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高中数学第三章三角恒等变换3.1两角和与差的正弦、余弦和正切公式3.1.1两角差的余弦公式学案(无答案)新人

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高中数学第三章三角恒等变换3.1两角和与差的正弦、余弦和正切公式3.1.1两角差的余弦公式学案（无答案）新人教A 版必修43．1.1 两角差的余弦公式学习目标 1.了解两角差的余弦公式的推导过程.2.理解用向量法导出公式的主要步骤.3.熟记两角差的余弦公式的形式及符号特征，并能利用该公式进行求值、计算．知识点一 两角差的余弦公式的探究思考1 如何用角α，β的正弦、余弦值来表示cos(α－β)呢？有人认为cos(α－β)＝cos α－cos β，你认为正确吗，试举出两例加以说明． 答案 不正确．例如：当α＝π2，β＝π4时，cos(α－β)＝cos π4＝22，而cos α－cos β＝cos π2－cos π4＝－22，故cos(α－β)≠cos α－cos β；再如：当α＝π3，β＝π6时，cos(α－β)＝cos π6＝32，而cos α－cos β＝cos π3－cos π6＝1－32，故cos(α－β)≠cos α－cos β.思考2 计算下列式子的值，并根据这些式子的共同特征，写出一个猜想． ①cos45°cos45°＋sin45°sin45°＝________； ②cos60°cos30°＋sin60°sin30°＝________； ③cos30°cos120°＋sin30°sin120°＝________； ④cos150°cos210°＋sin150°sin210°＝________. 猜想：cos αcos β＋sin αsin β＝________，即______________________________________________________．答案 ①1 ②32 ③0 ④12cos(α－β) cos(α－β)＝cos αcos β＋sin αsin β 知识点二 两角差的余弦公式思考1 单位圆中(如图)，∠AOx ＝α，∠BOx ＝β，那么A ，B 的坐标是什么？OA →与OB →的夹角是多少？答案 A (cos α，sin α)，B (cos β，sin β)． OA →与OB →的夹角是α－β.思考2 请根据上述条件推导两角差的余弦公式． 答案 ①OA →·OB →＝|OA →||OB →|cos(α－β)＝cos(α－β)， ②OA →·OB →＝cos αcos β＋sin αsin β. ∴cos(α－β)＝cos αcos β＋sin αsin β.梳理 C (α－β)：cos(α－β)＝cos αcos β＋sin αsin β. (1)适用条件：公式中的角α，β都是任意角．(2)公式结构：公式右端的两部分为同名三角函数的积，连接符号与左边角的连接符号相反．1．存在角α，β，使得cos(α－β)＝cos α－cos β.( √ )提示 如α＝π4，β＝π2，cos(α－β)＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－π2＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫－π4＝22，cos α－cos β＝cos π4－cos π2＝22，满足cos(α－β)＝cos α－cos β.2．任意角α，β，cos(α－β)＝cos αcos β－sin αsin β.( × ) 提示 由两角差的余弦公式可知不正确．3．任意角α，β，cos(α－β)＝cos αcos β＋sin αsin β.( √ )类型一利用两角差的余弦公式化简求值例1 计算：(1)cos(－15°)；(2)cos15°cos105°＋sin15°sin105°.考点两角差的余弦公式题点利用两角差的余弦公式求值解(1)方法一原式＝cos(30°－45°)＝cos30°cos45°＋sin30°sin45°＝32×22＋12×22＝6＋24.方法二原式＝cos15°＝cos(45°－30°)＝cos45°cos30°＋sin45°sin30°＝22×32＋22×12＝6＋24.(2)原式＝cos(15°－105°)＝cos(－90°)＝cos90°＝0.反思与感悟利用两角差的余弦公式求值的一般思路(1)把非特殊角转化为特殊角的差，正用公式直接求解．(2)在转化过程中，充分利用诱导公式，构造两角差的余弦公式的右边形式，然后逆用公式求值．跟踪训练1 化简cos15°cos45°＋cos75°sin45°的值为( )A.12B.32C．－12D．－32考点两角差的余弦公式题点利用两角差的余弦公式求值答案 B解析cos15°cos45°＋cos75°sin45°＝cos15°cos45°＋sin15°sin45°＝cos(15°－45°)＝cos(－30°)＝32.类型二给值求值例2 (1)已知sinα－sinβ＝1－32，cosα－cosβ＝12，则cos(α－β)等于( )A ．－32B ．－12C.12D.32考点 两角差的余弦公式 题点 利用两角差的余弦公式求值 答案 D解析 因为sin α－sin β＝1－32，cos α－cos β＝12， 所以(cos α－cos β)2＝14，(sin α－sin β)2＝74－ 3.两式相加，得2－2cos(α－β)＝2－ 3. 所以cos(α－β)＝32. (2)已知α，β均为锐角，sin α＝817，cos(α－β)＝2129，求cos β的值．考点 两角差的余弦公式 题点 利用两角差的余弦公式求值解 因为α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2，sin α＝817<12，所以0<α<π6.又因为α－β∈⎝ ⎛⎭⎪⎫－π2，π6，cos(α－β)＝2129<32，所以－π2<α－β<－π6.所以cos α＝1－sin 2α＝1－⎝ ⎛⎭⎪⎫8172＝1517， sin(α－β)＝－1－cos2α－β＝－1－⎝ ⎛⎭⎪⎫21292＝－2029，所以cos β＝cos[α－(α－β)]＝cos αcos(α－β)＋sin αsin(α－β) ＝1517×2129＋817×⎝ ⎛⎭⎪⎫－2029＝155493. 反思与感悟 给值求值问题的解题策略(1)从角的关系中找解题思路：已知某些角的三角函数值，求另外一些角的三角函数值，要注意观察已知角与所求表达式中的角的关系，根据需要灵活地进行拆角或凑角的变换． (2)常见角的变换：①α＝(α－β)＋β；②α＝α＋β2＋α－β2；③2α＝(α＋β)＋(α－β)；④2β＝(α＋β)－(α－β)．跟踪训练2 已知sin α＋sin β＝35，cos α＋cos β＝45，求cos(α－β)的值．考点 两角差的余弦公式 题点 利用两角差的余弦公式求值解 ∵(sin α＋sin β)2＝⎝ ⎛⎭⎪⎫352，(cos α＋cos β)2＝⎝ ⎛⎭⎪⎫452，以上两式展开两边分别相加，得2＋2cos(α－β)＝1， ∴cos(α－β)＝－12.类型三 给值求角例3 已知cos α＝17，cos(α＋β)＝－1114，且α，β∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2，求β的值．