(同济大学)高等数学课件D10_7斯托克斯公式

3
2
0
D xy
1
1
y
3(
1


2
1方 程 ； 2 x轴
3
)zdx
1
x
1

3 3 zdx 3 (1 x )dx 0 3 2
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例 1 计算
zdx xdy ydz ,
: x y z 1被
三坐标面所截成的三角形的整个边界,其正向与三 z 角形上侧符合右手规则.
z

n
o

y
x
3 ：x y z 2
4 3 dS 3 2 9 2 3 3dxdy . 2 D xy
x y
Dxy
x y 1 2
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3 2
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二、*等价结论
1 推论 设G是空间 一维单连通区域， 、Q、R CG， P


A的旋度 R Q P R Q P rotA dS ( , , ) dS
物理意义: rotA穿过流向指定侧的流量 A沿 (正向)的环流量。

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Pdx Qdy Rdz A ds
0 D xy
1
x
1
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例 2 求 ( y 2 z 2 )dx ( z 2 x 2 )dy ( x 2 y 2 )dz ,是

3 x y z 截立方体:0 x 1 ,0 y 1 , 0 z 1 2
的表面所得截痕,从 Ox 轴正向看去取逆时针方向. 3 z n 解 取Σ : x y z ,上侧,被 2 0 1 (1,1,1) 所围部分. 则 n

P P P[ x , y , f ( x , y )] fy y y z
P P dzdx dxdy y z P[ x , y , f ( x , y )]dxdy , D y
xy
1
D 由分段光滑的曲线 L 围 设闭区域
D 上具有一阶连 成,函数 P ( x , y )及 Q ( x , y ) 在
3 其中 是平面 x y z 截立方体:0 x 1 , 2 0 y 1 ,0 z 1 的表面所得的截痕,若从 ox
轴的正向看去,取逆时针方向.
3 解 取Σ 为平面 x y z 2 的上侧被 所围成的部分. 1 则 n {1,1,1} 3
z

n
R Q P R Q P ( )dydz ( )dzdx ( )dxdy y z z x x y
Pdx Qdy Rdz

斯托克斯公式
n

右手法则

正向边界曲线
z
是有向曲面 的
n
证明
如图
z 轴的直线 设 Σ 与平行于
续偏导数, 则有
Q P ( )dxdy L Pdx Qdy x y D 其中 L 是D 的取正向的边界曲线,
公式(1)叫做格林公式.
(1)
根椐格林公式

Dxy
P[ x , y , f ( x , y )]dxdy P[ x , y , f ( x , y )]dx c y
相交不多于一点 , 并Σ 取 上侧,有向曲线 C 为Σ 的正 向边界曲线 在 xoy 的投 影.且所围区域D xy .
x
:z

f ( x, y )

第七节 P 斯托克斯公式 P cos
第 十 章 曲 线 积 分 与 曲 面 积 分
Q Q 同理可证 Q d y d xd y d yd z x z R R R d x y d y d z x d z d x
三式相加, 即得斯托克斯公式 ;
z
o
1
A 1 y
2y z
xz
y x
杨建新
x
C
第七节
斯托克斯公式
B 1
z
d yd z
第 十 章 曲 线 积 分 与 曲 面 积 分
dzd x
y
d xd y
z

S
x
o
1
2y z
xz
y x
A 1 y
(1 1) d y d z (1 1) d z d x (1 2) d x d y 2 d y d z 2 d z d x d x d y
P d x C P( x, y, z ( x, y)) d x
y C
P( x, y, z ( x, y )) d x d y Dx y y
(利用格林公式)
杨建新
第七节
斯托克斯公式
第 十 章 曲 线 积 分 与 曲 面 积 分
P P z d xd y Dx y y z y P P f y cos d S y z
设人站在曲面 S 上的指定一侧，沿边界曲线 L 行走，
指定的侧总在人的左方，则人前进的方向为边界曲线 L 的正向. 这个规定方法也称为右手法则.
杨建新
第七节
斯托克斯公式
定理22.4 设光滑曲面 S 的边界 L 是按段光滑曲线,

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S 正向
L
图 22 9
S L
负向
定理22.4 设光滑曲面 S 的边界 L 是按段光滑的连 续曲线.若函数 P, Q, R 在 S ( 连同 L ) 上连续,且有 一阶连续偏导数,则有斯托克斯公式如下:
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R Q
P R
Q P
(
S
y

z
)dydz
(1)
S
其中 S 取外侧.(1) 式称为高斯公式.
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证
下面只证

V
Rdxdydz z


S
Rdxdy
.
读者可类似
证明其余两式:

V
Pdxdydz x


S
Pdydz
,

V
Qdxdydz y


S
Qdzdx
.
这些结果相加便得到高斯公式 (1).
先设V是一个 xy 型区域,即其边界曲面 S 由曲面
当曲面 S 表示为 x x( y, z), y y(z, x) 时, 同样可证
Q
Q

S
dxdy x

z
dydz

L Qdy
(4)
R
R

S
dydz y

x
dzdx

L
Rdz
(5)
将 (3), (4), (5) 三式相加,即得公式 (2) .
如果 S 不能以 z z( x, y) 的形式给出, 则可用一些
P y

P z

cos cos

dxdy