆的方程一、直线的方程1、倾斜角：,范围0≤α＜π，若x l //轴或与x 轴重合时,α=00。

2、斜率： k=tan α α与κ的关系：α=0⇔κ=0已知L 上两点P 1（x 1,y 1) 0＜α＜02>⇔k πP 2（x 2，y 2） α=κπ⇔2不存在⇒k=1212x x y y -- 022<⇔<<κππ当1x =2x 时,α=900，κ不存在。

当0≥κ时，α=arctank ，κ＜0时,α=π+arctank3、截距（略）曲线过原点⇔横纵截距都为0。

4、直线方程的几种形式几种特殊位置的直线①x 轴：y=0②y 轴：x=0③平行于x 轴：y=b④平行于y 轴:x=a⑤过原点:y=kx两个重要结论:①平面内任何一条直线的方程都是关于x 、y 的二元一次方程。

②任何一个关于x 、y 的二元一次方程都表示一条直线.5、直线系：(1）共点直线系方程:p 0（x 0,y 0）为定值，k 为参数y-y 0=k （x-x 0）特别:y=kx+b ，表示过(0、b ）的直线系（不含y 轴)（2）平行直线系：①y=kx+b ，k 为定值，b 为参数。

畅享淘宝天猫京东拼多多百万张大额内部优惠券，先领券后购物！手机应用市场/应用宝下载花生日记APP 邀请码NJBHKZO ，高佣联盟官方正版APP 邀请码2548643第十五单元 直线和圆的方程考点一 求圆的方程1.(2016年浙江卷)已知a ∈R ,方程a 2x 2+(a+2)y 2+4x+8y+5a=0表示圆,则圆心坐标是 ,半径是 .【解析】由二元二次方程表示圆的条件可得a 2=a+2,解得a=2或a=-1.当a=2时,方程为4x 2+4y 2+4x+8y+10=0,即x 2+y 2+x+2y+52=0,配方得(x +12)2+(y+1)2=-54<0,不表示圆;当a=-1时,方程为x 2+y 2+4x+8y-5=0,配方得(x+2)2+(y+4)2=25,则圆心坐标是(-2,-4),半径是5.【答案】(-2,-4) 52.(2014年山东卷)圆心在直线x-2y=0上的圆C 与y 轴的正半轴相切,圆C 截x 轴所得弦的长为2√3,则圆C 的标准方程为 .【解析】因为圆心在直线x-2y=0上,所以可设圆心坐标为(2b ,b ). 又圆C 与y 轴的正半轴相切,所以b>0,圆的半径为2b.由勾股定理可得b 2+(√3)2=4b 2,解得b=±1.又因为b>0,所以b=1,所以圆C 的圆心坐标为(2,1),半径为2, 所以圆C 的标准方程为(x-2)2+(y-1)2=4.【答案】(x-2)2+(y-1)2=43.(2015年全国Ⅰ卷)一个圆经过椭圆x 216+y 24=1的三个顶点,且圆心在x 轴的正半轴上,则该圆的标准方程为 .【解析】设所求圆的方程为x 2+y 2+Dx+Ey+F=0(D 2+E 2-4F>0).由题意知圆过(4,0),(0,2),(0,-2)三点,则有{16+0+4D +0+F =0,0+4+0+2E +F =0,0+4+0−2E +F =0,解得{D =−3,E =0,F =−4,故所求圆的方程为x 2+y 2-3x-4=0,标准方程为(x -32)2+y 2=254.【答案】(x -32)2+y 2=254考点二 有关距离的计算4.(2015年全国Ⅱ卷)已知三点A (1,0),B (0,√3),C (2,√3),则△ABC 外接圆的圆心到原点的距离为( ).A.53B.√213C.2√53D.43【解析】由已知可得|AB|=|AC|=|BC|=2,所以△ABC 是等边三角形,所以其外接圆圆心即为三角形的重心,其坐标为(1+0+23,0+√3+√33),即(1,2√33),故圆心到原点的距离为√1+(2√33)2=√213.【答案】B5.(2016年上海卷)已知平行直线l 1:2x+y-1=0,l 2:2x+y+1=0,则l 1,l 2的距离为 .【解析】d=12√a 2+b =√2+1=2√55. 【答案】2√556.(2016年全国Ⅱ卷)圆x 2+y 2-2x-8y+13=0的圆心到直线ax+y-1=0的距离为1,则a=( ).A.-43B .-34C.√3D.2【解析】圆x 2+y 2-2x-8y+13=0的标准方程为(x-1)2+(y-4)2=4,由圆心到直线ax+y-1=0的距离为1可知|a+4−1|√a 2+1=1,解得a=-43,故选A .【答案】A考点三 直线与圆的位置关系7.(2014年安徽卷)过点P (-√3,-1)的直线l 与圆x 2+y 2=1有公共点,则直线l 的倾斜角的取值范围是( ).畅享淘宝天猫京东拼多多百万张大额内部优惠券，先领券后购物！手机应用市场/应用宝下载花生日记APP 邀请码NJBHKZO ，高佣联盟官方正版APP 邀请码2548643A.(0,π6]B.(0,π3]C.[0,π6]D.[0,π3]【解析】设直线l :y+1=k (x+√3),即kx-y+√3k-1=0,由题意知,圆心O 到直线l 的距离d=|k ·0-0+√3k -1|√k +1≤1,解得0≤k ≤√3,则直线l 的倾斜角的取值范围是[0,π3],选D .【答案】D8.(2016年山东卷)已知圆M :x 2+y 2-2ay=0(a>0)截直线x+y=0所得线段的长度是2√2,则圆M 与圆N :(x-1)2+(y-1)2=1的位置关系是( ).A.内切B.相交C.外切D.相离【解析】∵x 2+y 2-2ay=0(a>0),∴x 2+(y-a )2=a 2(a>0),∴圆心M (0,a ),r 1=a.依题意,有a√2=√a 2-2,解得a=2.∴圆M 的方程为x 2+y 2-4y=0,即x 2+(y-2)2=4,圆心M (0,2),半径r 1=2.又圆N :(x-1)2+(y-1)2=1,圆心N (1,1),半径r 2=1,∴|MN|=√(0-1)2+(2−1)2=√2. ∵r 1-r 2=1,r 1+r 2=3,1<|MN|<3, ∴两圆相交.