考点 两角差的余弦公式 题点 利用两角差的余弦公式求角解 ∵α，β∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2且cos α＝17，cos(α＋β)＝－1114，∴α＋β∈(0，π)，∴sin α＝1－cos 2α＝437，sin(α＋β)＝1－cos2α＋β＝5314. 又∵β＝(α＋β)－α，∴cos β＝cos[(α＋β)－α]＝cos(α＋β)cos α＋sin(α＋β)sin α＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－1114×17＋5314×437＝12. 又∵β∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2，∴β＝π3.引申探究若本例条件中的“cos(α＋β)＝－1114”改为“sin(α＋β)＝5314”，则β的值是什么？解 ∵α，β∈⎝⎛⎭⎪⎫0，π2，∴α＋β∈(0，π)，∵cos α＝17，sin(α＋β)＝5314，∴sin α＝437，cos(α＋β)＝±1114，当cos(α＋β)＝－1114时，cos β＝cos[(α＋β)－α]＝cos(α＋β)cos α＋sin(α＋β)sin α＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－1114×17＋5314×437＝12， ∵β∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2，∴β＝π3；当cos(α＋β)＝1114时，cos β＝cos[(α＋β)－α]＝cos(α＋β)cos α＋sin(α＋β)sin α＝1114×17＋5314×437＝7198<1114 ＝cos(α＋β)，且α＋β∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2，β∈⎝⎛⎭⎪⎫0，π2，所以β>α＋β，即α<0，与已知矛盾，舍去，所以β＝π3.反思与感悟 求解给值求角问题的一般步骤 (1)求角的某一个三角函数值． (2)确定角的范围．(3)根据角的范围写出所求的角．跟踪训练3 已知sin(π－α)＝437，cos(α－β)＝1314，0<β<α<π2，求角β的大小．考点 两角差的余弦公式 题点 利用两角差的余弦公式求角解 因为sin(π－α)＝437，所以sin α＝437.因为0<α<π2，所以cos α＝1－sin 2α＝17.因为cos(α－β)＝1314，且0<β<α<π2，所以0<α－β<π2，所以sin(α－β)＝1－cos2α－β＝3314. 所以cos β＝cos[α－(α－β)]＝cos αcos(α－β)＋sin αsin(α－β)＝17×1314＋437×3314＝12. 因为0<β<π2，所以β＝π3.1．计算cos 5π12cos π6＋cos π12sin π6的值是( )A ．0B.12C.22D.32考点 两角差的余弦公式 题点 利用两角差的余弦公式求值 答案 C解析 cos 5π12cos π6＋cos π12sin π6＝cos 5π12cos π6＋sin 5π12sin π6＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫5π12－π6 ＝cos π4＝22.2．cos44°cos14°＋sin44°sin14°的值为( ) A.12B ．－12C.32D ．－32 考点 两角差的余弦公式 题点 利用两角差的余弦公式求值 答案 C解析 原式＝cos(44°－14°)＝cos30°＝32. 3．设α，β都是锐角，且cos α＝55，sin(α＋β)＝35，则cos β等于( )A.2525 B.255 C.2525或255D.55或525考点 两角差的余弦公式 题点 利用两角差的余弦公式求值 答案 A解析 依题意得sin α＝1－cos 2α＝255，cos(α＋β)＝±1－sin 2α＋β＝±45. 又α，β均为锐角，所以0<α<α＋β<π，cos α>cos(α＋β)． 因为45>55>－45，所以cos(α＋β)＝－45.于是cos β＝cos[(α＋β)－α]＝cos(α＋β)cos α＋sin(α＋β)sin α＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－45×55＋35×255＝2525. 4．cos(α－35°)cos(α＋25°)＋sin(α－35°)sin (α＋25°)＝________. 考点 两角差的余弦公式 题点 利用两角差的余弦公式化简 答案 12解析 原式＝cos[(α－35°)－(α＋25°)] ＝cos(－60°)＝cos60°＝12.5．已知向量a ＝(cos α，sin α)，b ＝(cos β，sin β)，α，β∈(0，π)且a ⊥b ，求α－β的值．考点 两角差的余弦公式 题点 利用两角差的余弦公式化简解 因为a ⊥b ，所以a ·b ＝cos αcos β＋sin αsin β＝cos(α－β)＝0. 因为－π<α－β<π，所以α－β＝－π2或π2.1．“给式求值”或“给值求值”问题，即由给出的某些函数关系式或某些角的三角函数值，求另外一些角的三角函数值，关键在于“变式”或“变角”，使“目标角”换成“已知角”．注意公式的正用、逆用、变形用，有时需运用拆角、拼角等技巧．2．“给值求角”问题，实际上也可转化为“给值求值”问题，求一个角的值，可分以下三步进行：(1)求角的某一三角函数值． (2)确定角所在的范围(找区间)． (3)确定角的值．确定用所求角的哪种三角函数值，要根据具体题目而定．一、选择题1．cos295°sin70°－sin115°cos110°的值为( ) A.22B ．－22C.32D ．－32考点 两角差的余弦公式 题点 利用两角差的余弦公式求值 答案 A解析 原式＝－cos115°cos20°＋sin115°sin20° ＝cos65°cos20°＋sin65°sin20°＝cos(65°－20°) ＝cos45°＝22. 2．已知cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ＋π6＝513，0＜θ＜π3，则cos θ等于( ) A.53＋1226 B.12－5313 C.5＋12326D.5＋5313考点 两角差的余弦公式 题点 利用两角差的余弦公式求值 答案 A解析 ∵θ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π3，∴θ＋π6∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π6，π2，∴sin ⎝⎛⎭⎪⎫θ＋π6＝1－cos 2⎝⎛⎭⎪⎫θ＋π6＝1213.∴cos θ＝cos ⎣⎢⎡⎦⎥⎤⎝⎛⎭⎪⎫θ＋π6－π6＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ＋π6cos π6＋sin ⎝⎛⎭⎪⎫θ＋π6sin π6＝513×32＋1213×12＝53＋1226. 