【配套K12】高中数学第三章三角恒等变换3.1两角和与差的正弦余弦和正切公式3.1.3二倍角的正弦余

1 3.1.3 二倍角的正弦、余弦、正切公式（一）
课前导引
问题导入
从特殊到一般和从一般到特殊，这是人们正确认识客观事物的认识规律，也是处理数学问题的重要思想方法.从这一思想出发，我们知道两角和的正弦为：sin （α+β）=sinαcosβ+cosαsinβ，那么现在我们令α=β，在这种特殊情况下我们可以得到公式sin2α=2sinαcosα，同理其余几种三角函数也可以做类似的推理，本节我们就来研究一下有关倍角的公式.你能利用上述知识解决下面的问题吗？
已知sinα=135，α∈（2π
，π），求sin2α，cos2α，tan2α的值.
思路分析：∵sinα=135，α∈（2π
，π）， ∴cosα=.1312
)135
(1sin 122-=--=--α ∴sin2α=sin（α+α）=sinαcosα+cosαsinα=2sinαcosα=169120
-，
cos2α=cos 2α-sin 2α=169119
，
tan2α=119120
2cos 2sin -=αα
.
知识预览
1.二倍角正弦公式S 2α：sin2α=2sin αcos α.
2.二倍角余弦公式C 2α：cos2α=cos 2α-sin 2α=2cos 2α-1=1-2sin 2
α.
3.二倍角正切公式T 2α：tan2α=αα
2tan 1tan 2
-.。

3.1.2 两角和与差的正弦、余弦、正切公式主动成长夯基达标 1.(cos 12π-sin 12π)(cos 12π+sin 12π)等于( ) A.-23B.-21C.21D.23 解析:(cos12π-sin 12π)(cos 12π+sin 12π) =cos 12π·cos 12π+cos 12π·sin 12π-cos 12π·sin 12π-sin 12π·sin 12π =cos 12π·cos 12π-sin 12πsin 12π=cos 6π=23. 答案:D2.设α∈(0,2π),若sin α=53,则2cos(α+4π)等于( ) A.57B.51C.-57D.-51 解析:∵α∈(0, 2π),sin α=53, ∴cos α=542591=-. ∴2cos(α+4π)=2(cos αcos 4π-sin αsin 4π) =2(22cos α-22sin α)=cos α-sin α =54-53=51. 答案:B3.cos84°·cos24°-cos114°·cos6°的值为( ) A.23B.0C. 21D.2 解析:cos84°·cos24°-cos114°·cos6°=cos84°·cos24°+cos66°·sin84°=cos84°·cos24°+sin24°·sin84°=cos(84°-24°)=cos60°=21. 答案:C4.sin 47°·cos43°+cos47°·sin43°的值等于( ) A.0B.1C.-1D.21 解析:sin47°cos43°+cos47°·sin43°=sin(47°+43°)=sin90°=1.答案:B5.已知sin α=1312,cos β=54,且α是第二象限角,β是第四象限角,那么sin(α-β)等于( ) A.6533B.6563C.6516- D.-6556解析:∵α是第二象限角,且sin α=1312,∴cos α=1691441--=-135.β是第四象限角,cos β=54,∴sin β=25161--=-53.sin(α-β)=sin αcos β-cos αsin β =1312×54-(-135)×(-53) =6533651548=-.答案:A6.已知sin α=54,cos(α+β)=-53,α、β都是第一象限的角,则sin β等于( ) A.2524B.257 C.2524或257 D.-2524解析:∵α,β都是第一象限角,且cos(α+β)=53-,∴α+β为第二象限角.∴sin(α+β)=2591-=54,cos α=1-5325161=-.∴sin β=sin ［(α+β)-α］=sin(α+β)·cos α-cos(α+β)·sin α =54×53+53×54=2524251212=+. 答案:A7.sin113°cos22°+sin203°sin158°的值为( ) A.21B.22C.23D.1 解析:sin113°=sin(180°-67°)=sin67°=sin(90°-23°)=cos23°,sin203°=sin(180°+23°)=-sin23°,sin158°=sin(180°-22°)=sin22°.∴原式=cos23°·cos22°-sin23°sin22° =cos(23°+22°)=cos45°=22. 答案:B8.若A 、B 是△ABC 的内角,并且(1+tanA)(1+tanB)=2,则A+B 等于( ) A.4πB.43πC.45πD.32π 解析:由(1+tanA)(1+tanB)=2,得1+tanA+tanB+tanAtanB=2.所以tanA+tanB=1-tanAtanB.由tan(A+B)=1tan tan 1tan tan 1tan tan 1tan tan =--=-+B A B A B A B A , ∴A+B=4π. 答案:A9.已知sin α-cos β=21,cos α-sin β=31,则sin(α+β)=______________. 解析:把sin α-cos β=21两边平方,得 sin 2α-2sin αcos β+cos 2β=41.① 把cos α-sin β=31两边平方,得 cos 2α-2cos αsin β+sin 2β=91.② ①+②,得1+1-2(sin αcos β+cos αsin β)=3613. ∴2sin(α+β)=2-3613=3659. ∴sin(α+β)=7259. 答案:725910.已知tan α、tan β是方程x 2+33x+4=0的两根,且α、β∈(-2π,2π),则tan(α+β)=__________,α+β=__________.解析:∵tan α,tan β是方程x 2+33x+4=0的两根, ∴⎩⎨⎧>=∙<-=+.04tan tan ,033tan tan βαβα∴tan α＜0,tan β＜0.∴α,β∈(-2π,0).∴-π＜α+β＜0. tan(α+β)=.33334133tan tan 1tan tan ==--=-+βαβα ∴α+β=-32π. 答案:3 -32π 11.求值:［2sin50°+sin10°(1+3tan10°)］·︒80sin 22.解:原式=(2sin50°+sin10°︒∙︒︒+︒80sin 210cos 10sin 310cos =(2sin50°+2sin10°︒︒+︒10cos 10sin 2310cos 21)·2cos10° =22［sin50°cos10°+sin10°cos(60°-10°)］ =22sin(50°+10°)=22·23=6. 12.已知tan α、tan β是方程6x 2-5x+1=0的两根,且0＜α＜2π,π＜β＜23π.求: (1)tan(α+β)及α+β的值;(2)sin 2(α+β)-cos(α+β)sin(α+β)-3cos 2(α+β)的值. 解:(1)由题意得⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=∙=+.61tan tan ,65tan tan βαβα ∴tan(α+β)=1tan tan 1tan tan =∙-+βαβα.又∵π＜α+β＜2π,∴α+β=45π. (2)原式=)(cos )(sin )(cos 3)sin()cos()(sin 2222βαβαβαβαβαβα++++-++-+ =1)(tan 3)tan()(tan 22++-+-+βαβαβα =11311+-++ =-23. 走近高考13.(2006江西高考,13)已知向量a =(1,sin θ),b =(1,cos θ),则|a -b |的最大值为______________.解析:a -b =(0,sin θ-cos θ),|a -b |=|sin θ-cos θ|=|2sin(θ-4π)|, ∴最大值为2.答案:214.(2006江苏高考)tan70°cos10°+3sin10°tan70°-2cos40°=_________________. 解析:原式=tan70°cos10°+3sin10°tan70°-2cos40° =2tan70°(21cos10°+23sin10°)-2cos40° =2·︒︒70cos 70sin ·sin40°-2cos40° =︒︒︒-︒︒70cos )70cos 40cos 40sin 70(sin 2 =.270cos 110cos 2=︒︒- 答案:215.(2006福建高考,4)已知α∈(2π,π),sin α=53,则tan(α+4π)等于( ) A.71B.7C.-71D.-7 解析:∵α∈(2π,π),且sin α=53,。