【答案】B9.(2014年湖南卷)若圆C 1:x 2+y 2=1与圆C 2:x 2+y 2-6x-8y+m=0外切,则m=( ).A.21B.19C.9D.-11【解析】圆C 1的圆心是原点(0,0),半径r 1=1.圆C 2:(x-3)2+(y-4)2=25-m ,圆心C 2(3,4),半径r 2=√25−m .由两圆相外切,得|C 1C 2|=r 1+r 2,即5=1+√25−m ,所以m=9.故选C . 【答案】C10.(2015年山东卷)过点P (1,√3)作圆x 2+y 2=1的两条切线,切点分别为A ,B ,则PA⃗⃗⃗⃗⃗ ·PB ⃗⃗⃗⃗⃗ = .【解析】如图所示,由题意可知OA ⊥AP ,OB ⊥BP ,OP=√1+3=2,又OA=OB=1,可以求得AP=BP=√3,∠APB=60°,故PA ⃗⃗⃗⃗⃗ ·PB⃗⃗⃗⃗⃗ =√3×√3×cos 60°=32. 【答案】32考点四 直线和圆的综合应用11.(2014年福建卷)已知直线l 过圆x 2+(y-3)2=4的圆心,且与直线x+y+1=0垂直,则l 的方程是( ).A.x+y-2=0B.x-y+2=0C.x+y-3=0D.x-y+3=0【解析】由直线l 与直线x+y+1=0垂直,可设直线l 的方程为x-y+n=0.又直线l 过圆x 2+(y-3)2=4的圆心(0,3),则n=3,所以直线l 的方程为x-y+3=0,故选D.【答案】D12.(2014年浙江卷)已知圆x 2+y 2+2x-2y+a=0截直线x+y+2=0所得弦的长度为4,则实数a 的值是( ).A.-2B.-4C.-6D.-8【解析】圆的标准方程为(x+1)2+(y-1)2=2-a ,r 2=2-a ,则圆心(-1,1)到直线x+y+2=0的距离为|-1+1+2|2=√2. 由22+(√2)2=2-a ,得a=-4,故选B.【答案】B13.(2015年山东卷)一条光线从点(-2,-3)射出,经y 轴反射后与圆(x+3)2+(y-2)2=1相切,则反射光线所在直线的斜率为( ).A.-53或-35B.-32或-23C.-54或-45D.-43或-34畅享淘宝天猫京东拼多多百万张大额内部优惠券，先领券后购物！手机应用市场/应用宝下载花生日记APP 邀请码NJBHKZO ，高佣联盟官方正版APP 邀请码2548643【解析】由已知,得点(-2,-3)关于y 轴的对称点为(2,-3).由入射光线与反射光线的对称性,知反射光线一定过点(2,-3).设反射光线所在直线的斜率为k ,则反射光线所在直线的方程为y+3=k (x-2),即kx-y-2k-3=0.由反射光线与圆相切,则有d=√k +1=1,解得k=-43或k=-34,故选D .【答案】D14.(2016年全国Ⅰ卷)设直线y=x+2a 与圆C :x 2+y 2-2ay-2=0相交于A ,B 两点,若|AB|=2√3,则圆C 的面积为 .【解析】圆C :x 2+y 2-2ay-2=0化为标准方程是C :x 2+(y-a )2=a 2+2,所以圆心C (0,a ),半径r=√a 2+2.|AB|=2√3,点C 到直线y=x+2a 即x-y+2a=0的距离d=√2,由勾股定理得(2√32)2+(√2)2=a 2+2,解得a 2=2,所以r=2,所以圆C 的面积为π×22=4π.【答案】4π15.(2014年全国Ⅱ卷)设点M (x 0,1),若在圆O :x 2+y 2=1上存在点N ,使得∠OMN=45°,则x 0的取值范围是 .【解析】由题意可知M 在直线y=1上运动,设直线y=1与圆x 2+y 2=1相切于点P (0,1).当x 0=0即点M 与点P 重合时,显然圆上存在点N (±1,0)符合要求;当x 0≠0时,过点M 作圆的切线,切点之一为点P ,此时对于圆上任意一点N ,都有∠OMN ≤∠OMP ,故要存在∠OMN=45°,只需∠OMP ≥45°.特别地,当∠OMP=45°时,有x 0=±1.结合图形可知,符合条件的x 0的取值范围为[-1,1].【答案】[-1,1]高频考点:求直线的方程,求圆的方程,判断两条直线的位置关系,判断直线与圆的位置关系.命题特点:本部分内容是解析几何的基础知识,需要掌握求直线与圆的方程的基本方法、熟悉距离公式以及会判断直线与圆的位置关系,需要掌握求切线方程的基本方法以及会运用弦长公式:这些内容在题型考查中既可以作为一个考点单独在选择题、填空题中考查,也可以在解答题中与圆锥曲线一起综合考查.§15.1 直线方程与两条直线的位置关系一 直线的倾斜角1.定义:x 轴正向与直线向上方向之间所成的角叫作这条直线的倾斜角.当直线与x 轴平行或重合时,规定它的倾斜角为0°.2.倾斜角的范围为[0,π).二 直线的斜率1.定义:一条直线的倾斜角α的正切值叫作这条直线的斜率,斜率常用小写字母k 表示,即k=tan α.倾斜角是90°的直线没有斜率.2.经过两点P 1(x 1,y 1),P 2(x 2,y 2)(x 1≠x 2)的直线的斜率公式:k=y 2-y 1x 2-x 1=y 1-y2x 1-x 2.三 直线方程的五种形式点斜式: .斜截式: .两点式:y -y 1y2-y 1=x -x 1x 2-x 1. 截距式:x a +yb =1.一般式: .四 两条直线平行与垂直的判定1.两条不重合的直线l 1,l 2的斜率分别为k 1,k 2,则(1)l 1∥l 2⇔k 1=k 2;畅享淘宝天猫京东拼多多百万张大额内部优惠券，先领券后购物！手机应用市场/应用宝下载花生日记APP邀请码NJBHKZO，高佣联盟官方正版APP邀请码2548643(2)l1⊥l2⇔.2.直线l1:A1x+B1y+C1=0与直线l2:A2x+B2y+C2=0,则(1)A1B2-A2B1≠0⇔l1与l2相交;(2)A1B2-A2B1=0⇔l1与l2平行或重合;(3)⇔l1与l2垂直.五距离1.