3．(2017·广东肇庆三模)已知α为锐角，β为第三象限角，且cos α＝1213，sin β＝－35，则cos(α－β)的值为( ) A ．－6365B ．－3365C.6365D.3365考点 两角差的余弦公式 题点 利用两角差的余弦公式求值 答案 A解析 ∵α为锐角，且cos α＝1213，∴sin α＝1－cos 2α＝513.∵β为第三象限角，且sin β＝－35，∴cos β＝－1－sin 2β＝－45，∴cos(α－β)＝cos αcos β＋sin αsin β＝1213×⎝ ⎛⎭⎪⎫－45＋513×⎝ ⎛⎭⎪⎫－35＝－6365.故选A.4．已知点P (1，2)是角α终边上一点，则cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6－α等于( )A.3＋66B.3－66 C ．－3＋66D.6－36考点 两角差的余弦公式 题点 利用两角差的余弦公式求值 答案 A解析 由题意可得sin α＝63，cos α＝33， cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6－α＝cos π6cos α＋sin π6sin α＝32×33＋12×63＝3＋66. 5．已知点A (cos80°，sin80°)，B (cos20°，sin20°)，则|AB →|等于( )A.12B.22C.32D ．1 考点 两角差的余弦公式题点 利用两角差的余弦公式求值答案 D解析 |AB →|＝cos80°－cos20°2＋sin80°－sin20°2＝2－2cos80°cos20°＋sin80°sin20°＝2－2cos60°＝2－2×12＝1. 6．若cos(α－β)＝55，cos2α＝1010，并且α，β均为锐角且α<β，则α＋β的值为( )A.π6B.π4C.3π4D.5π6 考点 两角差的余弦公式题点 利用两角差的余弦公式求角答案 C解析 ∵α，β∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2，∴α－β∈⎝ ⎛⎭⎪⎫－π2，0，2α∈(0，π)，sin(α－β)＝－255，sin2α＝31010， ∴cos(α＋β)＝cos[2α－(α－β)]＝cos2αcos(α－β)＋sin2αsin(α－β)＝1010×55＋31010×⎝ ⎛⎭⎪⎫－255＝－22， ∵α＋β∈(0，π)，∴α＋β＝3π4. 7．化简sin(x ＋y )sin(y －x )－cos(x ＋y )cos(x －y )的结果为( )A ．sin2yB ．cos2yC ．－cos2yD ．－sin2y考点 两角差的余弦公式题点 利用两角差的余弦公式化简答案 C解析 原式＝－cos[(x ＋y )－(x －y )]＝－cos2y ，故选C.二、填空题8．已知cos α＝45，cos(α－β)＝－45，3π2<α<2π，π2<α－β<π，则cos β＝________. 考点 两角差的余弦公式题点 利用两角差的余弦公式求值答案 －1解析 由条件知sin α＝－35，sin(α－β)＝35， ∴cos β＝cos[α－(α－β)]＝cos αcos(α－β)＋sin αsin(α－β)＝－1625－925＝－1. 9．已知sin α＋sin β＋sin γ＝0，cos α＋cos β＋cos γ＝0，则cos(α－β)的值是________．考点 两角差的余弦公式题点 两角差的余弦公式的综合应用答案 －12解析 由⎩⎪⎨⎪⎧ sin α＋sin β＝－sin γ， ①cos α＋cos β＝－cos γ，②①2＋②2，得2＋2(sin αsin β＋cos αcos β)＝1，即cos(α－β)＝－12. 10．化简2cos10°－sin 20°cos20°＝________. 考点 两角差的余弦公式题点 利用两角差的余弦公式化简答案 3 解析 原式＝2cos 30°－20°－sin20°cos20°＝3cos20°＋sin20°－sin20°cos20°＝ 3. 11．(2017·广东深圳中学同步练习)函数f (x )＝sin2x sin π6－cos2x cos 5π6在⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π2，π2上的单调递增区间为________．考点 两角差的余弦公式题点 两角差的余弦公式的综合应用答案 ⎣⎢⎡⎦⎥⎤－5π12，π12 解析 f (x )＝sin2x sin π6－cos2x cos 5π6＝sin2x sin π6＋cos2x cos π6＝cos ⎝⎛⎭⎪⎫2x －π6.当2k π－π≤2x －π6≤2k π(k ∈Z )，即k π－5π12≤x ≤k π＋π12(k ∈Z )时，函数f (x )单调递增．取k ＝0，得－5π12≤x ≤π12，故函数f (x )在⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π2，π2上的单调递增区间为⎣⎢⎡⎦⎥⎤－5π12，π12. 三、解答题12．已知cos(2α－β)＝－22，sin(α－2β)＝22，且π4<α<π2，0<β<π4，求cos(α＋β)．考点 两角差的余弦公式题点 利用两角差的余弦公式求值解 因为π4<α<π2，0<β<π4，所以π4<2α－β<π. 因为cos(2α－β)＝－22，所以π2<2α－β<π， 所以sin(2α－β)＝22. 因为π4<α<π2，0<β<π4，所以－π4<α－2β<π2. 因为sin(α－2β)＝22，所以0<α－2β<π2， 所以cos(α－2β)＝22. 所以cos(α＋β)＝cos[(2α－β)－(α－2β)]＝cos(2α－β)cos(α－2β)＋sin(2α－β)sin(α－2β)＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－22×22＋22×22＝0. 13．已知向量a ＝(sin θ，－2)与b ＝(1，cos θ)互相垂直，其中θ∈⎝⎛⎭⎪⎫0，π2. (1)求sin θ和cos θ的值；(2)若5cos(θ－φ)＝35cos φ，0<φ<π2，求cos φ的值． 考点 两角差的余弦公式题点 两角差的余弦公式的综合应用解 (1)因为a ⊥b ，所以a ·b ＝sin θ－2cos θ＝0，即sin θ＝2cos θ.又因为sin 2θ＋cos 2θ＝1，所以4cos 2θ＋cos 2θ＝1，即cos 2θ＝15，所以sin 2θ＝45， 又θ∈⎝⎛⎭⎪⎫0，π2，所以sin θ＝255，cos θ＝55. (2)因为5cos(θ－φ)＝5(cos θcos φ＋sin θsin φ) ＝5cos φ＋25sin φ＝35cos φ，所以cos φ＝sin φ，所以cos 2φ＝sin 2φ＝1－cos 2φ，即cos 2φ＝12. 因为0<φ<π2，所以cos φ＝22. 四、探究与拓展 14．函数y ＝cos x ＋cos ⎝⎛⎭⎪⎫x －π3，x ∈[0，π]的最小值为( ) A ．－3B.32C ．