2018年秋高中数学第3章三角恒等变换3.1两角和与差的正弦余弦和正切公式3.1.1两角差的余弦公式学案新人教A版

3.1.1 两角差的余弦公式学习目标：1.了解两角差的余弦公式的推导过程．(重点)2.理解用向量法导出公式的主要步骤．(难点)3.熟记两角差的余弦公式的形式及符号特征，并能利用该公式进行求值、计算．(重点、易混点)[自主预习·探新知]两角差的余弦公式1．思考辨析(1)cos(60°－30°)＝cos 60°－cos 30°.()(2)对于任意实数α，β，cos(α－β)＝cos α－cos β都不成立．( )(3)对任意α，β∈R，cos(α－β)＝cos αcos β＋sin αsin β都成立．( )(4)cos 30°cos 120°＋sin 30°sin 120°＝0.( )[解析](1)错误．cos(60°－30°)＝cos 30°≠cos 60°－cos 30°.(2)错误．当α＝－45°，β＝45°时，cos(α－β)＝cos(－45°－45°)＝cos(－90°)＝0，cos α－cos β＝cos(－45°)－cos 45°＝0，此时cos(α－β)＝cos α－cos β.(3)正确．结论为两角差的余弦公式．(4)正确．cos 30°cos 120°＋sin 30°sin 120°＝cos(120°－30°)＝cos 90°＝0.[答案](1)×(2)×(3)√(4)√2．cos(－15°)的值是( )A.6－22B.6＋22C.6－24D.6＋24D[cos(－15°)＝cos 15°＝cos(45°－30°)＝cos 45°cos 30°＋sin 45°sin30°＝22×32＋22×12＝6＋24.]3．cos 65°cos 20°＋sin 65°sin 20°＝________.22 [cos 65°cos 20°＋sin 65°sin 20°＝cos(65°－20°)＝cos 45°＝22.] [合 作 探 究·攻 重 难](1)cos 1312的值为( )A ．6＋24 B ．6－24 C ．2－64D ．－6＋24(2)求下列各式的值：①cos 75°cos 15°－sin 75°sin 195°； ②sin 46°cos 14°＋sin 44°cos 76°； ③12cos 15°＋32sin 15°. 【导学号：84352295】(1)D [(1)cos 13π12＝cos ⎝⎛⎭⎪⎫π＋π12＝－cos π12＝－cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－π6＝－cos π4cos π6－sin π4sin π6＝－22×32－22×12＝－6＋24. (2)①cos 75°cos 15°－sin 75°sin 195° ＝cos 75°cos 15°－sin 75°sin(180°＋15°) ＝cos 75°cos 15°＋sin 75°sin 15° ＝cos(75°－15°)＝cos 60°＝12.②sin 46°cos 14°＋sin 44°cos 76°＝sin(90°－44°)cos 14°＋sin 44°cos(90°－14°) ＝cos 44°cos 14°＋sin 44°sin 14° ＝cos(44°－14°)＝cos 30°＝32. ③12cos 15°＋32sin 15° ＝cos 60°cos 15°＋sin 60°sin 15°＝cos(60°－15°)＝cos 45°＝22.] [规律方法] 1.解含非特殊角的三角函数式的求值问题的一般思路是： (1)把非特殊角转化为特殊角的和或差，正用公式直接求值．(2)在转化过程中，充分利用诱导公式，构造两角差的余弦公式的结构形式，然后逆用公式求值．2．两角差的余弦公式的结构特点：(1)同名函数相乘：即两角余弦乘余弦，正弦乘正弦． (2)把所得的积相加． [跟踪训练] 1．化简下列各式：(1)cos(θ＋21°)cos(θ－24°)＋sin(θ＋21°)sin(θ－24°)； (2)－sin 167°·sin 223°＋sin 257°·sin 313°. [解] (1)原式＝cos[θ＋21°－(θ－24°)] ＝cos 45°＝22. (2)原式＝－sin(180°－13°)sin(180°＋43°)＋sin(180°＋77°)·sin(360°－47°)＝sin 13°sin 43°＋sin 77°sin 47° ＝sin 13°sin 43°＋cos 13°cos 43° ＝cos(13°－43°)＝cos(－30°)＝32.[探究问题]1．若已知α＋β和β的三角函数值，如何求cos α的值？ 提示：cos α＝cos[(α＋β)－β] ＝cos(α＋β)cos β＋sin(α＋β)sin β. 2．利用α－(α－β)＝β可得cos β等于什么？提示：cos β＝cos[α－(α－β)]＝cos αcos(α－β)＋sin αsin(α－β)．(1)已知sin α－sin β＝1－32，cos α－cos β＝12，则cos(α－β)＝( ) A ．－32B ．－12C ．12D ．32(2)已知sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3＋α＝1213，α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π6，2π3，求cos α的值.【导学号：84352296】[思路探究] (1)先将已知两式平方，再将所得两式相加，结合平方关系和公式C (α－β)求cos(α－β)．(2)由已知角π3＋α与所求角α的关系即α＝⎝ ⎛⎭⎪⎫π3＋α－π3寻找解题思路．(1)D [(1)因为sin α－sin β＝1－32， 所以sin 2α－2sin αsin β＋sin 2β＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1－322， ① 因为cos α－cos β＝12，所以cos 2α－2cos αcos β＋cos 2β＝⎝ ⎛⎭⎪⎫122， ②①，②两式相加得1－2cos(α－β)＋1＝1－3＋34＋14所以－2cos(α－β)＝－ 3 所以cos(α－β)＝32. (2)∵α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π6，2π3，∴π3＋α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，π，∴cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3＋α＝－1－sin 2⎝ ⎛⎭⎪⎫π3＋α＝－1－⎝ ⎛⎭⎪⎫12132＝－513.