点P0(x0,y0)到直线l:Ax+By+C=0的距离d=.2.两条平行直线Ax+By+C1=0与Ax+By+C2=0(其中C1≠C2)之间的距离d=.☞左学右考判断下列结论是否正确,正确的在括号内画“√”,错误的画“×”.(1)坐标平面内的任何一条直线均有倾斜角与斜率.()(2)直线的倾斜角越大,其斜率就越大.()(3)如果两条直线l1与l2垂直,那么它们的斜率之积一定等于-1.()(4)直线外一点与直线上一点的距离的最小值就是点到直线的距离.()(5)若点A,B关于直线l:y=kx+b(k≠0)对称,则直线AB的斜率等于-1,且线段AB的中点在直线l上.()k直线√3x-y+a=0的倾斜角为().A.30°B.60°C.150°D.120°过点(1,0)且与直线x-2y-2=0平行的直线方程是().A.x-2y-1=0B.x-2y+1=0C.2x+y-2=0D.x+2y-1=0已知两条直线l 1:x+y-1=0,l 2:3x+ay+2=0且l 1⊥l 2,则a 等于( ).A.-13B .13C.-3D.3已知直线3x+4y-3=0与6x+my+14=0平行,则它们之间的距离是 .若A (1,2),B (-2,3),C (4,y )在同一条直线上,则y 的值是 .知识清单三、y-y 0=k (x-x 0) y=kx+b Ax+By+C=0(A 2+B 2≠0)四、1.(2)k 1·k 2=-1 2.(3)A 1A 2+B 1B 2=0 五、1.00√A +B 2.|C 1-C 2|√A +B基础训练1.【答案】(1)× (2)× (3)× (4)√ (5)√2.【解析】∵直线的斜率为√3,∴倾斜角为60°. 【答案】B3.【解析】由题意知所求直线方程为x-2y+c=0,因为该直线过点(1,0),所以1-0+c=0,即c=-1.所以所求直线方程为x-2y-1=0. 【答案】A4.【解析】∵l 1⊥l 2,∴3+a=0,∴a=-3. 【答案】C5.【解析】由题意知36=4m,∴m=8,∴所求距离为√3+4=2.【答案】26.【解析】∵A (1,2),B (-2,3),∴过A ,B 两点的直线方程是y-2=-13(x-1).∵点(4,y )在此直线上,∴y -2=-13×(4-1),∴y=1. 【答案】1畅享淘宝天猫京东拼多多百万张大额内部优惠券，先领券后购物！手机应用市场/应用宝下载花生日记APP 邀请码NJBHKZO ，高佣联盟官方正版APP 邀请码2548643题型一 直线的倾斜角与斜率【例1】(1)直线x sin α+y+2=0的倾斜角的取值范围是( ).A.[0,π)B.[0,π4]∪[3π4,π) C.[0,π4]D.[0,π4]∪(π2,π)(2)若直线l :y=kx-√3与直线2x+3y-6=0的交点位于第一象限,则直线l 的倾斜角的取值范围是( ). A.[π6,π3)B.(π6,π2)C.(π3,π2)D.[π6,π2]【解析】(1)因为直线x sin α+y+2=0的斜率k=-sin α,-1≤sin α≤1,所以-1≤k ≤1.设直线x sin α+y+2=0的倾斜角为θ,所以-1≤tan θ≤1,而θ∈[0,π),故倾斜角的取值范围是[0,π4]∪[3π4,π).(2)如图,直线l :y=kx-√3,过定点P (0,-√3), 又A (3,0),所以k PA =√33,故直线PA 的倾斜角为π6,所以满足条件的直线l 的倾斜角的取值范围是(π6,π2). 【答案】(1)B (2)B已知斜率求倾斜角的范围,可借助k=tan α的图象,利用正切函数k=tan α的单调性求解. 【变式训练1】(1)若三点A (2,2),B (a ,0),C (0,b )(ab ≠0)共线,则1a +1b 的值为 .(2)曲线y=x 3-x+5上各点处的切线的倾斜角的取值范围为 .【解析】(1)由题意知过B (a ,0),C (0,b )两点的直线为x a +y b =1.因为点A 在直线BC 上,所以2a +2b =1,即1a +1b =12.(2)设曲线上任意一点处的切线的倾斜角为θ(θ∈[0,π)).因为y'=3x 2-1≥-1,所以tan θ≥-1.结合正切函数的图象可知,θ的取值范围为[0,π2)∪[3π4,π). 【答案】(1)12 (2)[0,π2)∪[3π4,π)题型二 两条直线的位置关系【例2】(1)(2017吉安一中期中)“a=-2”是“直线l 1:ax-y+3=0与l 2:2x-(a+1)y+4=0互相平行”的( ).A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件(2)两条平行直线2x-y-2=0和4x-2y+3=0之间的距离是 .【解析】(1)直线l 1:ax-y+3=0与l 2:2x-(a+1)y+4=0互相平行的充要条件为-(a+1)a=(-1)×2且a 2≠34,即a=-2或a=1,因此“a=-2”是“直线l 1:ax-y+3=0与l 2:2x-(a+1)y+4=0互相平行”的充分不必要条件.故选A.(2)直线方程2x-y-2=0即4x-2y-4=0,利用两条平行直线距离公式得其距离d=4+(−2)=7√510.【答案】(1)A (2)7√510(1)利用两条直线的平行与垂直关系的判断公式求解;【变式训练2】(1)直线l 0:x-y+1=0,直线l 1:ax-2y+1=0与l 0平行,且直线l 2:x+by+3=0与l 0垂直,则a+b=( ). A.3 B.2 C.1 D.-1(2)平行于直线2x+y+1=0且与圆x 2+y 2=5相切的直线的方程是( ).A.2x-y+√5=0或2x-y-√5=0B.2x+y+√5=0或2x+y-√5=0C.2x-y+5=0或2x-y-5=0D.2x+y+5=0或2x+y-5=0畅享淘宝天猫京东拼多多百万张大额内部优惠券，先领券后购物！