－32D. 3 考点 两角差的余弦公式题点 两角差的余弦公式的综合应用答案 C解析 y ＝cos x ＋12cos x ＋32sin x ＝32cos x ＋32sin x ＝3⎝ ⎛⎭⎪⎫32cos x ＋12sin x ＝3cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －π6， 因为x ∈[0，π]，所以x －π6∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π6，5π6， 故y min ＝3×⎝ ⎛⎭⎪⎫－32＝－32. 15．如图，在平面直角坐标系中，锐角α和钝角β的终边分别与单位圆交于A ，B 两点．(1)如果A ，B 两点的纵坐标分别为45，1213，求cos α和sin β； (2)在(1)的条件下，求cos(β－α)的值．考点 两角差的余弦公式题点 两角差的余弦公式的综合应用解 (1)∵OA ＝1，OB ＝1，且点A ，B 的纵坐标分别为45，1213， ∴sin α＝45，sin β＝1213，∴cos α＝35. (2)∵β为钝角，由(1)知cos β＝－513， ∴cos(β－α)＝cos βcos α＋sin βsin α＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－513×35＋1213×45＝3365.。

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高中数学第三章三角恒等变换3.1两角和与差的正弦余弦和正切公式3.1.2两角和与差的正弦余弦正切公式

高中数学第三章三角恒等变换3.1两角和与差的正弦余弦和正切公式3.1.2两角和与差的正弦余弦正切公式

3.1.2 两角和与差的正弦、余弦和正切公式疱工巧解牛知识•巧学一、两角和的余弦公式1.比较cos(α-β)与cos(α+β)，根据α+β与α-β之间的联系：α+β=α-(-β)，则由两角差的公式得cos(α+β)=cos［α-(-β)］=cosαcos(-β)+sinαsin(-β)=cosαcosβ-sinαsinβ,即cos(α+β)=cosαcosβ-sinαsinβ.学法一得这种以-β代β的变换角的方式在三角函数的恒等变形中有着重要应用，同时也启发我们要辩证地看待和角与差角.在公式C(α-β)中，因为角α、β是任意角，所以在C(α+β)中，角α、β也是任意角.2.用两点间的距离公式推导C(α+β).图3-1-5如图3-1-5，在直角坐标系xOy内作单位圆O，以O为顶点，以x轴的非负半轴为始边，作出角α、-β，使角α、-β的终边分别交单位圆于点P2、P4，再以OP2为始边，作角β，使它的终边交单位圆于点P3，这样就出现了α、β、α+β这样的角，设角α、-β的始边交单位圆于点P1，则P1(1，0).设P2(x，y)，根据任意角的三角函数的定义，有sinα=y，cosα=x，即P2(cosα，sinα)；同理,可得P3(cos(α+β)，sin(α+β))，P4(cos(-β)，sin(-β)).由整个作图过程可知△P3OP1≌△P2OP4，所以|P1P3|=|P2P4|.|P1P3|2=|P2P4|2，即［cos(α+β)-1］2+sin2(α+β)=［cos(-β)-cosα］2+［sin(-β)-sinα］2.根据同角三角函数的基本关系,整理得2-2cos(α+β)=2-2(cosαcosβ-sinαsinβ)，即cos(α+β)=cosαcosβ-sinαsinβ.3.利用向量的数量积推导C(α+β).图3-1-6如图3-1-6，在平面直角坐标系xOy内作单位圆，以Ox为始边作角α、-β，它们与单位圆的交点分别为A、B.显然，OA=(cosα,sinα),OB=(cos(-β),sin(-β)).根据向量数量积的定义，有OA·OB=1(cosα,sinα)·(cos(-β),sin(-β))=cosαcos(-β)+sinαsin(-β)=cosαcosβ-sinαsinβ.于是cos(α+β)=cosαcosβ-sinαsinβ.学法一得①在处理问题的过程中，把有待解决或难解决的问题，通过某种转化，归结为一类已经解决或比较容易解决的问题，最终求得原问题的解，这种思想方法叫做化归思想.②以任意角的三角函数的定义为载体，我们推导了同角的三角函数的基本关系式、诱导公式和两角和的余弦公式.熟记公式中角、函数的排列顺序及式中的正负号是正确使用公式的关键. 记忆要诀公式右端的两部分为同名三角函数之积，连接符号与左边的连接符号相反.二、两角和与差的正弦1.公式的推导sin(α-β)=cos［2-(α-β)］=cos［(2-α)+β］=cos(2-α)cosβ-sin(2-α)sinβ=sinαcosβ-cosαsinβ.在上面的公式中，以-β代β，即可得到sin(α+β)=sinαcosβ+cosαsinβ.2.和差公式是诱导公式的推广，诱导公式是和差公式的特例.如sin(2π-α)=sin2πcosα-cos2πsinα=0×cosα-1×sinα=-sinα.当α或β中有一个角是2均为任意角.的整数倍时，通常使用诱导公式较为方便；上面公式中的α、β误区警示公式对分配律不成立，即sin(α±β)≠sinα±sinβ，学习时一定要注意这一点.学法一得公式使用时不仅要会正用，还要能够逆用，如化简sin(α+β)cosβ-cos(α+β)sinβ，不要将sin(α+β)和cos(α+β)展开，而应当整体考察，进行如下变形：sin(α+β)cosβ-cos(α+β)sinβ=sin［(α+β)-β］=sinα，这也体现了数学中的整体原则.记忆要诀记忆时要与两角和与差的余弦公式区别开来，两角和与差的正弦公式的右端的两部分为异名三角函数之积，连接符号与左边的连接符号相同.三、两角和与差的正切1.公式的推导利用两角和的正弦、余弦公式，可以推导出两角和的正切公式：tan(α+β)=s in(cos())s incosc oscosc ossin sinsin，当cosαcosβ≠0时，我们可以将上式的分子、分母同时除以cosαcosβ，即得用tanα和tanβ表示的公式：tan tantan(α+β)=1tantan，在上面的公式中，以-β代β，可得两角差的正切公式：tan tantan(α-β)=1tantan.2.公式成立的条件要能应用公式，首先要使公式本身有意义，即tanα、tanβ存在.并且1+tanαtanβ的值不为零，所以可得α、β需满足的条件：α≠kπ+2,β≠kπ+2，α+β≠kπ+2或2α-β≠kπ+2，以上 k∈Z .当 tanα、tanβ、tan(α±β)不存在时，可以改用诱导公式或 其他方法解决.学法一得 两角和与差的正切同样不仅可以正用，而且可以逆用、变形用，逆用和变形用都是 化简三角恒等式的重要手段，如 tanα+tanβ=tan(α+β)(1-tanαtanβ)就可以解决诸如 tan15°+tan30°+tan15°tan30°的问题.所以在处理问题时要注意考察式子的特征，巧妙运 用公式或其变形，使变换过程简单明了. 典题•热题知识点一 所求角可表示成两个特殊角的和、差 例 1 求 sin75°,tan15°的值.解：sin75°=sin(45°+30°)=sin45°cos30°+cos45°sin30° = 232 1 62 22 24 2；tan60tan 45 3 1tan15°=tan(60°-45°)= 2 31 tan 60tan 45 1 3 tan 60 45 1 3，3 1tan 45 tan 303或 tan15°=tan(45°-30°)= 2 31 tan 45tan 303 13. 