∵α＝⎝⎛⎭⎪⎫π3＋α－π3， cos α＝cos ⎣⎢⎡⎦⎥⎤⎝ ⎛⎭⎪⎫π3＋α－π3＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3＋αcos π3＋sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3＋αsin π3＝－513×12＋1213×32＝123－526.]母题探究：1.将例2(2)的条件改为“sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π4＝45，且π4<α<3π4”，如何解答？[解] ∵sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π4＝45，且π4<α<3π4，∴π2<α＋π4<π，∴cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π4＝－1－⎝ ⎛⎭⎪⎫452＝－35，∴cos α＝cos ⎣⎢⎡⎦⎥⎤⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π4－π4＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π4cos π4＋sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π4sin π4＝－35×22＋45×22＝210.2．将例2(2)的条件改为“sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3－α＝－1213，α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π6，5π6”，求cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫α－π12的值．[解] ∵π6＜α＜5π6，∴－π2＜π3－α＜π6，又sin ⎝⎛⎭⎪⎫π3－α＝－1213＜0，∴－π2＜π3－α＜0，cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3－α＝1－sin 2⎝⎛⎭⎪⎫π3－α＝513，∴cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫α－π12＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π12－α＝cos ⎣⎢⎡⎦⎥⎤⎝ ⎛⎭⎪⎫π3－α－π4＝22cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3－α＋22sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3－α＝22×513＋22×⎝ ⎛⎭⎪⎫－1213＝－7226. [规律方法] 给值求值问题的解题策略已知某些角的三角函数值，求另外一些角的三角函数值时，要注意观察已知角与所求表达式中角的关系，即拆角与凑角.由于和、差角与单角是相对的，因此解题过程中可以根据需要灵活地进行拆角或凑角.常见角的变换有：①α＝α－β＋β；②α＝α＋β2＋α－β2；③2α＝α＋β＋α－β； ④2β＝α＋β－α－β已知＜π2，求角β的大小.【导学号：84352297】[思路探究] 求cos α、α－β→求cos β＝cos[α－α－β→求β[解] 因为sin(π－α)＝437， 所以sin α＝437.因为0＜α＜π2，所以cos α＝1－sin 2α＝17.因为cos(α－β)＝1314，且0＜β＜α＜π2，所以0＜α－β＜π2，所以sin(α－β)＝1－cos2α－β＝3314， 所以cos β＝cos[α－(α－β)]＝cos αcos(α－β)＋sin αsin(α－β)＝17×1314＋437×3314＝12.因为0＜β＜π2，所以β＝π3. [规律方法] 已知三角函数值求角的解题步骤界定角的范围，根据条件确定所求角的范围.求所求角的某种三角函数值.为防止增解最好选取在范围内单调的三角函数. 结合三角函数值及角的范围求角.提醒：在根据三角函数值求角时，易忽视角的范围，而得到错误答案. [跟踪训练]2．已知α，β均为锐角，且cos α＝255，cos β＝1010，求α－β的值．[解] ∵α，β均为锐角， ∴sin α＝55，sin β＝31010， ∴cos(α－β)＝cos αcos β＋sin αsin β ＝255×1010＋55×31010＝22. 又sin α<sin β，∴0<α<β<π2，∴－π2<α－β<0，故α－β＝－π4.[当 堂 达 标·固 双 基]1．sin 14°cos 16°＋sin 76°cos 74°＝( )【导学号：84352298】A ．32 B ．12 C ．－32D ．－12B [∵sin 14°＝cos 76°，cos 74°＝sin 16°∴原式＝cos 76°cos 16°＋sin 76°sin 16°＝cos(76°－16°)＝cos 60°＝12.]2．若sin αsin β＝1，则cos(α－β)的值为( ) A ．0 B ．1 C ．±1D ．－1B [由sin αsin β＝1，得cos αcos β＝0， cos(α－β)＝cos αcos β＋sin αsin β＝1.]3．已知α为锐角，β为第三象限角，且cos α＝1213，sin β＝－35，则cos(α－β)的值为( )【导学号：84352299】A ．－6365B ．－3365C ．6365D ．3365A [∵α为锐角，cos α＝1213，∴sin α＝1－cos 2α＝513，∵β为第三象限角，sin β＝－35，∴cos β＝－1－sin 2β＝－45，∴cos(α－β)＝cos αcos β＋sin αsin β＝1213×⎝ ⎛⎭⎪⎫－45＋513×⎝ ⎛⎭⎪⎫－35＝－6365.]4．cos(α－35°)cos(α＋25°)＋sin(α－35°)sin(α＋25°)＝________. 12[原式＝cos[(α－35°)－(α＋25°)] ＝cos(－60°)＝co s 60°＝12.]5．已知sin α＝－45，sin β＝513，且180°＜α＜270°，90°＜β＜180°，求cos(α－β)的值.【导学号：84352300】[解] 因为sin α＝－45，180°＜α＜270°，所以cos α＝－35.因为sin β＝513，90°＜β＜180°，所以cos β＝－1213，所以cos(α－β)＝cos αcos β＋sin αsin β＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－35×⎝ ⎛⎭⎪⎫－1213＋⎝ ⎛⎭⎪⎫－45×513＝3665－2065＝1665.。