手机应用市场/应用宝下载花生日记APP 邀请码NJBHKZO ，高佣联盟官方正版APP 邀请码2548643【解析】(1)因为l 0∥l 1,所以1a =12,解得a=2.因为l 0⊥l 2,所以-1b=-1,解得b=1,所以a+b=3.(2)设所求切线方程为2x+y+c=0,依题意有|0+0+c|2+1=√5,解得c=±5,所以所求切线方程为2x+y+5=0或2x+y-5=0.故选D. 【答案】(1)A (2)D题型三 求直线的方程【例3】根据下列条件,分别求满足条件的直线的一般式方程:(1)过点(5,10),且原点到该直线的距离为5; (2)与直线3x+4y+1=0平行且过点(1,2);(3)经过两条直线l 1:x-2y+4=0和l 2:x+y-2=0的交点P ,且与直线l 3:3x-4y+5=0垂直. 【解析】(1)由题意知,当直线的斜率不存在时符合题意,此时直线方程为x=5. 当直线的斜率存在时,设其方程为y-10=k (x-5),即kx-y+(10-5k )=0. 由点到直线的距离公式得|10-5k|1+k =5,解得k=34.此时直线的方程为3x-4y+25=0.综上所述,所求直线的方程为x=5或3x-4y+25=0.(2)设与直线3x+4y+1=0平行的直线l 的方程为3x+4y+m=0. 因为l 经过点(1,2),所以3×1+4×2+m=0,解得m=-11. 所以所求直线的方程为3x+4y-11=0.(3)由方程组{x -2y +4=0,x +y -2=0,得{x =0,y =2,即交点为P (0,2).设所求直线为l ,因为l ⊥l 3,直线l 3的斜率为34,所以直线l 的斜率k 1=-43,所以直线l 的方程为y-2=-43x ,即4x+3y-6=0.【变式训练3】(1)过点A (2,3),且将圆C :x 2+y 2-2x-4y+1=0平分的直线的方程为 .(2)从点(2,3)射出的光线沿与直线x-2y=0平行的方向射到y 轴上,则经y 轴反射后的光线所在的直线的方程为 . 【解析】(1)由题意知圆心为C (1,2),依题意知,点A (2,3),C (1,2)在所求直线上.由两点式得y -23−2=x -12−1,即x-y+1=0.(2)由题意得,入射光线的方程为y-3=12(x-2),即x-2y+4=0,与y 轴的交点为(0,2).又(2,3)关于y 轴的对称点为(-2,3),∴反射光线所在的直线过(0,2),(-2,3).由直线方程的两点式可得反射光线的方程为y -23−2=x -0-2-0,即x+2y-4=0.【答案】(1)x-y+1=0 (2)x+2y-4=0方法 对称问题的解题技巧涉及对称问题,主要有以下几种情况:1.若点P (x 0,y 0)关于直线l :Ax+By+C=0对称的点是Q (x'0,y'0),则线段PQ 的中点在直线l 上且直线PQ ⊥l ,由此可得方程组{A ·x' 0+x 02+B ·y' 0+y 02+C =0,y 0-y'0x 0-x' 0·(-A B)=−1,解方程组得到x'0,y'0的值,从而求得对称点的坐标.2.若直线l :Ax+By+C=0关于点P (x 0,y 0)对称的直线为l',由于直线l'必与直线l :Ax+By+C=0平行,故可设直线l'的方程为Ax+By+C 0=0.利用距离公式并结合图形可求得直线l'的方程.3.若直线l :Ax+By+C=0关于直线l 0:A 0x+B 0y+C 0=0对称的直线为l',则在直线l :Ax+By+C=0上取两点,求出这两点关于直线l 0对称的两点的坐标,再由两点式便可得直线l'的方程.【突破训练】已知直线l :3x-y+3=0,求: (1)点P (4,5)关于l 的对称点;(2)直线x-y-2=0关于直线l 对称的直线方程; (3)直线l 关于点(1,2)的对称直线方程.【解析】(1)设P (x ,y )关于直线l :3x-y+3=0的对称点为P'(x',y').∵k PP'·k l =-1,∴y'-yx'-x ×3=-1. ①又∵PP'的中点在直线3x-y+3=0上,∴3×x'+x 2-y'+y2+3=0. ②畅享淘宝天猫京东拼多多百万张大额内部优惠券，先领券后购物！手机应用市场/应用宝下载花生日记APP邀请码NJBHKZO，高佣联盟官方正版APP邀请码2548643由①②得{x'=-4x+3y-95,③y'=3x+4y+35.③把x=4,y=5代入③④,得x'=-2,y'=7,∴点P(4,5)关于直线l的对称点P'的坐标为(-2,7).(2)用③④分别代换x-y-2=0中的x,y,得关于l的对称直线方程为-4x+3y-95-3x+4y+35-2=0,化简得7x+y+22=0.(3)在直线l:3x-y+3=0上取点M(0,3),设其关于点(1,2)的对称点为M'(x',y'),∴{x'+02=1,y'+32=2,解得{x'=2,y'=1,∴M'(2,1).又l关于点(1,2)的对称直线平行于l,∴所求对称直线的斜率k=3,∴对称直线的方程为y-1=3×(x-2),即3x-y-5=0.1.(2017北京东城区期末)已知直线l的倾斜角为α,斜率为k,那么“α>π3”是“k>√3”的().A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件【解析】当π2<α<π时,k<0;当k>√3时,π3<α<π2.所以“α>π3”是“k>√3”的必要不充分条件.故选B.【答案】B2.(2017沧州市一中月考)若直线l1:ax+y-1=0与l2:3x+(a+2)y+1=0平行,则a的值为().A.1B.-3C.0或-12D.1或-3【解析】由题意可得a (a+2)=3,解得a=1或a=-3.当a=-3时两条直线重合,故应舍去.所以选A. 【答案】A3.(2017襄阳四中月考)方程(1+4k )x-(2-3k )y+(2-14k )=0表示的直线必经过点( ).A.(2,2)B.(-2,2)C.