例 2 求 sin 7 c os 7c os15sin 8 sin15sin 8的值.思路分析：观察被求式的函数名称的特点和角的特点，其中 7°=15°-8°，15°=8°+7°，8°=15°-7°.无论采取哪种代换方式，都可减少角的个数.利用和角或差角公式展开，进行约 分、化简、求值.若用 7°=15°-8°代换，分子、分母是二次齐次式；若用 15°=8°+7°或 8°=15°-7°代换，分子、分母将会出现三次式，显然选择后者更好，不妨比较一下. 答案：原式=sin 7 cos 7cos(7 sin(78)sin 8 8)sin 8s in 7 cos 7cos7cos8sin 8 s in7cos8sin8s in 7cos7sin2sin28 8s in 7(sin cos 7sinsin 7cos2 cos 7cos288cos7cos8sin8sin7cos8sin8s in7cos8cos7sin 8c os7cos8sin7sin 8sin15tan1523. cos15巧解提示:原式=sin(15cos(158)8)c os15sin 8sin15sin 8s in15 cos8 c os15 cos8cos15sin8sin 8sin15cos15sin15sin8sin83s in15cos8cos15cos8=tan15°=tan(45°-30°)31tan45tan30323.1tan45t an 30313方法归纳三角函数式的结构一般由角、三角函数符号及运算符号三部分组成.因此三角恒等变换常常首先寻找式子所包含的各个角之间的联系，并以此为依据选择可以联系它们的适当公式，这是三角恒等变换的重要特点.无论是化简、求值，还是证明，其结果应遵循以下几个原则：①能求值的要求值；②三角函数的种类尽可能少；③角的种类尽可能少；④次数尽可能低；⑤尽可能不含根号和分母.知识点二已知α、β的三角函数值，求α±β的三角函数值1例3 已知sinα=，求cos( +α)的值.3 3思路分析：因为是个特殊角，所以根据C(α+β)的展开式，只需求出cosα的值即可.由于条31件只告诉了sinα=，没有明确角α所在的象限，所以应分类讨论，先求cosα的值，再代3入展开式确定cos( +α)的值.31解：∵sinα=>0，∴α位于第一、二象限.3当α是第一象限角时，cosα=1221()2，33∴cos(3+α)=cos3cosα-sin3sinα=1223122232363;22同理，当α是第二象限角时，cosα=，3∴cos(3233+α)=.6方法归纳解这类给值求值问题的关键是先分清S(α±β)、C(α±β)、T(α±β)的展开式中所需要的条件，结合题设，明确谁是已知的，谁是待求的.其中在利用同角三角函数的基本关系求值时，应先解决与已知具有平方关系的三角函数值.但是，对于cos(π+α)、cos( +α)这样的2函数求值，由于它们的角与的整数倍有关，所以无需按它们的展开式求值，直接利用诱导2公式可能更简单.例4 已知cos(α-2)=1，sin(92-β)=23，并且2＜α＜π，0＜β＜2，求cos24思路分析：观察给出的角()()，结合公式C(α-β)展开式的特点，只需222利用同角三角函数的基本关系计算出sin(α-)、cos( -β)的值即可.22解：∵＜α＜π，0＜β＜，∴＜＜，0＜＜.2242224∴＜α-＜π，- ＜-β＜.424221＜0，∴又∵cos(α-)= .29221∴sin(22)1sin()1()229459.同理，∵sin(2-β)=23>0，∴.222∴cos(22)1sin()1()22353.故cos[()()]cos222=cos(α- )cos( -β)+sin(α- )sin(2222-β)1545275.939327例5 在△ABC中，sinA=355,cosB=13，求cosC.思路分析：本题主要考查三角形中的三角函数问题.若不注意“△ABC”这个条件，就会产生多解，所以解这类问题时一定要注意尽量压缩角的范围，避开分类讨论，同时要注意结论是否符解：5,∴B∈( 2∵cosB=13 24 ,212 13)且 sinB=. ∵sinA= 3 ,∴A∈(0, 2 5 24 )∪( 34 ,π).33若 A∈(,π),B∈( , )，则 A+B∈(π,)与 A+B+C=π 矛盾，44 2234∴A(,π).因此 A∈(0, )且 cosA= .445 45 3 12 16从而 cosC=cos ［π-(A+B)］=-cos(A+B)=-cosAcosB+sinAsinB=. 5 13 5 13 655例 6 如图 3-1-7，已知向量OP =(3,4)绕原点旋转 45°到 OP′的位置，求点 P′(x′,y′)的 坐标.图 3-1-7思路分析：本题相当于已知角 α 的三角函数值，求 α+45°的三角函数值. 解：设∠xOP=α.因为|OP|= 32 42 5 ，所以cosα=3 5 ,sinα=45 . 因为 x′=5cos(α+45°)=5(cosαcos45°-sinαsin45°)3 24 2 2 5( )，5 2 5 22同理,可求得 y′=5sin(α+45°)=7 22 7 ，所以 P′(,2 2 22 ).方法归纳 ①已知角 α 的某一三角函数值和角 α 所在的象限，则角 α 的其他三角函数值唯 一；已知角 α 的某一三角函数值，不知角 α 所在的象限，应先分类讨论，再求 α 的其他三 角函数值.②一般地，90°±α，270°±α 的三角函数值，等于 α 的余名函数值，前面加上一个把 α 看成锐角时原函数值的符号，它的证明也可通过两角和、差的三角函数式进行.③在给值求值的题型中，要灵活处理已知与未知的关系，合理进行角的变换，使所求角能用已 知角表示出来，所求角的三角函数值能用已知角的三角函数值表示出来. 知识点三 已知三角函数值求角 例 7 已知 sinα=5 5 ，sinβ= 10 10,且 α、β 都是锐角，求 α+β 的值.思路分析：(1)根据已知条件可先求出 α+β 的某个三角函数值，如 cos(α+β).(2)由两角和的余弦公式及题设条件知只需求出 cosα、cosβ 即可.(3)由于 α、β 都是锐角，所以 0＜α+β ＜π,y=cosx 在(0,π)上是减函数，从而根据 cos(α+β)的值即可求出 α+β 的值. 解：∵sinα=5 5,sinβ=10 10，且 α、β 都是锐角，∴cosα=2 5 1 sin2，cosβ=53 10 1 sin 2.10∴cos(α+β)=cosαcosβ-sinαsinβ=210 10. 5 3 5 2 5 1051026又∵0＜α+β＜π,∴α+β=4.方法归纳给值求角的一般步骤是：①确定所求角的范围；②找到该范围内具有单调性的某一三角函数值；③先找到一个与之相关的锐角，再由诱导公式导出所求角的值.知识点四利用两角和、差的三角函数公式证明恒等式例8 已知3sinβ=sin(2α+β)，求证：tan(α+β)=2tanα.思路分析：观察条件等式和结论等式中的角，条件中含有β、2α+β，结论中含有α+β、α，若从条件入手，可采用角的变换，β=(α+β)-α，2α+β=(α+β)+α，展开后转化成齐次整式，约分得出结论.