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1．设 α∈0，π2，若 sin α＝35，则 2cosα＋π4＝(
)
7
1
A.5
B.5
C．－75
D．－15
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解析： 易得 cos α＝45，
则
2cosα＋π4＝
2cos αcos
π4－sin αsin
π4＝15.
答案(dáàn)： B
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2．sin 59°·cos 89°－cos 59°·sin 89°的值为( )
1－172＝4 7 3.
由 0＜β＜α＜π2，得 0＜α－β＜π2.
又∵cos(α－β)＝1134，
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∴sin(α－β)＝ 1－cos2（α－β）＝
由 β＝α－(α－β)，得 cos β＝cos[α－(α－β)] ＝cos αcos (α－β)＋sin αsin(α－β) ＝17×1134＋4 7 3×3143＝12. ∵0＜β＜π2，∴β＝π3.
(3)求角，结合三角函数值及角的范围求角
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同类练]☆ 1．已知 α，β 均为锐角，且 sin α＝ 55，cos β＝ 1100，求 α－β 的值．
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解析： ∵α，β 均为锐角，且 sin α＝ 55，cos β＝ 1100，
∴cos α＝255，sin β＝31010. ∴sin(α－β)＝sin αcos β－cos αsin β
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故co1s A＋co1s C＝cos（601°＋α）＋cos（601°－α）
＝
1
＋
1
12cos α－ 23sin α 12cos α＋ 23sin α

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∴0<β<π4，∴0<α＋2β<34π.①4 分 由 sin β＝ 1100，β 为锐角， 得 cos β＝31010， ∴tan β＝13.6 分 ∴tan(α＋β)＝1t－antaαn＋αttaannββ
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＝1－17＋17×1313＝12.8 分
∴tan(α＋2β)＝1t－ant（anα（＋αβ＋）β＋）ttaannββ
[归纳升华] 给值求值问题的两种变换
(1)式子的变换：分析已知式子的结构特点，结合两角和与差的三角函数公式， 通过变形，建立与待求式间的联系实现求值．
(2)角的变换：首先从已知角间的关系入手，分析已知角和待求角间的关系， 如用 α＝β－(β－α)、2α＝(α＋β)＋(α－β)等关系，把待求的三角函数与已知角的 三角函数巧妙地建立等量关系，从而求值.
两角差 的正切
两角和与差的正切公式
公式
简记符号
tan(α＋β)＝
tan α＋tan β __1_－__ta_n__α_t_a_n_β__
tan(α－β)＝
tan α－tan β __1_＋__t_a_n_α_t_a_n_β____
T(α＋β) T(α－β)
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使用条件 α，β，α＋β≠kπ＋π2(k∈Z) α，β，α－β≠kπ＋π2(k∈Z)
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解析： tan α＝tan[(α－β)＋β]
＝1t－ant（anα（－αβ－）β＋）ttaannββ＝1－1212－×17－17＝13.
又因为 α∈(0，π)，而 tan α>0，所以 α∈0，π2. tan(2α－β)＝tan[α＋(α－β)]＝1t－antaαn＋αttaann（（αα－－ββ））