(-6,2)D.(345,225) 【解析】原方程可化为x-2y+2+k (4x+3y-14)=0,由{x -2y +2=0,4x +3y -14=0,解得{x =2,y =2,所以直线过定点(2,2).【答案】A4.(2017广州模拟)已知直线l 1:2ax+(a+1)y+1=0,l 2:(a+1)x+(a-1)y=0,若l 1⊥l 2,则a=( ).A.2或12B.13或-1 C.13D.-1【解析】由题意知2a (a+1)+(a+1)(a-1)=0,解得a=13或a=-1.故选B. 【答案】B5.(2017广州综合测试)已知三条直线2x-3y+1=0,4x+3y+5=0,mx-y-1=0不能构成三角形,则实数m 的取值集合为( ).A.{-43,23}B.{43,-23}C.{-43,23,43}D.{-43,-23,23}【解析】三条直线不能围成三角形,则至少有两条直线平行或三条直线相交于同一点.若直线2x-3y+1=0平行直线mx-y-1=0,则m=23;若直线4x+3y+5=0平行直线mx-y-1=0,则m=-43;若三条直线相交于同一点,则m=-23,故选D .【答案】D6.(2017沙市中学月考)若三条直线y=2x ,x+y=3,mx+ny+5=0相交于同一点,则点(m ,n )到原点的距离的最小值为( ).A.√5B.√6C.2√3D.2√5【解析】直线y=2x ,x+y=3的交点为(1,2),代入mx+ny+5=0得m+2n+5=0.√m 2+n 2表示点(m ,n )与(0,0)的距离,其最小值为原点到直线的距离d=5√5=√5,∴√m 2+n 2的最小值为√5.畅享淘宝天猫京东拼多多百万张大额内部优惠券，先领券后购物！手机应用市场/应用宝下载花生日记APP 邀请码NJBHKZO ，高佣联盟官方正版APP 邀请码2548643【答案】A7.(2017云南师大附中月考)已知倾斜角为θ的直线l 与直线m :x-2y+3=0垂直,则tan 2θ= .【解析】∵直线l 与m 垂直,∴12·tan θ=-1⇒tan θ=-2,∴tan 2θ=2tanθ1−tan 2θ=2×(−2)1−4=43. 【答案】438.(2017河南豫东、豫北十校联考)△ABC 的三个顶点坐标分别为A (-3,0),B (2,1),C (-2,3),则边BC 的垂直平分线的直线方程为 .【解析】设BC 的中点的坐标为(x ,y ), 则x=2−22=0,y=1+32=2,即(0,2). ∵直线BC 的斜率k 1=-12,∴BC 的垂直平分线的直线斜率k 2=2, ∴所求的直线方程为2x-y+2=0.【答案】2x-y+2=09.(2016深圳市调研)若a=log π21,b=log π32,c=log π54,则( ).A.a<b<cB.c<b<aC.c<a<bD.b<a<c【解析】因为log πx x -1=log πx -0x -1表示函数y=log πx 图象上的点(x ,y )与点D (1,0)连线的斜率.所以令a=k DA ,b=k DB ,c=k DC ,由图知k DA >k DB >k DC ,即c<b<a.故选B .【答案】B10.(2017大庆铁人中学期末)将一张坐标纸折叠一次,使得点(0,2)与点(4,0)重合,点(7,3)与点(m,n)重合,则m+n=().A.345B.365C.283D.323【解析】由题意可得,对称轴所在的直线即为点(0,2)与点(4,0)构成的线段的中垂线.由于点(0,2)与点(4,0)连成的线段的中点为(2,1),斜率为-12,故对称轴所在的直线的方程为y-1=2(x-2),即2x-y-3=0.根据点(7,3)与点(m,n)重合,可得{n-3m-7×2=−1,2×m+72-n+32-3=0,解得{m=35,n=315,所以m+n=345,故选A.【答案】A11.如图,平面中两条直线l1和l2相交于点O,对于平面上任意一点M,若p和q分别是M到直线l1和l2的距离,则称有序非负实数对(p,q)是点M的“距离坐标”.已知常数p≥0,q≥0,给出下列命题:①若p=q=0,则“距离坐标”为(0,0)的点有且仅有一个;②若pq=0,且p+q≠0,则“距离坐标”为(p,q)的点有且仅有两个;③若pq≠0,则“距离坐标”为(p,q)的点有且仅有四个.上述命题中,正确命题的个数是().A.0B.1C.2D.3【解析】①正确,此点为点O;②正确,注意到p,q为常数,由p,q中必有一个为零,另一个非零,从而可知有且仅有两个点,这两个点分别在两条直线上,且到另一条直线的距离为q(或p),两点关于点O对称;③正确,四个交点分别为与直线l1相距p的两条平行线和与直线l2相距q的两条平行线的交点.【答案】D12.(2017汕头潮南实验学校月考)若直线m被两条平行直线l1:x-y+1=0与l2:x-y+3=0所截得的线段的长为2√2,则m的倾斜角可以是.(写出所有正确答案的序号)①15°,②30°,③45°,④60°,⑤75°.【解析】两条平行直线间的距离为d=|3-1|1+1=√2,由图(图略)知直线m与l1的夹角为30°,l1的倾斜角为45°,所以直线m的倾斜角等于30°+45°=75°或45°-30°=15°.畅享淘宝天猫京东拼多多百万张大额内部优惠券，先领券后购物！手机应用市场/应用宝下载花生日记APP 邀请码NJBHKZO ，高佣联盟官方正版APP 邀请码2548643【答案】①⑤13.(2017鸡泽一中月考)定义:曲线C 上的点到直线l 的距离的最小值称为曲线C 到直线l 的距离.已知曲线C 1:y=x 2+a 到直线l :y=x 的距离等于曲线C 2:x 2+(y+4)2=2到直线l :y=x 的距离,则实数a= .【解析】曲线C 2:x 2+(y+4)2=2到直线l :y=x 的距离为0−(−4)2-√2=√2, 则曲线C 1与直线l 不能相交, 即x 2+a>x ,∴x 2+a-x>0.