证明：∵3sinβ=3sin［(α+β)-α］=3sin(α+β)cosα-3cos(α+β)sinα，sin(2α+β)=sin［(α+β)+α］=sin(α+β)cosα+cos(α+β)sinα，又3s inβ=sin(2α+β)，∴3sin(α+β)cosα-3cos(α+β)sinα=sin(α+β)cosα+cos(α+β)sinα.∴2sin(α+β)cosα=4cos(α+β)sinα.∴tan(α+β)=2tanα.方法归纳对条件恒等式的证明，若条件复杂，可从化简条件入手得出结论；若结论复杂，可化简结论得出条件；若条件和结论都较为复杂，可同时化简它们，直到找到它们间的联系.知识点五变用两角和差的三角函数公式化简求值例9 用和、差公式证明tan12°+tan18°+33tan12°·tan18°=33.tan12tan18解：∵1tan12tan18=tan(12°+18°)=tan30°=33，∴tan12°+tan18°=33(1-tan12°·tan18°)，即左边=33(1-tan12°tan18°)+33tan12°tan18°=33=右边.∴tan12°+tan18°+33tan12°·tan18°=33.方法归纳三角公式通过等价变形，可正用，可逆用，也可变用，主要是通过对函数结构式的变形与对角的分、拆、组合来实现的.例10 求(1+tan1°)(1+tan2°)(1+tan3°)……(1+tan45°)的值.tan tan解：因为α+β=45°时，tan(α+β)=1tantan=1，所以tanα+tanβ+tanαtanβ=1，即(1+tanα)(1+tanβ)=2.于是(1+tan1°)(1+tan44°)=(1+tan2°)(1+tan43°)=……=(1+tan22°)(1+tan23°)=2.又因为1+tan45°=2，所以原式=223.方法归纳当α+β=kπ+4,k∈Z时，(1+tanα)(1+tanβ)=2；7当 α+β=kπ- 问题•探究 思想方法探究4,k∈Z 时，(1+tanα)(1+tanβ)=2tanαtanβ.问题 1 在三角恒等变换中，三角公式众多，公式变换也是解决问题的有效手段，在应用这些 公式时要注意些什么问题？探究过程:使用任何一个公式都要注意它的逆向变换、多向变换，这是灵活使用公式所必须的， 尤其是面对那么多三角公式，把这些公式变活，显得更加重要，这也是学好三角函数的基本功.如：cos(α-β)cosβ-sin(α-β)sinβ 化简为__________.将 α-β 看作一个角，β 看 作另一个角,则 cos(α-β)cosβ-sin(α-β)sinβ=cos ［(α-β)+β］=cosα.解答本题时不仅利用角的变换：α=(α-β)+β，同时运用了公式的逆向变换.tantan探究结论:两角和的正切公式 tan(α+β)=1 tan tan.除了掌握其正向使用之外，还需掌握 如 下 变 换 ： 1-tanαtanβ=tan tan( tan)； tanα+tanβ=tan(α+β)(1-tanαtanβ)；tanαtanβtan(α+β)=tan (α+β)-tanα-tanβ 等.两角和的正切公式的三种变形要熟悉， 其在以后解题中经常使用，要能灵活处理.问题 2 2004年重庆高考有一题为：求函数 y=sin 4x+2 3 sinxcosx-cos 4x 的最小正周期和最 小 值 ， 并 写 出 该 函 数 在 ［ 0,π］ 上 的 单 调 递 增 区 间 .该 函 数 变 形 后 就 需 要 用 到 形 如 asinx+bcosx(a 、b 不同时为零)的式子的变换，我们称之为辅助角变换，那么如何进行辅助角 变换？探究过程:形如 asinx+bcosx(a 、b 不同时为零)的式子可以引入辅助角变形为 Asin(x+φ)的形ab式.asinx+bcosx=b ( sincos )a 22xx ,abab2222令 cosφ=aa2b2,sinφ=ba2b2，则原式= a 2b 2 (sinxcosφ+cosxsinφ)= a 2 b 2 sin(x+φ).(其中 φ 角所在象限由 a 、b 的符号确定，φ 角的值由 tanφ=b a 确定，常常取 φ=arctan b a).探究结论:辅助角变换是三角变形的重要形式，它的应用十分广泛，特别是在数学中求三角函数的最值及物理学当中波的合成时，都是重要的工具.例如 2sinx-3cosx ，就可以利用这一结 论将其化为一个三角函数的形式，从而确定其最值，因为 a=2,b=-3,A= a 2 b 2 13 ，所以 2sinx-3cosx= 13 sin(x+φ)，(其中 φ 在第四象限，且 tanφ=3)，所以 2sinx-3cosx 2的最大值是 13 ，最小值是 13 .8。

高中数学第三章三角恒等变换3.1两角和与差的正弦余弦和正切公式两角差的余弦公式

高中数学第三章三角恒等变换3.1两角和与差的正弦余弦和正切公式两角差的余弦公式

3.1.1 两角差的余弦公式学习目标：1.了解两角差的余弦公式的推导过程．(重点)2.理解用向量法导出公式的主要步骤．(难点)3.熟记两角差的余弦公式的形式及符号特征，并能利用该公式进行求值、计算．(重点、易混点)[自主预习·探新知]两角差的余弦公式1．思考辨析(1)cos(60°－30°)＝cos 60°－cos 30°.()(2)对于任意实数α，β，cos(α－β)＝cos α－cos β都不成立．( )(3)对任意α，β∈R，cos(α－β)＝cos αcos β＋sin αsin β都成立．( )(4)cos 30°cos 120°＋sin 30°sin 120°＝0.( )[解析](1)错误．cos(60°－30°)＝cos 30°≠cos 60°－cos 30°.(2)错误．当α＝－45°，β＝45°时，cos(α－β)＝cos(－45°－45°)＝cos(－90°)＝0，cos α－cos β＝cos(－45°)－cos 45°＝0，此时cos(α－β)＝cos α－cos β.(3)正确．结论为两角差的余弦公式．(4)正确．cos 30°cos 120°＋sin 30°sin 120°＝cos(120°－30°)＝cos 90°＝0.[答案](1)×(2)×(3)√(4)√2．cos(－15°)的值是( )A.6－22B.6＋22C.6－24D.6＋24D[cos(－15°)＝cos 15°＝cos(45°－30°)＝cos 45°cos 30°＋sin 45°sin30°＝22×32＋22×12＝6＋24.]3．cos 65°cos 20°＋sin 65°sin 20°＝________.[合 作 探 究·攻 重 难](1)cos 1312的值为( )A ．6＋24 B ．6－24 C ．2－64D ．－6＋24(2)求下列各式的值：①cos 75°cos 15°－sin 75°sin 195°； ②sin 46°cos 14°＋sin 44°cos 76°； ③12cos 15°＋32sin 15°. 【导学号：84352295】(1)D [(1)cos 13π12＝cos ⎝⎛⎭⎪⎫π＋π12＝－cos π12＝－cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－π6＝－cos π4cos π6－sin π4sin π6＝－22×32－22×12＝－6＋24. (2)①cos 75°cos 15°－sin 75°sin 195° ＝cos 75°cos 15°－sin 75°sin(180°＋15°) ＝cos 75°cos 15°＋sin 75°sin 15° ＝cos(75°－15°)＝cos 60°＝12.②sin 46°cos 14°＋sin 44°cos 76°＝sin(90°－44°)cos 14°＋sin 44°cos(90°－14°) ＝cos 44°cos 14°＋sin 44°sin 14° ＝cos(44°－14°)＝cos 30°＝32. ③12cos 15°＋32sin 15°＝cos 60°cos 15°＋s in 60°sin 15°＝cos(60°－15°)＝cos 45°＝22 .][规律方法] 1.解含非特殊角的三角函数式的求值问题的一般思路是：(1)把非特殊角转化为特殊角的和或差，正用公式直接求值．(2)在转化过程中，充分利用诱导公式，构造两角差的余弦公式的结构形式，然后逆用公式求值．2．两角差的余弦公式的结构特点：(1)同名函数相乘：即两角余弦乘余弦，正弦乘正弦．(2)把所得的积相加．[跟踪训练]1．化简下列各式：(1)cos(θ＋21°)cos(θ－24°)＋sin(θ＋21°)sin(θ－24°)；(2)－sin 167°·sin 223°＋sin 257°·sin 313°.[解](1)原式＝cos[θ＋21°－(θ－24°)]＝cos 45°＝22.(2)原式＝－sin(180°－13°)sin(180°＋43°)＋sin(180°＋77°)·sin(360°－47°)＝sin 13°sin 43°＋sin 77°sin 47°＝sin 13°sin 43°＋cos 13°cos 43°＝cos(13°－43°)＝cos(－30°)＝32.[探究问题]1．若已知α＋β和β的三角函数值，如何求cos α的值？提示：cos α＝cos[(α＋β)－β]＝cos(α＋β)cos β＋sin(α＋β)sin β.2．利用α－(α－β)＝β可得cos β等于什么？提示：cos β＝cos[α－(α－β)]＝cos αcos(α－β)＋sin αsin(α－β)．(1)已知sin α－sin β＝1－32，cos α－cos β＝12，则cos(α－β)＝( )A．－32B．－12(2)已知sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3＋α＝1213，α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π6，2π3，求cos α的值.【导学号：84352296】[思路探究] (1)先将已知两式平方，再将所得两式相加，结合平方关系和公式C (α－β)求cos(α－β)．(2)由已知角π3＋α与所求角α的关系即α＝⎝ ⎛⎭⎪⎫π3＋α－π3寻找解题思路．(1)D [(1)因为sin α－sin β＝1－32， 所以sin 2α－2sin αsin β＋sin 2β＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1－322， ① 因为cos α－cos β＝12，所以cos 2α－2cos αcos β＋cos 2β＝⎝ ⎛⎭⎪⎫122， ②①，②两式相加得1－2cos(α－β)＋1＝1－3＋34＋14所以－2cos(α－β)＝－ 3 所以cos(α－β)＝32. (2)∵α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π6，2π3，∴π3＋α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，π，∴cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3＋α＝－1－sin 2⎝ ⎛⎭⎪⎫π3＋α＝－1－⎝ ⎛⎭⎪⎫12132＝－513.∵α＝⎝⎛⎭⎪⎫π3＋α－π3， cos α＝cos ⎣⎢⎡⎦⎥⎤⎝ ⎛⎭⎪⎫π3＋α－π3＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3＋αcos π3＋sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3＋αsin π3＝－513×12＋1213×32＝123－526.]母题探究：1.将例2(2)的条件改为“sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π4＝45，且π4<α<3π4”，如何解答？[解] ∵sin ⎝⎛⎭⎪⎫α＋π4＝45，且π4<α<3π4，∴π2<α＋π4<π， ∴cos ⎝⎛⎭⎪⎫α＋π4＝－1－⎝ ⎛⎭⎪⎫452＝－35，∴cos α＝cos ⎣⎢⎡⎦⎥⎤⎝⎛⎭⎪⎫α＋π4－π4＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π4cos π4＋sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π4sin π4＝－35×22＋45×22＝210.2．将例2(2)的条件改为“sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3－α＝－1213，α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π6，5π6”，求cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫α－π12的值．[解] ∵π6＜α＜5π6，∴－π2＜π3－α＜π6，又sin ⎝⎛⎭⎪⎫π3－α＝－1213＜0，∴－π2＜π3－α＜0，cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3－α＝1－sin 2⎝⎛⎭⎪⎫π3－α＝513，∴cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫α－π12＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π12－α＝cos ⎣⎢⎡⎦⎥⎤⎝ ⎛⎭⎪⎫π3－α－π4＝22cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3－α＋22sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3－α＝22×513＋22×⎝ ⎛⎭⎪⎫－1213＝－7226. [规律方法] 给值求值问题的解题策略已知某些角的三角函数值，求另外一些角的三角函数值时，要注意观察已知角与所求表达式中角的关系，即拆角与凑角.由于和、差角与单角是相对的，因此解题过程中可以根据需要灵活地进行拆角或凑角.常见角的变换有：①α＝α－β＋β；②α＝α＋β2＋α－β2；③2α＝α＋β＋α－β； ④2β＝α＋β－α－β已知＜π2，求角β的大小.【导学号：84352297】[思路探究] 求cos α、α－β→求cos β＝cos[α－α－β→求β[解] 因为sin(π－α)＝437， 所以sin α＝437.