设C 1:y=x 2+a 上点为(x 0,y 0),则点(x 0,y 0)到直线l 的距离d=00√2=002√2=(x -12)2+a -14√2≥4√2=√2,所以a=94.【答案】9414.(2017天河中学检测)设直线l 1:y=k 1x+1,l 2:y=k 2x-1,其中实数k 1,k 2满足k 1k 2+2=0.证明: (1)l 1与l 2相交;(2)l 1与l 2的交点在椭圆2x 2+y 2=1上.【解析】(1)假设l 1与l 2不相交,则l 1与l 2平行,有k 1=k 2.代入k 1k 2+2=0,得k 12+2=0,此与k 1为实数的事实相矛盾. 从而k 1≠k 2,即l 1与l 2相交. (2)由方程组{y =k 1x +1,y =k 2x -1,解得交点P 的坐标(x ,y )为{x =2k 2-k 1,y =k 2+k 1k 2-k 1. 而2x 2+y 2=2(2k 2-k 1)2+(k 2+k 1k 2-k 1)2 =8+k 22+k 12+2k 1k 2k 22+k 12-2k 1k 2=k 12+k 22+4k 12+k 22+4=1.此即表明交点P (x ,y )在椭圆2x 2+y 2=1上.§15.2圆的方程一圆的方程1.圆的标准方程(1)方程(x-a)2+(y-b)2=r2(r>0)表示圆心为,半径为r的圆的标准方程.(2)特别地,以原点为圆心,半径为r(r>0)的圆的标准方程为.2.圆的一般方程方程x2+y2+Dx+Ey+F=0(D2+E2-4F>0),圆心为,半径为.二点与圆的位置关系圆的标准方程(x-a)2+(y-b)2=r2,点M(x0,y0),①(x0-a)2+(y0-b)2r2⇔点在圆上;②(x0-a)2+(y0-b)2r2⇔点在圆外;③(x0-a)2+(y0-b)2r2⇔点在圆内.☞左学右考畅享淘宝天猫京东拼多多百万张大额内部优惠券，先领券后购物！手机应用市场/应用宝下载花生日记APP 邀请码NJBHKZO ，高佣联盟官方正版APP 邀请码2548643方程x 2+y 2+4mx-2y+5m=0表示圆的充要条件是( ).A.14<m<1 B.m<14或m>1C.m<14D.m>1若点(2a ,a+1)在圆x 2+(y-1)2=5的内部,则a 的取值范围是( ).A.-1<a<1B.0<a<1C.-1<a<15D.-15<a<1已知点A (2,0),B (0,2),则以线段AB 为直径的圆的方程是 .知识清单一、1.(1)(a ,b ) (2)x 2+y 2=r 22.(-D 2,-E2) √D 2+E 2-4F 2二、①= ②> ③< 基础训练1.【解析】由题意知,(4m )2+(-2)2-4×5m=16m 2-20m+4>0,解得m<14或m>1.【答案】B2.【解析】由题意知(2a )2+a 2<5,即5a 2<5,解得-1<a<1. 【答案】A3.【解析】AB 的中点为(2+02,0+22),即(1,1).∴圆心为(1,1).∵|AB|=2√2,∴圆的半径为√2.∴所求圆的方程为(x-1)2+(y-1)2=2. 【答案】(x-1)2+(y-1)2=2题型一求圆的方程【例1】求下列各圆的方程:(1)已知圆心在直线y=-4x上,且圆与直线l:x+y-1=0相切于点P(3,-2);(2)经过点A(5,2),点B(3,2),且圆心在直线2x-y-3=0上;(3)经过三点A(1,12),B(7,10),C(-9,2).【解析】(1)过切点且与x+y-1=0垂直的直线为y+2=x-3,与y=-4x联立可求得圆心为(1,-4).所以半径r=√(3-1)2+(−2+4)2=2√2,故所求圆的方程为(x-1)2+(y+4)2=8.(2)设圆C的方程为(x-a)2+(y-b)2=r2,则{(5-a)2+(2−b)2=r2,(3-a)2+(2−b)2=r2,2a-b-3=0,得{a=4,b=5,r2=10.故圆C的方程为(x-4)2+(y-5)2=10. (3)设圆的一般方程为x2+y2+Dx+Ey+F=0,因为圆过三点A(1,12),B(7,10),C(-9,2),所以{1+144+D+12E+F=0, 49+100+7D+10E+F=0, 81+4−9D+2E+F=0,解得{D=−2, E=−4, F=−95.所以所求圆的方程为x2+y2-2x-4y-95=0.【变式训练1】(1)已知圆M与直线3x-4y=0及3x-4y+10=0都相切,圆心在直线y=-x-4上,则圆M的方程为().A.(x+3)2+(y-1)2=1B.(x-3)2+(y+1)2=1C.(x+3)2+(y+1)2=1畅享淘宝天猫京东拼多多百万张大额内部优惠券，先领券后购物！手机应用市场/应用宝下载花生日记APP 邀请码NJBHKZO ，高佣联盟官方正版APP 邀请码2548643D.(x-3)2+(y-1)2=1(2)已知圆C 的圆心在x 轴的正半轴上,点M (0,√5)在圆C 上,且圆心到直线2x-y=0的距离为4√55,则圆C 的方程为 .【解析】(1)到直线3x-4y=0及3x-4y+10=0的距离都相等的直线方程为3x-4y+5=0,联立方程组{3x -4y +5=0,y =−x -4,解得{x =−3,y =−1.两条平行直线之间的距离为2,所以半径为1,从而圆M 的方程为(x+3)2+(y+1)2=1.选C. (2)因为圆C 的圆心在x 轴的正半轴上, 设C (a ,0),且a>0,所以圆心到直线2x-y=0的距离d=√5=4√55, 解得a=2,所以圆C 的半径r=|CM|=√4+5=3,所以圆C 的方程为(x-2)2+y 2=9.【答案】(1)C (2)(x-2)2+y 2=9题型二 与圆有关的最值或范围问题【例2】(1)已知直线l :x-y+4=0与圆C :(x-1)2+(y-1)2=2,则圆C 上各点到l 的距离的最小值为 .