因为0＜α＜π2，所以cos α＝1－sin 2α＝17.因为cos(α－β)＝1314，且0＜β＜α＜π2，所以0＜α－β＜π2，所以sin(α－β)＝1－cos2α－β＝3314， 所以cos β＝cos[α－(α－β)]＝cos αcos(α－β)＋sin αsin(α－β)＝17×1314＋437×3314＝12.因为0＜β＜π2，所以β＝π3. [规律方法] 已知三角函数值求角的解题步骤界定角的范围，根据条件确定所求角的范围.求所求角的某种三角函数值.为防止增解最好选取在范围内单调的三角函数. 结合三角函数值及角的范围求角.提醒：在根据三角函数值求角时，易忽视角的范围，而得到错误答案. [跟踪训练]2．已知α，β均为锐角，且cos α＝255，cos β＝1010，求α－β的值．[解] ∵α，β均为锐角， ∴sin α＝55，sin β＝31010， ∴cos(α－β)＝cos αcos β＋sin αsin β ＝255×1010＋55×31010＝22. 又sin α<sin β，∴0<α<β<π2，∴－π2<α－β<0，故α－β＝－π4.[当 堂 达 标·固 双 基]1．sin 14°cos 16°＋sin 76°cos 74°＝( )【导学号：84352298】A ．32 B ．12 C ．－32D ．－12B [∵sin 14°＝cos 76°，cos 74°＝sin 16°∴原式＝cos 76°cos 16°＋sin 76°sin 16°＝cos(76°－16°)＝cos 60°＝12.]2．若sin αsin β＝1，则cos(α－β)的值为( ) A ．0 B ．1 C ．±1D ．－1B [由sin αsin β＝1，得cos αcos β＝0， cos(α－β)＝cos αcos β＋sin αsin β＝1.]3．已知α为锐角，β为第三象限角，且cos α＝1213，sin β＝－35，则cos(α－β)的值为( )【导学号：84352299】A ．－6365B ．－3365C ．6365D ．3365A [∵α为锐角，cos α＝1213，∴sin α＝1－cos 2α＝513，∵β为第三象限角，sin β＝－35，∴cos β＝－1－sin 2β＝－45，∴cos(α－β)＝cos αcos β＋sin αsin β＝1213×⎝ ⎛⎭⎪⎫－45＋513×⎝ ⎛⎭⎪⎫－35＝－6365.]4．cos(α－35°)cos(α＋25°)＋sin(α－35°)sin(α＋25°)＝________. 12[原式＝cos[(α－35°)－(α＋25°)] ＝cos(－60°)＝cos 60°＝12.]5．已知sin α＝－45，sin β＝513，且180°＜α＜270°，90°＜β＜180°，求cos(α－β)的值.【导学号：84352300】[解] 因为sin α＝－45，180°＜α＜270°，所以cos α＝－35.因为sin β＝513，90°＜β＜180°，所以cos β＝－1213，所以cos(α－β)＝cos αcos β＋sin αsin β＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－35×⎝ ⎛⎭⎪⎫－1213＋⎝ ⎛⎭⎪⎫－45×513＝3665－2065＝1665.。

高中数学第三章三角恒等变换3-1两角和与差的正弦、余弦和正切公式3-1-2两角和与差的正弦、余弦、正切公式优

高中数学第三章三角恒等变换3-1两角和与差的正弦、余弦和正切公式3-1-2两角和与差的正弦、余弦、正切公式优

所以tan 27°＋tan 33°＋ tan 27°tan 33°＝
－ tan 27°tan 33°＋ tan 27°tan 33°＝ .
答案：
8．已知在锐角三角形ABC中，sin(A＋B)＝ ，sin(A－B)＝ ，则 ＝________.
解析：∵sin(A＋B)＝ ，sin(A－B)＝ ，
∴ ⇔ ⇔ ＝2.
＝
＝
＝ ＝－3.
10．已知函数f(x)＝ sin(ωx＋φ) 的图象关于直线x＝ 对称，且图象上相邻两个最高点的距离为π.
(1)求ω和φ的值；
(2)若f ＝ ，求cos 的值．
解析：(1)因为f(x)的图象上相邻两个最高点的距离为π，所以f(x)的最小正周期T＝π，从而ω＝ ＝2.
又因f(x)的图象关于直线x＝ 对称，
所以tan3B＝3 ，所以tanB＝ .
又0°<B<180°，所以B＝60°.
答案：C
3．tan ＝ ，tan ＝2 ，则tan(α＋β)＝________.
解析：tan ＝tan
＝ ＝ ＝－ .
tan(α＋β)＝tan
＝
＝ ＝2 －3.
答案：2 －3
4．不查表求值：tan 15°＋tan 30°＋tan 15°tan 30°＝________.
所以2· ＋φ＝kπ＋ ，k＝0，±1，±2，….
因－ ≤φ< 得k＝0，
所以φ＝ － ＝－ .
(2)由(1)得f ＝ sin ＝ ，
所以sin ＝ .
由 <α< 得0<α－ < ，
所以cos ＝
＝ ＝ .
因此cos ＝sinα＝sin
＝sin cos ＋cos sin
3.1两角和与差的正弦、余弦和正切公式课件人教新课标3

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你能利用cos (α－β)的公式继续探究α±β 的其它三角函数公式吗？如
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A α β B
α
B β
O
x
O2- x
A
于是，对于任意角α，β都有
cos(α-β)=cosαcosβ+sinαsinβ
称202为4/11/差4 角的余弦公式。简记为C(α-β)
11
cos(α-β)=cosαcosβ+sinαsinβ
视察：公式有何特征？如何记忆？
１.公式的结构特征:
左边是差角α－β 的余弦,右边单角α、β 的余弦积与正弦积的和,即同名三角函数积的和.
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巩固练习:
解：
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变式2：已知cosα= 1 ，cos（α－β）= 4，
3
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0< β < α <
,求cosβ的值。
2
思考? 若将cos（α－β）改为cos（α+β）呢?
( )
变式3:以知
cos cos 3 sin sin 4 ,求cos - 的值.
问题2:你认为cos(α-β)=cosαcosβ+sinαsinβ成立吗?
猜想：
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探究过程：
在第一章三角函数的学习当中我们知道，在设角 的终边与单
cos 位标圆，的也交可点以为用角P1
，
等于角 与单位圆交点的横坐
的余弦线来表示．
大家思考：怎样构造角 和 角？（注意：要与
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