(2)已知A (-2,0),B (0,2),实数k 是常数,M ,N 是圆x 2+y 2+kx=0上不同的两点,P 是圆x 2+y 2+kx=0上的动点.若M ,N 关于直线x-y-1=0对称,则△PAB 面积的最大值是( ).A.3B.3√2C.3-√2D.3+√2【解析】(1)圆C :(x-1)2+(y-1)2=2的圆心是(1,1),半径r=√2,圆心到直线l :x-y+4=0的距离d=42=2√2,圆上的点到直线的距离最小值为d-r=√2.(2)因为M ,N 关于直线x-y-1=0对称,所以圆心(-k 2,0)在直线x-y-1=0上,即-k 2-1=0,解得k=-2,所以圆的方程为x 2+y 2-2x=0,即圆心为(1,0),半径为r=1.要使△PAB 面积的值最大,即此时点P 到直线的距离为圆心(1,0)到直线AB 的距离与圆半径之和.因为圆心(1,0)到直线AB 的距离为3√22,|AB|=2√2,所以△PAB 面积的最大值为S=12×2√2×(3√22+1)=3+√2.故选D .【答案】(1)√2 (2)D与圆上的点有关的距离的最值问题都要与圆心联系起来.①当直线与圆相离时,圆心到直线的距离为d ,圆半径为r ,则圆上的【变式训练2】(1)设点P 和点Q 分别在x 2+(y-6)2=2和椭圆x 210+y 2=1上,则点P ,点Q 之间的最大距离为( ).A.5√2B.√46+√2C.7+√2D.6√2(2)过点M (1,2)的直线l 与圆:(x-3)2+(y-4)2=25交于A ,B 两点,设C 为圆的圆心,当∠ACB 最小时,直线l 的方程是 . 【解析】(1)依题意点P ,点Q 之间的最大距离可以转化为圆心到椭圆上的点的最大距离再加上圆的半径√2.设Q (x ,y ),则圆心(0,6)与点Q 的距离d=√x 2+(y -6)2=√-9y 2-12y +46 =√-9(y +23)2+50≤5√2,所以点P ,点Q 之间的最大距离为6√2.故选D.(2)要使∠ACB 最小,由圆心角定理可知,需|AB |最短.由勾股定理可知,当圆心到直线l 的距离最大时,|AB|最短,即线段CM 垂直于直线l.因为线段CM 的斜率k=4−23−1=1,所以所求的直线斜率为-1,由点斜式可得y-2=-(x-1),即x+y-3=0.【答案】(1)D (2)x+y-3=0题型三 与圆有关的轨迹方程【例3】已知点P (2,2),圆C :x 2+y 2-8y=0,过点P 的动直线l 与圆C 交于A ,B 两点,线段AB 的中点为M ,O 为坐标原点.(1)求M 的轨迹方程;(2)当|OP|=|OM|时,求l 的方程及△POM 的面积. 【解析】(1)圆C 的方程可化为x 2+(y-4)2=16,所以圆心为C (0,4),半径为4. 设M (x ,y ),CM⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(x ,y-4),MP ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(2-x ,2-y ), 由圆的几何性质,CM ⊥MP ,所以CM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ·MP ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =0, 所以x (2-x )+(y-4)(2-y )=0, 即(x-1)2+(y-3)2=2.因为点P 在圆C 的内部,所以直线l 一定与圆心C 相交,所以上式方程满足题意. 所以M 的轨迹方程是(x-1)2+(y-3)2=2.(2)由(1)可知M 的轨迹是以点N (1,3)为圆心,√2为半径的圆.因为|OP|=|OM|,设线段PM 中点为点D ,所以OD ⊥PM.又点P 在圆N 上,从而ND ⊥PM ,所以ON ⊥PM.畅享淘宝天猫京东拼多多百万张大额内部优惠券，先领券后购物！手机应用市场/应用宝下载花生日记APP 邀请码NJBHKZO ，高佣联盟官方正版APP 邀请码2548643因为ON 的斜率为3,所以直线l 的斜率为-13,故l 的方程为y=-13x+83.又|OM|=|OP|=2√2,O 到直线l 的距离为4√105, 故|PM|=4√105,所以△POM 的面积为165.【变式训练3】已知一个圆经过点A (3,1),B (-1,3),且它的圆心在直线3x-y-2=0上. (1)求此圆的方程;(2)若点D 为所求圆上任意一点,且点C (3,0),求线段CD 的中点M 的轨迹方程. 【解析】(1)因为A (3,1),B (-1,3),所以k AB =3−1-1-3=-12,线段AB 的中点坐标为(1,2),从而线段AB 的垂直平分线的斜率为2,方程为y-2=2(x-1),即2x-y=0.由方程组{2x -y =0,3x -y -2=0,解得{x =2,y =4,所以圆心N (2,4),半径r=|NA|=√(2-3)2+(4−1)2=√10,故所求圆N 的方程为(x-2)2+(y-4)2=10.(2)设M (x ,y ),D (x 1,y 1),则由C (3,0)及M 为线段CD 的中点得{x =x 1+32,y =y 1+02,解得{x 1=2x -3,y 1=2y.又点D 在圆N 上,所以(2x-3-2)2+(2y-4)2=10,化简得(x -52)2+(y-2)2=52.故所求的轨迹方程为(x -52)2+(y-2)2=52.方法 数形结合思想在解决关于圆的方程的问题中的应用研究与圆有关的最值问题时,可借助图形,利用数形结合求解.常见的最值问题有以下几种类型:①形如μ=y -bx -a 的最值问题,可转化为动直线斜率的最值问题;②形如t=ax+by 的最值问题,可转化为动直线截距的最值问题;③形如(x-a )2+(y-b )2的最值问题,可转化为动点到定点的距离的平方的最值问题.【突破训练】在平面直角坐标系xOy 中,A (-12,0),B (0,6),点P 在圆O :x 2+y 2=50上,若PA ⃗⃗⃗⃗⃗ ·PB ⃗⃗⃗⃗⃗ ≤20,则点P 的横坐标的取值范围是 .【解析】设P (x ,y ),由PA⃗⃗⃗⃗⃗ ·PB ⃗⃗⃗⃗⃗ ≤20和x 2+y 2=50,得2x-y+5≤0. 由{2x -y +5=0,x 2+y 2=50, 解得{x =−5,y =−5或{x =1,y =7.如图,由2x-y+5≤0,得点P 在圆左边弧CD ⏜上, 所以点P 横坐标的取值范围为[-5√2,1]. 【答案】[-5√2,1]1.(2017包头市期中)若圆x 2+y 2-2x-4y=0的圆心到直线x-y+a=0的距离为√22,则a 的值为( ).A.-2或2B.12或32C.2或0D.-2或0【解析】由圆心(1,2)到直线的距离公式得√2=√22,解得a=0或a=2.故选C.畅享淘宝天猫京东拼多多百万张大额内部优惠券，先领券后购物！手机应用市场/应用宝下载花生日记APP 邀请码NJBHKZO ，高佣联盟官方正版APP 邀请码2548643【答案】C2.(2017广西名校一模)过点A (1,-1),B (-1,1)且圆心在直线x+y-2=0上的圆的方程是( ).A.(x-3)2+(y+1)2=4 B.(x+3)2+(y-1)2=4 C.(x-1)2+(y-1)2=4D.(x+1)2+(y+1)2=4【解析】AB 的垂直平分线为直线y=x ,其与直线x+y-2=0的交点是(1,1),即为圆的圆心,故半径r=2. 【答案】C3.(2017新泰一中月考)点P (4,-2)与圆x 2+y 2=4上任意一点连线的中点的轨迹方程是( ).A.(x-2)2+(y+1)2=1 B.(x+2)2+(y+1)2=4 C.(x+4)2+(y-2)2=4D.(x+2)2+(y-1)2=1【解析】设圆上任意一点为Q (x 0,y 0),PQ 的中点为M (x ,y ),则{x =4+x 02,y =-2+y 02,解得{x 0=2x -4,y 0=2y +2.因为点Q 在圆x 2+y 2=4上,所以x 02+y 02=4,即(2x-4)2+(2y+2)2=4,化简得(x-2)2+(y+1)2=1.【答案】A4.(2015年全国Ⅱ卷)过三点A (1,3),B (4,2),C (1,-7)的圆交于y 轴于M ,N 两点,则|MN |=( ).A.2√6B.8C.4√6D.10【解析】由题意得k AB =3−21−4=-13,k CB =2+74−1=3,所以k AB k CB =-1,所以AB ⊥CB ,即△ABC 为直角三角形,则外接圆的圆心为AC 的中点(1,-2),半径为5,所以外接圆方程为(x-1)2+(y+2)2=25,令x=0,则有y=±2√6-2,所以|MN |=4√6,故选C.【答案】C5.(2017汕头模拟)已知圆x 2+y 2-2(m-1)x+2(m-1)y+2m 2-6m+4=0过坐标原点,则实数m 的值是 .【解析】由D 2+E 2-4F>0,即8(m-1)2-4(2m 2-6m+4)>0,解得m>1.因为圆过坐标原点,所以2m 2-6m+4=0,解得m=2或m=1.因此m=2.【答案】26.(2017温州一模)已知动点M 到定点(8,0)的距离等于M 到(2,0)的距离的2倍,那么点M 的轨迹方程是 .【解析】设点M 的坐标为(x ,y ),利用动点满足的几何关系列式得√(x -8)2+y 2=2√(x -2)2+y 2,化简得x 2+y 2=16.【答案】x 2+y 2=167.(2015年江苏卷)在平面直角坐标系xOy 中,以点(1,0)为圆心且与直线mx-y-2m-1=0(m ∈R )相切的所有圆中,半径最大的圆的标准方程为 .【解析】mx-y-2m-1=0可化为m (x-2)-(y+1)=0, 则动直线恒过定点M (2,-1),故满足题意的圆与直线切于点M 时,半径最大,从而r=√(2-1)2+(−1−0)2=√2,故标准方程为(x-1)2+y2=2.【答案】(x-1)2+y2=28.(2017丽水联考)点A(2,0)是圆x2+y2=4上一点,点B(1,1)是圆内一点,P,Q为圆上的动点.(1)求线段AP的中点的轨迹方程;(2)若∠PBQ=90°,求线段PQ的中点的轨迹方程.【解析】(1)设线段AP的中点为M(x,y),由中点公式得点P坐标为P(2x-2,2y).∵点P在圆x2+y2=4上,∴(2x-2)2+(2y)2=4,故线段AP的中点的轨迹方程为(x-1)2+y2=1.(2)设线段PQ的中点为N(x,y),在Rt△PBQ中,|PN|=|BN|,设O为坐标原点,连接ON,则ON⊥PQ,∴|OP|2=|ON|2+|PN|2=|ON|2+|BN|2,∴x2+y2+(x-1)2+(y-1)2=4,故线段PQ的中点的轨迹方程为x2+y2-x-y-1=0.9.(2017长春市质量监测一)已知圆(x-1)2+(y-1)2=4上到直线y=x+b的距离等于1的点有且仅有两个,则b的取值范围是().A.(-√2,0)∪(0,√2)B.(-3√2,3√2)C.(-3√2,-√2)∪(√2,3√2)D.(-3√2,-√2]∪(√2,3√2]【解析】由已知得圆的半径为2,可知圆心到直线的距离属于(1,3)时,满足只有两个圆上的点到直线l的距离为1,根据点到直线的距离公式可得1<|1-1+b|<3,因此b∈(-3√2,-√2)∪(√2,3√2).故选C.√2【答案】C10.(2017福州三中测试卷)下面四个命题:①直线(3+m)x+4y-3+3m=0(m∈R)恒过定点(-3,3);②圆x2+y2=4上有且仅有3个点到直线l:x-y+√2=0的距离都等于1;[f(b)-f(a)];③若函数y=f(x)在x=a及x=b之间的一段图象可以近似地看作直线,且a<c<b,则f(c)≈f(a)+c-ab-a。